第三章 导数及其应用3-1导数的概念及运算

二、常见函数的导数 1．常用的导数公式 C′＝0(C为常数)； (xm)′＝mxm－1(x>0，m≠0且m∈Q)； (xn)′＝nxn－1(n∈N＋) (sinx)′＝cosx； (cosx)′＝－sinx； (ex)′＝ex，
1 (a )′＝a lna；(lnx)′＝ ； x
x 轴、直
线 x＝π 所围成的三角形的面积为( π2 A. 2 C．2π
2
)
B．π2 1 D. (2＋π)2 2
解析： 曲线 y＝xsinx
π π 在点－2，2处的切线方程
π2 为 y＝－x，所围成的三角形的面积为 .故选 A. 2
写出下列函数的导数： (1)y＝3xex－2x＋e；________ lnx (2)y＝ 2 ；________ x ＋1 (3)y＝xcosx－sinx；________ (4)y＝(3－2x)5.________
(2)瞬时速度 设物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)，当 Δt 趋近 于 0 时， 函数 f(t)在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内的平均变化率 Δs ft0＋Δt－ft0 ＝ 趋近于常数，我们把这个常数称为 t0 Δt Δt 时刻的瞬时速度．
3．导数 设函数 y＝f(x)在 x0 处及其附近有定义，当自变量在 x＝x0 附近改变量为 Δx 时，函数值相应地改变量 Δy＝f(x0 Δy ＋Δx)－f(x0)．如果当 Δx 趋近于 0 时，平均变化率 ＝ Δx fx0＋Δx－fx0 趋近于一个常数 l， 那么常数 l 称为函数 f(x) Δx 在点 x0 处的瞬时变化率．函数在点 x0 处的瞬时变化率通 常称为 f(x)在 x＝x0 处的导数，又称函数 f(x)在 x＝x0 处可 导．


解析：∵f(x)＝2x3＋ax的图象过点P(2,0)， ∴a＝－8，∴f(x)＝2x3－8x， ∴f ′(x)＝6x2－8. ∵g(x)＝bx2＋c的图象过点P(2,0)，∴4b＋c ＝0. 又g′(x)＝2bx，g′(2)＝4b＝f ′(2)＝16， ∴b＝4，∴c＝－16，∴g(x)＝4x2－16. 综上可知，f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16. 答案：2x3－8x 4x2－16
3． 运用复合函数的求导法则 y′x＝y′u· x， u′ 应注 意以下几个问题 (1)分清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数 复合而成，适当选定中间变量； (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求 导，而其中特别要注意的是中间变量的导数，求导后要 ． 把中间变量转换成自变量的函数． ．．．．．．．．．．．．．．．



●命题趋势 (1)求导数及切线方程． (2)用导数研究函数的单调性，求函数的极 值与最值． (3)导数的综合应用． (4)(理)定积分与微积分基本定理的应用．


●备考指南 1．熟练掌握导数的定义及运算法则 主要包括理解导数的定义，熟记求导公式、 导数的四则运算法则、复合函数求导法则， 并能运用上述公式与法则进行求导计算. 2．熟练掌握导数的应用 主要包括利用导数确定函数的单调性、求函 数的极值与最值. 特别要注意能用导数的方 法解决一些函数性质的综合性问题.



解析：f1(x)＝－sinx，f2(x)＝cosx，f3(x)＝ －sinx，f4(x)＝cosx，f5(x)＝－sinx„， 故fn(x)的周期为2，∵2011＝2×1005＋1， ∴f2011(x)＝f1(x)＝－sinx，故选B. 答案：B
(理)曲线 y＝xsinx
π π 在点－2，2处的切线与

分析：依据导数的定义

解析：令－k＝Δx，则k＝－Δx，

答案：－1

解析：原式

答案：2A

解析：

答案：B

[例2] (文)已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝ bx2＋c的图象都过点P(2,0)，且在点P处有 公共切线，则f(x)＝______，g(x)＝ ________.
解析：(1)y′＝3x· ex＋3x·x－2xln2 ln3· e ＝(ln3＋1)3xex－2xln2； 1 2 · ＋1－lnx· x2＋1－2x2lnx x 2x x (2)y′＝ ＝ ； x2＋12 xx2＋12 (3)y′＝cosx＋x(－sinx)－cosx＝－xsinx； (4)y′＝5(3－2x)4· (－2)＝－10(3－2x)4.

3．(理)掌握定积分的概念、性质，掌握微 积分基本定理，会用定积分解决一些平面曲 线围成的平面图形的面积和变速运动的路程 及变力作功等几何与物理问题．



重点难点 重点：导数的概念、公式及运算法则，导数 的应用 难点：①导数的定义 ②复合函数的导数及积商的导数公式

知识归纳 一、导数及有关概念
解析：两边取对数得 lny＝ln(x－1)＋ln(x－2)＋„＋ln(x－100)． y′ 1 1 1 两边对 x 求导： ＝ ＋ ＋„＋ . y x－1 x－2 x－100
1 1 1 ＋ ＋„＋ ∴y′＝ · (x－1)(x－2)· (x „· x－1 x－2 x－100

(3)会使用导数公式表．


3．导数在研究函数中的应用 (1)结合实例，借助几何直观探索并了解函 数的单调性与导数的关系；能利用导数研究 函数的单调性，会求不超过三次的多项式函 数的单调区间． (2)结合函数的图象，了解函数在某点取得 极值的必要条件和充分条件；会用导数求不 超过三次的多项式函数的极大值、极小值， 以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大 值、最小值；体会导数方法在研究函数性质 中的一般性和有效性．
4ex 解析：y′＝－ x e ＋12 4ex 4ex 4 ∴tanα＝－ x ＝－ x 2 ＝－ 1 e ＋12 e ＋2ex＋1 ex＋ x＋2 e 1 ∵e ＞0，∴e ＋ x ≥2(当且仅当 x＝0 时取等号) e
x x
1 4 ∴e ＋ x＋2≥4，∴0＜ ≤1 e 1 x e ＋ x＋2 e
x x
1 (logax)′＝ . xlna 1 1 特别 f(x)＝ 时，f ′(x)＝－ 2， x x f(x)＝ x时，f ′(x)＝ . 2 x 1
2．两个函数的四则运算的导数 (f± g)′＝f ′± g′； (fg)′＝f ′g＋fg′，特别(cf)′＝cf ′(c 为常数)； f ′g－fg′ f ( )′＝ (g≠0)． g g2 3．复合函数的导数 y′x＝y′u·x′(其中 u 是 x 的函数) u
－100)．

2．复合函数求导法 [例2] 求函数y＝ln(x2＋5x)的导数．
解析：第一步，将函数看作 y＝lnu，与 u＝x2＋5x 的复
合函数． 第二步，将 y 对 u 求导，将 u 对 x 求导，再相乘，并 把 u 用 x2＋5x 替换， 1 ∵(lnu)′＝ ，(x2＋5x)′＝2x＋5， u 2x＋5 ∴y′＝ 2 . x ＋5x


●课程标准 1．导数概念及其几何意义 (1)通过对大量实例的分析，经历由平均变 化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概 念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数， 体会导数的思想及其内涵． (2)通过函数图象直观地理解导数的几何意 义．
2．导数的运算 (1)能根据导数定义，求函数 y＝c，y＝x，y＝x2， 1 y＝ ，(理)y＝ x的导数． x (2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导 数的四则运算法则求简单函数的导数，(理)能求简单 的复合函数(仅限于形如 f(ax＋b))的导数．




2．深刻理解“函数在一点处的导数”、 “导函数”、“导数”的区别与联系 (1)函数在一点处的导数f ′(x0)是一个常数， 不是变量． (2)函数的导数，是针对某一区间内任意点x 而言的．函数f(x)在区间(a，b)内每一点都 可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定 的值x0，都对应着一个确定的导数f ′(x0)．根 据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了 一个新的函数，就是函数f(x)的导函数f ′(x)． (3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)就是导 函数f ′(x)在点x＝x0处的函数值，即f ′(x0)＝f
(2)方法 1：设过 B(3,5)与曲线 y＝x2 相切的直线方程 为 y－5＝k(x－3)，即 y＝kx＋5－3k.
y＝kx＋5－3k 由 y＝x2
，得：x2－kx＋3k－5＝0.
Δ＝k2－4(3k－5)＝0，整理得(k－2)(k－10)＝0， ∴k＝2 或 k＝10. 所求的直线方程为：2x－y－1＝0，或 10x－y－25＝ 0. 方法 2：设切点 P 的坐标为(x0，y0)，
由 y＝x2 得 y′＝2x，∴y′|x＝x0＝2x0， 5－y0 由已知 kPB＝2x0，即 ＝2x0， 3－x0＝5， ∴切点坐标为(1,1)，(5,25)， ∴所求直线方程为 2x－y－1＝0,10x－y－25＝0.


1．对数求导法 [例1] 求函数y＝(x－1)(x－2)·„·(x－100) (x>100)的导数. 分析：本例所给的函数是100个因式的积， 对于这种结构形式的函数，直接求导比较困 难，可通过两边取对数后再求导，就可以使 问题简化. 但必须注意取对数时真数应为正 实数.



4．生活中的优化问题举例． 例如，通过使利润最大、用料最省、效率最 高等优化问题，体会导数在解决实际问题中 的作用． 5．(理)定积分与微积分基本定理 (1)通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做 功等)，从问题情境中了解定积分的实际背 景；借助几何直观体会定积分的基本思想， 初步了解定积分的概念． (2)通过实例(如变速运动物体在某段时间内 的速度与路程的关系)，直观了解微积分基 本定理的含义．