2005年高考山东文科数学试题及答案

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2005年高考.全国卷Ⅰ.文科数学试题精析详解(河北、河南、安徽、山西)

2005年高考.全国卷Ⅰ.文科数学试题精析详解(河北、河南、安徽、山西)

2005 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(全国卷Ⅰ)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷 1 至 2 页。

第Ⅱ卷3到 10 页。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

参考公式:如果事件 A 、 B 互斥,那么球是表面积公式P( A B) P( A) P(B)S 4R2如果事件 A 、 B 相互独立,那么其中 R 表示球的半径P( A B)P( A) P( B)球的体积公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率是P,那么V4R33n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中 R 表示球的半径P n (k) C n k P k (1 P) n k一.选择题(1)设I为全集,S1、S2、S3是I的三个非空子集,且 S1S2 S3I ,则下面论断正确的是()(A)C I S1(S2S3)(B)S1(C I S2C I S3)(C)C I S1C I S2C I S3(D)S1(C I S2C I S3)【解析】∵ C I S2C I S3C I (S2S3 ) 所表示的部分是图中蓝色的部分,C I S I所表示的部分是图中除去S1的部分,∴C I S1C I S2C I S3C I S I C I (S2S3 ),故选 C.【点拨】利用韦恩图求解.(2)一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为,则球的表面积为(A)8 2(B)8(C)4 2(D)4解:∵截面圆面积为πr1,O 1,∴截面圆半径∴球的半径为 ROO 12r 22 ,O∴球的表面积为 8π,故选B.(3)函数 f (x)x 3 ax 2 3 x 9,已知 f ( x) 在 x3 时取得极值,则a =(A )2(B )3(C ) 4 (D )5解: f( x) 3x 22ax 3 ,令 f (x) |x 3 (3x 22ax 3) |x 3 =0,解得 a=5,选 (D)(4)如图,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为1 的正方形,且ADE 、 BCF 均为正三角形, EF ∥ AB , EF=2 ,则该多面体的体积为( A )2( B )333(C )4( D ) 332解:如图 ,过 A 、 B 两点分别作 AM 、BN 垂直于 EF ,垂足分别为 M 、N ,连结 DM 、 CN ,可证得 DM ⊥EF 、CN ⊥EF ,多面体 ABCDEF 分为三部分,多面体的体积 V 为VABCDEFV AMD BNCV EAMDV F BNC ,∵NF 1 , BF 1 ,∴ BN 3 ,2 2作 NH 垂直于点 H ,则 H 为 BC 的中点,则 NH2 ,∴ S BNC 1BCNH2,∴22412 ,EMNFV F BNCS BNC NF324CDHABV E AMDV F BNC2 , V AMD BNC S BNC MN2,∴ V ABCDEF2 ,故选 A .2443(5)已知双曲线 xa2 y 2 1 (a 0) 的一条准线为 x32,则该双曲线的离心率为2( A ) 336 ( D )2 32( B )(C )322解:由 x2y 2 1 (a0) 得 b1,∴ a 2 1 c 2 ,抛物线 y 26x 的准线为 x3 ,因a 22x 2 y 21 (a0) 的一条准线与抛物线 y 2a 2 3 ,解为双曲线26x 的准线重合, 所以2ac得 c 2,所以a 3 ,所以离心率为c223e3,故选 D.a3(6)当0x时,函数 f ( x)1cos2 x8sin 2x的最小值为2sin 2x (A)2 (B)2 3(C)4 (D)4 3解: f ( x)1cos 2x 8sin 2 x 2 cos2 x8sin 2 x cos x 4 sin xsin 2x 2 sin x cos x sin x cos x2 c o sx 4 s i nx 4 ,当且仅当cosx4sin x,即 ant x1时,取“ ”,s i nx c o sx sin x cos x2∵ 0 x π14 ,故选(C).,∴存在 x 使tan x,这时 f ( x)max22(7)y2x x 2(1 x2) 反函数是(A )(C)y11x 2(1x1)y11x 2(1x1)(B )(D )y11x 2(0x1)y11x2(0x1)解:由y2x x2 (1 x2) ,得x 1 1 y 2 (0 y 1) ,故y2x x 2(1x2) 的反函数为f1 (x)1 1 x2 (0x1) ,选(D)(8)设0a1,函数 f (x)log a ( a2 x2a x2) ,则使 f ( x)0的x的取值范围是(A)(,0)(B)(0, )(C)(, log a3)( D)(log a3,)解:∵ 0a1, f (x) 0 ,∴ a 2x2a x2 1 ,解得 a x3或 a x1(舍去),∴ a log a 3,故选 C.(9)在坐标平面上,不等式组y x1所表示的平面区域的面积为y 3 x1(A)2332(D)2(B)( C)22y解:原不等式化为y x 1或y x1,O1y3x1, (x0)y3x 1,( x0)1 B1x, B(1,1) ,所表示的平面区域如右图所示,A(1,2)A22∴ S3,故选 B2A B(10)在 ABC 中,已知 tanC ,给出以下四个论断:2 sin① tan A cot B 1② 0 sin A sin B 2③ sin 2 Acos 2 B 1④ cos 2 A cos 2 Bsin 2 C其中正确的是(A )①③( B )②④(C )①④( D )②③解:∵ tanABtan πCcotCcosC2 sin C cos C,2, sin C222 C2 2sin2∴ sinC2,∴C90 ,22∵ tan A cot Btan2A ,∴①不一定成立,∵ sin Asin Bsin A cos A2 sin( A) ,∴ 0 sin Asin B2 ,∴②成立,∵ sin 2 A cos 2 B sin 2 A sin 2 A 2sin 2 A ,∴③不一定成立,∵ cos 2 Acos 2 B cos 2 A sin 2 A 1 sin 2 C ,∴④成立,故选 B .(11)点 O 是三角形ABC 所在平面内的一点,满足OA OB OB OC OC OA ,则点 O是 ABC 的( A )三个内角的角平分线的交点 (B )三条边的垂直平分线的交点( C )三条中线的交点(D )三条高的交点解: OA OB OB OC OC OA ,即得OA OBOC OA ,OB(OBBA) (OB BC)(OB BA即 BC(OB BA) 0 ,故BC OA 0 , BC OA ,同理可证 AC OB ,∴ O 是ABC 的三条高的交点 ,选 (D)(12)设直线 l 过点 ( 2,0) ,且与圆22相切,则l 的斜率是x y 1(A ) 1(B )1( C )3323( D )解:设过点( 2,0) ,且与圆 x 2y 2 1相切的直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为:y-kx+2k=0,k 满足: 1=| 2k | 得 k= 3 ,选(D).1 k 23第Ⅱ卷注意事项:1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。

2005年普通高等学校招生全国统一考试山东卷

2005年普通高等学校招生全国统一考试山东卷

2005年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学(必修+选修II )第I 卷(共60分)参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 、B 相互独立,那么()()()P A B P A P B ⋅=一.选择题:本大题共12小题,每题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,选择一个符合题目要求的选项. (1)()()221111iii i -++=+- ( )(A )i (B )i - (C )1 (D )1- (2)函数()10xy x-=≠的反函数图像大致是( ) ((3)已知函数sin cos 1212y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则下列判断正确的是( ) (A )此函数的最小周期为2π,其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭(B )此函数的最小周期为π,其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭ (C )此函数的最小周期为2π,其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭(D )此函数的最小周期为π,其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭(4)下列函数既是奇函数,又在区间[]1,1-上单调递减的是( )(A )()sin f x x =(B )()1f x x =-+(C )()1()2x x f x a a -=+(D )2()ln 2xf x x-=+ (5)如果3nx ⎛⎫ ⎝的展开式中各项系数之和为128,则展开式中31x 的系数是( ) (A )7 (B )7- (C )21 (D )21-(6)函数21sin(),10,(),0.x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩,若(10()2,f f a +=则a 的所有可能值为( )(A )1 (B)2-(C)1,2- (D)2(7)已知向量,a b r r ,且2,56AB a b BC a b =+=-+u u u r r r u u u r r r ,72CD a b =-u u ur r r ,则一定共线的三点是( )( A )A 、B 、D (B )A 、B 、C (C )B 、C 、D (D )A 、C 、D(8)设地球的半径为R ,若甲地位于北纬45︒东经120︒,乙地位于南纬75︒东经120︒,则甲、乙两地的球面距离为( )(A(B )6R π(C )56R π (D )23R π (9)10张奖券中只有3张有奖,5个人购买,至少有1人中奖的概率是( )(A )310 (B )112 (C )12 (D )1112(10)设集合A 、B 是全集U 的两个子集,则A B ⊂是()U C A B U ⋃=的( ) (A )充分不必要条件(B )必要不充分条件(C )冲要条件(D )既不充分也不必要条件(11)01a <<,下列不等式一定成立的是( )(A )(1)(1)log (1)log (1)2a a a a +--++>(B )(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+ (C )(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++ (D )(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+(12)设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l ',若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B 、,点P 为椭圆上的动点,则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为( ) (A )1 (B )2 (C )3 (D )4第II 卷(共90分)二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.答案须填在题中横线上.(13)2222lim __________(1)n n nn C C n -→∞+=+. (14)设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ,右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点,如果PQF ∆是直角三角形,则双曲线的离心率___________e =.(15)设x 、y 满足约束条件5,3212,03,0 4.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩则使得目标函数65z x y =+的最大的点(,)x y 是________.(16)已知m n 、是不同的直线,αβ、是不重合的平面,给出下列命题: ①若//,,,m n αβαβ⊂⊂则//m n②若,,//,m n m αβ⊂则//αβ③若,,//m n m n αβ⊥⊥,则//αβ④,m n 是两条异面直线,若//,//,//,//m m n n αβαβ,则//αβ上面的命题中,真命题的序号是______(写出所有真命题的序号)三.解答题:本大题共6小题,共74分.解答写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)已知向量(cos ,sin )m θθ=u r和)()sin ,cos ,,2n θθθππ=∈r ,且5m n +=u r r 求cos 28θπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.(18)(本小题满分12分)袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为1,7现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取……取后不放回,直到两人中有一人取到白球时既终止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止所需要的取球次数. (I )求袋中所有的白球的个数; (II )求随机变量ξ的概率分布; (III )求甲取到白球的概率. (19)(本小题满分12分)已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点,其中,,0m n R m ∈<, (I )求m 与n 的关系式; (II )求()f x 的单调区间;(III )当[]1,1x ∈-时,函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ,求m 的取值范围.(20)(本小题满分12分)如图,已知长方体1111,ABCD A B C D -12,1,AB AA ==直线BD 与平面11AA B B 所成的角为30︒,AE 垂直BD 于E ,F 为11A B 的中点.(I )求异面直线AE 与BF 所成的角;(II )求平面BDF 与平面1AA B 所成的二面角; (III )求点A 到平面BDF 的距离. (21)(本小题满分12分)已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ,且*15()n n S S n n N +=++∈(I )证明数列{}1n a +是等比数列;(II )令212()nn f x a x a x a x =+++L ,求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与22313n n -的大小.(22)(本小题满分14分) 已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭,且与直线2p x =-相切,其中0p >.(I )求动圆圆心C 的轨迹的方程;(II )设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点,直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β,当,αβA1A BCD1B F1C 1D E变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时,证明直线AB 恒过定点,并求出该定点的坐标.2005年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)(试题参考答案)理科数学(必修+选修II )13.3214. e =15. ()2,3 16. ③④三.解答题17.考查知识点:(三角和向量相结合)解:()cos sin sin m n θθθθ+=-+u r rm n +=u r r =由已知m n +=u r r ,得7cos 425πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又2cos 2cos ()1428πθπθ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭Q 216cos ()2825θπ+= ∴(),2θππ∈ ∴ 598288πθππ<+<∴ cos 028θπ⎛⎫+< ⎪⎝⎭ ∴ 4cos 285θπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭18.(考查知识点:概率及分布列)解:(I)设袋中原有n 个白球,由题意知227(1)1(1)2767762n n n C n n C --===⨯⨯可得3n =或2n =-(舍去)即袋中原有3个白球. (II)由题意,ξ的可能取值为1,2,3,4,53(1);7P ξ==()4322;767P ξ⨯===⨯4326(3);76535P ξ⨯⨯===⨯⨯43233(4);765435P ξ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯432131(5);7654335P ξ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯所以ξ的分布列为:(III)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件A ,则()()()22()13535P A P P P ξξξ==+=+==19.(考查知识点:函数结合导数)解(I)2()36(1)f x mx m x n '=-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点,所以(1)0f '=,即36(1)0m m n -++=,所以36n m =+(II )由(I )知,2()36(1)36f x mx m x m '=-+++=23(1)1m x x m ⎡⎤⎛⎫--+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当0m <时,有211>+,当x 变化时,()f x 与()f x '的变化如下表:故有上表知,当0m <时,()f x 在2,1m ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭单调递减,在2(1,1)m+单调递增,在(1,)+∞上单调递减.(III )由已知得()3f x m '>,即22(1)20mx m x -++>又0m <所以222(1)0x m x m m -++<即[]222(1)0,1,1x m x x m m -++<∈-① 设212()2(1)g x x x m m=-++,其函数开口向上,由题意知①式恒成立,所以22(1)0120(1)010g m mg ⎧-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩解之得43m -<又0m <所以403m -<< 即m 的取值范围为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭20.(考查知识点:立体几何)解:在长方体1111ABCD A B C D -中,以AB 所在的直线为x 轴,以AD 所在的直线为y 轴,1AA 所在的直线为z 轴建立如图示空间直角坐标系由已知12,1,AB AA ==可得(0,0,0),(2,0,0)A B ,(1,0,1)F又AD ⊥平面11AA B B ,从而BD 与平面11AA B B 所成的角为30DBA ∠=︒,又2AB =,AE BD ⊥,1,AE AD ==从而易得1,2E D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(I)因为()1,,1,0,122AE BF ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r 所以()cos ,AE BF AE BF AE BF ⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r14-=- 易知异面直线AE BF 、所成的角为arccos4(II )易知平面1AA B 的一个法向量(0,1,0)m =u r 设(,,)n x y z =r是平面BDF的一个法向量,(2,3BD =-u u u r 由00n BF n BF n BD n BD ⎧⎧⊥⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⊥⋅=⎪⎪⎩⎩r u u u r r u u u r r u u u r r u u ur 020x z x y -+=⎧⎪⇒⎨=⎪⎩x z y =⎧⎪⇒=即()n =r所以cos ,m n m n m n⋅==u r ru r r u r r BDF 与平面1AA B 所成的二面角的大小(锐角)为 (III )点A 到平面BDF 的距离,即AB u u u r在平面BDF 的法向量n r 上的投影的绝对值,所以距离cos ,d AB AB n =⋅u u u r u u u r r=5AB n n⋅=u u u r rr 所以点A 到平面BDF21.(考查知识点:数列)解:由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+故总有112(1)n n a a ++=+,*n N ∈又115,10a a =+≠从而1121n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列;(II )由(I )知321nn a =⨯-因为212()n n f x a x a x a x =+++L 所以112()2n n f x a a x na x -'=+++L从而12(1)2n f a a na '=+++L =()()23212321(321)nn ⨯-+⨯-++⨯-L=()232222n n +⨯++⨯L -()12n +++L =()1(1)31262n n n n ++-⋅-+ 由上()()22(1)23131212nf n n n '--=-⋅-()21221n n --=()()1212121(21)n n n n -⋅--+=12(1)2(21)nn n ⎡⎤--+⎣⎦①当1n =时,①式=0所以22(1)2313f n n '=-; 当2n =时,①式=-120<所以22(1)2313f n n '<-当3n ≥时,10n ->又()011211nnn nn n n n C C C C -=+=++++L ≥2221n n +>+所以()()12210nn n ⎡⎤--+>⎣⎦即①0>从而2(1)f '>22313n n - 22.(考查知识点:圆锥曲线)解:(I )如图,设M 为动圆圆心,,02p ⎛⎫⎪⎝⎭为记为F ,过点M 作直线2p x =-的垂线,垂足为N ,由题意知:MF MN =即动点M 到定点F 与定直线2px =-的距离相等,由抛物线的定义知,点M 的轨迹为抛物线,其中,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点,2p x =-为准线,所以轨迹方程为22(0)y px P =>;(II )如图,设()()1122,,,A x y B x y ,由题意得12x x ≠(否则αβπ+=)且12,0x x ≠所以直线AB的斜率存在,设其方程为y kx b =+,显然221212,22y y x x p p==,将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ,得2220ky py pb -+=由韦达定理知121222,p pby y y y k k+=⋅=① (1)当2πθ=时,即2παβ+=时,tan tan 1αβ⋅=所以121212121,0y y x x y y x x ⋅=-=,221212204y y y y p -=所以2124y y p =由①知:224pb p k=所以2.b pk =因此直线AB 的方程可表示为2y kx Pk =+,即(2)0k x P y +-=所以直线AB 恒过定点()2,0p -(2)当2πθ≠时,由αβθ+=,得tan tan()θαβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p +-将①式代入上式整理化简可得:2tan 2p b pk θ=-,所以22tan pb pk θ=+,此时,直线AB 的方程可表示为y kx =+22tan p pk θ+即2(2)0tan p k x p y θ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭所以直线AB 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以由(1)(2)知,当2πθ=时,直线AB 恒过定点()2,0p -,当2πθ≠时直线AB 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫-⎪⎝⎭.。

2005年全国高考数学(山东卷)

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2005年全国高考数学(山东卷)试卷分析田明泉一.试卷的整体评价2005年山东省高考数学自主命题继承了2004年全国高考数学试卷的命题思路和框架,遵循《考试说明》的要求,力求平稳过渡.试卷结构和长度保持不变;重点考查中学数学通性通法;试卷难度设计基本恰当;注意了文理科对应试题难度的搭配;加强了对运算能力的考查;应用性题目仍然占有适当的比例;继续坚持对新增数学内容的倾斜.整张试卷以常规题为主,中规中矩,具有一定的效度、区分度和信度.有利于稳定中学数学教学,同时也有利于为高校选拔优秀学生.1.试卷结构和长度保持不变,注重“双基”的考查1.1试卷长度、题型比例配置保持不变,与《考试说明》的规定一致.全卷共22题,其中选择题12个,共60分;填空题4个,共16分;解答题6个,共74分,全卷合计150分.1.2重点考查中学数学主干知识(见表1) ,题目不偏不怪.侧重于中学数学学科的基础知识和基本方法的考查;侧重于初等数学和高等数学衔接内容和方法的考查.表1:考查知识点分布表命题坚持以中学数学的主体内容为考查的重点,以测试考生基本数学素质为目的.如有关函数、三角、立体几何、解析几何、数列、向量、导数、概率等内容在卷面上占有相当大的比例,数形结合、函数与方程、分类讨论以及递推、猜想、转化与化归的思想方法等均蕴含在各试题中,可以看出我省高考数学命题仍然坚持对中学数学主流知识和方法的考查.2.继续加强新增课程内容的考查从表1不难发现,新增数学内容:导数、概率统计、平面向量等在试卷中约占46分,约占整个卷面分数的三分之一,远远高出其在教学大纲中的课时分配所占比例(见表2,还未考虑空间向量在立体几何中的应用所占有的分值).同时对新增数学内容的考查具有一定的广度和深度,在一些常见的数学问题中取代传统的数学方法.如用导数求函数的单调区间和极值点;利用概率考查学生应用数学的意识;用向量的方法表示长度、角度和距离等问题.借此让学生体会这部分内容在解决传统数学问题过程中的优越性,同时体现“高考支持课程改革”的命题思路.命题注意到文理科学生在数学学习上的差异,对文理科学生提出不同的考查要求.与04年全国题相比,在相同题占有比例基本不变的情况下(见表3),增加了姊妹题、减少了不同题的个数和分数.如文理第(16)题都是关于判断空间线面位置关系的问题,但文科较理科要求有所降低;再如文理(22)题都是解析几何题,但是文科是以具体的数字给出的条件,而理科相应地是以字母为条件,两者化简和运算的难度拉开了档次;又如文理姊妹题(21),理科多了比较大小一问;再如文科(18)题是古典概型的应用题,对应理科的姊妹题(18)题增加了有关离散型随机变量分布列的问题,体现了文理科学生的不同要求;还有文理第(19)题,理科增加了第3问“求解有关一元二次不等式在某个区间上恒成立的问题”,提高了对理科学生数学能力的考查.由此可以看出命题者有意识的降低文科试题难度,这样处理符合当前中学数学教学以及学生的实际状况.4.适当地增加了应用题的比例今年高考题文理科各出现三小一大4个应用题和两小一大3个应用题(见表4).应用题的数量和分值与去年相比有所增加,难度变化不大.应该说这和当前课改的教学要求、中学应用题教学实际以及学生学习的实际情况是吻合的.通过设置应用题来考查学生应用数学的意识,创设实际问题情景使考生在新的情景中实现知识迁移,应用数学知识解决实际问题,可以体现考生的数学素质和能力,更好地实现高考的选拔功能,真正考查出考生的学习潜力.今年试卷中理(9)和文(10)各是一个概率应用问题.文理(18)分别是用概率统计的方法分析袋中取球的问题.这些应用题涉及到的实际问题,背景公平,学生熟悉,难度适中.由此可以让学生去关心周围的社会和生活的世界.同时可以更好的实现 “新课标”中倡导的学生创新意识和实践能力的培养,无疑会对中学数学教学改革起到良好的导向作用.5.对思维能力考查的同时,对运算能力提出较高的要求 本次数学试卷的运算量明显增大.在文理科客观试题中,虽然只有少数题目运算量较大.但是,主观题的运算量却明显地加大,运算能力稍差的考生很难顺利完成试题的解答.如:理(5)文(6)、文理(12)(14)(15)(17)(18)(19)题均侧重于基本计算;文理(21)题侧重于代数式整理化简、变形的能力和技巧等.多数试题的难点大多在运算上,而不在解法上.因此,对考生的运算能力提出了较高地要求.在当前现代信息技术与中学数学整合的趋势下,特别作为数学学科,保持考查基本的运算能力还是有必要的.二.试题分析1加强“双基”落实,侧重考查通性通法今年数学试卷的一个突出特点就是大多数题目学生感到面熟,特别是选择题和填空题整体难度不大.重点考查中学数学的“双基”和通性通法.例1:(理(1))=-+++-22)1(1)1(1i ii i (A )i (B )i - (C )1 (D )1-解析:此题主要考查学生复数的基本概念和运算.实际答题时只需解出这个复数的实部或虚部即可.原式=iii i 2121-++-,观察可知,这个复数的实部为1-.故答案为(D ).例2:(文(1)){a n }是首项a 1=1,公差d =3的等差数列,如果a n =2005,则序号n 等于(A )667 (B ) 668 (C )669 (D )670解析:此题主要考查等差数列的通项公式.由11-=-n da a n ,得669=n .例3:(文(2))下列大小关系正确的是(A )3.0log 34.044.03<< (B )4.04333.0log 4.0<< (C )4.03434.03.0log << (D )34.044.033.0log <<解析:此题主要考查指数与对数的基本性质.4.034314.003.0log <<<<.故答案为(C ).例4:(理(2)、文(3))函数)0(1≠-=x xxy 的反函数的图象大致是 (A ) (B ) (C ) (D )解析:此题主要考查函数与其反函数图象的基本性质.实际解题时取几个特殊点坐标带入即可.特殊值法:利用函数与其反函数的对应关系并注意到)0,1()1,0(-↔-以及)1,0()0,1(↔即可.故答案为(B ).例5:(理(3)、文(4))已知函数)12cos()12sin(ππ--=x x y ,则下列判断正确的是(A )此函数的最小正周期为2π,其图象的一个对称中心是)0,12(π(B )此函数的最小正周期为π,其图象的一个对称中心是)0,12(π(C )此函数的最小正周期为2π,其图象的一个对称中心是)0,6(π(D )此函数的最小正周期为π,其图象的一个对称中心是)0,6(π解析:此题主要考查三角函数的倍角公式、三角函数的图象与性质.因为,)62sin(21π-=x y ,所以其周期为π;又当12π=x 时,0=y ,所以函数的图象的一个对称中心是)0,12(π.故答案为(B ).例6:(理(4)文(5))下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是(A )x x f sin )(= (B )1)(+-=x x f(C ))(21)(x x a a x f -+=(D )xx x f +-=22ln )( 解析:此题主要考查函数的奇偶性与单调性.先由奇函数,可排除(B )、(C ),再由函数是区间[-1,1]上的减函数,可排除(A ),故答案为(D ).例7:(理(5)文(6))如果n x x )13(32-的展开式中各项系数之和为128,则展开式中31x的系数是 (A )7 (B )7- (C )21 (D )21-解析:此题主要考查二项展开式的通项公式和基本的运算能力,考查赋值法的应用.令1=x ,得1282=n ,所以,7=n .由r r r r rr r r xC x x C T 35777327713)1()()3(----+-=-=,令3357-=-r ,得6=r .故第7项的系数为213)(677==C T .例8:(理(6)文(7))函数⎩⎨⎧≥<<-=-,0,,01),sin()(12x e x x x f x π若2)()1(=+a f f ,则a 的所有可能值为(A)1 (B) 22-(C) 1,22- (D) 1,22解析:此题考查分段函数的概念.实际解题时,取选择支中的几个特殊值代入验证即可.显然,1=a 是一个解,观察选择支可知,22-是另一个解. 例9:(理(7)、文(8))已知向量,,且,65,2+-=+=27-=,则一定共线的三点是(A )D B A 、、 (B )C B A 、、 (C )D C B 、、 (D ) D C A 、、 解析:此题主要考查向量的加法和向量共线的概念.由42+=+=2=.故答案为(A ). 例10:(理(8)、文(9))设地球半径为R ,若甲地位于北纬︒45东经︒120,乙地位于南纬︒75东经︒120,则甲、乙两地的球面距离为(A )R 3 (B)R 6π(C)R 65π (D) R 32π解析:此题主要考查经纬度和球面距离的概念.甲、乙两地在同一经度线上,且所对的球心角是︒120,所以甲、乙两地的球面距离为R 32π.故答案为(D ). 例11:(理(9)文(10))10张奖券中只有3张有奖,5个人购买,每人一张,至少有一人中奖的概率是(A )103 (B )121 (C )21 (D ) 1211解析:此题主要考查简单的古典概型.间接法:都没有中奖的概率是12151057=C C ,故答案为(D ). 例12:(理(13))=++-∞→222)1(2l i m n C C n nn n . 解析:此题主要考查组合数公式及基本性质和数列极限的四则运算.原式23122)1(3lim 2=++-=∞→n n n n n .例13:(文(13))某学校共有教师490人,其中不到40岁的有350人,40岁及以上的有140人.为了解普通话在该校教师中的推广普及情况,用分层抽样的方法,从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试,其中在不到40岁的教师中应抽取的人数是 .解析:此题主要考查分层抽样的方法,应抽取的人数=5049035070=⨯. 例14:(文理(14))设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ,右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点,如果PQF ∆是直角三角形,则双曲线的离心率e = .解析:此题主要考查双曲线的准线、渐近线、焦点以及直角三角形的有关概念和性质,设l 交x 轴于点R ,则c ab c a a b PR =⨯=2,又FR PR =,则ca c c ab 2-=,解得b a =,故e =2.2渗透数学思想方法,体现选拔功能为了保证试卷具有一定的区分度,试卷中设置了部分综合性、灵活性较强、具有适当难度的试题,侧重于考查学生运用数学思想方法,分析问题和解决问题的数学能力.2.1数形结合的思想方法 例15:(理(10),文(11))设集合A 、B 是全集U 的两个子集,则B A ⊂是U B A C U =⋃)(的(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件(C )充要条件 (D ) 既不充分也不必要条件解析:此题主要考查真子集和补集、全集的概念.实际解题中充分性可以利用文氏图直接进行验证;必要性的验证,只要取B A =,可知答案为(A ).例16:(文理(12))设直线l :022=++y x 关于原点对称的直线为l ’,若l ’与椭圆1422=+y x 的交点为A 、B ,点P 为椭圆上的动点,则使PAB ∆的面积为21的点P 的个数为 (A )1 (B )2 (C )3 (D )4解析:此题主要考查中心对称的概念和基本的运算能力.如果此题直接用代数的方法来解,运算较繁且容易出错.实际解题中可以通过画简图,采用数形结合的方法.不难知l ’的方程为022=-+y x ,可知在l ’的下方肯定有两个满足题设的点,设在l ’上方且与椭圆相切于P 点的直线l 1的方程为02=-+c y x ,与椭圆方程联立消去y 得044822=-+-c cx x ,令0)4(84)4(22=-⨯-=∆c c ,得82=c ,取2=c 2.计算 l 1与l ’的距离为5222-=d ,则21125)12(252121<-=-==∆d AB S PAB .故答案为(B ). 例17:(理(15)文(15))设x 、y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤+.40,30,1223,5y x y x y x 则使得目标函数y x z 56+=的值最大的点),(y x 是 .解析:此题是典型的线性规划问题,结合图形不难解出答案是)3,2(. 2.2方程的思想例18:(文理(17))已知向量)sin ,(cos θθ=和)cos ,sin 2(θθ-=,)2,(ππθ∈528=+,求)82cos(πθ+的值.解析:∵ )sin cos ,2sin (cos θθθθ++-=+∴22)sin (cos )2sin (cos θθθθ+++-=+ =)sin (cos 224θθ-+=)4cos(12πθ++由已知528=+,得257)4cos(=+πθ.又 1)82(cos 2)4cos(2-+=+πθπθ,所以2516)82(cos 2=+πθ. ∵ πθπ2<<,∴ 898285ππθπ<+<. ∴ 54)82cos(-=+πθ.本小题主要考查向量运算,三角函数基本公式和简单的变形.关键是通过向量的模构造方程解出257)4cos(=+πθ,然后再利用倍角公式求出54)82cos(-=+πθ,其中方程的思想得到充分的体现.易出错的地方是根据角的范围判断三角函数值的符号.例19:(理(22))已知动圆过定点)0,2(p ,且与直线2px -=相切,其中0>p .(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ)设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点,直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β,当α、β变化且βα+为定值)0(πθθ<<时,证明直线AB 恒过定点,并求出该定点的坐标.解析:(Ⅰ)设动圆圆心),(y x M ,定点)0,2(pF ,则动点M 到定点F 和定直线l :2px -=距离相等,且定点不在定直线上.法一:由抛物线定义知,动圆圆心的轨迹C 是以定点为焦点,定直线为准线的抛物线.其方程为:)0(22>=p px y .法二:由2)2(22px y p x +=+-,解得动圆圆心的轨迹C 的方程为:)0(22>=p px y .(Ⅱ)法一:设),(),,(2211y x B y x A ,由题意得21x x ≠(否则)πβα=+且021≠⋅x x ,2221212,2px y px y ==.所以直线AB 的斜率存在,设其方程为b kx y +=.由⎩⎨⎧+==.,22b kx y px y 得0222=+-pb py ky , ∴⎪⎩⎪⎨⎧==+.2,22121k pby y k p y y …………………① (1)2πθ≠时,βαβαβαθtan tan 1tan tan )tan(tan ⋅-+=+==.4)(222122122121212122112211p y y y y p y p y p y p y p x y x y x y x y -+=-+=-+ …………………②由①②得,,22tan pkb p-=θ∴pk p b 2tan 2+=θ. 所以直线AB 的方程为θθtan 2)2(2tan 2p p x k pk p kx y ++=++=, 故直线AB 恒过定点)tan 2,2(θpp -. (2)2πθ=时,2πβα=+,∴1tan tan =⋅βα,∴12211=x y x y ,得2214p y y =, …………………③ 由①③得,pk b 2=,所以直线AB 的方程为)2(2p x k pk kx y +=+=, 故直线AB 恒过定点)0,2(p -. 由(1)(2)知,当2πθ=时,直线AB 恒过定点)0,2(p -;当2πθ≠时,直线AB 恒过定点)tan 2,2(θpp -. 法二:由⎩⎨⎧+==.,22b kx y px y 得 0)22(222=+-+b x p kb x k .⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+.,222221221k b x x k kb p x x 及⎩⎨⎧+=+=.,2211b kx y b kx y=+=)tan(tan βαθ.22112211221122112211pk b px b kx x b kx x b kx x b kx x y x y x y x y -=+⋅+-+++=-+(2πθ≠)以下同法一.法三:设OA 的方程为:,1x k y = OB 的方程为:x k y 2=. 则 ,tan ,tan 21βα==k k由⎩⎨⎧==.2,21px y x k y 得 )2,2(121k p k p A ;同理可得 )2,2(222k pk p B ,∴直线AB 的斜率是 21212122122222k k k k k p k p k pk p k AB+=--=,(若,021=+k k 则πβα=+) ∴直线AB 的方程为 )2(22121211k px k k k k k p y -+=-,∴ ,2212121k k p x k k k k y +++= 又 =+=)tan(tan βαθ21211k k k k -+, (2πθ≠).∴直线AB 的方程为,)1(2)2(21212121k k k k p p x k k k k y +-+++=即 ,tan 2)2(2121θpp x k k k k y +++=以下略. 法四:设直线AB 的方程为b my x +=,与抛物线方程联立消去x ,可避免分式出现,同时可不必讨论斜率不存在的情况.以下略.本小题主要考查直线和抛物线的概念和性质、三角函数公式,考查分类讨论思想、解析几何的基本方法及综合解题能力.在整个解题过程中,突出方程的思想,这就是解析几何的基本方法,用代数(方程)的方法解决几何问题.本小题为试卷的压轴题,由于第(Ⅰ)问两种解法思路清楚,学生熟悉,且计算量不大,一般学生都能得到分数;第(Ⅱ)问涉及到的字符较多且运算量较大,时间又紧,只有数学能力较高的学生才能取得高分.2.3分类讨论的思想 例20:(理(18))袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为71.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取,……取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止时所需要的取球次数.(Ⅰ)求袋中原有白球的个数; (Ⅱ)求随机变量ξ的概率分布; (Ⅲ)求甲取到白球的概率.解析:(Ⅰ)设袋中原有n 个白球,则71272=C C n ,解得,3=n .即袋中原有3个白球.(Ⅱ)由题设,随机变量ξ的取值为1、2、3、4、5.73)1(==ξP ; 726734)2(=⨯⨯==ξP ; 356567334)3(=⨯⨯⨯⨯==ξP ;35345673234)4(=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==ξP ;3513456731234)5(=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==ξP .所以,随机变量ξ的分布列为且这三个事件两两互斥,故甲取到白球的概率为)3()2()1(=+=+==ξξξP P P P =73+356+351=3522.本小题主要考查古典概型和离散型随机变量的分布列,考查运用概率知识解决实际问题的能力.本题的第(Ⅱ)、(Ⅲ)小题根据取到白球的次数不同,进行分类讨论.2.4转化的方法 例21:(理(11))10<<a ,下列不等式一定成立的是(A )2)1(log )1(log )1()1(>++--+a a a a (B ))1(log )1(log )1()1(a a a a +<--+(C ))1(log )1(log )1(log )1(log )1()1()1()1(a a a a a a a a ++-<++--+-+ (D ))1(log )1(log )1(log )1(log )1()1()1()1(a a a a a a a a +-->+---+-+ 解析:本题主要考查对数运算的基本性质和均值不等式的应用.注意观察题目中出现的两个对数恰好互为倒数,且不相等,故选(A ).例22:(理(19))已知1=x 是函数1)1(3)(23+++-=nx x m mx x f 的一个极值点,其中R n m ∈,,0<m .(Ⅰ)求m 与n 的关系表达式; (Ⅱ)求)(x f 的单调区间;(Ⅲ)当]1,1[-∈x 时,函数)(x f y =的图象上的任意点的切线斜率恒大于3m ,求m 的取值范围.解析:(Ⅰ)∵ 0)1(63)1('=++-=n m m f , ∴ 63+=m n .(Ⅱ)∵63)1(63)1(63)('22+++-=++-=m x m mx n x m mx x f =3)2)(1(---m mx x令0)('=x f ,得 mx x 21,121+==. ∵0<m ,∴12x x <.)(x f 与)('x f 的变化如下表:因此,)(x f 的单调递减区间是)1,(m+-∞和),1(+∞;)(x f 的单调递增区间是)1,21(m+. (Ⅲ)由(Ⅱ)63)1(63)1(63)('22+++-=++-=m x m mx n x m mx x f m 3>,(]1,1[-∈x ).即02)1(22>++-x m mx ,(]1,1[-∈x ).令2)1(2)(2++-=x m mx x g ,)0(<m ,]1,1[-∈x ,∵]1,1[,02)1(2)(2-∈>++-=x x m mx x g 且0<m ,∴⎩⎨⎧>-=>++=-.02)1(,042)1(m m g m m g ⇒.034<<-m即m 的取值范围是.034<<-m 本小题主要考查了导数的概念和计算,应用导数研究函数单调性的基本方法以及函数与方程的思想.第2小题要根据)(x f '的符号,分类讨论)(x f 的单调区间;第3小题是二次三项式在一个区间上恒成立的问题.用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式在一个区间上的符号,体现出将一般性问题特殊化的数学思想.2.5空间想象能力例23:(1)(文(16))已知m 、n 是不同的直线,βα,是不重合的平面,给出下列命题:①若α//m ,则m 平行于平面α内的任意一条直线;②若βαβα⊂⊂n m ,,//,则n m //; ③若n m n m //,,βα⊥⊥,则βα//; ④若αβα⊂m ,//,则β//m .上面命题中,真命题的序号是 (写出所有真命题的序号). (2)(理(16))已知m 、n 是不同的直线,βα,是不重合的平面,给出下列命题:①若βαβα⊂⊂n m ,,//,则n m //; ②若,//,//,,ββαn m n m ⊂则βα//; ③若n m n m //,,βα⊥⊥,则βα//;④m 、n 是两条异面直线,若βαβα//,//,//,//n n m m ,则βα//. 上面命题中,真命题的序号是 (写出所有真命题的序号). 解析:以上2个小题主要通过判断空间线面平行与垂直的位置关系,考查学生的空间想象能力.答案是③④.例24:(文理(20))如图,已知长方体1111D C B A ABCD -,,1,21==AA AB 直线BD 与平面B B AA 11所成的角为︒30,BD AE ⊥于E ,F 为11B A 的中点. (Ⅰ)求异面直线AE 与BF 所成的角; (Ⅱ)求平面BDF 与平面AA 1B 所成的二面角(锐角)的大小;(Ⅲ)求点A 到平面BDF 的距离. 解析:(Ⅰ)法一:以AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴,AA 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,如图,由于AB =2,AA 1=1,所以B 1 AA 1BCDE F D 1C 1)1,0,1(),0,0,2(),0,0,0(F B A ,又⊥AD 面B B AA 11,所以DBA ∠就是直线BD 与平面B B AA 11所成的角,即DBA ∠=︒30.由此可得,AD 332=.故)0,332,0(),0,23,21(D E . ∵)1,0,1(),0,23,21(-==,∴,42,cos -=>=< 即异面直线AE 与BF 所成的角为42arccos. 法二:21)(11-=+⋅=⋅B BB ,以下略.法三:设AE 与BF 所成的角为θ,则BAE ABF ∠⋅∠=cos cos cos θ42=,以下略.(Ⅱ)法一:平面AA 1B 的一个法向量)0,1,0(=m ,设),,(z y x n =是平面BDF 的一个法向量,由⊥⊥,,且)0,332,2(-=,得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.03322,0y x z x ⎩⎨⎧==⇒.3,y x z x 取1=x ,得)1,3,1(=,∴515,cos =>=<. 即平面BDF 与平面AA 1B 所成的二面角(锐角)为515arccos. 法二:射影法.设平面BDF 与平面AA 1B 所成的二面角(锐角)为θ,则DFBAFBS S ∆∆=θcos .以下略. 法三:连接AF ,可证AFD ∠就是平面BDF 与平面AA 1B 所成的二面角的平面角.以下略.(Ⅲ)法一:点A 到平面BDF 的距离d 等于AB 在平面BDF 的法向量)1,3,1(=上投影的绝对值.∴d552cos ===><⋅AB , 所以点A 到平面BDF 的距离为552. 法二:等积法.设点A 到平面BDF 的距离为d ,则根据ABF D BDF A V V --=,得ABF BD F S AD S d ∆∆⋅=⋅.以下略.法三:由(Ⅱ)的法三知,面AFD ⊥面BFD ,所以,作DF AH ⊥于H ,则AH 的长就是点A 到平面BDF 的距离.以下略.本小题主要考查棱柱、空间角、距离和线面关系等基本知识,同时考查空间想象能力和推理、运算能力.由于题目给出的几何载体是长方体,故本题用建系和传统的方法都比较容易解出.其中“射影法”和“等积法”避免了大量的几何论证,把逻辑推理的问题转化为代数计算问题.2.6运算能力例25:(理(21))已知数列}{n a 的首项51=a ,前n 项和为n S ,)(52*1N n n S S n n ∈++=+.(Ⅰ)证明数列}1{+n a 是等比数列;(Ⅱ)令n n x a x a x a x f +++= 221)(,求函数)(x f 在1=x 处的导数)1('f ,并比较)1('2f 与n n 13232-的大小.解析:(Ⅰ)法一:由题设521++=+n S S n n ,得 )1(,421>++=-n n S S n n ,两式相减,得121+=+n n a a ,即)1(211+=++n n a a , 当n =1时,51212++=S S ,又51=a ,得112=a , ∴)1(2112+=+a a .因此,)(),1(21*1N n a a n n ∈+=++,即数列}1{+n a 是以6为首项,2为公比的等比数列.法二:经计算可得:12351-⨯==a ;1231122-⨯==a ;1232333-⨯==a ; 猜想:123-⨯=n n a .数学归纳法证明,略.法三:由题设 )6(26)1(1++=++++n S n S n n ,则{6++n S n }成等比数列,以下略.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,123-⋅=n n a . ∵n n x a x a x a x f +++= 221)(,∴)1('f =n na a a +++ 212=)123()123(2)123(2-⨯++-⨯+-⨯n n =)21()2222(32n n n +++-⨯++⨯+ =32)1()222(11+-+-⨯++n n n n n =362)1(2)1(1++-⋅-+n n n n . 因此,)1('f =362)1(2)1(1++-⋅-+n n n n . ∵)1('2f )1323(2n n --=)]12(2)[1(12+--n n n ,∴当1=n 时,)1('2f 0)1323(2=--n n ,即)1('2f =n n 13232-; 当2=n 时,)1('2f 0)1323(2<--n n ,即)1('2f <n n 13232-;当3≥n 时,1222)11(2110+>+≥++++=+=-n n C C C C nn n n n n n n ,故,)1('2f 0)1323(2>--n n ,即)1('2f >n n 13232-.本小题主要考查数列、等比数列的概念和基本知识,考查多项式求导、数列的错项求和以及比较两个代数式大小的方法,考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.三.抽样分析为了了解山东省考生的答卷情况,我们从全省367351名普通理科考生和174085名普通文科考生的试卷中,分别各抽取了卷一普理60000份、普文69806份,卷二普理72822份、普文44296份,进行了抽样分析.抽样结果如下(表5~表9):内的实际人数或比例,后一个表示从高分段到本分数段的累计数.表8中13~16题样本数分为:普文1464、普理2322)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91123456789101112卷一难度分布表数据分析:1.从表5和表6可以看出,客观题以中低档题为主,理科满分的考生约占15%;文科约占12%.2.从表8可以看出各题的区分度以及试卷的信度指标较好.3.从表9可以看出文科试卷的难度比较符合《考试大纲》的要求,各类题目的难度分布也近似符合3:5:2的要求.4.从表9可以看出理科抽样均分比04年略低0.8分,文科比04年约高11分. 由于时间上的关系,没有统计艺术文、艺术理和体育专业考生的数学成绩.四.对中学数学教学与学习的启示高考竞争愈演愈烈,今年我省高考报名约73万人,比去年净增约17万人,规模年年攀升,又创历史新高,高校扩招的规模跟不上生源增加的速度,升学压力越来越大.高考命题改革的步伐也在加快,高考命题权逐步下放.今年全国包括山东省在内15个省市自主命题.在试卷结构、科目设置、考查内容、分数计算等方面不尽相同.另外,新一轮课程改革已经开始,我省和广东、海南以及宁夏四省率先进入“新课改”试验,使用新教材,2007年高考将面临着重大改革.因此,为了适应当前快速变化和发展的教学与高考的改革要求,反思和促进我们的中学教学,有必要认真研究高考命题以及学生在高考答题中出现的问题.1.考生答卷中出现的主要错误 1.1概念性错误在阅卷中发现,由于考生基础知识、基本概念不落实,造成许多不应该有的失分.如文理(15)题线性规划问题,基本步骤和方法掌握不到位造成失分,且因为没有认真审题错答成最大值的考生也不在少数;再如:文理(17)题由于向量的加法、模的运算、三角公式记忆不熟练、不准确出现了大量错误,如)sin (cos 22θθ-=)4cos(2πθ+、2)4sin(θπ-、4)4sin(πθ-、4)4cos(πθ-等,结果是卷面上书写量很大,却几乎没有得分点.更遗憾的是空白卷也有不少,特别是文科考生.从当前课程、教材改革和近几年高考数学命题改革的趋势来看,三角函数这一部分淡化了三角的恒等变形,强化了三角函数的基本概念、基本变形和三角函数图象的性质和变换.应该注意到三角函数与许多数学分支及应用问题卷二难度分布表0.10.20.30.40.50.60.70.80.913141516171819202122普理普文有着密切关系,三角函数仍是中学数学重要内容之一.再如文理(20)题中有的考生把异面直线所成的角表示为)42arccos(-或42arccos-π;文理(19)题中有的考生直接将两个单调性相同的区间用并集符号连接起来等;文理(22)题的第1小题,许多考生没有把题设条件与抛物线定义联系起来,得到的结论五花八门.因此,平时学习要注意不能把基础知识的掌握与“死记硬背”等同起来,只有抓好“双基”,才有可能提高“能力”.这些问题也反映出当前中学数学学习中普遍存在的“重解题,轻概念;重教辅,轻教材”的倾向.1. 2方法性错误基本方法、基本技能落实不到位.如文理(17)题最后一步要由角的范围来确定三角函数值的符号,许多考生忽略了或不会进行正确的判断,就直接得出结论;又如文理(21)题对于由S n 求a n 的问题,许多考生没有验证n =1的情况,同时许多考生不会或不能正确的使用错位相减求和的方法,还有的考生求)1('f 时,先求)1(f ,再求导数;另外根据某些考生(21)题的解答可以看出,部分考生对数学归纳法掌握的不好.再如文理(20)题中涉及到立体几何的计算问题是历年高考的重点.由于今年给出的几何载体是长方体,因此既可以用传统的解法,也可以用坐标的方法求解.大量的考生选取了坐标法,但是其中点的坐标、向量和法向量的计算出错是考生丢分的主要原因.分类讨论的方法理解掌握的不到位.如文理(19)题利用导数解函数的单调性问题.许多理科考生不认真审题,没有注意其中m <0这个条件,把问题复杂化,最终导致解答失误,而许多文科考生没有或不会根据m 的符号进行分类讨论;再如理(22)题中,多数考生没有对2πθ=和2πθ≠两种情况进行讨论;理(21)题的第2小题比较大小时,不会分类或分类混乱.这些问题的主要原因是已知条件分析的不透、解题步骤不规范以及基本的运算技能较差.1.3 能力性错误 基本的运算能力下滑.本张试卷与往年相比运算量较大,如理科6个解答题包含14个小题,其中有13个计算题;文科6个解答题包含13个小题,其中有12个计算题.前面谈到的各种基本数值和代数式的化简运算问题,已经反映出许多考生运算能力太差.再如文理选择题最后一小题(12)题,主要就是一个计算求解问题;再如文理(21)(22)题基本上就是以考查运算能力为主的压轴题,很多考生都会做,但只有基础扎实、运算能力强的考生才有希望得高分.识图和作图以及空间想象能力较差.文理(20)的立体几何题,许多考生想当然的把点E 当成了中点.转化能力不足.如理(19)题许多考生不能正确地将“一元二次不等式在一个区间上恒成立的问题”转化为“区间端点处的函数值符号问题”来解决;理(22)。

2005年高考试题及答案

2005年高考试题及答案

2005年高考文科数学全国卷Ⅲ试题及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第II共150分. 考试时间120第I 卷参考公式: 如果事件A 、B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立,那么P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k (1-P)n -k一、选择题:(本大题共12个小题,每小题5分,共60只有一个答案是正确的) (1)已知α为第三象限角,则2α所在的象限是(A )第一或第二象限 (B )第二或第三象限(C )第一或第三象限 (D )第二或第四象限(2)已知过点A(-2,m)和B(m ,4)的直线与直线2x+y-1=0平行,则m 的值为(A )0 (B )-8 (C )2 (D )10 (3)在8(1)(1)x x -+的展开式中5x 的系数是(A )-14 (B )14 (C )-28 (D )28(4)设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为V ,P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点,且PA=QC 1,则四棱锥B-APQC 的体积为(A )16V (B )14V (C )13V (D )12V (5)设137x =,则 (A )-2<x<-1 (B )-3<x<-2 (C )-1<x<0 (D )0<x<1 (6)若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===,则 (A)a<b<c (B)c<b<a (C)c<a<b (D)b<a<c (7)设02x π≤<,sin cos x x =-,则(A) 0x π≤≤ (B)744x ππ≤≤(C) 544x ππ≤≤ (D) 322x ππ≤≤ (8)22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅=+ 球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径, 球的体积公式V=334R π, 其中R 表示球的半径(A) tan α (B) tan 2α (C) 1 (D)12(9)已知双曲线2212y x -=的焦点为F 1、F 2,点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅= 则点M到x 轴的距离为(A )43 (B )53(C (D(10)设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2,过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△F 1PF 2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是(A )2 (B )12(C )2 (D 1 (11)不共面的四个定点到平面α的距离都相等,这样的平面α共有(A )3个 (B )4个 (C )6个 (D )7个(12)计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0~9和字母A ~F 共16个例如,用十六进制表示:E+D=1B ,则A ×B=(A )6E (B )72 (C )5F (D )B0第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16(13)经问卷调查,某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度,其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人,按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影,如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学,那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人(14)已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-,且A 、B 、C 三点共线,则k=(15)曲线32y x x =-在点(1,1)处的切线方程为 (16)已知在△ABC 中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,P 是AB 上的点,则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是三、解答题:(17)(本小题满分12分)已知函数2()2sin sin 2,[0,2].f x x x x π=+∈求使()f x 为正值的x 18)(本小题满分12分)照顾的概率为0.05,甲、丙都需要照顾的概率为0.1,乙、丙都需要照顾的概率为0.125, (Ⅰ)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少; (19)(本小题满分12分)在四棱锥V-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧面V AD 是正三角形, 平面V AD ⊥底面 1)求证AB ⊥面V AD ;2)求面VAD 与面VDB(20)(本小题满分12分)在等差数列{}n a 中,公差0d ≠,2a是1a 与4a 的等差中项,已知数列1a ,3a ,1k a ,2k a , ……,n k a ,……成等比数列,求数列{}n k 的通项n k(21) (本小题满分12分)用长为90cm,宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?(22) (本小题满分14分)设1122(,),(,)A x y B x y 两点在抛物线22y x =上,l 是AB 的垂直平分线, (Ⅰ)当且仅当12x x +取何值时,直线l 经过抛物线的焦点F ?证明你的结论; (Ⅱ)当121,3x x ==-时,求直线l 2005年高考全国卷Ⅲ数学试题及答案一、DBBCA ,CCBCD ,DA 二、13.3,14.23-,15.x+y-2=0,16.3 三、解答题:(17)解:∵()1cos 2sin 2f x x x =-+……………………………………………2分1)4x π=-………………………………………………4分()01)04f x x π∴>⇔->sin(2)42x π⇔->-…………………………………………6分 5222444k x k πππππ⇔-+<-<+……………………………8分 34k x k πππ⇔<<+………………………………………………10分 又[0,2].x π∈ ∴37(0,)(,)44x πππ∈⋃………………………………………………12分 另法:22()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (sin cos )f x x x x x x x x x =+=+=+()f x 为正值当且仅当sin x 与sin cos x x +同号,在[0,2]x π∈上,若sin x 与sin cos x x +均为正值,则3(0,)4x π∈; 若sin x 与sin cos x x +均为负值,则7(,)4x ππ∈所以所求x 的集合为37(0,)(,)44πππ (18)解:(Ⅰ)记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A 、B 、C ,……1分则A 、B 、C 相互独立, 由题意得:P (AB )=P (A )P (B )=0.05 P (AC )=P (A )P (C )=0.1P (BC )=P (B )P (C )=0.125…………………………………………………………4分 解得:P (A )=0.2;P (B )=0.25;P (C )=0.5所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5……6分(Ⅱ)∵A 、B 、C 相互独立,∴AB C 、、相互独立,……………………………………7分 ∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为()()()()0.80.750.50.3P A B C P A P B P C ⋅⋅==⨯⨯=……………………………10分∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为1()10.30.7p P A B C =-⋅⋅=-=……12分(19)(本小题满分12分)四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面1)求证AB⊥面VAD;2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小.证法一:(1)由于面VAD是正三角形,设AD的中点为E,则VE⊥AD,而面VAD⊥底面ABCD,则VE⊥又面ABCD是正方形,则AB⊥CD,故AB⊥面(2)由AB⊥面VAD,则点B在平面VAD内的射影是A,设VD的中点为F,连AF,BF由△VAD是正△,则AF⊥VD,由三垂线定理知BF⊥VD,故∠AFB是面VAD与面VDB设正方形ABCD的边长为a,则在Rt△ABF中,,AB=a, AF=23a,tan∠AFB =33223==aaAFAB故面VAD与面VDB所成的二面角的大小为332arctan证明二:(Ⅰ)作AD的中点O,则VO⊥底面ABCD.…………1分建立如图空间直角坐标系,并设正方形边长为1,………2分则A(12,0,0),B(12,1,0),C(-12,1,0),D(-12,0,0),V(0,02),∴1(0,1,0),(1,0,0),(,0,)22AB AD AV===-……3分由(0,1,0)(1,0,0)0AB AD AB AD⋅=⋅=⇒⊥…………4分1(0,1,0)(022ABAV AB AV⋅=⋅-=⇒⊥……5分又AB∩AV=A ∴AB⊥平面VAD…………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)得(0,1,0)AB=是面VAD的法向量……………………7分设(1,,)n y z=是面VDB的法向量,则110(1,,)(,1,0(1,1,230(1,,)(1,1,0)03xn VB y znzn BD y z=-⎧⎧⎧⋅=⋅-=⎪⎪⎪⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨=-⋅=⎪⎪⎪⎩⋅--=⎩⎩……9分∴(0,1,0)(1,cos,73AB n⋅-<>==-,……………11分又由题意知,面VAD 与面VDB所成的二面角,所以其大小为arccos7……12分 (II )证法三:由(Ⅰ)得(0,1,0)AB =是面VAD 的法向量…………………7分设平面VDB 的方程为mx+ny+pZ+q=0,将V.B.D 三点的坐标代入可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+-=++023021021q p q m q n m 解之可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==q p q n q m 3222令q=,21则平面VDB 的方程为x-y+33Z+21=0 故平面VDB 的法向量是)33,1,1(-=n ………………………………9分∴(0,1,0)(1,cos ,73AB n ⋅-<>==-,………………11分又由题意知,面VAD 与面VDB所成的二面角,所以其大小为arccos 7……12分 (20)解:由题意得:2214a a a =………………………………1分 即2111()(3)a d a a d +=+…………………………………………3分 又0,d ≠∴1a d =……………………………………………………4分 又1a ,3a ,1k a ,2k a ,……,n k a ,……成等比数列, ∴该数列的公比为3133a d q a d===,………………………6分 所以113n n k a a +=⋅…………………………………………8分又11(1)n k n n a a k d k a =+-=…………………………10分∴13n n k +=所以数列{}n k 的通项为13n n k +=……………………………12分(21)解:设容器的高为x ,容器的体积为V ,……………………1分 则V=(90-2x )(48-2x )x,(0<V<24)…………………………………5分=4x 3-276x 2+4320x∵V ′=12 x 2-552x+4320……………………………………………7分 由V ′=12 x 2-552x+4320=0得x 1=10,x 2=36 ∵x<10 时,V ′>0, 10<x<36时,V ′<0, x>36时,V ′>0,所以,当x=10,V 有极大值V(10)=1960………………………………10分 又V(0)=0,V(24)=0,…………………………………………………11分所以当x=10,V 有最大值V(10)=1960……………………………………12分 (22)解:(Ⅰ)∵抛物线22y x =,即22y x =,∴14p =, ∴焦点为1(0,)8F ………………………………………………1分 (1)直线l 的斜率不存在时,显然有12x x +=0……………3分 (2)直线l 的斜率存在时,设为k , 截距为b即直线l :y=kx+b 由已知得:12121212221k bk y y x x y y x x ⎧++⎪=⋅+⎪⎨-⎪=-⎪-⎩………………………………5分 2212122212122212222k b k x x x x x x x x ⎧++=⋅+⎪⎪⇒⎨-⎪=-⎪-⎩22121212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⇒⎨⎪+=-⎪⎩…………………………………7分 2212104b x x ⇒+=-+≥14b ⇒≥即l 的斜率存在时,不可能经过焦点1(0,)8F ………………………8分 所以当且仅当12x x +=0时,直线l 经过抛物线的焦点F …………9分 (Ⅱ)当121,3x x ==-时,直线l 的斜率显然存在,设为l :y=kx+b ……………………10分 则由(Ⅰ)得:22121212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩12102122k b k x x +⎧⋅+=⎪⎪⇒⎨⎪-=-⎪⎩………………………………11分14414k b ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩……………………………………………13分所以直线l 的方程为14144y x =+,即4410x y -+=………………14分。

2005年高考数学试卷 全国文科

2005年高考数学试卷    全国文科

2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(全国卷Ⅱ)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3到10页。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

3.本卷共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、B相互独立,那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么 334R V π= n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k K n k n n P k C P P -=-一、 选择题(1) 函数 |cos sin |)(x x x f +=的最小正周期是(A ) 4π (B) 2π (C) π (D)2π (2)正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点,那么,正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是(A )三角形 (B)四边形 (C)五边形 (D)六边形(3)函数 )0(12≤-=x x y 反函数是 (A)1+=x y )1(-≥x (B)y = -1+x )1(-≥x(C)y =1+x )0(≥x (D)y =-1+x )0(≥x(4)已知函数wx y tan =在)2,2(ππ-内是减函数,则 (A)10≤<w (B)01<≤-w (C)1≥w (D)1-≤w(5)抛物线y x 42=上一点A 的纵坐标为4,则点A 与抛物线焦点的距离为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (6)双曲线19422=-y x 的渐近线方程是 (A) x y 32±= (B) x y 94±= (C) x y 23±= (D)x y 49±= (7)如果数列||n a 是等差数列,则(A) 1345a a a a ++< (B)1345a a a a +=++(C)1345a a a a +>+ (D)1345a a a a = (8)10)2(y x -的展开式中46y x 项的系数是 (A)840 (B)-840 (C)210 (D) -210(9)已知点)0,3(),0,0(),1,3(C B A 设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E,那么有λ=其中λ等于(A) 2 (B) 21 (C)-3 (D)31- (10)已知集合2{|47},{|60}M x x N x x x =-≤≤=-->则N M ⋂为(A){|4237}x x x -≤<-<≤或 (B){|4237}x x x -<≤-≤<或(C){|23}x x x ≤->或 (D){|23}x x x <-≥或(11)点P 在平面上作匀速直线运动,速度向量)3,4(-=v (即点P 的运动方向与v 相同,且每秒移动的距离|v |个单位).设开始时点P 的坐标为(-10,10),则5秒后点P 的坐标为(A)(-2,4) (B)(-30,25) (C)(10,-5) (D)(5,-10)(12)△ABC 的顶点B 在平面a 内,A 、C 在a 的同一侧,AB 、BC 与a 所成的角分别是30°和45°,若AB=3,BC=24 ,AC=5,则AC 与a 所成的角为(A)60° (B)45° (C)30° (D)15°第Ⅱ卷注意事项:1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。

山东省济南市2005年2月高三统一考试数学(文)

山东省济南市2005年2月高三统一考试数学(文)

山东省济南市2005年2月高三统一考试数学试卷(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题.每小题5分;共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知)}(|{),34(log )(|{13.0x f y y Q x x f x P -==-==,则P 与Q 的关系是( )A .P ⊂ QB .P ⊃ QC .P =QD .P ⋂Q = 2.已知0≠ab ,则条件“1>b a ”是条件“1<ab”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.若k -+-==2),2,0,1(),0,1,1(与互相垂直,则k ( )A .1B .51 C .53 D .57 4.已知数列233,14,}{11+==+n n n a a a a 中,则使02<+n n a a 成立的n 是 ( )A .21或22B .22或23C .22D .215.要得到函数1)42sin(+-=πx y 的图象,只需将函数x y 2sin =的图象做以下平移得到( )A .按向量)1,8(π-=a 平移 B .按向量)1,8(π=a 平移C .按向量)1,4(π-=a 平移D .按向量)1,4(π=a 平移6.设f (x )是定义在R 上的增函数,)()()(x f x f x F --=,那么)(x F 必为 ( )A .增函数且是奇函数B .增函数且是偶函数C .减函数且是奇函数D .减函数且是偶函数7.若点),(y x P 满足等式|15|)2()1(522+=-+-y y x ,则点P 的轨迹是 ( )A .圆B .椭圆C .双曲线D .抛物线8.以下四图中,表示直线a 与b 平行的是( )≠ ≠A BC D9.定义在R 上的函数)(x f 满足下列三个关系:①对任意R x ∈都有)()4(x f x f =+; ②对任意2021≤≤≤x x 都有)()(21x f x f <;③)2(+=x f y 的图象关于y 轴对称. 则下列关系成立的是 ( )A .)7()5.6()5.4(f f f <<B .)7()5.4()5.6(f f f <<C .)5.6()7()5.4(f f f <<D .)5.4()7()5.6(f f f <<10.在7)1(-ax 展开式中含4x 项的系数为-35,则a 为 ( )A .±1B .-1C .21-D .±21 11.湖面上漂着一个球,湖面结冰后将球取出,冰面上留下一个圆面直径为24,深为8的穴,则该球的表面积为 ( ) A .676π B .576π C .512π D .256π12.王先生购买了一部手机,欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网,经调查其.)若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍,若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算 ( ) A .300秒 B .400秒 C .500秒 D .600秒第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4小题. 每小题4分;共16分.把答案填在题中横线上.13.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2:3:5,现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本,样本中A 种型号的产品有16件,则样本容量 n = . 14.直线l 经过抛物线x y 42=的焦点,且与准线成60°,则直线l 的方程是 .15.设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=),0(1),0(121)(x xx x x f 若.)(a a f >则实数a 的取值范围是 .16.当函数m x f x +=+12)(的图象不过第二象限时,m 的取值范围是 .三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知A (3,0),B (0,3),C ()sin ,cos αα.(1)若1-=⋅BC AC ,求α2sin 的值;(2)若),,0(,13|1πα∈=+且OC 求α的值.18.(本小题满分12分)已知数列}{n a 的前n 项和n S 是n 的二次函数,且.6,2,2321==-=a a a(1)求n S 的表达式; (2)求通项.n a19.(本小题满分12分)甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中甲能答对其中的6道,乙能答对其中的8道,规定每次考试都从备选题中随机抽出3道进行测试,至少答对2道才算合格.(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率;(2)求甲、乙两人至少一人考试合格的概率.20.(本小题满分14分)三棱柱ABC—A1B1C1中,AB⊥BC,四边形BCC1B1是矩形,四边形A1ABB1是菱形且∠A1AB=60°,BC=3,AB=4.(1)求证:平面A1BC⊥平面A1ABB1;(2)求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切.21.(本小题满分12分) 已知函数b ax x x f ++=23)(的图象在点P (1,0)处的切线与直线023=++y x 平行.(1)求a 、b 的值;(2)求函数)(x f 的单调区间;(3)求函数)(x f 在区间[0,t ](t >0)上的最小值和最大值.22.(本小题满分14分)已知双曲线C 的实半轴长与虚半轴长的乘积为3,F 1、F 2为它的两焦点,过F 2的直线l 与直线F 1F 2的夹角α满足221tan =α,l 与线段F 1F 2的垂直平分线交于点P ,l 与双曲线C 交于点Q ,且1:2||:||2=QF PQ .(1)求双曲线的方程;(2)过点F 2作一条直线交双曲线C 的右支于两点M 、N ,问△F 1MN 的面积是否有最小 值?若有,求出最小值及此时直线MN 的方程;若没有最小值,请说明理由.数学(文史类)试卷参考答案及评分标准一、选择题 1—5:CADDB 6—10:ADBCA 11—12:AB二、填空题13.80 14.013=-±y x 15.1-<a 16.2-≤m 三、解答题17.解:(1)).3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=ααααBC AC …………………2分∴由.1)3(sin sin cos )3(cos 1-=-+--=⋅αααα得.32sin cos =+∴αα……………………………………5分两边平方得.952sin ,942sin 1-=∴=+αα…………………………7分 (2).13sin )cos 3(),sin ,cos 3(22=++∴+=+ααααOC OA ………………9分 .3),,0(,21cos παπαα=∴∈=∴ ………………………………12分 18.解:(1)设),0(2≠++=a c bn an S n则⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=++6390242c b a c b a c b a …………3分 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==∴042c b a ……………………6分.422n n S n -=∴……………………………………………………8分(2)211-==S a ,…………………………………………………………9分当64)1(4)1(242,2221-=-+---=-=≥-n n n n n S S a n n n n 时………11分*)(64N n n a n ∈-=∴.…………………………………………………………12分 19.解:(1)记“甲考试合格”、“乙考试合格”这两个事件分别记为A 、B ,从10道备选题中抽出3道的不同方法为C 310种,事件A 发生、事件B 发生的不同方法的种数分别为.,382812362614C C C C C C ++……………………………………………………4分1514)(,32)(310382812310362614=+==+=∴C C C C B P C C C C A P ……………………8分 答:甲、乙两人考试合格的概率分别是.1514,32 (2)∵事件A 、B 是相互独立的,∴甲、乙两人都考试不合格的概率: .451)](1)][(1[)()()(=--==B P A P B P A P B A P 由对立事件的概率和为1,得甲、乙两人至少一人考试合格的概率:.45444511)(1=-=-=B A P P ………………………………………………12分答:甲、乙两人至少一个考试合格的概率为.454420.解:(1)∵BC ⊥AB ,BC ⊥BB 1,∴BC ⊥平面AA 1B 1B.……………………3分∴平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1.………………………………………………5分 (2)作A 1D ⊥B 1B 于D ,由(1)知平面BB 1C 1C ⊥平面AA 1B 1B.∴A 1D ⊥平面BB 1C 1C ,连接DC ,………………………………7分 ∴∠A 1CD 为直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成角.……………………8分 ∵四边形A 1ABB 1是菱形则∠A 1B 1D=∠A 1AB=60°,∴A 1D=23,且D 为BB 1为中点,又BC=3,∴CD=13.………………10分∴tan ∠A 1CD=.13392 ∴直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成角的正切为.13392………………………………12分 21.解:(1)∵P (1,0)在b ax x x f ++=23)(的图象上,∴0=1+a +b .又ax x x f 23)(2+=',……………………………………2分.2,3.323)1(=-=∴-=+='∴b a a f ……………………4分(2).02,063)(,23)(223<>>-='+-=x x x x x f x x x f 或得由………………6分)(x f ∴分别在),2()0,(+∞-∞或上是增函数,在[0,2]上是减函数.…………8分(3)若)(,20x f t ≤<在区间[0,t ])0(>t 上是减函数,当0=x 时,.23)(,,2)(23min max +-===t t x f t x x f 时当………………9分若)(,32x f t ≤<在区间[0,2]上是减函数,在(2,3]上是增函数, 且∴=),3()0(f f 当0=x 或3=x 时,2)(max =x f ,……………………10分 当.2)(,2min -==x f x 时若)(,3x f t >在区间[0,2]上是减函数,在(2,t ]上是增函数且∴<),()0(t f f 当23)(,23max +-==t t x f t x 时;当2=x 时.2)(min -=x f ……………………………………………………12分 22.解:(1)以F 1F 2所在直线为x 轴,线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴,建立直角坐标系.设所求的双曲线C 的方程为12222=-by a x ,则).(221:),0,(2c x y l c F -=……………………………………2分 由题意知,.2||||),221,0(2==-QF PQ c P λ ).621,32(),2102221,2120(c c Q c c Q -+⨯+-+⨯+∴即…………………………4分 将点Q 代入双曲线C 的方程,可得.4,1,3,3.3222===∴=⋅=c a b b a ab 又 ∴双曲线C 的方程为.1322=-y x …………………………………………6分 (2)设直线MN 的方程为.0),,(),,(,2212211<⋅=-y y y x N y x M my x 则…………8分 将2+=my x 代入双曲线C ,得.0912)13(22=++-my y m .0139,3112221221<-=-=+∴m y y m m y y …………………………10分 ∴2122121214)(2||||211y y y y y y F F S MNF -+=-⋅=∆.311123194)3112(222222m m m m m -+=-⨯+-=…………………………12分0=∴m 当时,分母最大,分子最小,此时MN F S 1∆最小值为12,MN ⊥x 轴,即MN 的方程为.2=x ……………………………………………………14分。

2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(06数列)

2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(06数列)

2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(06数列)一、选择题:1.(2005福建文、理)已知等差数列}{n a 中,12497,1,16a a a a 则==+的值是( )A .15B .30C .31D .64解:由7916a a +=,得a 8=8,∴817844d -==-,∴a 12=1+8×74=15,选(A)2. (2005广东)已知数列{}n x 满足212x x =,)(2121--+=n n n x x x , ,4,3=n . 若2lim =∞→n x x ,则=1x ( B ) A .23B .3C .4D .5解法一:特殊值法,当31=x 时,3263,1633,815,49,2365432=====x x x x x 由此可推测2lim =∞→n x x ,故选B .解法二:∵)(2121--+=n n n x x x ,∴)(21211-----=-n n n n x x x x ,21211-=-----n n n nx x x x 即, ∴{}n n x x -+1是以(12x x -)为首项,以21-为公比6的等比数列,令n n n x x b -=+1,则11111211)21()21(2)21)((x x x x q b b n n n n n -=-⋅-=--==---+-+-+=)()(23121x x x x x x n …)(1--+n n x x+-+-+-+=121211)21()21()2(x x x x …11)21(x n --+3)21(32)21(1)21(12111111x x x x n n ---+=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+= ∴2323)21(321111lim lim ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-∞→∞→xx x x n x n x ,∴31=x ,故选B . 解法三:∵)(2121--+=n n n x x x ,∴0221=----n n n x x x , ∴其特征方程为0122=--a a ,解得 211-=a ,12=a , nn n a c a c x 2211+=,∵11x x =,212x x =,∴3211x c -=,3212x c =,∴3)21(3232)21(3211111xx x x x n n n --+=+-⋅-=,以下同解法二.3.(2005湖南文)已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+,则20a = ( )A .0B .3-C .3D .23 [评述]:本题由数列递推关系式,推得数列{a n }是周期变化的,找出规律,再求a 20.【思路点拨】本题涉及数列的相关知识与三角间的周期关系., 【正确解答】[解法一]:由a 1=0,).(1331++∈+-=N n a a a n n n 得a 2=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅==,0,3,343a a由此可知: 数列{a n }是周期变化的,且三个一循环,所以可得:a 20=a 2=-.3故选B.[解法二]:设tan n n a α=,则1tan tan3tan()31tan tan 3n n nn a y παπαπα+-===-+,则13n n παα=-+,由10a =可知,00α=,故数列{n α}是以零为首项,公差为3π-的等差数列,20019()3παα=+⨯-,202019tan tan()3a πα==-=选B【解后反思】这是一道综合利用数列内部之间递推关系进行求解的题目.当我们看到有递推式存在时,不要急于通过代入,达到一个个来求解的目的, 如此这般, 既显得过于复杂,同时破坏了数学的逻辑性,而要通过化简,找到最直接的途径.本题中巧妙的逆用了两角和与差的正切公式,得出此数列为等差数列的结论,顺利达到求解的目的.4.(2005湖南理)已知数列{log 2(a n -1)}(n ∈N *)为等差数列,且a 1=3,a 2=5,则l i m 21321111()n n n a a a a a a →∞++++---= ( )A .2B .23 C .1 D .21[评析]:本题考查了等差数列,等比数列的通项公式和求和公式及数列极限相关交汇知识。

2005年全国高考文科数学试题及答案(卷 Ⅲ)

2005年全国高考文科数学试题及答案(卷 Ⅲ)

2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修Ⅰ)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参阅公式: 如果事件A 、B 互斥,那么P (A+B )=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立,那么P (A ·B )=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率乃是P ,那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k nP k (1-P)n -k一、选择题:每小题5分,共60分. 1.已知α为第三象限角,则2α所在的象限乃是( )A .第一或第二象限B .第二或第三象限C .第一或第三象限D .第二或第四象限2.已知过点A(-2,m)和B(m ,4)的直线与直线2x+y-1=0平行,则m 的值为( )A .0B .-8C .2D .10 3.在8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数乃是( ) A .-14 B .14 C .-28 D .284.设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为V ,P 、Q 分别乃是侧棱AA 1、CC 1上的点,且PA=QC 1,则四棱锥B-APQC 的体积为 ( )A .16V B .14V C .13V D .12V 5.设713=x,则( )A .-2<x<-1B .-3<x<-2C .-1<x<0D .0<x<1球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径, 球的体积公式V=334R π, 其中R 表示球的半径6.若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===,则( )A .a <b<cB .c<b<aC .c<a <bD .b<a <c7.设02x π≤≤,sin cos x x =-,则 ( )A .0x π≤≤B .744x ππ≤≤C .544x ππ≤≤ D .322x ππ≤≤8.αααα2cos cos 2cos 12sin 22⋅+ =( )A .tan αB .tan 2αC .1D .129.已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2,点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到 x 轴的距离为( )A .43 B .53C .3D 10.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2,过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△F 1PF 2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率乃是 ( )A .2 B .12C .2D 111.不共面的四个定点到平面α的距离都相等,这样的平面α共有 ( ) A .3个 B .4个 C .6个 D .7个12.计算机中常用十六进制乃是逢16进1的计数制,采用数字0~9和字母A ~F 共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表:例如,用十六进制表示:E+D=1B ,则A ×B=( )A .6EB .72C .5FD .B0第Ⅱ卷二.填空题:每小题4分,共(16分)13.经问卷调查,某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度,其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人,按分层抽样方法从全班选出部分学生座 谈摄影,如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一 般”态度的同学,那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人. 14.已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-,且A 、B 、C 三点共线,则k= . 15.曲线32x x y -=在点(1,1)处的切线方程为 .16.已知在△ABC 中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,P 乃是AB 上的点,则点P 到AC 、BC的距离乘积的最大值乃是 三.解读回答题:共74分. 17.(本小题满分12分)已知函数].2,0[,2sin sin 2)(2π∈+=x x x x f 求使()f x 为正值的x 的集合.18.(本小题满分12分)设甲、乙、丙三台机器乃是否需要照顾相互之间没有影响。

2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(06数列)

2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(06数列)

2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(06数列)一、选择题:1.(2005福建文、理)已知等差数列}{n a 中,12497,1,16a a a a 则==+的值是( )A .15B .30C .31D .64解:由7916a a +=,得a 8=8,∴817844d -==-,∴a 12=1+8×74=15,选(A)2. (2005广东)已知数列{}n x 满足212x x =,)(2121--+=n n n x x x , ,4,3=n . 若2lim =∞→n x x ,则=1x ( B ) A .23B .3C .4D .5解法一:特殊值法,当31=x 时,3263,1633,815,49,2365432=====x x x x x 由此可推测2lim =∞→n x x ,故选B .解法二:∵)(2121--+=n n n x x x ,∴)(21211-----=-n n n n x x x x ,21211-=-----n n n n x x x x 即, ∴{}n n x x -+1是以(12x x -)为首项,以21-为公比6的等比数列,令n n n x x b -=+1,则11111211)21()21(2)21)((x x x x q b b n n n n n -=-⋅-=--==---+-+-+=)()(23121x x x x x x n …)(1--+n n x x+-+-+-+=121211)21()21()2(x x x x …11)21(x n --+3)21(32)21(1)21(12111111x x x x n n ---+=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+= ∴2323)21(321111lim lim ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-∞→∞→xx x x n x n x ,∴31=x ,故选B . 解法三:∵)(2121--+=n n n x x x ,∴0221=----n n n x x x , ∴其特征方程为0122=--a a ,解得 211-=a ,12=a , nn n a c a c x 2211+=,∵11x x =,212x x =,∴3211x c -=,3212x c =,∴3)21(3232)21(3211111xx x x x n n n --+=+-⋅-=,以下同解法二.3.(2005湖南文)已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+,则20a = ( )A .0B .3-C .3D .23 [评述]:本题由数列递推关系式,推得数列{a n }是周期变化的,找出规律,再求a 20.【思路点拨】本题涉及数列的相关知识与三角间的周期关系., 【正确解答】[解法一]:由a 1=0,).(1331++∈+-=N n a a a n n n 得a 2=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅==,0,3,343a a由此可知: 数列{a n }是周期变化的,且三个一循环,所以可得:a 20=a 2=-.3故选B.[解法二]:设tan n n a α=,则1tan tan3tan()31tan tan 3n n nn a y παπαπα+-===-+,则13n n παα=-+,由10a =可知,00α=,故数列{n α}是以零为首项,公差为3π-的等差数列,20019()3παα=+⨯-,202019tan tan()3a πα==-=选B【解后反思】这是一道综合利用数列内部之间递推关系进行求解的题目.当我们看到有递推式存在时,不要急于通过代入,达到一个个来求解的目的, 如此这般, 既显得过于复杂,同时破坏了数学的逻辑性,而要通过化简,找到最直接的途径.本题中巧妙的逆用了两角和与差的正切公式,得出此数列为等差数列的结论,顺利达到求解的目的.4.(2005湖南理)已知数列{log 2(a n -1)}(n ∈N *)为等差数列,且a 1=3,a 2=5,则l i m21321111()n n n a a a a a a →∞++++---=( )A .2B .23C .1D .21[评析]:本题考查了等差数列,等比数列的通项公式和求和公式及数列极限相关交汇知识。

2005年高考山东省文科数学试题及答案

2005年高考山东省文科数学试题及答案

2005年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学(必修+选修I )第I 卷(共60分)参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B )如果事件A 、B 相互独立,那么P (A ·B )=P (A )·(B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n p p c k P --=)1()(.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,选择一个符合题目要求的选项.1.}{n a 是首项11=a ,公差3=d 的等差数列,如果2005=n a ,则序号n 等于 ( ) A .667B .668C .669D .670 2.下列大小关系正确的是( )A .3.0log 34.044.03<<B .4.04333.0log 4.0<<C .4.03434.03.0log <<D .34.044.033.0log <<3.函数)0(1≠-=x x xy 的反函数的图象大致是( )4.已知函数),12cos()12sin(ππ--=x x y 则下列判断正确的是( )A .此函数的最小正周期为π2,其图象的一个对称中心是)0,12(π B .此函数的最小正周期为π,其图象的一个对称中心是)0,12(πC .此函数的最小正周期为2π,其图象的一个对称中心是)0,6(πD .此函数的最小正周期为π,其图象的一个对称中心是)0,6(π5.下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是( )A .x x f sin )(=B .|1|)(+-=x x fC .)(21)(x xa a x f -+=D .xx x f +-=22ln )(6.如果n x x )13(32-的展开式中各项系数之和为128,则展开式中31x 的系数是( )A .7B .-7C .21D .-217.函数,2)()1(.0,,01),sin()(12=+⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-=-a f f x e x x x f x 若π则a 的所有可能值为( )A .1B .-22C .22,1-D .1,228.已知向量a 、b ,且=a +2b ,=-5a +6b ,=7a -2b ,则一定共线的三点是 ( )A .A 、B 、D B .A 、B 、C C .B 、C 、D D .A 、C 、D9.设地球半径为R ,若甲地位于北纬45°东经120°,乙地位于南纬75°东经120°,则甲、乙两地的球面距离为 ( )A .3RB .6πR C .65πR D .62πR 10.10张奖券中只有3张有奖,5个人购买,每人1张,至少有1人中奖的概率是( )A .103B .121 C .21 D .1211 11.设集合A 、B 是全集U 的两个子集,则A B 是( U A )∪B=U 的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件12.设直线022:=++y x l 关于原点对称的直线为l '. 若l '与椭圆1422=+y x 的交点为A 、B ,点P 为椭圆上的动点,则使△PAB 的面积为21的点P 的个数为 ( )A .1B .2C .3D .4第Ⅱ卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分. 答案须填在题中横线上.13.某学校共有教师490人,其中不到40岁的有350人,40岁及以上的有140人,为了解普通话在该校教师中的推广普及情况,用分层抽样的方法,从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试,其中在不到40岁的教师中应抽取的人数是 .14.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ,右准线l 与两条渐近线交于P 、Q两点,如果△PQF 是直角三角形,则双曲线的离心率e = .15.设x 、y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤+.40,30,1223,5y x y x y x 则使得目标函数y x z 56+=的值最大的点(x ,y )是 .16.已知m 、n 是不同的直线,α、β是不重合的平面,给出下列命题:①n m n m //,,,//则若βαβα⊂⊂.②若βαββα//,//,//,,则n m n m ⊂.③若βαβα//,//,,则n m n m ⊥⊥④m ,n 是两条异面直线,若,//,//,//,//,//βαβαβα则n n m m βαβα//,//,//则n n . 三、解答题:本大题共6小题,共74分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知向量,528||),2,(,cos ,sin 2()sin ,(cos =+∈-==且和ππθθθθθ 求)82cos(πθ+的值.18.(本小题满分12分)袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为71.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取……取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止时所需要的取球次数.(Ⅰ)求袋中原有白球的个数; (Ⅱ)求取球2次终止的概率; (Ⅲ)求甲取到白球的概率.19.(本小题满分12分)已知1=x 是函数1)1(3)(23+++-=nx x m mx x f 的一个极值点,其中R n m ∈,,.0<m(Ⅰ)求m 与n 的关系表达式; (Ⅱ)求)(x f 的单调区间.20.(本小题满分12分)如图,已知长方体ABCD—A1B1C1D1,AB=2,AA1=1,直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°,AE垂直BD于E,F为A1B1的中点,Array(Ⅰ)求异面直线AE与BF所成的角;(Ⅱ)求平面BDF与平面AA1B所成二面角(锐角)的大小;(Ⅲ)求点A到平面BDF的距离.21.(本小题满分12分)已知数列,5}{1=a a n 的首项前n 项和为S n ,且S n+1=2S n +n+5(n ∈N*)。

2005年高考数学试题_山东卷_评析

2005年高考数学试题_山东卷_评析

学 基 础 知 识 的 考 查 既 全 面 又 重 点 突 方 法 我 们 就 窥 视 到 学 生 思 维 品 质 的 差 (21)、(22) 在 不 同 程 度 上 集 中 了 多 个 知
出 , 对 支 撑 学 科 知 识 体 系 的 重 点 内 容 异 以 及 思 维 方 式 的 区 别 。 理 科 、 文 科 识 点 , 使 函 数 、数 列 、三 角 、向 量 结 合 在

中的作用, 做到基础知识和基本训练常抓不懈。 2.重点知识重点复习, 作好知识间的融会贯通

函 数 、三 角 、数 列 、不 等 式 、立 体 几 何 、解 析 几 何 、
49
向 量 、导 数 、概 率 等 知 识 既 是 高 中 数 学 教 学 的 重 要 内 容 , 又 是 高 考 的 重 点 , 而 且 常 考 常 新 , 经 久 不 衰 。因 此 ,
让 考 题 锦 上 添 花 , 如 理 科 (21)题 , 单 从
题目来看, 该题只考查了函数的有关
知识, 事实上, 随着解题的深入我们就
会发现该题是知识和思想方法的碰撞
点, 涉及的思想方法有: 函数方程思
想 、等 价 转 化 思 想 、数 形 结 合 思 想 、分
类讨论思想, 从考查数学思想的角度
学科本位的观念
次上。另外, 在复习中, 还应充分重视解题回顾, 借助
义务教育阶段的物理课程应以提高全体学生的科学素养为
于 解 题 之 后 的 反 思 、总 结 、引 申 和 提 炼 来 深 化 学 生 知 识的理解和方法的领悟。
主要目标, 而非精英教育, 所以应满足每个学生发展的基本需 求。从国际上科学教育的发展历程可以看到, 过分强调学科本
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2005年高考山东省文科数学试题及答案

2005年高考山东省文科数学试题及答案

补益剂1.四君子汤--夫人赶猪(茯苓人参甘草白术)2.参苓白术散--沙夫人一早要接编百草帘(砂仁茯苓人参薏苡仁大枣山药桔梗扁豆白术干草莲子肉)3.补中益气汤--麻人赶猪,虎皮当旗(升麻人参甘草白术柴胡陈皮当归黄芪)4.生脉散--生脉散救“无脉人”(五味子麦冬人参)5.玉屏风散--房主弃屏风(防风白术黄芪)6.完带汤--白人苍山批草药糊疖子(白术人参苍术山药陈皮甘草芍药柴胡黑芥穗车前子)7.四物汤--弟摆船归(熟地白芍川芎当归)8.当归补血汤--骑龟(黄芪当归)9.归脾汤--大龙草原牧猪,奇人神算将归(大枣龙眼肉甘草远志木香白术黄芪人参茯神酸枣仁生姜当归)10.八珍汤--兄弟当大将,要夫人赶猪(川芎熟地当归大枣生姜芍药茯苓人参甘草白术)11.灸甘草汤--弟清早教草人卖芝麻酱(生地清酒大枣阿胶甘草人参麦冬桂枝麻仁生姜)12.六味地黄丸--渔夫单要熟蟹(山茱萸茯苓丹皮山药熟地泽泻)13.左归丸--愚弟要牛狗兔鹿龟(山茱萸熟地山药牛膝枸杞菟丝子鹿角胶龟板胶)14.大补阴丸--风致白龟驻地(蜂蜜知母黄柏龟板猪脊髓熟地)15.一贯煎--麦地练狗当杀(麦冬生地川楝子枸杞当归沙参)16.肾气丸--贵子腹泻单要黄鱼(桂枝附子茯苓泽泻丹皮山药干地黄山茱萸)17.右归丸--独育狗鹿兔,当地要富贵(杜仲山茱萸枸杞子鹿角胶菟丝子当归熟地山药附子肉桂)18.地黄饮子--贵妇从远东赴沪地,将尝大巴鱼何味(官桂附子肉苁蓉远志卖门冬茯苓石斛熟地生姜菖蒲大枣巴戟天山茱萸薄荷五味子)19.龟鹿二仙胶--人骑鹿龟(人参枸杞鹿角龟板)20.七宝美髯丹--乌龟骑牛拎只兔(何首乌当归枸杞牛膝赤白茯苓补骨脂菟丝子)8.固涩剂1.牡蛎散--骑马卖牡蛎(黄芪麻黄根小麦牡蛎)2.九仙散--乌梅丧母无人管,速叫九仙去借款(乌梅桑白皮贝母五味子人参** 罂粟壳阿胶** 桔梗款冬花)3.真人养脏汤--穆桂英挡住草蔻要何人(木香肉桂罂粟壳当归白术甘草肉豆蔻白芍药诃子人参)4.四神丸--枣将骨肉喂鱼(大枣生姜补骨脂肉豆蔻五味子吴茱萸)5.金锁固精丸--龙母脸欠圆(龙骨牡蛎莲须芡实沙苑蒺藜)6.桑螵蛸散--自家人常孤身飘荡(远志龟甲人参菖蒲龙骨茯神桑螵蛸当归)7.固冲汤--探骑母龙背,潜航筑山海(棕榈炭黄芪煅牡蛎煅龙骨五倍子茜草白杭芍白术山萸肉海螵蛸)8.易黄汤--要十车黄果(山药芡实车前子黄柏白果)9.安神剂1.朱砂安神丸--朱砂敢当皇帝(朱砂甘草当归黄连生地)2.天王补心丹--田夫洁身早跪地,但愿卖猪五百只(天门冬茯苓桔梗人参酸枣仁当归生地丹参元参麦门冬朱砂五3.味子柏子仁远志)4.酸枣仁汤--令母熊找草(茯苓知母川芎酸枣仁甘草)5.甘麦大枣汤--组成同方名(甘草小麦大枣)中医必读1.颈动脉搏动检查时为什么不能双侧同时检查?答:会晕厥。

2005年全国各地高考数学试题及解答分类大全(集合)

2005年全国各地高考数学试题及解答分类大全(集合)

2005年全国各地高考数学试题及解答分类大全(集合)一、选择题:1.(2005北京文、理)设全集U =R ,集合M ={x |x >1},P ={x |x 2>1},则下列关系中正确的是A .M=PB .P MC .M P (D )M P R=【答案】C【详解】{|1P x x =>或1}x <-{|1}M x x =>易得M P【名师指津】集合与集合之间关系的题目经常借助图象来观察.2.(2005福建文)已知集合∈≤-=x x x P ,1|1|||R|,Q P N x x Q 则},|{∈=等于()A .PB .QC .{1,2}D .{0,1,2}解:∵P=[0,2],{|},Q x x N P Q =∈∴ ={0,1,2},选(D)3.(2005广东)若集合}03|{},2|||{2=-=≤=x x x N x x M ,则M ∩N =(B )A .{3}B .{0}C .{0,2}D .{0,3}解:∵由2||≤x ,得22≤≤-x ,由032=-x x ,得30==x x 或,∴M ∩N }0{=,故选B .4.(2005湖北文、理)设P 、Q 为两个非空实数集合,定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ,则P+Q 中元素的个数是()A .9B .8C .7D .6解:集合P 中和集合Q 中各选一个元素可组成的组合数为11339C C ⋅=其对应的和有一个重复:0+6=1+5,故P+Q 中的元素有8个,选(B)5.(2005湖南文)设全集U={-2,-1,0,1,2},A={-2,-1,0},B={0,1,2},则(C U A)∩B=()A.{0}B.{-2,-1}C.{1,2}D.{0,1,2}[评述]:本题考查集合有关概念,补集,交集等知识点。

【思路点拨】本题涉及集合的简单运算.【正确解答】由题意得:{}{}2,1)(,2,1=⋂=B CuA CuA 则,故选C.【解后反思】这是一道考查集合的简单题目,可用画出它的韦恩图,用数形结合的方法解答.6.(2005江苏)设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则()A B C ⋂⋃=(A ){1,2,3}(B ){1,2,4}(C ){2,3,4}(D ){1,2,3,4}答案:D[评述]:本题考查交集、并集等相关知识。

2005年高考.山东卷.文科数学试题精析详解

2005年高考.山东卷.文科数学试题精析详解

2005年普通高等学校招生全国统一考试 数学(山东文科类)试题精析详解一.选择题(5分⨯12=60分)(1){}n a 是首项11a =,公差3d =的等差数列,如果2005n a =,则序号n 等于 (A )667 (B )668 (C )669 (D )670 【思路点拨】本题考查等差数列的通项公式,运用公式直接求出.【正确解答】1(1)13(1)2005n a a n d n =+-=+-=,解得669n =,选C【解后反思】等差等比数列的通项公式和前n 项和的公式是数列中的基础知识,必须牢固掌握.而这些公式也可视作方程,利用方程思想解决问题. (2)下列大小关系正确的是(A )30.440.43log 0.3<< (B )30.440.4log 0.33<< (C )30.44log 0.30.43<< (D )0.434log 0.330.4<<【思路点拨】本题考查指数函数,对数函数的对称性质.实数的大小可用特殊值比较,如0,1等,也可用数形结合的思想作出相应函数的图象,从图象上观察得到. 【正确解答】解法1:4log 0.30<,0.431>,300.41<<,故30.44log 0.30.43<<,选C.解法2:在同一坐标系中分别得出40.4,3,log x xy y y x ===的图象,分别求出当自变量x 取3,0.4,0.3时的函数值, 得到30.44log 0.30.43<<.故选C.【解后反思】掌握特殊与一般的关系构造模型函数,利用图象 的性质较为便捷,要有数形结合的意识. (3)函数1(0)xy x x-=≠的反函数的图象大致是 (A ) (B ) (C ) (D )【思路点拨】本题考查反函数的概念及函数的图象。

利用互为反函数图象间的关系,考查识图(或作图)能力,可采用直接法,即求出原函数的反函数,并画出图象. 【正确解答】1(0)x y x x -=≠的反函数为1(1)1y x x =≠-+它的图象是将函数1y x=的图象向左平移1个单位后得到的 .,选B.【解后反思】函数与图象的性质是历年高考的重点,要深刻理解灵活运用函数的性质,本题也可从互为反函数的性质:互为反函数的定义域与值域互换进行分析可选C. (4)已知函数sin()cos()1212y x x ππ=--,则下列判断正确的是(A )此函数的最小正周期为2π,其图象的一个对称中心是(,0)12π(B )此函数的最小正周期为π,其图象的一个对称中心是(,0)12π(C )此函数的最小正周期为2π,其图象的一个对称中心是(,0)6π(D )此函数的最小正周期为π,其图象的一个对称中心是(,0)6π【思路点拨】本题考查三角函数的二倍角公式及图象和性质,化简函数解析式再利用图象的性质即可解决. 【正确解答】1sin()cos()sin(2)121226y x x x πππ=--=-,最小正周期为π,对称中心的横坐标为x =212k ππ+, 当k =0时,其图象的一个对称中心是(,0)12π,选B【解后反思】一般地,sin()(0)y A x ωϕω=+>的对称中心为1((),0)k πϕω-,对称轴方程为1()()2x k k Z ππϕω=+-∈,本题在求对称中心时也可用验证法,也就是在函数中取一个恰当的x 值使y=0.(5)下列函数中既是奇函数,又在区间[1,1]-上单调递减的是 (A )()sin f x x = (B )()|1|f x x =-+(C )1()()2x x f x a a -=+ (D )2()ln2xf x x-=+ 【思路点拨】本题考查函数的奇偶性和增减性,可根据其定义逐个淘汰. 【正确解答】选项A :1()()()2xx f x a a f x --=+=,是偶函数,排除; 选项B :()|1|f x x -=--+,是非奇非偶函数,排除;选项C :()sin()sin ()f x x x f x -=-=-=-,是奇函数,在[1,1]-上单调递增,排除; 选项D :1222()ln ln()ln ()222x x xf x f x x x x-+---===-=--++,是奇函数,且在[1,1]-上单调递减,故选D.【解后反思】解决函数问题时,必须理解从初等函数的图象入手,联想其相关性质,也就是说要有数形结合的意识. (6)如果(3n x 的展开式中各项系数之和为128,在展开式中31x 的系数是 (A )7 (B )-7 (C )21 (D )-21【思路点拨】本题主要考查二项展开式及通项公式的应用,凡是求二项式展开式中的特殊项或系数,常用其通项公式列出方程,求出n 或.r【正确解答】令1x =,则2128n=,解得7n =,展开式的一般项为77(3)(ttt C x -,31x的系数是11673(1)21C ⋅⋅-=.故选C. 【解后反思】熟练掌握1r T +的表达式及解方程的思想,这里二项式中“-”必须留心,并要注意二项式系数、多项式系数的和与指定项的系数的区别与联系.(7)函数21sin(), 10(), 0x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩,若(1)()2f f a +=,则a 的所以可能值为(A )1 (B )1,2-(C )2- (D )1,2【思路点拨】函数解析式是高考的一个难点,本题考查分段函数的应用,函数的值域等,必须对a 的范围进行分类讨论.【正确解答】0(1)1f e ==,所以()1f a =, 当0a ≥时,1a =;当10a -<<时,2sin()1a π=,2a =-. 选C.【解后反思】因为(1)1f =,故()1f a =,本题实质上求方程()1f a =的解,而分段函数必须分段求,要注意各段函数定义域的范围,恰当地舍取和验证.(8)已知向量,a b ,且2AB a b =+,56BC a b =-+,72CD a b =-,则一定共线的三点是(A )A 、B 、D (B )A 、B 、C (C )B 、C 、D (D )A 、C 、D【思路点拨】本题考查向量的基础知识和运算能力,理解和掌握两个向量共线和三点共线的充要条件是解决本题的关键.【正确解答】24BC CD BD a b +==+,因为2AB a b =+,且有一个共点B 所以A 、B 、D 三点共线.选A【解后反思】一般地,,a b (0b ≠),共线的充要条件是存在唯一实数λ,使a b λ=.因此寻找恰当的λ,注意共线向量与三点共线之间的区别与联系(9)设地球半径为R ,若甲地位于北纬45︒,东经120︒,乙地位于南纬75︒,东经120︒,则甲、乙两地的距离为 (A(B )6R π (C )56R π(D )23R π 【思路点拨】本量考查球的性质,球面距离的运算.,空间想象能力,可结合关于地球的经、纬度等知识、球的性质,求出球心与这两点所成的圆心角的大小、利用弧长公式解决. 【正确解答】∠A O B =120°,∴ A 、B 两点间的球面距离为120223603d R R ππ︒=⋅=︒.选D 【解后反思】本题是求同一经度上,两点间的球面距离,比较简单,而求在同一纬度上的点A 、B 间的球面距离必须构建基本图形:三棱锥1O AO B -,其中1OO ⊥纬度面AOB ,AO =OB =R (R 为地球的半径),11O AO O BO ∠=∠是北纬度角,1AO B ∠是A 、B 两点所在经度的夹角(劣弧),AOB ∠即是要所求A 、B 两点间的球面距离的大圆的圆心角θ(小于0180),则A 、B 间的球面距离为R θ,这里,θ是解决此类型问题的关键,也是难点.BO1(10)10张奖卷中只有3张有奖,5个人购买,每人1张,至少有1人中奖的概率是 (A )310 (B )112 (C )12 (D )1112【思路点拨】本题是考查概率的基础知识、概率的基本运算和应用能力,将“至少”问题转化为对立事件可简化为计算.【正确解答】10张奖卷中抽取5张可能的情况有510C 种, 5人中没有人中奖的情况有57C 中,先求没有1人中奖的概率,57510112C P C ==,至少有1人中奖的概率是5751011112C P C =-=,选D【解后反思】概率与统计这部分内容要求不高,关键是掌握概念公式并能在具体问题中正确应用.(11)设集合A 、B 是全集U 的两个子集,则AB 是()U C A B U =的(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充要条件 (D )既不必要也不充分条件【思路点拨】本题考查集合的基本概念和基本运算,及充要条件的判断能力.抽象的两个集合,可用特殊值法,列举法或画出图进行分析. 【正确解答】由AB 可推出()UC A B U =,反之,()U C A B U =不一定要满足A B ,因此为充分不必要条件,选A【解后反思】要熟练掌握数学符号语言的等价转化,它是解决数学问题的必要条件,也是是否具有数学素养的一个重要标志.(12)设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l ',若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B ,点P 为椭圆上的动点,则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为 (A )1 (B )2 (C )3 (D )4【思路点拨】本题考查直线和椭圆的位置关系的判定及相关性质,可用直接法求得结果或数形给合的方法.【正确解答】由题意得l ':220x y +-=,解不等式组2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得(0,2)A ,(1,0)B,||AB =,设(,)P x y, 111||222PAB S AB d ∆=⋅⋅==,得|22|1x y +-=,2214230y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩ (1)或2214210y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩(2) 方程组(1)无实数解,方程组(2)有两个不同的实数解,故满足条件的点P 的个数为2,选B.解法2:直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l ':2x +y -2=0,该直线与椭圆相交于A (1, 0)和B (0, 2),P 为椭圆上的点,且PAB ∆的面积为12,则点P 到直线l ’的距离为5,直线的上方,与2x +y -2=0平行且与椭圆相切的直线,切点为Q (22, 2),该点到直线P 点. 【解后反思】本题属于直线和圆锥曲线的小综合题,几何与代数之间的等价转化是解决这类问题的重要方法.二、填空题(4分⨯4=16分)13 某学校共有教师490人,其中不到40岁的有350人,40岁及以上的有140人,为了解普通话在该校教师中的推广普及情况,用分层抽样的方法,从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试,其中在不到40岁的教师中应抽取的人数是 . 【思路点拨】本题是考查统计的基础知识,理解分层抽样的基本概念和方法不难解决. 【正确解答】设不到40岁的教师中应抽取的人数为x 人,则35014070xx=-,解得50x =.【解后反思】抽样是统计学的基础,统计的基本思想是用样本估计总体,因此,要理解常用的三种样本抽样方法:当总体的个数较少时,用随机抽样方法;当总体的个数较多时,用系统抽样方法;当总体中的个体个部分明显差异时,用分层抽样法.随着高考的内容设置的逐步提高,高考试题必然会愈来愈多地设置具有现实意义的应用题,要正确地处理从实际中比较三种抽样的方法.14 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ,右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点,如果PQF ∆是直角三角形,则双曲线的离心率e = .【思路点拨】本题是考查双曲线的几何性质,可根据对称性来分析,只可能是PFQ ∠为直角,由a 、b 、c 的关系不难解决.【正确解答】由PQF ∆是直角三角形,根据图形的对称性,必有2a ab PF FQ c a b c c c ⊥∴-=⇒=∴=即双曲线的离心率ce a==解法2:双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F (c , 0),右准线l 与两条渐近线交于P (2,a ab c c )、Q (2,a ab c c -)两点,∵ FP ⊥FQ ,∴ 22221ab aba c c a a bc c c c-⋅=-=---,∴ a =b , 即双曲线的离心率e =2.【解后反思】解决本题的障碍是对Rt PQF ∆的直角的确定,要深刻理解几何图形的特征是解决这类题型的关键.15 设x 、y 满足约束条件532120304x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩,则使得目标函数65z x y =+的值最大的点(,)x y 是 .【思路点拨】本题主要考查简单线性规划的基本知识,分二步,第一步是作出二元一次不等式表示的平面区域.,第二步从图形分析求z 最大值时点的坐标.【正确解答】画出题中所给不等式组所表示的区域.当x=0时y=0, 650z x y =+=,点(0,0)在直线0:650l x y +=上,作一组直线0l 的平行直线:65()l x y t t R +=∈,要求使得z 最大的点,即要求使直线65z x y =+截距最大,由图可知,当直线过5x y +=和3212x y +=的交点(2,3)M 时,z 有最大值27.【解后反思】正确画出平面区域和直线0l 是解决这类问题的关键. 16 已知m 、n 是不同的直线,α、β是不重合的平面,给出下列命题: ①若//m α,则m 平行于平面α内的任意一条直线 ②若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n ③若m α⊥,n β⊥,//m n ,则//αβ ④若//αβ,m α⊂,则//m β上面命题中,真命题的序号是 .(写出所有真命题的序号)[答案] ③④【思路点拨】本题考查立体几何中直线与平面的位置关系.本题是线线、线面和面面平行,线面垂直的判断题,可借助图形进行判断.【正确解答】如图所示,①中m 、n 可能异面,②中αβ,可能相交,③中,//m m n n αα⊥∴⊥同理可证://n βαβ⊥∴即③是真命题,④中可过平面αβ,外任一点P 作直线,m n ''使//,//,m m n n m n ''异面∴,m n ''必相交,设由,m n ''确定的平面为γ,////m m αα'∴,同理可证:////n ααγ'∴,同理可证:////βγαβ∴.即④是真命题,综上所述,真命题的序号是③、④.【解后反思】要否定一个命题,只需要一反例即可.要熟悉掌握线线平行、平面平行、面面平行的关系和转化.即线线平行⇔平面平行⇔面面平行,其中线面平行起了桥梁作用,而②③的实质是两个平面平行的推论. 三、解答题(84分)17.已知向量(cos ,sin )m θθ=和2sin ,cos )n θθ=,(,2)θππ∈,且82||5m n +=,求cos()28θπ+的值. 【思路点拨】本题从向量及模的概念出发,考查三角变换能力和运算能力,通过82m n +=,构建θ的三角函数关系式,再由此关系式与所求θ进行比较,消除角或函数的差异,达到转化. 【正确解答】解法一:(cos sin 2,cos sin ),m n θθθθ+=-+22(cos sin 2)(cos sin )m n θθθθ+=-+++ 422(cos sin )θθ=+-44cos()4πθ=++21cos()4πθ=++由已知825m n +=,得7cos()425πθ+= 又2cos()2cos ()1428πθπθ+=+-所以 216cos ()2825θπ+=∵592,8288πθπππθπ<<∴<+<∴ cos()285θπ+=解法二:2222m n m m n n +=+⋅+22||||2m n mn =++⋅222[cos sin )sin cos ]θθθθ=+++4sin )θθ=+-4(1cos())4πθ=++28cos ()28θπ=+由已知825m n +=,得 4|cos()|285θπ+=∵ 5928288πθπππθπ<<∴<+<,∴ cos()028θπ+<, ∴ cos()285θπ+=【解后反思】三角函数的求值问题,关键是角和函数的变换,难点是三角函数符号的确定,在解题过程中,两者必须都要兼顾到,不能顾此失彼.18 袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为17,现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取……取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即中止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的. (1)球袋中原有的白球个数; (2)求取球2次终止的概率; (3)求甲取到白球的概率.【思路点拨】本题考查了离散型随机变量的分布列和等可能事件概率的求法,可根据两者定义直接求得.【正确解答】(1)设袋中原有n 个白球,由题意知:2271(1)(1).767762n C n n n n C --===⨯⨯ 所以(1)6n n -=,解得3(n =舍去2)n =-,即袋中原有3个白球(Ⅱ)由题意,ξ的可能始值为1,2,3,4,5.3(1)7p ξ==: 432(2)767p ξ⨯===⨯: 4336(3)76535p ξ⨯⨯===⨯⨯ 43233(4)765435p ξ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯: 432131(5)7654335p ξ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯所以,取球次数ξ的分布列为:(Ⅲ)因为甲先取,所以甲只有可能在第1次、第3次和第5次取球,记“甲取到白球”的事件为A ,则 ()p A P =(“1ξ=”,或“3ξ=”,或“5ξ=”). 因为事件“1ξ=”、“3ξ=”、“5ξ=”两两互斥,所以 36122()(1)(3)(5)7353535P A P P P ξξξ==+=+==++=【解后反思】离散型随机变量的基础则概率的计算,如古典概率、互斥事件概率和相互独立事件同时发生的概率,n 次独立重复试验有k 次发生的概率等,同时往往离散型随机变量的分布列上具有的性质.(如0,1,2,3,i p i ≥=,121p p ++=)要理解地记忆,便于掌握.19 已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点,其中,m n R ∈,0m ≠.(1)求m 与n 的关系表达式; (2)求()f x 的单调区间. 见理19【思路点拨】此题考查了可导函数的导数求法,极值的定义,以及可导函数的极值点的必要条件和充分条件(导函数在极值点两侧异号),含参不等式恒成立的求解问题,考查运算能力和分析问题、解决问题的能力. 【正确解答】(Ⅰ)解:2()36(1)f x mx m x n '=-++.因为1x =是()f x 的一个极值点,所以(1)0f '=,即36(1)0m m n -++=. 所以3n m =+(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知22()36(1)363(1)(1)f x mx m x m m x x m ⎡⎤'=-+++=--+⎢⎥⎣⎦当0m <时,有211>+,当x 变化时()f x 与()f x '的变化如下表: 由上表知,当0m <时,()f x 在(,1)m -∞+单调递减,在(1,1)m+单调递增, 在(1,)+∞单调递减【解后反思】要深刻理解和熟练掌握数学思想和方法,本题中运用了数形结合法、分离变量法、换元法等多种数学思想和方法.因此,在解答问题的过程中要领悟和体验这些方法,积累经验,必定能提高解决综合问题的能力.20 如图,已知长方体1111ABCD A B C D -,2AB =,11AA =,直线BD 与平面11AA B B 所成的角为30︒,AE 垂直BD 于E ,F 为11A B 的中点. (1)求异面直线AE 于BF 所成的角;(2)求平面BDF 于平面1AA B 所成的二面角(锐角)的大小; (3)求点A 到平面BDF 的距离.【思路点拨】 本题考查了长方体的概念,异面直线、二面角、点到平面的距离的求法.考查逻辑推理能力,空间想象能力和运算能力,可根据长方体的特征,用定义或平面向量的知识是不难解决的.【正确解答】解法一:(向量法)在长方体1111ABCD A B C D -中,以AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴,1AA 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系如图.由已知12,1AB AA ==,可得(0,0,0),(2,0,0),(1,0,1)A B F .又AD ⊥平面11AA B B ,从面BD 与平面11AA B B 所成的角即为030DBA <=又2,,1,3AB AE BD AE AD =⊥==从而易得1(,(0,223E D (Ⅰ)13(,,0),(22AE BF ==-cos ,AE BF AE BFAE BF∴<>=14-==即异面直线AE 、BF 所成的角为4(Ⅱ)易知平面1AA B 的一个法向量m =设(,,)n x y z =是平面BDF 的一个法向量.(2,3BD =- 由n BF n BD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 00n BF n BD ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩ 020x x xy -+=⎧⎪⇒⎨=⎪⎩x zy =⎧⎪⇒= 取(1,3,1)n =∴3cos ,15m n m n m n <>===⨯即平面BDF 与平面1AA B 所成二面角(锐角)大小为5(Ⅲ)点A 到平面BDF 的距离,即AB 在平面BDF 的法向量n 上的投影的绝对值所以距离||cos ,d AB AB n =<>||||||AB n AB AB n=||||5AB n n ===所以点A 到平面BDF 5解法二:(几何法)(Ⅰ)连结11B D ,过F 作11B D 的垂线,垂足为K ,∵1BB 与两底面ABCD ,1111A B C D 都垂直,∴11111111FB BB FK B D FB B B D BB B ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭1平面BDD 又111AE BB AE BD AE B BB BD B ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭1平面BDD 因此//FK AE <∴BFK <为异面直线BF 与AE 所成的角连结BK ,由FK ⊥面11BDD B 得FK BK ⊥, 从而 BKF ∆为Rt在 1Rt B KF ∆和111Rt B D A ∆中,由11111A D FK B F B D =得111111122ADAB A DB F FK B D BD====又BF = ∴cos FK BFK BK <== ∴异面直线BF 与AE 所成的角为(Ⅱ)由于AD ⊥面t AA B 由A 作BF 的垂线AG ,垂足为G ,连结DG ,由三垂线定理知BG ⊥∴AGD <即为平面BDF 与平面1AA B 所成二面角的平面角且90DAG <=,在平面1AA B 中,延长BF 与1AA ;交于点S∵F 为11A B 的中点1111//,,22A F AB A F AB =, 1B 1∴1A 、F 分别为SA 、SB 的中点即122SA A A AB ===,∴Rt BAS ∆为等腰直角三角形,垂足G 点实为斜边SB 的中点F ,即F 、G 重合易得12AG AF SB ===Rt BAS ∆中,AD =∴tan 3AD AGD AG <===∴arctan 3AGD <=即平面BDF 于平面1AAB 所成二面角(锐角)的大小为arctan3(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面AFD 是平面BDF 与平面1AA B 所成二面角的平面角所在的平面 ∴面AFD BDF ⊥面在Rt ADF ∆中,由A作AH ⊥DF 于H ,则AH 即为点A 到平面BDF 的距离 由AH DF=AD AF ,得2AD AFAH DF===所以点A 到平面BDF 【解后反思】立几中求角和距离的问题一般要具备作、证、算三步.本题中也可用等积变换求距离.空间向量的引入,给本题解答提供了新思路,关键是点的坐标和向量的正确,否则以全错而告终.21 已知数列{}n a 的首项15a =,前n 项和为n S ,且125n n S S n +=++(n N +∈)(1)证明数列{1}n a +是等比数列;(2)令212()n n f x a x a x a x =++,求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f 'B 1【思路点拨】本题主要考查数列的通项,等比数列的前n 项和以及导数的概念,考查灵活运用数学知识分析和解决问题的能力.知道数列的递推公式求数列的通项时,可直接代入求解,由n S 与n a 间的关系求数列的通项公式时,只要利用1(2)n n n a S S n -=-≥即可.对数的大小比较的常用方法是作差法,其差值可转化为关于n 的函数,再利用函数的性质作出判断.【正确解答】解:由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得()1121n n n n S S S S +--=-+,即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时,21215S S =++,所以2112a a a +=+又15a =所以211a =,从而(21121a a +=+故总有112(1)n n a a ++=+,*n N ∈ 又115,10a a =+≠,从而1121n n a a ++=+,即数列{}1n a +是以()116a +=为首项,2为公比的等比数列;(II )由(I )知321nn a =⨯- 因为212()n n f x a x a x a x =+++所以112()2n n f x a a x na x -'=+++从而12(1)2n f a a na '=+++=()()23212321(321)n n ⨯-+⨯-++⨯- =()232222n n +⨯++⨯-()12n +++=()1(1)31262n n n n ++-⋅-+. 【解后反思】1、由数列前n 项和和定义12n n S a a a =+++可知n S 和n a 之间的关系11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩要注意的是,n a =n S -1n S -仅局限在2n ≥的一切真整数,因此在n S 求n a 时,应分类讨论,只有当1a =1S 满足n a =n S -1n S -时通项公式才只有一个式子,否则就是分段函数.2、对一个指数或多项式大小比较时,必须采取放缩的技巧,而放缩的技巧是在需选择目标和确定放缩的程度,应恰到好处,放缩的方法还常有:去掉式子中的某些数,应用不等式的5个性质,应用正、余弦的有界性等等. (22) (本小题满分14分)已知动圆过定点(,0)2p ,且与直线2px =-相切,其中0p > (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程;(2)设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点,直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β,当α、β变化且4παβ+=,证明直线AB 恒过顶点,并求出该顶点的坐标.【思路点拨】本题考查直线的有关概念、直线与圆的性质,抛物线及三角函数的基础知识,考查运用数学知识解决综合问题的能力,第(I )问可由圆的切线性质和抛物线的定义得到.第(II )问必须借助解析的思想和两角和的正切转化为坐标处理. 【正确解答】(I )如图,设M 为动圆圆心,,02p ⎛⎫⎪⎝⎭为记为F ,过点M 作直线2px =-的垂线,垂足为N ,由题意知:MF MN =即动点M 到定点F 与定直线2px =-的距离相等,由抛物线的定义知,点M 的轨迹为抛物线,其中,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点,2p x =-为准线,所以轨迹方程为22(0)y px P =>; (II )如图,设()()1122,,,A x y B x y ,由题意得12,0x x ≠, 又直线OA,OB 的倾斜角,αβ满足4παβ+=,故0,4παβ<<,所以直线AB 的斜率存在,否则,OA,OB 直线的倾斜角之和为π从而设AB 方程为y kx b =+,显然221212,22y y x x p p==, 将y kx b =+与22(0)y px p =>联立消去x ,得2220ky py pb -+= 由韦达定理知121222,p pby y y y k k+=⋅=① 由4παβ+=,得1=tantan()4παβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p+- 将①式代入上式整理化简可得:212pb pk=-,所以22b p pk =+,此时,直线AB 的方程可表示为y kx =+22p pk +即()(2)20k x p y p +--= 所以直线AB 恒过定点()2,2p p -.【解后反思】1、解决直线和圆锥曲线的位置关系问题,一般方法是联系方程解,消元得一元二次方程,利用韦达定理处理.2、求某一角的三角函数值时注意其定义域,必须分类讨论由特殊到一般的思想,可猜测一般结论的正确性.3、研究直线y=kx+b 过一定点问题时,要建立k 、b 关系,而之个关系的建立必须借助αβθ+=为定值入手.。

2005年全国统一高考数学试卷(文)及答案

2005年全国统一高考数学试卷(文)及答案

2005年全国统一高考数学试卷Ⅰ(文)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)设直线l过点(﹣2,0),且与圆x2+y2=1相切,则l的斜率是()A.±1 B.C.D.2.(5分)设I为全集,S1、S2、S3是I的三个非空子集,且S1∪S2∪S3=I,则下面论断正确的是()A.∁I S1∩(S2∪S3)=∅B.S1⊆(∁I S2∩∁I S3)C.∁I S1∩∁I S2∩∁I S3=∅D.S1⊆(∁I S2∪∁I S3)3.(5分)用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π,则球的体积为()A. B.C.D.4.(5分)函数f(x)=x3+ax2+3x﹣9已知f(x)在x=﹣3时取得极值,则a=()A.2 B.3 C.4 D.55.(5分)如图,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且△ADE、△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为()A.B.C.D.6.(5分)已知双曲线的一条准线为,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.7.(5分)当0<x<时,函数的最小值为()A.2 B.C.4 D.8.(5分)反函数是()A.B.C.D.9.(5分)设0<a<1,函数f(x)=log a(a2x﹣2a x﹣2),则使f(x)<0的x的取值范围是()A.(﹣∞,0)B.(0,+∞)C.(﹣∞,log a3)D.(log a3,+∞)10.(5分)在直角坐标平面上,不等式组所表示的平面区域面积为()A.B.C.D.311.(5分)在△ABC中,已知tan=sinC,给出以下四个论断:①tanA•cotB=1,②1<sinA+sinB≤,③sin2A+cos2B=1,④cos2A+cos2B=sin2C,其中正确的是()A.①③B.②④C.①④D.②③12.(5分)点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足•=•=•,则点O是△ABC的()A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点 D.三条高的交点二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)13.(4分)若正整数m满足10m﹣1<2512<10m,则m=.(lg2≈0.3010)14.(4分)(x﹣)4的展开式中的常数项为.15.(4分)从6名男生和4名女生中,选出3名代表,要求至少包含1名女生,则不同的选法共有种.16.(4分)在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中,过对角线BD′的一个平面交AA′于E,交CC′于F,则:①四边形BFD′E一定是平行四边形;②四边形BFD′E有可能是正方形;③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形;④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.以上结论正确的为.(写出所有正确结论的编号)三、解答题(共6小题,满分74分)17.(12分)设函数f(x)=sin(2x+φ)(﹣π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线.(Ⅰ)求φ,并指出y=f(x)由y=sin2x作怎样变换所得.(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调增区间;(Ⅲ)画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象.18.(12分)已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA ⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=1,AB=2,M是PB的中点.(Ⅰ)证明:面PAD⊥面PCD;(Ⅱ)求AC与PB所成的角;(Ⅲ)求面AMC与面BMC所成二面角的大小.19.(12分)已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>﹣2x的解集为(1,3).(Ⅰ)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式;(Ⅱ)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围.20.(12分)9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内,每坑3粒,每粒种子发芽的概率为0.5,若一个坑内至少有1粒种子发芽,则这个坑不需要补种;若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种.(Ⅰ)求甲坑不需要补种的概率;(Ⅱ)求有坑需要补种的概率.(精确到0.001)21.(12分)设正项等比数列{a n}的首项a1=,前n项和为S n,且210S30﹣(210+1)S20+S10=0.(Ⅰ)求{a n}的通项;(Ⅱ)求{nS n}的前n项和T n.22.(14分)已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,与=(3,﹣1)共线.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设M为椭圆上任意一点,且=λ+μ(λ,μ∈R),证明λ2+μ2为定值.2005年安徽省高考数学试卷Ⅰ(文)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)(2005•安徽)设直线l过点(﹣2,0),且与圆x2+y2=1相切,则l的斜率是()A.±1 B.C.D.【分析】首先根据已知圆判断其圆心与半径,然后解构成的直角三角形,求出夹角,继而求出倾斜角,解出斜率即可.【解答】解:∵直线l过点(﹣2,0),且与圆x2+y2=1相切由圆得:圆心为(0,0),半径为1∴构成的三角形的三边为:,解得直线与x轴夹角为30°的角∴x的倾斜角为30°或150°∴k=故选C.2.(5分)(2005•安徽)设I为全集,S1、S2、S3是I的三个非空子集,且S1∪S2∪S3=I,则下面论断正确的是()A.∁I S1∩(S2∪S3)=∅B.S1⊆(∁I S2∩∁I S3)C.∁I S1∩∁I S2∩∁I S3=∅D.S1⊆(∁I S2∪∁I S3)【分析】根据公式C U(A∩B)=(C U A)∪(C U B),C U(A∪B)=(C U A)∩(C U B),容易判断.【解答】解:∵S1∪S2∪S3=I,∴C I S1∩C I S2∩C I S3)=C I(S1∪S2∪S3)=C I I=∅.故答案选C.3.(5分)(2008•湖北)用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π,则球的体积为()A. B.C.D.【分析】做该题需要将球转换成圆,再利用圆的性质,获得球的半径,解出该题即可.【解答】解:截面面积为π⇒截面圆半径为1,又与球心距离为1⇒球的半径是,所以根据球的体积公式知,故选B.4.(5分)(2005•安徽)函数f(x)=x3+ax2+3x﹣9已知f(x)在x=﹣3时取得极值,则a=()A.2 B.3 C.4 D.5【分析】先对函数进行求导,根据函数f(x)在x=﹣3时取得极值,可以得到f′(﹣3)=0,代入求a值.【解答】解:对函数求导可得,f′(x)=3x2+2ax+3∵f(x)在x=﹣3时取得极值∴f′(﹣3)=0⇒a=5,验证知,符合题意故选:D.5.(5分)(2005•安徽)如图,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且△ADE、△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为()A.B.C.D.【分析】该几何体是一个三棱柱截取两个四棱锥,体积相减即为该多面体的体积.【解答】解:一个完整的三棱柱的图象为:棱柱的高为2;底面三角形的底为1,高为:,其体积为:;割去的四棱锥体积为:,所以,几何体的体积为:,故选A.6.(5分)(2005•安徽)已知双曲线的一条准线为,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.【分析】由双曲线的一条准线为,可以得到,由此可以求出该双曲线的离心率.【解答】解:由题意可知,,解得a2=3,或(舍去).∴,∴,故选D.7.(5分)(2005•安徽)当0<x<时,函数的最小值为()A.2 B.C.4 D.【分析】利用二倍角公式化简整理后,分子分母同时除以cosx,转化成关于tanx 的函数解析式,进而利用x的范围确定tanx>0,最后利用均值不等式求得函数的最小值.【解答】解:=.∵0<x<,∴tanx>0.∴.当时,f(x)min=4.故选C.8.(5分)(2005•安徽)反函数是()A.B.C.D.【分析】从条件中函数式中反解出x,再将x,y互换即得到反函数.【解答】解:在定义域为{x|1≤x≤2},原函数的值域为{y|0≤y≤1},∵,∴y2=2x﹣x2,解得x=1±,∵1≤x≤2,∴x=1+,∴y=1+(0≤x≤1),故选B.9.(5分)(2005•安徽)设0<a<1,函数f(x)=log a(a2x﹣2a x﹣2),则使f(x)<0的x的取值范围是()A.(﹣∞,0)B.(0,+∞)C.(﹣∞,log a3)D.(log a3,+∞)【分析】结合对数函数、指数函数的性质和复合函数的单调性可知:当0<a<1,log a(a2x﹣2a x﹣2)<0时,有a2x﹣2a x﹣2>1,解可得答案.【解答】解:设0<a<1,函数f(x)=log a(a2x﹣2a x﹣2),若f(x)<0则log a(a2x﹣2a x﹣2)<0,∴a2x﹣2a x﹣2>1∴(a x﹣3)(a x+1)>0∴a x﹣3>0,∴x<log a3,故选C.10.(5分)(2005•安徽)在直角坐标平面上,不等式组所表示的平面区域面积为()A.B.C.D.3【分析】先依据不等式组,结合二元一次不等式(组)与平面区域的关系画出其表示的平面区域,再利用三角形的面积公式计算即可.【解答】解:原不等式组可化为:或画出它们表示的可行域,如图所示.可解得A(,﹣),C(﹣1,﹣2),B(0,1)原不等式组表示的平面区域是一个三角形,=×(2×1+2×)=,其面积S△ABC故选C.11.(5分)(2005•安徽)在△ABC中,已知tan=sinC,给出以下四个论断:①tanA•cotB=1,②1<sinA+sinB≤,③sin2A+cos2B=1,④cos2A+cos2B=sin2C,其中正确的是()A.①③B.②④C.①④D.②③【分析】先利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得cos=进而求得A+B=90°进而求得①tanA•cotB=tanA•tanA等式不一定成立,排除;②利用两角和公式化简,利用正弦函数的性质求得其范围符合,②正确;③sin2A+cos2B=2sin2A不一定等于1,排除③;④利用同角三角函数的基本关系可知cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1,进而根据C=90°可知sinC=1,进而可知二者相等.④正确.【解答】解:∵tan=sinC∴=2sin cos整理求得cos(A+B)=0∴A+B=90°.∴tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于1,①不正确.∴sinA+sinB=sinA+cosA=sin(A+45°)45°<A+45°<135°,<sin(A+45°)≤1,∴1<sinA+sinB≤,所以②正确cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1,sin2C=sin290°=1,所以cos2A+cos2B=sin2C.所以④正确.sin2A+cos2B=sin2A+sin2A=2sin2A=1不一定成立,故③不正确.综上知②④正确故选B.12.(5分)(2005•安徽)点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足•=•=•,则点O是△ABC的()A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点 D.三条高的交点【分析】由得到,从而所以OB⊥AC,同理得到OA⊥BC,所以点O是△ABC的三条高的交点【解答】解;∵∴;∴;∴OB⊥AC,同理由得到OA⊥BC∴点O是△ABC的三条高的交点故选D二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)13.(4分)(2005•安徽)若正整数m满足10m﹣1<2512<10m,则m=155.(lg2≈0.3010)【分析】利用题中提示lg2≈0.3010,把不等式同时取以10为底的对数,再利用对数的运算性质,转化为关于m的不等式求解即可.【解答】解:∵10m﹣1<2512<10m,取以10为底的对数得lg10m﹣1<lg2512<lg10m,即m﹣1<512×lg2<m又∵lg2≈0.3010∴m﹣1<154.112<m,因为m是正整数,所以m=155故答案为155.14.(4分)(2005•山西)(x﹣)4的展开式中的常数项为6.【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为0得常数项.【解答】解:的通项为=(﹣1)r C4r x4﹣2r令4﹣2r=0得r=2∴展开式的常数项为T3=C42=6故答案为615.(4分)(2005•安徽)从6名男生和4名女生中,选出3名代表,要求至少包含1名女生,则不同的选法共有100种.【分析】根据题意,选用间接法,首先计算从6名男生和4名女生共10人中,任取3名代表的选法数目,再计算没有女生入选的情况数目,进而计算可得答案.【解答】解:根据题意,从6名男生和4名女生共10人中,任取3人作代表,有C103=120种,其中没有女生入选,即全部选男生的情况有C63=20种,故至少包含1名女生的同的选法共有120﹣20=100种;故答案为100.16.(4分)(2005•安徽)在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中,过对角线BD′的一个平面交AA′于E,交CC′于F,则:①四边形BFD′E一定是平行四边形;②四边形BFD′E有可能是正方形;③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形;④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.以上结论正确的为①③④.(写出所有正确结论的编号)【分析】由平行平面的性质可得①是正确的,当E、F为棱中点时,四边形为菱形,但不可能为正方形,故③④正确,②错误.【解答】解:①:∵平面AB′∥平面DC′,平面BFD′E∩平面AB′=EB,平面BFD′E∩平面DC′=D′F,∴EB∥D′F,同理可证:D′E∥FB,故四边形BFD′E一定是平行四边形,即①正确;②:当E、F为棱中点时,四边形为菱形,但不可能为正方形,故②错误;③:四边形BFD′E在底面ABCD内的投影为四边形ABCD,所以一定是正方形,即③正确;④:当E、F为棱中点时,EF⊥平面BB′D,又∵EF⊂平面BFD′E,∴此时:平面BFD′E⊥平面BB′D,即④正确.故答案为:①③④三、解答题(共6小题,满分74分)17.(12分)(2005•山西)设函数f(x)=sin(2x+φ)(﹣π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线.(Ⅰ)求φ,并指出y=f(x)由y=sin2x作怎样变换所得.(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调增区间;(Ⅲ)画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象.【分析】(I)由图象的一条对称轴是直线,从而可得,解的∅,根据平移法则判断平移量及平移方向(II)令,解x的范围即为所要找的单调增区间(III)利用“五点作图法”做出函数的图象【解答】解:(Ⅰ)∵x=是函数y=f(x)的图象的对称轴,∴,∴,k∈Z.∵.由y=sin2x向右平移得到.(4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知ϕ=﹣,因此y=.由题意得,k∈Z.所以函数的单调增区间为,k∈Z.(3分)(Ⅲ)由知故函数y=f(x)在区间[0,π]上图象是(4分)18.(12分)(2005•安徽)已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=1,AB=2,M是PB的中点.(Ⅰ)证明:面PAD⊥面PCD;(Ⅱ)求AC与PB所成的角;(Ⅲ)求面AMC与面BMC所成二面角的大小.【分析】法一:(Ⅰ)证明面PAD⊥面PCD,只需证明面PCD内的直线CD,垂直平面PAD内的两条相交直线AD、PD即可;(Ⅱ)过点B作BE∥CA,且BE=CA,∠PBE是AC与PB所成的角,解直角三角形PEB求AC与PB所成的角;(Ⅲ)作AN⊥CM,垂足为N,连接BN,说明∠ANB为所求二面角的平面角,在三角形AMC中,用余弦定理求面AMC与面BMC所成二面角的大小.法二:以A为坐标原点AD长为单位长度,建立空间直角坐标系,(Ⅰ)求出,计算,推出AP⊥DC.,然后证明CD垂直平面PAD,即可证明面PAD⊥面PCD;(Ⅱ),计算.即可求得结果.(Ⅲ)在MC上取一点N(x,y,z),则存在使,说明∠ANB为所求二面角的平面角.求出,计算即可取得结果.【解答】法一:(Ⅰ)证明:∵PA⊥面ABCD,CD⊥AD,∴由三垂线定理得:CD⊥PD.因而,CD与面PAD内两条相交直线AD,PD都垂直,∴CD⊥面PAD.又CD⊂面PCD,∴面PAD⊥面PCD.(Ⅱ)解:过点B作BE∥CA,且BE=CA,则∠PBE是AC与PB所成的角.连接AE,可知AC=CB=BE=AE=,又AB=2,所以四边形ACBE为正方形.由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°在Rt△PEB中BE=a2=3b2,PB=,∴.∴AC与PB所成的角为.(Ⅲ)解:作AN⊥CM,垂足为N,连接BN.在Rt△PAB中,AM=MB,又AC=CB,∴△AMC≌△BMC,∴BN⊥CM,故∠ANB为所求二面角的平面角∵CB⊥AC,由三垂线定理,得CB⊥PC,在Rt△PCB中,CM=MB,所以CM=AM.在等腰三角形AMC中,AN•MC=,∴.∴AB=2,∴故所求的二面角为.法二:因为PA⊥PD,PA⊥AB,AD⊥AB,以A为坐标原点AD长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为A(0,0,0)B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(Ⅰ)证明:因为,故,所以AP⊥DC.又由题设知AD⊥DC,且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线,由此得DC⊥面PAD.又DC在面PCD上,故面PAD⊥面PCD(Ⅱ)解:因,故=,所以由此得AC与PB所成的角为.(Ⅲ)解:在MC上取一点N(x,y,z),则存在使,,∴x=1﹣λ,y=1,z=λ.要使AN⊥MC,只需即,解得.可知当时,N点坐标为,能使.,有由得AN⊥MC,BN⊥MC.所以∠ANB为所求二面角的平面角.∵,∴.故所求的二面角为arccos.19.(12分)(2005•安徽)已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f (x)>﹣2x的解集为(1,3).(Ⅰ)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式;(Ⅱ)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围.【分析】(Ⅰ)f(x)为二次函数且二次项系数为a,把不等式f(x)>﹣2x变形为f(x)+2x>0因为它的解集为(1,3),则可设f(x)+2x=a(x﹣1)(x﹣3)且a<0,解出f(x);又因为方程f(x)+6a=0有两个相等的根,利用根的判别式解出a的值得出f(x)即可;(Ⅱ)因为f(x)为开口向下的抛物线,利用公式当x=时,最大值为=.和a<0联立组成不等式组,求出解集即可.【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)+2x>0的解集为(1,3).f(x)+2x=a(x﹣1)(x ﹣3),且a<0.因而f(x)=a(x﹣1)(x﹣3)﹣2x=ax2﹣(2+4a)x+3a.①由方程f(x)+6a=0得ax2﹣(2+4a)x+9a=0.②因为方程②有两个相等的根,所以△=[﹣(2+4a)]2﹣4a•9a=0,即5a2﹣4a﹣1=0.解得a=1或a=﹣.由于a<0,a=﹣,舍去,故a=﹣.将a=﹣代入①得f(x)的解析式.(Ⅱ)由及a<0,可得f(x)的最大值为.就由解得a<﹣2﹣或﹣2+<a<0.故当f(x)的最大值为正数时,实数a的取值范围是.20.(12分)(2005•山西)9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内,每坑3粒,每粒种子发芽的概率为0.5,若一个坑内至少有1粒种子发芽,则这个坑不需要补种;若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种.(Ⅰ)求甲坑不需要补种的概率;(Ⅱ)求有坑需要补种的概率.(精确到0.001)【分析】(Ⅰ)由题意知每粒种子发芽的概率为0.5,且每粒种子是否发芽是相互独立的,得到本题是一个独立重复试验,甲坑不需要补种的对立事件是甲坑内的3粒种子都不发芽,根据对立事件的概率公式得到结果.(Ⅱ)有坑需要补种包括3个坑中恰有1个坑需要补种;恰有2个坑需要补种;3个坑都需要补种,这三种情况之间是互斥的,根据互斥事件的概率公式得到结果.【解答】解:(Ⅰ)由题意知每粒种子发芽的概率为0.5,且每粒种子是否发芽是相互独立的,得到本题是一个独立重复试验,∵甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为,∴甲坑不需要补种的概率为(Ⅱ)有坑需要补种包括3个坑中恰有1个坑需要补种;恰有2个坑需要补种;3个坑都需要补种,这三种情况之间是互斥的,∵3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为,恰有2个坑需要补种的概率为,3个坑都需要补种的概率为∴有坑需要补种的概率为0.287+0.041+0.002=0.330.21.(12分)(2005•安徽)设正项等比数列{a n}的首项a1=,前n项和为S n,且210S30﹣(210+1)S20+S10=0.(Ⅰ)求{a n}的通项;(Ⅱ)求{nS n}的前n项和T n.【分析】(Ⅰ)由210S30﹣(210+1)S20+S10=0得210(S30﹣S20)=S20﹣S10,由此可推出,.(Ⅱ)由题设知.数列{nS n}的前n项和,.由此可知答案.【解答】解:(Ⅰ)由210S30﹣(210+1)S20+S10=0得210(S30﹣S20)=S20﹣S10,即210(a21+a22+…+a30)=a11+a12+…+a20,可得210•q10(a11+a12+…+a20)=a11+a12+…+a20.因为a n>0,所以210q10=1,解得,因而,.(Ⅱ)由题意知.则数列{nS n}的前n项和,.前两式相减,得=即.22.(14分)(2005•安徽)已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,与=(3,﹣1)共线.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设M为椭圆上任意一点,且=λ+μ(λ,μ∈R),证明λ2+μ2为定值.【分析】(Ⅰ)直线与椭圆方程联立用未达定理的A、B两点坐标的关系,据向量共线的条件得椭圆中a,b,c的关系,从而求得椭圆的离心率(Ⅱ)用向量运算将λμ用坐标表示,再用坐标的关系求出λ2+μ2的值.【解答】解:(1)设椭圆方程为则直线AB的方程为y=x﹣c,代入,化简得(a2+b2)x2﹣2a2cx+a2c2﹣a2b2=0.令A(x1,y1),B(x2,y2),则.∵与共线,∴3(y1+y2)+(x1+x2)=0,又y1=x1﹣c,y2=x2﹣c,∴3(x1+x2﹣2c)+(x1+x2)=0,∴.即,所以a2=3b2.∴,故离心率.(II)证明:由(1)知a2=3b2,所以椭圆可化为x2+3y2=3b2.设M(x,y),由已知得(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2),∴∵M(x,y)在椭圆上,∴(λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b2.即λ2(x12+3y12)+μ2(x22+3y22)+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b2.①由(1)知.∴,∴x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1﹣c)(x2﹣c)=4x1x2﹣3(x1+x2)c+3c2==0.又x12+3y12=3b2,x22+3y22=3b2,代入①得λ2+μ2=1.故λ2+μ2为定值,定值为1.。

2005年高考.全国卷Ⅰ.文科数学试题精析详解(河北、河南、安徽、山西)

2005年高考.全国卷Ⅰ.文科数学试题精析详解(河北、河南、安徽、山西)
故离心率
(II)证明:(1)知 ,所以椭圆 可化为
设 ,由已知得
在椭圆上,
即 ①
由(1)知
又 ,代入①得
故 为定值,定值为1.
(Ⅰ)求 的通项;
(Ⅱ)求 的前n项和 。
21.本小题主要考查等比数列的基本知识,考查分析问题能力和推理能力,满分12分.
解:(Ⅰ)由 得

可得
因为 ,所以 解得 ,因而
(Ⅱ)因为 是首项 、公比 的等比数列,故
则数列 的前n项和
前两式相减,得

得分
评卷人
(22)(本大题满分14分)
已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在 轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点, 与 共线。
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
3.本卷共10小题,共90分。
得分
评卷人
二.本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上。
(13)若正整数m满足 ,则m =。
解:∵ ,∴ ,即 ,
∴ ,即 ,∴ .
(14) 的展开式中,常数项为。(用字作答
所表示的平面区域如右图所示, , ,
∴ ,故选B
(10)在 中,已知 ,给出以下四个论断:
① ②
③ ④
其中正确的是
(A)①③(B)②④(C)①④(D)②③
解:∵ , ,
∴ ,∴ ,
∵ ,∴①不一定成立,
∵ ,∴ ,∴②成立,
∵ ,∴③不一定成立,
∵ ,∴④成立,故选B.
(11)点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足 ,则点O是 的
(Ⅰ)求椭圆的离心率;

2005年全国高考数学试题全集

2005年全国高考数学试题全集
2005 年全国高考数学试题全集
目录
2005 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)......................................................2 2005 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(山东卷)....................................15 2005 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(山东卷)....................................25 2005 年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)(重庆卷)..................35 2005 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)(重庆卷)..................46 2005 年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)(浙江卷)..................58 2005 年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)(浙江卷)..........................69 2005 年普通高等学校春季招生考试数学(理工农医类)(北京卷)..........................77 2005 年普通高等学校春季招生考试数学(文史类)(北京卷)..................................87 2005 年上海市普通高等学校春季招生考试....................................................................95
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2005 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)
数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择)题两部分,满分 150 分.考试用时 120 分钟.
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2005山东卷试题及答案第Ⅰ卷(选择题 共60分)参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么 )()()(B P A P B A P +=+ 如果事件A 、B 相互独立,那么 )(B A P ⋅=)()(B P A P ⋅一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是最符合题目要求的(1){}n a 是首顶11a =,公差3d =的等差数列,如果2005n a =,则序号n 等于 (A )667 (B) 668 (C) 669 (D)670 (2)下列大小关系正确的是(A )30.440.43log 0.3<< (B)30.440.4log 0.33<< (C) 30.44log 0.30.43<< (D)0.434log 0.330.4<<(3)函数1(0)xy x x-=≠的反函数的图象大致是(A ) (B) (C) (D) (4)已知函数sin()cos(),1212y x x ππ=--则下列判断正确的是(A )此函数的最小正周期为2π,其图象的一个对称中心是(,0)12π(B) 此函数的最小正周期为π,其图象的一个对称中心是(,0)12π(C) 此函数的最小正周期为2π,其图象的一个对称中心是(,0)6π(D) 此函数的最小正周期为π,其图象的一个对称中心是(,0)6π(5)下列函数中既是奇函数,又是区间[]1,1-上单调递减的是(A )()sin f x x = (B) ()1f x x =-+ (C) 1()()2x x f x a a -=+ (D) 2()2x f x ln x-=+(6)如果(3n x -的展开式中各项系数之和为128,则展开式中31x的系数是 (A )7 (B) 7- (C) 21 (D)21-(7)函数2110,sin(),()0.,x x x f x x e π--<<⎧=⎨≥⎩若(1)()2,f f a +=则a 的所有可能值为(A ) 1 (B) 1,-(C) (D) 1 (8)已知向量,a b ,且2,56,72,AB a b BC a b CD a b =+=-+=-则一定共线的(A ) A、B 、D (B) A 、B 、C (C) B 、C 、D (D)A 、C 、D (9)设地球半径为R ,若甲地位于北纬045东经0120,乙地位于南纬度075东经0120,则甲、乙两地球面距离为(A (B)6R π (C)56R π(D) 23R π (10)10张奖券中只有3张有奖,5个人购买,每人1张,至少有1人中奖的概率是(A )310 (B) 112 (C) 12 (D)1112(11)设集合A 、B 是全集U 的两个子集,则AB 是)A B U =U (C(A ) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件(12)设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l ',若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B ,点P 为椭圆上的动点,则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为 (A ) 1 (B) 2 (C) 3 (D)4第Ⅱ卷(共100分)二、填空题:本大题共4小题, 每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上(13) 某学校共有教师490人,其中不到40岁的有350人, 40岁及以上的有140人,为了普通话在该校教师中的推广普及情况,用分层抽样的方法,从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试,其中在不到40岁的教师中应抽取的人数是__________(14)设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F,右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点,如果PQF ∆是直角三角形,则双曲线的离心率e =(15)设,x y 满足约束条件5,3212,03,0 4.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩则使得目标函数65z x y =+的值最大的点(,)x y 是_______(16)已知m 、n 是不同的直线,,αβ是不重合的平面,给出下列命题: ① 若//m α,则m 平行于平面α内的任意一条直线②若,,//,//,m n m n αββ⊂则//αβ③若,,//m n m n αβ⊥⊥,则//αβ④若//,,,m n αβαβ⊂⊂则//m n上面命题中,真命题的序号是____________(写出所有真命的序号)三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(17)(本小题满分12分)已知向量(cos ,sin )m θθ=和(2sin ,cos ),(,2)n θθθππ=-∈,且825m n +=,求cos()28θπ+的值(18) (本小题满分12分)袋中装有罴球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1个球,甲先取,乙后取,然后甲再取取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止ξ表示取球终止时所需的取球次数.(Ⅰ)求袋中原有白球的个数; (Ⅱ)求取球2次终止的概率; (Ⅲ)求甲取到白球的概率(19) (本小题满分12分)已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点,其中,,m n R ∈0m <.(Ⅰ)求m 与n 的关系表达式; (Ⅱ)求()f x 的单调区间;(20) (本小题满分12分)如图,已知长方体1111ABCD A B C D -,12,1AB AA ==,直线BD 与平面11AA B B 所成的角为030,AE 垂直BD 于,E F 为11A B 的中点.(Ⅰ)求异面直线AE 与BF 所成的角;(Ⅱ)求平面BDF 与平面1AA B 所成二面角(锐角)的大小; (Ⅲ)求点A 到平面BDF 的距离(21) (本小题满分12分)已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ,且521++=+n S S n n *)(N n ∈(I )证明数列{}1n a +是等比数列;(II )令212()n n f x a x a x a x =+++,求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '(22) (本小题满分14分)已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭,且与直线2p x =-相切,其中0p >.(I )求动圆圆心C 的轨迹的方程;(II )设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点,直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β,当,αβ变化且4παβ+=时,证明直线AB 恒过定点,并求出该定点的坐标12005山东卷试题及答案参考答案(13)50 (14 (15)()2,3) (16)③④ (17)(本小题满分12分)考查知识点:(三角和向量相结合) 解法一:(cos sin sin ),m n θθθθ+=-+(cos m n θ+====由已知825m n +=,得7cos()425πθ+= 又2cos()2cos ()1428πθπθ+=+-所以 216cos ()2825θπ+= ∵ 592,8288πθπππθπ<<∴<+<∴ cos()285θπ+=解法二:2222m n m m n n +=+⋅+22||||2m n m n =++⋅222[cos sin )sin cos ]θθθθ=+++4sin )θθ=+-4(1cos())4πθ=++28cos ()28θπ=+由已知825m n +=,得 4|cos()|285θπ+=∵ 592,8288πθπππθπ<<∴<+<,∴ cos()028θπ+<∴ cos()285θπ+=(18) (本小题满分12分)(考查知识点:概率及分布列) 解:(1)设袋中原有n 个白球,由题意知:2271(1)(1).767762n C n n n n C --===⨯⨯ 所以(1)6n n -=,解得3(n =舍去2)n =-,即袋中原有3个白球(Ⅱ)记“取球2次终止”的事件为A. 43()767p A ⨯==⨯(Ⅲ)记“甲取到白球”的事件为B ,因为甲先取,所以甲只有可能在第1次、第3次和第5次取球,则 ()p B P =(“1ξ=”,或“3ξ=”,或“5ξ=”). 因为事件“1ξ=”、“3ξ=”、“5ξ=”两两互斥,所以 361()(1)(3)(5)7353535P B P P P ξξξ==+=+==++=(19) (本小题满分12分)(考查知识点:函数结合导数) (Ⅰ)解:2()36(1)f x mx m x n '=-++.因为1x =是()f x 的一个极值点,所以(1)0f '=,即36(1)0m m n -++=. 所以3n m =+(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知22()36(1)363(1)(1)f x mx m x m m x x m ⎡⎤'=-+++=--+⎢⎥⎣⎦1当0m <时,有211>+,当x 变化时()f x 与()f x '的变化如下表: 由上表知,当0m <时,()f x 在(,1)m -∞+单调递减,在(1,1)m+单调递增,在(1,)+∞单调递减02当0m >时,有211m<+,当x 变化时()f x 与()f x '的变化如下表:由上表知,当0m >时,()fx 在(,1)-∞单调递增,在(1,1)m +单调递减,在(1,)m++∞单调递增(20) (本小题满分12分)(考查知识点:立体几何) 解法一:(向量法)在长方体1111ABCD A B C D -中,以AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴,1AA 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系如图.由已知12,1AB AA ==,可得(0,0,0),(2,0,0),(1,0,1)A B F . 又AD ⊥平面11AA B B ,从面BD 与平面11AA B B 所成的角即为030DBA <=又2,,1,3AB AE BD AE AD =⊥==从而易得1(,(0,223E D (Ⅰ)13(,,0),(1,0,1)22AE BF ==-cos ,AE BF AE BF AE BF∴<>=14-==即异面直线AE 、BF 所成的角为4(Ⅱ)易知平面1AA B 的一个法向量(0,1,0)m =设(,,)n x y z =是平面BDF 的一个法向量.(2,3BD =-由n BF n BD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 00n BF n BD ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩0203x x x y -+=⎧⎪⇒⎨-=⎪⎩x zy =⎧⎪⇒= 取(1,3,1)n =∴3cos ,15m n m n m n <>===⨯即平面BDF 与平面1AA B 所成二面角(锐角)大小为(Ⅲ)点A 到平面BDF 的距离,即AB 在平面BDF 的法向量n 上的投影的绝对值所以距离||cos ,d AB AB n =<>||||||AB nAB AB n =||||5AB n n ===所以点A 到平面BDF 5解法二:(几何法)(Ⅰ)连结11B D ,过F 作11B D 的垂线,垂足为K ,∵1BB 与两底面ABCD ,1111A B C D 都垂直,∴11111111FB BB FK B D FB B B D BB B ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭1平面BDD 又111AE BB AE BD AE B BB BD B ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭1平面BDD 因此//FK AE <∴BFK <为异面直线BF 与AE 所成的角连结BK ,由FK ⊥面11BDD B 得FK BK ⊥, 从而 BKF ∆为Rt1在 1Rt B KF ∆和111Rt B D A ∆中,由11111A D FK B F B D =得111111122ADAB AD B FFK B D BD====又BF =∴cos FK BFK BK <== ∴异面直线BF 与AE 所成的角为4(Ⅱ)由于AD ⊥面t AA B 由A 作BF 的垂线AG ,垂足为G ,连结DG ,由三垂线定理知BG ⊥∴AGD <即为平面BDF 与平面1AA B 所成二面角的平面角且90DAG <=,在平面1AA B 中,延长BF 与1AA ;交于点S∵F 为11A B 的中点1111//,,22A F AB A F AB =, ∴1A 、F 分别为SA 、SB 的中点 即122SA A A AB ===,∴Rt BAS ∆为等腰直角三角形,垂足G 点实为斜边SB 的中点F ,即F 、G 重合易得12AG AF SB ===Rt BAS ∆中,AD =∴tan 3AD AGD AG <=== ∴arctan3AGD <= 即平面BDF 于平面1AA B 所成二面角(锐角)的大小为arctan3(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面AFD 是平面BDF 与平面1AA B 所成二面角的平面角所在的平面B 1∴面AFD BDF ⊥面在Rt ADF ∆中,由A作AH ⊥DF 于H ,则AH 即为点A 到平面BDF 的距离 由AH DF=AD AF ,得2AD AFAH DF===所以点A 到平面BDF (21) (本小题满分12分)(考查知识点:数列)解:由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得()1121n n n n S S S S +--=-+,即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时,21215S S =++,所以2112a a a +=+又15a =所以211a =,从而(21121a a +=+故总有112(1)n n a a ++=+,*n N ∈ 又115,10a a =+≠,从而1121n n a a ++=+,即数列{}1n a +是以()116a +=为首项,2为公比的等比数列;(II )由(I )知321nn a =⨯- 因为212()n n f x a x a x a x =+++所以112()2n n f x a a x na x -'=+++从而12(1)2n f a a na '=+++=()()23212321(321)n n ⨯-+⨯-++⨯-=()232222n n +⨯++⨯-()12n +++=()1(1)31262n n n n ++-⋅-+.(22) (本小题满分14分)(考查知识点:圆锥曲线)B 1解:(I )如图,设M 为动圆圆心,,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭为记为F ,过点M 作直线2p x =-的垂线,垂足为N ,由题意知:MF MN =即动点M 到定点F 与定直线2p x =-的距离相等,由抛物线的定义知,点M 的轨迹为抛物线,其中,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点,2p x =-为准线,所以轨迹方程为22(0)y px P =>;(II )如图,设()()1122,,,A x y B x y ,由题意得12,0x x ≠,又直线OA,OB 的倾斜角,αβ满足4παβ+=,故0,4παβ<<,所以直线AB 的斜率存在,否则,OA,OB 直线的倾斜角之和为π 从而设AB 方程为y kx b =+,显然221212,22y y x x p p==, 将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ,得2220ky py pb -+= 由韦达定理知121222,p pb y y y y k k +=⋅=① 由4παβ+=,得1=tan tan()4παβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p +- 将①式代入上式整理化简可得:212p b pk=-,所以22b p pk =+, 此时,直线AB 的方程可表示为y kx =+22p pk +即()(2)20k x p y p +--= 所以直线AB 恒过定点()2,2p p -.。

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