概率论与数理统计模拟试题及答案

概率论与数理统计试题 考试时间：120分钟 试卷总分100分 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分 评卷

教师

一、填空题（满分15分）

1.已知3.0)(=B P ,7.0)(=⋃B A P ,且A 与B 相互独立，则

=)(A P 。

2.设随机变量X 服从参数为二项分布，且2

1

}0{=

=X P ，则=p 。

3.设),3(~2σN X ,且1.0}0{=

4.已知DX=1，DY=2，且X 和Y 相互独立，则D(2X-Y)＝

5.已知随机变量X 服从自由度为n 的t 分布，则随机变量2X 服从的分布是 。

二、选择题（满分15分）

1.抛掷3枚均匀对称的硬币，恰好有两枚正面向上的概率是 。

装

订

线

（A ）0.125， （B ）0.25， （C ）0.375， （D ）0.5 2.有γ个球，随机地放在n 个盒子中（γ≤n），则某指定的γ个盒子中各有一球的概率为 。

（A ）

γγn ! （B ）γγn C r n ! （C ）n

n γ

! (D) n n n C γγ! 3.设随机变量X 的概率密度为||)(x ce x f -=，则c ＝ 。 （A ）－2

1

（B ）0 （C ）2

1 （D ）1

4.掷一颗骰子600次，求“一点” 出现次数的均值为 。 （A ）50 （B ）100 （C ）120 （D ）150

5.设总体X 在),(ρμρμ+-上服从均匀分布，则参数μ的矩估计量为 。

（A ）x 1 （B ）∑=-n i i X n 111 （C ）∑=-n i i X n 1

2

11 （D ）x 三、计算题（满分60分）

1.某商店拥有某产品共计12件，其中4件次品，已经售出2件，现从剩下的10件产品中任取一件，求这件是正品的概率。

2.设某种电子元件的寿命服从正态分布N （40，100），随机地取5个元件，求恰有两个元件寿命小于50的概率。（841

3.0)1(=Φ，

9772.0)2(=Φ）

3.在区间（0，1）中随机地取两个数，求事件“两数之和小于5

6

”的概率。

4.一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概

率分别为0.2，0.3，0.4，各部件的状态相互独立，求需要调整的部件数X 的期望EX 和方差DX 。

5.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2％的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差。 （)99.0)325.2(,98.0)055.2(=Φ=Φ

6.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。（0301.2)35(025.0=t ，0281.2)36(025.0=t ） 四、证明题

1.设A ，B 是两个随机事件，0

⎫ ⎝⎛=⎪⎭

⎫ ⎝⎛A B P A B P ，证明：A

与B 相互独立。

2.设总体X 服从参数为λ的泊松分布，n X X ,1是X 的简单随机样本，试证：

()

22

1

S X +是λ的无偏估计。 参考答案

一、 填空题（满分15分）

1、 0.5

2、3

1

21-- 3、0.4 4、6 5、),1(n F 二、 填空题（满分15分）

1、C

2、D

3、C

4、B

5、D

三、 计算题

1、 应用贝叶斯公式，P ＝0.9523

2、 当原方程有实根时，解得2>k 或1-

3515

2=⎰dx . 3、⎩⎨

⎧<<=其它0

101)(x x f X ，⎩⎨

⎧<<=其它

1

01

)(y y f Y 由于X 与Y 相互独立，因此

⎩⎨

⎧<<<<==其它

1

0,101

)()(),(y x y f x f y x f Y X ，

所以

⎰⎰=

=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧

<+-54054

0258),(54y dxdy y x f Y X P . 4、5

412)(1002==⎰⎰dydx xy X E x

， 2

112)(1

003==⎰⎰dydx xy XY E x

.

5、{}

⇒

≥⎪⎪⎭

⎪

⎪⎬⎫

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-⇔

≥>9.05110729.070n n X P X P 6

.4129.15

1

9.051≥⇒≥⇒≥⎪⎭⎫ ⎝⎛Φn n n ， 因此至少应取42=n . 6、设2206.1:=σH ，2216.1:≠σH ， 由于83.52=X ，所以

18.21925.111212

2

<=⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=∑=X n X n S n i i ，

故拒绝0H ，即认为零件强度的方差较以往发生了变化。 四、 证明题 1、

证明： 由于

[]

)

|()()()|()()()

|()()()()

|()()(A B P A P A P A B P A P A P A B P A P A P A P A B P A P AB P +=+==，

[

])

|()()()|()()()|()()|()()()()(A B P A P A P A B P A P A P A B P A P A B P A P A P B P A P +=+=，

及)()()(B P A P AB P =，

因此

)

|()()()|()()()()()

()()

|()()()()|(A B P A P A P A B P A P A P B P A P A P A P A B P A P A P AB P A B P =-=-=

.

2、()λ=X E ，()λ=2S E ，

[]

,

)1()()1()()1(22

λλλ=-+=-+=-+∴a a s E a x aE s a x a E

命题得证。

06-07-1《概率论与数理统计》试题A