离散数学A卷及答案

2011-2012 2 离散数学（A 卷）
高密校区 2011级计专、软专 （答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）
一、单项选择题（每小题2分，共20分）
1．下列为两个命题变元ｐ，ｑ的最小项的是（ ）
A ．ｐ∧ｑ∧⎤ ｐ
B ．⎤ ｐ∨ｑ
C ．⎤ ｐ∧ｑ
D ．⎤ ｐ∨ｐ∨ｑ
2．下列语句中是真命题的是（ ）
A ．我正在说谎
B ．严禁吸烟
C ．如果1+2=3，那么雪是黑的
D ．如果1+2=5，那么雪是黑的
3．在公式x ∀F （x ，y ）→∃ y G （x ，y ）中变元x 是（ ）
A ．自由变元
B ．约束变元
C ．既是自由变元，又是约束变元
D ．既不是自由变元，又不是约束变元
4．集合A={1，2，…，10}上的关系R={（x ，y ）|x +y =10，x ∈A ，y ∈A}，则R 的性质是（
）
A ．自反的
B ．对称的
C ．传递的、对称的
D ．反自反的、传递的
5．设论域为{l ，2}，与公式)(x xA ∃等价的是( )
A.A (1)∨A (2)
B. A (1)→A (2)
C.A (1)
D. A (2)→A (1)
6. 下列关系矩阵所对应的关系具有反自反性的是（ ）
A ．⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡001110101 B ．⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡1011000
01
C ．⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡001100100 D ．⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡001010101
7. 在自然数集N 上，下列运算是可结合的是（ ）
A b a b a 2*-=
B ．},min{*b a b a =
C b a b a --=*
D b a b a -=*
8．.设A 是奇数集合，下列构成独异点的是( )
A.<A ，+>
B.<A ，->
C.<A ，×>
D.<A ，÷> 课程考试试题
学期 学年 拟题人: 校对人
:
拟题学院（系）: 适 用 专 业:
拟题学院（系）： 高密校区 适用专业： 2011级计专、软专
2011－2012 学年 2学期 离散数学 （A 卷） 试题标准答案
9. 右图的最大入度是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
第9题图
10. 设G 为有n 个结点的简单图，则有（ ）
A ．Δ(G)＜n
B ．Δ(G)≤n
C ．Δ(G)＞n
D ．Δ(G)≥n
二、填空题(每空2分，共20分)
1．设A ={1，2，3，4}，B ={2，4，6}，则A -B =________，A ⊕B =________。

2．设S 是非空有限集，代数结构（P （S ），∪）中，其中P （S ）为集合S 的幂集，则P （S ）
对∪运算的单位元是________，零元是________。

3．设f ∶R →R,f(x)=x+3,g ∶R →R,g(x)=2x+1,则复合函数____________))(g (f =x ,
__________________)x )(f (g = 。

4．设有向图G=（V, E ）,V={v 1,v 2,v 3,v 4},若G 的邻接矩阵⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001001111011010A ，则deg -(v 1)=_ ________,deg +(v 4)=____________。

5．给定集合A={1,2,3,4,5}，在集合A 上定义两种关系：R={（1,2）,（3,4）,（2,2）},
S={（4,2）,（2,5），（3,1）,（1,3）}，则_______________S R = ，_______________R S = 。

三、解答题（6个小题，共60分）
1．（10分）设A={１,２,３,６,９,１８}，≤为整除关系。

（１）画出（A ，≤）的哈斯图；
（２）求子集Ｂ＝｛３，６，９｝的极大元、极小元、最大元、最小元。

2．（10分）构造命题公式（（P ∧Q ）→P ）∨R 的真值表。

3．（10分）求命题公式A=P →（（Q →P ）∧（⎤P ∧Q ））的主析取范式和主合取范式。

4．（10分）证明：⎤(A ∧B)，B ∨C, ⎤C ⇒⎤A.
5．（10分）设图G 有n 个结点，n +1条边，证明：G 中至少有一个节点度数≥3。

6．（10分）用矩阵的方法求下图中节点u 1，u 5之间长度为2的路的数目。

（答案要注明各个要点的评分标准）
拟 题 人：
书写标准答案人：
一、单项选择题（每小题2分，共20分）1．（Ｃ）2． (Ｄ)；3．（C ）；4．（Ｂ）；5. (A) 6．（Ｃ）
7． (Ｂ)；8．（Ｃ）；9．（Ｄ）；10. (Ａ).
二、填空题(每空2分，共20分)
1．{1，３}，{1，３，６}； 2．Φ, Ｓ；
3．2x+７, 2x+４； 4．3,1； 5．{(1,5),(3,2), (2,5)}，{(4,2),(3,2), (1,4)}
三、解答题（6个小题，共60分）
1.解：（１） 哈斯图： ……5分
（２）Ｂ＝｛３，６，９｝的极大元：６，９。

极小元：３。

最大元：无。

最小元：３
……10分
2. P Q P ∧Q P ∧Q →P （（P ∧Q ）→P ）∨R
1 1 1 １ １ 1
1 １ ０ １ １ 1
１ ０ 1 0 １ 1
１ 0 0 ０ 1 1
０ １ １ ０ １ １
０ １ ０ ０ １ １
０ ０ １ ０ １ １
０ ０ ０ ０ １ １
………10分
3.解：A= P →（（Q →P ）∧（⎤P ∧Q ））
=⎤P ∨（（⎤Q ∨P ）∧（⎤P ∧Q ））
=⎤P ∨（（⎤Q ∧⎤P ∧Q ）∨（P ∧⎤P ∧Q ））
=⎤P ∨（0∨0）
=⎤P ………5分
所以A 的主析取范式Ａ＝⎤P ∧（Q ∨⎤Q ）＝（⎤P ∧Q ）∨（⎤P ∧⎤Q ） ………7分
A 的主合取范式Ａ＝⎤P ∨（Q ∧⎤Q ）＝（⎤P ∨Q ）∧（⎤P ∨⎤Q ） ………10分
4．证明： （１）B ∨C Ｐ ………１分
（２）⎤C P （１） ………３分 （３）B T (1) (2)I ………5分
（４）⎤(A ∧B) P ………６分
（５）⎤A ∨⎤B Ｔ（４）E ………8分
（６）⎤A T (3) (5)I ………10分
5.证明： 设图),(E V G =有n 个节点,,21n v v v 边数为n+1 ………1分
假设任意节点其度数2deg ≤i v ，则n v
n i i 2deg 1
≤∑= ………5分 又因为节点度数总和等于边数两倍，即)1(2deg 1+=∑=n v n
i i ………8分
所以n n 2)1(2≤+，这是个矛盾。

故不可能每个节点度数小于等于2，即至少有一
节点度数大于等于3 ………10分
6.解： 邻接矩阵
⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0111110001100111010111110A
………4分
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡
=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=41223
12221
22322
22232
31224
011111000110011
1010111110
01111100011001110101111102A ………8分
所以，图中节点u 1，u 5之间长度为2的路有３条。

………10分。