离散数学复习题(附答案)

离散数学复习题

一．单项选择题

1．下列语句中为命题的是（D）

A．这朵花是谁的？B．这朵花真美丽啊！C．这朵花是你的吗？D．这朵花是他的。

2．若P：今天下雪了；Q：路滑；则“虽然今天下雪了，但路不滑”，可符号化为( B )

（A）P ∨Q（B）P∧⌝Q （C）P→⌝Q （D）P ∨⌝Q

3. 下列式子正确的是 ( B )

(A) ∅∈∅ (B) ∅⊆∅， (C) {∅}⊆∅ (D) {∅}∈∅

4. 设集合A＝{a,b,c},A上的二元关系R＝{,，},则s(R)=( A )

(A) R∪I A (B)R (C) R∪{} (D) R∩I A

5．设A＝{a,b,c,d },A上的等价关系R={,,,}∪I A,则对应于A的划分是（ D ）

(A) {{a},{b,c},{d}} (B) {{a,b},{c},{d}} (C) {{a},{b},{c},{d}} (D) {{a,b},{c,d}}

6. 不满足交换律的是( A )

(A) → (B) ∧ (C) ∨ (D) ↔

7.在自然数N上定义的二元运算∙，满足结合律的是( C )

(A) a∙b=a－b (B) a∙b=a+2b (C) a∙b=max{a,b} (D) a∙b=∣a－b∣

8．设Z是整数集，E={…，-4，-2，0，2，4，…}，f：Z→E，f（x）=2x，

则f（C）

A．仅是满射B．仅是入射C．是双射D．无逆函数

9. 设R为实数集，R+={x∣x∈R∧x>0}, *是数的乘法运算，是一个群，则下列集合关于数的乘法运算构成该群的子群的是（A ）

(A) ｛R+中的有理数｝(B) ｛R+中的无理数｝(C) ｛R+中的自然数｝(D) ｛1，2，3｝

10．由集合A的一个覆盖确定A的元素间关系为（D ）

（A）全序关系（B）等价关系（C）偏序关系（D）相容关系

11．设A={1，2，3，4，5}，A上二元关系R={〈1，2〉，〈3，4〉，〈2，2〉}，

S={〈2，4〉，〈3，1〉，〈4，2〉}，则S-1 R-1的运算结果是（A）

A．{〈4，1〉，〈2，3〉，〈4，2〉} B．{〈2，4〉，〈2，3〉，〈4，2〉}

C．{〈4，1〉，〈2，3〉，〈2，4〉} D．{〈2，2〉，〈3，1〉，〈4，4〉}

12．与命题公式P→（Q→R）等值的公式是( B )

(A) (P∨Q)→R (B)(P∧Q)→R (C) (P→Q)→R (D) P→(Q∨R)

二．填空题

1．设L(x)：x是人，J(x)：x犯错误，. 那么命题“没有不犯错误的人”符号化为∀x（L（x）→J（x）），量词辖域是L（x）→J（x）

2．设R1，R2是集合A＝{1,2,3,4，5}上的二元关系,其中

R1＝{<2,2>,<1,2>,<3,4>}, R2={<4,2>,<2,5>,<1,3>,<3,1>},

则R1。R2＝{<2,5>,<1,5>,<3,2>} ；

3．设R是集合A＝{1,2,3,4}上的二元关系,其中

R＝{<1,1>,<1,2>,<2,4>}

则R。R＝{<1,1>,<1,2>,<1,4>} ；

3．设A是非空集合，集合代数(P(A)，⋃，⋂)中，P(A)对运算⋃的幺元（单位元）是Φ，P(A)对运算⋂的幺元（单位元）是 A .

4.设I是整数集，在I上定义二元运算*为a*b=a+b+a.b,其中+和.

是数的加法和乘法，则的幺元（单位元）是 0 ，零元是 -1 ；

5．设R 是A 上的二元关系，则r(R)= R ∪I R ,s （R ）= R ∪R c ；

6．设集合A ={a, b,c},R 是A 上的二元关系，且R={< a,b>,,}

则R 的自反闭包为 {< a,b>,,,,, ；

R 的对称闭包为 {< a,b>,,,,,} ；

R 的传递闭包为 {< a,b>,,,,,,,,} ；

三． 求P ∧（Q →R ）的主合取范式和主析取范式；

解：

主析取范式：P ∧（Q →R ）⇔ P ∧（⌝Q ∨R)

⇔(P ∧⌝Q)∨(P ∧R)

⇔(P ∧⌝Q ∧(R ∨⌝R))∨(P ∧(Q ∨⌝Q) ∧R)

⇔( P ∧⌝Q ∧R) ∨( P ∧⌝Q ∧⌝R) ∨(P ∧Q ∧R) ∨(P ∧⌝Q ∧R)

⇔（ P ∧⌝Q ∧R) ∨( P ∧⌝Q ∧⌝R) ∨(P ∧Q ∧R)

主合取范式：⇔（P ∨Q ∨R ）∧(P ∨Q ∨⌝R)∧(P ∨⌝Q ∨R)∧(P ∨⌝Q ∨⌝R)∧( ⌝P ∨⌝Q ∨R)

四．设A ，B ，C 为任意集合，试证明 ( A )()C B A C

B = iff

C ⊆A

证明： 充分性：

若C ⊆A ，则A ⋃C=A ，但

（A ⋂B ）⋃C=（A ⋃C ）⋂（B ⋃C ）=A ⋂（B ⋃C ）

必要性：∀x ∈C ，必有x ∈（A ⋂B ）⋃C ，

因为（A ⋂B ）⋃C= A ⋂（B ⋃C ）

故有x ∈C ⇒ x ∈（A ⋂B ）⋃C ⇒ x ∈A ∧ x ∈（B ⋃C ）

即C ⊆A

五．设A ，B ，C 为任意集合，试证明

A —（

B ⋃

C ）=（A —B ）∩（A —C ）

证明：

左边=A ⋂(～(B ∪C))=A ∩(～B)∩(～C)

右边=(A ∩(～B))∩(A ∩(～C))

=A ∩(～B)∩(～C)

故左边=右边

六．设是独异点，且对G 中每个元素x 有x*x=e(e 为幺元)，证明是一个交换群

证明:∀x ∈G,由题意知：x -1=x,即G 中每个元素都有逆元，因此是群。 ∀x,y ∈G,x*y=(x*y)-1=y -1*x -1

=y*x 于是

所以是一个交换群.