人教版初二数学下册同步精编讲义

第1讲二次根式知识点1 二次根式的概念二次根式的概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．注意：①“”称为二次根号；②a（a≥0）是一个非负数．【典例】【题干】下列各式中：①；②；③；④；⑤，一定是二次根式的个数是（）A.1B.2C.3D.4【方法总结】本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义进行判断即可．【随堂练习】1．（2018春•滨江区期末）当a=﹣3，则=____．2．（2018春•东西湖区期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数n是____．知识点2 二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．【典例】1.若代数式有意义，则x满足的条件是______________．【方法总结】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数大于或等于0可以求出x的范围．注意：当二次根式在分母上时还要考虑分母不能等于零．【随堂练习】1．（2018春•汶上县期末）若已知a、b为实数，且+2=b+4，则a+b= ___．2．（2018春•瑶海区期中）若在实数范围内有意义，则x_____．3．（2018春•黄陂区期中）若x，y为实数，y=，则4y﹣3x的平方根是____．知识点3 二次根式的性质与化简二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①≥0；a≥0（双重非负性）．②=a（a≥0）．③=|a|=（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．=•(a≥0，b≥0)，=(a≥0，b＞0)（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【典例】1.实践与探索（1）填空：=_______；=______；（2）观察第（1）的结果填空：当a≥0时=___；当a＜0时，=____；（3）利用你总结的规律计算：+，其中2＜x＜3．【方法总结】本题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是掌握=|a|=，进而化简求出即可．【随堂练习】1．（2018春•金乡县期中）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2=x且mn=，则把x±2变成m2+n2±2mn=（m±n）2开方，从而使得化简．例如：化简解：∵3+2=1+2+2=12+（）2+2×1×=（1+）2∴==1+；请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．2．（2018春•新罗区校级月考）实数a在数轴上的位置如图，化简|a﹣2|+．3．（2017秋•延庆县期末）阅读下面的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2=a 且mn=，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简．例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2∴==+请你仿照上例将下列各式化简（1）（2）．知识点4 二次根式的乘除法1．最简二次根式最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含有根号．我们把满足上述三个条件的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a²、（x+y）²、x²+2xy+y²等．2．二次根式的乘除法（1）积的算术平方根性质：=•（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法则：•=（a≥0，b≥0）（3）商的算术平方根的性质：=（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法则：=（a≥0，b＞0）规律方法总结：在使用性质•=（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b ＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．3．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化，分子、分母常常是同时乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如：①==；②==．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：2﹣的有理化因式可以是2+，也可以是a（2+），这里的a可以是任意有理数．【典例】1.下列二次根式中，为最简二次根式的是（）A. B. C. D.【方法总结】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含有根号．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．另外需要注意，如果被开方数是小数（小数可以化为分数，被开方数就含有分母了），那么这样二次根式不是最简二次根式．2.计算(1)•（a≥0）=；（2）÷=．【方法总结】本题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．（1）主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则=；（2）主要考查了二次根式的除法运算法则：=（a≥0，b＞0）．3.已知：a=，b=，则a与b的关系是（）A. ab=1B. a+b=0C. a﹣b=0D.a2=b2【方法总结】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a﹣b、a2、b2，求出每个式子的值，即可得出选项．【随堂练习】1．（2018春•遵义期中）观察思考：（）2=，（）2=，（）2=，（）2=…由此得到：（1）（）2=_______．（2）计算（）2（说明：式子中的n是正整数，写出解题过程）．2．（2017春•分宜县校级期中）（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“＞”、“＜”或“=”，并完成后面的问题．×___，×____，×____，×____…用，，表示上述规律为：_______；（2）利用（1）中的结论，求×的值（3）设x=，y=试用含x，y的式子表示．知识点5 二次根式的加减法1．同类二次根式同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．【知识拓展】同类二次根式（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．2．二次根式的加减法（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．（2）步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．3．二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【典例】1.下列各式中，与是同类二次根式的是（）A. B. C. D.【方法总结】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的意义，将选项中的根式化简，找到被开方数为3的即可．2.计算﹣6+的结果是（）A.3﹣2B.5﹣C.5﹣D.2【方法总结】本题主要考查了二次根式的运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．3.计算（1）（2）（3）（4）．【方法总结】本题考查二次根式的混合运算，记住先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．（1）根据二次根式的乘法法则计算即可；（2）根据二次根式的除法法则计算即可；（3）先化简二次根式，再合并同类二次根式；（4）分别相乘展开后，合并同类二次根式．【随堂练习】1．（2018春•石家庄期中）计算：（1）÷×（2）﹣（4﹣）（3）（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2（4）|﹣|+|﹣2|+2．（2018春•东莞市校级月考）计算；5﹣+2﹣（+3）2．3．（2018春•常州期末）阅读材料：像（+）（﹣）=3、•=a（a≥0）、（+1）（﹣1）=b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；=．解答下列问题：（1）3﹣与_____互为有理化因式，将分母有理化得_____；（2）计算：；（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．知识点6 二次根式化简求值二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．【典例】1.已知x=3+2，y=3﹣2，求下列各式的值：（1）x2y+xy2；（2）．【方法总结】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．先计算出x+y=6，xy=1，再把x2y+xy2变形为xy（x+y），变形为，然后利用整体代入的方法计算．【随堂练习】1．（2018春•兴义市期中）阅读下面的问题：﹣1；=；；……（1）求与的值．（2）已知n是正整数，求与的值；（3）计算+．2．（2018春•包河区期中）已知：a=﹣1，求÷（2﹣）的值．3．（2018春•琼中县期中）已知x+1=，求代数式（x+1）2﹣4（x+1）+4的值．综合运用1.计算：•=___，×=_________；÷=_____．2.化简的结果是____________．3.已知x=3+2，y=3﹣2，则式子x2y﹣xy2的值为____________．4.求下列式子有意义的x的取值范围（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．5.计算：3．6.计算：①（3﹣）（3+）+（2﹣）②÷﹣×+7.已知x=+，y=﹣．求（1）x3y+xy3；（2）3x2﹣5xy+3y2的值．第2讲勾股定理知识点1 勾股定理的图形计算问题勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.a2+b2=c2在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则c2=a2+b2，c=22；a ba2 =c2-b2，a=22-；c bb2=c2-a2，b=22c a-.【典例】1.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN 的值.【方法总结】连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得AM的长，再根据三角形的面积公式即可求得MN的长．特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．【随堂练习】1.如图，在△ABD中，∠D=90°，CD=6，AD=8，∠ACD=2∠B，则BD的长是_____2.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=______【典例】1.观察下列图形，回答问题：问题（1）：若图①中的△DEF为直角三角形，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为____．问题（2）：如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，这三个半圆的面积之间的关系是__________________（用图中字母表示）问题（3）：如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用上面中的结论求出阴影部分的面积．【方法总结】（1）根据正方形的面积公式结合勾股定理可得大正方形的面积是两个小正方形的面积和；（2）分别表示出S1、S2、S3，结合勾股定理即可得出关系式．（3）根据半圆的面积公式以及勾股定理可得：两个小半圆的面积和等于大半圆的面积，从而得出阴影部分的面积=直角三角形的面积．本题考查了勾股定理及圆的面积公式，解答此类题目关键是仔细观察所给图形的特点，不要盲目作答．【随堂练习】1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AB=15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（）2.有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图1），其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得枝繁叶茂，在“生长”了2017次后形成的图形中所有正方形的面积和是（）知识点2 勾股定理的应用解勾股定理实际问题的一般步骤：①仔细审题，读懂题意；②找出或构造出与问题有关的直角三角形；③在直角三角形中根据勾股定理列算式或列方程；④求解所列算式或方程，直接或间接得到答案；⑤作答.解有关勾股定理的实际问题的关键是将实际问题转化为数学模型.【典例】1.如图，在一棵树上10m高的B处有两只猴子，其中一只猴子沿树爬下，走到离树20m 处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D处直跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，则这颗树有多高（设树与地面垂直）？【方法总结】要求树的高度，就要求BD的长度.在直角三角形ACD中运用勾股定理可以用BD表示出AD，根据路程相同即可列出关于BD的方程，求解即可得出BD的长度，最后由CD=CB+BD 得出答案．本题考查的是勾股定理的灵活运用，要求在变通中熟练掌握勾股定理．【随堂练习】1.如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是_______【典例】1.如图，一只小蚂蚁要从A点沿长方体木块表面爬到B点处吃蜜糖．已知长方体木块的长、宽、高分别为10cm、8cm、6cm，试计算小蚂蚁爬行的最短距离．【方法总结】根据题意画出长方体按不同方式展开后的三种情况，根据勾股定理求出每种情况的AB，再比较即可．本题考查了平面展开﹣最短路线问题，勾股定理的应用，能找出符合条件的所有情况是解题的关键．【随堂练习】1.2015年是国际“光”年，某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为8cm，底面边长为2cm，则这圈金属丝的长度至少为_____2.一个长方体盒子的长、宽、高分别为3cm，3cm，5cm，一只蚂蚁从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，蚂蚁爬行的最短路程是____知识点3 勾股定理的逆定理勾股数：满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.【典例】1.观察下列各组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c. 根据你发现的规律，请写出（1）当a=19时，求b、c的值；（2）当a=2n+1时，求b、c的值；（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．【方法总结】（1）仔细观察可发现给出的勾股数中，斜边与较大的直角边的差是1，根据此规律及勾股定理公式不难求得b和c的值．（2）根据第一问发现的规律，代入勾股定理公式中即可求得b、c的值．（3）将第二问得出的结论代入第三问中看是否符合规律，符合则说明是一组勾股数，否则不是．本题属于规律型问题，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、验证即可．【随堂练习】1.观察以下几组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；…，根据以上规律的第⑦组勾股数是_____【典例】1.如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AB=2，BC=4，CD=AD=．求∠BAD的度数.【方法总结】连接AC，则∠BAD=∠BAC+∠DAC.由等腰直角三角形的性质得出∠DAC=45°，AC2=AD2+CD2=2×6=12．由勾股定理的逆定理证出∠BAC=90°，从而得出∠BAD的度数. 此题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和逆定理是解本题的关键．【随堂练习】1.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮15min到达点A，乙客轮用20min到达B点，若A、B两点的直线距离为1000m．甲客轮沿北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（）A. 南偏东60°B. 南偏西30°C. 北偏西30°D. 南偏西60°2.如图，四边形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，CD=24cm，DA=26cm，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是_______综合运用1.如图：在△ABC中，AB=5cm，AC=4cm，BC=3cm，CD是AB边上的高，则CD=____________.2.如图，正方形中的数表示该正方形的面积，则字母B所代表的正方形的面积是___________.3.如图，一个圆柱的高为10cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从圆柱高的中点A处到B点的最短爬行距离是________ cm.4.如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为____________平方米．5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h，有下列四种说法：①a•b=c•h；②a+b＜c+h；③以a+b、h、c+h为边的三角形，是直角三角形；④+=．其中正确的有________________.6.如图，四边形ABCD中，AB=10，BC=13，CD=12，AD=5，AD⊥CD，求四边形ABCD 的面积．7.如图，已知在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2cm，AD=cm，CD=5cm，BC=4cm，求四边形ABCD的面积．8.如图所示，侧面是高为2、宽为1的长方形．上下两底面为正方形的纸盒．一小虫由A点沿外表面爬行到B点．（1）找出所有可能的最短路径，画图说明；（2）指出按（1）中哪种方式爬行路径最短.第3讲 勾股定理的综合⎧⎨⎩复杂的“旋转型”勾股定理的综合线图及其拓展知识点1 复杂的“旋转型”在一些特殊图形中，由两边相等可以利用“旋转”的方式将三角形“转移”，从而达到转移边或角的目的.在没有明确给出“旋转”后的图形时，有的需要作辅助线进行构造. 常见的一些模型如下：【典例】1.如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边作正方形BCDE ，对角线的交点为O ，连接AO ，如果AB=3，AO=，求AC 的长.【方法总结】在AC 上截取CF=AB ，利用“边角边”证明△ABO 和△FCO 全等，根据全等三角形的性质可得OF=AO ，∠AOB=∠FOC ，然后判定出△AOF 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍求出AF，再根据AC=AF+CF，代入数据进行计算即可得解．本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形与等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．2.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC边于D，求DE的长.【方法总结】过P作PF∥BC交AC于F，得出三角形APF是等边三角形，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，由AAS证出△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可．本题综合考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键.此题培养了学生综合分析问题和解决问题的能力，难度适中．【随堂练习】1.如图，已知∠ABC=120°，BD平分∠ABC，∠DAC=60°，若AB=2，BC=3，则BD的长是_____2.如图，五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=1，则这个五边形ABCDE的面积=______3.已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD=BE；②∠BMC=∠ANC；③∠APM=60°；④AN=BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（）知识点2 弦图及其拓展“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，如下图.图中的等量关系有：a2+b2=c2；4个小三角形的面积和=2ab；大正方形的边长为c，面积= a2+b2=c2；小正方形的边长为b-a=2c2ab，面积= （b-a）2=c2﹣2ab；（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab；（a-b）2=a2+b2-2ab=c2-2ab.【典例】1.在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，求a4+b4的值.【方法总结】根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和.将a4+b4变形成包含a2+b2和ab的式子，从而求得a4+b4的值．本题考查了勾股定理、弦图、完全平方式等知识，解题的关键是掌握弦图中的有关等量关系，灵活运用所学知识解决问题．2.四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为______【方法总结】设AM=2a，BM=b，则正方形ABCD的面积=4a2+b2.由题意可知EF=（2a-b）-2（a-b）=2a-b-2a+2b=b，由AM=2EF可得a与b的关系．分别用b表示正方形ABCD和正方形EFGH的面积，即可得出结果.本题考查勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是用直角三角形的两直角边长表示已知面积的正方形的边长．【随堂练习】1.如图，已知该图是由四个全等的直角三角形拼接而成的图形，其中AE=5，BE=12，则EF 的长是______2.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=144，则S2的值是_____3.勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D、E、F、G、H、I 都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为____综合运用1.如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB=10，EF=2，那么AH等于_____________.2.如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若两直角边BC=4，AC=6，现将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，延长后得到下图所示的“数学风车”，则该“数学风车”所围成的总面积是_____．3.在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是BC上一点，且EF=AE+CF，则∠EDF度数为_____________.4.如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c,若a 与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，则正方形ABCD的面积是________.5.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“赵爽弦图”变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若正方形EFGH 的边长为2，求S1+S2+S3的值．6.已知点P 为等边△ABC 外一点，且∠BPC=120°，试说明PB+PC=AP ．7.已知：在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，过点C 作CE BC ⊥于C ，D 为BC 边上一点，且BD CE =，连结AD 、DE ．求证：BAD CDE ∠=∠．ABCDE第4讲 平行四边形知识点1：平行四边形与全等三角形【典例】1.如图，□ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD上的三等分点．（1）求证：△AGD≌△CHB；（2）求证：四边形GEHF是平行四边形．【方法总结】根据平行四边形的性质，可以推出对边相等、对角相等、对角线互相平分，这些边和角的相等关系可以作为证明三角形全等的条件；通过三角形全等得出对应边、对应角相等，将对应边相等转化为四边形的对边相等、对角线互相平分，将对应角相等转化对四边形的对角等，综合运用边和角的关系证明四边形是平行四边形．【随堂练习】1.如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点且AE=CF，在：①BE=DF；②BE∥DF；③AB=DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE=S△ABE；⑥AF=CE．这些结论中正确的是（）A. ①⑥B. ①②④⑥C. ①②③④D. ①②④⑤⑥知识点2：平行四边形与等腰三角形【典例】1.如图，已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC所在平面内的一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC、直线AB于点E、F．（1）如图1，当点D在线段BC上时，通过观察答案线段DE、DF、AB之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当点D在直线BC上，其它条件不变时，试猜想线段DE、DF、AB之间的数量关系（请直接写出等式，不需证明）；（3）如图3，当点D是△ABC内一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC、直线AB和直线BC于E、F和G．试猜想线段DE、DF、DG与AB之间的数量关系（请直接写出等式，不需证明）．【方法总结】利用平行四边形的对边相等，将平行四边形的一组邻边转移到等腰三角形的腰上，根据等腰三角形的腰长相等，找出邻边和腰长的关系如下：（1）当平行四边形的一个顶点在等腰三角形的底边上时，等腰三角形的腰长等于平行四边形的一组邻边之和；（2）当平行四边形的一个顶点在等腰三角形的底边延长线上时，等腰三角形的腰长等。