高等数学2知识点总复习

高等数学总复 习
知识点1. 数量积、向量积、夹角余弦；
a
b
|
a||
b|
cos
(其中 为a与b的夹角)
(1) a a | a|2 .
(2)
a
b
0
ab.
a
b
axbx
a yby
a z bz
cos
axbx a yby azbz
ax 2 a y2 az 2 bx 2 by2 bz 2
|知c|识| a点|| b1| s.in数 量积(其、中向为量a与积b、的夹夹角角) 余弦；
z
a bc
V 1, 1 1 abc 1, 32
o
y
x
由所求平面与已知平面平行得
111 （向量平行的充要条件） a b c t
616
化简得 1 1 1 t 6a b 6c
a 1 , b 1, c 1 ,
6t
t
6t 代入体积式
1 1 1 1 1 6 6t t 6t
t 1, 6
m
n
p
两直线的夹角公式
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
知识点3：空间直线及面线间的关系方程
平面: Ax By Cz D 0, n ( A, B , C)
直线: x x y y z z , s (m , n , p) mn p
垂直：s n 0
mn p ABC
平行： s n 0
夹角公式： sin s n
sn
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例. 求直线
与平面
t
的交点 . 提示: 化直线方程为参数方程
代入平面方程得 t 1
从而确定交点为（1，2，2）.
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x 4z 3 例 5 一直线 L 过点(-3,2,5)，且和直线2x y 5z 1平行，
解
3 x2 y2 1
x y2 0
2 x2 y2 4
x
y2
所求定义域为 D {(x, y) | 2 x2 y2 4, x y2}.
例7
求极限
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
.
y0
解
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
y0
lim
x0
sin( x2 x2 y
ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
1 , 2
3 .
4
例2
求与a
3i
2
j
4k ，b
i
j
2k 都垂
直的单位向量.
解
i jki j
c
a
b
ax
ay
az 3
2
k
4
10 j 5k,
bx by bz 1 1 2
| c| 102 52 5 5,
c0
y)
x2 y x2 y2
,
y0
其中
lim
x0
sin( x
x2 2y
y
)
y0
u x2 y sin u
lim 1, u0 u
x2 y x2 y2
1x 2
x0 0,
lim
x0
sin( x2 y) x2 y2
0.
y0
求极限:
xy 1 1
lim
.
x0
xy
y0
1 cos(x2 y2 )
lim
x0
(x2 y2)x2 y2
(1)
a
a
0.
(2)
a//
b
a
b
0.
i jk
a
b
ax
ay
az
bx by bz
a//
b
ax ay az
bx by bz
例 (2)
1a与已b知的a夹 角{1。,1,4}，b
{1,2,2}，求(1)
a
b；
解
(1)
a
b
1
1
1
(2)
(4)
2
9.
(2) cos
axbx a yby azbz
即 z f [( x, y), x, y], 令 v x, w y,
y5 2
z8与 1
L2
:
x y 6 2 y z 3
则L1与L2的夹角为
(A)
6
(B)
4 (C)
3
(D)
2
[注] L1和L2的方向向量分别为 s1 {1,2,1} 和 s2 {1,1,2},
cos
s1 s2 /
|
s1
||
s2
|
1,
2
3
知识点4：二元函数的定义域与极限
例6 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的定义域． x y2
求其方程.
ij
解 s n1 n2 1 0
2 1
k 4 {4,3Biblioteka Baidu1} 5
所求直线方程 x 3 y 2 z 5 .
方法2:设
s
{m,
4
n,
p}
3
1
sn1 , sn2
m4p0 2m n 5 p
0
m 4
n 3
p 1
取 s {4,3,1}
练习: 设有直线
L1 :
x 1 1
a 1, b 6, c 1,
所求平面方程为 6x y 6z 6.
知识点3：空间直线及其方程
空间直线的一般方程:
A1 A2
x x
B1 y C1z D1 0 B2 y C2z D2 0
直线的参数方程:
x x0 mt
y
y0
nt
z z0 pt
直线的对称式方程:
x x0 y y0 z z0
;
y0
知识点5：二元函数求偏导数；
全微分: dz z dx z dy x y
多元复合函数链式法则:
dz z du z dv . dt u dt v dt z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
特殊地 z f (u, x, y) 其中 u ( x, y) z
A12 B12 C12
A22
B22
C
2 2
(1) 1 2 A1 A2 B1B2 C1C2 0;
(2)
1
//
2
A1 A2
B1 B2
C1 C2
.
例 3 求过点(1,1,1)，且垂直于平面 x y z 7和 3x 2 y 12z 5 0的平面方程. 解 n1 {1,1,1}, n2 {3,2,12}
|
c c|
2
j
5
1 5
k.
知识点2：平面及其方程（三种形式）
平面的点法式方程: A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
平面的一般方程: Ax By Cz D 0 平面的截距式方程: x y z 1
a bc
两平面夹角余弦公式:
cos
| A1 A2 B1B2 C1C2 |
取法向量 n n1 n2 {10,15, 5},
所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0,
化简得 2x 3 y z 6 0.
例 4 求平行于平面6x y 6z 5 0而与三个坐
标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
解 设平面为 x y z 1,