2.1简谐振动

对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件决定.
0, x 0, v 0 求 x Acos(t )
讨论
已知 t
0 A cos
π 2
v
x
v Asin(t ) v0 Asin 0 π sin 0 取
2
d 2 a A cos t dt 2 x
x A cos t π A cos t 2 2 a A cos t π
x, , a 均是作谐振动的物理量
频率相同 振幅的关系

0.04m (0.08m) cos
A cos(t ) π 3
A
π 3

0.04 0.08 π 1 π x (0.08m) cos[( s )t ] 2 3
o
x/m
m 0.01kg
0.08 0.04
v
o
0.04 0.08
x/m
π 1 π x (0.08m) cos[( s )t ] 2 3 x 0.069 m t 1.0s 代入上式得
因为 v 0
v0 tan＇ 1 x0 π 3π ＇ 或 4 4
2
2 v0
0.0707m
o
π 4
x
A＇
4
例2 一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动，其振 幅为 0.08 m ，周期为 4s ，起始时刻物体在 x 0.04 m 处，向 Ox 轴负方向运动（如图）.试求 （1） t
1 2 2 E Ek Ep kA A（振幅的动力学意义） 2
线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒
k/m
2
x, v
简谐运动能量图
o
能量
x t
T
0 t x Acost v t v A sin t
1 E kA2 2 1 2 2 Ep kA cos t 2
二、简谐振动的判据
三、简谐振动的特征物理量 四、简谐振动的旋转矢量表示 五、简谐振动的能量
重要的振动形式是简谐振动(S.H.V.)
simple harmonic vibration
物理上：一般运动是多个简谐振动的合成
数学上： 付氏级数 付氏积分
也可以说 S.H.V.是振动的基本模型
或说 振动的理论建立在S.H.V.的基础上
π t 3
π 1 s 2
五、
简谐振动的能量
以弹簧振子为例
x A cos(t ) F kx v A sin(t ) 1 1 2 Ek mv m 2 A2 sin 2 (t ) 2 2 1 2 1 2 2 Ep kx kA cos (t ) 2 2
以单摆为例
5

时 , sin

A
转动 正向
M mgl sin mgl 2 d m gl J 2
dt
d 2 g 2 dt l
2 d dt 2
l
FT m
g 令 l
2
o
2 0 简谐振动
P
二、简谐振动（S. H. V.）的判据 1）受力情况（弹性力或准弹性力）
o
T
T
3T
4
2
4
T
t
1 2 2 2 Ek m A sin t 2
1 2 E kA 2
简谐运动能量守恒，振幅不变 简谐运动势能曲线
Ep
C
E
A
O
B
Ek
Ep
x
A
x
能量守恒
推导
简谐运动方程
1 2 1 2 E mv kx 常量 2 2
A
o
A
x
π t 意味 3
A x 2
x
2
< 0
1
•质点过平衡位置向负方向运动
π t 2
同样
0
x0
A
v
A
A
A
π t π 3

A x 2
< 0
o
A
x
t π
x A
5 4
<0
x
3 2
1
注意到：2 3 4
向负方向运动
向正方向运动
π t π 3
2π 或 3

A x 2
>0
3π t 2 π 或 2
>0
x0
o
x
A
8
A
6
A
7
x
t 3
A x 2 >0
678 > 0 向正向运动
y vm
t
0
an
t 相位

称固有频率…
位相 周相 初位相

初相位
取决于时间零点的选择
简谐振动解析式
x A cos t
π dx A sin t A cos t dt 2
a A cos t π
t
A
2
a a t图
T
T
o
2
t
A
常数 A 和 的确定
x A cos(t ) v A sin(t )
初始条件
t 0 x x0 v v0
x0 A cos
2 A x0
2
2 v0
v0 A sin
v0 t an x0
第二章
振动和波
机械振动：
物体位置在某一值附近来回往复的变化
广义振动：
一个物理量在某一定值附近往复变化
该物理量的运动形式称振动
物理量：
r E Q i
等等
振动的形式: 受迫振动 振动 自由振动 共振 阻尼自由振动
无阻尼自由振动
无阻尼自由非谐振动 无阻尼自由谐振动 (简谐振动）
2.1 简谐振动 一、简谐振动的描述
（1）把物体从平衡位置向右拉到 x 0.05 m 处停 下后再释放，求简谐运动方程； A （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的 2 速度； （3）如果物体在 x 0.05 m 处时速度不等于零， 1 而是具有向右的初速度 v0 0.30m s ，求其运动方程 .
x/m
o
0.05
k 0.72N m 解 （ 1） m 0.02kg
1
6.0s 1
v A x x0 0.05m v0 tan 0 x0 0 或 π
2 0
2 0 2
o
A
x
0 x A cos(t ) (0.05m) cos[(6.0s1 )t ]
位移与加速度 Δ π 称两振动反相
若 0 称两振动同相
4) 方便计算 用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算
例：质量为m的质点和劲度系数为k的轻质弹簧
组成的弹簧谐振子，t=0时质点经过平衡位 置且向正方向运动，求质点运动到负的二 分之一振幅处时所用的最短时间。
例1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹 1 簧的劲度系数 k 0.72N m ，物体的质量 m 20g .
加速度与位移成正比但与位移方向相反
2）简谐振动动力学方程
d x 2 x 0 2 dt
3）简谐振动运动学方程
2
x A cos t
三、简谐振动的特征物理量
A
x A cos t
振幅
最大位移 由初始条件决定 系统的周期性 固有的性质

圆频率 角频率 频率 2π 1 周期 T T
v
t
A
0
A ta A
2

x
π 3 1 t T T 2π 6
2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它 们间步调上的差异.（解决振动合成问题）
x1 A1 cos(t 1 )
x2 A2 cos(t 2 )
2 1
为其它
(t 2 ) (t 1 )
F kx m x
2
π 1 2 (0.01kg )( s ) (0.069m) 1.70 103 N 2
（2）由起始位置运动到 x 0.04 m 处所需要 的最短时间.
v
0.08 0.04
o
x/m
0.04 0.08
法一 设由起始位置运动到 x 0.04 m 处所 需要的最短时间为 t
0 同步
π 反相
超前
落后
x
x
x
o
t
o
t
o
t
3） 方便比较不同物理量振动步调
x A cos t π A cos t 2 2 a A cos t π

A
A
A
2
wenku.baidu.com
a
x
π 2
由图看出：速度超前位移 加速度超前速度
π t 2
A
vm A
v a

x
an A
2
x A cos(t )
π v A cos( t ) 2
a A cos(t )
2
用旋转矢量图画简谐运动的
x t
图
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
讨论

注意：以机械振动为例说明振动的一般性质
一、简谐振动的描述
弹簧振子的振动
以弹簧谐振子为例
k
m
0
设弹簧原长为坐标原点
由牛顿第二定律 F kx ma 整理得
d x k x0 2 dt m
2
2
kx
x x
d2 x kx m 2 dt
k 令 m
2
d x 2 x 0 简谐振动 2 dt
A
x
T 2
o
T
o
t
π 2 A x A cos( t ) 2
四、简谐振动的旋转矢量表示

当
t 0时
A

以 o为 原点旋转矢
量 A的端点
在
o
x0 A cos
x0
x
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动.

t t 时
A
以 o为 原点旋转矢
t
量 A的端点
o
x A cos(t )
x
在
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动.
x A cos(t )
矢量 A的
端点在 轴上的投 影点的运
旋转
x
动为简谐
运动.
如 文字叙述说 t 时刻弹簧振子质点 • 在正的端点 旋矢与轴夹角为零
t 0 意味 x A
• 质点经二分之一振幅处 向负方向运动
arccos ( ) 2 2 3 t s s 0.667 s π2 3
π 1 π 0.04 m (0.08m) cos[( s )t ] 2 3 1 π
解法二
t
时刻

π 3
t
o
起始时刻
π 3
0.04 0.08
x/m
2 t s 0.667 s 3
0.08 0.04
相位差：表示两个相位之差 .
x A cos(t2 )
1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状 态间变化所需的时间. (t2 ) (t1 ) x A cos(t1 )
x
t t2 t1
A
A2
a
b
π 3
tb
o
A
1.0s
时，物体所处的位置和所受的力；
v
0.08 0.04
o
x/m
0.04 0.08
解
A 0.08 m
2π π 1 s T 2
A 0.08 m
t 0, x 0.04m
π v0 0 3
0.08 0.04
代入 x
2π π 1 s T 2
由旋转矢量图可知
A （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的 2 速度；
解
x A cos(t ) A cos(t )
A
x 1 cos( t ) A 2 π 5π t 或 3 3 π 由旋转矢量图可知 t 3

A
o
v A sin t
A 2
x
m A am A
超前 落后
2
相位差
x A cos t π A cos t 2 2 a A cos t π
曲线描述
A
o
o
A
x x t 图
T
t
t
A
v v t 图
T
x a
A
A
A
o
2 A
0.26m s
1
（负号表示速度沿 Ox 轴负方向）
（3）如果物体在 x 0.05 m 处时速度不等于零， 1 而是具有向右的初速度 v0 0.30m s ，求其运动方程 .
2 A ＇ x 解 0
0 ，由旋转矢量图可知 ＇ π 4 π 1 x A cos(t ) (0.0707 m) cos[( 6.0s )t ]