第05章数列习题答案

第五章 数列习题答案
数列练习题 1
1．在等比数列an 中， a2
◆答案： 8 9
2 ， a3
ຫໍສະໝຸດ Baidu
3
3 ，则
a1 a7
a2011 a2017
为
★解析：数列{an}的公比为 q
a3 a2
3
3 2
，故 a1 a2011 a7 a2017
a1 a2011 q6 (a1 a2011)
1 q6
8. 9
所以 2Sn 2 2 22 3 23 4 2n (n 1)
将上面两式相减，得 Sn 2n (n 1) (2 2 22 2n1) 2n n
故
a 2014
22013 2015 2015
a1 a2 ... a2013 22013 2013 2013
6．实数列
2
k
1 2
1
k 1
2 k 1 1。即 n k 1时，结 2
2
论也成立。这就证明了结论。
7．设两个严格递增的正整数数列an ， bn 满足 a10 b10 2017，对任意正整数 n ，
有 an2 an1 an ， bn1 2bn ，则 a1 b1 的所有可能值为 ◆答案： 13， 20
2．等比数列 an 的各项均为正数，且 a1a3 a2a6 2a32 36则 a2 a4 的值为
◆答案： 6
★解析：由于 36 a1a3 a2a6 2a32 a22 a42 2a2a4 a2 a4 2 , 且 a2 a4 0, 故
a2 a4 6. 另解：设等比数列的公比为 q ，则 a2 a6 a1q a1q5. 又因
an
满足条件： a1
2 2
1， a2
2 1，
an1
an1
an
n an1
2，（ n 2）
，则通项公式 an
◆答案：
an
n 1 2
★解析：列举前几项可以猜得 an
n 1 ，接下来可以用归纳法证明，显然 n 1,2 时， 2
结论都成立，假定 n k 时，结论成立，
则 ak1
ak 1
k a k ak1
★解析：由条件可知， a1 ， a2 ， b1 均为正整数，且 a1 a2 。由于
2017 b10 29 b1 521b1 ，所以 b1 1,2,3，重复使用an 的递推关系可得：
a10 a9 a8 2a8 a7 3a7 2a6 34a2 21a1
因此 21a1 a10 b10 512b1 2b1 mod 34，而13 21 34 8 1，故
t 0,1,2,3 ，因此 b2,b3,b4 ， b5,b6,b7 的取法数为 C30 2 C31 2 C32 2 C33 2 20 ；接
下来，确定 b8,b9 ，有 22 4 种方式，最后由①知，应取 b1 1,2 使得 b1 b2 b9 为
a1 13 21a1 13 2b1 26b1mod34①
又 a1
a2 ，得 55a1
34a2
21a1
512b1 ，即 a1
512 55
b1
②
当 b1
1时，①②即 a1
26mod34 ， a1
512 55
，无解；
2
第五章 数列习题答案
当 b1
2
时，①②即
a1
52mod 34 ，
a1
1024 55
36 a1a3 a2a6 2a32 a1 a1q2 a1q a1q5 2 a1q2 2
a1q 2 2 a1q a1q3
a1q3
2
a1q a1q3
2
a2 a4
2,
而 a2 a4 0 ，从而 a2 a4 6.
3．已知数列 an 为等差数列，首项与公差均为正数，且 a2 , a5 , a9 依次成等比数列，则使
，解得
a1
18，此时
a1
b1
20
；
当 b1
3 时，①②即 a1
78mod34， a1
1
536 55
，解得
a1
10 ，此时 a1
b1
13 ；
综上所述， a1 b1 的所有可能值为13， 20 。
8．设整数数列 a1, a2 ,, a10 满足 a10 3a1 ， a2 a8 2a5 ，且 ai1 1 ai ,2 ai ，
◆答案： 32
★解析:易知直线 l
的方程为
y
3x
，因此对任意正整数 n
，有 an1
1 3
an
，故an 是
以
1 3
为公比的等比数列.于是 a3
1 3
a
2
2 ，由等比数列的性质知
a1a2a3a4a5 a35 32
1
第五章 数列习题答案
5．数列
an
满足 a1
2 ， an1
2(n 2) n 1
i 1,2,,9 ，则这样的数列的个数为
◆答案： 80
★解析：记 bi ai1 ai 1,2（ i 1,2,,9 ），则有 2a1 a10 a1 b1 b2 b9 ①
b2 b3 b4 a5 a2 a8 a5 b5 b6 b7 ②
下面用 t 表示 b2 , b3, b4 中 2 的项数。由②知， t 也是 b5, b6 , b7 中 2 的项数，其中
an ，（ n
N ）则
a1
a2014 a2 a2013
◆答案： 2015 2013
★解析：由题设 an
2(n 1) n
an1
2(n 1) n
2n n 1
a
n2
2(n 1) n
2n n 1
23 2
a1
2n1 (n
1)
记数列{an }的前 n 项和为 S n ，则 Sn 2 2 3 22 4 2n1(n 1)
得
a1 a2 ak 100a1 的最小正整数 k 的值是 ◆答案： 34
★解析：设数列an 的公差为 d ,则 a2 a1 d , a5 a1 4d , a9 a1 8d ．因为 a2 , a5 , a9
依次成等比数列，所以 a2a9 a52 ，即 (a1 d)(a1 8d) (a1 4d)2 ．化简上式得到： a1d 8d 2 ．又 d 0 ，所以 a1 8d ．由
a1 a2 a1
ak
a1k
k
(k 1) 2
d
k k(k 1)
100 ．
a1
16
解得 kmin 34 ．
4．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 通过原点， n (3,1) 是 l 的一个法向量．已知数列
an 满足：对任意正整数 n ，点 (an1, an ) 均在 l 上．若 a2 6 ，则 a1a2a3a4a5 的值为