椭圆参数方程教学设计

椭圆的参数方程教学设计

王丽萍

一、基本说明

1、教学内容所属模块：选修4-4

2、年级：高二

3、所用教材出版单位：人民教育出版社（A 版）

4、所属的章节：第二讲第二节第1课时

二、教学设计

（一）、内容分析

参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式。本节知识以学生学习和了解了椭圆的普通方程和圆的参数方程为载体，从另一个角度认识椭圆。在建立椭圆方程过程中，展示引进参数的意义和作用。以及根据椭圆的特点，选取适当的方程表示形式，体现解决有关椭圆问题中数学方法的灵活性，拓展学生的思路，开阔学生的视野。

（二）、教学目标

（1）理解椭圆的参数方程及其参数的几何意义。

（2）引导学生体验构造参数法的应用思想，探讨如何运用参数方程在解决与椭圆有关问题。

（3）会根据条件构造参数方程实现问题的转化，达到解题的目的。

（三）、教学重点、难点

重点：椭圆的参数方程及其参数的几何意义

难点：巧用椭圆的参数方程解题

（四）、学情分析：

“坐标法 ”是现代数学最重要的基本思想之一。坐标系是联系几何与代数的桥梁，是数形结合的有力工具。虽然我们的学生已经学习和了解了椭圆的普通方程和圆的参数方程有关知识，但我们的学生对其了解甚少，再说椭圆参数方程的探求与应用，与代数变换、三角函数有密切联系，以及由学生独立获取椭圆参数方程中的参数的几何意义是极其困难的。因此我们必须从实际问题入手，由浅入深的帮助学生学习理解知识，通过“思考”、“探究”、“信息技术应用”等来启发和引导学生的数学思维，养成主动探索、积极思考的好习惯。

（五）、设计思路：

参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式。教师首先应通过实例展示在建立椭圆方程过程中，引进参数的意义和作用。使学生体会到有时用参数方程表示曲线比用普通方程表示更方便，理解参数的几何意义。 根据本节课的教学内容和学生实际水平，本节课采用“复习导入发现法”。通过具体实例问题，引导和激发学生的探究热情，通过“师生”和“生生”的交流合作，掌握椭圆参数的深层实质。教学流程为：复习回顾圆的参数方程和三角函数知识→创设情境引入新知→实例探究启发思维→例题讲解运用新知→课堂实践巩固新知→归纳总结完善→课外强化提升能力。

（六）、教具准备：

PowerPoint 课件、《几何画板》

（七）、教学过程：

一、复习回顾

1.圆的参数方程知识

圆心在原点，半径为r 的圆的标准方程：222r y x =+ 圆的参数方程是：⎩⎨⎧⋅=⋅=θ

θsin cos a y a x

2.三角函数的知识

二、创设情境引入新知

【例1】、如下图，以原点为圆心，分别以a,b(a>b>0)为半径作两个圆，点A 是大圆上任意一点，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥OX ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹的参数方程。

分析，利用点M 与A 、B 两点坐标之间的关系，

点M 的横坐标与点A 的横坐标相同，点M 的纵坐标

与点B 的纵坐标相同，通过A 、B 两点的坐标的参数

表示方法，得到点M 的轨迹的参数方程。

当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点

M 的轨迹，它的参数方程是

) (.

sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎪⎩⎪⎨⎧==b y a x

动画演示椭圆的参数方程，动点M 的轨迹形成了椭圆，椭圆的长半轴就是大圆的半径a,短半轴就是小圆的半径b ，对称中心就是同心圆的圆心O 。

利用《几何画板》 演示体会当ϕ变化时点M 的轨迹的形状，得出结论：参数ϕ是点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角(称为点M 的离心角)。

当堂练习：练习1.把下列普通方程化为参数方程。

（1）19422=+y x （2）116

2

2=+y x 练习2.把下列参数方程化为普通方程。

（3）)(sin 5cos 3是参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==y x （4）)(sin 3cos 8是参数ϕϕ

ϕ⎩⎨⎧==y x

【变式训练】 如图：由椭圆 19

42

2=+y x 上的一点M 向x 轴作垂线，交x 轴于点N ，设P 是MN 的中点，求点P

的轨迹方程。

【例2】在椭圆4x2+9y2=36上一点M ，则M 到直线 l ：x+2y-10=0

的距离最小，并求出最小距离.

分析1：平移直线至首次与椭圆相切，切点到直线的距离即为所

求。

()

222222sin cos sin cos sin b a b

b a a x b a x b x a +=+=

±+=±ϕϕϕ()2

22222sin cos cos sin cos b a b b a a x b a x b x a +=+=+=±ϕϕϕμa b =ϕtan a b =ϕtan

分析2：设5102y 423),,y 423(22-+-±=-±

y d y M 则

分析3：设5

10

sin 4cos 3),sin 2,cos 3(-+=ϕϕϕϕd M 则 总结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。

【变式训练】：已知A,B 两点是椭圆

14

92

2=+y x 与坐标轴正半轴的两个焦点，在第一象限的椭圆弧上求一点P ，使四边

形OAPB 的面积最大

三、知识归纳

椭圆的参数方程为) (.

sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎪⎩⎪⎨⎧==b y a x 四、课时作业

课时训练九：椭圆的参数方程。

五、课后反思：

本堂课中对涉及到代数变换、三角知识等及时进行了复习或提示，随时调整教学思路；用课外作业和课堂练习等方式收集反馈信息，通过观察学生完成作业情况，了解学生在知识技能和数学方法方面的收获和不足，为指导我今后教学提供依据，因而课堂气氛较活跃。但在时间安排上把握不太好，在语言表达上还欠精简。