一元二次方程的几何解法_邱华英

一元二次方程的几何解法

杭州市上城区建兰中学 310017 邱华英

　华东师范大学数学系 200062 汪晓勤

今天,解一元二次方程的几何方法已经

很少受到人们的注意了,对于那些认为学习数学就是学习解题的人来说,几何方法也没有多少实用价值,因为学生只要记住求根公式就可以解任意一个一元二次方程了.但在历史上,几何方法的影响却要超过代数方法,本文考察几何方法的历史,旨在说明:数学的历史是一个宝藏,不论时代如何变迁,从事数学教育的人们总是可以并且也有必要从中汲取有益的思想养料.1　《几何原本》欧几里得《几何原本》第2卷命题5说:“如果平分一条线段,再将其分成不相等的两段.则由不等两段构成的矩形与两分点之间一段上的正方形的和等于原来线段一半上的正方形.”命题6说:“如果平分一线段,并且在同一线段上给它加上一线段,则整条线段与所加线段构成的矩形与原线段一半以上正方形的和等于原线段一半所加线段之和上的正方形.”用今天的符号写出来,分别是是

ab +(a -b 2)2=(a +b 2

)2

,

(a +b )b +(a 2)2=(a 2

+b )2

.欧几里得的几何证明实际上解决了一元二次方程x 2

±bx =c ,因为这两个方程相当于说:将已知长度为b 的线段分成两部分(x 和b -x ),使其构成的矩形面积为c ;在长度为b 的线段AB 的延长线上求一点D ,使AD (b +x )与BD (x )构成的矩形面积为c .2　花拉子米

9世纪阿拉伯数学家花拉子米(Al -

Khw arizmi ,780?—850?)解二次方程时用的

也是几何方法.在其名著《代数学》(His āb al

-jabrw 'al -muq ābala )第4章,花拉子米给出二次方程

x 2+10x =39(1)

图1 图2

的正根为(102)2+39-102

,在同书第6章,

花拉子米构造了一个以未知数x 为边长的正方形,在其四条边上各作一宽度为104

的矩

形,如图1所示.于是四角上的正方形面积

各为(52

)2

,共为25.故大正方形面积为39+

25=64,边长为8.于是求得未知数x .花拉子米的另一几何方法如图2所示.3　斐波纳契

中世纪欧洲最伟大的数学家斐波纳契(Leonardo Fibonacci ,1170?～1250?)认为,算术和几何是相互关联、彼此支持的,在《计算之书》前言里,他这样写道:“如果不利用几何学,或没有看到数的算术运算与几何相近,那么数的全部知识就不能得到呈现.”因此,他常常利用几何图形来证明他的结果.在名著《花朵》中,他用儿何方法解决了一元二次方程

x 2+3647x =1826

7

(2)

图3

如图3,构造正方形边长为未知数x 的K LM N ,分别延长K N 和LM 至P 和Q ,使得

NP =M Q =364

7

,于是矩形KLQP 的面积

即为方程(2)的左边,因而K L ·LQ =LM ·

LQ =1826

7

.设MQ 的中点为R ,则M R =

1827,MR 2=3341849,根据《几何原本》第2卷命题6,斐波纳契有

LR 2=MR 2+LM ·LQ =5171149,所以LR =22.44′33″.15 ,因而x =LR -MR =4.27′.24″.40 .50Ⅳ

.4　笛卡儿

17世纪法国著名数学家、解析几何的创始人之一笛卡儿(R .Descartes ,1596～1650)在其《几何学》(1637)中给出一元二次方程的几何解法.如图4所示,利用《几何原

本》第2卷命题14,作CB =c ,AC =b

2

,

则x 2-bx -c =0的一个根为DB =b 2+(b 2

)2+c .图4

笛卡儿没有提到另一个根-EB =b

2-

(笛卡儿称之为“假数”)在西方尚未被人们所理解和接受.

x 2+bx -c =0的一个根为EB =-b

2+

(b 2

)2+c .图5

笛卡儿同样没有提到另一个根-DB =-b 2-(b 2)2

+c .如图5所示,作CB =c ,AC =b 2

,则

x 2

-bx +c =0的根为

DB =

b 2+(b 2)2

-c ,EB =b 2-(b 2

)2

-c .

笛卡儿没有提到方程x 2+bx +c =0的根的

作图法,因为它的两个根均为负数:

-DB =-b

2=(b 2)2-c ,

-EB =-b 2+(b 2

)2

-c .5　沃利斯

英国数学家沃里斯(J .Wallis ,1616～1703)在《代数》(1673)一书的第2卷第68章讨论一元二次方程x 2±bx +c =0(b >0,c >0)以及x 2±bx -c =0(b >0,c >0)的根的几何作图法.对于x 2±bx +c =0,若b

2≥c ,如图6所示,设ACB =b ,C 为中

点.过C 作ACB 的垂线,取CP =c (仍利用《几何原本》卷2命题14),以P 为圆心、b 2

为

半径作圆弧交AB 于D ,于是线段AD 和DB 的长度为方程x 2

-bx +c =0的两个根,两

个长度的相反数即为方程x 2+bx +c =0的

两个根.当b

2

ACB 没有交点.沃利斯取它与直径为PC 的圆的交点D ,于是■PDC 是以点D 为直角顶点的Rt ■(图7).此时,线段AD 和DB 表示了方程的两个虚根.这是数学史上用图形表示虚数的第一次尝试.显然,CD 的长度即为方程x 2±bx +c =0

的虚根的虚部的绝对值.

图6 图7

对于x 2±bx -c =0,沃利斯取CA =b

2,AB =c ,CA ⊥AB ,连结BC 并延长,交以C 为心、CA 为半径的圆于D 、E .则方程x 2

+bx -c =0的两个根为DB 和-BE ,方程x 2-bx -c =0的两个根为-DB

和BE .

图8 图9

6　卡莱尔

19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔(Thomas Carlyle ,1795～1881)在爱丁堡大学读书时,给出了任意一元二次方程实根的一个十分新颖、简洁的几何求法,后来被他的老师、苏格兰数学家莱斯利(J .Leslie ,1766～1832)收入《几何基础》第二版(1817)中.

设一元二次方程为x 2

-bx +c =0.如

图9,在直角坐标系中作出点A (0,1)和B (b ,c ).以BQ 为直径作圆C ,交x 轴于M 、N .则M 、A 的横坐标即为二次方程的两个实根.不难用几何方法证明上述解法的正确性.卡莱尔的几何方法成了数学史上解一元二次方程的著名方法之一.7　斯陶特

19世纪德国数学家斯陶特(K .von S taudt ,1798～1867)给出了一个著名的几何方法.已知一元二次方程x 2

-bx +c =0.

如图10,在直角坐标系中作出点A (c

b ,0)

和B (4

b

,2).连结AB ,与圆心为(0,1)的单位

圆交于C 、D ,分别连接点(0,2)利点C 、D ,交x 轴于两点E (r ,0)、F (s ,0),则r 、s 即为方程的根.限于篇幅,我们略去证明.

图10

参考文献

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