Hardy-Littlewood不等式的一些推广与应用
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数学物理学报
ｈｔ： ａｔｍｓ ｉｍ． ． ｔ ｆ ｃａ ． ｐ ａ ｃ ｐ ｗ ｃｎ
Ｈａｄ ．ｉ ｌｗ ｏ ｒｙＬｔ ｅ ｏ ｄ不等式 的一些推 广与应 用 ｔ
刘建 忠
（ 江苏技术师范学院数理学院 江苏常州 ２３０ ） １０ １
摘要 。利用 Ｈ６ｄ ｒ不等式和 一函数 ，得到了 Ｈａｄ ． ｉ ｌ ｏ １ｅ ｒｙ Ｌｔ ｅ ｄ不等式的一些推广和改进 ｔ ｗｏ
形式 ．作为应用 ，通过所得结果及矩阵方法，给出了 Ｈｉ ｅｔ型不等式 的一些推广和改进． ｌｒ ｂ 关键词 ： 一函数； ＨＳｄ ｒ不等式； Ｈａｄ — ｉ ｌ ｏ ｌｅ ｒ ｙＬｔ ｅ ｄ不等式； Ｈｉ ｅｔ不等式． ｔ ｗｏ ｌ ｒ ｂ
ＭＲ（０ ０ 主题分类： ６ １ 中图分类号：Ｏ ７ 文献标识码：Ａ ２０ ） ２Ｄ ５ １８
进形 式 ．
１ 符号 及引理
文中 Ｂ ａ ） ＞０ 表示 函数． （ ， （， ） 对于 ｎ阶方阵 Ａ＝［ｊ ， ａ ０（ ）ｉ ＝ ａ］ 若 ｉ ｉ ｊ ＞０，， Ｊ １２… ，， 称 为 非 负矩 ，， 扎 则 正矩 ． Ｘ ，２… 若 Ｘ ０＞０，＝１２… ， ， ｉ （ ） ｉ ，， ｎ 则称 ｚ为非负向量 （ 正向量）记为 ０＞０． ， （ ） 以下用 ｐＡ 表 （） 示矩 阵 的谱半 径 ．
文章编号：１０—９８２ １）１１１１ ０３３９ （０２０—７—５
０ 引言
设 ， ∈Ｌ （，）０ ２ ｌｘｄ ， 有周 知 的 Ｈ ｒｙＬｔｌ Ｏ ｄ不 等式 （） ２Ｏ１， ： Ｃ （）ｘ 则 ｋ ａｄ —ｉ ｅ ｏ ｔＷ
∑ ｎ 丌 ，ｘ ｘ ２ ） ． 丌 （ｄ
＝０
不等式 （） １ 与著名的 Ｈｌｅ 不等式密切相关，近年来， 明哲，杨必成等通过 Ｈｌｅ 不等 ｉ ｒ ｂｔ 高 ｉ ｒ ｂｔ 式及其改进给出不等式 （） １ 的一些推广与改进形式， 可参见文献 ［ ３ 本文首先给出不等式 １ ］ －． （） 一些 推 广与 改进 ，进 而利 用所 得结 果及 矩 阵方 法 给 出 Ｈｌｅｔ不 等式 的 一些推 广 与改 １的 ｉ ｒ ｂ
Ｍｘ 一击Ｊ ． Ｘ ［） ） （
证 当 ０时 ，由 Ａ Ｘ Ｍ ｘＡｘ—Ｄ（）Ｄ（） ０ 可知 Ａ ， ｘ ， Ｍ ｘＡｘ 由引理 ， ５知存在 非 负特 征 向量 ２ ０ 使 得 Ａ ， ｘ＝ ｐＡ）， （ ｘ 于是 Ａ ＝ ｐ（ ２ ），由 ＸＡ Ｍ ｘＡ ， ｘ 即得 ｐＡ） Ｍ ． 对 任意 的 Ｘ ０ 若 ＸＡ ＝ ０ 则 由 Ａ Ｘ Ｍ ｘＡ （ ， Ｉｘ ， ｘ— Ｄ（） 得 ０ ， （ ） Ａｘ Ａｘ＝ ＸＡ Ｘ — ｘ ０ 故 Ｄ（） ， ｐ Ｄ（） ， ｘ ＝０ 结论 成立 ；若 ＸＡｘ≠ ０ 则必 有 Ａ ｐ ， ｘ＞０ 由 ，
Ｅ ｍａｌ ｊ ｓｕｅ ｕＥ － ｉ ｚ ｔ ．ｄ ．ｆ ：ｌ ｔ
基 金项 目：江苏省高校 自然科学研 究指导性计划项 目 （ｙ０ ０４ 资助 ｋ ｚ７ １）
１２ ７
数
学 物
理
学
报
Ｖ １２ ０３ ｌ． Ａ
该引理可由万能代换公式得到，也可参见文献 ＿． ４ 从略． ］ 引理 ３ 设 ｌｌ ， Ｉ ， ＜ Ｘ ＜１ｌ ＜１０ １ ｓｎｘ 表示符号函数，则有 Ｙ ，ｇ （）
］ １
『 二
证
得
。 面
‘
（ ３ ）
当 ｘ ０时结 论显 然成 立 ；当 ｘ ｙ ｙ＞ ０时 ，记 ０＝ ｘ ， ０＜ ａ＜ １ 由 中值 定理 可 ｙ则 ，
１ ｘ ｌ ｇ （） ｎｙ ＝１ Ａ （ 一ｎ 一Ｊｌ ｓｎｘｓ （） —０ ＝ １ ） Ｉ ｇ 一
ｎ
（， ＝ｚＡｘ ∈ ） ，
（， ） 。＝ｘＡ ｚ ＇ ．
ｋ ０ ＝
引理 ７ 设 为对 称的 竹阶非负 矩阵，Ｍ ＞０ 常数 ， 对 任意 的 Ｘ＝ （１Ｘ ， ， 为 若 Ｘ ，２… Ｘ ） ０ 有 Ａ Ｘ Ｍ ｘＡ ， ｘ—Ｄ（） 其 中 Ｄ（） ０ 则 必 有 ｐＡ Ｍ ， 当 Ｘ ０时， ＸＡｘ ， ｘ ， （） 且 Ｉ
…
，
，。 ／， （
（０ １ － ∈， ） ・ （
－
（１ １ ・ （１ ， ） ・
・
Ａ Ｉ； ：
＼ ， （ ，１ ・ （ ∈ ∈） ・ ｏ
・
（ ， 记 ＝ （０ ， ， ） 则 Ｘ， … １ ，
则 Ａ为 正定 阵且对 任 意的 ∈Ｈ， 若 ＝ｘ ＠ ＋ ∈ ＋… ＋ ｏ １１ 有
（ —０ ＝ １ ， １ ） （ 一ｚ ） Ｉ
由此即得结论． 由谱 半径 的定 义 易得 引理 ４ 设 为 ｎ阶实对 称 阵且 的谱 半径 为 ｐ ）则对 任意 的 ， （ ， Ｙ∈Ｒ ， ｎ 有
（ｔ ） ｐ（ ｘ ． ＸＡｙ ２４） ｙＹ
引理 ５ 设 为 非 负矩 阵，则 Ａ 的谱半径 ｐＡ） ［ ｊ （ 是 的具 有 非负特 征 向量 的一个 特 征值． 经 简单 计算 易得 引理 ６ 设 日 为 实 内积 空间 ， 的 Ｇ ａ 矩 阵为 ， ｒｍ 即 ， ， ， ∈Ｈ 且 ∈，１… ， 线性 无 关 ，记 ， ， １… ｏ ， １
引 １］设 ＞ ，＞ ， 理 ［ ０ ０则
矸 ｄ ＝ ．
高 而
ｄ ＝Ｂ ） 地， ＜ （ ． ， 特别 当０ ＜１ 时，
引理 ２ 设 ｌｌ １则 ａ＜ ，
三
＝ｒｓ 而ｏ， ａａ ｃ ｃ
ｄ ＝ ． ｘ 南 －
收稿 日期 ｔ ０ １０ —３ 修订 日期； ０ １１ — ７ １ —１ １ ； ２ ２ １ —２ ２
ｈｔ： ａｔｍｓ ｉｍ． ． ｔ ｆ ｃａ ． ｐ ａ ｃ ｐ ｗ ｃｎ
Ｈａｄ ．ｉ ｌｗ ｏ ｒｙＬｔ ｅ ｏ ｄ不等式 的一些推 广与应 用 ｔ
刘建 忠
（ 江苏技术师范学院数理学院 江苏常州 ２３０ ） １０ １
摘要 。利用 Ｈ６ｄ ｒ不等式和 一函数 ，得到了 Ｈａｄ ． ｉ ｌ ｏ １ｅ ｒｙ Ｌｔ ｅ ｄ不等式的一些推广和改进 ｔ ｗｏ
形式 ．作为应用 ，通过所得结果及矩阵方法，给出了 Ｈｉ ｅｔ型不等式 的一些推广和改进． ｌｒ ｂ 关键词 ： 一函数； ＨＳｄ ｒ不等式； Ｈａｄ — ｉ ｌ ｏ ｌｅ ｒ ｙＬｔ ｅ ｄ不等式； Ｈｉ ｅｔ不等式． ｔ ｗｏ ｌ ｒ ｂ
ＭＲ（０ ０ 主题分类： ６ １ 中图分类号：Ｏ ７ 文献标识码：Ａ ２０ ） ２Ｄ ５ １８
进形 式 ．
１ 符号 及引理
文中 Ｂ ａ ） ＞０ 表示 函数． （ ， （， ） 对于 ｎ阶方阵 Ａ＝［ｊ ， ａ ０（ ）ｉ ＝ ａ］ 若 ｉ ｉ ｊ ＞０，， Ｊ １２… ，， 称 为 非 负矩 ，， 扎 则 正矩 ． Ｘ ，２… 若 Ｘ ０＞０，＝１２… ， ， ｉ （ ） ｉ ，， ｎ 则称 ｚ为非负向量 （ 正向量）记为 ０＞０． ， （ ） 以下用 ｐＡ 表 （） 示矩 阵 的谱半 径 ．
文章编号：１０—９８２ １）１１１１ ０３３９ （０２０—７—５
０ 引言
设 ， ∈Ｌ （，）０ ２ ｌｘｄ ， 有周 知 的 Ｈ ｒｙＬｔｌ Ｏ ｄ不 等式 （） ２Ｏ１， ： Ｃ （）ｘ 则 ｋ ａｄ —ｉ ｅ ｏ ｔＷ
∑ ｎ 丌 ，ｘ ｘ ２ ） ． 丌 （ｄ
＝０
不等式 （） １ 与著名的 Ｈｌｅ 不等式密切相关，近年来， 明哲，杨必成等通过 Ｈｌｅ 不等 ｉ ｒ ｂｔ 高 ｉ ｒ ｂｔ 式及其改进给出不等式 （） １ 的一些推广与改进形式， 可参见文献 ［ ３ 本文首先给出不等式 １ ］ －． （） 一些 推 广与 改进 ，进 而利 用所 得结 果及 矩 阵方 法 给 出 Ｈｌｅｔ不 等式 的 一些推 广 与改 １的 ｉ ｒ ｂ
Ｍｘ 一击Ｊ ． Ｘ ［） ） （
证 当 ０时 ，由 Ａ Ｘ Ｍ ｘＡｘ—Ｄ（）Ｄ（） ０ 可知 Ａ ， ｘ ， Ｍ ｘＡｘ 由引理 ， ５知存在 非 负特 征 向量 ２ ０ 使 得 Ａ ， ｘ＝ ｐＡ）， （ ｘ 于是 Ａ ＝ ｐ（ ２ ），由 ＸＡ Ｍ ｘＡ ， ｘ 即得 ｐＡ） Ｍ ． 对 任意 的 Ｘ ０ 若 ＸＡ ＝ ０ 则 由 Ａ Ｘ Ｍ ｘＡ （ ， Ｉｘ ， ｘ— Ｄ（） 得 ０ ， （ ） Ａｘ Ａｘ＝ ＸＡ Ｘ — ｘ ０ 故 Ｄ（） ， ｐ Ｄ（） ， ｘ ＝０ 结论 成立 ；若 ＸＡｘ≠ ０ 则必 有 Ａ ｐ ， ｘ＞０ 由 ，
Ｅ ｍａｌ ｊ ｓｕｅ ｕＥ － ｉ ｚ ｔ ．ｄ ．ｆ ：ｌ ｔ
基 金项 目：江苏省高校 自然科学研 究指导性计划项 目 （ｙ０ ０４ 资助 ｋ ｚ７ １）
１２ ７
数
学 物
理
学
报
Ｖ １２ ０３ ｌ． Ａ
该引理可由万能代换公式得到，也可参见文献 ＿． ４ 从略． ］ 引理 ３ 设 ｌｌ ， Ｉ ， ＜ Ｘ ＜１ｌ ＜１０ １ ｓｎｘ 表示符号函数，则有 Ｙ ，ｇ （）
］ １
『 二
证
得
。 面
‘
（ ３ ）
当 ｘ ０时结 论显 然成 立 ；当 ｘ ｙ ｙ＞ ０时 ，记 ０＝ ｘ ， ０＜ ａ＜ １ 由 中值 定理 可 ｙ则 ，
１ ｘ ｌ ｇ （） ｎｙ ＝１ Ａ （ 一ｎ 一Ｊｌ ｓｎｘｓ （） —０ ＝ １ ） Ｉ ｇ 一
ｎ
（， ＝ｚＡｘ ∈ ） ，
（， ） 。＝ｘＡ ｚ ＇ ．
ｋ ０ ＝
引理 ７ 设 为对 称的 竹阶非负 矩阵，Ｍ ＞０ 常数 ， 对 任意 的 Ｘ＝ （１Ｘ ， ， 为 若 Ｘ ，２… Ｘ ） ０ 有 Ａ Ｘ Ｍ ｘＡ ， ｘ—Ｄ（） 其 中 Ｄ（） ０ 则 必 有 ｐＡ Ｍ ， 当 Ｘ ０时， ＸＡｘ ， ｘ ， （） 且 Ｉ
…
，
，。 ／， （
（０ １ － ∈， ） ・ （
－
（１ １ ・ （１ ， ） ・
・
Ａ Ｉ； ：
＼ ， （ ，１ ・ （ ∈ ∈） ・ ｏ
・
（ ， 记 ＝ （０ ， ， ） 则 Ｘ， … １ ，
则 Ａ为 正定 阵且对 任 意的 ∈Ｈ， 若 ＝ｘ ＠ ＋ ∈ ＋… ＋ ｏ １１ 有
（ —０ ＝ １ ， １ ） （ 一ｚ ） Ｉ
由此即得结论． 由谱 半径 的定 义 易得 引理 ４ 设 为 ｎ阶实对 称 阵且 的谱 半径 为 ｐ ）则对 任意 的 ， （ ， Ｙ∈Ｒ ， ｎ 有
（ｔ ） ｐ（ ｘ ． ＸＡｙ ２４） ｙＹ
引理 ５ 设 为 非 负矩 阵，则 Ａ 的谱半径 ｐＡ） ［ ｊ （ 是 的具 有 非负特 征 向量 的一个 特 征值． 经 简单 计算 易得 引理 ６ 设 日 为 实 内积 空间 ， 的 Ｇ ａ 矩 阵为 ， ｒｍ 即 ， ， ， ∈Ｈ 且 ∈，１… ， 线性 无 关 ，记 ， ， １… ｏ ， １
引 １］设 ＞ ，＞ ， 理 ［ ０ ０则
矸 ｄ ＝ ．
高 而
ｄ ＝Ｂ ） 地， ＜ （ ． ， 特别 当０ ＜１ 时，
引理 ２ 设 ｌｌ １则 ａ＜ ，
三
＝ｒｓ 而ｏ， ａａ ｃ ｃ
ｄ ＝ ． ｘ 南 －
收稿 日期 ｔ ０ １０ —３ 修订 日期； ０ １１ — ７ １ —１ １ ； ２ ２ １ —２ ２