EM第9讲静电旋度电位
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Research Institute of RF & Wireless Techniques
South China University of Technology
9.2 电位
静电场中两点间的电压就是两点之间的电位差。 对于一个给定的电场，电位参考点的选取是任意的。一经确定参
考点，场中各点的电位值就完全确定；如果选择不同的参考点， 场中各点的电位值都增加(或减少)同一个常数值(但电位函数的分 布规律不会变化)。在实际工程中，常常把大地表面作为电位参考 点。而在理论分析时，只要引起电场的全部电荷都处于有限的空 间区域内，则不管电荷如何分布，都可以选择无穷远作为电位的 参考点，在这样的参考点选择下，场中任意点P(x,y,z)的电位为：
9.3 例题
源点到场点P的距离为
South China University of Technology
R z2 a2
应用柱坐标系，点P电位为
1 2a l dl
al
40 0 z2 a2
20 z2 a2
由于电荷分布对称的对称性，该处的电场强度仅 有z方向的分量，即
South China University of Technology
9.1 静电场的无旋性
静电场的性质： 静电场中任意两点间的电场路径积分与路径无关。
在静电场中沿任何闭合曲线绕一周移动点电荷，电 场力所做的功为零。这意味着静电场的能量只与点 电荷的位置有关，故静电场是保守场。
静电场中的电场强度是某一标量场的梯度场，没有
9.3 电力线与等位面
【电力线】两点间电场的线积分
电力线方程
E dl
0
电力线的特点：
始于正电荷，终于负电荷；
线的疏密对应电场的强弱；
垂直于等位面； 互不相交。
正电荷
负电荷
Research Institute of RF & Wireless Techniques
South China University of Technology
Research Institute of RF & Wireless Techniques
South China University of Technology
9.2 电位
物理意义:点P的电位值为电场力将单位正电荷由点P移 至无穷远所做的功，或者外力将单位正电荷从无穷远 移至点P过程中克服电场力所需做的功。后者为外力做 功并将此功转变为电场储能，前者则是电场力通过做 功而将其储能释放。
旋度，是无旋场，梯度场。
(u) 0
E(r )
0
Research Institute of RF & Wireless Techniques
9.2 电位
1、
实际的物理意义：
某点的E矢量表示在该点上单位正电荷所受的电场力，如
方向所做的功。因此，积
的物理意义就是电场力将单位正电荷从点P移至点Q所做的功。我
们定义此功为场中两点之间的电
South China University of Technology
例如，在如图2-9所示的点电荷q的 电场中，PQ之间的电压为
Research Institute of RF & Wireless Techniques
South China University of Technology
E
因此
q，
4 0
r
1
r
(u) 0
E 0
静电场是 无旋场！
Research Institute of RF & Wireless Techniques
South China University of Technology
9.1 静电场的旋度
【静电场的性质】
South China University of Technology
第9讲内容
静电场的无旋性 电位 例题 电力线与等位面
Research Institute of RF & Wireless Techniques
9.1 静电场的旋度
South China University of Technology
电磁场与电磁波
Electromagnetic fields and electromagnetic waves
第9讲 静电场 ---静电场的无旋性与电位函数
黄惠芬
华南理工大学电子与信息学院 射频与无线技术研究所 TEL: 15360068207 Email:huanghf@scut.edu.cn
Research Institute of RF & Wireless Techniques
静电场是一个矢量，根据Helmholtz定理，矢量由它的旋度和 散度唯一确定。
首先，求静电场的旋度。按说，由于已知了电场强度的表示 式，可以直接计算旋度。不过，利用一些技巧，可以简化计算。
注意到： 于是，电场可写为
r
1
r
(r
r)
r
r
3
我们已经知道：
9.1 静电场的无旋性
推导：
South China University of Technology
由于路径pmQ,PnQ的任意性，故线积分
与积分路径无关。
静电场中的电场强度是某一标量场的梯度场，没有旋度。
Research Institute of RF & Wireless Techniques
9.3 电力线与等位面
点电荷与不接地导体的电场
带电平行板
Research Institute of RF & Wireless Techniques
South China University of Technology
小结
静电场的无旋性 电位 例题 电力线与等位面
Research Institute of RF & Wireless Techniques
South China University of Technology
习题
P88: 2-7，2-9，2-14
Research Institute of RF & Wireless Techniques
Edl
EdS
0
C
S
静电场中任意两点间的电场路径积分与路径无关
Fdl q0 Edl 0
C
C
在静电场中沿任何闭合曲线绕一周移动点电荷，电场力所
做的功为零。这意味着静电场的能量只与点电荷的位置有
关，故静电场是保守场。
Research Institute of RF & Wireless Techniques
则对于场中的任意考察点
有唯一的积
分值与动点
相对应，故可定义此积分值为点P的标量
位(标量电位)，也即点P的电位定义为：
显然，参考点的电位为：
South China University of Technology
电位的单位与电压相同，也是V(伏)。 根据电位和电压的定义，场中A，B两点的电压
4π 0
(r) dV , E(r)
V| r r|
V
(r)(r r) 4π0 r r 3 dV
(2 27)
(r) 1
4π 0
S (r) dS, E(r) 1
S | r r|
4π 0
S
S (r)(r
| r r |3
r)
dS
(2 28)
(r) 1 l (r) dl, E(r) 1
4π0 l | r r |
4π 0
l
l
(r |r
)(r r) r |3
dl
(2 29)
Research Institute of RF & Wireless Techniques
以下计算真空中一个位于原点的点电荷q在离它R远处 的电位。设参考点在无穷远处。在式(2-20)中令点Q在 无穷远处，即
Research Institute of RF & Wireless Techniques
South China University of Technology
9.2 电位
South China University of Technology
9.3 例题
它在轴线上点P的电位为
d 2 rS dr rS dr 40 z2 r2 20 z2 r2
a rSdr S 0 20 z2 r2 20
E
aˆz Ez
aˆz
z
aˆz
2 0
al z
z2 a2
3/ 2
Research Institute of RF & Wireless Techniques
South China University of Technology
9.3 例题
【例5-2】求电荷密度 S ，半径为a的均匀带电圆
South China University of Technology
9.3 例题百度文库
【例9-1】在真空中xoy平面上有一半径为a的圆形
线电荷，其线密度为 l ，求轴线上离圆心z处点
P(0,0,z)的电位和电场强度。
解：在圆上取一线
元 dl，其上所带电荷为
dq ldl
Research Institute of RF & Wireless Techniques
Research Institute of RF & Wireless Techniques
South China University of Technology
9.2 电位
对于有限区域中的分布电荷，可以应用叠加原理而得 电位与电场强度：
E (2 30)
(r) 1
则任意场点r处的电位为:
(r) q 4π 0 r
(2 24)
若点电荷q并非处于坐标原点，而是在源点 则只需将式(2-24)中的r换成源点
有限，
4 0
q r
r
(2 25)
如果场源为N个点电荷(分布在有限区域内)，则某一场点r处的电 位可根据上式应用叠加原理而得到:
盘轴线上的电场强度。
解：在圆盘上取一半径为r，宽度为dr’的圆环 由于dr’ 很小，源点到场点P的距离即为
R z2 r2
圆环上的元电荷
dq S rddr S 2 rdr
Research Institute of RF & Wireless Techniques
z2 a2 z
电场强度为
E
aˆz Ez
aˆz
z
aˆz
S 2 0
1
z
z2 a2
Research Institute of RF & Wireless Techniques
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9.2 电位
在球坐标系中，线元矢量
P，Q两点间的电压，或E的线积分，或电场力移动电荷所做的功仅 与P，Q两点的位置有关，而与路径无关。
Research Institute of RF & Wireless Techniques
9.2 电位
是一个标量值，且其积分量值与积分路径无
关。因此，对于一个给定的电场E，如果选取某点Q作为参考点，
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9.2 电位
静电场中两点间的电压就是两点之间的电位差。 对于一个给定的电场，电位参考点的选取是任意的。一经确定参
考点，场中各点的电位值就完全确定；如果选择不同的参考点， 场中各点的电位值都增加(或减少)同一个常数值(但电位函数的分 布规律不会变化)。在实际工程中，常常把大地表面作为电位参考 点。而在理论分析时，只要引起电场的全部电荷都处于有限的空 间区域内，则不管电荷如何分布，都可以选择无穷远作为电位的 参考点，在这样的参考点选择下，场中任意点P(x,y,z)的电位为：
9.3 例题
源点到场点P的距离为
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R z2 a2
应用柱坐标系，点P电位为
1 2a l dl
al
40 0 z2 a2
20 z2 a2
由于电荷分布对称的对称性，该处的电场强度仅 有z方向的分量，即
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9.1 静电场的无旋性
静电场的性质： 静电场中任意两点间的电场路径积分与路径无关。
在静电场中沿任何闭合曲线绕一周移动点电荷，电 场力所做的功为零。这意味着静电场的能量只与点 电荷的位置有关，故静电场是保守场。
静电场中的电场强度是某一标量场的梯度场，没有
9.3 电力线与等位面
【电力线】两点间电场的线积分
电力线方程
E dl
0
电力线的特点：
始于正电荷，终于负电荷；
线的疏密对应电场的强弱；
垂直于等位面； 互不相交。
正电荷
负电荷
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South China University of Technology
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9.2 电位
物理意义:点P的电位值为电场力将单位正电荷由点P移 至无穷远所做的功，或者外力将单位正电荷从无穷远 移至点P过程中克服电场力所需做的功。后者为外力做 功并将此功转变为电场储能，前者则是电场力通过做 功而将其储能释放。
旋度，是无旋场，梯度场。
(u) 0
E(r )
0
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9.2 电位
1、
实际的物理意义：
某点的E矢量表示在该点上单位正电荷所受的电场力，如
方向所做的功。因此，积
的物理意义就是电场力将单位正电荷从点P移至点Q所做的功。我
们定义此功为场中两点之间的电
South China University of Technology
例如，在如图2-9所示的点电荷q的 电场中，PQ之间的电压为
Research Institute of RF & Wireless Techniques
South China University of Technology
E
因此
q，
4 0
r
1
r
(u) 0
E 0
静电场是 无旋场！
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9.1 静电场的旋度
【静电场的性质】
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第9讲内容
静电场的无旋性 电位 例题 电力线与等位面
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9.1 静电场的旋度
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电磁场与电磁波
Electromagnetic fields and electromagnetic waves
第9讲 静电场 ---静电场的无旋性与电位函数
黄惠芬
华南理工大学电子与信息学院 射频与无线技术研究所 TEL: 15360068207 Email:huanghf@scut.edu.cn
Research Institute of RF & Wireless Techniques
静电场是一个矢量，根据Helmholtz定理，矢量由它的旋度和 散度唯一确定。
首先，求静电场的旋度。按说，由于已知了电场强度的表示 式，可以直接计算旋度。不过，利用一些技巧，可以简化计算。
注意到： 于是，电场可写为
r
1
r
(r
r)
r
r
3
我们已经知道：
9.1 静电场的无旋性
推导：
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由于路径pmQ,PnQ的任意性，故线积分
与积分路径无关。
静电场中的电场强度是某一标量场的梯度场，没有旋度。
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9.3 电力线与等位面
点电荷与不接地导体的电场
带电平行板
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小结
静电场的无旋性 电位 例题 电力线与等位面
Research Institute of RF & Wireless Techniques
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习题
P88: 2-7，2-9，2-14
Research Institute of RF & Wireless Techniques
Edl
EdS
0
C
S
静电场中任意两点间的电场路径积分与路径无关
Fdl q0 Edl 0
C
C
在静电场中沿任何闭合曲线绕一周移动点电荷，电场力所
做的功为零。这意味着静电场的能量只与点电荷的位置有
关，故静电场是保守场。
Research Institute of RF & Wireless Techniques
则对于场中的任意考察点
有唯一的积
分值与动点
相对应，故可定义此积分值为点P的标量
位(标量电位)，也即点P的电位定义为：
显然，参考点的电位为：
South China University of Technology
电位的单位与电压相同，也是V(伏)。 根据电位和电压的定义，场中A，B两点的电压
4π 0
(r) dV , E(r)
V| r r|
V
(r)(r r) 4π0 r r 3 dV
(2 27)
(r) 1
4π 0
S (r) dS, E(r) 1
S | r r|
4π 0
S
S (r)(r
| r r |3
r)
dS
(2 28)
(r) 1 l (r) dl, E(r) 1
4π0 l | r r |
4π 0
l
l
(r |r
)(r r) r |3
dl
(2 29)
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以下计算真空中一个位于原点的点电荷q在离它R远处 的电位。设参考点在无穷远处。在式(2-20)中令点Q在 无穷远处，即
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9.2 电位
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9.3 例题
它在轴线上点P的电位为
d 2 rS dr rS dr 40 z2 r2 20 z2 r2
a rSdr S 0 20 z2 r2 20
E
aˆz Ez
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z
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2 0
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3/ 2
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9.3 例题
【例5-2】求电荷密度 S ，半径为a的均匀带电圆
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9.3 例题百度文库
【例9-1】在真空中xoy平面上有一半径为a的圆形
线电荷，其线密度为 l ，求轴线上离圆心z处点
P(0,0,z)的电位和电场强度。
解：在圆上取一线
元 dl，其上所带电荷为
dq ldl
Research Institute of RF & Wireless Techniques
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9.2 电位
对于有限区域中的分布电荷，可以应用叠加原理而得 电位与电场强度：
E (2 30)
(r) 1
则任意场点r处的电位为:
(r) q 4π 0 r
(2 24)
若点电荷q并非处于坐标原点，而是在源点 则只需将式(2-24)中的r换成源点
有限，
4 0
q r
r
(2 25)
如果场源为N个点电荷(分布在有限区域内)，则某一场点r处的电 位可根据上式应用叠加原理而得到:
盘轴线上的电场强度。
解：在圆盘上取一半径为r，宽度为dr’的圆环 由于dr’ 很小，源点到场点P的距离即为
R z2 r2
圆环上的元电荷
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Research Institute of RF & Wireless Techniques
z2 a2 z
电场强度为
E
aˆz Ez
aˆz
z
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S 2 0
1
z
z2 a2
Research Institute of RF & Wireless Techniques
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9.2 电位
在球坐标系中，线元矢量
P，Q两点间的电压，或E的线积分，或电场力移动电荷所做的功仅 与P，Q两点的位置有关，而与路径无关。
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9.2 电位
是一个标量值，且其积分量值与积分路径无
关。因此，对于一个给定的电场E，如果选取某点Q作为参考点，