综合学业质量标准检测

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一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分) 1．在△ABC 中，若B ＝120°，则a 2＋ac ＋c 2－b 2的值( C ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0

D ．不确定

[解析] 根据余弦定理，得cos120°＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，即a 2＋c 2－b 2＝－ac ．故a 2＋ac ＋c 2－b 2＝0．

2．若1＋2＋22＋…＋2n >128，n ∈N *，则n 的最小值为( B ) A ．6 B ．7 C ．8

D ．9

[解析] 1＋2＋22＋…＋2n ＝2n ＋

1－1．∵2n ＋

1－1>128＝27，∴n ＋1>7，n >6．又∵n ∈N *，∴n 的最小值为7．

3．不等式y ≥|x |表示的平面区域是( A )

[解析] y ≥|x |⇔⎩

⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0

y ≥－x ，故选A ．

4．已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋1

2n ，则此数列的第三项是( C )

A ．1

B ．12

C ．34

D ．5

8

[解析] ∵a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋12n ，∴a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋14＝3

4，∴选C ．

5．已知A 为△ABC 的一个内角，且sin A ＋cos A ＝2

3

，则△ABC 的形状是( B ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形

D ．不确定

[解析] 解法一：∵sin A ＋cos A ＝23，∴(sin A ＋cos A )2＝29，∴2sin A ·cos A ＝－79

<0，∴A 为钝角，∴△ABC 的形状为钝角三角形．故选B ．

解法二：假设01

3．

∴sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4)≥1>23．与条件矛盾，∴A >π

2．故选B ．

6．(2016·北京理，5)已知x 、y ∈R ，且x >y >0，则( C )

A ．1x －1y >0

B ．sin x －sin y >0

C ．(12)x －(1

2

)y <0

D ．ln x ＋ln y >0

[解析] 解法一：因为x >y >0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1

y

＝1－2＝－1<0，排除A ；选项B ，取x

＝π，y ＝π2，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2＝－1<0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y ＝1

2，则ln x ＋ln y ＝ln(x ＋y )＝ln1

＝0，排除D ．故选C ．

解法二：因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x

在R 上单调递减，且x >y >0，所以⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫12y ，即⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0，故选C ． 7．下图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构可推知第n 个图有化学键( D )

A ．6n 个

B ．(4n ＋2)个

C ．(5n －1)个

D ．(5n ＋1)个

[解析] 各图中的“短线”个数依次为6,6＋5,6＋5＋5，…．若视6为5＋1，则上述数列为 1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5，…，于是第n 个图有化学键(5n ＋1)个．故选D ．

8．(2016·浙江文，5)已知a 、b >0，且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( D ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0

C ．(b －1)(b －a )<0

D ．(b －1)(b －a )>0

[解析] 根据题意，log a b >1⇔log a b >log a a ⇔⎩⎨⎧01

b >a

．

当⎩⎨⎧01b >a 时，b >a >1，∴b －1>0，b －a >0． ∴(b －1)(b －a )>0，故选D ．

9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝( C ) A ．52 B ．78 C ．104

D ．208

[解析] 由等差数列的性质得a 2＋a 7＋a 12＝3a 7＝24，∴a 7＝8，∴S 13＝

13(a 1＋a 13)2＝13×2a 7

2

＝13a 7，故选C ． 10．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A 、B 间距离是35 m ，则此电视塔的高度是( A )

A ．5 21 m

B ．10 m

C ．4 90013

m

D ．35 m

[解析] 作出示意图，设塔高OC 为h m ，

在Rt △AOC 中，OA ＝

h tan60°＝3

3

h ，OB ＝h ． AB ＝35，∠AOB ＝150°，由余弦定理得352＝(33h )2＋h 2－2×33

h ·h cos150°， 解得h ＝5

21．故选A ．

11．已知直线ax ＋by －6＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长