弹塑性力学讲义-本构关系2
合集下载
弹塑性本构关系简介
松比）。
塑性材料受外部作用的反应和变形的历史有关（可称为历 史相关性或路径相关性），本构关系应写成增量关系。
应力空间表述的弹塑性本构关系
韧性（塑性）金属材料单向拉伸试验曲线如下 图示意
强度极限
b
屈服上限
L y
U y
e
屈服下限
弹性极限
强化段
软化段 卸载
残余变形
弹性变形
y
y
卸载、反向加载 包辛格效应
屈服面随内变量改变的规律称强化规律。由 材料试验的资料可建立各种强化模型，目前广 泛采用的有：等向强化；随动强化两种模型。
等 向 强
初始屈服面
2
B
f 0(ij ) 0 B
2
C A o1
化
o A 1
o
1
C
D
随
弹性
动
f 0 (ij ) 0
强 化
后继屈服面
f
( ij
,
p ij
,
k)
0
等向强化认为屈服面形状不变，只是作均匀
称后继屈服面，f
(
ij
,
p ij
,
k
)
0
。
如果一点应力的 f (ij ,ipj,,则k)此 点0 处于弹性状态，如
果
f (，ij则,处ipj ,于k)塑 0性状态。
式变张中形量的为i量j间应。存ip力j在张如和ip量j 下k，关统系称为ipj为塑内性变应量ip力j 。张其D量i中j，klkkp与l为塑标ipj 性志应永变久
d ij
Dt ijkl
d
kl
式中 Ditjk为l 切线弹性张量，形式上仍可表为
Dt ijkl
第11章-弹塑性力学--本构关系
xy c41 x c42 y c43 z c44 xy c45 yz c46 zx yz c51 x c52 y c53 z c54 xy c55 yz c56 zx zx c61 x c62 y c63 z c64 xy c65 yz c66 zx
xy c41 x c42 y c43 z
y y
图4-2
（a）
z
x
x
z
现在引进坐标系 Ox’y’z’, 原坐 标系 Oxyz 绕 y 轴转动 1800 后可与之重合 (图4-2)
新旧坐标轴间的方向余弦
l11 l33 cos180
1 0 0 1 l22 cos 0 1 0 0 l21 l31 l12 l32 l13 l23 cos 90 0
（11-13）
平面应力问题 用应变分量表示 应力分量
E y x 1 2 x E （11-14） y y x 1 2 G
ij ije 2 ij
（11-3’）
以上证明了各向同性的均匀弹性体的弹性常数只有 两个。
现在考虑一种物体各边平行于坐标轴的特殊情况，并 由此导出工程上常用的弹性常数和广义胡克定律。当物 体边界法线方向与 z 轴重合的两对边上有均匀的σz 作 用，其他边均为自由边时，则由材料力学知道
第11章 本构关系
11.1 广义胡克定律 单向应力状态，应力小于屈服应力时，应力应变呈简单的 线性关系
x E x
E 为弹性常数（扬氏弹性模量）
三维应力状态，一点处的应 力状态需9个应力分量，相对 应的也要用9个应变分量表示
xy c41 x c42 y c43 z
y y
图4-2
（a）
z
x
x
z
现在引进坐标系 Ox’y’z’, 原坐 标系 Oxyz 绕 y 轴转动 1800 后可与之重合 (图4-2)
新旧坐标轴间的方向余弦
l11 l33 cos180
1 0 0 1 l22 cos 0 1 0 0 l21 l31 l12 l32 l13 l23 cos 90 0
（11-13）
平面应力问题 用应变分量表示 应力分量
E y x 1 2 x E （11-14） y y x 1 2 G
ij ije 2 ij
（11-3’）
以上证明了各向同性的均匀弹性体的弹性常数只有 两个。
现在考虑一种物体各边平行于坐标轴的特殊情况，并 由此导出工程上常用的弹性常数和广义胡克定律。当物 体边界法线方向与 z 轴重合的两对边上有均匀的σz 作 用，其他边均为自由边时，则由材料力学知道
第11章 本构关系
11.1 广义胡克定律 单向应力状态，应力小于屈服应力时，应力应变呈简单的 线性关系
x E x
E 为弹性常数（扬氏弹性模量）
三维应力状态，一点处的应 力状态需9个应力分量，相对 应的也要用9个应变分量表示
弹塑性力学讲义—本构关系
例2-1 对Mises屈服条件，证明
f J 2 sij ij ij
证： Mises屈服条件为
2 f J2 s 0 3
J 2 J 2 sk l 1 1 smn smn k l pp k l ij sk l ij sk l 2 3 ij
量是x=，y=0，且x，y，z均为应力的主方向。若材料为理想塑
性，Poisson比<1/2，单轴拉伸屈服极限为s，试利用Mises屈服 条件求出该材料单元达到屈服时的值。记屈服时的值为0，屈服
后加载使得x=0+d，求z方向的应力增量dz。
解：屈服处于弹性阶段，对于平面应变状态，因此根据虎克定律，有 z=(x+y)= 偏应力分量为 1 1 1 sx= (2)，sy= (1+)，sz= (12)，sxy=syz=szx=0 3 3 3
d 3 d ij d ij s 2
sij
2 s diΒιβλιοθήκη 3dij dij d p
p p 2d 2 d1p d 3 p d1p d 3
ud p u
• Tresca屈服条件相关联的流动法则 不规定主应力大小顺序，Tresca屈服条件可写成
例2-4： 有一受内水压p和轴向力共同作用的薄壁圆筒，内半径为r，壁 厚为t，若圆筒保持直径不变，只产生轴向伸长，假设材料是不可压缩的，
在忽略弹性变形的情况下，试求圆筒达到塑性状态时需要多大的内水压力。
解∶ 环向应变=0，轴向伸长靠筒壁变薄实现，各应变分量为 =0 z = r 或 e=0 ez = er Levy-Mises流动理论 s=0 sz = sr
ij
0 p (ij ij )d ij 0
f J 2 sij ij ij
证： Mises屈服条件为
2 f J2 s 0 3
J 2 J 2 sk l 1 1 smn smn k l pp k l ij sk l ij sk l 2 3 ij
量是x=，y=0，且x，y，z均为应力的主方向。若材料为理想塑
性，Poisson比<1/2，单轴拉伸屈服极限为s，试利用Mises屈服 条件求出该材料单元达到屈服时的值。记屈服时的值为0，屈服
后加载使得x=0+d，求z方向的应力增量dz。
解：屈服处于弹性阶段，对于平面应变状态，因此根据虎克定律，有 z=(x+y)= 偏应力分量为 1 1 1 sx= (2)，sy= (1+)，sz= (12)，sxy=syz=szx=0 3 3 3
d 3 d ij d ij s 2
sij
2 s diΒιβλιοθήκη 3dij dij d p
p p 2d 2 d1p d 3 p d1p d 3
ud p u
• Tresca屈服条件相关联的流动法则 不规定主应力大小顺序，Tresca屈服条件可写成
例2-4： 有一受内水压p和轴向力共同作用的薄壁圆筒，内半径为r，壁 厚为t，若圆筒保持直径不变，只产生轴向伸长，假设材料是不可压缩的，
在忽略弹性变形的情况下，试求圆筒达到塑性状态时需要多大的内水压力。
解∶ 环向应变=0，轴向伸长靠筒壁变薄实现，各应变分量为 =0 z = r 或 e=0 ez = er Levy-Mises流动理论 s=0 sz = sr
ij
0 p (ij ij )d ij 0
弹塑性本构模型理论课件
。
材料屈服强度影响规律
屈服强度定义
材料开始发生明显塑性变形的最小应力值，反映了材料抵抗塑性变 形的能力。
屈服强度对弹塑性行为的影响
屈服强度越大，材料抵抗塑性变形的能力越强，进入塑性阶段所需 的应力水平越高，材料的塑性变形能力越差。
屈服强度的影响因素
材料的晶体结构、化学成分、温度、应变速率等都会影响屈服强度 的大小。
材料弹性模量影响规律
弹性模量定义
01
材料在弹性阶段内，应力与应变之比，反映了材料抵抗弹性变
形的能力。
弹性模量对弹塑性行为的影响
02
弹性模量越大，材料的刚度越大，相同应力作用下产生的弹性
变形越小，进入塑性阶段所需的应力水平越高。
弹性模量的影响因素
03
材料的晶体结构、化学成分、温度等都会影响弹性模量的大小
弹性阶段
材料在受力初期表现出弹性行为，应 力与应变呈线性关系，卸载后无残余 变形。
屈服阶段
当应力达到屈服强度时，材料进入塑 性阶段，应力不再增加但应变继续增 加，卸载后有残余变形。
强化阶段
材料在塑性阶段表现出应变硬化特性 ，随着塑性应变的增加，屈服强度逐 渐提高。
理想弹塑性模型
无强化阶段的弹塑性模型，屈服后应 力保持恒定，应变无限增加。
通过实验测定金属材料的弹性模量、屈服强度、硬化模量等参 数，为模拟提供准确数据。
利用有限元软件建立金属材料的弹塑性行为模型，进行加载、 卸载等模拟过程。
将模拟结果与实验结果进行对比，验证弹塑性本构模型在金属 材料行为模拟中的准确性和可靠性。
实例二：混凝土结构弹塑性损伤评估
损伤模型选择
针对混凝土结构的损伤特点，选择合适 的弹塑性损伤本构模型，如塑性损伤模
弹塑性力学-弹塑性本构关系
此式限制了屈服面的形状： 对于任意应力状态，应力增量方向
与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90°
稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
ij
0 ij
(b) 不满足稳定 材料的屈服面
/2
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
d 必p 与加载面的外法线
重合，否则总可以找到A0 使A0A·dεp≥0不成立(如右 图)。
的真实功与ij0起点无关；
Ñ d ipj ij ij 0
(2)附加应力功不符合功的 定义，并非真实功
i0j ij i0jdij0
-
应力循环中外载所作真实功 与附加应力功
（3）非真实物理功不能引用热力学定律；
（4）德鲁克公设的适用条件：
①ij0在塑性势面与屈服面
之内时，德鲁克公设成立；
d
p ij
d
ij
由应力空间中的屈服与应变空间中屈服面的转换关系，可得：
结合
-
D
ij
ij
dipj Ddipj
d
p ij
d
ij
可得：
d d
3.1.4 塑性位势理论与流动法则
与弹性位势理论相类似，Mises于1928年提出塑性
位势理论。他假设经过应力空间的任何一点M，必有
一塑性位势等势面存在，其数学表达式称为塑性位势
残余应力增量与塑性 应变增量存在关系：
dipj Ddipj
式中，D为弹性矩阵。 根据依留申公设，在 完成上述应变循环中， 外部功不为负，即
Ñ WI ijdij 0 i0j
只有在弹性应变时，上述WI=0。
根据Druker塑性公设
当 i0 jij时 (iji0 j)dijp 0
与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90°
稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
ij
0 ij
(b) 不满足稳定 材料的屈服面
/2
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
d 必p 与加载面的外法线
重合，否则总可以找到A0 使A0A·dεp≥0不成立(如右 图)。
的真实功与ij0起点无关；
Ñ d ipj ij ij 0
(2)附加应力功不符合功的 定义，并非真实功
i0j ij i0jdij0
-
应力循环中外载所作真实功 与附加应力功
（3）非真实物理功不能引用热力学定律；
（4）德鲁克公设的适用条件：
①ij0在塑性势面与屈服面
之内时，德鲁克公设成立；
d
p ij
d
ij
由应力空间中的屈服与应变空间中屈服面的转换关系，可得：
结合
-
D
ij
ij
dipj Ddipj
d
p ij
d
ij
可得：
d d
3.1.4 塑性位势理论与流动法则
与弹性位势理论相类似，Mises于1928年提出塑性
位势理论。他假设经过应力空间的任何一点M，必有
一塑性位势等势面存在，其数学表达式称为塑性位势
残余应力增量与塑性 应变增量存在关系：
dipj Ddipj
式中，D为弹性矩阵。 根据依留申公设，在 完成上述应变循环中， 外部功不为负，即
Ñ WI ijdij 0 i0j
只有在弹性应变时，上述WI=0。
根据Druker塑性公设
当 i0 jij时 (iji0 j)dijp 0
弹塑性力学塑性本构关系
0
14
1.理想塑性材料的增量本构关系 2.硬化材料的增量塑性本构关系 3.全量塑性本构关系
15
2. 硬化材料的增量塑性本构关系
d
p ij
d
f
ij
f g 相关联流动
塑性应变大小 塑性应变方向
对于强化材料
f
ij
d ij
0
d ij 在
f
ij
方向上的投影，反映了塑性应变增量的大小。
可假设：
d
1 h
H121
Cp ijkl
1
9K 2
G
H11H 22
H
2 22
对称
H11H 33
H 22H33
H
2 33
H11H12 H 22H12 H 33 H12
H122
H11H 23
H 22H 23
H 33 H12
H12H 23
H
2 23
H11H 31 H 22H31
H
33
H
31
H12H31
H12
H
0
如果hd以 d累积pf塑2ij d性d32应ijd变ijpdkfddijpkdp作32p0为d内2变hd量f ij
f
fij ij
ij
p ij
d
k k p k d2 p f f
p ij
d
d
p ij
d
f k
k
p
d
d p
f
p
ij
0
3 ij ij
2 f f
3 ij ij
h f
Cijkl
1 H
H
ij
H
kl
H
非线性有限元9弹塑性本构关系ppt课件
单轴试验下材料的弹塑性性态 （1/3）
对塑性变形基本规律的认识来自于实验： • 从实验中找出在应力超出弹性极限后材料的特性; • 将这些特性进行归纳并提出合理的假设和简化模型，
确定应力超过弹性极限后材料的本构关系; • 建立塑性力学的基本方程; 1) 求解这些方程，得到不同塑性状态下物体内的应力和
应变。
• 塑性阶段：继续加载，材料可承受 更大应力，称为材料强化，并伴随 出现塑性应变。至A点以前卸载， 路径接近直线，即处于弹性卸载状 态，其斜率等于加载斜率E。
1) 破坏点：继续加载至可承受的最大 极限应力，试件出现颈缩而破坏，
称为强度极限。
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
1913年：泰勒（Taylor）的实验证明，LevyMises本构关系是真实情况的一阶近似。
1924年：提出塑性全量理论，伊柳辛（Ilyushin） 等苏联学者用来解决大量实际问题。
1930年：罗伊斯（Reuss）在普朗特（Prandtle） 的启示下，提出包括弹性应变部分的三维塑性应力 -应变关系。至此，塑性增量理论初步建立。
（屈服点），描写多维问题的屈服条件就需要应力或应变空间的一个临界曲面，该
曲面称为屈服面。
考虑到塑性变形与静
水压力无关的特点
f1,2,3C
FJ2,J3C
至今已出现许多屈服理论。俞茂宏教授在这方面做出了重要贡献。 屈服函数：
是描写屈服条件的函数。不同屈服条件，其屈服函数不尽相同。
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
基本实验有两个： • 简单拉伸实验：实验表明，塑性力学研究的应力与应变
对塑性变形基本规律的认识来自于实验： • 从实验中找出在应力超出弹性极限后材料的特性; • 将这些特性进行归纳并提出合理的假设和简化模型，
确定应力超过弹性极限后材料的本构关系; • 建立塑性力学的基本方程; 1) 求解这些方程，得到不同塑性状态下物体内的应力和
应变。
• 塑性阶段：继续加载，材料可承受 更大应力，称为材料强化，并伴随 出现塑性应变。至A点以前卸载， 路径接近直线，即处于弹性卸载状 态，其斜率等于加载斜率E。
1) 破坏点：继续加载至可承受的最大 极限应力，试件出现颈缩而破坏，
称为强度极限。
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
1913年：泰勒（Taylor）的实验证明，LevyMises本构关系是真实情况的一阶近似。
1924年：提出塑性全量理论，伊柳辛（Ilyushin） 等苏联学者用来解决大量实际问题。
1930年：罗伊斯（Reuss）在普朗特（Prandtle） 的启示下，提出包括弹性应变部分的三维塑性应力 -应变关系。至此，塑性增量理论初步建立。
（屈服点），描写多维问题的屈服条件就需要应力或应变空间的一个临界曲面，该
曲面称为屈服面。
考虑到塑性变形与静
水压力无关的特点
f1,2,3C
FJ2,J3C
至今已出现许多屈服理论。俞茂宏教授在这方面做出了重要贡献。 屈服函数：
是描写屈服条件的函数。不同屈服条件，其屈服函数不尽相同。
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
基本实验有两个： • 简单拉伸实验：实验表明，塑性力学研究的应力与应变
弹塑性力学本构关系
U 0 ij ij
—— Green公式
U 0 U 0 U 0 U 0 U 0 U 0 x , y , z , xy , yz , zx x y z xy yz zx
由
同理
x U 0 c12 y x c31 c14 c41
横观各向异性材料，其独立的弹性常数为13个；正应变会 产生切应力，切应变也会产生正应力 工程上，单斜晶体（如正长石）可简化为横观各向异性弹 性体。
二. 正交各向异性材料
z
具有三个相互垂直弹性对 称面的材料称为正交各向异性 材料。 设三个弹性对称面分别为 Oxy、Oyz和Ozx平面，材料沿 x、 y、 z 三方向弹性性质各异。
对 称
1 c22 c33 , c44 c66 , c55 c22 c23 2
0 0 0 0 1 c11 c12 2
x y z 0 xy yz 0 zx 1 c11 c12 2 0 0 0
c12 c21 c15 c51
c56 c65
即
cmn cnm
x c11 c12 c22 y z xy 对 yz zx
c13 c23 c33
称
m、n ij、kl 1 11 2 22 3 33 4 12 5 23 6 31
如，c22 c2222 ， c56 c2331 广义胡克定律的一般形式最广泛地描述了材料的线弹性性 质，但未能描述物体外部环境条件和内部物理特征。
§4-2 线弹性体的本构关系
如果材料在变形过程中处于等温绝热过程。 根据热力学第一定律和相应数学推导， ij f ij 有势， 其势函数U0(ij) 为物体单位体积的变形能（应变能）。
—— Green公式
U 0 U 0 U 0 U 0 U 0 U 0 x , y , z , xy , yz , zx x y z xy yz zx
由
同理
x U 0 c12 y x c31 c14 c41
横观各向异性材料，其独立的弹性常数为13个；正应变会 产生切应力，切应变也会产生正应力 工程上，单斜晶体（如正长石）可简化为横观各向异性弹 性体。
二. 正交各向异性材料
z
具有三个相互垂直弹性对 称面的材料称为正交各向异性 材料。 设三个弹性对称面分别为 Oxy、Oyz和Ozx平面，材料沿 x、 y、 z 三方向弹性性质各异。
对 称
1 c22 c33 , c44 c66 , c55 c22 c23 2
0 0 0 0 1 c11 c12 2
x y z 0 xy yz 0 zx 1 c11 c12 2 0 0 0
c12 c21 c15 c51
c56 c65
即
cmn cnm
x c11 c12 c22 y z xy 对 yz zx
c13 c23 c33
称
m、n ij、kl 1 11 2 22 3 33 4 12 5 23 6 31
如，c22 c2222 ， c56 c2331 广义胡克定律的一般形式最广泛地描述了材料的线弹性性 质，但未能描述物体外部环境条件和内部物理特征。
§4-2 线弹性体的本构关系
如果材料在变形过程中处于等温绝热过程。 根据热力学第一定律和相应数学推导， ij f ij 有势， 其势函数U0(ij) 为物体单位体积的变形能（应变能）。
弹塑性力学塑性本构关系
德鲁克－普拉格屈服条件是对Mises屈服条件的改进，该 条件中增加了应力张量的第一不变量，屈服条件表达式为
f (I1, J2 ) = α I1 + J2 = k
( ) 其中 α=
2 sin ϕ
3 3 − sin 2 ϕ
( ) k = 6c cosϕ 3 3 − sin 2 ϕ
c, φ 分别为材料的粘性系数和内摩擦角。
= k2
其中 σ0 为拉伸屈服应力，所以
k=
1 3
σ
0
5.2 常用的屈服条件
5.2.2 Mises屈服条件
MIses屈服条件的一般形式为
σ Mises − σ 0 = 0
其中 σ Mises =
3J2 =
1 2
⎡⎣(σ1
−
σ2
)2
+
(σ
2
−
σ3
)2
+
(σ 3
−
σ1 )2
⎤ ⎦
在主应力空间中，Mises屈服条
3 2
sij
−
Cdε
p ij
sij −
Cdε
p ij
−σs = 0
C表征材料强化的大小，来自单向拉伸
5.3 后继屈服条件
内变量
描述连续介质的力学量可以分为外变量和内变量，外变 量是可以从外部直接量测的量，例如总应变、总变形、应 力，温度等；内变量则是不能直接量测的，表征材料内部变 化的量，例如塑性应变、塑性功（塑性变形消耗的功）等。
塑性应变
εp ij
塑性功
= εij
−
ε
e ij
=
ε ij
− ⎜⎜⎝⎛
σ
′
0
σ
塑性力学-塑性本构关系
第三章塑性本构关系全量和增量理论•全量理论（形变理论）：在塑性状态下仍有应力和应变之间的关系。
Il’yushin(伊柳辛)理论。
•增量理论（流动理论）：在塑性状态下是塑性应变增量和应力及应力增量之间的关系。
Levy-Mises理论和Prandtl-Reuss理论。
3-5 全量理论的适用范围简单加载定律变形：小变形加载：简单加载适用范围：物体内每一点应力的各个应力分量，在加载过程中成比例增长简单加载：()0ij ijt σασ=0ijσ非零的参考应力状态()t α随着加载单调增长加载时物体内应力和应变特点：应力和应变的主方向都保持不变应力和应变的主分量成比例增长应力Lode参数和应力Lode角保持常数应力点的轨迹在应力空间是直线小变形前提下，判断简单加载的条件：荷载按比例增长（包括体力）；零位移边界材料不可压缩应力强度和应变强度幂函数关系m i iA σε=实际应用：满足荷载比例增长和零位移边界条件3-6 卸载定律卸载：按照单一曲线假设，应力强度减小•外载荷减小，应力水平降低•塑性变形发展，应力重分布，局部应力强度降低简单卸载定律：•各点的应力分量按比例减少•不发生新的塑性变形¾以卸载时的荷载改变量为假想荷载，按弹性计算得到应力和应变的改变量¾卸载前的应力和应变减去卸载过程中的改变量塑性本构关系的基本要素•初始屈服条件–判断弹性或者塑性区•后继屈服条件–描述材料硬化特性，内变量演化•流动法则–应变增量和应力以及应力增量之间的关系，包括方向和分配关系Saint-Venant(1870):应变增量和应力张量主轴重合•继承这个方向关系•提出分配关系()0ij ij d d S d ελλ=≥应变增量分量和应力偏量分量成比例Levy-Mises 流动法则(M. Levy,1871 & Von Mises,1913)适用范围：刚塑性材料3-7 流动法则－－Levy-Mises & Prandtl-Reuss。
塑性力学03-塑性本构关系ppt课件
的应力和应变的改变量, 即B点的应
B
%
力和应变为
% , %
o
p e
因为卸载要服从弹性本构关系,
即 E. 这就是说,我们可以
由因为卸载引起的荷载的改变
%
量 P P% P 按弹性计算得到.
• 推广到复杂应力的卸载情况(即应力强度 i 减小)得到:
卸载定律 . 即: 卸载后的应力或应变等于卸载前的应力或应变 减去卸载时的荷载改变量 P P% P 为假想荷载按弹性计算所
是某一非零的参考应力状态,
t 是单调增加的参数.
这样定义的简单加载说明, 在加载时物体内应变和应力的主方
向都保持不变.
• 但是物体内的内力是不能事先确定的, 那么如何判断加载过 程是简单加载? Il’yushin指出, 在符合下列三个条件时, 可以 证明物体内所有各点是处于简单加载过程:
(1) 荷载(包括体力)按比例增长.如有位移边界条件应为零.
应变增量强度
d
p i
的公式得到
d
p i
d
2 3
Sij Sij
2 3
d
i
所以 d 3dip 3d i 2 i 2H 14i
• 将上面得到的 d代入Levy-Mises流动法则就得到弹塑性硬化
材料的增量型本构方程:
dii
1 2
E
d ii
deij
1 2G
dSij
3d i 2H i
Sij
或写成:
dij
z
2
S
1 E
1 F
1
4
1
z
S
3
1 G
3 F
ln
2
z
屈服曲线
B
%
力和应变为
% , %
o
p e
因为卸载要服从弹性本构关系,
即 E. 这就是说,我们可以
由因为卸载引起的荷载的改变
%
量 P P% P 按弹性计算得到.
• 推广到复杂应力的卸载情况(即应力强度 i 减小)得到:
卸载定律 . 即: 卸载后的应力或应变等于卸载前的应力或应变 减去卸载时的荷载改变量 P P% P 为假想荷载按弹性计算所
是某一非零的参考应力状态,
t 是单调增加的参数.
这样定义的简单加载说明, 在加载时物体内应变和应力的主方
向都保持不变.
• 但是物体内的内力是不能事先确定的, 那么如何判断加载过 程是简单加载? Il’yushin指出, 在符合下列三个条件时, 可以 证明物体内所有各点是处于简单加载过程:
(1) 荷载(包括体力)按比例增长.如有位移边界条件应为零.
应变增量强度
d
p i
的公式得到
d
p i
d
2 3
Sij Sij
2 3
d
i
所以 d 3dip 3d i 2 i 2H 14i
• 将上面得到的 d代入Levy-Mises流动法则就得到弹塑性硬化
材料的增量型本构方程:
dii
1 2
E
d ii
deij
1 2G
dSij
3d i 2H i
Sij
或写成:
dij
z
2
S
1 E
1 F
1
4
1
z
S
3
1 G
3 F
ln
2
z
屈服曲线
弹塑性力学-弹塑性本构关系
0 0 p
W D ( ij ij ) d ij 0
0 p
由图(a)可知，对于弹性性质不随加载面改变的非耦合情况，外 部作用在应变循环内做功WI和应力循环所作的外部功之间仅差 一个正的附加项： 1
d
p
d
p
2
因此可将应变循环所作的外部功，写成
WI WD 1 2 d ij d
d
p
2 3
d e ij d e ij
p
p
m ises : q s H ( d W
p
)[ 或 H ( d
p
p
)] 0
p
tresca : m ax s H ( d W
)[ 或 H ( d
)] 0
在应力空间中，这种后 继屈服面的大小 只与最大 的应力状态有关，而与中 间的加载路径无关。在右 图中，路径1与路径2的最 终应力 状态都刚好对应于 加载过程中最大应力状态， 因此两者的最终后继屈服 是一样的；而路径3的最 终后继屈服面由加载路径 中最大应力状态来定。
0
p
ij
0
ij
0
W D ( ij a d ij ij ) d
0
p
ij
0
1 a
1 2
当 ij ij时 , 略 去 无 穷 小 量
0
( ij ij ) d ij 0
0 p
屈服面的外凸性 塑性应变增量方向 与加载曲面正交
当
0 ij
( ij , H ) F ( I 1 , J 2 , J 3 ) K 0 初始屈服面 硬化系数
p p
t r e s c a 、 vo n m ises 、 M － C K H ( d W ) 或 H ( d
W D ( ij ij ) d ij 0
0 p
由图(a)可知，对于弹性性质不随加载面改变的非耦合情况，外 部作用在应变循环内做功WI和应力循环所作的外部功之间仅差 一个正的附加项： 1
d
p
d
p
2
因此可将应变循环所作的外部功，写成
WI WD 1 2 d ij d
d
p
2 3
d e ij d e ij
p
p
m ises : q s H ( d W
p
)[ 或 H ( d
p
p
)] 0
p
tresca : m ax s H ( d W
)[ 或 H ( d
)] 0
在应力空间中，这种后 继屈服面的大小 只与最大 的应力状态有关，而与中 间的加载路径无关。在右 图中，路径1与路径2的最 终应力 状态都刚好对应于 加载过程中最大应力状态， 因此两者的最终后继屈服 是一样的；而路径3的最 终后继屈服面由加载路径 中最大应力状态来定。
0
p
ij
0
ij
0
W D ( ij a d ij ij ) d
0
p
ij
0
1 a
1 2
当 ij ij时 , 略 去 无 穷 小 量
0
( ij ij ) d ij 0
0 p
屈服面的外凸性 塑性应变增量方向 与加载曲面正交
当
0 ij
( ij , H ) F ( I 1 , J 2 , J 3 ) K 0 初始屈服面 硬化系数
p p
t r e s c a 、 vo n m ises 、 M － C K H ( d W ) 或 H ( d
弹塑性力学-本构关系
xx C11 xx C12 yy C13 zz C16 xy C C C C 21 xx 22 yy 23 zz 26 xy yy zz C31 xx C32 yy C33 zz C36 xy yz C44 yz C45 zx zx C54 yz C55 zx xy C61 xx C62 yy C63 zz C66 xy
设弹性体内的位移矢量为：
线弹性本构关系
dA dt
u ui ei 体积力矢量为： f f i ei 面积力矢量为： F X i ei
考察微单元体上的体积力和面积力在单位时间内所 做的功为：
V
dV f u
dS F u
C16 C26 C36 C45 0
xx C11 xx C12 yy C13 zz C C C 21 xx 22 yy 23 zz yy C C C zz 31 xx 32 yy 33 zz yz C44 yz zx C55 zx 这种材料称为正交各向异性 材料，有9个独立的材料常数。 C xy 66 xy
S i i S ij j i V ij i , j
w ij dV dV ij 又： U wdV V t V V w w ij dw ij d ij ij ij t ij
dU dA dt dt
(
V
ij , j
i dV f i )u
xy xx , zz , zx , xy xx yy yy , zz yz yz , zx
塑性力学第五章本构关系ppt课件
（5-2）
将三个正应变相加，得：
kk
kk
2G
3
E
mkk
1 2
E
kk
记：平均正应变
m
1 3
kk
体积弹性模量 K E / 3(1 2 )
则平均正应力与平均正应变的关系：
m 3K m
（5-4）
（5-2）式用可用应力偏量 sij 和应变偏量 eij 表示为
1 eij 2G sij
（5-5）
包含5个独立方程
利用Mises屈服条件
J 2
2 s
2 s
3,
可以得到
本构关系
d dijdij d 3d
2 J 2
2 s 2 s
将（5-41）式代回（5-39）式，可求出
（5-41）
sij
d ij d
2 sdij d
2 sdij 3d
（5-44）
在（5-39）式中，给定 sij 后不能确定 dij ，但反之却可由 dij
确定 sij 如下：
J 2
1 2
sij sij
1
2(d)2
dijdij ,
将（5-38）式与（5-41）式加以比较就发现：
dW p s d s d
（5-45）
对于刚塑性材料 dW dW p
3、实验验证
本构关系
理想塑性材料与Mises条件相关连的流动法则：
d
p ij
d sij
对应于π平面上，d与p 二S 向量在由坐标原点发出的同一条射线上。
sij
（5-5）
We
1 2G
J 2
1
2
1 G 2
2
1
2
1
弹塑性力学讲义
弹塑性力学讲义弹塑性力学1 弹塑性的概念所谓弹塑性指的是物体在外力作用下发生变形而外力除去后变形不能完全恢复的性质。
变形中可回复的部分称为弹性变形，变形中不可回复的部分称为塑性变形。
塑性变形总是在外力的作用超过一定的限度后出现。
2 简单拉压状态下金属材料弹塑性行为及其数学模型（1）理想塑性材料的弹塑性行为σs主要特点：屈服后加载，表现出一种流动变形现象，材料失去进一步承载的能力；屈服后卸载，应力应变增量大致与弹性变形段相同。
卸载至零后再次加载，应力应变关系相当于原应力应变关系曲线在应变轴方向作了一个平移，平移量为残余塑性应变。
数学表达：Eε(0 ε εs)σ σ(ε)σ(ε ε)s s Eε( εs ε 0)σ σ(ε)(ε εs) σs（2）线性强化材料的弹塑性行为σσs主要特点：屈服后加载，材料仍有进一步承载的能力，但应力应变增量的比例较弹性段小；屈服后卸载，应力应变增量大致与弹性变形段相同。
卸载至零后再次加载，屈服应力为卸载前的应力值（较先前的屈服应力大），应力应变关系相当于原应力应变关系曲线在应变轴方向作了一个平移，平移量为残余塑性应变，同时应力轴伸长。
两种常用的强化模型数学表达：Eε(0 ε εs)σ σ(ε)σ E(ε ε)(ε ε)ss sEε( εs ε 0)σ σ(ε)σs E(ε εs)(ε εs)上述描述弹塑性材料应力应变关系的数学模型称为全量型本构关系。
显然不能代表弹塑性变形规律的全貌。
它描述了单调应力-应变过程。
为了描述弹塑性力学行为的“过程相依”，需要建立增量型本构关系。
记当前应力为σ0，应力增量为dσ，应变增量为dε，分析弹塑性行为可以得出相应的增量变形法则。
理想塑性材料的增量型弹塑性关系（1）由dσ决定dε当σs σ0 σs时，dε dσ/E 当σ0 σs时，dεdλσ0ifdσ 0 dσ/Eifdσ 0dλσ0ifdσ 0当σ0 σs时，dεdσ/Eifdσ 0（2）由dε决定dσ当σs σ0 σs时，dσ Edε0ifdε 0当σ0 σs时，dσEdεifdε 0当σ0 σs时，dσ0ifdε 0 Edεifdε 0例：已经测得某理想弹塑性材料的细杆所经受的轴向应变过程如图所示，试求此杆中的应力过程。