江苏省高三上学期10月联考数学试题
江苏盐城五校联考2025届高三10月月考数学试题
2024/2025学年度第一学期联盟校第一次学情调研检测高三年级数学试题（总分150分考试时间120分钟）注意事项：1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分．2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上．3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B 铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2340A x x x =--≤，{}20B x x =∈->N ，则A B = （）A.{3,4}B.{0,1}C.{}1,0,1- D.{2,3,4}2.半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（）A.1B.2C.4D.83.已知0x >，0y >，则（）A .ln ln ln ln 777x y x y+=+ B.()ln ln ln 777x y x y +=⋅C.ln ln ln ln 777x y x y⋅=+ D.()ln ln ln 777xy x y=⋅4.若正数,x y 满足2220x xy -+=，则x y +的最小值是（）A.B.2C. D.25.已知()1sin 3αβ-=，tan 3tan αβ=，则()sin αβ+=（）A.16B.13C.12D.236.若函数f （x ）=()12,152,1a x x lgx x ⎧-+≤⎨-->⎩是在R 上的减函数，则a 的取值范围是（）A.[)61-，B.()1-∞，C.()61-，D.()6-∞-，7.已知函数()()sin cos 06πf x x x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（）A ．811,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．811,33⎛⎤⎥⎝⎦C ．1013,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．1013,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭8.已知1,1a b >>.设甲：e e b a a b =，乙：b a a b =，则（）A.甲是乙的必要条件但不是充分条件B.甲是乙的充分条件但不是必要条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．下列导数运算正确的是（）10.已知函数()tan πf x x =，将函数()y f x =的图象向左平移13个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则下列描述中正确的是（）．A.函数()g x 的图象关于点2,03⎛⎫-⎪⎝⎭成中心对称 B.函数()g x 的最小正周期为2C.函数()g x 的单调增区间为51,33k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈ZD.函数()g x 的图象没有对称轴11.已知实数a ，b 是方程()230x k x k --+=的两个根，且1a >，1b >，则（）A.ab 的最小值为9B.22a b +的最小值为18C.3111a b +-- D.4a b +的最小值为12三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.命题“2024,lg x x ∀≥<”的否定为__________.13.若过点()0,0的直线是曲线()210y x x =+>和曲线ln 1ay x a x =-++的公切线，则a =________．14.已知函数()21y f x =+-为定义在R 上的奇函数，则()405112024i f i =-=∑______．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题13分）已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--．（1）求()f x 的最小正周期；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的集合．16.（本题15分）已知定义在R 上的奇函数()221x x af x -=+，其中0a >.(1)求函数()f x 的值域；(2)解不等式：()()2231f x f x +≤+17.（本题15分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和角π2π023βαβ⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A 、B 两点，点A 的横坐标为35，点C 与点B 关于x 轴对称．(1)求2πcos 22sin cos 2ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭+的值；(2)若63cos 65AOC ∠=-，求cos β的值．18.（本题17分）已知函数()12ln f x x x=+，()g x ax =．（1）求()f x 的单调区间；（2）当[1,)x ∈+∞时，()()g x f x ≥，求实数a 的取值范围；19.（本题17分）设集合A 为非空数集，定义{|,,},{|,,}A x x a b a b A A x x a b a b A +-==+∈==-∈.(1)若集合{}1,1A =-,直接写出集合A +及A -；(2)若集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<且A A -=，求证1423x x x x +=+；(3)若集合{|02024,N}A x x x ⊆≤≤∈且A A +-⋂=∅，求A 中元素个数的最大值.。
江苏省镇江市“五校联考”2025届高三上学期10月数学试卷
江苏省镇江市“五校联考”2025届高三上学期10月数学试卷一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3A =，{}1ln(1)2B x x =<+<，则A B =I （ ） A ．{}3 B ．{}1,2 C ．{}2,3 D ．{}1,2,3 2．将函数()sin f x x =的图象先向左平移π4个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，得到函数()y g x =的图象，则π2g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．1CD ．－13．已知函数()2121x f x =-+，则对任意实数x ，有（ ） A ．()()0f x f x -+=B ．()()0f x f x --=C ．()()2f x f x -+=D ．()()2f x f x --=4．“11a -<<”是“函数()()2lg 21f x x ax =-+的值域为R ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知α，β都是锐角，1cos 7α=，()11cos 14αβ+=-，求cos β=（ ） A ．12 B ．3998 C ．5998 D ．71986．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，则该沙漏的一个沙时大约是（ ）()3.14π≈A ．1895秒B ．1896秒C ．1985秒D ．2528秒7．在,,A B C 三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为5:7:8，现从这三个地区中任意选取一人，则这个人患流感的概率为（ ）A ．0.515B ．0.05C ．0.0495D ．0.0485 8．已知()2cos f x x x =--，若34e a f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4ln 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，14c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<二、多选题9．一组数据：x 1，x 2，…，x 10是公差为－2的等差数列，去掉首末两项x 1，x 10后得到一组新数据，则（ ）A ．两组数据的极差相同B ．两组数据的中位数相同C ．两组数据的平均数相同D ．两组数据的标准差相同10．已知函数π()sin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π3B ．点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心C ．若()(R)f x a a =∈在ππ,189x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1a ≤<D ．若()f x 的导函数为()f x '，则函数()()y f x f x =+'11．在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 满足1CP CD CC λμ=+u u u r u u u r u u u u r ，其中[][]0,1,0,1λμ∈∈，则下列结论正确的是（ ）A ．当1//B P 平面1A BD 时，1B P 不可能垂直1CDB ．若1B P 与平面11CCD D 所成角为π4，则点P 的轨迹长度为π2C ．当1λ=时，正方体经过点1A 、P 、C 的截面面积的取值范围为D ．当λμ=时，1||||DP A P +u u u r u u u r三、填空题12．设,A B 是一个随机试验中的两个事件，若()()()312,,533P B P A B P A B ===U ∣，则()P A =．13．高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：][2.13,3.13⎡⎤-=-=⎣⎦，若函数()2521x x f x +=+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为. 14．已知函数()32f x x x =+，若0m >，0n >，且()()()210f m f n f +-=，则12m n+的最小值是四、解答题15．设三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且()2sin 2A B C +=． (1)求角A 的大小；(2)若3b =，BC 边上的高为7ABC 的周长． 16．如图，一个质点在随机外力作用下，从原点O 处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位.(1)求质点移动5次后移动到1的位置的概率；(2)设移动5次中向右移动的次数为X ，求X 的分布列和期望.17．设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈.（1）求函数22y f x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小正周期； （2）求函数()4y f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值. 18．如图，直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB BC ⊥，60DAB ∠=︒，4AB AD ==，等腰直角三角形ADE 中，AE DE =，且平面ADE ⊥平面ABC ，平面ABE 与平面CDE 交于EF .(1)求证：CD EF ∥；(2)若CD EF =，求二面角A BC F --的余弦值.19．已知函数()1ln f x x a x x=--. (1)若不等式()0f x ≥在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；(2)证明：()()()22211ln 21ni n n i i n n =+-⎛⎫> ⎪+⎝⎭∑.。
2025届苏南十校高三数学上学期10月联考试题答案解析
江苏省“苏南十校联考”2025届高三10月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数21i z =-+（i 为虚数单位）的虚部是（ ）A. 1B. iC. i- D. 1-【答案】D 【解析】【分析】由复数的除法计算化简即可；【详解】()()()21i 21i 1i 1i 1i z --===---+-+--Q ，∴复数的虚部是 1.-故选：D2. 已知集合 {}{}2|20,|128,xA x x xB x x =--≤=≤≤∈Z ， 则A B = （ ）A. []1,3- B. {}0,1 C. []0,2 D. {}0,1,2【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次不等式求集合A ，根据指数函数单调性求集合B ，进而求交集.【详解】因为集合{}{}2|20|12A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}{}|128,|03,0,1,2,3x B x x x x x =≤≤∈=≤≤∈=Z Z ，所以{}0,1,2A B = ．故选：D ．3. 设公差0d ≠的等差数列{}n a 中，3a ，5a ，8a 成等比数列，则135147a a a a a a ++=++（ ）A.54B.34C.45 D.43【答案】C 【解析】【分析】利用等比数列求出首项与公差的关系，然后利用等差中项化简所求表达式即可．【详解】解：因为公差0d ≠的等差数列{a n }中，3a ，5a ，8a 成等比数列，所以2538a a a =⋅，即()()()2111427a d a d a d +=+⋅+，解得12d a =，所以1353311474413222433235a a a a a a d d d a a a a a a d d d ++++=====++++，故选： C ．4. 已知平面向量m ，n 满足：2m n == ，且m 在n 上的投影向量为12n - ，则向量m 与向量n 的夹角为（ ）A. 30o B. 60oC. 120D. 150【答案】C 【解析】【分析】根据投影向量得到2m n ⋅=-，求出1cos ,2m n =-，得到,120.m n =【详解】由m 在n 上的投影向量为12n - ，得12m n n n n n ⋅⋅=-，所以2m n ⋅=- ，所以22cos ,2m n m n ⋅=⨯=- ，所以1cos ,2m n =- ，又,0,180m n ⎡⎤∈⎣⎦，所以,120.m n =故选：C.5. 已知π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1tan tan 5αβ=，()tan αβ+=()cos αβ-=（ ）A.12 B.34C.38D.13【答案】B 【解析】【分析】利用()tan αβ+=得到π3αβ+=，求出1cos cos sin sin 2αβαβ-=，又1tan tan 5αβ=，故sin sin 1cos cos 5αβαβ=，联立求出5cos cos 81sin sin 8αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，利用余弦差角公式进行求解.【详解】因为π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()tan 0αβ+=> ，所以π0,2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π3αβ+=，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-=①，又因为1tan tan 5αβ=，所以sin sin 1cos cos 5αβαβ=②，①②联立解得 5cos cos 81sin sin 8αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()153cos cos cos sin sin 884αβαβαβ-=+=+=.故选：B6. 为迎接国庆假期，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，每位员工从中摸出2个小球.若摸到一红球一白球，可获得价值 a 百元代金券；摸到两红球，可获得价值 b 百元代金券;摸到两白球，可获得价值 ab 百元代金券（,a b 均为整数）.已知每位员工平均可得3.2百元代金券，则运气最好者获得至多（ ）百元代金券A. 5.4 B. 9C. 8D. 18【答案】C 【解析】【分析】先由古典概率计算摸到不同颜色球的概率，再由离散型随机变量的数学期望公式求得3313.251010a b ab ++=，然后讨论a 为1、2、3、4、5时b 的值即可.【详解】由题意得摸到一红球一白球的概率为113225C C 3C 5=，摸到两红球的概率为2325C 3C 10=，摸到两白球的概率为2225C 1C 10=，所以3313.251010a b ab ++=，即3 1.50.516a b ab ++=，又a ，b 均为正整数，所以当1a =时，有1.50.513b b +=，即 6.5(b =舍去);当a =2时，有6 1.516b b ++=，即2045b ==，此时运气最好者获得至多248⨯=百元代金券;当3a =时，有9 1.5 1.516b b ++=，即7(3b =舍去);当4a =时，有12 1.5216b b ++=，即8(7b =舍去);当5a =时，有15 1.5 2.516b b ++=，即0.25(b =舍去).综上，运气最好者获得至多8百元代金券.故选：C.7. 已知双曲线222:1(0)x C y a a-=>，点M 在C 上，过点M 作C 两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，若34MA MB ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A.54B.C. 2D.43【答案】B 【解析】【分析】设点()00,M x y ，利用点到直线的距离公式，结合点M 在C 上即可求解.【详解】设点()00,M x y ，则220021x y a-=，即222200x a y a -=，又两条渐近线方程为1y x a=±，即0x ay ±=，故有2234a MA MB c ⋅=，所以c e a ==故选：B.8. 已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()22f x f y f x y xy +=+-+，()12f =，则下列结论正确的是（ ）A. ()412f = B. 方程()2f x x =有解C. ()f x 是偶函数 D. 12f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数【答案】B 【解析】【分析】根据已知得到()()12f x f x x +-=，应用递推式及累加法求()f x 解析式，进而判断各项正误.【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，由()()()22f x f y f x y xy +=+-+，()12f =，取1x y ==，得()24f =，取2x y ==，得()414f =，故A 错误．取1y =，得()()12f x f x x +-=，所以()()()121f x f x x --=-，()()()1222f x f x x ---=-，⋯，()()212f f -=，以上各式相加得()()()()2212112x x f x f x x ⎡⎤-+⋅-⎣⎦-==-，所以()22f x x x =-+，不是偶函数，故C 错误；令()222f x x x x =-+=，得2320x x -+=，解得x =1或2，故B 正确；因为()22f x x x =-+，所以2211111(222224f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=---+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不是偶函数，故D 错误.故选：B二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设正实数,m n 满足1m n +=，则（ ）A.的最小值为12B.12m n+的最小值为3+C.D. 22m n +的最小值为12【解析】【分析】利用基本不等式判断A ，利用基本不等式“1”的妙用判断B ，利用平方法，结合基本不等式判断C ，利用完全平方公式，结合基本不等式判断D ，从而得解.【详解】对于A ，112m n =+≥⇒≤，当且仅当12m n ==取最大值12，故A 不正确；对于B ，因为正实数,m n 满足1m n +=，所以()12122333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当2n mm n =且1m n +=，即1,2m n =-=时取等号，所以12m n+的最小值为3+B 正确；对于C ，22m n m n m n =++≤+++=⇒≤，当且仅当12m n ==+≤C 错误；对于D 1124mn ≤⇒≤，因此()222212111242m n mn m m n n =+-=+≥-⨯=-，当且仅当12m n ==时取等号，则22m n +的最小值为12，故D 正确.故选：BD10. 已知函数()()π2sin (0,)2f x x ωϕωϕ=+><的图象过点()0,1A 和()00,2(0)B x x ->，且满足min ||AB = ）A.π6ϕ=B. 2π3ω=C. 当1,14x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 值域为[]0,1D. 函数()y x f x =-有三个零点【答案】ABD【分析】根据()0,1A 和ϕ的范围即可得π6ϕ=，进而根据min ||AB =2π.3ω=即可判断AB ，根据整体法即可求解C ，利用函数图象即可求解D.【详解】解：点()0,1A 代入解析式得，()2sin 01ωϕ⨯+=，即1sin 2ϕ=，又ππ26ϕϕ<∴= 故A 项正确.由min ||AB ==，解得02x =±， 又00x >Q ，02x ∴=，由A 项可知()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，则有()π22sin 226f ω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，因此πsin 216ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 又因为()0,1A 和()2,2B -和min ||AB =，可知，π3π2=62ω+，解得2π.3ω=故B 项正确.由AB 选项可知，()2ππ2sin +36f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则1,14x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2ππ5π0,366x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时函数()f x 值域为[]0,2.故C 项错误.由五点作图法作出()2ππ2sin 36f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象及y x =的图象，如下图所示。
江苏省2023-2024学年高三上学期10月阶段性联考试题 数学含解析
2023-2024学年度第一学期高三阶段性联考高三数学试题（答案在最后）命题人：审核人：注意事项：1．考试时间120分钟，试卷满分150分.2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3．请用2B 铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答.一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}012M =,,，{}2320N x x x =-+≤，则M N ⋂=（）A.{}1 B.{}2 C.{}0,1 D.{}1,22.i 是虚数单位，复数734ii+=+A.1i- B.1i-+ C.17312525i + D.172577i -+3.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为A.521B.1021C.1121D.14.已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A.a 2=2b 2B.3a 2=4b 2C.a =2bD.3a =4b5.函数y =2sin 2x x 的图象可能是A. B.C. D.6.若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=A.6425B.4825C.1D.16257.已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（）A.14B.12C.6D.38.当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（）A.1- B.12-C.12D.1二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.某中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分．得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（）A.该次数学史知识测试及格率超过90%B.该次数学史知识测试得满分的同学有15名C.该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D.若该校共有1500名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有720名10.已知函数2()2cos 21(0)f x x x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法正确的有（）A.1ω=B.函数()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数C.直线π3x =是函数()y f x =图象的一条对称轴D.点5π,012骣琪琪桫是函数()y f x =图象的一个对称中心11.已知0a >，0b >，且1a b +=，则下列结论正确的是（）A.ab 的最大值为14B.11a b+的最小值为4C.+的最大值为1D.1422a b a b+++的最小值为312.设抛物线C ：20)2(y px p =≥的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点()0,2，则抛物线C 的方程为（）A.24y x= B.28y x= C.216y x= D.22y x=三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a = ，3b =r ，则()2a b b +⋅= _________．14.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.15.过三点()0,0，()4,0，()1,1-的圆的方程是______．16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，直线y a =与双曲线C 交于M ，N 两点，直线y b =-与双曲线C 交于P ，Q 两点，若||||MN PQ =，则双曲线C 的离心率等于________．四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin =+b a C c A ．（1）求A ；（2）若2a =，求ABC 面积的最大值．18.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB 的中点，12,AA AC CB AB ====．（1）证明：1//BC 平面1ACD ；（2）求锐二面角1D A C E --的余弦值．19.设n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，224n n n a a S +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.设函数f(x)＝ax ＋(a ，b ∈Z)，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y ＝f(x)上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．21.已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为(25,0)-，5，点1A ，2A 为C 的左，右顶点．P 为直线1x =上的动点，1PA 与C 的另一个交点为M ，2PA 与C 的另一个交点为N ．（1）求C 的方程；（2）证明：直线MN 过定点．22.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[)20,25,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位:瓶)的分布列.(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y 的数学期望达到最大值?2023-2024学年度第一学期高三阶段性联考高三数学试题命题人：审核人：注意事项：1．考试时间120分钟，试卷满分150分.2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3．请用2B 铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答.一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}012M =,,，{}2320N x x x =-+≤，则M N ⋂=（）A.{}1 B.{}2 C.{}0,1 D.{}1,2【答案】D 【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合N ，再利用集合的交集运算即可得到结论．【详解】2{|320}{|(1)(2)0}{|12}N x x x x x x x x =-+=--= ，{}012M =,,{1M N ∴⋂=，2}，故选：D ．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，考查了一元二次不等式的解法，比较基础．2.i 是虚数单位，复数734ii+=+A.1i - B.1i-+ C.17312525i + D.172577i -+【答案】A 【解析】【详解】试题分析：()()()()()()7342142837134343425i i i ii i i i +-++-++===-++-，故选A ．考点：复数的运算．3.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为A.521B.1021C.1121D.1【答案】B 【解析】【分析】由从共有15个球中任取2个球，共有215C 种不同的取法，其中所取的2个球中恰有1个白球，1个红球，共有11510C C 种不同的取法，再利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解．【详解】由题意，从共有15个除了颜色外完全相同的球，任取2个球，共有215C 种不同的取法，其中所取的2个球中恰有1个白球，1个红球，共有11510C C 种不同的取法，所以概率为11510215501010521C C C ==，故选B.【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，以及古典概型及其概率的应用，其中解答中认真审题，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A.a 2=2b 2B.3a 2=4b 2C.a =2bD.3a =4b【答案】B 【解析】【分析】由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式.【详解】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =,故选B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.5.函数y =2sin 2x x 的图象可能是A. B.C. D.【答案】D 【解析】【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =，因为,()2sin 2()2sin 2()xx x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．6.若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=A.6425B.4825C.1D.1625【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．7.已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（）A.14B.12C.6D.3【答案】D 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，易得1q ≠，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，若1q =，则250a a -=，与题意矛盾，所以1q ≠，则()31123425111168142a q a a a qa a a q a q ⎧-⎪++==⎨-⎪-=-=⎩，解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以5613a a q ==.故选：D .8.当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（）A.1-B.12-C.12D.1【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知()12f =-，()10f '=即可解得,a b ，再根据()f x '即可解出．【详解】因为函数()f x 定义域为()0,∞+，所以依题可知，()12f =-，()10f '=，而()2a bf x x x '=-，所以2,0b a b =--=，即2,2a b =-=-，所以()222f x x x '=-+，因此函数()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，1x =时取最大值，满足题意，即有()112122f '=-+=-．故选：B.二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.某中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分．得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（）A.该次数学史知识测试及格率超过90%B.该次数学史知识测试得满分的同学有15名C.该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D.若该校共有1500名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有720名【答案】AC 【解析】【分析】A 选项，利用扇形图的数据得到及格率，B 选项先求出满分所占百分比，进而求出满分学生人数；C 选项，求出中位数和平均数，比出大小；D 选项先求出抽取的学生成绩优秀率，再估算出数学史知识测试成绩能得优秀的同学人数【详解】由图知，及格率为18%92%90%-=>，故A 正确．该测试满分同学的百分比为18%32%48%12%---=，即有12%15018⨯=名，B 错误．由图知，中位数为80分，平均数为408%6032%8048%10012%72.8⨯+⨯+⨯+⨯=分，故C 正确．由题意，1500名学生成绩能得优秀的同学有1500(48%12%)900⨯+=，故D 错误．故选：AC10.已知函数2()2cos 21(0)f x x x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法正确的有（）A.1ω=B.函数()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数C.直线π3x =是函数()y f x =图象的一条对称轴D.点5π,012骣琪琪桫是函数()y f x =图象的一个对称中心【答案】ABD 【解析】【分析】先根据降幂公式和辅助角公式化一，再根据正弦函数的周期性求出ω，再根据正弦函数的单调性和对称性逐一判断即可.【详解】2π()2cos 21cos 222sin 26f x x x x x x ωωωωω⎛⎫=-==+⎪⎝⎭，则2ππ2T ω==，所以1ω=，故A 正确；所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以πππ2,662x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，故B 正确；因为π2ππ2sin 1336f ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线π3x =不是函数()y f x =图象的一条对称轴，故C 错误；因为5π5ππ2sin 01266f ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点5π,012骣琪琪桫是函数()y f x =图象的一个对称中心，故D 正确.故选：ABD .11.已知0a >，0b >，且1a b +=，则下列结论正确的是（）A.ab 的最大值为14B.11a b+的最小值为4C.+的最大值为1D.1422a b a b+++的最小值为3【答案】ABD【分析】利用基本不等式即可判断AC ；根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断BD.【详解】对于A ，因为0a >，0b >，且1a b +=，所以()2144a b ab +≤=，当且仅当12a b ==时取等号，所以ab 的最大值为14，故A 正确；对于B ，()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭，当且仅当b aa b =，即12a b ==时取等号，所以11a b+的最小值为4，故B 正确；对于C ，因为a b +≥，所以()22a b a b +≥++，+≤=当且仅当12a b ==时取等号，C 错误；对于D ，由1a b +=，得()()22333a b a b a b +++=+=，则()()141142222322a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()421215533223a b a b a b a b ⎛+⎡⎤+ =++≥+=⎢ ++⎣⎦⎝，当且仅当()42222a b a b a b a b++=++，即0,1a b ==时，取等号，所以1422a b a b+++的最小值为3，故D 正确.故选：ABD .12.设抛物线C ：20)2(y px p =≥的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点()0,2，则抛物线C 的方程为（）A.24y x= B.28y x= C.216y x= D.22y x=【解析】【分析】结合抛物线的定义求得M 点的坐标，将M 点坐标代入抛物线方程，求得p ，由此求得抛物线C 的方程.【详解】因为抛物线C 的方程为()220y px p =>，所以焦点02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设(),M x y ，由抛物线的性质知52p MF x =+=，得52px =-．因为圆心是MF 的中点，所以根据中点坐标公式可得圆心的横坐标为52，由已知得圆的半径也为52，故该圆与y 轴相切于点()0,2，故圆心的纵坐标为2，则点M 的纵坐标为4，即5,42p M ⎛⎫-⎪⎝⎭，代入抛物线方程，得210160p p -+=，解得2p =或8p =．所以抛物线C 的方程为24y x =或216y x =．故选：AC三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a = ，3b =r ，则()2a b b +⋅= _________．【答案】11【解析】【分析】设a 与b的夹角为θ，依题意可得1cos 3θ=，再根据数量积的定义求出a b ⋅ ，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a = ，3b =r ，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯= ，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+= ．故答案为：11．14.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.【答案】36π.【分析】求出球的半径即可.【详解】解：因为正方体的顶点都在同一球面上，所以球的直径为正方体的对角线，所以26R ==，所以3R =，故球的表面积：24π36πS R ==.故答案为：36π.15.过三点()0,0，()4,0，()1,1-的圆的方程是______．【答案】()()222313x y -+-=【解析】【分析】根据圆心经过弦的中垂线可先求得圆心的坐标，再根据圆心到圆上的点的距离为半径求解即可【详解】由题，设()0,0A ，()4,0B ，()1,1C -，则AB 的中垂线方程为2x =，又()0,0A 和()1,1C -的中点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，且直线AC 的斜率为1-，故直线AC 的中垂线斜率为1，故直线AC 的中垂线方程为1122y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即1y x =+，故圆心的坐标为1y x =+与2x =的交点()2,3，半径r ==故圆的方程为()()222313x y -+-=故答案为：()()222313x y -+-=16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，直线y a =与双曲线C 交于M ，N 两点，直线y b =-与双曲线C 交于P ，Q 两点，若||||MN PQ =，则双曲线C 的离心率等于________．【答案】3【解析】【分析】将y a =代入双曲线方程可求||MN ，将y b =-代入双曲线可求||PQ ，根据MN =，得出,,a b c 的齐次式，从而可求离心率.【详解】将y a =代入22221x y a b-=，得22221a x a b -=，即()22242222a b a a x a b b=+=+，解得x =所以MN =将y b =-代入22221x y a b-=，得222x a =，即222x a =，解得x =，所以PQ =，因为MN =，所以222MN PQ =，即()22222416a b a a b +=，所以223a b=，所以双曲线C 的离心率为233e ===.故答案为：3.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin =+b a C c A ．（1）求A ；（2）若2a =，求ABC 面积的最大值．【答案】（1）π4A =（21【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合三角形得内角和定理及两角和的正弦公式化简即可得解；（2）利用余弦定理结合基本不等式求出bc 的最大值，再结合三角形的面积公式即可得解.【小问1详解】因为cos sin =+b a C c A ，由正弦定理得sin sin cos sin sin B A C C A =+，又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，所以sin cos cos sin sin cos sin sin A C A C A C C A +=+，即cos sin sin sin A C C A =，又()0,πC ∈，则sin 0C >，所以tan 1A =，又因()0,πA ∈，所以π4A =；【小问2详解】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即2242b c bc =+≥，所以4bc ≤=+当且仅当b c =时取等号，所以12sin 124ABC S bc A bc ==≤△，即ABC 1．18.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB 的中点，12,AA AC CB AB ====．（1）证明：1//BC 平面1ACD ；（2）求锐二面角1D A C E --的余弦值．【答案】（1）证明见详解（2）33【解析】【分析】（1）利用中位线定理证得1OD BC ∥，再利用线面平行的判定定理即可证得；（2）易证ACBC ⊥，建立空间直角坐标系C xyz -，分别求出面1A CD 的法向量n 与面1A CE 的法向量m，进而求出cos ,n m 〈〉，故得到锐二面角1D A C E --的余弦值.【小问1详解】连结1AC ,交1AC 于点O ，连结DO ，因为在直三棱柱111ABC A B C -中，面11AA C C 是矩形，则O 为1AC 的中点，又因为D 为AB 的中点，所以1OD BC ∥，又因为OD ⊂平面1A CD ,1BC ⊄平面1A CD ,所以1//BC 平面1ACD ；【小问2详解】由12,22AA AC CB AB ====，可知AC BC ⊥,以C 为坐标原点，CA 方向为x 轴正方向，CB方向为y 轴正方向，1CC方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,2,0,0,2,2C A B B ，()()()11,1,0,0,2,1,2,0,2D E A ,()1,1,0CD = ,()0,2,1CE = ,()12,0,2CA =，设(),,n x y z =r 是平面1ACD 的法向量，则100n CD n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0220x y x z +=⎧⎨+=⎩，可取()1,1,1n =--；同理，设(),,m a b c =是平面1A CE 的法向量，则100m CE m CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220b c a c +=⎧⎨+=⎩，可取()2,1,2=-r m ，从而cos ,3n m n m n m ⋅〈〉===，所以锐二面角1D A C E --的余弦值为3.19.设n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，224n n n a a S +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）2n a n =；（2）4(1)nn +．【解析】【详解】分析：（1）利用n S 与n a 的关系式即可求出n a ；（2）裂项相消法求和.详解：（1）由224n n n a a S +=，知211124n n n a a S ++++=.两式相减，得()2211124n n n n n a a a a a +++-+-=，即()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-.因为0n a >，所以12n n a a +-=.又因为211124a a a +=，解得10a =（舍去）或12a =.所以{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，通项公式为2n a n =.（2）由2n a n =可知()11111122241n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭.∴12n n T b b b =++⋅⋅⋅+111111142231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()41n n =+.点睛：利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．20.设函数f(x)＝ax ＋(a ，b ∈Z)，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y ＝f(x)上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．【答案】(1)f(x)＝x＋；(2)证明见解析【解析】【详解】(1)解f′(x)＝a－，()()'2023f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得或因为a ，b ∈Z ，故f(x)＝x＋.(2)在曲线上任取一点，由f′(x 0)＝1－知，过此点的切线方程为y －＝[1－](x －x 0)．令x ＝1，得y＝，切线与直线x ＝1的交点为(1,)；令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)；直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)，从而所围三角形的面积为|2x 0－1－1|＝2.所以，所围三角形的面积为定值2.21.已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为(25,0)-，5，点1A ，2A 为C 的左，右顶点．P 为直线1x =上的动点，1PA 与C 的另一个交点为M ，2PA 与C 的另一个交点为N ．（1）求C 的方程；（2）证明：直线MN 过定点．【答案】（1）221416x y -=（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，列出方程，求得,a b ，即可得到C 的方程；（2）根据题意，分别得到,M N 的坐标，然后分直线MN 的斜率存在以及不存在分别讨论，即可得到结果.【小问1详解】由题意可设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，左焦点为(25,0)-，则5c =，离心率为5，则255c e a a===2a =，22220416b c a =-=-=，则C 的方程为221416x y -=.【小问2详解】因为点1A ，2A 为C 的左，右顶点，P 为直线1x =上的动点，所以()()122,0,2,0A A -，设()1,P t ，()()1122,,,M x y N x y ，则直线1PA 的方程为()23ty x =+，联立直线1PA 与双曲线的方程可得()22231416t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 可得()222236441440t xt x t ----=，方程两根为1,2x -，由韦达定理可得2124144236t x t +-=-，所以21227236t x t +=-，()112482336t t y x t =+=-，即22227248,3636t t M t t ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭；设直线2PA 方程为()2y t x =--，联立直线2PA 与双曲线的方程可得()2221416y t x x y ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩，消去y 可得()2222444160t xt x t -+--=，方程两根为2,2x ，由韦达定理可得22241624t x t +=-，则222284t x t +=-，()2221624t y t x t -=--=-，即2222816,44t t N t t ⎛⎫+- ⎪--⎝⎭；由对称性可知，若直线MN 过定点，则定点在x 轴上，当直线MN 的斜率不存在时，222227228364t t t t ++=--，可得212t =，此时，124x x ==，则直线MN 经过点()4,0E ，当212t ≠时，22224883627212436MEt t t k t t t -==+---，22221684281244NE MEt t t k k t t t --===+---，所以,,M N E 三点共线，即直线MN 经过点()4,0E .综上，直线MN 经过定点()4,0.22.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[)20,25,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位:瓶)的分布列.(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位:瓶)为多少时,Y 的数学期望达到最大值?【答案】（1）详见解析；（2）300.【解析】【分析】（1）由题意知的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列．（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑200500n ≤≤，根据300500n ≤≤和200300n ≤≤分类讨论．【详解】解：（1）由题意知，所有的可能取值为200，300，500，由表格数据知的分布列为2003005000.20.40.4（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200500n ≤≤当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则2n ；若最高气温位于区间，则1200-2n ；若最高气温低于20，则=800-2n因此当00时，若最高气温不低于20，则2n ，若最高气温低于20，则=800-2n ，因此160+1.2nn 时，的数学期望达到最大值，最大值为520元．所以300。
江苏省盐城市五校联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题
江苏省盐城市五校联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}2340A x x x =--≤，{}20B x x =∈->N ，则A B =I （ ）A ．{3,4}B ．{0,1}C ．{}1,0,1-D ．{2,3,4}2．半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（ ） A ．1B ．2C ．4D ．83．已知0x >，0y >，则（ ） A ．ln ln ln ln 777x y x y +=+ B ．()ln ln ln 777x y x y +=⋅ C ．ln ln ln ln 777x y x y ⋅=+D ．()ln ln ln 777xy x y =⋅4．若正数,x y 满足2220x xy -+=，则x y +的最小值是（ ）A B C ．D ．25．已知()1sin 3αβ-=，tan 3tan αβ=，则()sin αβ+=（ ）A ．16B ．13C ．12D ．236．若函数()()12,152lg ,1a x x f x x x ⎧-+≤=⎨-->⎩是在R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)6,1-B ．(),1-∞C ．()6,1-D ．(),6-∞-7．已知函数()()sin cos 06f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．811,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．811,33⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1013,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1013,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．已知1,1a b >>.设甲：e e b a a b =，乙：b a a b =，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件二、多选题9．下列导数运算正确的是（ ） A ．'211x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()e e x x --='C ．21(tan )cos x x =' D ．1(lg )ln10x x =' 10．已知函数()tan πf x x =，将函数()y f x =的图象向左平移13个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则下列描述中正确的是（ ）．A ．函数()g x 的图象关于点2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称B ．函数()g x 的最小正周期为2C ．函数()g x 的单调增区间为51,33k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈ZD ．函数()g x 的图象没有对称轴11．已知实数a ，b 是方程()230x k x k --+=的两个根，且1a >，1b >，则（ ）A ．ab 的最小值为9B ．22a b +的最小值为18C ．3111a b +--D ．4a b +的最小值为12三、填空题12．命题“2024,lg x x ∀…的否定为.13．若过点()0,0的直线是曲线()210y x x =+>和曲线ln 1ay x a x =-++的公切线，则a =． 14．已知函数()21y f x =+-为定义在R 上的奇函数，则()405112024i f i =-=∑．四、解答题15．已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--． （1）求f (x )的最小正周期；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求f (x )的最小值以及取得最小值时x 的集合．16．已知定义在R 上的奇函数()221x x af x -=+，其中0a >.(1)求函数()f x 的值域； (2)解不等式：()()2231f x f x +≤+.17．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和角π2π023βαβ⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A 、B 两点，点A 的横坐标为35，点C 与点B 关于x 轴对称．(1)求2πcos 22sin cos 2ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭+的值； (2)若63cos 65AOC ∠=-，求cos β的值． 18．已知函数()()12ln ,f x x g x ax x =+=.(1)求()f x 的单调区间；(2)当[)1,x ∞∈+时，()()g x f x ≥，求实数a 的取值范围；19．设集合A 为非空数集，定义{}{},,,|,,A xx a b a b A A x x a b a b A +-==+∈==-∈∣. (1)若集合{}1,1A =-，直接写出集合A +及A -；(2)若集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<且A A -=，求证1423x x x x +=+；(3)若集合{}02024,A xx x ⊆≤≤∈N ∣且A A +-⋂=∅，求A 中元素个数的最大值.。
2025届“苏南十校联考”高三10月联考数学试题+答案
江苏省“苏南十校联考”2025届高三10月联考数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数zz=2−1+ii(ii为虚数单位)的虚部是( )A. 1B. iC. −iiD. −12.已知集合AA={xx|xx2−xx−2≤0}，BB={xx|1≤2xx≤8,xx∈ZZ}，则AA∩BB=( )A. [−1,3]B. {0,1}C. [0,2]D. {0,1,2}3.设公差dd≠0的等差数列{aa nn}中，aa3，aa5，aa8成等比数列，则aa1+aa3+aa5aa1+aa4+aa7=( )A. 54B. 34C. 45D. 434.已知平面向量mm���⃗，nn�⃗满足：|mm���⃗|=|nn�⃗|=2，且mm���⃗在nn�⃗上的投影向量为−12nn�⃗，则向量mm���⃗与向量nn�⃗的夹角为( )A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘5.已知αα，ββ∈(0,ππ2)，tanααtanββ=15，tan(αα+ββ)=√ 3，则cos(αα−ββ)=( )A. 12B. 34C. 38D. 136.为迎接国庆假期，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，每位员工从中摸出2.若摸到一红球一白球，可获得价值 a百元代金券;摸到两红球，可获得价值 b百元代金券;摸到两白球，可获得价值 ab百元代金券(aa,bb均为整数).已知每位员工平均可得3.2百元代金券，则运气最好者获得至多( )百元代金券A. 5.4B. 9C. 8D. 187.已知双曲线CC:xx2aa2−yy2=1(aa>0)，点M在C上，过点M作C两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若|MMAA|⋅|MMBB|=34，则双曲线C的离心率为( )A. 54B. 2√ 33C. 2D. 438.已知函数ff(xx)的定义域为R，且满足ff(xx)+ff(yy)=ff(xx+yy)−2xxyy+2，ff(1)=2，则下列结论正确的是( )A. ff(4)=12B. 方程ff(xx)=2xx有解C. ff(xx)是偶函数D. ff(xx−12)是偶函数二、多选题：本题共3小题，共18分。
2025届江苏南京六校联合体高三10月联考数学试题+答案
2024-2025学年第一学期六校联合体10月联合调研高三数学2024.10.22注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x| x 2－2x －8＜0}，B ＝{x| x ≤4 }，则“x ∈A ”是“x ∈B ”A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 2．若复数z 满足－z ＝2－i3＋i，则|z |＝ A ．510 B ．102 C ．22D ．123．甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为A ．6B ．12C ． 18D ． 24 4．已知等比数列{a n }满足a 4a 5a 6＝64，则a 2a 4＋a 6a 8的最小值为A ．48B ．32C ．24D ．85．已知函数f (x )＝－13x 3＋ax 2－a －4(x ≥0)ax －sin x (x ＜0)在R 上单调，则实数a 的取值范围为 A ．()－∞，－1 B ．(]－∞，－1 C ．[)－4，－1 D ．[]－4，－16．已知圆(x －2)2＋y 2＝1与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线交于A ，B 两点，且|AB |＝1，则该双曲线的离心率为A ．2B ．13C ．21313D ．413137．已知函数f (x )＝(x －4)3 cos ωx (ω＞0)，存在常数a ∈R ，使f (x ＋a )为偶函数，则ω的最小值为A ．π12B ．π8C ．π4D ． π28．已知2024m ＝2025，2023m ＝x ＋2024 ，2025m ＝y ＋2026，则A ．0＜x ＜yB ．x ＜y ＜0C ．y ＜x ＜0D ．x ＜0＜y9．下列说法中正确的是A ．若随机变量X ~B (10，p )，且E (X )＝3，则D (X )＝2.1B ．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，7，9，5，这组数据的75百分位数为7C ．若随机变量ξ～N (μ，σ2)，且P (ξ＞3)＝P (ξ＜－1)＝p ，则P (1≤ξ≤3)＝12－pD ．若变量y 关于变量x 的线性回归方程为^y ＝x ＋t ，且－x ＝4，－y ＝2t ，则t ＝4310．已知棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，球O 是该正方体的内切球，E ，F ，P 分别是棱AA 1，BC ，C 1D 1的中点，M 是正方形BCC 1B 1的中心，则 A ．球O 与该正方体的表面积之比为π6B ．直线EF 与OM 所成的角的正切值为2C ．直线EP 被球O 截得的线段的长度为22D ．球O 的球面与平面APM 的交线长为4π11．已知函数f (x )＝x 3＋mx ＋1，则A ．当m ＝－1时，过点(2，2)可作3条直线与函数f (x )的图象相切B ．对任意实数m ，函数f (x )的图象都关于(0，1)对称C ．若f (x )存在极值点x 0，当f (x 1)＝f (x 0)且x 1≠x 0，则x 1＋32x 0＝0D ．若有唯一正方形使其4个顶点都在函数f (x )的图象上，则m ＝－22三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(2，1)，a －b ＝(－2，4)，则|a |－|b |＝_______．13．某个软件公司对软件进行升级， 将序列A ＝(a 1，a 2，a 3，···)升级为新序列A*＝(a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，···)， A*中的第n 项为a n +1－a n ， 若(A*)*的所有项都是3，且a 4＝11， a 5＝18，则a 1＝_______．14．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点D (－1，0)的直线l 在第一象限与C 交于A ，B 两点，且BF 为∠AFD 的平分线，则直线l 的方程为_______．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．（本题满分13分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，AB ⊥AD ，P A ＝PD ， AB ＝2，AD ＝8，AC ＝CD ＝5(1)求证：平面PCD ⊥平面P AB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．16．（本题满分15分）已知△ABC 的角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，2b cos A ＝2c －3a (1)求B ；(2)若cos A ＝sin C －1，CA →＝4CD →，BD ＝37，求△ABC 的面积．17．（本题满分15分）某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用RLHF （人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%．(1)在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4个，以X 表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X 的分布列和数学期望；(2)设输入的问题出现语法错误的概率为p ，若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p 的值．18．（本题满分17分） 已知f (x )＝ln(x ＋1)(1) 设h (x )＝x f (x －1)，求h (x )的极值．(2) 若f (x )≤ax 在[0，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．(3) 若存在常数M ，使得对任意x ∈I ，f (x )≤M 恒成立，则称f (x )在I 上有上界M ，函数f (x )称为有上界函数．如y ＝e x 是在R 上没有上界的函数， y ＝ln x 是在(0，＋∞)上没有上界的函数；y ＝－e x ，y ＝－x 2都是在R 上有上界的函数．若g (n )＝1＋12＋13＋···＋1n (n ∈N *)，则g (n )是否在N *上有上界? 若有，求出上界；若没有，给出证明．19．（本题满分17分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，C 的上顶点为B ，左右顶点分别为A 1、A 2，左焦点为F 1，离心率为12．过F 1作垂直于x 轴的直线与C 交于D ，E 两点，且| DE |＝3．(1)求C 的方程；(2)若M ，N 是C 上任意两点①若点M (1，32)，点N 位于x 轴下方，直线MN 交x 轴于点G ，设△MA 1G 和△NA 2G 的面积分别为S 1，S 2，若2S 1－2S 2＝3，求线段MN 的长度；②若直线MN 与坐标轴不垂直，H 为线段MN 的中点，直线OH 与C 交于P ，Q 两点，已知P ，Q ，M ，N 四点共圆， 求证：线段MN 的长度不大于14．高三2024-2025学年第一学期六校联合体10月联合调研数学参考答案 2024.10一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．C 2．C 3．A 4．B 5．D 6．D 7．B 8．D二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9． AC 10．ACD 11．ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12．0 13．8 14．y =32x ＋32四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）解：（1）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD AD =，且AB AD ⊥，AB ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥平面PAD ，………………...........................2分 ∵PD ⊂平面PAD ，∴AB PD ⊥，又PD PA ⊥，且PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ， ∴PD ⊥平面PAB ；…………................................……..4分又PD ⊂平面PAD ，所以平面⊥PCD 平面PAB ………………..6分 （2）取AD 中点为O ，连接CO ，PO 又因为PD PA =，所以AD PO ⊥ 则4==PO AO因为5==CD AC ，所以AD CO ⊥，则322=−=AO AC CO以O 为坐标原点，分别以OP OA OC ,,所在直线为z y x ,,轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O − 则)4,0,0(),0,4,0(),0,0,3(),0,4,2(),0,4,0(P D C B A −,)4,4,0(),4,0,3(−−=−=PD PC ，)4,4,2(−=PB ......................................……..8分设),,(z y x n =是平面PCD 的一个法向量，则,00 =⋅=⋅PD n PC n 得=+=−0043z y z x ，令,3=z 则3,4−==y x ， 所以)3,3,4(−=n ……………............................................…..10分设PB 与平面PCD 所成的角为θ所以PB 与平面PCD 所成的角的正弦值为51344………………..13分16．（本小题满分15分）解：因为2cos 2b Ac =−，所以2sin cos 2sin B A C A =−2sin cos 2sin()2sin cos 2cos sin B A A B A A B A B A =+=+所以B A A cos sin 2sin 3=…………..3分 在ABC ∆中，0sin ≠A ,所以23cos =B ，所以6π=B …………..5分 （2）由1sin cos −=C A ，得1sin -65cos −=C C ）（π， 1sin sin 65sincos 65cos−=+C C C ππ，1)3sin(=+πC ………..7分 因为π<<C 0,所以3433πππ<+<C ，所以23ππ=+C ，所以6π=C …………..9分所以c b A ==，32π在ABD ∆中, ,4CD CA =所以b AD 43=A AD AB AD AB BD cos 237222⋅−+==)21(43216922−⋅⋅−+=b b b b ，得4==c b ，…………………………………………………………....13分所以ABC ∆的面积.34234421sin 21=⋅⋅⋅=⋅=A AC AB S ………………..15分17．（本小题满分15分）（1）由题可知X 的所有取值为1，2，3，4，P (X ＝1)＝C 15C 33C 48＝570＝114P (X ＝2)＝C 25C 23C 48＝3070＝37P (X ＝3)＝C 35C 13C 48＝3070＝37P (X ＝4)＝C 45C 03C 48＝570＝114，………………………………8分故X 的分布列为：则E (X )＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52．………………………………9分由已知得，P (C )＝0.7，P (C |A )＝0.8，P (C |B )＝0.4，P (B )＝p ，P (A )＝1－p ， 所以由全概率公式得P (C )＝P (A )·P (C |A )＋P (B )·P (C |B )＝0.8(1－p )＋0.4p ＝0.8－0.4p ＝0.7，…………14分 解得p ＝0.25．……………………………………………………………………15分18．（本小题满分17分）解：(1) h ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0)令h ′(x )＝0则x ＝1e ……………………………………………………………2分所以在(0，1e)上h ′(x ) ＜0，h (x )递减；在(1e，＋∞)上，h ′(x )＞0，h (x )递增； 所以函数h (x )有极小值h (1e )＝－1e，函数没有极大值．（未写极大值扣1分）…………4分 (2)设m (x )＝ln(x ＋1)－ax (x ≥0)，m (0)＝0m ′(x )＝1x +1－a当a ≤0时, m ′(x )＞0, m (x )单调递增，m (x )≥0，显然不满足. …………………………6分 当0＜a ＜1时,令 m ′(x ) ＝0, ∃x 0使m ′(x 0)＝0，在(0，x 0)上，m (x )单调递增；在( x 0，＋∞)上，m (x )单调递减，显然不成立；…………………………………………………………8分当a ≥1时，m ′(x )＜0，m (x )单调递减，m (x )≤m (0)=0；…………………………………10分 综上：a ≥1. ………………………………………………………………………………11分 (3)没有上界，理由如下：由(1)可知，ln(x ＋1)≤x 在[0，＋∞)上恒成立，令x ＝1n ，则ln(1n ＋1)≤1n ，…………………………………………………………………13分所以ln(11＋1)＜11，ln(12＋1)＜12，ln(13＋1)＜13．．．ln(1n ＋1)＜1n，…………………………15分将上式相加，ln(n ＋1)＜1＋12＋13＋．．＋1n＝g (n )由于ln(n ＋1)没有上界，故g (n )也没有上界. …………………………………………17分 19．（本小题满分17分） 解：（1）由离心率为12，得b 2 a 2＝34，由DE ＝3得2b 2a ＝3， 解得a ＝2，b ＝ 3所以故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1…………………………………………………………3分（2）由（1）可得A 2(2,0)，连接MA 2，因为S 1－S 2=S △MA 1A 2－S △MNA 2=32，S △MA 1O =32，所以S △NGA 2=S △MOG ，得S △NMA 2=S △MOA 2;所以ON ∥MA 2，所以直线ON 的方程为，y ＝－32x ,……………………………………6分由 y ＝－32x ，x 24＋y23＝1．得N (1,－32)，N (－1,32)（舍去）. 所以|MN |=3 …………………………………………………8分（3）设直线MN :y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2),P (x 3，y 3)，H (x 0，y 0)则Q (－x 3，－y 3).联立 y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1．可得，(3+4k 2)x 2+8mkx+4m 2－12＝0，所以，x 1＋x 2＝－8mk4k 2+3，x 1x 2＝4m 2－124k 2+3，………………………………………10分 y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m4k 2+3Δ＝64m 2k 2＋16(m 2－3)(4k 2+3)＞0,得m 2－3－4k 2<0． 所以中点H 的坐标为(－4mk 4k 2+3，3m 4k 2+3)，所以k OH ＝－34k, 故直线OH ：y ＝－34k x. ………………………………………12分由P ，Q ，M ，N 四点共圆，则|HM |·|HN |＝|HP |·|HQ |,………………………………14分 由|HM |·|HN |=14|MN |2=14(1+k 2)[(x 1＋x 2)2－x 1x 2]=12(1+k 2).4k 2+3－m 2(4k 2+3)2; 联立y ＝－34k x ，x 24＋y 23＝1．可得，x 2＝16k 24k 2+3，所以x 23＝16k 24k 2+3， 所以|HP |·|HQ |=(1+916k 2)|x 20－x 23|=(9+16k 2).4k 2+3－m 2(4k 2+3)2所以12(1+k 2)=9+16k 2得，k =±32……………………………………………………16分 所有m 2<3+4k 2=6，得m ∈(－ 6 ,6)，|MN |2=48(1+k 2).4k 2+3－m 2(4k 2+3)2=42－7m 23 ≤14 即|MN |≤14…………………………………………………………………………17分。
2023-2024学年江苏省扬州中学高三上学期10月月考数学试题及答案
高三数学10月考试一、单选题1. sin1050︒=（ ）A.12B. 12-C.D. 2. 已知集合{}210xA x =->，{}2230B x x x =+-<，则A B = （ ） A. ()0,3 B. ()0,1C. ()3,-+∞D. ()1,-+∞3. 已知()f x =，则()f x '=（ ）A.B.C.D.4. 已知函数()()sin R f x ax x a =-∈，则“1a =”是“()f x 在区间π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增”的（ ） A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5. 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移()m y 和时间()s t 的函数关系为()()sin 0,πy t ωϕωϕ=+><，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为1t ，2t ，()31230t t t t <<<，且122t t +=，235t t +=，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（ ）A.1s 3B.2s 3C. 1sD.4s 36. 已知α为锐角，若π4cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7πsin 212α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A.B.C.D.7. 已知函数()cos f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到，若函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A. 4(0,]9B. 48[,]99C. 48(,99D. 8(0,]98. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且满足()2(6)f x f x =--，()2(4)f x f x ''=--，(3)1f '=-，若()(3)5g x f x =-+，则()181k g k ='=∑（ ）A. 18-B. 20-C. 88D. 90二、多选题9. 下列求解结果正确的是（ ）A.3⨯= B. ()22lg 2lg 5lg 20lg 2lg 50lg 256+++= C. 不等式(10x -≥的解集为[)1,+∞ D. 若sin 1cos 12αα=--，则1cos 1sin 2αα+= 10. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法中正确的是（ ） A. 若sin sin A B >，则A B >B. 若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 锐角三角形C. 若10a =，8b =，60A =︒，则符合条件的ABC 有两个D. 对任意ABC ，都有cos cos 0A B +>11. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x x f x a b -=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e 2.71828=⋅⋅⋅），对于函数()f x 以下结论正确的是（ ）A. a b =是函数()f x 为偶函数的充分不必要条件；是B. 0a b +=是函数()f x 为奇函数充要条件；C. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数；D. 如果0ab >，那么函数()f x 存在极值点.12. 在ABC 中，角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，已知sin sin sin A B C =，则下列说法正确的是（ ）A. 2222tan 2b c a A a+-= B. 212ABC S a = C.sin sin sin sin B CC B +有最大值 D. 245a bc ≤三、填空题13. 若函数()2lg 1)f x x mx -+=(的值域为R ，则实数m 的取值范围是________________．14. 定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()22x x f x a -=-⋅，当0x <时，()f x =________． 15. 已知lg lg lg 5a b c a b c =，lg lg lg b c a a b c =abc 的值为___________.16. 在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3b =，sin sin A a B +=，则ABC 周长的取值范围为______.四、解答题17. 已知0x >，0y >，且21x y +=． （1）求xy 的最大值； （2）求21x y+的最小值． 18. 已知函数()e 1exxa f x -=+奇函数. （1）求a 的值；（2）若存在实数t ，使得()()22220f t t f t k -+->成立，求k 的取值范围. 19.在①2sin sin 2sin cos A B C B -=，②()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-，③()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答． 问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且____． （1）求角C ；的的为（2）若2c =，求2a b -取值范围． 20. 已知函数()()sin cos 2sin 22f x x x b x =++-，（R a ∈，R b ∈）（1）若1a =，0b =，证明：函数()()12g x f x =+在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有1个零点； （2）若对于任意的R x ∈，()0f x ≤恒成立，求a b +的最大值和最小值.21. 铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相对转动的机械装置.铰链由可移动的组件构成，或者由可折叠的材料构成，合页主要安装与门窗上，而铰链更多安装与橱柜上，如图所示，,OA OC 就是一个合页的抽象图，AOC ∠可以在[]0,π上变化，其中28OC OA cm ==，正常把合页安装在家具门上时，AOC ∠的变化范围是π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，根据合页的安装和使用经验可知，要使得安装的家具门开关并不受影响，在以AC 为边长的正三角形ABC 区域内不能有障碍物.（1）若π2AOC ∠=使，求OB 的长； （2）当AOC ∠为多少时，OBC △面积取得最大值？最大值是多少？ 22. 已知函数sin ()2cos xf x ax x=-+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若0x ∀>都有()0f x >，求a 的取值范围．的高三数学10月考试一、单选题1. sin1050︒=（ ）A.12B. 12-C.D. 【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式化简，即可计算得结果. 【详解】()1sin1050sin 336030sin 302︒︒︒︒=⨯-=-=-.故选：B【点睛】本题考查诱导公式的化简求值，属于基础题.2. 已知集合{}210xA x =->，{}2230B x x x =+-<，则A B = （ ） A. ()0,3 B. ()0,1C. ()3,-+∞D. ()1,-+∞【答案】B 【解析】【分析】先将集合A 和集合B 化简，再利用集合的交集运算可得答案. 【详解】210x -> ，即0212x >=， 由指数函数的单调性可得，0x >，{}0A x x ∴=>，由2230x x +-<，解得31x -<<，{}31B x x ∴=-<<， {}()010,1A B x x ∴⋂=<<=.故选：B.3. 已知()f x =，则()f x '=（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．【详解】()()124f x x ==+，则()()12142f x x -'=+=．故选：D4. 已知函数()()sin R f x ax x a =-∈，则“1a =”是“()f x 在区间π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用导数求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】当1a =时，()sin x x x f =-，()1cos 0f x x '=-≥，∴()f x 在R 上单调递增，故充分性成立， 当()f x 在π,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增，∴()cos 0x a x f '=-≥，即cos a x ≥，∴1a ≥，故必要性不成立， 所以“1a =”是“()f x 在区间π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增”的充分不必要条件. 故选：B5. 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移()m y 和时间()s t 的函数关系为()()sin 0,πy t ωϕωϕ=+><，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为1t ，2t ，()31230t t t t <<<，且122t t +=，235t t +=，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（ ）A.1s 3B.2s 3C. 1sD.4s 3【答案】C 【解析】【分析】先根据周期求出2π3ω=，再解不等式2πsin 0.53t ϕ⎛⎫+>⎪⎝⎭，得到t 的范围即得解. 【详解】因为122t t +=，235t t +=，31t t T -=，所以3T =，又2πT ω=，所以2π3ω=， 则2πsin 3y t ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由0.5y >可得2πsin 0.53t ϕ⎛⎫+> ⎪⎝⎭， 所以π2π5π2π2π636k t k ϕ+<+<+，Z k ∈， 所以13533342π42πk t k ϕϕ+-<<-+，Z k ∈，故531333142π42πk k ϕϕ⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为1s. 故选：C.6. 已知α为锐角，若π4cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7πsin 212α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据α为锐角，π4cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得到πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用二倍角公式得到πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后再由7πππsin 2sin 21234αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦求解. 【详解】αQ 为锐角，ππ2ππ4,cos 66365αα⎛⎫<+<+= ⎪⎝⎭， π3sin 65α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，πππ24sin 22sin cos 36625ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且2ππ7cos 22cos 13625αα⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故7πππsin 2sin 21234αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ππππsin 2cos cos 2sin 3434αα⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2472525=+ 故选：D ．7. 已知函数()cos f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到，若函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A. 4(0,]9B. 48[,]99C. 48(,99D. 8(0,]9【答案】A 【解析】【分析】由函数()cos f x x =，根据三角函数的图象变换得到()cos 6g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()cos 06g x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可.【详解】函数()cos f x x =，向右平移6π个单位长度，得cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()cos 06g x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 得62x k ππωπ-=+，所以123x k ππω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则需3222T πππ>-=，所以22ππω>，所以01ω<<， 若函数()g x 在3(,)22ππ上有零点，则123232k ππππω⎛⎫<+< ⎪⎝⎭， 当k =0时，得123232ω<<，解得4493ω<<，当k =1时，得153232ω<<，解得101093ω<<， 综上：函数()g x 在3(,22ππ上有零点时，4493ω<<或101093ω<<， 所以函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，409ω<≤. 所以ω的取值范围是4(0,]9.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及函数零点问题，还考查了转化求解问题的能力，属于难题. 8. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且满足()2(6)f x f x =--，()2(4)f x f x ''=--，(3)1f '=-，若()(3)5g x f x =-+，则()181k g k ='=∑（ ）A. 18-B. 20-C. 88D. 90【答案】B 【解析】【分析】根据复合函数导数运算求得正确答案.【详解】由()2(6)f x f x =--得()()()266f x f x f x ''''=--=-⎡⎤⎣⎦，()()6f x f x ''=-①，则()f x '关于直线3x =对称.另外()2(4),()(4)2f x f x f x f x ''''=--+-=②，则()f x '关于点()2,1对称. 所以()()()()()4244226f x f x f x f x ''''+=--+=--=-+()()()()()()22462628f x f x f x f x ⎡⎤''''=---+=--=---=+⎣⎦，所以()()4f x f x ''=+，所以()f x '是周期为4的周期函数.()(3)5g x f x =-+，()(3)g x f x ''=--，则(0)(3)1g f ''=-=，由②，令2x =，得()()222,21f f ''==. 所以()()121g f ''=-=-，由②，令1x =，得(1)(3)2,(1)2(3)3f f f f ''''+==-=； 所以(2)(1)3g f ''=-=-，由①，令4x =，得()()421f f ''==；令5x =，得()()513f f ''==. 由②，令0x =，得(0)(4)2,(0)1f f f '''+==；令=1x -，得(1)(5)2,(1)2(5)1f f f f ''''-+=-=-=-， 则(3)(0)1g f ''=-=-，()()411g f '=--=；()()()5221g f f '''=--=-=-，()()()6313g f f '''=--=-=-，以此类推， ()g x '是周期为4的周期函数.所以()()()181131141320k g k ='=---+⨯+--=-∑.故选：B【点睛】函数的对称性有多种呈现方式，如()()f a x f a x +=-，则()f x 关于直线x a =对称；如()()2f a x f x +=-，则()f x 关于直线x a =对称；如()()f a x f a x +=--，则()f x 关于点(),0a 对称；如()()2f a x f a x b +=--+，则()f x 关于点(),a b 对称.二、多选题9. 下列求解结果正确的是（ ）A.3= B. ()22lg 2lg 5lg 20lg 2lg 50lg 256+++=C. 不等式(10x -≥的解集为[)1,+∞D. 若sin 1cos 12αα=--，则1cos 1sin 2αα+= 【答案】AD 【解析】【分析】对于A 选项：把根式化为分数指数幂，利用幂的运算法则求值可判断A 选项；对于B 选项：利用对数的运算法则化简求值可判断B 选项；对于C 选项：根据根式的定义域和值域，求不等式的解集可判断C 选项；对于D 选项：分子和分母同时乘sin α,再利用同角三角函数关系化简可判断D 选项.【详解】对于A 111111126363223243243232-⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭()5151121106636622=33222332332--⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=，所以A 选项正确；对于B 选项：()()()()2222lg 2lg 5lg 20lg 2lg 50lg 252lg 2lg 5lg 210lg 2lg 510lg 5+++=+⨯+⨯+ ()()()22lg 2lg 5lg 21lg 2lg 512lg 5=+++++ ()22lg 22lg 2lg 5lg 23lg 5=+++()()2lg 2lg 2lg 5lg 2lg 52lg 5=++++ ()2lg 2lg 513=++=，所以B 选项错误；对于C 选项：因为0y =≥且2x ≥-，当2x =-时取等号，则(10x -≥，即210x x >-⎧⎨-≥⎩或2x =-，解得：1x ≥或2x =-，所以不等式(10x -≥的解集为{}[)21,-+∞ ，所以C 选项错误； 对于D 选项：若sin 1cos 12αα=--，则cos 1α≠且sin 0α≠，即()()()()()221cos 1cos sin 1cos 1cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin 2αααααααααααα-+-+===-=----，所以1cos 1sin 2αα+=，所以D 选项正确.故选：AD.10. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法中正确的是（ ） A. 若sin sin A B >，则A B >B. 若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 是锐角三角形C. 若10a =，8b =，60A =︒，则符合条件的ABC 有两个D. 对任意ABC ，都有cos cos 0A B +> 【答案】ABD 【解析】【分析】由正弦定理边角转化可判断A ；根据两角和的正切公式结合三角形内角和定理可判断B ；由正弦定理及三角形性质可判断C ；由三角形内角性质及余弦函数单调性可判断D. 【详解】对于A 选项，由sin sin A B >，根据正弦定理得22a br r>，（r 为ABC 外接圆半径），即a b >，则A B >， 故A 正确；对于B ，()()tan tan tan tan πtan 1tan tan A BC A B A B A B+=-+=-+=-⎡⎤⎣⎦-，所以()tan tan tan tan tan 1A B C A B +=-，所以()tan tan tan 1tan tan tan tan 0tan tan tan A B C A B C A C B C +-=++=>， 所以tan ,tan ,tan A B C 三个数有0个或2个为负数，又因,,A B C 最多一个钝角， 所以tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>，即,,A B C 都是锐角， 所以ABC 一定为锐角三角形，故B 正确；对于C ，由正弦定理得sin sin a b A B=，则sin sin 1b A B a ===<， 又b a <，则60B A <= ，知满足条件的三角形只有一个，故C 错误；对于D ，因为πA B +<，所以0ππA B <<-<，又函数cos y x =在()0,π上单调递减， 所以()cos cos πcos A B B >-=-，所以cos cos 0A B +>，故D 正确； 故选：ABD11. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x x f x a b -=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e 2.71828=⋅⋅⋅），对于函数()f x 以下结论正确的是（ ）A. a b =是函数()f x 为偶函数的充分不必要条件；B. 0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件；C. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数；D. 如果0ab >，那么函数()f x 存在极值点. 【答案】BCD 【解析】【分析】根据奇偶函数的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断AB ；利用导数，分类讨论函数的单调性，结合极值点的概念即可判断CD.【详解】对于A ，当a b =时，函数()f x 定义域为R 关于原点对称，()()e e =x x f x a b f x --=+，故函数()f x 为偶函数；当函数()f x 为偶函数时，()()=0f x f x --，故()()0e e x xa b b a --+-=，即()()2e =xa b a b --，又2e 0x >，故a b =，所以a b =是函数()f x 为偶函数的充要条件，故A 错误； 对于B ，当0a b +=时，函数()f x 定义域为R 关于原点对称，()()=e e ()()=0x x f x f x a b a b -+-+++，故函数()f x 为奇函数，当函数()f x 为奇函数时，()()=e e ()()=0xxf x f x a b a b -+-+++，因为e 0x >，e 0x ->，故0a b +=.所以0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件，故B 正确；对于C ，()=e e x xf x a b --'，因为0ab <，若0,0a b ><，则()e e0=xxx a b f -->'恒成立，则()f x 为单调递增函数，若0,0a b <>则()e e0=xxx a b f --<'恒成立，则()f x 为单调递减函数，故0ab <，函数()f x 为单调函数，故C 正确；对于D ，()2e =e e =e x xxxa ba b f x ---'，令()=0f x '得1=ln 2bx a，又0ab >，若0,0a b >>， 当1,ln 2b x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，函数()f x 为单调递减. 当1ln ,2b x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f x ¢>，函数()f x 为单调递增.函数()f x 存在唯一的极小值. 若0,0a b <<， 当1ln2b x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，，()0f x ¢>，函数()f x 为单调递增. 当1ln ,2b x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f x '<，函数()f x 为单调递减.故函数()f x 存在唯一的极大值. 所以函数存在极值点，故D 正确. 故答案为：BCD.12. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin sin sin A B C =，则下列说法正确的是（ ）A. 2222tan 2b c a A a+-= B. 212ABC S a = C.sin sin sin sin B CC B +有最大值 D. 245a bc ≤【答案】BCD 【解析】【分析】由条件及正弦定理得，2sin a bc A=，再由正、余弦定理，三角形的面积公式，三角函数的最值等知识逐一判断选项即可．【详解】由sin sin sin A B C =及正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得：2sin a bc A=， 对于A 选项：22222222cos 2cos cos sin tan 222sin a A b c a bc A A A Aa a a A+-===≠，故A 错误； 对于B 选项：22111sin sin 22sin 2ABCa S bc A A a A ==⨯⨯= ，故B 正确； 对于C 选项：222sin sin 2cos sin sin B Cbc b c a bc AC B c b bc bc+++=+==sin 2cos sin 2cos )bc A bc A A A A bcϕ+==+=+，其中sin ϕϕ==∴sin sin sin sin B CC B+C 正确； 对于D 选项：因为2sin a bc A =，222b c bc +≥,当且仅当b c =时取等号.所以222sin cos 1022b c a AA bc +-=≥->，两边平方得：22sin cos 1sin 4AA A ≥+-，又22cos 1sin A A =-，化简得：sin (5sin 4)0A A -≤，且(0,π)A ∈，sin (0,1]A ∈,解得4sin 0,5A ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以24sin 5sin bc A a bc bc A ==≤，即245a bc ≤成立，故D 正确.故选：BCD ．三、填空题13. 若函数()2lg 1)f x x mx -+=(的值域为R ，则实数m 的取值范围是________________．【答案】(][),22,-∞-+∞U 【解析】【分析】根据对数函数值域列不等式，从而求得m 的取值范围. 【详解】依题意，函数()2lg 1)f x x mx -+=(的值域为R ，所以240m ∆=-≥，解得(][),22,m ∈-∞-⋃+∞. 故答案为：(][),22,-∞-+∞U14. 定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()22x x f x a -=-⋅，当0x <时，()f x =________． 【答案】22x x -- 【解析】【分析】先根据奇函数性质求a ，然后设0x <，利用奇函数定义和已知条件求解可得. 【详解】因为函数()f x 为奇函数，所以00(0)220f a =-⋅=，解得1a =.的设0x <，则0x ->，所以()22x x f x --=-， 又()f x 为奇函数，所以()()22x x f x f x -=--=-， 即当0x <时，()22x x f x -=-. 故答案为：22x x --15. 已知lg lg lg 5a b c a b c =，lg lg lg b c a a b c =abc 的值为___________.【答案】10或110【解析】【分析】对已知等式左右同时取对数，结合对数运算法则化简可得()2lg 1abc =，由此可求得结果. 【详解】由lg lg lg 5a b c a b c =得：()()()222lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg 5a b c a b c a b c ++=++=，由lg lg lg b c a a b c =lg lg lg 1lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg 22bc a ab c a b b c a c ++=++==，2lg lg 2lg lg 2lg lg lg 2a b b c a c ∴++=，()()()()2222lg lg lg 2lg lg 2lg lg 2lg lg lg lg lg a b c a b b c a c a b c ∴+++++=++()2lg lg 5lg 21abc ==+=，lg 1abc ∴=或lg 1abc =-，10abc ∴=或110abc =. 故答案为：10或110. 16. 在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3b =，sin sin A a B +=，则ABC 周长的取值范围为______.【答案】+【解析】【分析】由正弦定理及已知可得sin A =，结合锐角三角形得π3A =、ππ62B <<，再由正弦边角关系、三角恒等变换得912tan 2a b c B ++=+，即可求范围.【详解】由sin sin a bA B=，则sin sin a B b A =，故sin sin 4sin A b A A +==，所以sin A =，又ABC 为锐角三角形，则π3A =，且π022ππ032B C B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，则ππ62B <<，而sin sin sin a b c A B C ==，则sin sin b A a B ==2π3sin()sin 3sin sin B b C c B B -==32=+，所以22cos 91cos 99122sin 222sin cos tan 222B B a b c B B B B +++===+，又ππ1224B <<，且ππtan tanπππ34tan tan(2ππ12341tan tan 34-=-==+，所以tan (22B ∈-，则912tan 2a b c B ++=+∈+.故答案为：+. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用正弦定理以及三角恒等变换得912tan 2a b c B ++=，再求出角B 的范围，利用正切函数的值域即可得到答案.四、解答题17. 已知0x >，0y >，且21x y +=． （1）求xy 的最大值；（2）求21x y+的最小值．【答案】（1）18（2）8 【解析】【分析】（1）由基本不等式得到2x y +≥，从而求出18xy ≤； （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.小问1详解】【因为0x >，0y >，由基本不等式得2x y +≥，即1≥18xy ≤， 当且仅当11,24x y ==时，等号成立，故xy 的最大值为18； 【小问2详解】因为0x >，0y >，21x y +=，故()212142448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4y x x y =，即11,24x y ==时，等号成立，故21x y +的最小值为8. 18. 已知函数()e 1e xxa f x -=+为奇函数.（1）求a 的值；（2）若存在实数t ，使得()()22220f t t f t k -+->成立，求k 的取值范围.【答案】（1）1 （2）1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质()00f =求解即可.（2）首先利用根据题意得到()()2222f t t f t k ->-+，利用单调性定义得到()f x 是R 上的减函数，再利用单调性求解即可. 【小问1详解】因()f x 定义域为R ，又因为()f x 为奇函数，所以()00f =，即102a -=，得1a = 当1a =时，()1e 1e xx f x -=+， 所以()()1e e 11e e 1x x xx f x f x -----===-++，所以1a = 【小问2详解】()()22220f t t f t k -+->可化为()()2222f t t f t k ->--，因为()f x 是奇函数，所以()()()2222f t t f t k->-+*为又由（1）知()1e 211e 1ex x xf x -==-+++， 设12,x x ∈R ，且12x x <，则()()()()()211212122e e 221e 1e 1e 1e x x x x x x f x f x --=-=++++， 因为12x x <，所以21e e 0x x ->，11e 0x +>，21e 0x +>，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >故()f x 是R 上的减函数， 所以（*）可化为2222t t t k -<-+.因为存在实数t ，使得2320t t k --<成立， 所以4120k ∆=+>，解得13k >-.所以k 的取值范围为1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭19.在①2sin sin 2sin cos A B C B -=，②()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-，③()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答． 问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且____． （1）求角C ；（2）若2c =，求2a b -的取值范围． 【答案】（1）π3（2）()2,4- 【解析】【分析】（1）选①利用三角形内角和定理与两角和的正弦公式求出π3C =，选②利用正弦定理和余弦定理求出π3C =，选③利用面积公式和余弦定理求出π3C =．（2）利用正弦定理得,a A b B ==，再利用两角差的正弦公式以及角的范围计算求得结果．【小问1详解】若选①：2sin sin 2sin cos A B C B -=， 则()2sin sin 2sin cos B C B C B +-=，∴2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B +-= ∴2sin cos sin 0B C B -=∵()0,πB ∈，sin 0B ≠， ∴1cos 2C =，∵()0,πC ∈，∴π3C =.若选②：()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-， 由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-， ∴222a b c ab +-=，∴2221cos 22a b c C ab +-==，∵()0,πC ∈，∴π3C =． 若选③：()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△， 则()sin sin sin 12s n 12i C A B b c a b C a c =+-，由正弦定理得()2221122abc c a b c =+-，∴∴222a b c ab +-=，∴2221cos 22a b c C ab +-==，∵()0,πC ∈，∴π3C =． 【小问2详解】由正弦定理得sin sin sin a b c A B C ===，,a A b B ==，则π23A B A A a b ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭， π2cos 4sin 6A A A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∵2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,662A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，π16sin ,12A ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪- ⎝⎭⎝-⎪⎭， ∴()22,4a b -∈-.20. 已知函数()()sin cos 2sin 22f x x x b x =++-，（R a ∈，R b ∈）（1）若1a =，0b =，证明：函数()()12g x f x =+在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有1个零点； （2）若对于任意的R x ∈，()0f x ≤恒成立，求a b +的最大值和最小值.【答案】（1）证明见解析（2）最小值为2-，最大值为1【解析】【分析】（1）代入,a b 的值，化简()f x ，即可求得()g x ，根据()g x 单调性即可求解；（2）令sin cos t x x =+，问题转化为t ⎡∈⎣时，()()22120t b t ϕ=+--≤，要求a b +的最值，则需要a 和b 的系数相等进行求解.【小问1详解】证明：当1a =，0b =时， ())sin cos 2f x x x =+-2x x ⎫=+-⎪⎪⎭π2sin 24x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 则()()132sin 22π4g x f x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， ()3002g =-< ，0π142g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，且()g x 是一个不间断的函数， ()g x ∴在π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上存在零点， π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴πππ,442x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()g x ∴在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有1个零点. 【小问2详解】由（1）知，令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣， ∴()22sin22sin cos sin cos 11x x x x x t =⋅=+-=-，∵对于任意的x ∈R ，()0f x ≤()22120b t +--≤恒成立.令()()2212 t b tϕ=+--，则t⎡∈⎣时，()0tϕ≤恒成立()22120t b+--≤，()221t=-，解得t=或.当t=时，解得1a b+≤，取1a=，0b=成立，则()220tϕ=-≤=恒成立，∴()max1a b+=，当t=时，解得2a b+≥-，取43a=-，23b=-成立，则()()224412033t t tϕ⎛=---=-≤⎝恒成立.∴()min2a b+=-，综上，a b+的最小值为2-，a b+的最大值为1.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题，从以下几个角度分析：（1）赋值法和换元法的应用；（2）三角函数图像和性质的应用；（3）转化化归思想的应用.21. 铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相对转动的机械装置.铰链由可移动的组件构成，或者由可折叠的材料构成，合页主要安装与门窗上，而铰链更多安装与橱柜上，如图所示，,OA OC 就是一个合页的抽象图，AOC∠可以在[]0,π上变化，其中28OC OA cm==，正常把合页安装在家具门上时，AOC∠的变化范围是π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，根据合页的安装和使用经验可知，要使得安装的家具门开关并不受影响，在以AC为边长的正三角形ABC区域内不能有障碍物.（1）若π2AOC∠=使，求OB的长；（2）当AOC∠为多少时，OBC△面积取得最大值？最大值是多少？.【答案】（1）BO =（2）5π6AOC ∠=，(16+cm 3 【解析】【分析】（1）根据题意利用三角比可得AC AB ==OAB 中，由余弦定理知2222cos BO AO AB AO AB OAB =+-⋅⋅∠即可得解；（2）设AOC α∠=，ACO β∠=，BC AC x ==，利用正余弦定理换算可得28064cos x α=-，248cos 16x xβ+=，代入整理可得=BOC S 16πsin 3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用α的范围即可得解. 【小问1详解】如图所示，因为28cm OC OA ==，π2AOC ∠=，易知sin ∠==OAC ，cos OAC ∠=AC AB ==，在OAB 中，由余弦定理易知2222cos BO AO AB AO AB OAB =+-⋅⋅∠， 且π3OAB OAC ∠=∠+，πππcos cos cos cos sin sin 333⎛⎫∠=∠+=∠-∠ ⎪⎝⎭OAB OAC OAC OAC12== 在OAB 中，由余弦定理可得：所以((222424165BO =+-⨯⨯=+，解得BO =；【小问2详解】设AOC α∠=，ACO β∠=，BC AC x ==，在AOC 中，由余弦定理易知，2222cos AC AO OC AO OC α=+-⋅⋅，即22248248cos x α=+-⨯⨯⨯，28064cos x α=-①，222cos 2AC OC AO ACO AC OC+-∠=⋅，即248cos 16x x β+=②， 由正弦定理易知4sin sin x αβ=③， 将①②③代入下列式子中：21sin 2sin cos 8sin 23πBOC BC CO x S x βββα⎛⎫⋅⋅⋅+=+=++ ⎪⎝⎭=△)8sin 8064cos a α=++-8sin 16si πn 3a a α⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 则当ADC ∠时，BDC S △取最大值，最大值为(216cm +. 【点睛】思路点睛：第二问中由余弦定理得28064cos x α=-，248cos 16x x β+=，由正弦定理得4sin sin x αβ=，三式代入面积公式BOC S ，考查了学生思维能力及运算能力. 22. 已知函数sin ()2cos x f x ax x=-+． （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若0x ∀>都有()0f x >，求a 的取值范围．【答案】（1）函数()f x 是R 上的增函数；（2）13a ≥. 【解析】【分析】（1）把1a =代入，求出函数()f x 的导数，再判断导数值正负作答.（2）求出函数()f x 的导数，再分析导函数值的情况，分类探讨即可作答.【小问1详解】当1a =时，函数sin ()2cos x f x x x=-+的定义域为R ， 的2222cos (2cos )sin 32cos cos ()10(2cos )(2cos )x x x x x f x x x ++++'=-=>++， 所以函数()f x 是R 上的增函数.【小问2详解】 函数sin ()2cos x f x ax x=-+，0x >， 求导得22212cos 32111()3()(2cos )(2cos )2cos 2cos 33x f x a a a x x x x +'=-=-+=-+-++++， 当13a ≥时，()0f x '≥，即函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，0x ∀>，()(0)0f x f >=，因此13a ≥； 当103a <<时，令()sin 3,0h x x ax x =->，求导得()cos 3h x x a '=-， 函数()cos 3h x x a '=-在π(0,2上单调递减，π(0)130,()302h a h a ''=->=-<， 则存在0π(0,)2x ∈，使得0()0h x '=，当00x x <<时，()0h x '>，()h x 在0(0,)x 上单调递增， 当0(0,)x x ∈时，()(0)0h x h >=，即sin 3x ax >，因此当0(0,)x x ∈时，sin sin 2cos 3x x ax x >>+，即sin ()02cos x f x ax x =-<+，不符合题意； 当0a ≤时，ππ1()0222f a =-<，不符合题意， 综上得13a ≥， 所以a 的取值范围是13a ≥. 【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以借助分段讨论函数的导函数，结合函数零点探讨函数值正负，以确定单调性推理作答.。
新课标2025届高三数学上学期10月大联考试卷及答案解析
2025届高三10月大联考（新课标卷）数学本卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号\.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{|13}A x x =-<≤，2{|4}B x x =>，则R ()A B = ð（ ）A. ()1,2- B. (]1,2-C. (]2,3- D. (]2,3【答案】B 【解析】【分析】解不等式化简集合B ，再利用补集、交集的定义求解即得.【详解】集合2{|4}(,2)(2,)B x x =>=-∞-+∞ ，则R [2,2]B =-ð，而{|13}A x x =-<≤，所以R ()(1,2]A B =- ð.故选：B 2. 使不等式312x≤-成立的一个必要不充分条件是（ ）A. ()(),12,-∞-+∞ B. (](),12,-∞-+∞ C. ()[),12,-∞-⋃+∞ D. (][),12,-∞-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】利用分式不等式化简可得2x ≥或1x <-，即可根据真子集关系求解.【详解】由312x ≤-可得()()120320220x x x x x ⎧+-≤-+≤⇒⎨--≠⎩，解得x >2或1x ≤-，设不等式312x≤-成立的一个必要不充分条件构成的集合是A ,则(](),12,∞∞--⋃+是A 的一个真子集，结合选项可知A 可以为(][),12,-∞-⋃+∞，故选：D3. 已知函数()lg f x x =，()13g x x =-，则()()13100g f f g ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A. 6B. 6- C. 5D. 5-【答案】A 【解析】【分析】由里往外代入即可求解.【详解】11lg 2100100f ⎛⎫==-⎪⎝⎭,()()313310g -=-⨯-=,故()()()()()13210132lg106100g f f g g f ⎛⎫⎛⎫--=--=-⨯--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A.4. 已知a ，b 为非零向量，1a b ⋅= ，()3,4b = ，则a 在b上的投影向量为（ ）A. 15b r B. 125b C. bD.1125b 【答案】B 【解析】【分析】由模长的坐标表示可得b，再结合投影向量的定义分析求解.【详解】由题意可得：5b == ，所以a 在b 上的投影向量为2125a b b b b ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭r r r rr .故选：B.5. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α的终边过点()6,8A -，则πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.35B. 35-C.45D. 45-【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的定义可得3cos 5α==-，即可由诱导公式化简求解.【详解】由题意可知3cos 5α==-，π3sin cos 25αα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，故选：A6. 已知函数32()22ln f x x x x =--，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）A. 2 B. 1 C.12D.14【答案】D 【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出三角形面积.【详解】函数32()22ln f x x x x =--，求导得22()62f x x x x'=--，则(1)2f '=，而(1)1f =，因此曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为12(1)y x -=-，即21y x =-，该切线交x 轴于点1(,0)2，交y 轴于点(0,1)-，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为1111224⨯⨯=.故选：D7. 已知函数()f x 满足()()2sin tan f x f x x x --=+，若函数()y f x =在[]3π,5π-上的零点为1x ，2x ，…，n x ，则1ni i x ==∑（ ）A. 8πB. 9πC. 16πD. 17π【答案】B 【解析】【分析】先利用方程组法求出()f x 的解析式，结合()f x 的奇偶性将[]3π,5π-上的零点和转化为(]3π,5π上的零点和问题，令()0f x =，转化为sin tan x x =-，结合正弦和正切函数的图象性质得到结果.【详解】由()()2sin tan f x f x x x --=+，可得()()()()2sin tan sin tan f x f x x x x x --=-+-=--，解得()()1sin tan 3f x x x =+，易知()f x 为奇函数，故()f x 的图象关于原点对称，则函数y =f (x )在[]3π,3π-上的图象关于原点对称，故函数y =f (x )在[]3π,3π-上的零点也关于原点对称，和为0，在(]3π,5π上的零点和即为[]3π,5π-上的零点和，令()0f x =，得sin tan 0x x +=，sin tan x x =-，(]3π,5πx ∈，作出sin y x =和tan y x =-在同一坐标系中的图象，可知y =f (x )在(]3π,5π内的零点有4π和5π两个，故14π5π9πni i x ==+=∑.故选：B.8. 已知函数()cos(2)(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的图象过点1(0,)2A ，且对任意12π2π,(,)23x x ∈，都有1212()[()()]0x x f x f x --≥，则ω的取值范围是（ ）A. 25[,34B. 1(0,2C. 25811[,][,3434D. 15(0,][,2]23【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用图象所过点求出ϕ，再利用单调递增区间求出ω范围.【详解】依题意，1(0)cos 2f ϕ==，而0πϕ<<，则π3ϕ=，π()cos(23f x x ω=+，由对任意12π2π,(,23x x ∈，都有1212()[()()]0x x f x f x --≥，得函数()f x 在π2π(,23上单调递增，当2(,)2π3πx ∈时，ππ4ππ2(π,)3333x ωωω+∈++，而余弦函数cos y x =的递增区间为：[]()2ππ,2πk k k -∈Z ，则[]()π4πππ,2ππ,2π333k k k ωω⎛⎫++⊆-∈ ⎪⎝⎭Z ，于是ππ2ππ3,4ππ2π33k k k ωω⎧+≥-⎪⎪∈⎨⎪+≤⎪⎩Z ，解得423,3124k k k ωω⎧≥-⎪⎪∈⎨⎪≤-⎪⎩Z ，显然32k−14>02k−43<32k−14，即11366k <<，而k ∈Z ，因此1k =或2k =，所以ω的取值范围是2534ω≤∈或81134ω≤∈.故选：C【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知01d c a b <<<<<，则（ ）A. a d b c +<+ B. ac bd <C. b a a b < D.2b aa b+>【答案】ACD 【解析】【分析】利用不等式的性质判断A ；举例说明判断B ；利用指数函数、幂函数单调性判断C ；作差变形判断D.【详解】对于A ，由,d c a b <<，得a d b c +<+，A 正确；对于B ，取114,1,,32d c a b =-=-==，满足01d c a b <<<<<，而123ac bd =->-=，B 错误；对于C ，由01a b <<<，得函数x y a =在R 上递减，a y x =在(0,)+∞上递增，则b a a a a b <<，C 正确；对于D ，由01a b <<<，得220b a a b +-=>，D 正确.故选：ACD10. 已知函数π()cos )(0)6f x a x x a =->的最小值为，则（ ）A. 直线π2x =为()f x 图象的一条对称轴B. ()f x 在区间π4π(,)23上单调递减C. 将()f x 的图象向左平移π3个单位长度，得到一个奇函数的图象D. 当π[,]3x t ∈-时，()f x 的值域为[，则t 的取值范围为π[,π]3【答案】BD 【解析】【分析】根据给定条件，利用三角恒等变换，结合正弦函数性质求出a ，进而求出()f x ，再逐项分析判断即可.【详解】函数33()cos sin sin ()22f x a x x x x a x x ϕ=+=+=+，其中ϕ由tan ϕ=确定，依题意，=20a -=，而0a >，解得a =3π()sin )26f x x x x ==+，对于A ，πππ3(2262f =+=≠，即直线π2x =不是()f x 图象的对称轴，A 错误；对于B ，当π4π(,23x ∈时，2π3π(,32π6x ∈+，而正弦函数sin y x =在2π3π(,32上递减，因此()f x 在区间π4π(,23上单调递减，B 正确；对于C ，πππ(336f x x x +=++=是偶函数，C 错误；对于D ，当π[,]3x t ∈-时，()f x 的值域为[，则当πππ[,]666x t ++∈-时，1πsin()126x -≤+≤，因此ππ7π266t ≤+≤，解得ππ3t ≤≤，D 正确.故选：BD11. 已知函数()f x 对任意实数,x y 都有()()(1)()(1)f x y f x f y f y f x +=+++，且(1)1f =，(1)1f -=-，则（ ）A. (0)0f = B. (2)()f x f x +=-C.20241()2024n f n ==∑ D. 对任意*n ∈N ，都有(2)0f n =【答案】ABD 【解析】【分析】根据给定的函数等式，利用赋值法，结合周期函数的定义逐项分析判断即得.【详解】对任意实数,x y 都有()()(1)()(1)f x y f x f y f y f x +=+++，且(1)1,(1)1f f =-=-，对于A ，令0x y ==，得(0)(0)(1)(0)(1)2(0)f f f f f f =+=，则(0)0f =，A 正确；对于B ，令,1x y ∈=-R ，得(1)()(0)(1)(1)(1)f x f x f f f x f x -=+-+=-+，因此(2)()f x f x +=-，B 正确；对于C ，由(2)()f x f x +=-，得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，又(1)(3)0,(2)(4)0f f f f +=+=，即(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，因此202410(1)(2)(3)(4)]()506[n f n f f f f =+++==∑，C 错误；对于D ，由(2)()f x f x +=-，得(2)(4)(0)0f f f =-=-=，又()f x 是周期为4的周期函数，因此对任意*n ∈N ，都有(42)(4)0f n f n +==，即(2)0f n =，D 正确故选：ABD【点睛】关键点点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值，再不断变换求解即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知平面向量a，b 满足2= a ，3b =，且a b += ，则a b -= ______.【解析】【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积的运算律，列式计算即得..【详解】依题意，2222||||2||2||a b a a b b ++=+- ，而2= a ，3b = ，且a b += ，则29|23|242a b +=⨯-+⨯ ，所以a b -= .13. 已知α为锐角且πsin 2cos 24αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.【答案】14-##0.25-【解析】cos sin αα=-，即可利用辅助角公式求解.【详解】由πsin 2cos 24αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得)()()()22sin cos 2cos sin 2sin cos cos sin αααααααα+=-=+-，由于α为锐角，所以sin cos 0αα+>cos sin αα=-，()πcos sin sin cos 4ααααα⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，故π1sin 44α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故答案为：14-14. 已知不等式()242e 822e 2ln x x axx a x x x ++--<-对任意0x >恒成立，则实数a 的取值范围为______.【答案】3a >【解析】【分析】原不等式可化为()()24ln 2e2ln e 2x xxaxx x x ax ++++<++，利用()2e x f x x =+为R 上的增函数可得2ln x x x ax +<+对任意0x >恒成立，结合参变分离可求a 的取值范围.【详解】原不等式等价于()242e82ln e 2xxaxx x x x ax +++<++，也就是()()24ln 2e24ln e 2x xxaxx x x ax ++++<++，因为2,e x y x y ==均为R 上的增函数，故()2e xf x x =+为R 上的增函数，故原不等式即为()()24ln f x x f x ax +<+，故24ln x x x ax +<+对任意0x >恒成立，故a >4−x +lnx x对任意0x >恒成立，设s (x )=4−x +lnx x,x >0，则()221ln x xs x x '--=，设()21ln v x x x =--，则()120v x x x'=--<，故()21ln v x x x =--在(0,+∞)上为减函数，而()10v =，故当x ∈(0,1)时，()0v x >即()0s x '>，故()s x 在(0,1)上为增函数；当x ∈(1,+∞)时，()0v x <即()0s x '<，故()s x 在(1,+∞)上减函数，故()()max 13s x s ==，故3a >，故答案为：3a >.【点睛】思路点睛：对于由指数函数和对数函数构成的较为复杂函数，我们可以利用指对数的运算法则对原有的不等式同构变形，从而把原不等式转化为简单不等式.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()(ln sin cos f x x x =++.（1）证明：()f x 是周期函数；（2）求()f x 的单调递增区间.【答案】（1）证明见解析；（2）3ππ2π,2π,Z 44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由辅助角公式可得()πln 4f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用三角函数周期性即可证明得出结论；（2）利用复合函数单调性以及正弦函数图象性质解不等式可得结果.【小问1详解】为由()(ln sin cos f x x x =++可得()πln 4f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；ππ2π44x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()ππ2πln 2πln 44f x x x f x ⎛⎫⎛⎫+=+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可知()f x 是以2π为周期的周期函数【小问2详解】由复合函数单调性可知求得π4y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭易知π04y x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭恒成立，可得函数()f x 的定义域为R ；因此只需πππ2π2π,Z 242k x k k -+≤+≤+∈，解得3ππ2π2π,Z 44k x k k -+≤≤+∈；即()f x 的单调递增区间为3ππ2π,2π,Z 44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.16. 在平面四边形ABCD 中，AB BC ==120ABC ∠=︒，AC CD ⊥且AC =.（1）求AD 的长；（2）若M 为CD 的中点，求cos AMB ∠.【答案】（1）（2【解析】【分析】（1）在三角形ABC 中由余弦定理求出3AC =，然后利用勾股定理求解即可；（2）在BCM 与ADM △中，由余弦定理分别求出BM 与AM ，然后在AMB 中，由余弦定理求解即可.【小问1详解】在三角形ABC 中，AB BC ==120ABC ∠=︒，所以由余弦定理得：22212cos 332392AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=++⨯⨯=，所以3AC =，又AC =，所以CD =，又AC CD ⊥，所以AD ==.【小问2详解】在三角形ABC 中，120ABC ∠=︒，所以30BAC ACB ∠=∠=︒，所以3090120BCD ∠=︒+︒=︒，所以在BCM 中，M 为CD 的中点，所以MC =，BC =，120BCM ∠=︒，所以由余弦定理得：22231212cos 3424BM BC CM BC CM BCM =+-⋅∠=++=，所以BM =，在ADM △中，60ADC ∠=︒，AD =DM =，所以由余弦定理得：22231392cos 122424AM AD DM AD DM ADM =+-⋅∠=+-⨯=所以AM =，所以在AMB中，由余弦定理得：222cos 2AM BM AB AMB AM BM +-∠===⋅17. 已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，6a =，2π3A =，向量()cos ,cos m b C c B = ，()sin ,sin n B C =- ，且m n ⊥ ，ABC V 所在平面内存在点D ，满足()30AD AC AB λλ=+> .（1）判断ABC V 是否为等腰三角形；（2）当2λ=时，求ABD △的面积；【答案】（1）ABC V 等腰三角形，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）由m n ⊥ ，得到cos sin cos sin 0b C B c B C -=，由正弦定理，余弦定理角化边整理即可判断；（2）画出图，在ABC V 中，由正弦定理求出b 与c ，设2AE AC AB =+ ，则13ABD ABE S S =求解即可.【小问1详解】因为m n ⊥ ，所以0m n ⋅= ，所以cos sin cos sin 0b C B c B C -=，由正弦定理角化边得22cos cos 0b C c B -=，由余弦定理得：22222222022a b c a c b b c ab ac +-+-⋅-⋅=，所以整理得：()()2222220b a b c c ac b +--+-=，所以()()22220b c a b c bc -+++=，所以0b c -=，所以b c =，故ABC V 是等腰三角形.【小问2详解】是在ABC V中，由正弦定理得：sin sin b a B A ===，所以12b ==，c =，当2λ=时，32AD AC AB =+ ，如图2AE AC AB =+ ，所以在ABE 中，60ABE ∠=，AB =BE =所以11111sin 33232ABD ABE S S AB BE ABE ==⨯⋅∠=⨯⨯= 18. 已知函数()()e 1()x f x x a a =++∈R .（1）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：当0x >时，e e e(e 1)x x x >-.【答案】（1）1a ≥-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，分离参数并构造函数，利用导数求出最大值即可得解.（2）构造函数()e ,0x h x x x =->，利用导数证得e 1x x >+，再利用函数单调性信不等式性质推理即得.【小问1详解】函数()()e 1x f x x a =++的定义域为R ，01()e x x a x f ≥--≥⇔，令1(e )x g x x -=-，依题意，()a g x ≥恒成立，1()1ex g x -+'=，当0x <时，()0g x '>，当0x >时，()0g x '<，则函数()g x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，max ()(0)1g x g ==-，于是1a ≥-，所以实数a 的取值范围是1a ≥-.【小问2详解】当0x >时，令()e x h x x =-，求导得()e 10x h x '=->，函数()h x (0,)+∞上单调递增，在则()(0)1h x h >=，即e 1x x >+，因此e 1e e x x +>，e 1e e xx x x +>，令()e e 1,0x x x x x ϕ=-+>，求导得()e 0x x x ϕ=>，即函数()ϕx 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0x ϕϕ>=，即e e 1x x x >-，于是1e e(e 1)x x x +>-，所以e e e(e 1)x x x >-.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.19. 阅读材料一：设函数()f x 在区间D 上有定义，若对任意12,x x D ∈和任意()0,1λ∈，都有1212((1))(1())()f f x x x x f λλλλ+-≤+-，则称()f x 是区间D 上的下凸函数；反之，如果都有1212((1))(1())()f f x x x x f λλλλ+-≥+-，则称()f x 是区间D 上的上凸函数.阅读材料二：若函数()f x 在区间D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在区间D 上也可导，则称()f x 在区间D 上存在二阶导函数，即()()()f x x f ''''=.设函数()f x 在区间D 上存在二阶导函数，则()f x 在区间D 上是下凸（上凸）函数的充要条件是对任意x D ∈都有()0f x ''≥（()0f x ''≤）且在区间D 的任意子区间内()f x ''不恒为0.阅读材料三：设函数()f x 在区间D 上连续，00(,)x x D δδ-+⊆（其中δ为无限接近于0的正数），()f x 在00(,)x x δδ-+上存在二阶导函数，若()f x ''在00)(,x x δ-和00(,)x x δ+上的符号相反，则点00(,())x f x 为曲线()y f x =的拐点.请根据以上阅读材料，回答下列问题：（1）证明：对任意0a ≥，0b ≥≥（2）设函数32()69f x mx nx x =+-+，若点(1,1)是曲线()y f x =的拐点，求实数m ，n 的值，并证明()f x 的图象关于拐点(1,1)中心对称：（3）设函数2()2ln 33g x x x x =+-+，若点00(,())x g x 是曲线()y g x =的一个拐点，且120()()2()g x g x g x +=，其中12012x x <<<<，试证明：1202x x x +>.【答案】（1）证明见解析；（2）1,3m n ==-，证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）构造函数()0x x ϕ=>，证明()ϕx 是上凸函数即可推理得证.（2）利用“拐点”的意义可得(1)0f ''=，结合(1)1f =求出,m n ；再利用中心对称的定义计算推理即可.（3）利用“拐点”的定义求出“拐点”，构造函数()(2)(),01h x g x g x x =-+<<，利用导数探讨单调性可得(2)()2g x g x -+<，再结合给定条件及函数()g x 的单调性推理即得.【小问1详解】当0a =或0b =≥成立，令函数()0x x ϕ=>，121()2x x ϕ-'=，321()04x x ϕ-''=-<，因此函数()x ϕ=是上凸函数，则对任意0,0a b >>，1212()333))(3(a b a b ϕϕϕ+≥+≥，所以对任意0a ≥，0b ≥≥恒成立.【小问2详解】函数32()69f x mx nx x =+-+，则2()326f x mx nx '=+-，()62f x mx n ''=+，由点(1,1)是曲线()y f x =的拐点，得当1x <时()f x ''值与当1x >时()f x ''值符号相反，因此(1)620f m n ''=+=，又(1)31f m n =++=，解得1,3m n ==-；32()369f x x x x =--+，3322(1)(1)(1)(1)3[(1)(1)]6[(1)(1)]18f x f x x x x x x x ++-=++--++--++-+22263(22)12182x x =+-+-+=，所以()f x 的图象关于拐点(1,1)中心对称.【小问3详解】函数2()2ln 33g x x x x =+-+的定义域为(0,)+∞，则2()23g x x x '=+-，22()2g x x''=-+，当01x <<时，()0g x ''<，当1x >时，()0g x ''>，依题意，01x =，0()(1)1g x g ==，当12012x x <<<<时，12()()2+=g x g x ，即21()2()g x g x =-，令22()(2)()(2)(23)2ln 332ln (2)3h x g x g x x x x x x x +-++-+--+=--+=2(2)2l 2ln 4n 42x x x x =+-+-+，01x <<，求导得32(1)2444(1)()444402(2)(2)x x h x x x x x x x x x ⋅---'=+-+=+-=>---，即函数()h x 在(0,1)上单调递增，(0,1),()(1)2x h x h ∀∈<=，即(2)()2g x g x -+<，而101x <<，则11(2)()2g x g x -+<，即11(2)2()g x g x -<-，因此12(2)()g x g x -<，当0x >时，2()23310g x x x '=+-≥-=>，当且仅当1x =时取等号，于是函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，又121x ->，因此122x x -<，即122x x +>，所以1202x x x +>.【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，①存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.②存常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.在。
江苏省盐城市四校2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题
江苏省盐城市四校2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题一、单选题1．已知集合{1,2,3,4},{2,4,6,8}A B ==，则A B =I （ ） A ．{2,3,4}B ．{2,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,2,3,4,6,8}2．若()()12i i 5z --=，则z =（ ）AB ．CD 3．设θ∈R ，则“sin tan 0θθ<”是“θ为第二象限角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．智能降噪采用的是智能宽频降噪技术，立足于主动降噪原理，当外界噪音的声波曲线为()cos y A x ωϕ=+时，通过降噪系统产生声波曲线()cos y A x ωϕ=-+将噪音中和，达到降噪目的．如图，这是某噪音的声波曲线()()cos 0,0,ππy A x A ωϕωϕ=+>>-<<的一部分，则可以用来智能降噪的声波曲线解析式为（ ）A ．π2cos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．π2cos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin )()(sin sin )a A B b a c B C -+=+，则ABC V 面积的最大值为（ ）A ．14B ．12C D6．若πtan 24tan 04αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A ．45-B ．25-C ．25D ．457．已知数列{}n a 的前n 项和()()*11N 3n n S a n =-∈，若1423log n n b a +=，且数列{}nc 满足n n c b ，若集合{},R n n c λλ>∈中有三个元素，则实数λ的取值范围（ ） A ．15,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．15,28⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．57,88⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．57,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意R x ∈，满足(1)()1,(3)()3f x f x x f x f x x +-≥-+-≤，且(1)0f =，则(52)f =（ ）A ．651B ．676C ．1226D ．1275二、多选题9．已知向量(1,2),(3,4)a b =-=r r，则下列说法正确的是（ ）A ．a br r ∥ B ．()b a a -⊥rr rC ．与a r 同向的单位向量为⎛ ⎝⎭D ．a r 与b r 10．对于函数()y f x =，如果对于其定义域D 中任意给定的实数x ，都有x D -∈，并且()()1f x f x ⋅-=，则称函数()y f x =为“倒函数”.则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x x =“倒函数”B ．若函数()y f x =在R 上为“倒函数”，则(0)1f =C ．若函数()y f x =在R 上为“倒函数”，当210,()2x x f x x-≤=+，则20,()2x x f x x >=+ D ．若函数()y f x =在R 上为“倒函数”，其函数值恒大于0，且在R 上是单调增函数，记()()()1F x f x f x =-，若120x x +>，则()()120F x F x +>. 11．函数()()log 110,1a y x a a =-+>≠的图象恒过定点P ，若点P 在直线()0100,m m x ny n +->>=上，则（ ）A ．18mn ≥B ．22142m n +≥C ．214m n +>D ．1231m n+>+三、填空题12．若命题：“R x ∃∈，210ax x ++<”为假命题，则实数a 的取值范围为.13．已知平行四边形ABCD ，点E 在边CD 上（不与C 、D 两点重合），5AB =，AD =tan 7A =，45AE BE ⋅=u ur u uu u r ，则sin EBC ∠=．14．已知(0,)∀∈+∞x ，不等式1e 1(ln ln )xa a x x ⎛⎫+≥++ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围为．四、解答题15．已知(sin ,(cos ,cos 2)a x b x x ==r r，设()f x a b =⋅r r ．(1)当π3π[,]34x ∈，求函数()f x 的值域.(2)若05π2π[,]123x ∈，且04()25=x f ，求0πsin()12x -的值．16．已知数列{}n a 为等比数列，公比0q >，前n 项和为n S ，数列{}n b 为等差数列，且112a b ==，33a b =，35S b =．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式：(2)若12c =，()21nn n n c c b ++-=，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，求16T ．17．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．()2cos cos b c A a C -=. (1)求A ； (2)若2125a bc =，求sin sin B C +的值. 18．已知函数()31ln 22f x ax x x x=--(1)若1a =，（ⅰ）求函数()y f x =在()()1,1f 上的切线方程； （ⅱ）求函数()f x 的单调区间；(2)若1x ≥时，()2f x ≥-，求a 的取值范围．19．已知12:,,,k Q a a a L 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{}1,2,,n m ∈L ，在Q 中存在()12,,,,0i i i i j a a a a j +++≥L ，使得12i i i i j a a a a n +++++++=L ，则称Q 为m －连续可表数列．(1)判断Q ：1，3，2是否为6－连续可表数列?说明理由； (2)若12:,,,k Q a a a L 为8－连续可表数列，求证：k 的最小值为4；(3)若12:,,,k Q a a a L 为20－连续可表数列，且1220k a a a ++⋯+<，求证：7k ≥．。
江苏“决胜新高考”2025届高三10月名校联考数学试卷含答案
江苏省“决胜新高考”2025届高三上学期10月名校联考数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题pp:∀xx>1，xx3>xx2，则¬pp为( )A. ∃xx>1，xx3≤xx2B. ∃xx≤1，xx3≤xx2C. ∀xx>1，xx3≤xx2D. ∀xx≤1，xx3≤xx22.已知集合AA={−1,0,2}，BB={xx|1−mmxx>0}，若AA⊆BB，则m的取值范围是( )A. (−1,+∞)B. (−∞,12)C. (−1,12)D. (−∞,−1)∪(12,+∞)3.在(xx3−2xx)4的展开式中，常数项为( )A. −4B. 4C. −32D. 324.“xx>yy>1”是“xx−1yy>yy−1xx”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.如图，水面高度均为2的圆锥、圆柱容器的底面积相等，高均为4(不考虑容器厚度及圆锥容器开口).现将圆锥容器内的水全部倒入圆柱容器内，记倒入前后圆柱容器内水的体积分别为VV1，VV2，则VV1VV2=( )A. 49B. 59C. 1119D. 12196.若曲线yy=(xx+aa)ln(1−2xx)关于直线xx=bb对称，则aa−bb=( )A. −2B. 0C. 1D. 27.已知αα，ββ为锐角，cos(αα+ββ)=sinααsinββ，则tanαα的最大值为( )A. 1B. √ 2C. √ 24D. √ 338.已知aa=√ee−1，bb=sin12，cc=ln32，则( )A. aa<bb<ccB. bb<cc<aaC. cc<aa<bbD. cc<bb<aa二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
江苏省南通市2024-2025学年高三上学期10月调研考试 数学含答案
2024/2025学年度高三第一次调研测试数学（答案在最后）2025.09一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“N x ∀∈，20x >”的否定为（）A.N x ∀∈，20x ≤B.N x ∃∈，20x ≤C.N x ∃∈，20x > D.N x ∀∈，20x <2.已知集合{}2,Z A x x x =<∈，(){}2ln 3B x y x x ==-，则A B = （）A.{}02x x << B.{}23x x -<< C.{1}D.{0,1,2}3.已知点(3,4)P -是角α终边上一点，则cos2α=（）A.725B.725-C.2425D.2425-4.已知函数()1,121,12xa x f x x x⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A.0a < B.12a >-C.102a -<< D.102a ≤<5.已知函数()f x 部分图象如图所示，则其解析式可能为（）A.()()2ee xxf x x-=- B.()2()ee xxf x x-=+C.()()e exxf x x -=- D.()()e exxf x x -=+6.过点(3,1)作曲线ln(1)y x =-的切线，则这样的切线共有（）A.0条B.1条C.2条D.3条7.锐角α、β满足sin cos()sin βαβα=+，若1tan 2α=，则cos()αβ+=（）A.12B.2C.2D.2-8.若函数())2sin 20f x x x ωωω=->在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个零点，则ω的取值范围为（）A.14,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B.14,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.17,66⎛⎤⎥⎝⎦D.17,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知011a b <<-<，则（）A .01b << B.a b> C.1a b -< D.14ab <10.已知1x ，2x ，3x 是函数32()1f x x a x =-+的三个零点（0a >，123x x x <<），则（）A.32a >B.120x x <<C .()()13f x f x ''= D.()()()1231110f x f x f x ''++='11.若定义在R 上的函数()f x 的图象关于点(2,2)成中心对称，且(1)f x +是偶函数，则（）A.()f x 图象关于0x =轴对称B.(2)2f x +-为奇函数C.(2)()f x f x += D.20()42i f i ==∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数()2sin cos 2x af x x +=-是奇函数，则π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．13.“1x y <<”是“ln ln x x y y <”的________条件．（选填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”）14.班上共有45名学生，其中40人会打乒乓球，30人会骑自行车，25人会打羽毛球，则三个运动项目都会的同学至少有________人．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知α、β为锐角，sin 10α=，1tan 3β=．（1）求tan 2α的值；（2）求2αβ+的大小．16.已知函数()e e 22x x f x x -=--+.（e 2.71828=⋅⋅⋅）（1）判断函数()2y f x =-的奇偶性并证明，据此说明()f x 图象的对称性；（2）若任意(1,)x ∈+∞，(ln )()4f m x f x +>，求实数m 的取值范围．17.若函数()()πcos 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象的相邻对称轴距离为π2，且π162f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 的图象向右平移5π12个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数=的图象．当∈0,π时，求不等式()24g x g x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭π的解．18.绿色、环保是新时代健康生活的理念，某一运动场馆投放空气净化剂净化场馆，已知每瓶空气净化剂含量为a ，投放后该空气净化剂以每小时10%的速度减少，根据经验，当场馆内空气净化剂含量不低于3a 时有净化效果，且至少需要持续净化12小时才能达到净化目的.现有9瓶该空气净化剂.（1）如果一次性投放该空气净化剂9瓶，能否达到净化的目的？如果能，说明理由；如果不能，最多可净化多长时间？（精确到0.1小时）（2）如果9瓶空气净化剂分两次投放，在第一次投放后间隔6小时进行第二次投放，为达到净化目的，试给出两次投放的所有可能方案？（每次投放的瓶数为整数，投放用时忽略不计）（参考数据：lg 30.477≈，60.90.53≈）.19.已知函数2()2ln 1f x x ax =-+，0a ≥．（1）若()f x 的最大值为0，求a 的值；（2）若存在(,)k m n ∈，使得()()()()f n f m f k n m '-=-，则称k 为()f x 在区间(,)m n 上的“巧点”．（ⅰ）当0a =时，若1为()f x 在区间(,)m n 上的“巧点””，证明：2m n +>；（ⅱ）求证：任意0a >，()f x 在区间(,)m n 上存在唯一“巧点”k ．2024/2025学年度高三第一次调研测试数学2025.09一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】1-【13题答案】【答案】充分不必要【14题答案】【答案】5四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）724（2）π4．【16题答案】【答案】（1）奇函数，理由见解析，()f x 图像关于(0,2)中心对称（2）e m >-．【17题答案】【答案】（1）()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）11π012x <≤【18题答案】【答案】（1）不能达到净化目的，最多可净化10.4小时；（2）第一次投放6瓶，第二次投放3瓶；或在第一次投放7瓶，第二次投放2瓶.【19题答案】【答案】（1）1a =（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析。
2024-2025学年高三10月大联考(新高考卷)数学试题及答案
2025届高三10月大联考（新课标卷）数学本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合1|1A x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{|1B x x =≤-或}1x >，则A B = （ ）A. (](),11,∞∞--⋃+ B. R C. ()(),11,∞∞-⋃+ D. ∅2. 数据25，30，32，35，37，39，40，42，43，44上四分位数为（ ）D. 42A. 30B. 32C. 403. 已知a ，b 为非零向量，1a b ⋅= ，()3,4b = ，则a 在b 上的投影向量为（ ）A. 15b r B. 125b C. bD. 1125b 4. 已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若22a =，7434S a =+，则10S =（ ）A. 5-B. 5C. 52- D. 525. 函数()()23ππsin cos 22sin cos 1sin 2cos 2x x f x x x x x⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--+图象的对称中心为（ ）A. π,04k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，k ∈Z B. π,02k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，k ∈Z C. ()π,0k ，k ∈Z D. ()2π,0k ，k ∈Z 的的6. ()5121x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为（ ）A. 10 B. 20 C. 10- D. 20-7. 榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，通过将连接部分紧密拼接，使整个结构能够承受较大的重量，并具有优异的抗震能力.其中，木楔子的运用极大地增加了榫卯连接的牢固性.木楔子是一种简单的机械工具，用于填充器物的空隙，使其更加稳固.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD 是正方形，//EF AB ，且ADE V ，BCF V 均为正三角形，28EF AB ==，则ED 与BF 所成角的大小为（ ）A. π2 B. π3 C. π4 D. π68. 已知函数()f x 满足()()2sin tan f x f x x x --=+，若函数()y f x =在[]3π,5π-上的零点为1x ，2x ，…，n x ，则1ni i x ==∑（ ）A. 8πB. 9πC. 16πD. 17π二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 设1z ，2z 为复数，则下列说法中正确的有（ ）A. 若1i z a b =+，2i z c d =+，其中a ，b ，c ，d ∈R ，且a c >，b d >，则12z z >B. 若()22321i m m m -++-（m ∈R ）为纯虚数，则2m =C. 若关于x 方程20x px q ++=，p ，q ∈R 的一个虚根为2i 1-，则5p q +=-D. 若112i z =-+，234i z =+，则复数12z z -在复平面内对应的点位于第三象限10. 已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与C 交于,A B 两点，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，AB 的中点为()00,M x y ，则下列说法中正确的有（ ）A. 若直线l 过焦点F ，则024AB x =+B. 若直线l 过焦点F ，则·AF BF 的最小值为4的C. 若直线AB 的斜率存在，则其斜率与0x 无关，与0y 有关D. 若O 为坐标原点，直线l 的方程为()4y k x =-，则OA OB⊥11. 已知函数()f x 的定义域为ππ,42k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，其导函数为f ′(x )，π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()()()()()()f x y f x f y f x y f x f y +-+=+，则（ ）A. ()00f =B. f ′(x )为奇函数C. π2n （*n ∈N ）是函数()f x 的周期D. 20240ππ202482i i f =⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若定义在R 上的函数()f x 满足()21f =，且()()22lim 12x f x f x →-=-，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为_____.13. 已知椭圆221x b =（0a b >>）的长轴长为4.若A ，B 分别是椭圆的上、下顶点，1F ，2F 分别为椭圆的上、下焦点，P 为椭圆上任意一点，且12PA PB ⋅=- ，则12PF F 的面积为_____.14. 已知不等式()2e 21x x a +--a 的取值范围为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1a =，2πcos cos 2cos 3b A a B c B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（1）求B ；（2）若D 是边AC 上一点，且2DC AD =，BD =b .16. 为提高学生的身体素质，某校决定开展一次学生自愿报名参加的体能训练活动.已知该校学生人数为m ，参加体能训练活动的男生人数为13m ，不参加体能训练活动的男生人数为14m ，参加体能训练活动的女生人数为14m .（1）若该校有1200名学生，根据题意完成如图所示的22⨯列联表，并依据小概率值0.1α=的2χ独立性检验，分析学生参加体能训练活动的意愿与性别是否有关联；参加不参加合计男生女生（2）按是否参加体能训练活动，采用按比例分配的分层随机抽样方法从该校男生中抽取14人，再从这14人中随机抽取2人，设这2人中参加体能训练活动的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α010.050.010.001x α 2.706 3.841 6.63510.82817. 如图，在正三棱锥P ABC -中，PA PB PC a ===，AB AC BC b ===，BC 的中点为D ，过点P 作底面ABC 的垂线，垂足为H ，O 是线段PH 上的一个动点.（1）证明：OA BC ⊥；（2）若O 是正三棱锥P ABC -外接球球心，且a b =，求平面OAB 与平面OBD 夹角的余弦值.18. 在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()2,0B ，C 是平面内的动点，且ABC V 内切圆的圆心在直线1x =上.（1）求动点C 的轨迹W 的方程；（2）过点B 作三条不同的直线1l ，2l ，3l，且1l x ⊥轴，2l 与W 交于M ，N 两点，3l 与W 交于P ，Q.的两点，M ，P 都在第一象限，直线MP ，NQ 与1l 分别交于点G ，H ，证明：11BG BH-为定值.19. 一般地，n 元有序实数组()12,,,n a a a ⋅⋅⋅称为n 维向量（如用一个实数可表示一维向量，用二元有序实数对可表示二维向量，⋅⋅⋅）.类似我们熟悉的二维向量和三维向量，对于n 维向量，也可以定义两个向量的加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度（模）等，如()12,,,n a a a a =⋅⋅⋅r，则a = 若存在不全为零的r 个实数1k ，2k ，⋅⋅⋅，r k ，使得11220r r k a k a k a ++⋅⋅⋅+=u r u u r u u r r ，则称向量组1a ，2a ，⋅⋅⋅，r a 是线性相关的，否则，称向量组1a ，2a ，⋅⋅⋅，r a 是线性无关的.（1）判断向量组()1,1,1a = ，()1,2,2b =- ，()4,2,1c =- 是否线性相关.（2）已知函数()e xf x =，()1g x ax =+，且()()0f x g x -≥恒成立.①求a 的值；②设()12,,,n a a a a =⋅⋅⋅r ，其中()1n a g n =，若()n b f n =，()n c g n =，数列{}n n b c 的前n 项和为n S ；证明：当*n ∈N 时，217212n n n S a n n +->⋅-≥+ .。
江苏省2023届新高考数学高三上学期10月月考试卷分类汇编：三角部分解答题(原卷版)
江苏省2023届新高考数学高三上学期10月期初考试试卷分类汇编：三角部分解答题【类型一：三角函数的图象与性质】1．(2023·江苏阜宁县实验高级中学10月月考)(10分)已知扇形AOB 的周长为8．(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB ．2．(2023·江苏阜宁县实验高级中学10月月考)(12分)已知函数f (x )＝sin(2π－x )sin(3π2－x )－3cos 2x ＋3． (1)求f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)当x ∈[0，7π12]时，求f (x )的最小值．3．(2023·江苏姜堰、如东、沭阳如东10月联考)(本题满分12分)设f (x )＝2sin x cos x －2cos 2(x ＋π4)． (1)求f (x )的单调增区间及对称中心；(2)当x ∈(0，π2)时，f (x ＋π6)＝35，求cos2x 的值．4．(2023·江苏苏州中学10月)(本小题满分10分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)部分图象如图所示，函数f (x )的图象过点(－13，0)，(0，1)，(83，－A )． (1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[－12，32]，求函数y ＝f (x ＋1)＋f (x )的值域．5．(2023·江苏苏州八校联盟10月)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋π6)＋2sin 2(ωx 2＋π12)－1(ω＞0)的相邻两对称轴间的距离为π2． (1)求f (x )的解析式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，当x ∈[－π12，π6]时，求函数g (x )的值域； (3)对于第(2)问中的函数g (x )，记方程g (x )＝m (m ∈R )在x ∈[π6，4π3]上有五个实数根x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，其中x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5，求m ＋x 1＋2x 2＋2x 3＋2x 4＋x 5的取值范围．6．(2023·江苏淮安涟水县第一中学10月月考)(本小题满分10分) . 已知函数()ππsin cos (0)63f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (1)若()f x 的最小正周期T π=， 求()f x 在[]0,π上的单调递减区间；(2)若x R ∀∈，都有()()3f x f π≤， 求ω的最小值；7．(2023·江苏淮安涟水县第一中学10月月考)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin a αα=，，()sin cos b ββ=-，，()12c =． (1)若a b c +=，求sin ()αβ-的值；(2)设56πα=，0βπ<<，且()//a b c +，求β的值．【类型二：三角恒等变换】1．(2023·江苏阜宁县实验高级中学10月月考)(12分)在平面直角坐标系xOy 中，锐角α，β的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 的交点分别为P ，Q ．已知点P 的横坐标为277，点Q 的纵坐标为3314． (1)求cos2α的值；(2)求2α－β的值．2．(2023·江苏南京镇江八校联盟10月)(12分)已知函数f (α)＝sin(－α)cos(52π＋α)cos(－π2＋α)tan(－π＋α)． (1)化简f (α)；(2)若角α终边有一点P (m ，3)，且cos α＝12，求m 的值； (3)求函数g (x )＝2f 2(x )＋f (－π2＋x )＋2的值域．3．(2023·江苏苏州外国语10月模拟)(10分)已知f (x )＝3cos(2x －π2)－2sin 2x －1． (1)当x ∈(0，π2)时，求f (x )的值域； (2)当x ∈(0，π6)时且f (x )＝32，求f (x －π12)的值．4．(2023·江苏泰州中学10月)(本题满分12分)已知向量→a ＝(1，－3)，→b ＝(sin x ，cos x )，f (x )＝→a ·→b ．(1)若f (θ)＝0，求2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4的值； (2)当x ∈[0，π]时，求函数f (x )的值域．5．(2023·江苏无锡堰桥高级中学10月)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2 x －1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，再把所得到的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π12上的值域．【类型三：解三角形】1．(2023·江苏姜堰、如东、沭阳如东10月联考)(本题满分12分)已知△ABC 中，D 为BC 边．上一点，且→BC ＝2→BD ，AB ＝2AD ．(1)求证：∠BAC ＋∠DAC ＝π；(2)若DC ＝6，求△ABC 面积的最大值．2．(2023·江苏常州八校10月联考)(本小题满分12分)密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．皇冠图形(图1)是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成．为测皇冠图形的面积，测得在平面凹四边形ABCD (图2)中，AB ＝5，BC ＝8，∠ABC ＝60°．图1 图2(1)若CD ＝5，AD ＝3，求平面凹四边形ABCD 的面积；(2)若∠ADC ＝120°，求平面凹四边形ABCD 的面积的最小值．3．(2023·江苏丹阳高级中学、常州高级中学、南菁高级中学10月联考)(12分)在平面四边形ABCD 中，∠ABD ＝45°，AB ＝6，AD ＝32．对角线AC 与BD 交于点E ，且AE ＝EC ，DE ＝2BE ．(1)求BD 的长；(2)求DC 的长．4．(2023·江苏金陵中学、海安中学10月第二次联考)(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为边BC 上一点，若AB AC ＝DB DC． (1)证明：(i)AD 平分∠BAC ；(ii)AD 2＝AB ⋅AC －DB ⋅DC ；(2)若(1＋sin B )sin ∠BAC ＝cos B (1＋cos ∠BAC )，求a ＋b c的最大值．5．(2023·江苏南京盐城部分学校10月联考)（12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知点D 在边AC 上，AB ＝BD ＝CD ．（1）证明：bc ＝a 2－c 2；（2）若cos△ABC ＝916，且c ＝1，求△ABC 的面积．6．(2023·江苏泰州中学10月)(本题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a －b cos C ＝3c sin B ．(1)求B ；(2)若a ＝2，且△ABC 为锐角三角形，求△ABC 的面积S 的取值范围．7．(2023·江苏扬州中学10月)(12分)如图，设△ABC 的内角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝π3，且sin A －sin B sin C ＝c －b a ＋b，点D 是△ABC 外一点，DC ＝1，DA ＝2．(1)求角B 的大小；(2)求四边形ABCD 面积的最大值．8.(2023·江苏无锡堰桥高级中学10月)在△2a sin C ＝c tan A ；②2a cos B ＝2c －b ；△22cos cos 212B C A +=+；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．在中，内角所对的边分别是，已知________．(1) 求的值：(2)若面积为，周长为5，求a 的值．9．(2023·江苏南通如皋10月)在①22cos a b c B -=，②222)S a b c =+-，③2)12sin 2C A B +=+三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设ABC 的面积为S ，已知______.(1)求角C 的值；(2)若4b =，点D 在边AB 上，CD 为ACB ∠的平分线，CDB，求边长a 的值.ABC ∆C B A ,,c b a ,,A ABC ∆43【类型四：综合应用】1．(2023·江苏丹阳高级中学、常州高级中学、南菁高级中学10月联考)(10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2C －cos 2A ＝2sin A sin B －sin 2B ．(1)求∠C 的大小；(2)已知a ＋b ＝4，求△ABC 的面积的最大值．2．(2023·江苏丹阳高级中学、常州高级中学、南菁高级中学10月联考)(12分)已知函数f (x )＝2sin ωx (cos ωx －3sin ωx )＋3(ω＞0)．(1)若f (x )在[0，π24]上单调递增，求正数ω的取值范围； (2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a ＝2，ω＝2，f (A 4)＝3，D 、E 、H 为BC 边上的点．从以下给出的3个条件中选择其中1个条件，并根据所选择的条件判断是否存在满足条件的三角形?若存在，求出△ABC 的周长；若不存在，请说明理由．①BC 边的中线AD ＝32；②A 角的角平分线AE ＝32；③BC 边的垂线AH ＝32．3．(2023·江苏丹阳高级中学、常州高级中学、南菁高级中学10月联考)(12分)人脸识别就是利用计算机分析人脸视须或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．己知二维空间两个点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则其曼哈顿距离为d (A ，B )＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|，余弦相似度为cos(A ，B )＝x 1x 12＋y 12×x 2x 22＋y 22＋y 1x 12＋y 12×y 2x 22＋y 22，余弦距离：1－cos(A ，B )． (1)若A (1，1)，B (2，－2)，求A ，B 之间的余弦距离；(2)已知0＜α＜β＜π2，M (5cos α，5sin α)，N (13cos β，13sin β)，P (5cos(α＋β)，5sin(α＋β))，若cos(M ，P )＝513，cos(M ，N )＝6365，求M ，P 之间的曼哈顿距离．4．(2023·江苏南师附中10月考试)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3a cos C －a sin C ＝3b ．(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，求BC 边上的中线AD 长度的最小值．5．(2023·江苏南京六校联合体10月)设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，cossin 2B C a B +=. (1)若2a =，求ABC ∆面积的最大值；(2)若π3B =，在ABC ∆边AC 的外侧取一点D （点D 在ABC ∆外部），使得1,2DC DA ==，且四边形ABCD 2.求ADC ∠的大小.6．(2023·江苏苏州八校联盟10月)(本小题满分12分)在①3a sin C ＋a cos C ＝b ＋c ，②sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，③c ⋅cos A cos B ＋b ⋅cos A cos C ＝a 2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答． 问题：在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且 ．(1)求角A ；(2)若O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝120°，∠AOC ＝135°，b ＝1，c ＝3，求tan ∠ABO ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．7．(2023·江苏淮安涟水县第一中学10月月考)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22cos c a b A -=．（1）求角B 的大小；（2）若M 是AC 的中点，且4b =，在下面两个问题中选择一个进行解答．△求△ABM 面积的最大值； △求BM 的最大值．（注：如果求解了两个问题，则按照第一个问题解答给分）8．(2023·江苏阜宁县实验高级中学10月月考)(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，tan(B －A )＝13． (1)求tan B 的值；(2)若c ＝13，求△ABC 的面积．9．(2023·江苏南京市建邺区第一次联合统测10月)（12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(cos2A ＋tan B )·(tan 2A ＋tan B )＝tan 2B ＋tan B ．（1）若A ＝π6，求C ； （2）若cos A cos B ＝12，证明：△ABC 是等腰直角三角形．10．(2023·江苏苏州外国语10月模拟)(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3(a cos C －b )＝c sin A ．(1)求角A ；(2)若AD 为BC 边上中线，AD ＝1292，AB ＝5，求△ABC 的面积．11．(2023·江苏苏州外国语10月模拟)(12分)在①2a cos A ＝b cos C ＋c cos B ；②tan B ＋tan C ＋3＝3tan B tan C 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知 ．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，且其面积为32，点G 为△ABC 重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且AN ＝2NB ，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求|GP |的取值范围． 注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．12．(2023·江苏苏州中学10月)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －3c 3a＝cos C cos A ． (1)求角A 的值；(2)若角B ＝π6，BC 边上的中线AM ＝7，求△ABC 的面积．。
江苏省江浙高中发展共同体2023-2024学年高三上学期10月联考数学试题及答案
2023学年第一学期江浙高中（县中）发展共同体高三年级10月联考数学1.已知集合{}{}41,,21,M xx k k Z N x x k k Z ==-∈==-∈∣∣，则考生须知：1.本试卷共22小题.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，请务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上；3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效；4.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹签字笔或钢笔描黑.一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（）A.M N ⋂=∅B.M N N ⋂=C.M N N ⋃=D.M N Z⋃=2.已知复数z 满足i 2i z =+，则z =（）A.12i- B.12i+ C.2i- D.2i+3.在()61()x x y --的展开式中，含43x y 项的系数为（）A.-20B.20C.-15D.154.若函数()ln f x a x bx =+有极大值，则（）A.0,0a b >>B.0,0a b ><C.0,0a b <> D.0,0a b <<5.已知向量,a b满足,,|2|||6a b a b a b π〈〉=-=+ ，则向量a 在向量b 上的投影向量为（）A.2bC.12b D.32b 6.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若63254,8S S a a =+=，则8a =（）A.6B.C. D.187.漏刻是中国古代的一种计时系统，“漏”是指计时器——漏壶，“刻”是指时间，《说文解字》中记载：“漏以铜壶盛水，刻节，昼夜百刻.”某展览馆根据史书记载，复原唐代四级漏壶计时器，如图，计时器由三个圆台形漏水壶和一个圆柱形受水壶组成，当最上层漏水壶盛满水时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为0，当最上层漏水壶中水全部漏完时，浮箭刻度为100.已知最上层漏水壶口径与底径之比为5：3，则当最上层漏水壶水面下降到其高度的一半时，浮箭刻度约为（）（四舍五入精确到个位）A.38B.60C.61D.628.将函数()sin f x x ω=的图象向右平移3π个单位后得到函数()y g x =的图象，若函数()y f x =和()y g x =在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上都恰有两个极值点，则正整数ω的最小值为（）A.7B.8C.9D.10二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.袋中有3个大小､形状完全相同的小球，其中1个黑球2个白球.从袋中不放回取球2次，每次取1个球，记取得黑球次数为X ；从袋中有放回取球2次，每次取1个球，记取得黑球次数为Y ，则（）A.随机变量X 的可能取值为0或1B.随机变量Y 的可能取值为0或1C.随机事件{}1X =的概率与随机事件{}1Y =的概率相等D.随机变量X 的数学期望与随机变量Y 的数学期望相等10.已知正三棱柱1111,,,ABC A B C AB D E -=分别为棱11,A B BC 的中点，则（）A.1AD C E ∥B.DE ∥面11AA C CC.11DE A B ⊥ D.1A B ⊥面1AC D11.已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为A .直线():00l x by a b -+=≠与C 没有公共点，直线m 经过点(),B a b .则（）A.12BA AF ⋅<-B.m 与C 有两个公共点C.以BF 为直径的圆与y 轴相离D.BAF ∠小于4512.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，233f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设函数()()2cos 2g x x f x π⎛⎫⎛⎫=+⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()1g x +是偶函数，则（）A.()20g = B.()()721g f =C.453f ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.201233k k f =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13.设圆22:(1)(1)2C x y -+-=，直线l 经过原点且将圆C 分成1:3两部分，则直线l 的方程为__________.14.在ABC 中，AC BC ⊥，3sin 5A =，以,A C 为焦点且经过点B 的椭圆离心率记为1e ，以,BC 为焦点且经过点A 的椭圆离心率记为2e ，则12e e =__________.15.已知()2tan 2cos 0,cos sin 3αβαβα=≠-=，则sin β=__________.16.第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”､“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有__________.（用数字作答）四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）为研究农药A 对农作物成长的功效，在甲､乙两块试验田播种同一种农作物，甲试验田喷洒农药A ，乙试验田没有喷洒农药A ，经过一段时间后，从甲､乙两块试验田各随机选取100株幼苗，统计200株幼苗高度（单位：cm ）如下表：幼苗高度[)6,8[)8,10[)10,12[]12,14甲试验田10155520乙试验田10354510（1）分别求甲､乙两块试验田中幼苗的平均高度的估计值（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）；（2）分别统计样本中甲､乙两块试验田幼苗高度小于10cm 和不小于10cm 的株数，完成下列联表，并依据小概率0.01α=的独立性检验，分析是否喷洒农药A 与幼苗生长的高度有关联？高度10cm<高度10cm≥喷洒农药A 没有喷洒农药A 附：α0.0500.0100.001x α3.841 6.63510.828()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d=+++18.（本题满分12分）记n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11,0n a a =≠，且*141,N n n n a a S n +=+∈.（1）记2n n b a =，求数列{}n b 的通项公式；（2）求20S .19.（本题满分12分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,a b ，c ，且有()()sin sin sin sin 2a b A B c C A a b-++=-，求（1）C ；（2）22sin sin A B +的最大值.20.（本题满分12分）如图，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面,BCD E 是空间中一点，且AE ⊥平面ABC .（1）证明：AE ∥平面BCD ；（2）若,BD CD AB BD CD ⊥==，求平面CAE 与平面DAE 的夹角的余弦值.21.（本题满分12分）已知函数()()1e ln xf x x a x =-+.（e 为自然对数的底）（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与曲线e x y =也相切，求a ；（2）()()1,,0x f x ∞∀∈+>，求a 的取值范围.22.（本题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为52，右顶点A 到C 的一条渐近线的距离为5.（1）求C 的方程；（2）,D E 是y 轴上两点，以DE 为直径的圆M 过点()3,0B -，若直线DA 与C 的另一个交点为P ，直线EA 与C 的另一个交点为Q ，试判断直线PQ 与圆M 的位置关系，并说明理由.2023学年第一学期江浙高中（县中）发展共同体高三年级10月联考数学参考答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】C【解析】因为|2|||a b a b -=+，所以222||||cos ||||6b a b a b a b π=⋅=⋅⨯=⋅ ，所以|||b a =，所以向量a 在向量b 上的投影向量为1cos 62b a b b π⋅⋅=∣，故选C.6.【答案】D【解析】设公比为q ，则()33314q SS +=，显然30S ≠，所以33q =，因为()32522148a a a q a+=+==，所以22a =，所以6822918a a q ==⨯=.7.【答案】D【解析】由题意，最上层漏水壶所漏水的体积与浮箭刻度成正比，设最上层漏水壶的口径与底径分别为5a ，3a ，高为h，则体积为222149(5)(3),33V a a h a h πππ⎡=⋅+⋅+⋅=⎣当最上层漏水壶水面下降到高度的一半时，设此时浮箭刻度为x，因为已漏水体积2221161(5)(4),326h V a a a h πππ⎡=⋅+⋅+⋅⎣所以，2261616,1006249100983a hx x a h ππ==⨯≈8.【答案】B 【解法1】当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0,4x ωπω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为曲线()y f x =在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上恰有两个极值点，所以35242πωππ<≤，解得610ω<≤.当7ω=时，()7sin 73g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以7777,3312x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，在77,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭内只有一个极值点32π-，不合；当8ω=时，()8sin 83g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以8828,333x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，在77,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭内有两个极值点：53,22ππ--，满足题意.所以选B.【解法2】当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0,4x ωπω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为曲线()y f x =在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上恰有两个极值点，所以35242πωππ<≤，解得610ω<≤.①由题意，()sin 3g x x ωπω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,3312x ωπωπωπω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，由①知，5,1262ωπππ⎡⎫-∈--⎪⎢⎣⎭，又函数()y g x =在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上恰有两个极值点，所以75232πωππ-≤-<-，解得152122ω<≤.②由①和②得，ω的取值范围是15,102⎛⎤⎥⎝⎦.选B.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】AD 10.【答案】BD【解析】对于A ，显然AD 与CE 异面，故A 错误；对于B ，取11B C 中点F ，连结,DF EF ，易证面DEF ∥面11AA C C ，所以DE ∥面11AA C C ，故B 正确；对于C ，假设11DE A B ⊥，则DE 垂直平分11A B ，设1AA =，则2AB =，易算得11A E B E ==，因为11A E B E ≠，这与DE 垂直平分11A B 矛盾，故C 错误；对于D ，可证11AA B A DA ~ ，所以1A B AD ⊥，又1C D ⊥面11AA B B ，所以11C D A B ⊥，所以1A B ⊥面1AC D ，故D 正确.综上，本题选BD.11.【答案】ACD【解析】联立直线0x by a -+=与抛物线C 方程，消去x 得，2220y by a -+=，因为直线0x by a -+=与C 没有公开点，所以()2Δ420b a =-<，所以22b a <，故点B 位于抛物线C 内部.对于A ，因为11,0,,022A F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且0a >，所以()111,1,0222BA AF a b a ⎛⎫⋅=---⋅=--<- ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，当直线m 平行于x 轴时，m 与C 有唯一公共点；当直线l 与x 轴不平行时，l 与C 有两个公共点，故B 错误；对于C ，延长FB 交C 于点Q ，则以QF 为直径的圆M 与y 轴相切，因为以BF 为直径的圆N 与圆M 内切，切点为F ，且圆N 半径较小，所以圆N 与y 轴相离，故C 正确；对于D ，过点A 与C 相切的切线斜率为1，倾斜角为45 ，又点B 是位于C 内部的一点，所以BAF ∠小于45 ，故D 正确.综上，本题选ACD.12.【答案】AC【解析】因为()f x 是R 上的奇函数，所以()00f =，且()g x 也是R 上的奇函数，因为()1g x +是偶函数，所以()()2g x g x -=，所以()g x 是以4为周期的周期函数.因为2cos 2y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭周期为4，所以()f x 也是以4为周期的周期函数.对于A ，因为()()()4g x g x g x -=-=-，令2x =得()20g =，故A 正确；对于()()()()7B,7cos 2721212g f f f π⎛⎫⎛⎫=+⋅=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，42215cos 233332g g f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以4435232cos 3g f π⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭+，故C 正确；对于D ，因为()()()()()()4,4200g x g x g x g g g -=-=-===，故()()420f f ==；8483354432cos 2cos 33g g f ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭===- ⎪⎝⎭++；同理10210333;5532cos 2cos 33g g f ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭===- ⎪⎝⎭++所以61224810(2)(4)0, 33333k k f f f f f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑，所以201238402430833333k k f f f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑，故D 错误.综上，本题选AC .三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13.【答案】0x =，或0y =14.【答案】32【解析】设3,4,5BC AC AB ===，则141532AC e AB BC ===++，231543BC e AB AC ===++，所以1232e e =.15.【答案】16【解析】因为tan 2cos 0αβ=≠，所以1cos cos sin 2αβα=，又()2cos cos cos sin sin sin 3αβαβαβα-=+=，所以12sin sin sin sin 23ααβα+=，因为sin 0α≠，所以1sin 6β=.16.【答案】336【解析】分两种情形：①前排含有两种不同名称的吉祥物，首先，前排从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种，其中一种两个，另一种一个，有12132424C A C ⋅⋅=种排法；其次，后排有222A =种排法，故共有48种不同的排法；②前排含有三种不同名称的吉祥物，有1113322233288C C C A A ⋅⋅⋅⋅=种排法.因此，共有336种排法.四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.解析：（1）样本平均数为：()11071595511201310.7100x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯=甲，()11073594511101310.1.100x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯=乙所以估计甲块试验田中幼苗的平均高度为10.7cm ；估计乙块试验田中幼苗的平均高度为10.1cm .（2）列联表为：高度10cm<高度10cm ≥合计喷洒农药2575100没有喷洒农药4555100合计70130200零假设为0H ：喷洒农药A 与幼苗生长的高度无关联.根据列联表中数据，可得220.01200(75455545)8008.791 6.635,130********x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯根据小概率值0.01α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为喷洒农药A 与幼苗生长的高度有关联，此推断犯错的概率不大于0.01.18.解析：因为141n n n a a S +=+，①所以12141n n n a a S +++=+，②②-①得，()1214n n n n a a a a +++-=，因为0n a ≠，所以24n n a a +-=，所以数列{}n a 的奇数项和偶数项分别是以4为公差的等差数列，（1）令1n =代入141n n n a a S +=+，得12141a a S =+，由111a S ==，得25a =，所以1212225,4n n n n b a b b a a ++==-=-=，所以数列{}n b 是公差为4，首项为5的等差数列，其通项公式为4 1.n b n =+（2）当n 为奇数时，21n a n =-，当n 为偶数时，21n a n =+，所以()()2013192320S a a a a a a =+++++++ ()()15375941=+++++++ 190230=+420=19.解：（1）因为()()sin sin sin sin 2a b A B c C A a b-++=-，所以()()22a b a b c a a b-++=-，化简得222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==.又因为0C π<<，所以3C π=.（2）法一：221cos21cos2sin sin 22A BA B --+=+()11cos2cos22A B =-+141cos2cos 223A A π⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1131cos2sin2222A A ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭11sin 226A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭由（1）可知，203A π<<，所以72666A πππ-<-<，所以2213sin sins 1sin 2262A B A π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ ，当3A π=时，223sin sin 2A B +=，所以22sin sins A B +的最大值为32.法二：由余弦定理得：223sin sin sin sin 4A B A sB +-=，由基本不等式得：()222213sin sins sin sins 24A B A B +-+ ，当且仅当sin sins A B =，等号成立，所以223sin sins 2A B + ，所以22sin sins A B +的最大值为32.20.（1）证明：过D 点作DF BC ⊥，垂足为F ，因为AB ⊥面,BCD DF ⊂面BCD ，所以AB DF ⊥，因为,AB BC ⊂面,ABC AB BC B ⋂=，所以DF ⊥面ABC ，因为AE ⊥面ABC ，所以AE DF ∥，因为DF ⊂面,BCD AE ⊄面BCD ，所以AE ∥面BCD .（2）解：设2AB BD CD ===，以B 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则()()()()()0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,2,0,1,1,0A B D C F ，又()()()2,2,2,0,2,2,1,1,0AC AD FD =-=-=- ，由（1）设(),,0,0AE FD λλλλ==-≠ ，设平面CAE 的一个法向量(),,m x y z =，则00,22200m AE x y x y z m AC λλ⎧⋅=-+=⎧⎪⎨⎨+-=⋅=⎩⎪⎩ ，令1x =，则1,2y z ==，所以()1,1,2m = ，同理可求得平面DAE 的一个法向量()1,1,1n =，设平面CAE 与平面DAE 的夹角为α，则cos cos ,3m n m n m nα⋅===⋅ ，所平面CAE 与平面DAE的夹角的余弦值为3.21.解析：（1）因为()()10,e x a f f x x x='=+，所以()1e f a '=+，所以曲线()y f x =在1x =处的切线l 的方程为()()e e y a x a =+-+设直线l 与与曲线e x y =切于点()00,ex x ，则直线l 方程为：()000e e x x y x x =-+，即()000e 1e x x y x x =+-所以()()000e e 1e e x x a x a ⎧=+⎪⎨-=-+⎪⎩()()0e 20a x +-=，因为0e e 0x a +=>，所以202,e e x a ==-.综上，a 的值为2e e -（2）因为()2e e x xa x a f x x x x +=+='，当e a ≥-时，()()'0,fx f x > 在()1,∞+上递增，()()10f x f >=；满足题意；当e a <-时，设()2e ,1x g x x a x =+>，因为()()22e 0x g x x x =+>'，所以()g x 在()1,∞+上递增，又()(1e 0,10,g a g a =+<=->所以存在()01,x ∞∈+，使得()00g x =，当()01,x x ∈时，()0g x <，即()()0,f x f x '<递减.所以()()010f x f <=，故e a <-不符合.所以a 的取值范围为[)e,∞-+.22.【解析】（1）因为C的离心率为2，所以2222c a a b c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，所以2a b =，渐近线方程20x y ±=，因为点(),0A a255=，解得2,1a b ==，所以C 的方程为2214x y -=.（2）直线PQ 与圆M 相交，理由如下：设()()120,,0,D y E y ，则()()123,,3,BD y BE y == ，因为点B 在以DE 为直径的圆M 上，所以BD BE ⊥，所以()()12123,3,90BD BE y y y y ⋅=⋅=+= ，即129y y =-，由（1）得()2,0A ，直线AD 方程为：()122y y x =--与双曲线C 方程联立，消去x 得，2211121y y y y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为直线,DA EA 与C 都有除A 以外的公共点，所以211y ≠，所以()2112211212,11P P y y y x y y +==---，即()2112211212,11y y P y y ⎛⎫+ ⎪- ⎪--⎝⎭，同理当221y ≠时，()2222222212,11y y Q y y ⎛⎫+ ⎪- ⎪--⎝⎭.()()()12221212122222121212221221114211211P Q PQ P Q y y y y y y y y y y k x x y y y y y y y y ⎛⎫- ⎪--+--⎝⎭===-=-+⎛⎫-++-- ⎪--⎝⎭，所以直线PQ 方程为：211221*********y y y x y y y y ⎛⎫+=++ ⎪+--⎝⎭，令0y =得，()()2211121222111512225141221y y y y y x y y y -++=-⋅-==---，即直线PQ 经过定点5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为1212552511,,02244ND NE y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以N 点在圆M 内，故直线PQ 与圆M 相交.。
2023-2024学年江苏省连云港市部分学校高三上学期10月联考数学试题及答案
2024届高三第二次学情检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数()()i 1i 2a a +-=-，R a ∈，则=a （ ）A. 1- B. 0C. 1D. 22. 已知全集U =R ，集合(){}2log 10A x x =-<，21B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则（ ）A [)2,U A ∞=+ð B. BA⊆C. ()U A B ⋂=∅ð D. (],2A B ⋃=-∞3. 若()()11ln 1x f x x a x -=+-+为偶函数，则=a （ ）A. 1- B. 0C.12D. 14 向量1a b ==，c = 0a b c ++=，则cos ,a c b c --= （ ）A.1314B. 1314-C.45D. 45-5. “sin cos 0αβ+=”是“22sin sin 1αβ+=”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =（ ）．A 120B. 85C. 85- D. 120-7. 已知πsin sin 13θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则πcos 3θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.12B.C.23D.8. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -+=-，且1x ∀，()21,x ∈+∞，12x x ≠，()()12120f x f x x x ->-．若1x ∀>，()()()2ln 10f x a f x --+-≤恒成立，则a 的取值范围为（ ）...A. [)2,0-B. [)2,-+∞C. ()2,-+∞ D. 12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知a b >，则（ ）A. ()()22ln 1ln 1a b +>+ B. 33a b >C. 11a b< D. 1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10. 已知函数()()π2cos 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭一个极大值点为1，与该极大值点相邻的一个零点为1-，将()f x 的图象向左平移1个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的是（ ）A. ()ππ2cos 44f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()f x 在区间()6,9上单调递增C. ()g x 奇函数D. 若()g x 在区间[]1,a -上的值域为2⎡⎤⎣⎦，则3a =．11. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，π3ABC ∠=，内角B 的平分线交AC 于点D且BD =，则下列结论正确的是（ ）A.111a c+= B. b 的最小值是2C. 3a c +的最小值是 D. ABC12. 定义在R 上的函数()f x 满足()()()220,1f x f x f x ++--=+为偶函数，则（ ）A. ()()110f x f x --+-+= B. ()()11f x f x -=+C. ()()4f x f x -= D. ()20230f =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知函数()22log ,14,1xx x f x x -≥⎧=⎨<⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________．的为14. 已知向量(cos ,2)a α=- ，(1,sin )b α= ，且a b ⊥，则2sin 22cos 3αα=+________．15. 在锐角三角形ABC ，2AB =，且114,tan tan tan A B C+=则AB 边上的中线长为__________．16. 已知直线l 与曲线1e x y -=和ln(1)y x =+都相切，请写出符合条件的两条直线l 的方程：______，______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．（1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．18. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12,3AB BC AA ===，平面1A BC ⊥平面11A ABB ．（1）求证：AB BC ⊥；（2）求二面角1A A C B --的正弦值．19.已知函数22()cos cos sin f x x x x x m =+-+的最大值为1.（1）求常数m 的值；（2）若0125x f ⎛⎫=⎪⎝⎭，0π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值.20. 已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，且1n n a T +=.（1）求证：数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）证明：321211234n n n a a a a a a a a a +---++⋅⋅⋅+<.21. 在ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()2b c a c =+.（1）若π3B =，求a c的值；（2）若ABC 22cos B C +的取值范围.22. 已知函数21()(1)ln(1),()2f x x xg x ax x =++=+．（1）求证：()11f x -≤-'；（2）若函数()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上存在最大值，求a 的取值范围．2024届高三第二次学情检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数()()i 1i 2a a +-=-，R a ∈，则=a （ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】【分析】利用复数的运算法则、复数的相等运算即可得解.【详解】解：由题意，∵()()()222i 1i i +i i 21i 220i a a a a a a a +-=--=+-=-=-+，∴22210a a =-⎧⎨-=⎩，解得：1a =-.故选：A.2. 已知全集U =R ，集合(){}2log 10A x x =-<，21B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则（ ）A. [)2,U A ∞=+ð B. B A⊆C. ()U A B ⋂=∅ð D. (],2A B ⋃=-∞【答案】C 【解析】【分析】先求出集合,A B ，再由交集，补集，并集的定义判断A ，C ，D ；由集合间的关系判断B .【详解】由()22log 10log 1x -<=，则011x <-<，解得：12x <<，所以{}12A x x =<<，由21x ≥可得210x -≥，即20x x -≥，则()200x x x ⎧-≤⎨≠⎩，解得：02x <≤，故{}02B x x =<≤， 故B 错误；故U ðA {1x x =≤或}2x ≥，故A 错误；U B ð{0x x =≤或}2x >，A ()U B ð=∅，故C 正确；(]0,2A B ⋃=，故D 错误.故选：C .3. 若()()11ln 1x f x x a x -=+-+为偶函数，则=a （ ）A. 1- B. 0C.12D. 1【答案】D 【解析】【分析】求出函数的定义域，利用函数奇偶性的定义建立方程进行求解即可．【详解】由101x x ->+，得1x >或1x <-，由()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=，得11(1)ln (1)ln 11x x x a x a x x ----+-=+--++，即11(1)ln(1)ln 11x x x a x a x x +--+-=+--+，即111(1)ln()(1)ln 11x x x a x a x x ----+-=+-++，则11(1)ln (1)ln 11x x x a x a x x ---+=+-++，由于1ln1x x -+不恒为0，所以11x a x a -+=+-，得1a =，故选：D4. 向量1a b ==，c = 0a b c ++=，则cos ,a c b c --= （ ）A.1314B. 1314-C.45D. 45-【答案】A 【解析】【分析】利用平面向量的数量积及模长计算夹角即可.【详解】由已知可得()222122c a b c a b a b a b =-+⇒=++⋅⇒⋅= ，又2,2a c a b b c b a -=+-=+，所以13cos ,14a c b c --===.5. “sin cos 0αβ+=”是“22sin sin 1αβ+=”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念，结合三角恒等式即可得结果.【详解】若sin cos 0αβ+=，则sin cos αβ=-，所以2222sin sin cos sin 1αβββ+=+=，即充分性成立；若22sin sin 1αβ+=，则22sincos αβ=，即sin cos αβ=±，所以sin cos 0αβ+=不成立，所以“sin cos 0αβ+=”是“22sin sin 1αβ+=”的充分不必要条件，故选：A.6. 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =（ ）．A. 120 B. 85C. 85- D. 120-【答案】C 【解析】【分析】方法一：根据等比数列的前n 项和公式求出公比，再根据48,S S 的关系即可解出；方法二：根据等比数列的前n 项和的性质求解．【详解】方法一：设等比数列{}n a 的公比为q ，首项为1a ，若1q =-，则405S =≠-，与题意不符，所以1q ≠-；若1q =，则611263230S a a S ==⨯=≠，与题意不符，所以1q ≠；由45S =-，6221S S =可得，()41151a q q-=--，()()6211112111a q a q q q--=⨯--①，由①可得，24121q q ++=，解得：24q =，所以8S =()()()()8411411151168511a q a q q qq--=⨯+=-⨯+=---．方法二：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为45S =-，6221S S =，所以1q ≠-，否则40S =，从而，2426486,,,S S S S S S S ---成等比数列，所以有，()()22225215S S S --=+，解得：21S =-或254S =，当21S =-时，2426486,,,S S S S S S S ---，即为81,4,16,21S ---+，易知，82164S +=-，即885S =-；当254S =时，()()()2241234122110S a a a a a a q q S =+++=++=+>，与45S =-矛盾，舍去．故选：C ．【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握48,S S 的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．7. 已知πsin sin 13θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则πcos 3θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.12B.C.23D.【答案】B 【解析】【分析】已知等式利用两角和的正弦公式和辅助角公式化简得πsin 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用诱导公式求πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】由π13πsin sin sin sin sin 13226θθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++=++=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得πsin 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππππcos cos sin 3626θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：B8. 已知定义在R 上函数()f x 满足()()2f x f x -+=-，且1x ∀，()21,x ∈+∞，12x x ≠，()()12120f x f x x x ->-．若1x ∀>，()()()2ln 10f x a f x --+-≤恒成立，则a 的取值范围为（ ）A. [)2,0-B. [)2,-+∞ C. ()2,-+∞ D. 12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】由()()2f x f x -+=-得到()f x 的图象关于点()1,0对称，再由1x ∀，()21,x ∈+∞，12x x ≠，()()12120f x f x x x ->-得到()f x 在()1,+∞上单调递增，再将()()()2ln 10f x a f x --+-≤，转化为()()()()ln 12f x f x a f x a -≤---=+，从而有()ln 1x a x +≥-，即()ln 1a x x ≥--，1x >，然后令()()ln 1h x x x =--，1x >，用导数法求得其最大值即可.【详解】解：由()()2f x f x -+=-，得()()20f x f x -++=，故()f x 的图象关于点()1,0对称．因为1x ∀，()21,x ∈+∞，12x x ≠，()()12120f x f x x x ->-．所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故()f x 在(),-∞+∞上单调递增，因为()()()2ln 10f x a f x --+-≤，所以()()()()ln 12f x f x a f x a -≤---=+，所以()ln 1x a x +≥-，即()ln 1a x x ≥--，1x >．令()()ln 1h x x x =--，1x >，则()12111x h x x x -'=-=--．当12x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增，当2x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()()max 22h x h ==-，所以2a ≥-．故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.的9. 已知a b >，则（ ）A. ()()22ln 1ln 1a b +>+ B. 33a b >C. 11a b< D. 1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BD 【解析】【分析】根据对数函数ln y x =的单调性及取特殊值1a =-，2b =-，即可判断A ；根据幂函数3y x =的单调性即可判断B ；取特殊值1a =，1b =-即可判断C ；根据指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性即可判断D ．【详解】对于A ，由函数ln y x =在()0,∞+上单调递增，又a b >，不妨取1a =-，2b =-，此时2211a b +<+，所以()()22ln 1ln 1a b +<+，故A 错误；对于B ，由函数3y x =在R 上单调递增，又a b >，所以33a b >，所以B 正确；对于C ，由a b >，不妨取1a =，1b =-，此时11a b>，故C 错误；对于D ，由函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，又a b >，所以1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确．故选：BD ．10. 已知函数()()π2cos 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的一个极大值点为1，与该极大值点相邻的一个零点为1-，将()f x 的图象向左平移1个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的是（ ）A. ()ππ2cos 44f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()f x 在区间()6,9上单调递增C. ()g x 为奇函数D. 若()g x 在区间[]1,a -上的值域为2⎡⎤⎣⎦，则3a =．【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，根据余弦型函数的图象与性质进行判断；对于B ，由余弦型函数增区间公式得出结果；对于C ，根据图象平移变换及函数奇偶性定义进行判断；对于D ，根据余弦型函数的定义域、值域的关系以及图像与性质得出结果．【详解】设()f x 的最小正周期为T ，由题意，()1124T =--=，得28T πω==，所以π4ω=，所以()π2cos 4f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又点()1,0-在()f x 的图象上，所以π2cos 04ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以π2π2π4k ϕ+=-+-，k ∈Z ，即π2π4k ϕ=-+，k ∈Z ，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-，对于A ，因为()ππ2cos 44f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ，令πππ2π2π44k x k -+≤-≤，k ∈Z ，解得8381k x k -<<+，k ∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为[]83,81k k -+，k ∈Z ，当1k =时，单调递增区间为()5,9，故B 正确；对于C ，因为()()()πππ12cos 12cos 444g x f x x x ⎡⎤=+=+-=⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为偶函数，故C 错误；对于D ，当[]1,x a ∈-时，πππ,444a x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，又()g x 的值域为2⎡⎤⎣⎦，如图，当0x =时，()02g =，所以π3π44a =，解得3a =，故D 正确．故选：BD.11. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，π3ABC ∠=，内角B 的平分线交AC 于点D且BD =，则下列结论正确的是（ ）A.111a c+= B. b 的最小值是2C. 3a c +的最小值是 D. ABC【答案】ABD 【解析】【分析】由三角形面积公式寻找a ，c 关系，再利用基本不等式判断．【详解】解：由题意得：ABC ABD BCD S S S =+△△△，由角平分线以及面积公式得1sin sin sin 2366ac πππ⨯=⨯+⨯，化简得ac a c =+，所以111a c+=，故A正确；ac a c ∴=+≥a c =时取等号，∴2≥，4ac ∴≥，所以1sin 2ABC ac A S BC =∠=≥ ，当且仅当2a c ==时取等号，故D 正确；由余弦定理222222cos b a c ac ABC a c ac=+-∠=+-()()222334344a c ac ac ac =+-=-≥-⨯=所以2b ≥，即b 的最小值是2，当且仅当2ac ==时取等号，故B 正确；对于选项C ：由ac a c =+得：111a c+=，1133(3)(1344a c a c a c a c c a ∴+=+⨯+=+++≥+=+当且仅当1113a ca c c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即11a c ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩C 错误；故选：ABD ．12. 定义在R 上的函数()f x 满足()()()220,1f x f x f x ++--=+为偶函数，则（ ）A. ()()110f x f x --+-+= B. ()()11f x f x -=+C. ()()4f x f x -= D. ()20230f =【答案】BC【解析】【分析】由已知条件得到函数()f x 的奇偶性和对称性，对选项进行验证.详解】由()()220f x f x ++--=，令2x t +=，则有()()0f t f t +-=，即()f x 为奇函数，()00f =，由()1f x +为偶函数，()f x 的对称轴为1x =，得()()11f x f x +=-，故B 选项正确；则有()()2f x f x =-，可得()()2f x f x -=--即有()()()24f x f x f x =-+=+，所以()f x 是周期函数，且周期为4（不一定是最小正周期），C 选项正确；()()()()1111f x f x f x f x --=-+=--=-+，故A 选项错误；()()()()20235064111f f f f =⨯-=-=-，已知条件不能得到()1f 的值，D 选项错误．故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知函数()22log ,14,1xx x f x x -≥⎧=⎨<⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________．【答案】1【解析】分析】代入计算即可．【详解】由函数()22log ,14,1xx x f x x -≥⎧=⎨<⎩，有()1212f f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：114. 已知向量(cos ,2)a α=- ，(1,sin )b α= ，且a b ⊥，则2sin 22cos 3αα=+________．【答案】423【解析】【分析】根据向量垂直可得1tan 2α=，即可弦切互化求解.【详解】由a b ⊥ 可得1cos 2sin 0tan 2α-α=⇒α=，【【所以22222sin 22sin cos 2tan 1432cos 32cos 3cos 3sin 53tan 2354ααααααααα====+++++，故答案为：42315. 在锐角三角形ABC ，2AB =，且114,tan tan tan A B C+=则AB 边上的中线长为__________．【解析】【分析】根据题设条件整理得2sin 4sin sin cos C A B C =，再利用正弦定理和余弦定理得到22232a b c +=，进而利用向量的数量积运算求得2CD，由此得解.【详解】因为114tan tan tan A B C +=，所以cos cos 4cos sin sin sin A B CA B C +=，整理得sin cos cos sin 4cos sin sin sin A B A B C A B C +=，即()sin 4cos sin sin sin A B CA B C+=，即sin 4cos sin sin sin C C A B C=，即2sin 4sin sin cos C A B C =，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得24cos c ab C =，又由余弦定理得2222cos ab C a b c =+-，所以()22222c a b c=+-，即22232ab c +=，则222222123cos 22ab C a b c c c c =+-=-=，假设AB 的中点为D ，则()12CD CA CB =+，所以()222124CD CA CB CA CB =++⋅ ，则()2222222211311112cos 222242422C b a ab C c c c B D A ⎛⎫++=+==⨯=⨯= =⎪⎝⎭，所以CD =..16. 已知直线l 与曲线1e x y -=和ln(1)y x =+都相切，请写出符合条件的两条直线l 的方程：______，______．【答案】 ①. y x =②. 11e ey x =+【解析】【分析】设出切点，利用切点求出切线方程，联立方程求出切点处的值，代入求出切线方程.【详解】因为1e x y -=，ln(1)y x =+，所以1e x y -'=，11y x '=+，设直线l 与曲线1e x y -=和ln(1)y x =+分别切于点()111,e x x -，()()22,ln 1x x+，所以切线方程分别为()11111e e x x y x x --=-+，()()2221ln 11y x x x x=-+++，即1111111eeex x x y x x ----+=，()22221ln 111x y x x x x =-++++，因此1121e1x x -=+，则()121ln 1x x -=-+，又()11112122ee ln 11x x x x x x ----+=+++，所以()()1111212222211ee ln 11ln 1111x x x x x x x x x ----+=+-⋅+=++⎡⎤⎣⎦+++，化简得()2221ln 101x x x -+⋅=⎡⎤⎣⎦+，解得20x =或2e 1x =-，当20x =时，切线方程为y x =，当2e 1x =-时，切线方程为11e ey x =+.故答案为：y x =，11e ey x =+.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．（1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．【答案】（1）2-；（2）1(13)(2)9nn n S -+-=.【解析】【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比q 的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出{}n a 的通项，根据{}n na 的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，1a 为23,a a 的等差中项，212312,0,20a a a a q q =+≠∴+-= ，1,2q q ≠∴=- ；（2）设{}n na 的前n 项和为n S ，111,(2)n n a a -==-，21112(2)3(2)(2)n n S n -=⨯+⨯-+⨯-++- ，①23121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=⨯-+⨯-+⨯-+--+- ，②①-②得，2131(2)(2)(2)(2)n nn S n -=+-+-++--- 1(2)1(13)(2)(2)1(2)3n n n n n ---+-=--=--，1(13)(2)9nn n S -+-∴=.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.18. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12,3AB BC AA ===，平面1A BC ⊥平面11A ABB ．（1）求证：AB BC ⊥；（2）求二面角1A A C B --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）过点A 作1AD A B ⊥，根据题意证得AD ⊥平面1A BC ，得到AD BC ⊥，再由三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，证得1AA BC ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得BC ⊥平面11A ABB ，即可得到AB BC ⊥；（2）以点B 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面1AA C 和平面1A BC 的一个法向量(1,1,0)n =和(0,3,2)m =- ，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】如图所示，过点A 作1AD A B ⊥于点D ，因为平面1A BC ⊥平面11A ABB ，平面1A BC ⋂平面111A ABB A B =，且AD ⊂平面11A ABB ，所以AD ⊥平面1A BC ，又因为BC ⊂平面1A BC ，所以AD BC ⊥，由三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，可得1AA ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥，又因为1AD AA A ⋂=，且1,AD AA ⊂平面11A ABB ，所以BC ⊥平面11A ABB ，因为AB ⊂平面11A ABB ，所以AB BC ⊥.【小问2详解】如图所示，以点B 为坐标原点，以1,,BC BA BB 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为12,3AB BC AA ===，可得1(0,2,0),(0,0,0),(2,0,0),(0,2,3)A B C A ，则11(0,0,3),(2,2,0),(0,2,3),(2,0,0)AA AC BA BC ==-==,设平面1AA C 的法向量为(,,)n x y z = ，则130220n AA z n AC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1x =，可得1,0y z ==，所以(1,1,0)n =，设平面1A BC 的法向量为(,,)m a b c = ，则123020m AA b c m AC a ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取3b =，可得0,2a c ==-，所以(0,3,2)m =-，则cos ,m n m n m n⋅===，设二面角1A A C B --的平面角为θ为锐角，可得cos θ=，所以sin θ=即二面角1A A C B --.19.已知函数22()cos cos sin f x x x x x m =+-+的最大值为1.（1）求常数m 的值；（2）若0125x f ⎛⎫=⎪⎝⎭，0π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值.【答案】（1）1m =- （2【解析】【分析】（1）根据辅助角公式化简可得()π2sin 26x m f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后根据正弦函数的性质，即可得出答案；（2）根据已知可得出0π3sin 65x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0π4cos 65x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，然后根据二倍角公式得出00ππsin2,cos 266x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值，根据两角差的余弦公式，即可得出答案.【小问1详解】()cos2f x x x m =+12cos22x x m ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 26x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当Z 2ππ2,62πk k x =+∈+，即π2π,6x k k Z =+∈时，()max 21f x m =+=，所以1m =-.【小问2详解】由（1）知，()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.由0125x f ⎛⎫=⎪⎝⎭得，0π12sin 21265x ⎛⎫⨯+-= ⎪⎝⎭，所以0π3sin 65x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.又0π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0πππ,662x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以0π4cos 65x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以000πππ24sin22sin cos 66625x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，200ππ7cos212sin 6625x x ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0000ππ1ππcos2cos 2cos263266x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦172422525=⨯=.20. 已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，且1n n a T +=.（1）求证：数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）证明：321211234n n n a a a a a a a a a +---++⋅⋅⋅+<.【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义，111n n T T --为定值即可证明.（2）由结合（1）求n T 的通项公式，进而得{}n a ，再把1n nna a a +-化简代入求值，从而即可证明.【小问1详解】由数列{}n a 的前n 项积为n T ，得12-1n n n T a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅，又1n n a T +=，所以，当2n ≥时，11nnn T T T -+=，整理得111)(1n n T T -+=，即1111n nT T -+=，所以，当2n ≥时，1111n n T T --=为定值，所以数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.【小问2详解】因为1n n a T +=，令1n =，得111a T +=，112a =，故112T =，结合（1）可知，1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列，所以11n n T =+，得11n T n =+.所以，当2n ≥时，11111n n n T n n a T n n-+===+，显然112a =符合上式，所以1n n a n =+.所以()111111212221n n n n n a a n n n a n n n n n ++--⎛⎫++===- ⎪++⎝⎭+，故3212112n n na a a a a a a a a +---++⋅⋅⋅+11111111111121322421122n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111113111212124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.因为*N n ∈，11012n n +>++，所以32121123111342124n n n a a a a a a a a a n n +---⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+< ⎪++⎝⎭21. 在ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()2b c a c =+.（1）若π3B =，求a c的值；（2）若ABC22cos B C +的取值范围.【答案】（1）2a c = （2）)1,3+【解析】【分析】（1）根据题意利用余弦定理即可求解.（2）先利用余弦定理、正弦定理、两角和差公式得2B C =，再把22cos B C +化简到同一个角的三角函数，最后利用正弦函数的单调性确定取值范围.【小问1详解】在ABC 中，π3B =，据余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-⋅=+-，又22b c ac =+，故2a ac ac -=，即22a ac =，又0a >，故2a c =，得2a c=.【小问2详解】.在ABC 中，据余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-⋅，又22b c ac =+，故2222cos a c ac B c ac +-⋅=+，即22cos a ac B ac -⋅=，又0a >，故2cos a c B c -⋅=.据正弦定理sin sin a c A C=，可得sin 2sin cos sin A C B C -=，所以()sin π2sin cos sin B C C B C -+-=⎡⎤⎣⎦，即()sin 2sin cos sin B C C B C +-=，sin cos cos sin 2sin cos sin B C B C C B C+-=所以sin cos cos sin sin B C B C C -=，()sin sin B C C -=，因(),,0,πA B C ∈，所以()ππB C -∈-，，B C C -=或πB C C -+=，即2B C =或B π=（舍）.2π2cos 2cos 212sin 216B C C C C ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭.因为ABC 是锐角三角形，所以π0π3,2π02,2π0,2A C B C C ⎧<=-<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<<得ππ64C <<，所以ππ2π2263C <+<，故πsin 26C ⎫⎛⎫+∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，)π2sin 211,36C ⎛⎫++∈+ ⎪⎝⎭，22cos B C +的取值范围是)1,3+.22. 已知函数21()(1)ln(1),()2f x x xg x ax x =++=+．（1）求证：()11f x -≤-'；（2）若函数()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上存在最大值，求a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）()0,1【解析】为【分析】（1）根据题意，求得(1)ln 1f x x '-=+，令()2ln 22m x x x =-+，求得()22m x x'=-，得到函数()m x 的单调性，结合()()10m x m ≤=，即可得到()11f x -≤'；（2）根据题意得到21()(1)ln(1),12h x x x ax x x =++-->-，求得()ln(1)h x x ax '=+-，令()()ln(1)x h x x ax ϕ'==+-，得到()11x a x ϕ'=-+，分0a ≤，1a ≥和01a <<，三种情况讨论，结合零点的存在性定理和函数的单调性、极值（最值）的定义，即可求解.【小问1详解】解：由函数()(1)ln(1)f x x x =++，可得()ln(1)1f x x '=++，则(1)ln 1f x x '-=+，令()2ln 22m x x x =-+，可得()22m x x'=-，当(0,1)x ∈时，可得()0m x '>，()m x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，可得()0m x '<，()m x 单调递减，所以()()10m x m ≤=，所以ln 20m x =-≤，即ln 11x +≤，即()11f x -≤-'.【小问2详解】解：由函数21()()()(1)ln(1),12h x f x g x x x ax x x =-=++-->-可得()ln(1)11ln(1)h x x ax x ax'=++--=+-令()()ln(1)x h x x ax ϕ'==+-，可得()11x a x ϕ'=-+①当0a ≤时，()0x ϕ'>，()h x '在(0,)+∞上单调递增，所以()()00h x h ''>=，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，无最大值；②当1a ≥时，()1101x a a x ϕ'=-<-≤+，可得()h x '在(0,)+∞上单调递减，所以()()00h x h ''<=，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，无最大值；③当01a <<时，由()101x a x ϕ'=-=+，可得110x a =->，所以当1(0,1)x a∈-时，()0h x '>， ()h x 在1(0,1)a -上单调递增；当1(1,)x a ∈-+∞时，()0h x '<， ()h x 在1(1,)a -+∞上单调递减，由（1）知，ln 1x ≤-，所以当0x >时，()2(1)x ax a x ϕ<--<+=-，取241t a =-，则11t a>-且()0t ϕ<-=，又由()1(1)00aϕϕ->=，所以由零点的存在性定理，存在01(1,)x t a ∈-，使得()00x ϕ=，所以当0(0,)x x ∈时，()0x ϕ>，即()0h x '>；当0(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ<，即()0h x '<，所以()h x 在0(0,)x 单调递增，在0(,)x +∞单调递减，此时()h x 在(0,)+∞上存在最大值()0h x ，符合题意，综上所述，实数a 的取值范围是()0,1.【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与e x 和ln x 相关的常见同构模型①e ln e ln e ln a a a a b b b b ≤⇔≤，构造函数()ln f x x x =或()e x g x x =；②e e ln ln e ln a a a b b a b b <⇔<，构造函数()ln x f x x =或()e x g x x=；③e ln e ln e ln a a a a b b b b ±>±⇔±>±，构造函数()ln f x x x =±或()e xg x x =±.。
2025届苏南十校高三数学上学期10月联考试题
2025届苏南十校高三数学上学期10月联考试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数21i z =-+（i 为虚数单位）的虚部是（）A.1B.iC.i- D.1-2.已知集合{}{}2|20,|128,xA x x xB x x =--≤=≤≤∈Z ，则A B = （）A.[]1,3- B.{}0,1 C.[]0,2 D.{}0,1,23.设公差0d ≠的等差数列{}n a 中，3a ，5a ，8a 成等比数列，则135147a a a a a a ++=++（）A.54B.34 C.45 D.434.已知平面向量m ，n 满足：2m n == ，且m 在n 上的投影向量为12n - ，则向量m与向量n 的夹角为（）A.30oB.60oC.120D.1505.已知π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1tan tan 5αβ=，()tan αβ+=，则()cos αβ-=（）A.12 B.34C.38D.136.为迎接国庆假期，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，每位员工从中摸出2个小球.若摸到一红球一白球，可获得价值a 百元代金券；摸到两红球，可获得价值b 百元代金券;摸到两白球，可获得价值ab 百元代金券（,a b 均为整数）.已知每位员工平均可得3.2百元代金券，则运气最好者获得至多（）百元代金券A.5.4B.9C.8D.187.已知双曲线222:1(0)x C y a a-=>，点M 在C 上，过点M 作C 两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，若34MA MB ⋅=，则双曲线C 的离心率为（）A.54B.3C.2D.438.已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()22f x f y f x y xy +=+-+，()12f =，则下列结论正确的是（）A.()412f =B.方程()2f x x =有解C.()f x 是偶函数D.12f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设正实数,m n 满足1m n +=，则（）A.的最小值为12 B.12m n+的最小值为3+C.D.22m n +的最小值为1210.已知函数()()π2sin (0,)2f x x ωϕωϕ=+><的图象过点()0,1A 和()00,2(0)B x x ->，且满足min ||AB =，则下列结论正确的是（）A.π6ϕ=B.2π3ω=C.当1,14x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 值域为[]0,1D .函数()y x f x =-有三个零点11.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且21n n S S n +=-+，则下列选项中正确的是（）A.()1212n n a a n n ++=-≥B.()222n n a a n +-=≥C.若10a =，则1004950S =D.若数列{}n a 单调递增，则1a 的取值范围是11,42⎛⎫-⎪⎝⎭三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)13.若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为______.14.函数()f x 的导函数为()f x '，若在()f x 的定义域内存在一个区间(),D f x 在区间D 上单调递增，()f x '在区间D 上单调递减，则称区间D 为函数()f x 的一个“渐缓增区间”．若对于函数()2e x f x a x =-，区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭是其一个渐缓增区间，那么实数a 的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()sin sin sin sin .C A B B C A -=-（1）证明：2222;a b c =+（2）若2a =，5cos 8A =，求ABC V 的周长.16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，四边形11ABB A 为菱形，13ABB π∠=，11AC B C ⊥.（1）证明：1BC BB =.（2）已知平面ABC ⊥平面11ABB A ，求二面角1B CC A --的正弦值.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为()2,1P 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程;（2）过P 作两条相互垂直的直线PA ，PB 分别交椭圆C 于另一点A ，B ，求证：直线AB 过定点.18.设数列{}n a 的前n 项和为.n S 若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H数列”.（1）已知数列{}n a 是等差数列，且10a =，求证：数列{}n a 是“H 数列”;（2）若数列{}n a 的前n 项和()*21Nn n S a n =-∈，证明：数列{}na 不是“H 数列”;（3）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0.d <若{}n a 是“H 数列”，求d 的值.19.已知定义：函数()f x 的导函数为()f x '，我们称函数()f x '的导函数()f x ''为函数()f x 的二阶导函数，如果一个连续函数()f x 在区间I 上的二阶导函数()0f x ''≥，则称()f x 为I 上的凹函数;二阶导函数()0f x ''≤，则称()f x 为I 上的凸函数.若()f x 是区间I 上的凹函数，则对任意的12,,x x n x I ∈，有不等式()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立（当且仅当12n x x x === 时等号成立）.若()f x 是区间I 上的凸函数，则对任意的12,,n x x x I ∈ ，有不等式()()()1212n nf x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≥⎪⎝⎭恒成立（当且仅当12n x x x === 时等号成立）.已知函数()1f x x x =+，π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.（1）试判断()f x 在π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦为凹函数还是凸函数?（2）设12,x x ，L ，0n x >，2n ≥，且121n x x x +++= ，求1212111n nx x xW x x x =++++++ 的最大值;（3）已知*N a ∈，且当π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()()sin sin 31cos 0x ax x f x x +-+>恒成立，求实数a 的所有可能取值.。
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江苏省高三上学期 10 月联考数学试题
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 填空题 (共 14 题；共 15 分)
1. （1 分） (2018 高二上·抚顺期中) 若不等式
的解集为
，则 ________.
2. （1 分） (2019 高三上·大庆期中) 已知 值为________.
，i 是虚数单位，若（1 i）（1 bi）=a，则 的
3. （1 分） (2016 高二下·绵阳期中) 命题“∀ x∈R，x2+2x+2＞0”的否定为________．
4. （2 分） 某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是 90%.”你认为下面两个解释中能代表教练的 观点的为________.
①该射击运动员射击了 100 次，恰有 90 次击中目标
②该射击运动员射击一次，中靶的机会是 90%
5. （1 分） (2018 高一下·四川月考) 若
，则
________．
6. （1 分） (2020 高一下·上海期末) 已知 为等比数列，
，
，则
________.
7. （1 分） (2018 高二下·辽宁期末) 若幂函数
8. （1 分） (2019 高三上·海南月考) 函数
图象如图所示，则
________.
的图像过点
，则
的值为________.
（
是常数，
）的部分
9. （1 分） 已知函数
是定义在 上的奇函数，若
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则
________.
10. （1 分） (2020·淮安模拟) 已知集合
，
，则
________.
11. （1 分） (2018 高一上·黑龙江期中) 函数
（a＞0 且 a≠1）的图象过定点________；
12. （1 分） (2016 高三上·扬州期中) 已知函数 f（x）=x+asinx 在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数 a 的 取值范围是________．
13. （1 分） (2017 高二下·河北期末) 用
， 数 的取值范围是________．
，设函数
表示 ， 中的最小值，已知函数 （ ） ，若 有 个零点，则实
14. （1 分） (2018 高三上·杭州月考) 已知函数 恰有 4 个不同的零点，则 的取值范围为________.
二、 解答题 (共 6 题；共 75 分)
若函数
15. （10 分） (2019 高一上·上海月考) 已知集合 ，求 a 的值.
，
，若
16. （10 分） (2019 高三上·汉中月考)
知
.
的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已
（1） 求 的大小；
（2） 若
，
，求
的内切圆的半径.
17. （10 分） (2019 高三上·上海月考) 已知数列 的前 项和为 ，
且满足:
（1） 证明： 是等比数列，并求数列 的通项公式.
（2） 设
，若数列 是等差数列，求实数 的值；
（3） 在(2)的条件下，设
记数列 的前 项和为 ，若对任意的
存
在实数 ,使得
,求实数 的最大值.
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18. （15 分） (2020·上饶模拟) 已知函数
.
（1） 讨论函数
的单调区间情况；
（2） 若函数
有且只有两个零点
，证明：
.
19.（15 分）(2019 高一下·深圳期中) 已知函数
．函数
满足
，且
的图象上有两点
，
．
（1） 求证：
；
（2） 求证：
；
（3） 能否保证
和
中至少有一个为正数？请证明你的结论．
20. （15 分） (2019 高二下·盐城期末) 设命题 函数
在
，都有
成立．
（1） 若命题 为真命题，求实数 的取值范围；
（2） 若
为真命题，
为假命题，求实数 的取值范围．
是减函数；命题
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一、 填空题 (共 14 题；共 15 分)
答案：1-1、 考点： 解析：
参考答案
答案：2-1、 考点： 解析：
答案：3-1、 考点：
解析： 答案：4-1、
第 4 页 共 14 页
考点：
解析： 答案：5-1、 考点：
解析： 答案：6-1、 考点：
解析： 答案：7-1、 考点：
解析： 答案：8-1、
第 5 页 共 14 页
考点： 解析：
答案：9-1、 考点：
解析： 答案：10-1、 考点：
解析：
第 6 页 共 14 页
答案：11-1、 考点：
解析： 答案：12-1、 考点：
解析： 答案：13-1、 考点：
解析：
第 7 页 共 14 页
答案：14-1、 考点： 解析：
二、 解答题 (共 6 题；共 75 分)
答案：15-1、 考点： 解析：
第 8 页 共 14 页
答案：16-1、
答案：16-2、 考点： 解析： 答案：17-1、
第 9 页 共 14 页
答案：17-2、
第 10 页 共 14 页
答案：17-3、考点：
解析：
答案：18-1、
答案：18-2、
考点：解析：
答案：19-1、答案：19-2、
答案：19-3、考点：
解析：
答案：20-1、
答案：20-2、考点：
解析：。