专插本09高等数学真题及答案

2009年山东专升本(数学)真题试卷(题后含答案及解析)

2009年山东专升本（数学）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 填空题 2. 单选题 3. 计算题一 5. 综合题填空题1．A．B．C．D．正确答案：A解析：2．A．B．C．D．正确答案：D解析：3．A．B．C．D．正确答案：B解析：4．A．B．C．D．正确答案：B解析：5．A．B．C．D．正确答案：C解析：导数为零的点为驻点。

6．A．B．C．D．正确答案：A解析：7．A．B．C．D．正确答案：A解析：8．A．B．C．D．正确答案：A9．A．B．C．D．正确答案：B解析：10．A．B．C．D．正确答案：C解析：单选题11．正确答案：e解析：12．正确答案：x-2y-z=0解析：13．正确答案：单调递减14．正确答案：第一类间断点15．正确答案：解析：16．正确答案：2x+ 1/x解析：17．正确答案：解析：18．正确答案：x=1解析：19．正确答案：1解析：20．正确答案：y=2x2解析：计算题一21．正确答案：22．正确答案：23．正确答案：24．正确答案：25．正确答案：26．正确答案：27．正确答案：28．正确答案：29．正确答案：30．正确答案：综合题31．正确答案：32．正确答案：。

2009年陕西高校专升本招生高等数学试题

2009年陕西省在校生专升本招生高等数学试题一、选择题（每小题5分，共25分）1. 当0→x 时，函数ax x f sin )(=与)21ln()(x x g -=为等价无穷小，则常数a 的值为 A ．1- B ．0 C ．1 D ．22. 已知函数x x f sin )(=，则=)()2009(x fA ．x sinB ．x cosC ．x sin -D ．x cos - 3. 已知C x dx x f +=⎰2)(，则⎰=dx x f x)2(1（）A ．C x + B ．C x +2 C ．C x +21 D ．C x +44. 幂级数nn nx n ∑∞=⋅121的收敛域为A ．)2,2(-B ．)2,2[-C . ]2,2(- D. ]2,2[-5. 已知闭曲线4:22=+y x L ，则对弧长的曲线积分=-+⎰ds y x L)644(22A ．π40B ．π12C . π6 D. π4 二、填空题（每小题5分，共25）6. 定积分⎰-+112)sin 43(dx x x 的值为 .7. 极限∑=∞→nn nn e n111lim的值为 .8. 过点)1,1,1(且与向量}0,1,1{=a和}1,0,1{-=b 都垂直的直线方程为。

9. 微分方程0=+xy dxdy 的通解为____________.10. 已知函数)sin(2y x z =，则_________|),1(=πdz .三、计算题（每小题8分，共80分）11. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0012sin )(3x a x xe x xf x ，在0=x 连续，求常数a 的值.12. 设参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰tudu y t x 02cos 2确定函数)(x y y =，求22,dx y d dx dy . 13. 求函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=在点)1,1,1(--P 处沿从点P 到点)1,1,2(--Q 的方向导数.14. 设),(22y x xy f z -=，其中f 有二阶连续的偏导数，求2222yz xz ∂∂+∂∂.15. 设方程0)sin(00=--⎰⎰xy dt e dt e yyxt 确定函数)(x y y =，求dxdy .16. 求函数2123)(32+-=x x x f 的单调区间和极值。

2009年专升本高数二试卷及答案

------------------------2009年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(二)》试卷--------------------2009年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求.本题共有5个小题，每小题4分，共2０分） 1. 设()f x 的定义域为[]0,1,则函数1144f x f x ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域是( ).A []0,1 .B 15,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.C 11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.D 13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.2. 下列极限存在的是 ( ).A limsin x xx →∞ .B 1lim 2x x →∞.C 21lim 1n n n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.D 01lim 21x x →-. 3.()1cos d x -=⎰ （） .A 1cos x - .B sin x x c -+.C cos x c -+ .D sin x c +.4.下列积分中不能直接使用牛顿-莱布尼兹公式的是 ( ).A 4 0cot xdx π⎰ .B 1 011x dx e +⎰.C 4 0tan xdx π⎰ .D 1201x dx x +⎰.5.下列级数中发散的是( ).A ()1111n n n ∞-=-∑ .B ()111111n n n n ∞-=⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭∑.C ()11n n ∞-=-∑ .D 11n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑.报考学校：______________________报考专业：______________________姓名：准考证号： ------------------------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------二.填空题(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程, 本题共有10个小题，每小题4分,共40分)1.若lim (n n a k k →∞=为常数),则2lim _______________.n n a →∞=2. 设函数(),,x e f x a x ⎧=⎨+⎩ 00x x ≤>在点0x =处连续,则________________a =.3.曲线arctan y x =在横坐标为1的点处的切线斜率为_______________________.4. 设函数x y xe =,则()''0__________________y =.5. 函数sin y x x =-在区间[]0,π上的最大值是_____________________.6.若2x为()f x 的一个原函数，则()f x =__________________________. 7. sin 1_______________________.4dx π⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰ 8.()() ____________________________.aax f x f x dx -+-=⎡⎤⎣⎦⎰9.设()() xa x F x f t dt x a=-⎰,其中()f t 是连续函数,则()lim _________________.x a F x +→=10.微分方程'cot 2sin y y x x x -=的通解是________________________________.三.计算题( 本题共有10个小题，每小题6分,共60分)1.计算202lim .x x x e e x-→+- 解.2.设曲线()y f x =在原点与曲线sin y x =相切,求n . 解.3.设函数y =求.dy解.4.设()y y x =arctany xe =确定的隐函数,求dy dx. 解.5.计算1xxe dx e+⎰. 解.6.设 2 02sin cos tx u du y t⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰,求.dy dx 解.7.计算2.22dxx x +∞-∞++⎰解.------------------------2009年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(二)》试卷--------------------8.设(),1,x e f x x -⎧=⎨+⎩1001x x -≤<≤≤ ，求()() 1x x f t dt -Φ=⎰在[]1,1-上的表达式.解.9.求微分方程'tan 3y x y +=-满足初值条件02y π⎛⎫=⎪⎝⎭的特解. 解.10.求幂级数21113n n n x ∞-=∑的收敛域. 解.报考学校：______________________报考专业：______________________姓名：准考证号： ------------------------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------四.综合题(本题有3个小题，共30分,其中第1题14分，第2题8分，第3题8分) 1.求函数21x y x+=的单调区间,极值及其图形的凹凸区间. (本题14分)2.已知()() 01cos xx t f t dt x -=-⎰,证明：()2 01f x dx π=⎰. (本题8分)3.设曲线22y x x =-++与y 轴交于点P ,过P 点作该曲线的切线,求切线与该曲线及x 轴围成的区域绕x 轴旋转生成的旋转体的体积. (本题8分)2009年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(二)》参考答案及评分标准一.选择题 (每小题4分,共20分)1.D ,2.B ,3.C ,4.A ,5.D . 二.填空题(每小题4分,共40分) 1.k , 2.1, 3.12, 4.2, 5.0, 6.2ln 2x, 7.sin14x c π⎛⎫++ ⎪⎝⎭, 8.0, 9.()af a , 10.()2sin x c x +. 三.计算题(每小题6分,共60分) 1.解.原式=0lim 2x x x e e x-→- 3分=0lim 1.2x x x e e -→+= 6分2.解.由条件推得()()'00,11f f ==，2分于是()1220lim lim 220n n f f n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦5分=6分注：若按下述方法：原式()()112200'lim 1f x f x x ++→→⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解答者，只给4分.3.解.()3221'1y x ==+，5分()3221+dx dy x =.6分4.解.取对数()221ln arctan 2y x y x+=，2分两边求导数2222122'1'21x y y y x yx y x y x +-⋅=⋅+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 5分整理得'.x yy x y+=- 6分（第1页，共3页）5.解.原式=()11x xd e e++⎰3分()ln 1.x e c =++6分6.解法1.解法1.dy dy dtdxdx dt=3分222sin 2.sin t t t t -==-6分解法2.因为22sin ,2sin dx t dt dy t t dt ==-4分故2.dyt dx=- 6分7.解.原式()()2111d x x +∞-∞+=++⎰3分=()tan 1arc x +∞-∞+5分=.π6分8解.当10x -≤<时,() 1;xt x x e dt e e ---Φ==-⎰2分当01x ≤≤时,()()() 0211311.22xt x e dt t dt x e --Φ=++=++-⎰⎰ 5分故()()2,131,22x e e x x e -⎧-⎪Φ=⎨++-⎪⎩100 1.x x -≤<≤≤6分9.解法1. 分离变量,得到c o t .3dyxdx y =-+ 2分积分得到ln 3ln sin y x c +=-+或()3 sin cy c x=-∈R ，4分代入初值条件02y π⎛⎫=⎪⎝⎭,得到3c =.于是特解为 33.sin y x=- 6分解法 2. 解法 2.由()()(),p x dx p x dx y e q x e dx c -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰其中()()13,tan tan p x q x x x ==-，得到()3 sin cy c x=-∈R 4分代入初值条件02y π⎛⎫= ⎪⎝⎭,得到3c =.于是特解为3 3.sin y x =- 6分（第2页，共3页）10. 解.由121121321131lim lim3n nn n n n n nx ax a x +++-→∞→∞==,可知收敛半径R ,4分又当x =,对应数项级数的一般项为级数均发散, 故该级数的收敛域为(.6分四.综合题(第1小题14分,第2、3小题各8分, 共30分) 1.解.定义域(),0-∞及()0,+∞ ()34232',",x x y y x x ++=-= 令'0,y =得驻点12x =-,5分令"0,y =得23x =-,10分函数的单调增加区间为()2,0,-单调减少区间为(),2-∞-与()0,.+∞在2x =-处,有极小值14-.其图形的凹区间为()3,0-及()0,+∞,凸区间为(),3.-∞- 14分2.证明.两边对x 求导,得() 0sin ,xf t dt x =⎰4分再对x求导，得()c o s ,f x x =6分从而证得()22 0cos 1.f t dt xdx ππ==⎰⎰8分3.解.P 点处该曲线的切线方程为2y x =+,且与x轴的交于点()2,0A -2分曲线与x 轴交点()1,0B -和()2,0C ,因此区域由直线PA 和AB 及曲线弧 PB 所围成. 4分该区域绕x 旋转生成的旋转体的体积() 02218292330V x x dx πππ-=--++=⎰.8分注：若计算由直线PA 与AC 及曲线弧 PC所围成，从而 () 222 081362315V x x dx πππ=+-++=⎰者得6分.（第3页，共3页）。

09年专升本高数真题答案

12023年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学解析及【解析】析一、选择题（每小题2分,共计60分）1.解析D.【解析】:注意函数地定义范围、解析式,应选D. 2.解析C.【解析】: ()ln(f x x -=-+,()()ln(ln(ln10f x f x x x +-=-+==()()f x f x -=-,选C.3．解析D. 【解析】:11lim 11x x x +→-=-,11lim 11x x x -→-=--,应选D.4.解析C.【解析】:由等价无穷小量公式,应选C. 5.解析B.【解析】:00e 1lim ()lim1x x x f x x→→-==⇒0=x 是)(x f 地可去间断点,应选B. 6. 解析D. 【解析】:0(1)(1)1lim(1)1(1)222x f f x f f x →--''==-⇒=-,应选D.7.解析D. 【解析】:1(3)21()2f x x -=,(4)()f x =3214x --,应选D.8.解析A.2【解析】:0d 2cos 20d sin 2y t k x x x t =⇒=⇒==切,应选A. 9.解析B.【解析】:由d e ()e d x xf x x -⎡⎤=⎣⎦得2d e ()d(e )e ()e ()e e x x x x x xf x f x C f x C --⎡⎤=⇒=+⇒=+⎣⎦, 把(0)0f =代入得1C =-,所以2()e e x x f x =-,应选B.10.解析A.【解析】:根据可导与连续地关系知,应选A. 11.解析A.【解析】: 34486y x x '=-+,212480(2,2)y x x ''=-<⇒∈-,应选A. 12. 解析B.【解析】: e lim0xx x→-∞=,0e lim x x x →=∞,应选B. 13.解析D.【解析】: 根据极值点与驻点地关系和第二充分条件,应选D. 14. 解析A.【解析】:根据连续函数在闭区间上地性质及()()f a f b =地条件,在对应地开区间内至少有一个最值,应选A. 15.解析B.【解析】: ()1()ln f x x x '==⇒ 21()f x x'=-,应选B.16.解析C.【解析】: 2221(1)(1)(1)2xf x dx f x d x -=---⎰⎰=221(1)2x C --+,应选C. 17.解析D.【解析】: 根据定积分地保序性定理,应有22(1)x e dx x dx ≥+⎰⎰,应选D.18.解析C.3【解析】:因1ln ,1|ln |ln ,1x x x ex x e⎧-≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩,考察积分地可加性有 1111ln ln ln eeeexdx xdx xdx =-+⎰⎰⎰,应选C.19．解析C.【解析】:由广义积分性质和结论可知:21(ln )edx x x +∞⎰是2p =地积分,收敛地,应选C.20.解析C.【解析】:根据方程地特点是抛物面,又因两个平方项地系数相等,从而方程220x y z +-=在空间直角坐标系中表示地曲面是旋转抛物面,应选C. 21.解析D.【解析】:0(,)2a b a b a b π=⇒⊥⇒=,应选 D.22.解析A.【解析】:因{}2,7,3s =--,{}4,2,20n s n s n =--⇒⋅=⇒⊥⇒直线在平面内或平行但直线不在平面内.又直线上点(3,4,0)--不在平面内.故直线与平面地位置关系是平行但直线不在平面内,应选A. 23.解析B. 【解析】:原式00(,)(,)(,)(,)limlimh h f a h b f a b f a h b f a b h h→→+---=- 00(,)(,)(,)(,)limlim 2(,)x h h f a h b f a b f a h b f a b f a b h h→-→+---'=+=- 应选B. 24．解析D 【解析】:22()()()()2()()()x y x y d x y x y d x y xdy ydx z dz x y x y x y +-+-+--=⇒==---,应选D 25．解析D.【解析】:积分区{(,)|0,0(,)|0,02x y y a x r r a πθθ⎧⎫≤≤≤≤=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭有4(,)ady f x y dx ⎰20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ=⎰⎰,应选D.26.解析A.【解析】: 由格林公式知, (3)(2)228LDx y dx x y dy d S σ∆-+-=-=-=-⎰⎰⎰,应选A. 27.解析C.【解析】: 根据可分离变量微分地特点,220x y xdx e dy y++=可化为 22y x ye dy xe dx -=-知,应选C.28.解析A.【解析】: 由级数收敛地性质知,110nn u ∞=∑收敛,其他三个一定发散,应选A. 29.解析C.【解析】: 根据23ln(1),1123x x x x x +=-+--<≤可知,23ln(1),1123x x x x x -=-----≤<,应选C.30.解析B.【解析】: 令1x t -=,级数1(1)nn n a x ∞=-∑化为1n n n a t ∞=∑,问题转化为:2t =-处收敛,确定1t =处是否收敛.由阿贝尔定理知是绝对收敛地,故应选B.二、填空题（每小题2分,共30分）31.解析:⎪⎭⎫⎝⎛≠≠-21,121x x x x . 【解析】:()1[()](1,)1()122f x x f f x x x f x x ==≠≠--.32.解析:21.5【解析】:2211cos ()1cos 2220sin 00()1cos 12lim lim lim sin 2x x f x x x x x x x x f x x x x x x --→→→-==============. 33.解析:2ln .【解析】:因2223()221lim 12lim lim 1lim 1x xa axa x ax x a x x a a x a a x a e x x e x a e a a x x ⋅→∞-→∞→∞⋅--→∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭==== ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫- ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以有 38a e =ln 2a ⇒=.34.解析:1=a .【解析】:函数在(,)-∞+∞内处处连续,当然在0x =处一定连续,又因为0sin lim ()lim1;(0)x x xf x f a x→→===,所以0lim ()(0)1x f x f a →=⇒=.35.解析:043=+-y x . 【解析】:因2231340(1)3x y k y x y x =''=⇒==⇒-+=+. 36.解析:1=ξ.【解析】:(2)(0)()2121120f f f x x ξξ-'=-⇒-=⇒=-.37.解析:⎪⎭⎫⎝⎛41,0.【解析】:1()100,4f x x ⎛⎫'=-<⇒∈ ⎪⎝⎭,应填10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦或10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭或10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦. 38.解析:7.【解析】:222200()()()()2(2)(2)(0)7xf x dx xdf x xf x f x dx f f f ''''''==-=-+=⎰⎰⎰.39.解析:{}12,8,4-.【解析】:因向量b 与a 共线,b 可设为{},2,3k k k -,5649564a b k k k k ⋅=⇒++=⇒=,所以{}4,8,12b =-.40.解析:()222212y xe x ++.6【解析】:22222222222(12)x y x y x y z z z exe x e x x+++∂∂=⇒=⇒=+∂∂. 41.解析:()0,0.【解析】:40(,)(0,0)40fx y xx y f x y y ∂⎧=+=⎪∂⎪⇒=⎨∂⎪=-=∂⎪⎩.42．解析:0.【解析】:利用对称性知其值为0或232420cos sin 0Dx yd d r dr πσθθθ==⎰⎰⎰⎰.43.解析:()⎰⎰102,yydx y x f dy .【解析】:积分区域{{}2(,)|01,(,)|01,D x y x x y x y y y x y =≤≤≤≤=≤≤≤≤,则有21100(,)(,)yxydx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰.44.解析:x x x xe e C e C y ---+=41231.【解析】:230y y y '''--=地通解为312x x y C e C e -=+,根据方程解地结构,原方程地通解为31214x x x y C e C e xe --=+-.45.解析:1332+-n n .【解析】:当2n ≥时,3321(1)331n n n u S S n n n n -=-=--=-+.三、计算题（每小题5分,共40分）46．求011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭.【解析】:20001111lim lim lim 1(1)x x x x x x x e x e x x e x e x →→→----⎛⎫-== ⎪--⎝⎭0011limlim 222x x x e x x x →→-===. 47.设()y y x =是由方程ln sin 2xy e y x x +=确定地隐函数,求dxdy.7【解析】:方程两边对x 求导得()ln 2cos 2xy ye xy y x x x''++= 即 ()ln 2cos 2xy e x y xy y y x x x x ''+++= 2(ln )2cos 2xy xy x e x x y x x e xy y '+=--所以 dydx=22cos 2ln xy xy x x e xy y y x e x x --'=+. 48.已知2()x xf x dx e C -=+⎰,求1()dx f x ⎰. 【解析】:方程2()x xf x dx e C -=+⎰两边对x 求导得 2()2xxf x e-=-,即22()xe f x x--=,所以211()2x xe f x =-. 故22111()24x x dx xe dx xde f x =-=-⎰⎰⎰ 222211114448x x x x xe e dx xe e C =-+=-++⎰.49.求定积分44|(1)|x x dx --⎰.【解析】:4014441|(1)||(1)||(1)||(1)|x x dx x x dx x x dx x x dx ---=-+-+-⎰⎰⎰⎰01441(1)(1)(1)x x dx x x dx x x dx -=-+-+-⎰⎰⎰14322332401322332x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭641164118843323332=++-+--+=. 50.已知22xxy y z e +-= 求全微分dz .【解析】:因222222()(2)x xy y x xy y x z e x xy y e x y x+-+-∂'=+-=+∂,8222222()(2)x xy y x xy y y ze x xy y e x y y+-+-∂'=+-=-∂, 且它们在定义域都连续,从而函数22xxy y z e +-=可微,并有z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂22[(2)(2)]x xy y e x y dx x y dy +-=++-. 51.求(2)Dx y d σ+⎰⎰,其中区域D 由直线,2,2y x y x y ===围成.【解析】:积分区域D 如下图所示: 把D 看作Y 型区域,且有(,)|02,2y D x y y x y ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭故有22(2)(2)yy Dx y d dy x y dx σ+=+⎰⎰⎰⎰2222025()4y y x xy dy y dy =+=⎰⎰230510123y ==. 52.求微分方程22x y xy xe -'-=地通【解析】. 【解析】:这是一阶线性非齐次微分方程,它对应地齐次微分方程20y xy '-=地通【解析】为2x y Ce =, 设原方程地【解析】为2()x y C x e =代入方程得22()x x C x e xe -'=, 即有 22()x C x xe -'=,所以 222222211()(2)44x x x C x xe dx e d x e C ---==--=-+⎰⎰, 故原方程地通【解析】为2214x x y e Ce -=-+.53.求幂级数212nn n n x ∞=∑地收敛区间（考虑区间端点）. 【解析】:这是标准缺项地幂级数,考察正项级数212nn n n x ∞=∑,x y →=2yx因221112lim lim 22n n n n n nu n x l x u n ++→∞→∞+==⨯=,当212x l =<,即||x <时,级数212n n n nx ∞=∑是绝对收敛地；当212x l =>,即||x >,级数212n n n nx ∞=∑是发散地；当212x l ==,即x =,级数212nn n n x ∞=∑化为1n n ∞=∑,显然是发散地。

2009年河北专接本高等数学答案01

2009年数一 1、B 2、A评注：本题考察的是当0→x 时，12-x e与那个函数的比值的极限为13、B评注：本题考察的是向量的数量积. 4、C评注：本题考察的是函数的连续性及两个重要极限。

5、D评注：本题考察的是原函数及分部积分法⎰⎰⎰-==dx x f x xf x xdf dx x xf )()()()('6、A评注：本题考察的是二阶常系数微分方程的通解，特征方程：3,0322==--r r r 或1-，通解为。

7、B 8、A评注：本题考察的是二元函数的连续性、偏导数及可微的关系。

9、D评注：本题考查的是方阵及行列式的性质。

63,2,3,,3,2,3313213321=+=+=a a a a a a a a a a B10、D二、填空题。

11、)1(323t e t+- 评注：本题考察的是参数方程的导数。

12、132142--=-=-z y x 评注：本题考查的是函数的偏导数及空间直线方程。

13、⎰⎰21),(x dy y x f dx14、41-x 三、计算题。

15、解21yf f xz+=∂∂，2221212112xyf yf f xf f y x z ++++=∂∂∂ 16、解⎰⎰+=∴+====--)(2)(2)(,2)(2222C x ey C xxdx dx x p xe x q x x p x x评注：本题考察的是一阶线性微分方程的通解。

17、解425arctan 25arctan )21()(1)1(1)(10201021102122π-+=+=+++=+++=⎰⎰⎰⎰-e e x x dx e e dx x dx e e dx x f x x x x x评注：本题考察的是分段函数的定积分。

18、令t x =-2，原级数化为∑∞=+∞→+∞→=+====11131)1(33,3lim lim n n n n n n n n n n n a a nt ρ ∑∞===∴133,3,3n n n n t R 当发散；∑∞=--=1)1(,3n nn t 当收敛∴ 收敛域[),3,3-∈t 即[)5,1-∈x19、解设022:1=-++z y x π的法向量)2,1,1(1=n012:2=+++z y x π的法向量)1,2,1(2=n设直线的方向向量为s ，则)1,1,3(312121121-=++-==⨯=k j i kj i n n s所求平面方程0)1()2()1(3=-+-+--z y x 即03=--z y x评注：本题考察的是空间平面方程。

2009年江苏专转本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)

2009年江苏专转本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知：则常数a，b的取值分别为( )A．z=-1，b=-2B．a=-2，b=0C．a=-1，b=0D．a=-2，b=-1正确答案：A解析：由已知得+ax+b=0，4+2a+b=0，+a=4+a=3解得a=-1，b=-2．2．已知函数f(x)=则x=2为f(x)的( )A．跳跃间断点B．可去间断点C．无穷间断点D．震荡间断点正确答案：B解析：由于，所以x=2为f(x)的可去间断点．3．设函数在点x=0处可导，则常数a的取值范围为( )A．0＜a＜1B．0＜a≤1C．a＞1D．a≥1正确答案：C解析：由已知f(x)在点x=0处可导,则存在，所以a-1＞0，即a＞1．4．曲线的渐近线的条数为( )A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：两条，一条垂直渐近线，一条水平渐近线．5．设F(x)=ln(3x+1)是函数f(x)的一个原函数，则f’(2x+1)dx=( )A．B．C．D．正确答案：D解析：由已知f(x)=F’(x)=，则∫f’(2x+1)dx=∫f’(2x+1)d(2x+1)=f(2x+1)+C=6．设a为非零常数，则数项级数( )A．条件收敛B．绝对收敛C．发散D．敛散性与a有关正确答案：C解析：，故原级数发散．填空题7．已知，则常数C=_____．正确答案：ln2解析：所以C=ln2．8．设函数φ(x)=∫02xtetdt，则φ’(x)=______．正确答案：4xe2x解析：利用变上限积分求导，φ’(x)=2xe2x.2=4xe2x．9．已知向量a=(1，0，-1)，b=(1，-2，1)，则a+b与a的夹角为_____．正确答案：解析：利用向量夹角公式10．设函数z=z(x，y)由方程xz2+yz=1所确定，则_______．正确答案：解析：隐函数求导，方程两边对x求导，得z2+x.2z.zx+zx.y=0，整理得zx=11．若幂级数(a＞0)的收敛半径为，则常数a=______．正确答案：2解析：根据所给幂级数an=(2n-1) 收敛半径R=所以a=2．12．微分方程(1+x2)ydx-(2-y)xdy=0的通解为_____．正确答案：2ln｜y｜-y=ln｜x｜+x2+C解析：这是一个可分离变量的常微分方程，分离变量得，化简得(+x)dx=(-1)dy．两边积分得2ln｜y｜-y=ln｜x｜++C 解答题解答时应写出推理、演算步骤。

09年专升本高数真题答案

共 10 页，第 1 页2009年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学答案及【解析】析一、选择题（每小题2分，共计60分）1.答案D.【解析】：注意函数的定义范围、解析式，应选D.2.答案C.【解析】:，()ln(f x x -=-()()ln(ln(ln10f x f x x x +-=-++==，选C.()()f x f x -=-3．答案D.【解析】：，，应选D.11lim 11x x x +→-=-11lim 11x x x -→-=--4.答案C.【解析】：由等价无穷小量公式，应选C.5.答案B.【解析】：是的可去间断点,应选B.00e 1lim ()lim 1x x x f x x→→-==⇒0=x )(x f 6. 答案D.【解析】：，应选D.(1)(1)1lim(1)1(1)222x f f x f f x →--''==-⇒=-7.答案D.【解析】：，，应选D.1(3)21()2f x x -=(4)()f x =3214x --8.答案A.共 10 页，第 2 页【解析】：，应选A.0d 2cos 20d sin y t k x x x t =⇒=⇒==切9.答案B.【解析】:由得d e ()e d x xf x x -⎡⎤=⎣⎦，2d e ()d(e )e ()e ()e e x x x x x xf x f x C f x C --⎡⎤=⇒=+⇒=+⎣⎦把代入得,所以,应选B.(0)0f =1C =-2()e e x x f x =-10.答案A.【解析】:根据可导与连续的关系知，应选A.11.答案A.【解析】: ，，应选A.34486y x x '=-+212480(2,2)y x x ''=-<⇒∈-12. 答案B.【解析】: ，，应选B.e lim 0x x x →-∞=0e lim xx x→=∞13.答案D.【解析】: 根据极值点与驻点的关系和第二充分条件，应选D.14. 答案A.【解析】:根据连续函数在闭区间上的性质及的条件,在对应的开区间内至少有一个最值,()()f a f b =应选A.15.答案B.【解析】: ,应选B.()1()ln f x x x '==⇒21()f x x'=-16.答案C.【解析】: =,应选C.2221(1)(1)(1)2xf x dx f x d x -=---⎰⎰221(1)2x C --+17.答案D.【解析】: 根据定积分的保序性定理，应有，应选D.22(1)x e dx x dx ≥+⎰⎰18.答案C.共 10 页，第 3 页【解析】:因,考察积分的可加性有1ln ,1|ln |ln ,1x x x ex x e⎧-≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩，应选C.1111ln ln ln eeeex dx xdx xdx =-+⎰⎰⎰19．答案C.【解析】:由广义积分性质和结论可知:是的积分,收敛的,应选C.21(ln )edx x x +∞⎰2p =20.答案C.【解析】:根据方程的特点是抛物面,又因两个平方项的系数相等,从而方程在空间直角220x y z +-=坐标系中表示的曲面是旋转抛物面,应选C.21.答案D.【解析】:,应选D.0(,)2a b a b a b π=⇒⊥⇒= :22.答案A.【解析】:因,直线在平面内或平行但直线不在平面{}2,7,3s =-- {}4,2,20n s n s n =--⇒⋅=⇒⊥⇒内.又直线上点不在平面内.故直线与平面的位置关系是平行但直线不在平面内,应选A.(3,4,0)--23.答案B.【解析】:原式00(,)(,)(,)(,)limlim h h f a h b f a b f a h b f a b h h→→+---=-00(,)(,)(,)(,)limlim 2(,)x h h f a h b f a b f a h b f a b f a b h h→-→+---'=+=-应选B.24．答案D 【解析】：，应选D 22()()()()2()()()x y x y d x y x y d x y xdy ydx z dz x y x y x y +-+-+--=⇒==---25．答案D.【解析】:积分区有{(,)|0,0(,)|0,02x y y a x r r a πθθ⎧⎫≤≤≤≤=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭(,)ady f x y dx⎰共 10 页，第 4 页,应选D.20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ=⎰⎰26.答案A.【解析】: 由格林公式知, ，(3)(2)228LDx y dx x y dy d S σ∆-+-=-=-=-⎰⎰⎰:应选A.27.答案C.【解析】: 根据可分离变量微分的特点,可化为220x y xdx e dy y++=知,应选C.22y x ye dy xe dx -=-28.答案A.【解析】: 由级数收敛的性质知,收敛,其他三个一定发散,应选A.110nn u ∞=∑29.答案C.【解析】: 根据可知,23ln(1),1123x x x x x +=-+--<≤ ,应选C.23ln(1),1123x x x x x -=-----≤< 30.答案B.【解析】: 令,级数化为,问题转化为:处收敛,确定处是否收敛.1x t -=1(1)nn n a x ∞=-∑1n n n a t ∞=∑2t =-1t =由阿贝尔定理知是绝对收敛的,故应选B.二、填空题（每小题2分，共30分）31.答案：.⎪⎭⎫ ⎝⎛≠≠-21,121x x x x 【解析】：.()1[()](1,)1()122f x x f f x x x f x x ==≠≠--32.答案：.21共 10 页，第 5 页【解析】：.2211cos ()1cos 2220sin 00()1cos 12limlim lim sin 2x x f x x x x x x x x f x x x x x x --→→→-==============:::33.答案：.2ln 【解析】：因，2223()221lim 12lim lim 1lim 1x xa axa x ax x a x x a a x a a x a e x x e x a e a a x x ⋅→∞-→∞→∞⋅--→∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭==== ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫- ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭所以有 .38a e =ln 2a ⇒=34.答案：.1=a 【解析】：函数在内处处连续，当然在处一定连续，又因为(,)-∞+∞0x =，所以.0sin lim ()lim1;(0)x x xf x f a x→→===0lim ()(0)1x f x f a →=⇒=35.答案：.043=+-y x 【解析】：因.2231340(1)3x y k y x y x =''=⇒==⇒-+=+36.答案：.1=ξ【解析】：.(2)(0)()2121120f f f x x ξξ-'=-⇒-=⇒=-37.答案：.⎪⎭⎫⎝⎛41,0【解析】：,应填或或或.1()100,4f x x ⎛⎫'=<⇒∈ ⎪⎝⎭10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭10,4⎛⎤⎥⎝⎦38.答案：.7【解析】：.222200()()()()2(2)(2)(0)7xf x dx xdf x xf x f x dx f f f ''''''==-=-+=⎰⎰⎰39.答案：.{}12,8,4-【解析】：因向量与共线,可设为，b a b{},2,3k k k -,所以.5649564a b k k k k ⋅=⇒++=⇒={}4,8,12b =- 40.答案：.()222212y xe x ++共 10 页，第 6 页【解析】：.22222222222(12)x y x y x y z z z e xe x e x x+++∂∂=⇒=⇒=+∂∂41.答案：.()0,0【解析】：.40(,)(0,0)40fx y xx y f x y y∂⎧=+=⎪∂⎪⇒=⎨∂⎪=-=∂⎪⎩42．答案：0.【解析】：利用对称性知其值为0或.232420cos sin 0Dx yd d r dr πσθθθ==⎰⎰⎰⎰43.答案：.()⎰⎰102,yydx y x f dy 【解析】：积分区域,{{}2(,)|01,(,)|01,D x y x x y x y y y x y =≤≤≤≤=≤≤≤≤则有.21100(,)(,)yxydx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰44.答案：.xx x xe e C e C y ---+=41231【解析】：的通解为，根据方程解的结构,原方程的通解为230y y y '''--=312x x y C e C e -=+.31214x x x y C e C e xe --=+-45.答案：.1332+-n n 【解析】：当时,.2n ≥3321(1)331n n n u S S n n n n -=-=--=-+三、计算题（每小题5分，共40分）46．求.011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭ 【解析】：20001111lim lim lim1(1)x x x x x x x e x e x x e x e x →→→----⎛⎫-== ⎪--⎝⎭.0011lim lim 222x x x e x x x →→-===47.设是由方程确定的隐函数，求.()y y x =ln sin 2xy e y x x +=dxdy共 10 页，第 7 页【解析】：方程两边对求导得x ()ln 2cos 2xy ye xy y x x x''++= 即 ()ln 2cos 2xy e x y xy y y x x x x ''+++= 2(ln )2cos 2xy xy x e x x y x x e xy y'+=--所以 .dydx=22cos 2ln xy xy x x e xy y y x e x x --'=+ 48.已知，求.2()x xf x dx e C -=+⎰1()dx f x ⎰【解析】：方程两边对求导得2()x xf x dx e C -=+⎰x ，即，2()2xxf x e-=-22()xe f x x--=所以.211()2x xe f x =- 故22111()24x xdx xe dx xde f x =-=-⎰⎰⎰ .222211114448x x x x xe e dx xe e C =-+=-++⎰49.求定积分.44|(1)|x x dx --⎰【解析】：4014441|(1)||(1)||(1)||(1)|x x dx x x dx x x dx x x dx---=-+-+-⎰⎰⎰⎰ 01441(1)(1)(1)x x dx x x dx x x dx-=-+-+-⎰⎰⎰ 014322332401322332x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.641164118843323332=++-+--+=50.已知求全微分.22xxy y z e +-=dz 【解析】：因,222222()(2)x xy y x xy y x z ex xy y e x y x+-+-∂'=+-=+∂共 10 页，第 8 页,222222()(2)x xy y x xy y y ze x xy y e x y y+-+-∂'=+-=-∂且它们在定义域都连续，从而函数可微，并有22xxy y z e +-=.z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂22[(2)(2)]x xy y e x y dx x y dy +-=++-51.求，其中区域由直线围成.(2)Dx y d σ+⎰⎰D ,2,2y x y x y ===【解析】：积分区域如图所示：D 把看作Y 型区域，且有D (,)|02,2y D x y y x y ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭故有22(2)(2)yy Dx y d dy x y dxσ+=+⎰⎰⎰⎰.2222025()4y y x xy dy y dy =+=⎰⎰230510123y ==52.求微分方程的通【解析】.22x y xy xe -'-=【解析】：这是一阶线性非齐次微分方程，它对应的齐次微分方程的通【解析】为，20y xy '-=2x y Ce =设原方程的【解析】为代入方程得,2()x y C x e =22()x x C x e xe -'= 即有，22()x C x xe -'=所以 ,222222211()(2)44x x x C x xe dx e d x e C ---==--=-+⎰⎰ 故原方程的通【解析】为.2214x x y e Ce -=-+53.求幂级数的收敛区间（考虑区间端点）.212nn n n x ∞=∑【解析】：这是标准缺项的幂级数，考察正项级数，212nn n n x ∞=∑x y→=2yx因,221112lim lim 22n n n n n nu n x l x u n ++→∞→∞+==⨯= 当，即是绝对收敛的；212x l =<||x <212n n n n x ∞=∑ 当，即是发散的；212x l =>||x >212n n n n x ∞=∑ 当，即化为，显然是发散的。

2009年江苏专转本高等数学真题（附答案）

2009年江苏专转本⾼等数学真题（附答案）2009年江苏省普通⾼校“专转本”统⼀考试⾼等数学⼀、单项选择题（本⼤题共6⼩题，每⼩题4分，满分24分） 1、已知32lim 22=-++→x b ax x x ，则常数ba ,的取值分别为（）A 、2,1-=-=b aB 、0,2=-=b aC 、0,1=-=b aD 、1,2-=-=b a2、已知函数423)(22-+-=x x x x f ，则2=x 为)(x f 的 A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、⽆穷间断点 D 、震荡间断点3、设函数??>≤=0,1s i n 0,0)(x x x x x f α在点0=x 处可导，则常数α的取值范围为（） A 、10<<α B 、10≤<αC 、1>αD 、1≥α 4、曲线2)1(12-+=x x y 的渐的条数为（） A 、1B 、2C 、3D 、45、设)13l n ()(+=xx F 是函数)(x f 的⼀个原函数，则=+?dx x f )12('（） A 、C x ++461B 、C x ++463C 、C x ++8121D 、C x ++81236、设α为⾮零常数，则数项级数∑∞=+12n n n α（）A 、条件收敛D 、敛散性与α有关⼆、填空题（本⼤题共6⼩题，每⼩题4分，满分24分） 7、已知2)( lim =-∞→xx Cx x ，则常数=C . 8、设函数dt te x x t ?=20)(?，则)('x ?＝.9、已知向量)1,0,1(-=→a ，)1,2,1(-=→b ，则→→+b a 与→a 的夹⾓为.10、设函数),(y x z z =由⽅程12=+yz xz 所确定，则xz＝. 11、若幂函数)0(12>∑∞=a x na nn n 的收敛半径为21，则常数=a .12、微分⽅程0)2()1(2=--+xdy y ydx x 的通解为.三、计算题（本⼤题共8⼩题，每⼩题8分，满分64分）13、求极限：xx x x sin lim 30-→14、设函数)(x y y =由参数⽅程-+=+=32)1ln(2t t y t x 所确定，，求22,dx yd dx dy . 15、求不定积分：?-10222dx xx .17、求通过直线12213-=-=z y x 且垂直于平⾯02=+++z y x 的平⾯⽅程. 18、计算⼆重积分Dyd σ，其中}2,2,20),{(22≥+≤≤≤≤=y x y x x y x D . 19、设函数),(sin xy x f z =，其中)(x f 具有⼆阶连续偏导数，求yx z2.20、求微分⽅程x y y =-''的通解.四、综合题（本⼤题共2⼩题，每⼩题10分，满分20分）21、已知函数13)(3+-=x x x f ，试求：（1）函数)(x f 的单调区间与极值；（2）曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点；（3）函数)(x f 在闭区间]3,2[-上的最⼤值与最⼩值.22、设1D 是由抛物线22x y =和直线0,==y a x 所围成的平⾯区域，2D 是由抛物线22x y =和直线2,==x a x 及0=y 所围成的平⾯区域，其中20<（1）1D 绕y 轴旋转所成的旋转体的体积1V ，以及2D 绕x 轴旋转所成的旋转体的体积2V . （2）求常数a 的值，使得1D 的⾯积与2D 的⾯积相等.五、证明题（本⼤题共2⼩题，每⼩题9分，满分18分）23、已知函数≥+<=-0,10,)(x x x e x f x ，证明函数)(x f 在点0=x 处连续但不可导.24、证明：当21<-+>x x x x .2009年江苏省普通⾼校“专转本”统⼀考试⾼等数学参考答案 1、A 2、B 3、C 4、B 5、D 6、C 7、2ln 8、xxe 249、3π 10、yxz z +-22 11、2 12、C y y x x +-=+ln 221ln 2030=-=-→→xx x x x x x ，. 14、dt t dy dt tdx )22(,11+=+=，2)1(211)22(+=++=t dt tdt t dx dy ， 222)1(411)1(4+=++==t dt tdt t dx dx dyddx y d .15、令21,122-==+t x t x ，dt t t t t td tdt t dx x +-=-=?=+cos cos cos sin 12sinC x x x C t t t +++++-=++-=12sin 12cos 12sin cos16、令θsin 2=x ，当0,0==θx ；当4,1πθ==x .21404)2sin 21()2cos 1(cos 2cos 2sin 224421022-=-=-==-ππd d dx x x17、已知直线的⽅向向量为)1,2,3(0=s ，平⾯的法向量为)1,1,1(0=n .由题意，所求平⾯的法向量可取为)1,2,1(111123)1,1,1()1,2,3(00-==?=?=kj in s n .⼜显然点)2,1,0(在所求平⾯上，故所求平⾯⽅程为0)2(1)1)(2()1(1=-+--+-z y x ，即02=+-z y x . 18、-===242cos 222242)sin 22csc 8(31sin sin ππθππθθθρρθθθρθρσd d d d d yd DD242)cos 22cot 8(31=+-=ππθθ19、y f x f x z ?+?=??'2'1cos ；''22''12'22cos xyf f x x f yx z +?+= 20、积分因⼦为.1)(2ln 22xe==?=--µ 化简原⽅程22x y xy +=，为.2x x y dx dy =- 在⽅程两边同乘以积分因⼦21x ，得到.1232x xy dx x dy =- 化简得：.1)(2xdx y x d =-等式两边积分得到通解??=-.1)(2dx xdx y x d 故通解为C x x x y 22ln +=21、（1）函数)(x f 的定义域为R ，33)(2'-=x x f ，令0)('=x f 得1±=x ，函数)(x f 的单调增区间为),1[,]1,(∞+--∞，单调减区间为]1,1[-，极⼤值为3)1(=-f ，极⼩值为1)1(-=f .（2）x x f 6)(''=，令0)(''=x f ，得0=x ，曲线)(x f y =在]0,(-∞上是凸的，在),0[∞+上是凹的，点)1,0(为拐点.（3）由于3)1(=-f ，1)1(-=f ，19)3(=f ，故函数)(x f 在闭区间]3,2[-上的最⼤值为19)3(=f ，最⼩值为1)2()1(-=-=f f . 22、（1）4 20222122a dy x a a V a πππ=-=. )32(54)2(52222a dy x V a -==?ππ.（2）).8(322.32232223021a dx x A a dx x A a a-=====-→→--xx x e x f ，1)1(lim )(lim 0=+=++→→x x f x x ，且1)0(=f ，所以函数)(x f 在0=x 处连续。

2009年专升本(高等数学一)真题试卷(题后含答案及解析)

2009年专升本（高等数学一）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．A．0B．2/3C．1D．3/2正确答案：A解析：本题考查的知识点为无穷小量的性质：有界变量与无穷小量之积仍为无穷小量．当x→∞时，1/3x→0，即1/3x为无穷小量，又sin2x为有界变量：-1≤sin2x≤1．由有界变量与无穷小量之积仍为无穷小量可知故选A．2．A．-2B．-1C．1D．2正确答案：B解析：本题考查的知识点为连续的性质：函数f(x)在点x0处连续的充分必要条件是f(x)在点x0左连续且右连续．所给函数f(x)为分段函数，x=1为分段点，在x=1两侧f(x)的表达式不同．应考虑左连续与右连续．注意f(1)=-1．f(x)在点x=1处连续，必有，因此a=1，故选B．3．A．2x-2eB．2x-e2C．2x-eD．2x正确答案：D解析：本题考查的知识点为导数的运算．y=x2-e2，则y’=(x2)’-(e2)’=2x-0=2x．[错误防范] 有些考生没能将e认定为常量，忘记常量的导数为零，错误地选A．4．A．B．C．D．正确答案：C解析：本题考查的知识点为复合函数的微分运算．由于y=e-3x，可得故选C．5．A．1B．1/3C．0D．-1/3正确答案：B解析：本题考查的知识点为复合函数求导运算，在某点处的导数值．故选B．6．A．f(2x)B．2f(x)C．-f(2x)D．-2f(x)正确答案：A解析：本题考查的知识点为可变上限积分求导：若f(x)为连续函数，则F’(x)=，即可变上限的导数为被积函数在上限处值．因此故选A．[错误防范] 有些考生误选B．如果令f1(2t)=f1(x)．则上述错误可以避免．7．A．sinx+CB．-sinx+CC．cosx+CD．-cosx+C正确答案：D解析：本题考查的知识点为不定积分基本公式．∫sinxdx=-cosx+C．故选D．8．A．2x+1B．2xy+1C．x2+1D．2xy正确答案：B解析：本题考查的知识点为偏导数计算．求时，只需将y认定为常量，依一元函数求导法则运算．由于z=x2y+x-3，因此，故选B．9．A．B．C．D．正确答案：C解析：本题考查的知识点为正项级数的比较判别法．由正项级数的比较判别法可知：若与都为正项级数，且un＜vn(n=1，2，…)，则当收敛时，必定收敛．故选C．10．A．B．C．D．正确答案：C解析：本题考查的知识点为求解可分离变量方程．可得，故选C．填空题11．=______．正确答案：e-1解析：本题考查的知识点为重要极限公式．12．______．正确答案：0解析：本题考查的知识点为极限运算．所求极限的表达式为分式，其分母的极限不为零．因此13．设y=e-x，则y“=______”．正确答案：e-x解析：本题考查的知识点为二阶导数运算．14．设，则y’=______．正确答案：解析：本题考查的知识点为导数运算．由于所给函数为分式，由商的求导法则可得15．∫(1-2x)dx=______．正确答案：x-x2+C．解析：本题考查的知识点为不定积分计算．∫(1-2x)dx=∫dx-∫2xdx=x-x2+C．16．=______．正确答案：解析：本题考查的知识点为定积分的换元积分法．设t=x/2，则x=2t，dx=2dt．当x=0时，t=0；当x=π时，t=π/2．因此17．设z=sin(y-x2)，则=______．正确答案：COS(y-x2)．解析：本题考查的知识点为偏导数运算．求时，只需将x认定为常量．z=sin(y-x2)，因此18．过点M0(1，-1，0)且与平面x-y+3z=1平行的平面方程为______．正确答案：(x-1)-(y+1)+3z=0(或x-y+3z=2)．解析：本题考查的知识点为平面方程．已知平面π1：x-y+3z=1的法线向量n1=(1，-1，3)．所求平面π与π1，平行，则平面π的法线向量n∥n1，可取n=(1，-1，3)，由于所给平面过点M0(1，-1，0)．由平面的点法式方程可知所求平面方程为(x-1)-[y-(-1)]+3(z-0)=0，即(x-1)-(y+1)+3z=0，或写为x-y+3z=2．19．设区域D={(x，y)|-1≤x≤1，0≤y≤2}，则______．正确答案：4。

2009年河北省专接本数学三(管理类)真题试卷(题后含答案及解析)

2009年河北省专接本数学三（管理类）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知的定义域是( )．A．[一4，4]B．[一4，4)C．(一4，4)D．(一4，4]正确答案：D2．极限( )．A．e-1B．eC．e-2D．e2正确答案：D解析：本题考察的是第二个重要极限，3．当x→0时，下列函数中与sin(x2)等价的无穷小量是( )．A．xB．x2C．sinxD．1一cox正确答案：B解析：本题考察的是等级无穷小的概念．4．设函数f(x)=ln(x2+1)，则=( )．A．0B．1C．-1D．2正确答案：B解析：本题考察的是点导数的定义及求导公式．5．设函数f(x)=x3一3x，则下列叙述正确的是( )．A．x=一1，x=1都是函数f(x)的极小值点；B．x=-1，x=1都是函数f(x)的极大值点；C．x=-1，是f(x)的极大值，x=1都是函数f(x)的极小值点；D．x=-1，是f(x)的极小值，x=1都是函数f(x)的极大值点；正确答案：C解析：本题考察的是极大(小)值的判定，利用f’’(x)=6x的符号判定．6．不定积分∫sinxcosxdx=( ).A．B．C．D．正确答案：B解析：本题考察的是不定积分的分部积分法．7．由曲线y=e-x与两坐标轴及直线x=1所围成的平面图形的面积是( )? A．1一eB．e一1C．1一e-1D．e-1一1正确答案：C解析：本题考察的是用元素法求平面图形的面积．8．微分方程的通解是( )．A．y=c(x+1)2B．y=(x+1)2+eC．y=2(x+1)2+cD．y=(x)c+1)2正确答案：A解析：本题是求变量可分离方程的通解．9．下列无穷级数中，条件收敛的是( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：本题考察的是条件收敛的定义．10．若行列式则k=( ) A．3B．5C．-5D．3正确答案：D解析：本题考察的是三阶行列式的计算．填空题11．极限=__________.正确答案：0解析：本题考察的是罗比达法则求极限．12．矩阵则A-1=______________.正确答案：解析：本题考察的是求矩阵的逆矩阵．13．幂级数的收敛域是__________.正确答案：[0，2)14．曲线y=arcsin(x+1)在x=-1处的切线方程为___________.正确答案：x—y+1=0解析：本题考察的是函数的导数解答题解答时应写出推理、演算步骤。

2009年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(二)》试卷及答案

解法 4 分故 2. 因
3
分
dy dy dt 1. dx dx dt 2 2t sin t 2t. sin t 2
为
dx sin t 2 dt , dy 2t sin t 2dt
dy 2t. dx
6 分
7. 解 . 原式

d 1 x 1 1 x
1 y x ' ， x2
y
5 分
整理得
y'
（第 1 页，共 3 页）
x y . x y
6 分
5. 解 . 原式 =

d 1 e x 1 ex
3 分 ln 1 e x c.
6 分
6. 解法 1. 解法

6 分
x
5. 函数 y sin x x 在区间 0, 上的最大值是 _____________________ .
6.若 2 为 f x 的一个原函数，则 f x __________________________.
x
7.
sin 1dx _______________________ . 4
得分
阅卷人
2.设曲线 y f x 在原点与曲线 y sin x 相切,求 lim n
n
2 f . n
解.
3.设函数 y 解.
x 1 x2
, 求 dy.
4.设 y y x 是由方程 x y e
2 2
arctan
y x
确定的隐函数,求
dy . dx
1.解.定义域 , 0 及 0,
y'
令令

2009年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(二)》试卷答案解析

2009年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》参考答案选择题部分一、选择题: 本大题共5小题,每小题4分,共 20分。

1.D 解析:根据抽象函数的定义域可知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+≤14101410x x ，解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤-45414341x x ，取交集后可得解集：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤4341x x ，因此选项D 正确。

2.B 解析:A 、C 、D 选项极限不存在，B 选项：12lim 1=∞→xx ，因此选项B 正确。

3.C 解析: C x xdx x d +-==-⎰⎰cos sin )cos 1(（C 为任意常数），因此选项C 正确。

4.A 解析:x xxdx x sin ln lim )22ln(sin ln cot 04040→-==⎰ππ，可知该极限不存在，所以此积分不能直接使用牛顿——莱布尼兹公式，因此选项A 正确。

5.D 解析: A 、B 、C 选项，根据莱布尼茨判别法，可知级数是收敛的，只有D 选项是发散的）（1>P非选择题部分二、填空题: 本大题共10小题，每小题 4分，共40分。

6. k 解析: 根据收敛数列与其子数列间的关系，如果数列{}n x 收敛于a ，那么它的任一子数列也收敛，且极限也为a 。

所以k a nn =∞→2lim7. 1解析: 由于1)0(=f ，1lim 0=-→xx e ，a x a x =++→0lim ，因为函数在点0=x 处连续，所以1=a8.21解析: 由于211x y +='，所以在横坐标为1的点处的切线斜率为：21)1(='=y k9.2 解析: 因为x x xe e y +='，x x x x x xe e xe e e y +=++='2，所以2)0(=''y 10. 0 解析: 因为在区间[]π,0上，01cos ≤-='x y ，所以函数在该区间上单调递减，故最大值为：()00=y11.2ln 2x 解析:根据题意可得：C dx x f x+=⎰2)(，两边求导后可得:2ln 2)(x x f =12.C x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+122 （C 为任意常数）解析: ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+dx dx 112214sin πC x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=122（C 为任意常数）13. 0 解析: 由于函数在对称区间进行积分，且)()()(x f x f x F -+=，)()()()(x F x f x f x F =+-=-，所以被积函数)]()([x f x f x -+是奇函数，根据定积分计算的奇偶性，)]()([=-+⎰-dx x f x f x aa14. )(a af 解析: )(1)()(lim)(lim )(lim a af x xf dt t f ax dtt f x x F xaa x xaax ax =+===-=⎰⎰+++→→→洛15. x C x sin )(2+ (C 为任意常数) 解析: x x P cot )(-=，x x x Q sin 2)(=，由公式可得：]sin 2[])([cot cot )()(C dx xe x e C dx e x Q e y xdxxdx dx x P dx x P +⎰⎰=+⎰⎰=⎰⎰--[]xC x C xdx x C dx xex exxsin )(2sin ]sin 2[2sin 1lnsin ln +=+=+=⎰⎰(C 为任意常数)三、计算题：本题共有10小题，每小题6分，共 60分。

2009年福建省专升本高等数学试卷及答案1

一、单项选择题1．下列四组函数中，相同的是（） A..2()lg ()2lg f x x g x x ==，B. ()()f x x g x ==，C.()()f x g x ==()()sin f x g x x ==函数相同⇔函数的定义域和函数解析式均相同A 选项，)(x f 的定义域)(002x g x x ；≠⇒>的定义域为0>xB选项，(),()f x x g x x===，函数解析式不相同 C 选项，)(x f 和)(x g 的定义域均为R，且()()f x g x ===D 选项，()sin ,()sin f x x g x x ===，函数解析式不相同 ∴答案选C2．当0x→时，下列四组函数中为等价无穷小的是（）A.. 2x 和2x B. sin x 和x C. 1cos x -和2x D. tan 2x 和x[答案]B【解析】根据等价无穷小定义，当1zy→时，称z y ,是等价无穷小，记作z y ~ A ∴选项，202limx x x →=∞，2x 是2x 的低价无穷小；B 选项，1sin lim0=→xxx sin x 是x 的等价无穷小； C 选项，22002sin 1cos 12lim lim 22()2x x x x x x →→-==，1cos x -是2x 的同阶无穷小 D 选项， 00tan 22limlim 2x x x xxx →→==，tan 2x 是x 的同阶无穷小 ∴答案选B3．点1x=是函数221()32x f x x x -=-+的（）A ．可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 无穷间断点 D.振荡间断点 [答案]A【解析】)2)(1()1)(1(231)(22---+=+--=x x x x x x x x f )(x f ∴可化为12x x +-1=∴x 为可去间断点4．函数)(x f 在0x x =处连续是)(x f 在该点处可导的（）A ．充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D.既不是充分条件，也不是必要条件 [答案]B 【解析】连续⇒可导，而可导一定连续∴答案选B5．设函数)(x f 在点0x x =处可导，则000()(2)limh f x f x h h→--值为（）A ．02()f x '- B. 01()2f x '- C. 02()f x ' D. 01()2f x '[答案]A【解析】根据可导的定义，hh x f x f x f h )()(lim)(0--='→00()(2)()(2)lim 2lim 2()2h h f x f x h f x f x h f x h h →→----'∴==0000()(2)lim 2()h f x f x h f x h →--'∴=∴答案选C6．已知函数ln(1)y x =+，则(10)()y x 为（）A.99!(1)x + B.99!(1)x -+ C.109!(1)x + D.109!(1)x -+[答案]D 【解析】)1ln(x y+= xy +='∴11 2)1(1x y +-=''∴2)1(2x y +='''∴nn n x n y )1()!1()1(1)(+--=∴+10)10()1(!9x y +-=∴∴答案选D7．设函数)(x f 的原函数为arctan x ，则)(x f 的导函数()f x '为（）A.arctan xB.211x + C. 221x x -+ D. 222(1)xx -+[答案]D【解析】根据题意知，)(arctan )('=x x f21()1f x x ∴=+22212()()1(1)xf x x x -''∴==++∴答案选D8．设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且()0f x '>，那么（）A.(0)0f < B. (1)0f < C. (1)(0)f f < D. (1)(0)f f >[答案]D【解析】根据题意，在)1,0(内)(x f 可导，并且导数大于零可知，)(x f 在)1,0(内是单调递增函数，又)(x f 在[01]，连续)0()1(f f >∴∴答案选D9．在空间直角坐标系中，点1(1,2,3)M 与点2(1,2,3)M -（） A. 关于xOy 面对称 B. 关于yOz 面对称 C. 关于xOz 面对称 D. 关于原点对称[答案]C【解析】二维平面内，若两点关于x 轴对称，则对称两点的横坐标不变，纵坐标互为相反数。

河南省专升本高等数学真题(及答案)教学资料

2009年河南省专升本高等数学真题(及答案)2009年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、考生号涂写在答题卡上。

本试卷的试题答案在答题卡上，答试卷上无效。

一、选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，有铅笔把答题卡上对应的题目的标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.1.下列函数相等的是（）A.2x y x=，y x = B. y =y x =C.x y =，2y =D. y x =，y =2.下列函数中为奇函数的是（）A.e e ()2x xf x -+= B. ()tan f x x x =C. ()ln(f x x =D. ()1xf x x=- 3．极限11lim1x x x →--的值是 ( ) A.1 B.1- C.0 D.不存在 4.当0x →时，下列无穷小量中与x 等价是（）A.22x x - C. ln(1)x + D. 2sin x5.设e 1()x f x x-=，则0=x 是()f x 的（）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点 6. 已知函数()f x 可导，且0(1)(1)lim12x f f x x→--=-，则(1)f '= （）A. 2B. -1C.1D. -27.设()f x 具有四阶导数且()f x ''=(4)()f x = （）AB C ．1 D ．3214x --8.曲线sin 2cos y t x t=⎧⎨=⎩在π4t =对应点处的法线方程（）A. x =1y = C. 1y x =+ D. 1y x =- 9.已知d e ()e d x xf x x -⎡⎤=⎣⎦，且(0)0f =，则()f x = （） A ．2e e x x + B. 2e e x x - C. 2e e x x -+ D. 2e e x x --10.函数在某点处连续是其在该点处可导的（） A. 必要条件 B. 充分条件 C. 充分必要条件 D. 无关条件 11.曲线42246y x x x =-+的凸区间为（） A.(2,2)- B. (,0)-∞ C.(0,)+∞ D. (,)-∞+∞12. 设e xy x= （）A.仅有水平渐近线B.既有水平又有垂直渐近线C.仅有垂直渐近线D.既无水平又无垂直渐近线 13.下列说法正确的是（） A. 函数的极值点一定是函数的驻点B. 函数的驻点一定是函数的极值点C. 二阶导数非零的驻点一定是极值点D. 以上说法都不对14. 设函数()f x 在[,]a b 连续，且不是常数函数,若()()f a f b =，则在(,)a b 内（）A. 必有最大值或最小值B.既有最大值又有最小值C. 既有极大值又有极小值D. 至少存在一点ξ，使()0f ξ'= 15.若()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '= （）A. 1xB.21x- C. ln x D. ln x x16.若2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰ （） A. 222(1)x C --+ B. 222(1)x C -+C. 221(1)2x C --+D. 221(1)2x C -+17.下列不等式不成立的是（）A. 22211ln (ln )xdx x dx >⎰⎰ B. 220sin xdx xdx ππ<⎰⎰C. 220ln(1)x dx xdx +<⎰⎰ D. 22(1)x e dx x dx <+⎰⎰18.1ln eex dx ⎰= （）A. 111ln ln e exdx xdx +⎰⎰ B. 111ln ln eexdx xdx -⎰⎰C. 111ln ln e exdx xdx -+⎰⎰ D. 111ln ln eexdx xdx --⎰⎰19．下列广义积分收敛的是（）A.lnex dx x +∞⎰B. 1ln e dx x x+∞⎰ C. 21(ln )e dx x x +∞⎰ D. e +∞⎰20.方程220x y z +-=在空间直角坐标系中表示的曲面是（） A.球面 B.圆锥面 C. 旋转抛物面 D.圆柱面 21. 设{}1,1,2a =-，{}2,0,1b =，则a 与b 的夹角为（） A ．0 B ．6π C ．4π D ．2π 22.直线34273x y z++==--与平面4223x y z --=的位置关系是 ( ) A. 平行但直线不在平面内 B. 直线在平面内 C. 垂直 D. 相交但不垂直23.设(,)f x y 在点(,)a b 处有偏导数，则0(,)(,)limh f a h b f a h b h→+--=（ )A.0B.2(,)x f a b 'C. (,)x f a b 'D. (,)y f a b ' 24．函数x yz x y+=-的全微dz = （） A ．22()()xdx ydy x y -- B ．22()()ydy xdx x y -- C ．22()()ydx xdy x y -- D ．22()()xdy ydx x y --25．0(,)ady f x y dx ⎰化为极坐标形式为（）A ．20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰ B ．2cos 0(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰C ．sin 20(cos ,sin )a d f r r rdr πθθθθ⎰⎰D ．20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰26.设L 是以A(-1,0),B(-3,2),C(3,0)为顶点的三角形区域的边界，方向为ABCA,则(3)(2)Lx y dx x y dy -+-=⎰A.-8B.0 C 8 D.2027.下列微分方程中，可分离变量的是（）A ．tan dy y ydx x x=+ B ．22()20x y dx xydy +-= C ．220x y x dx e dy y ++= D ． 2x dyy e dx+= 28.若级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数收敛的是（）A ．110nn u ∞=∑ B ．1(10)n n u ∞=+∑C ．110n n u ∞=∑ D ． 1(10)n n u ∞=-∑29.函数()ln(1)f x x =-的幂级数展开为（）A ．23,1123x x x x +++-<≤ B ．23,1123x x x x -+--<≤ C ．23,1123x x x x -----≤< D ． 23,1123x x x x -+-+-≤<30.级数1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）A ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．无法确定二、填空题（每小题2分，共30分）31.已知()1xf x x=-，则[()]______f f x =. 32.当0x →时，()f x 与1cos x -等价，则0()lim_______sin x f x x x→=. 33.若2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则_______a =.34.设函数sin ,0(),0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞内处处连续，则_______a =.35.曲线31xy x=+在（2，2）点处的切线方程为___________. 36.函数2()2f x x x =--在区间[0，2]上使用拉格朗日中值定理结论中____ξ=.37.函数()f x x =的单调减少区间是 _________. 38.已知(0)2,(2)3,(2)4,f f f '===则20()______xf x dx ''=⎰.39.设向量b 与}{1,2,3a =-共线，且56a b ⋅=,则b =_________. 40.设22x y z e+=，则22zx∂=∂_______.41．函数22(,)22f x y x xy y =+-的驻点为________.42．区域D 为229x y +≤，则2______Dx yd σ=⎰⎰.43.交换积分次序后,10(,)_____________xdx f x y dy =⎰.44.14x y xe -=-是23x y y y e -'''--=的特解，则该方程的通解为_________.45.已知级数1n n u ∞=∑的部分和3n S n =，则当2n ≥时，_______n u =.三、计算题（每小题5分，共40分）46．求011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭.47.设()y y x =是由方程ln sin 2xy e y x x +=确定的隐函数，求dxdy.48.已知2()x xf x dx e C -=+⎰，求1()dx f x ⎰.49.求定积分44|(1)|x x dx --⎰.50.已知22x xy y z e+-= 求全微分dz .51.求(2)Dx y d σ+⎰⎰，其中区域D 由直线,2,2y x y x y ===围成.52.求微分方程22x y xy xe -'-=的通解. 53.求幂级数212nn n n x ∞=∑的收敛区间（考虑区间端点）. 四、应用题（每小题7分，共14分）54.靠一楮充分长的墙边，增加三面墙围成一个矩形场地,在限定场地面积为642m 的条件下.问增加的三面墙的各为多少时，其总长最小. 55.设D 由曲线()y f x =与直线0,3y y ==围成的，其中2,026,2x x y x x ⎧≤≤=⎨->⎩，求D 绕y 轴旋转形成的旋转体的体积.五、证明题（6分）56.设1()()()xx a bF x f t dt dt f t =+⎰⎰，其中函数()f x 在闭区间[],a b 上连续且()0f x >，证明在开区间(,)a b 内,方程()0F x =有唯一实根.2009年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试（答案）一 1-5【答案】D.解：注意函数的定义范围、解析式，应选D. 【答案】C.解: ()ln(f x x -=-，()()ln(ln(ln10f x f x x x +-=-+==()()f x f x -=-，选C.【答案】D. 解：11lim 11x x x +→-=-，11lim 11x x x -→-=--，应选D. 【答案】C.解: 由等价无穷小量公式，应选C. 【答案】B.解: 00e 1lim ()lim1x x x f x x→→-==⇒0=x 是)(x f 的可去间断点,应选B. 6-10 【答案】D. 解：0(1)(1)1lim(1)1(1)222x f f x f f x →--''==-⇒=-，应选D.【答案】D. 解：1(3)21()2fx x -=，(4)()f x =3214x --，应选D.【答案】A.解：0d 2cos 20d sin y t k x x x t =⇒=⇒==切，应选A. 【答案】B.解:由d e ()e d x xf x x -⎡⎤=⎣⎦得2d e ()d(e )e ()e ()e e x x x x x xf x f x C f x C --⎡⎤=⇒=+⇒=+⎣⎦，把(0)0f =代入得1C =-,所以2()e e x x f x =-,应选B. 【答案】A.解:根据可导与连续的关系知，应选A. 11-15 【答案】A.解: 34486y x x '=-+，212480(2,2)y x x ''=-<⇒∈-，应选A. 【答案】B.解: e lim0x x x →-∞=，0e lim xx x→=∞，应选B. 【答案】D.解: 根据极值点与驻点的关系和第二充分条件，应选D. 【答案】A.解:根据连续函数在闭区间上的性质及()()f a f b =的条件,在对应的开区间内至少有一个最值,应选A. 【答案】B.解: ()1()ln f x x x '==⇒ 21()f x x'=-,应选B.16-20【答案】C.解: 2221(1)(1)(1)2xf x dx f x d x -=---⎰⎰=221(1)2x C --+,应选C. 【答案】D.解: 根据定积分的保序性定理，应有22(1)x e dx x dx ≥+⎰⎰，应选D.【答案】C.解:因1ln ,1|ln |ln ,1x x x ex x e⎧-≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩,考察积分的可加性有 1111ln ln ln eeeexdx xdx xdx =-+⎰⎰⎰，应选C.【答案】C.解:由广义积分性质和结论可知:21(ln )edx x x +∞⎰是2p =的积分,收敛的,应选C.【答案】C.解:根据方程的特点是抛物面,又因两个平方项的系数相等,从而方程220x y z +-=在空间直角坐标系中表示的曲面是旋转抛物面,应选C. 21-25 【答案】D.解:0(,)2a b a b a b π=⇒⊥⇒=,应选D.【答案】A.解:因{}2,7,3s =--,{}4,2,20n s n s n =--⇒⋅=⇒⊥⇒直线在平面内或平行但直线不在平面内.又直线上点(3,4,0)--不在平面内.故直线与平面的位置关系是平行但直线不在平面内,应选A. 【答案】B. 解:原式00(,)(,)(,)(,)limlimh h f a h b f a b f a h b f a b h h→→+---=- 00(,)(,)(,)(,)limlim 2(,)x h h f a h b f a b f a h b f a b f a b h h→-→+---'=+=- 应选B. 【答案】D 解：22()()()()2()()()x y x y d x y x y d x y xdy ydx z dz x y x y x y +-+-+--=⇒==---，应选D 【答案】D.解:积分区域{(,)|0,0(,)|0,02x y y a x r r a πθθ⎧⎫≤≤≤≤=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭有(,)ady f x y dx ⎰2(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ=⎰⎰,应选D.26—30 【答案】A.解: 由格林公式知, (3)(2)228LDx y dx x y dy d S σ∆-+-=-=-=-⎰⎰⎰，应选A. 【答案】C.解: 根据可分离变量微分的特点,220x y xdx e dy y++=可化为 22y x ye dy xe dx -=-知,应选C. 【答案】A.解: 由级数收敛的性质知,110nn u ∞=∑收敛,其他三个一定发散,应选A. 【答案】C.解: 根据23ln(1),1123x x x x x +=-+--<≤可知,23ln(1),1123x x x x x -=-----≤<,应选C.【答案】B.解: 令1x t -=,级数1(1)nn n a x ∞=-∑化为1n n n a t ∞=∑,问题转化为:2t =-处收敛,确定1t =处是否收敛.由阿贝尔定理知是绝对收敛的,故应选B. 二 31—35 解：()1[()](1,)1()122f x x f f x x x f x x ==≠≠--.解：2211cos ()1cos 2220sin 00()1cos 12lim lim lim sin 2x x f x x x x x x x x f x x x x x x --→→→-==============.解：因2223()221lim 12lim lim 1lim 1xxa ax a x ax x a x x a a x a a x a e x x e x a e a a x x ⋅→∞-→∞→∞⋅--→∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭==== ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫- ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭，所以有 38a e =ln 2a ⇒=.解：函数在(,)-∞+∞内处处连续，当然在0x =处一定连续，又因为0sin lim ()lim1;(0)x x xf x f a x→→===，所以0lim ()(0)1x f x f a →=⇒=.解：因2231340(1)3x y k y x y x =''=⇒==⇒-+=+. 36—40解：(2)(0)()2121120f f f x x ξξ-'=-⇒-=⇒=-.解：1()100,4f x x ⎛⎫'=<⇒∈ ⎪⎝⎭,应填10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦或10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭或10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦. 解：222200()()()()2(2)(2)(0)7xf x dx xdf x xf x f x dx f f f ''''''==-=-+=⎰⎰⎰.解：因向量b 与a 共线,b 可设为{},2,3k k k -，5649564a b k k k k ⋅=⇒++=⇒=,所以{}4,8,12b =-. 解：22222222222(12)x y x y x y z z z e xe x e x x+++∂∂=⇒=⇒=+∂∂. 41—45解：40(,)(0,0)40fx y xx y f x y y∂⎧=+=⎪∂⎪⇒=⎨∂⎪=-=∂⎪⎩.解：利用对称性知其值为0或232420cos sin 0Dx yd d r dr πσθθθ==⎰⎰⎰⎰.解：积分区域{{}2(,)|01,(,)|01,D x y x x y x y y y x y =≤≤≤≤=≤≤≤≤,则有21100(,)(,)yxydx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰.解：230y y y '''--=的通解为312x x y C e C e -=+，根据方程解的结构,原方程的通解为31214x x x y C e C e xe --=+-.解：当2n ≥时,3321(1)331n n n u S S n n n n -=-=--=-+. 三 46—50解：20001111lim lim lim 1(1)x x x x x x x e x e x x e x e x →→→----⎛⎫-== ⎪--⎝⎭ 0011limlim 222x x x e x x x →→-===.解：方程两边对x 求导得()ln 2cos 2xy ye xy y x x x''++= 即 ()ln 2cos 2xy e x y xy y y x x x x ''+++= 2(ln )2cos 2xy xy x e x x y x x e xy y '+=--所以 dydx=22cos 2ln xy xyx x e xy y y x e x x --'=+. 解：方程2()x xf x dx e C -=+⎰两边对x 求导得 2()2xxf x e-=-，即22()x e f x x--=，所以211()2x xe f x =-. 故22111()24x x dx xe dx xde f x =-=-⎰⎰⎰ 222211114448x x x x xe e dx xe e C =-+=-++⎰.解：414441|(1)||(1)||(1)||(1)|x x dx x x dx x x dx x x dx ---=-+-+-⎰⎰⎰⎰01441(1)(1)(1)x x dx x x dx x x dx -=-+-+-⎰⎰⎰014322332401322332x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭641164118843323332=++-+--+=. 解：因222222()(2)x xy y x xy y x ze x xy y e x y x+-+-∂'=+-=+∂,222222()(2)x xy y x xy y y ze x xy y e x y y+-+-∂'=+-=-∂, 且它们在定义域都连续，从而函数22xxy y z e +-=可微，并有z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂22[(2)(2)]x xy y e x y dx x y dy +-=++-. 51—53解：积分区域D 如图所示：把D 看作Y 型区域，且有(,)|02,2y D x y y x y ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭故有202(2)(2)yy Dx y d dy x y dx σ+=+⎰⎰⎰⎰222225()4yy x xy dy y dy =+=⎰⎰230510123y ==. 解：这是一阶线性非齐次微分方程，它对应的齐次微分方程20y xy '-=的通解为2x y Ce =，设原方程的解为2()x y C x e =代入方程得22()x x C x e xe -'=, 即有 22()x C x xe -'=，所以 222222211()(2)44x x x C x xe dx e d x e C ---==--=-+⎰⎰, 故原方程的通解为2214x x y e Ce -=-+.x y =解：这是标准缺项的幂级数，考察正项级数212nnn n x ∞=∑，因221112limlim 22n n n n n nu n x l x u n ++→∞→∞+==⨯=, 当212x l =<，即||x <212n n n nx ∞=∑是绝对收敛的；当212x l =>，即||x >212n n n nx ∞=∑是发散的；当212x l ==，即x =212nn n n x ∞=∑化为1n n ∞=∑，显然是发散的。

山东省普通高等教育专升本统一考试2009年机械工程及自动化专业高等数学

山东省普通高等教育专升本统一考试 2009年机械工程及自动化专业高等数学(50分)一、选择题(5分,每空1分) 1.0x +→ 时,下列函数中( )是无穷小量。

A 1xe B. 1xsinxC. ln xD.1sin x x2.曲线2132y x x =-+ 有( )A.水平渐近线0y = ,垂直渐近线1,2x x ==B.水平渐近线0y =,无垂直渐近线C.垂直渐近线1,2y y == ,水平渐近线0x =D.垂直渐近线1,2x x == ,无水平渐近线3.设()f x 一个原函数是sin x ,则()'xf x dx =⎰()A. xsin x cosx C ++B. xsin x cosx C --+C. xcosx sinx C -+D. xcos x sin x C ++ 4.下列( )是线性微分方程: A.()''ln ' 0y x y cos xy ++= B.2''2'xy y y e -+=C.'ln y xy x ==D ()2'7'3y x y -=+5.方程22231x y += 所表示的曲面是( )A.平面B.旋转曲面C.球面D.柱面二、填空题(5分,每空1分) 1.函数z =的定义域。

2.设(1,1)2,z xy dz -==则。

3.设2,'x y sin tdt y ==⎰。

4.Dd σ=⎰⎰，其中D 是以原点为中心,以3为半径的圆形区域。

5.设()10,,xx I dx f x y dy =⎰⎰ 交换积分顺序后,I = 。

三、判断题(5分,每题1分)1.0x = 是函数1y sinx x=的第二类间断点() 2.若函数()f x 在区间(),a b 内仅有一个极值点,则该点不一定是驻点() 3.在极坐标系下二重积分的面积元素是drd θ (,r θ 分别表示极径和极角)()直线24x y z == 与平面4210x y z ++-= 是互相平行的关系( ) 5.无穷级数211n n +∞=∑ 是收敛的( )四、计算题(35分,第1题3分,其余各4分)1.求极限22325lim 1x x x x x →∞-+-+2.求极限11lim()sin x x x→∞-3.已知323x y e cos x sin π=+ 求'y4.已知y dy =求5.求()22ln 1z x y =++ 在点(1,2)处的偏导数。

专升本高等数学(一)真题2009年

______． [答案] 4． [解题指导] 本题考查的知识点为二重积分的性质：
，其中σ为区域D的面积．由于积分区域D是边长为2的正方形，其面积为4，可知
． 20．设y=f(x)可导，点x0=2为f(x)的极小值点，且f(2)=3．则曲线y=f(x)
在点(2，3)处的切线方程为______． [答案] y=3． [解题指导] 本题考查的知识点为：极值的必要条件、切线方程．由于y=f(x)可导，点x0=2为f(x)的极值点，由极值的必要条件知
．因此
解法2
． 17．设z=sin(y-x2)，则
=______． [答案] COS(y-x2)． [解题指导] 本题考查的知识点为偏导数运算．求
时，只需将x认定为常量．z=sin(y-x2)，因此
． 18．过点M0(1，-1，0)且与平面x-y+3z=1平行的平面方程为______． [答案] (x-1)-(y+1)+3z=0(或x-y+3z=2)． [解题指导] 本题考查的知识点为平面方程．已知平面π1：x-y+3z=1的法线向量n1=(1，-1，3)．所求平面π与π1，平
[答案] B [解题指导] 本题考查的知识点为复合函数求导运算，在某点处的导数值．
故选B． 6．设f(x)为连续函数，
( )． A．f(2x) B．2f(x) C．-f(2x) D．-2f(x) [答案] A [解题指导] 本题考查的知识点为可变上限积分求导：若f(x)为连续函
数，则F'(x)=
=( )． A．2x+1 B．2xy+1 C．x2+1 D．2xy [答案] B．
[解题指导] 本题考查的知识点为偏导数计算．求时，只需将y认定为常量，依一元函数求导法则运算．由于z=x2y+x-3，因此

2009年河南专升本高数真题+答案解析

2009河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学试卷一、选择题（每小题2 分，共50 分） 1．下列函数相等的是（）A ．2,x y y x x==B ．y y x ==C ．2,y x y ==D ．,y x y =【答案】D【解析】由函数相等的定义知D 正确．2．下列函数中为奇函数的是（） A ．()2x xe ef x -+=B ．()tan f x x x =C ．()ln(f x x =+D ．()1x f x x=- 【答案】C【解析】对于C ，()ln(f x x -=-+==)()x f x =-=-，故C 为奇函数．3．11lim1x x x →--的值是（） A ．1 B ．1- C ．0 D ．不存在【答案】D 【解析】1111lim lim 111x x x x x x ++→→--==--，1111lim lim 111x x x x x x --→→--==---，由于1111lim lim 11x x x x x x +-→→--≠--，因此极限不存在．4．当0x →时，下列无穷小中与x 等价的是（）A ．22x x -B C ．ln(1)x +D ．2sin x【答案】C【解析】由题意可知00ln(1)lim lim 1x x x xxx →→+==，故选C ．5．设1()x e f x x -=，则0x =是()f x 的（）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．无穷间断点【答案】B【解析】由于001lim ()lim 1x x x e f x x →→-==，但()f x 在0x =处无定义，因此0x =是()f x 的可去间断点．6．设函数()f x 可导，且0(1)(1)lim12x f f x x→--=-，则(1)f '=（）A ．2B ．1-C ．1D ．2-【答案】D 【解析】00(1)(1)(1)(1)(1)lim2lim 22x x f x f f f x f x x→→----'===--．7．设函数()f x 具有四阶导数，且()f x ''=(4)()f x =（）AB C ．1D ．3214x --【答案】D【解析】()f x ''=()f x '''=3(4)21()4fx x -=-．8．曲线sin 2cos x t y t=⎧⎨=⎩在4t π=对应点处的法线方程为（）A．x =B ．1y =C ．1y x =+D ．1y x =-【答案】A【解析】切线的斜率为44()2cos 20()sin t t y t t k x t tππ=='==-='，因此法线方程为4cos t x tπ===．9．已知()x xd e f x e dx -⎡⎤=⎣⎦，且(0)0f =，则()f x =（）A ．2x x e e +B ．2x x e e -C ．2x x e e -+D ．2x x e e --【答案】B【解析】对等式两边积分()x xd e f x e dx -⎡⎤=⎣⎦⎰⎰，得()x x e f x e C -=+，所以2()x x f x e Ce =+．因为(0)0f =，所以1C =-，因此2()x x f x e e =-，故选B ．10．函数在某点处连续是其在该点处可导的（）A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．无关条件【答案】A【解析】根据可导与连续的关系知选A ．11．曲线42246y x x x =-+的凸区间为（）A ．(2,2)-B ．(,0)-∞C ．(0,)+∞D ．(,)-∞+∞【答案】A【解析】34486y x x '=-+，21248y x ''=-，由0y ''<，得22x -<<，因此曲线的凸区间为(2,2)-．12．曲线xe y x =（）A ．仅有水平渐进线B ．既有水平渐进线，又有垂直渐近线C ．仅有垂直渐近线D ．既无水平渐进线，又无垂直渐近线【答案】B【解析】lim 0x x e x →-∞=，0lim x x e x →=∞，故曲线xe y x=既有水平渐进线，又有垂直渐近线．13．下列说法正确的是（） A ．函数的极值点一定是函数的驻点 B ．函数的驻点一定是函数的极值点C ．二阶导数非零的驻点一定是极值点D ．以上说法都不对【答案】C【解析】由极值的第二判定定理，知C 正确．14．设()f x 在[],a b 上连续，且不是常数函数，若()()f a f b =，则在(,)a b 内（） A ．必有最大值或最小值 B ．既有最大值又有最小值C ．既有极大值又有极小值D ．至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=【答案】A【解析】根据极值的判定定理、最大值最小值定理和罗尔定理，知A 选项正确．15．若()f x 的一个原函数是ln x ，则()f x '=（）A ．1xB ．21x-C ．ln xD ．ln x x【答案】B【解析】因为1()(ln )f x x x '==，所以21()f x x'=-．16．若2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（）A ．222(1)x C --+B ．222(1)xC -+C ．221(1)2x C --+D ．221(1)2x C -+【答案】C【解析】由题意知，因为2()f x dx x C =+⎰，则2222211(1)(1)(1)(1)22xf x dx f x d x x C -=---=--+⎰⎰．17．下列不等式中不成立的是（）A ．22211ln ln xdx xdx >⎰⎰B ．220sin xdx xdx ππ<⎰⎰C ．22ln(1)x dx xdx +<⎰⎰D ．22(1)x e dx x dx <+⎰⎰【答案】D【解析】对于D ，222001x xe dx ee ==-⎰，222001(1)42x dx x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭⎰，应有2200(1)xe dx x dx >+⎰⎰，故D 选项错误．18．1ln ee xdx =⎰（）A ．111ln ln eexdx xdx +⎰⎰B ．111ln ln eexdx xdx -⎰⎰C ．111ln ln eexdx xdx -+⎰⎰D ．111ln ln eexdx xdx --⎰⎰【答案】C【解析】1111111ln (ln )ln ln ln eeeeeexdx x dx xdx xdx xdx =-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰．19．下列广义积分中收敛的是（）A ．lnex dx x+∞⎰B ．1ln edx x x+∞⎰C ．21ln edx x x+∞⎰D ．e+∞⎰【答案】C【解析】对于C 选项，22111ln 1ln ln ln eee dx d x x x x x+∞+∞+∞==-=⎰⎰，故收敛．20．方程220x y z +-=在空间直角坐标系中表示的是（）A ．球面B ．圆锥面C ．旋转抛物面D ．圆柱面【答案】C【解析】由旋转抛物面的定义知选C ．21．设{}1,1,,2=-a ，{}2,0,1=b ，则a 与b 的夹角为（）A ．0B ．6π C ．4π D ．2π 【答案】D【解析】1210210⋅=-⨯+⨯+⨯=a b ，所以a 与b 的夹角为2π，故选D ．22．直线34:273x y zL ++==--与平面:4223x y z π--=的位置关系是（） A ．平行但直线不在平面上 B ．直线在平面上C ．垂直D ．相交但不垂直【答案】A【解析】因为直线L 的方向向量(2,7,3)=--s ，平面的法向量为(4,2,2)=--n ，则 24(7)(2)3(2)0⋅=-⨯+-⨯-+⨯-=s n ．又点(3,4,0)--不在平面上，所以直线与平面平行．23．设(,)f x y 在点(,)a b 处有偏导数，则0(,)(,)limh f a h b f a h b h→+--=（）A ．0B ．2(,)x f a b 'C ．(,)x f a b 'D ．(,)y f a b '【答案】B【解析】由题意知，00(,)(,)(,)(,)lim2lim 2(,)2x h h f a h b f a h b f a h b f a h b f a b h h→→+--+--'==．24．函数x yz x y+=-的全微分为（）A ．22()()xdx ydy x y --B ．22()()ydy xdx x y --C ．22()()ydx xdy x y --D ．22()()xdy ydx x y --【答案】D 【解析】22()z y x x y ∂-=∂-，22()z x y x y ∂=∂-，故22()()xdy ydx dz x y -=-．25．00(,)ady f x y dx ⎰化为极坐标形式为（）A ．20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰B ．2cos 0(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰C ．sin 2(cos ,sin )a d f r r rdr πθθθθ⎰⎰D ．20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰【答案】D【解析】令cos x r θ=，sin y r θ=，可知02πθ≤≤，0r a ≤≤，故化为极坐标形式为200(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰．26．设L 是以(1,0)A -、(3,2)B -、(3,0)C 为顶点的三角形区域的边界，方向为ABCA ，则(3)(2)Lx y dx x y dy -+-=⎰（）A ．8-B ．0C ．8D ．20【答案】A【解析】由格林公式，知1(3)(2)224282L Dx y dx x y dy dxdy -+-=-=-⨯⨯⨯=-⎰⎰⎰．27．下列微分方程中，可分离变量的方程是（） A ．tan dy y ydx x x=+B ．22()20x y dx xydy +-=C ．220x y xdx e dy y++=D ．2x dyy e dx+= 【答案】C【解析】由可分离变量的方程形式，知选项C 正确．28．若级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数中收敛的是（）A ．110n n u∞=∑B ．1(10)n n u ∞=+∑C ．110n nu ∞=∑D ．1(10)n n u ∞=-∑【答案】A【解析】由无穷级数的基本性质知，1n n u ∞=∑收敛必有110nn u ∞=∑收敛．29．函数()ln(1)f x x =-的幂级数展开式为（） A ．23...,1123x x x x +++-<≤B ．23...,1123x x x x -+--<≤C ．23...,1123x x x x -----≤<D ．23...,1123x x x x -+-+-≤<【答案】C【解析】由幂级数展开公式，得()ln(1)f x x =-=23...,1123x x x x -----≤<．30．级数0(1)n n n a x ∞=-∑在点1x =-处收敛，则此级数2x =处（）A ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．无法确定【答案】B【解析】由阿贝尔定理知级数在2x =处绝对收敛，故选B ．二、填空题（每小题 2分，共 30分） 31．已知()1xf x x=-，则[]()f f x =________．【答案】12xx- 【解析】[]()1()1()1211xf x xx f f x x f x x x-===----．32．当0x →时，()f x 与1cos x -等价，则0()lim sin x f x x x→=________．【答案】12【解析】由题意可知，()f x 与1cos x -等价，则00()1cos 1lim lim sin sin 2x x f x x x x x x →→-==．33．若2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则a =________．【答案】ln2【解析】333233lim lim 1lim 18x a ax xx a x aa x x x x a a a e x a x a x a -⋅⋅-→∞→∞→∞+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故ln2a =．34．设函数sin ,0(),0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞内处处连续，则a =________．【答案】1【解析】因为()f x 在(,)-∞+∞内处处连续，所以0sin lim 1x xa x→==．35．函数31xy x=+在(2,2)点处的切线方程为________．【答案】1433y x =+【解析】23(1)y x '=+，所以切线斜率13k =，又因为过点(2,2)，所以切线方程为1433y x =+．36．函数2()2f x x x =--在区间[]0,2上使用拉格朗日中值定理时，结论中的ξ=________．【答案】1【解析】由拉格朗日中值定理，知存在(0,2)ξ∈，使得()()(2)(0)()12f b f a f f f b a ξ--'===-，()21f x x '=-，当1x =时，有(1)1f '=，故1ξ=．37．函数()f x x =________．【答案】10,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】()1f x '=，令()0f x '<，解得104x <<．38．已知(0)2f =，(2)3f =，(2)4f '=，则2()xf x dx ''=⎰________．【答案】7【解析】2222()()()2(2)()8(2)(0)7xf x dx xf x f x dx f f x f f '''''=-=-=-+=⎰⎰．39.设向量b 与{}1,2,3=-a 共线，且56⋅=a b ，则=b ________．【答案】{}4,8,12-【解析】由a 与b 共线，知λ=b a ，由1456λλ⋅=⋅==a b a a ，知4λ=，故{}4,8,12=-b ．40．设22x y z e+=，则22zx∂=∂________．【答案】222(42)xy x e ++【解析】222x y z xe x+∂=∂，222222222222(42)x y x y x y z e x xe x e x +++∂=+⋅=+∂．41．函数22(,)22f x y x xy y =+-的驻点为________．【答案】(0,0)【解析】4x f x y =+，4y f x y =-，令0x f =，0y f =，得驻点为(0,0)．42．设区域D 为229x y +≤，则2Dx yd σ=⎰⎰________．【答案】0【解析】令cos x r θ=，sin y r θ=，知232323334cos sin cos sin 0Dx yd d r rdr d r dr ππσθθθθθθ=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．43．交换积分次序后，10(,)xdx f x y dy =⎰________．【答案】【解析】由题意知积分区域为01xx y ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，交换积分次序后，积分区域为201y y x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，故2110(,)(,)yxydx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰．44．已知14x y xe -=-是微分方程23x y y y e -'''-+=的一个特解，则该方程的通解为________．【答案】31214x x x y C e C e xe --=+-（12,C C 为任意常数）【解析】由题知，齐次方程所对应的特征方程为2230r r --=，解得11r =-，23r =，故对应的齐次方程的通解为312x x y C e C e -=+，又知特解为14x y xe -=-，故通解为31214x x x y C e C e xe --=+-（12,C C 为任意常数）．45．已知级数1n n u ∞=∑的部分和3n S n =，则当2n ≥时，n u =________．【答案】2331n n -+【解析】当2n ≥时，3321(1)331n n n u S S n n n n -=-=--=-+．三、计算题（每小题5 分，共40 分） 46．求011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭．【答案】【解析】200000111111lim lim lim lim lim 1(1)222x x x x x x x x x x e x e x e x x e x e x x x →→→→→-----⎛⎫-===== ⎪--⎝⎭．47．设 ()y f x =是由方程ln sin 2xy e y x x +=确定的隐函数，求dydx．【答案】22cos2ln xy xyx x xye yx e x x--+ 【解析】方法一方程两边同时对x 求导得()ln 2cos2xy ye y xy y y x x''+++=，故 22cos2ln xy xy dy x x xye yy dx x e x x--'==+．方法二令(,)ln sin 2xy F x y e y x x =+-，则22cos 2ln xy x xy y F dyx x xye y dx F x e x x--=-=+．48．已知2()x xf x dx e C -=+⎰，求1()dx f x ⎰．【答案】21142x x e C ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭【解析】等式两边对x 求导，得2()2x xf x e -=-，则211()2x xe f x =-，故 ()222211111()4442x x x x dx xde xe e dx x e C f x ⎛⎫=-=--=--+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰．49．求44(1)x x dx --⎰．【答案】1293【解析】40142224401(1)()()()x x dx x x dx x x dx x x dx ---=---+-⎰⎰⎰⎰32041132x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭32101132x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭32411132x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭1293=．50．已知22x xy y z e +-=，求全微分dz ．【答案】[]22(2)(2)xxy y e x y dx x y dy +-++-【解析】22(2)x xy y z x y e x+-∂=+∂，22(2)x xy y zx y e y +-∂=-∂，则[]22(2)(2)x xy y dz e x y dx x y dy +-=++-．51．求 (2)Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 由y x =，2y x =，2y =围成．【答案】103【解析】由题意可知，积分区域D 为02y ≤≤，2yx y ≤≤，222002510(2)(2)43yy Dx y dxdy dy x y dx y dy +=+==⎰⎰⎰⎰⎰．52．求微分方程22x y xy xe -'-=的通解．【答案】2214x x y e Ce -=-+【解析】方程为一阶非齐次线性微分方程，其中()2P x x =-，2()x Q x xe -=，则方程的通解为222()()(2)(2)21()4P x dx P x dx x dx x dx x x x y e Q x e dx C e xe e dx C e e C ------⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎰⎰⎰⎰=+=+=-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎰⎰ 2214x x e Ce -=-+．53．求幂级数212nnn n x ∞=∑的收敛区间（考虑端点）．【答案】(【解析】令2t x =，则级数为12nn n n t ∞=∑，因为11121limlim 22n n n n n na n a n ++→∞→∞+=⋅=，所以12n n n n t ∞=∑的收敛半径为2，则212n n n nx ∞=∑，又当x =1n n ∞=∑发散，故所求幂级数的收敛域为(．四、应用题（每小题7 分，共 14 分）54．靠一堵充分长的墙边，增加三面墙围成一矩形场地，在限定场地面积为642m 的条件下，问增加的三面墙各长多少时，其总长最小．【答案】三面墙的长度分别为，和【解析】设与已知墙面平行的墙的长度为x m ，则另两面墙的长为64xm ，故三面墙的总长为128(0)l x x x=+>．令212810l x '=-=，解得唯一驻点x =又32560l x''=>，故当x =m 时，l 取值最小，此时，三面墙的长度分别为，和．55．设D 是由曲线()y f x =与直线0y =，3y =围成的区域，其中2,2()6,2x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，求D 绕y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积．【答案】1172π 【解析】由题意得3322332300011117(6)(6)322y V y dy dy y y πππππ=--=---=⎰⎰．五、证明题（6 分） 56．设1()()()xx a bF x f t dt dt f t =+⎰⎰，其中函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()0f x >．证明在开区间(,)a b 内，方程满()0F x =有唯一的实根．【解析】因为()F x 在[],a b 上连续，()0f x >，且1()0()a bF a dt f t =<⎰，()()0b a F b f t dt =>⎰，所以方程()0F x =在(,)a b 内有根，又因为1()()0()F x f x f x '=+>，所以()F x 在(,)a b 内单调，故至多有一个实根．综上，在开区间(,)a b 内，方程满()0F x =有唯一的实根．。

2009年河南专升本高数真题+答案解析

2009河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学试卷一、选择题（每小题2 分，共50 分） 1．下列函数相等的是（）A ．2,x y y x x==B ．y y x ==C ．2,y x y ==D ．,y x y =【答案】D【解析】由函数相等的定义知D 正确．2．下列函数中为奇函数的是（） A ．()2x xe ef x -+=B ．()tan f x x x =C ．()ln(f x x =+D ．()1x f x x=- 【答案】C【解析】对于C ，()ln(f x x -=-+==)()x f x =-=-，故C 为奇函数．3．11lim1x x x →--的值是（） A ．1 B ．1- C ．0 D ．不存在【答案】D 【解析】1111lim lim 111x x x x x x ++→→--==--，1111lim lim 111x x x x x x --→→--==---，由于1111lim lim 11x x x x x x +-→→--≠--，因此极限不存在．4．当0x →时，下列无穷小中与x 等价的是（）A ．22x x -B C ．ln(1)x +D ．2sin x【答案】C【解析】由题意可知00ln(1)lim lim 1x x x xxx →→+==，故选C ．5．设1()x e f x x -=，则0x =是()f x 的（）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．无穷间断点【答案】B【解析】由于001lim ()lim 1x x x e f x x →→-==，但()f x 在0x =处无定义，因此0x =是()f x 的可去间断点．6．设函数()f x 可导，且0(1)(1)lim12x f f x x→--=-，则(1)f '=（）A ．2B ．1-C ．1D ．2-【答案】D 【解析】00(1)(1)(1)(1)(1)lim2lim 22x x f x f f f x f x x→→----'===--．7．设函数()f x 具有四阶导数，且()f x ''=(4)()f x =（）AB C ．1D ．3214x --【答案】D【解析】()f x ''=()f x '''=3(4)21()4fx x -=-．8．曲线sin 2cos x t y t=⎧⎨=⎩在4t π=对应点处的法线方程为（）A．x =B ．1y =C ．1y x =+D ．1y x =-【答案】A【解析】切线的斜率为44()2cos 20()sin t t y t t k x t tππ=='==-='，因此法线方程为4cos t x tπ===．9．已知()x xd e f x e dx -⎡⎤=⎣⎦，且(0)0f =，则()f x =（）A ．2x x e e +B ．2x x e e -C ．2x x e e -+D ．2x x e e --【答案】B【解析】对等式两边积分()x xd e f x e dx -⎡⎤=⎣⎦⎰⎰，得()x x e f x e C -=+，所以2()x x f x e Ce =+．因为(0)0f =，所以1C =-，因此2()x x f x e e =-，故选B ．10．函数在某点处连续是其在该点处可导的（）A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．无关条件【答案】A【解析】根据可导与连续的关系知选A ．11．曲线42246y x x x =-+的凸区间为（）A ．(2,2)-B ．(,0)-∞C ．(0,)+∞D ．(,)-∞+∞【答案】A【解析】34486y x x '=-+，21248y x ''=-，由0y ''<，得22x -<<，因此曲线的凸区间为(2,2)-．12．曲线xe y x =（）A ．仅有水平渐进线B ．既有水平渐进线，又有垂直渐近线C ．仅有垂直渐近线D ．既无水平渐进线，又无垂直渐近线【答案】B【解析】lim 0x x e x →-∞=，0lim x x e x →=∞，故曲线xe y x=既有水平渐进线，又有垂直渐近线．13．下列说法正确的是（） A ．函数的极值点一定是函数的驻点 B ．函数的驻点一定是函数的极值点C ．二阶导数非零的驻点一定是极值点D ．以上说法都不对【答案】C【解析】由极值的第二判定定理，知C 正确．14．设()f x 在[],a b 上连续，且不是常数函数，若()()f a f b =，则在(,)a b 内（） A ．必有最大值或最小值 B ．既有最大值又有最小值C ．既有极大值又有极小值D ．至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=【答案】A【解析】根据极值的判定定理、最大值最小值定理和罗尔定理，知A 选项正确．15．若()f x 的一个原函数是ln x ，则()f x '=（）A ．1xB ．21x-C ．ln xD ．ln x x【答案】B【解析】因为1()(ln )f x x x '==，所以21()f x x'=-．16．若2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（）A ．222(1)x C --+B ．222(1)xC -+C ．221(1)2x C --+D ．221(1)2x C -+【答案】C【解析】由题意知，因为2()f x dx x C =+⎰，则2222211(1)(1)(1)(1)22xf x dx f x d x x C -=---=--+⎰⎰．17．下列不等式中不成立的是（）A ．22211ln ln xdx xdx >⎰⎰B ．220sin xdx xdx ππ<⎰⎰C ．22ln(1)x dx xdx +<⎰⎰D ．22(1)x e dx x dx <+⎰⎰【答案】D【解析】对于D ，222001x xe dx ee ==-⎰，222001(1)42x dx x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭⎰，应有2200(1)xe dx x dx >+⎰⎰，故D 选项错误．18．1ln ee xdx =⎰（）A ．111ln ln eexdx xdx +⎰⎰B ．111ln ln eexdx xdx -⎰⎰C ．111ln ln eexdx xdx -+⎰⎰D ．111ln ln eexdx xdx --⎰⎰【答案】C【解析】1111111ln (ln )ln ln ln eeeeeexdx x dx xdx xdx xdx =-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰．19．下列广义积分中收敛的是（）A ．lnex dx x+∞⎰B ．1ln edx x x+∞⎰C ．21ln edx x x+∞⎰D ．e+∞⎰【答案】C【解析】对于C 选项，22111ln 1ln ln ln eee dx d x x x x x+∞+∞+∞==-=⎰⎰，故收敛．20．方程220x y z +-=在空间直角坐标系中表示的是（）A ．球面B ．圆锥面C ．旋转抛物面D ．圆柱面【答案】C【解析】由旋转抛物面的定义知选C ．21．设{}1,1,,2=-a ，{}2,0,1=b ，则a 与b 的夹角为（）A ．0B ．6π C ．4π D ．2π 【答案】D【解析】1210210⋅=-⨯+⨯+⨯=a b ，所以a 与b 的夹角为2π，故选D ．22．直线34:273x y zL ++==--与平面:4223x y z π--=的位置关系是（） A ．平行但直线不在平面上 B ．直线在平面上C ．垂直D ．相交但不垂直【答案】A【解析】因为直线L 的方向向量(2,7,3)=--s ，平面的法向量为(4,2,2)=--n ，则 24(7)(2)3(2)0⋅=-⨯+-⨯-+⨯-=s n ．又点(3,4,0)--不在平面上，所以直线与平面平行．23．设(,)f x y 在点(,)a b 处有偏导数，则0(,)(,)limh f a h b f a h b h→+--=（）A ．0B ．2(,)x f a b 'C ．(,)x f a b 'D ．(,)y f a b '【答案】B【解析】由题意知，00(,)(,)(,)(,)lim2lim 2(,)2x h h f a h b f a h b f a h b f a h b f a b h h→→+--+--'==．24．函数x yz x y+=-的全微分为（）A ．22()()xdx ydy x y --B ．22()()ydy xdx x y --C ．22()()ydx xdy x y --D ．22()()xdy ydx x y --【答案】D 【解析】22()z y x x y ∂-=∂-，22()z x y x y ∂=∂-，故22()()xdy ydx dz x y -=-．25．00(,)ady f x y dx ⎰化为极坐标形式为（）A ．20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰B ．2cos 0(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰C ．sin 2(cos ,sin )a d f r r rdr πθθθθ⎰⎰D ．20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰【答案】D【解析】令cos x r θ=，sin y r θ=，可知02πθ≤≤，0r a ≤≤，故化为极坐标形式为200(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰．26．设L 是以(1,0)A -、(3,2)B -、(3,0)C 为顶点的三角形区域的边界，方向为ABCA ，则(3)(2)Lx y dx x y dy -+-=⎰（）A ．8-B ．0C ．8D ．20【答案】A【解析】由格林公式，知1(3)(2)224282L Dx y dx x y dy dxdy -+-=-=-⨯⨯⨯=-⎰⎰⎰．27．下列微分方程中，可分离变量的方程是（） A ．tan dy y ydx x x=+B ．22()20x y dx xydy +-=C ．220x y xdx e dy y++=D ．2x dyy e dx+= 【答案】C【解析】由可分离变量的方程形式，知选项C 正确．28．若级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数中收敛的是（）A ．110n n u∞=∑B ．1(10)n n u ∞=+∑C ．110n nu ∞=∑D ．1(10)n n u ∞=-∑【答案】A【解析】由无穷级数的基本性质知，1n n u ∞=∑收敛必有110nn u ∞=∑收敛．29．函数()ln(1)f x x =-的幂级数展开式为（） A ．23...,1123x x x x +++-<≤B ．23...,1123x x x x -+--<≤C ．23...,1123x x x x -----≤<D ．23...,1123x x x x -+-+-≤<【答案】C【解析】由幂级数展开公式，得()ln(1)f x x =-=23...,1123x x x x -----≤<．30．级数0(1)n n n a x ∞=-∑在点1x =-处收敛，则此级数2x =处（）A ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．无法确定【答案】B【解析】由阿贝尔定理知级数在2x =处绝对收敛，故选B ．二、填空题（每小题 2分，共 30分） 31．已知()1xf x x=-，则[]()f f x =________．【答案】12xx- 【解析】[]()1()1()1211xf x xx f f x x f x x x-===----．32．当0x →时，()f x 与1cos x -等价，则0()lim sin x f x x x→=________．【答案】12【解析】由题意可知，()f x 与1cos x -等价，则00()1cos 1lim lim sin sin 2x x f x x x x x x →→-==．33．若2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则a =________．【答案】ln2【解析】333233lim lim 1lim 18x a ax xx a x aa x x x x a a a e x a x a x a -⋅⋅-→∞→∞→∞+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故ln2a =．34．设函数sin ,0(),0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞内处处连续，则a =________．【答案】1【解析】因为()f x 在(,)-∞+∞内处处连续，所以0sin lim 1x xa x→==．35．函数31xy x=+在(2,2)点处的切线方程为________．【答案】1433y x =+【解析】23(1)y x '=+，所以切线斜率13k =，又因为过点(2,2)，所以切线方程为1433y x =+．36．函数2()2f x x x =--在区间[]0,2上使用拉格朗日中值定理时，结论中的ξ=________．【答案】1【解析】由拉格朗日中值定理，知存在(0,2)ξ∈，使得()()(2)(0)()12f b f a f f f b a ξ--'===-，()21f x x '=-，当1x =时，有(1)1f '=，故1ξ=．37．函数()f x x =________．【答案】10,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】()1f x '=，令()0f x '<，解得104x <<．38．已知(0)2f =，(2)3f =，(2)4f '=，则2()xf x dx ''=⎰________．【答案】7【解析】2222()()()2(2)()8(2)(0)7xf x dx xf x f x dx f f x f f '''''=-=-=-+=⎰⎰．39.设向量b 与{}1,2,3=-a 共线，且56⋅=a b ，则=b ________．【答案】{}4,8,12-【解析】由a 与b 共线，知λ=b a ，由1456λλ⋅=⋅==a b a a ，知4λ=，故{}4,8,12=-b ．40．设22x y z e+=，则22zx∂=∂________．【答案】222(42)xy x e ++【解析】222x y z xe x+∂=∂，222222222222(42)x y x y x y z e x xe x e x +++∂=+⋅=+∂．41．函数22(,)22f x y x xy y =+-的驻点为________．【答案】(0,0)【解析】4x f x y =+，4y f x y =-，令0x f =，0y f =，得驻点为(0,0)．42．设区域D 为229x y +≤，则2Dx yd σ=⎰⎰________．【答案】0【解析】令cos x r θ=，sin y r θ=，知232323334cos sin cos sin 0Dx yd d r rdr d r dr ππσθθθθθθ=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．43．交换积分次序后，10(,)xdx f x y dy =⎰________．【答案】【解析】由题意知积分区域为01xx y ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，交换积分次序后，积分区域为201y y x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，故2110(,)(,)yxydx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰．44．已知14x y xe -=-是微分方程23x y y y e -'''-+=的一个特解，则该方程的通解为________．【答案】31214x x x y C e C e xe --=+-（12,C C 为任意常数）【解析】由题知，齐次方程所对应的特征方程为2230r r --=，解得11r =-，23r =，故对应的齐次方程的通解为312x x y C e C e -=+，又知特解为14x y xe -=-，故通解为31214x x x y C e C e xe --=+-（12,C C 为任意常数）．45．已知级数1n n u ∞=∑的部分和3n S n =，则当2n ≥时，n u =________．【答案】2331n n -+【解析】当2n ≥时，3321(1)331n n n u S S n n n n -=-=--=-+．三、计算题（每小题5 分，共40 分） 46．求011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭．【答案】【解析】200000111111lim lim lim lim lim 1(1)222x x x x x x x x x x e x e x e x x e x e x x x →→→→→-----⎛⎫-===== ⎪--⎝⎭．47．设 ()y f x =是由方程ln sin 2xy e y x x +=确定的隐函数，求dydx．【答案】22cos2ln xy xyx x xye yx e x x--+ 【解析】方法一方程两边同时对x 求导得()ln 2cos2xy ye y xy y y x x''+++=，故 22cos2ln xy xy dy x x xye yy dx x e x x--'==+．方法二令(,)ln sin 2xy F x y e y x x =+-，则22cos 2ln xy x xy y F dyx x xye y dx F x e x x--=-=+．48．已知2()x xf x dx e C -=+⎰，求1()dx f x ⎰．【答案】21142x x e C ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭【解析】等式两边对x 求导，得2()2x xf x e -=-，则211()2x xe f x =-，故 ()222211111()4442x x x x dx xde xe e dx x e C f x ⎛⎫=-=--=--+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰．49．求44(1)x x dx --⎰．【答案】1293【解析】40142224401(1)()()()x x dx x x dx x x dx x x dx ---=---+-⎰⎰⎰⎰32041132x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭32101132x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭32411132x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭1293=．50．已知22x xy y z e +-=，求全微分dz ．【答案】[]22(2)(2)xxy y e x y dx x y dy +-++-【解析】22(2)x xy y z x y e x+-∂=+∂，22(2)x xy y zx y e y +-∂=-∂，则[]22(2)(2)x xy y dz e x y dx x y dy +-=++-．51．求 (2)Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 由y x =，2y x =，2y =围成．【答案】103【解析】由题意可知，积分区域D 为02y ≤≤，2yx y ≤≤，222002510(2)(2)43yy Dx y dxdy dy x y dx y dy +=+==⎰⎰⎰⎰⎰．52．求微分方程22x y xy xe -'-=的通解．【答案】2214x x y e Ce -=-+【解析】方程为一阶非齐次线性微分方程，其中()2P x x =-，2()x Q x xe -=，则方程的通解为222()()(2)(2)21()4P x dx P x dx x dx x dx x x x y e Q x e dx C e xe e dx C e e C ------⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎰⎰⎰⎰=+=+=-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎰⎰ 2214x x e Ce -=-+．53．求幂级数212nnn n x ∞=∑的收敛区间（考虑端点）．【答案】(【解析】令2t x =，则级数为12nn n n t ∞=∑，因为11121limlim 22n n n n n na n a n ++→∞→∞+=⋅=，所以12n n n n t ∞=∑的收敛半径为2，则212n n n nx ∞=∑，又当x =1n n ∞=∑发散，故所求幂级数的收敛域为(．四、应用题（每小题7 分，共 14 分）54．靠一堵充分长的墙边，增加三面墙围成一矩形场地，在限定场地面积为642m 的条件下，问增加的三面墙各长多少时，其总长最小．【答案】三面墙的长度分别为，和【解析】设与已知墙面平行的墙的长度为x m ，则另两面墙的长为64xm ，故三面墙的总长为128(0)l x x x=+>．令212810l x '=-=，解得唯一驻点x =又32560l x''=>，故当x =m 时，l 取值最小，此时，三面墙的长度分别为，和．55．设D 是由曲线()y f x =与直线0y =，3y =围成的区域，其中2,2()6,2x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，求D 绕y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积．【答案】1172π 【解析】由题意得3322332300011117(6)(6)322y V y dy dy y y πππππ=--=---=⎰⎰．五、证明题（6 分） 56．设1()()()xx a bF x f t dt dt f t =+⎰⎰，其中函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()0f x >．证明在开区间(,)a b 内，方程满()0F x =有唯一的实根．【解析】因为()F x 在[],a b 上连续，()0f x >，且1()0()a bF a dt f t =<⎰，()()0b a F b f t dt =>⎰，所以方程()0F x =在(,)a b 内有根，又因为1()()0()F x f x f x '=+>，所以()F x 在(,)a b 内单调，故至多有一个实根．综上，在开区间(,)a b 内，方程满()0F x =有唯一的实根．。