综合学业质量标准检测

综合学业质量标准检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分) 1．在△ABC 中，若B ＝120°，则a 2＋ac ＋c 2－b 2的值( C ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0D ．不确定[解析] 根据余弦定理，得cos120°＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，即a 2＋c 2－b 2＝－ac ．故a 2＋ac ＋c 2－b 2＝0．2．若1＋2＋22＋…＋2n >128，n ∈N *，则n 的最小值为( B ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9[解析] 1＋2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－1．∵2n ＋1－1>128＝27，∴n ＋1>7，n >6．又∵n ∈N *，∴n 的最小值为7．3．不等式y ≥|x |表示的平面区域是( A )[解析] y ≥|x |⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0y ≥－x ，故选A ．4．已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第三项是( C )A ．1B ．12C ．34D ．58[解析] ∵a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋12n ，∴a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋14＝34，∴选C ．5．已知A 为△ABC 的一个内角，且sin A ＋cos A ＝23，则△ABC 的形状是( B ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．不确定[解析] 解法一：∵sin A ＋cos A ＝23，∴(sin A ＋cos A )2＝29，∴2sin A ·cos A ＝－79<0，∴A 为钝角，∴△ABC 的形状为钝角三角形．故选B ．解法二：假设0<A ≤π2，则π4<A ＋π4≤3π4，∴sin(A ＋π4)≥22>13．∴sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4)≥1>23．与条件矛盾，∴A >π2．故选B ．6．(2016·北京理，5)已知x 、y ∈R ，且x >y >0，则( C )A ．1x －1y >0B ．sin x －sin y >0C ．(12)x －(12)y <0D ．ln x ＋ln y >0[解析] 解法一：因为x >y >0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y＝1－2＝－1<0，排除A ；选项B ，取x＝π，y ＝π2，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2＝－1<0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y ＝12，则ln x ＋ln y ＝ln(x ＋y )＝ln1＝0，排除D ．故选C ．解法二：因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x在R 上单调递减，且x >y >0，所以⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫12y ，即⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0，故选C ． 7．下图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构可推知第n 个图有化学键( D )A ．6n 个B ．(4n ＋2)个C ．(5n －1)个D ．(5n ＋1)个[解析] 各图中的“短线”个数依次为6,6＋5,6＋5＋5，…．若视6为5＋1，则上述数列为 1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5，…，于是第n 个图有化学键(5n ＋1)个．故选D ．8．(2016·浙江文，5)已知a 、b >0，且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( D ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0[解析] 根据题意，log a b >1⇔log a b >log a a ⇔⎩⎨⎧0<a <10<b <a 或⎩⎨⎧a >1b >a．当⎩⎨⎧0<a <10<b <a 时，0<b <a <1，∴b －1<0，b －a <0；当⎩⎨⎧a >1b >a 时，b >a >1，∴b －1>0，b －a >0． ∴(b －1)(b －a )>0，故选D ．9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝( C ) A ．52 B ．78 C ．104D ．208[解析] 由等差数列的性质得a 2＋a 7＋a 12＝3a 7＝24，∴a 7＝8，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13×2a 72＝13a 7，故选C ． 10．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A 、B 间距离是35 m ，则此电视塔的高度是( A )A ．5 21 mB ．10 mC ．4 90013mD ．35 m[解析] 作出示意图，设塔高OC 为h m ，在Rt △AOC 中，OA ＝h tan60°＝33h ，OB ＝h ． AB ＝35，∠AOB ＝150°，由余弦定理得352＝(33h )2＋h 2－2×33h ·h cos150°， 解得h ＝521．故选A ．11．已知直线ax ＋by －6＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是( B )A ．9B ．92C ．4D ．52[解析] 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，直线截圆所得的弦长为 25，等于直径，∴直线ax ＋by－6＝0过圆心，即a ＋2b －6＝0．又a >0，b >0，由基本不等式得a ＋2b ≥2 2ab ，即ab ≤92，当且仅当a＝3，b ＝32时等号成立，∴ab 的最大值为92．故选B ．12．定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为15n ，又b n ＝a n 5，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11等于( C ) A ．811 B ．919 C ．1021 D ．1123[解析] 由n a 1＋a 2＋…＋a n ＝15n 得S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝5n 2，则S n －1＝5(n －1)2(n ≥2)，a n ＝S n －S n －1＝10n－5(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝5也满足．故a n ＝10n －5，b n ＝2n －1，1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝(12n －1－12n ＋1)，所以原式＝(1b 1－1b 11)＝12×(1－121)＝1021．故选C ．二、填空题(本大题共4个小题，每个小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上) 13．等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 5＝b 5,2a 5－a 2a 8＝0，则b 3＋b 7＝__4__． [解析] ∵2a 5－a 2a 8＝2a 5－a 25＝0，a n ≠0，∴a 5＝2，∴b 3＋b 7＝2b 5＝2a 5＝4． 14．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为2． [解析] 在△ACD 中，cos ∠ADC ＝52＋32－722×5×3＝－12，所以∠ADC ＝120°，所以∠ADB ＝60°．在△ABD 中，由正弦定理得AB sin60°＝AD sin45°，所以AB ＝562．15．已知变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0x ＋3y －3≥0y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围为 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ ．[解析] 作出可行域如图(包括边界)当直线z ＝ax ＋y 经过A 点，位于直线l 1与x ＋2y －3＝0之间时，z 仅在点A (3,0)处取得最大值，∴－a <－12，∴a >12．16．已知点(1，t )在直线2x －y ＋1＝0的上方，且不等式x 2＋(2t －4)x ＋4>0恒成立，则t 的取值集合为__{t |3<t <4}__．[解析] ∵(1，t )在直线2x －y ＋1＝0的上方， ∴t >3，∵不等式x 2＋(2t －4)x ＋4>0恒成立， ∴Δ＝(2t －4)2－16<0，∴0<t <4，∴3<t <4．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数．[解析] 由题意，设这三个数分别是a q ，a ，aq ，且q ≠1，则aq＋a ＋aq ＝114①令这个等差数列的公差为d ，则a ＝a q ＋(4－1)·d ．则d ＝(a －a q )，又有aq ＝a q ＋24×13×⎝⎛⎭⎫a －a q ② 由②得(q －1)(q －7)＝0，∵q ≠1，∴q ＝7代入①得a ＝14，则所求三数为2,14,98．18．(本题满分12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2． (1)求sin2Asin2A ＋cos 2A的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．[解析] (1)由tan(π4＋A )＝2，得tan A ＝13，所以sin2A sin2A ＋cos 2 A ＝2sin A cos A 2sin A cos A ＋cos 2 A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25． (2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)可得，sin A ＝1010，cos A ＝3 1010．由a ＝3，B ＝π4及正弦定理知：b ＝35．又sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝255，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×35×255＝9．19．(本题满分12分)已知关于x 的一元二次不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)． (1)若不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集是R ，求k 的取值范围．[解析] (1)∵不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，∴－3，－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，且k <0． ∴⎩⎪⎨⎪⎧(－3)×(－2)＝6(－3)＋(－2)＝2k，∴k ＝－25． (2)∵不等式的解集为R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k <0Δ＝4－4k ·6k <0，即⎩⎪⎨⎪⎧k <0k >66或k <－66，∴k <－66．即k 的取值范围是(－∞，－66)． 20．(本题满分12分)已知{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a 1、a 7、a 4成等差数列，求证：2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1，a 7，a 4成等差数列，∴2a 7＝a 1＋a 4，∴2a 1q 6＝a 1＋a 1q 3，∴2q 6－q 3－1＝0，∴q 3＝－12或q 3＝1．当q 3＝1，即q ＝1时，2S 3＝6a 1，S 6＝6a 1，S 12－S 6＝12a 1－6a 1＝6a 1，∴S 62S 3＝S 12－S 6S 6，∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．当q 3＝－12时，S 62S 3＝a 1(1－q 6)1－q ·1－q 2a 1(1－q 3)＝1＋q 32＝14，S 12－S 6S 6＝S 12S 6－1＝a 1(1－q 12)1－q ·1－q a 1(1－q 6)－1＝q 6＝(q 3)2＝14， ∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列，综上可知，2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．21．(本题满分12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知向量m ＝(cos B,2cos 2C 2－1)，n ＝(c ，b －2a )，且m ·n ＝0．(1)求角C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积． [解析] (1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0，∴c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得sin C cos B ＋(sin B －2sin A )cos C ＝0，∴sin A ＝2sin A cos C ．又∵sin A ≠0，∴cos C ＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3．(2)由AD →＝DB →，知CD →－CA →＝CB →－CD →，所以2CD →＝CA →＋CB →，两边平方得4|CD →|2＝b 2＋a 2＋2ba cos C ∴b 2＋a 2＋ba ＝28．①又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴a 2＋b 2－ab ＝12．②由①②得ab ＝8，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝23．22．(本题满分12分)已知α、β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a 、b ∈R ，求b －3a －1的最大值和最小值．[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝－aαβ＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－(α＋β)b ＝αβ2，∵0≤α≤1,1≤β≤2，∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2．∴⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ≤－10≤b ≤1．建立平面直角坐标系aOb ，则上述不等式组表示的平面区域如图所示． 令k ＝b －3a －1，可以看成动点P (a ，b )与定点A (1,3)的连线的斜率．取B (－1,0)，C (－3,1)，则k AB ＝32，k AC ＝12，∴12≤b －3a －1≤32．故b －3a －1的最大值是32，最小值是12．。