第4章_4圆周运动的实例分析

v=15m/s=54km/h.
(3)由④式可知，可采取的有效措施有： a.适当增大内外轨的高度差h； b.适当增大铁路弯道的轨道半径r.
点评：火车转弯问题：在火车转弯处，铁 轨做成外高内低，为的是在火车以规定速度转 弯时由重力的分力提供向心力，以减小对铁轨 侧面的压力，当火车转弯速率小于规定的数值 时重力的分力大于所需的向心力，使内轨受的 压力增大．
(2)若将小球置于匀强电场中①当qE=mg时，小 球在整个圆周上都不会脱轨，做匀速圆周运动， 速度v可以是不等于零的任何值. ②当qE＜mg时，小球不会在下半圆脱轨，最容 易脱轨是最高点.由临界条件： 得：
v2 mg qE m R qE qER v临界 R( g ) Rg m m
v2 由牛顿第二定律有： FN1 mg m R
要求FN1≤2.0×105N 解得允许的最大速度vm=7.07m/s 由上面的分析可知，汽车经过凸桥顶点时对桥面的 压力最小，设为FN2′.如图(乙)所示，由牛顿第二定律 有：
vm mg FN2 m 解得：FN2=1.0×105N.R
2
到的弹力恰好为零．当弹力大小F<mg时，向心力 有两解：mg±F；当弹力大小F>mg时，向心力只 有一解：F+mg；当弹力F=mg时，向心力等于零 或2mg.
如果把轻杆换成细绳，情况怎样？ 如果把轻杆换成细绳，且小球带正电、空间存在一 场强为E方向竖直向上的匀强电场，则小球能做整 个圆周运动的临界速度怎样？ (1)若将轻杆换成细绳，临界条件是 即细绳只能产生拉力，所 以只有答案A、B正确. v2 mg m ，v临界 Rg， R
匀减速运动过程中，有：vA2-v02=-2ax ① 恰好做圆周运动时，物体在最高点B满足： 2 vm ② mg m R 解得：vm=2m/s 假设物体能达到圆环的最高点B，由机械能守恒得： ③
1 1 2 mv A 2mgR mvB 2 2 2
联立①③可得：vB=3m/s 因为vB＞vm,所以小球能通过最高点B. 小球从B点做平抛运动，有： ④2 R 1 gt 2 xAC=vBt ⑤ 2 由④⑤得：xAC=1.2m.
【正解】以小球为研究对象，小球在轨道最高点时
2 mv A 受重力和轨道给的弹力，满足方程mg + N A = ① R 1 2 1 2 根据机械能守恒 mv A + 2mgR = mvB ② 2 2 R 联立①②解得vB = 5 gR + N A m 当N A = 0时，vB 取最小值所以在B点应使小球至少
第 四章
抛体运动与圆周运动 万有引力定律
4
圆周运动的实例分析
1.圆周运动的实际应用举例 铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的.弯道 处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不 仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率.下 面表格中的数据是铁路设计人员技术手册中弯道半 径r及与之对应的轨道的高度差h.
Hale Waihona Puke Baidu
由牛顿第三定律知，FN2 与FN2′等值反向.
2.圆周运动中的临界问题 如图4-4-4所示，一轻杆一端固定质量为m的 小球，以另一端O为圆心，使小球做半径为R 的圆周运动，以下说法正确的是( )
图4-4-4
A.小球过最高点时，杆所受的弹力可以等于 零 B.小球过最高点时的临界速度为 C.小球过最高点时，杆对球的作用力可以与 球所受重力方向相反，此时重力一定大于杆 对球的作用力 D.小球过最高点时，杆对球作用力一定与小 球所受重力方向相反
③当qE＞mg时，小球不会在上半圆脱轨，最容易脱 轨是最低点(等效最高点).由临界条件： 2 v qE mg m 得： R
v临界
qE qER R( g) Rg m m
3.圆周运动与其他知识综合应用
如图4-4-5所示，半径R=0.40m的光滑半圆 环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水 平地面相切于圆环的端点A.一质量 m=0.10kg的小球，以初速度v0=7.0m/s在水 平地面上向左做加速度a=3.0m/s2的匀减速 直线运动，运动4.0m后，冲上竖直半圆环， 最后小球落在C点，求A、C间的距离.（取 重力加速度g=10m/s2) 图4-4-5
如图4-4-3所示，汽车质量为1.5×104kg， 以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，桥 面圆弧半径为15m，如果桥面承受的最大压力不 得超过2.0×105N，汽车允许的最大速率是多少? 汽车以此速率驶过桥面的最小压力是多 少?(g=10m/s2)
图4-4-3
首先要确定汽车在何位置时对桥面的压 力最大.汽车经过凹形桥面时，向心加速度方 向向上，汽车处于超重状态；经过凸形桥面 时，向心加速度方向向下，汽车处于失重状 态，所以当汽车经过凹形桥面的最低点时如 图(甲)所示，汽车对桥面的压力最大. 当汽车经过凹桥面最低点时， 设桥面支持力为FN1，
gR
小球用轻杆支持，过最高点的v临界=0，N=mg， 方向向上，故B答案不正确.当杆对球作用力与重力相 反，即向上，当v=0时，重力与支持力相等，故C错 误. 当v= 时，N=0，所以A正确.
Rg 当0＜v＜ 时，mg＞N＞0，N为支持力. Rg 当v＞ 时，N＞0，N为拉力，所以D不正确. Rg
(3)随着经济的发展和人们生活节奏的加快，对交 通运输的快捷提出了更高的要求.为了提高运输力， 国家不断对火车进行提速，这就要求铁路转弯速 率也需要提高.请根据上述计算原理分析提速时应 采取怎样的有效措施提高铁路的转弯速率.
(1)分析表中数据可得，每组的h与r之乘积均等 于常数. C=660m×50×10-3m=33m2 1 (h 33 ) r 即hr=33或 ①
易错题：如图4-4-6所示，使一小球沿半径 为R的圆形轨道从最低点上升，那么在最低点需 给它的最小速度为多大时，能使它到达最高点？
图4- 6 4-
【错解】根据机械能守恒，小球在圆形轨道最高点 A时的势能等于它在圆形轨道最低点时的动能， 1 2 所以mg 2 R = mvB，解得vB = 2 gR 2 【错解分析】小球到达最高点A时的速度vA不能为零， 否则小球早在到达A点之前就离开了圆形轨道．
当r=440m时，有： 33 h m=0.075m=75mm 440
(2)转弯中，当内、外轨对车轮没有侧向压力时，火车 的受力如图所示.由牛顿第二定律得：
因为θ很小，有： 由②③可得： 代入数据得：
v mg tan m r
2
②
③ h tan sin L ④ ghr v L
点评：竖直面内圆周运动最高点处的受 力特点及分类：①弹力只可能向下，如绳拉 球．②弹力只可能向上，例如车过桥．③弹力 既可能向上又可能向下，如管内转球(或杆连 球、环穿珠)．
弹力可取任意值．但可以进一步讨论：当v>
gR 时物体受到的弹力必然是向下的；当v< gR时
物体受到的弹力必然是向上的；当v= gR时物体受
弯道半径 66 330 220 165 132 110 0 r/m 内外轨道 高 50 100 150 200 250 300 度差 (1)根据表中数据，试导出h和r关系的表达式， h/mm 并求出当r=440m时，h的设计值；
(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对 安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力， 又已知我国铁路内外轨的间距设计值为Ｌ =1425mm，结合表中数据，算出我国火车的转 弯速率v(以km/h为单位，结果取整数)；(路轨 倾角很小时，正切值按正弦值处理)
具有vB = 5 gR的速度．
点评：物体能否做圆周运动，不是我们想 象它怎样就怎样，而是要能从实际情况中找 到．