《实变函数》第四章 可测函数

第四章 可测函数（总授课时数 14学时）

由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨 论其性质和结构.

§1 可测函数及其性质

教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质

教学要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且有很好

的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征.

本节难点 可测函数与简单函数的关系. 授课时数 4学时

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1可测函数定义

定义：设()f x 是可测集E 上的实函数(可取±∞)，若[],f a a R E >∀∈可测，则称()f x 是E 上的可测函数.

2可测函数的性质

性质1 零集上的任何函数都是可测函数。

注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集 性质2 简单函数是可测函数

若1n

i i E E ==⋃ (i E 可测且两两不交），()f x 在每个i E 上取常值i c ，则称()f x 是E 上的

简单函数；

1()()i n

i E i f x c x χ==∑ 其中1()0i i

E i x E x x E E χ∈⎧=⎨∈-⎩

注：Dirichlet 函数是简单函数

性质3 可测集E 上的连续函数()f x 必为可测函数 设()f x 为E 上有限实函数，称()f x 在0x E ∈处连续

00(,)((),)0,0,()x f x f O E O δεεδ∀>∃>⋂⊂若使得

对比：设()f x 为(),a b 上有限实函数，0()(,)f x x a b ∈在处连续

0lim ()()x x f x f x →=若

000,0,|||()()|x x f x f x εδδε∀>∃>-<-<即当时，有 00(,)((),)0,0,()x f x x O f x O δεεδ∀>∃>∈∈即当时，有 00(,)((),)0,0,()x f x f O O δεεδ∀>∃>⊂即使得

()f x 在0[,]x a b ∈处连续(对闭区间端点则用左或右连续)

证明：任取[]x E f a ∈>, 则()f x a >,由连续性假设知， 对(),0,x f x a εδ=-∃>使得

(,)((),)()(,)x x f x f O E O a δε⋂⊂⊂+∞

即(,)[]x x f a O E E δ>⋂⊂.令[]

(,)x f a x x E G O δ>∈=⋃则G 为开集，当然为可测集，

且另外

[]

[]

(,)(,)[]()()x x f a f a x x f a x E x E G E O E O E E δδ>>>∈∈⋂=⋃⋂=⋃⋂⊂

所以

[]

[](,)()x f a f a x x E E O E G E δ>>∈⊂⋃⋂=⋂，

故[]f a E G E >=⋂为可测集

性质4 R 中的可测子集E 上的单调函数()f x 必为可测函数。

证明：不妨设f 单调增，对任意a R ∈令inf{|()}a I x f x a =>. 由f 单调增知下面的集合为可测集

[][,){|()}

(,){|()}

a a f a a a E I I x f x a E E I I x f x a >⋂+∞∈>⎧=⎨

⋂+∞∉>⎩当当

⒊可测函数的等价描述

⒈定义：设()f x 是可测集E 上的实函数，则()f x 在E 上可测

（即（1）[],f a a R E >∀∈可测）

[](2),f a a R E ≥⇔∀∈可测 [](3),f a a R E <⇔∀∈可测 [](4),f a a R E ≤⇔∀∈可测

[](5),,,a f b a b R a b E ≤<⇔∀∈<可测（充分性要求|()|f x <+∞）

证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及

[]11[]

f a n f a n

E E

∞

>=≥+=⋃， [][][]1

()f a a f a n f n E E E ∞

≥≤<+=+∞==⋃⋃，

[]11

[]f a n f a n

E E

∞

≥=>-=⋂， [][][]a f b f a f b E E E ≤<≥<=⋂

对前面等式的说明

[]1

1

1

1

[]

[]

()f a n n f a f a n

n

E E

E

∞

∞

≥==>-≥-=⋂=⋂，

1111

[,)(,)([,))n n a a a n n ∞

∞==+∞=⋂-+∞=⋂-+∞

1111

(,)[,)((,))n n a a a n n

∞∞==+∞=⋃++∞=⋃++∞，

[]1

1

1

1

[]

[]

()f a n n f a f a n

n

E E

E

∞

∞

>==≥+>+=⋃=⋃

⒋ 可测函数的性质

⑴ 可测函数关于子集、并集的性质

若()f x 是E 上的可测函数, 11,E E E ⊂可测，则()f x 限制在1E 上也是可测函数； 反之，若1n n E E ∞

==⋃ , ()f x 限制在n E 上是可测函数，则()f x 在E 上也是可测函数。

1[][]1[][]1

f a f a f a n f a n E E E E E ∞

>>>>==⋂=⋃

注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性

即： 设()()f x g x = ..a e （almost everywhere ）于E ，()f x 在E 上可测，

则()g x 在E 上也可测

若[]()

0f g m E ≠=,则称()()f x g x =在E 上几乎处处成立,记作()()f x g x = ..a e 于E .

证明：令[][]12,f g f g E E E E ≠===，则10mE =，从而()g x 在1E 上可测，

另外()f x 在2E 上可测，从而()g x 在2E 上也可测 ，进一步()g x 在12E E E =U 上也可测.

注：用到了可测函数关于子集、并集的性质 ⑵ 可测函数类关于四则运算封闭