条件概率试题

2.2.1 条件概率

【学习要求】

1．理解条件概率的定义．

2．掌握条件概率的计算方法．

3．利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．

【学法指导】

理解条件概率可以以简单事例为载体，先从古典概型出发求条件

概率，然后再进行推广；计算条件概率可利用公式P(B|A)＝P(AB) P(A)

也可以利用缩小样本空间的观点计算.

1．条件概率的概念

设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．P(B|A)读作发生的条件下发生的概率．

2．条件概率的性质

(1)P(B|A)∈．

(2)如果B与C是两个互斥事件，则

P(B∪C|A)＝.

[一点通]求条件概率一般有两种方法：

一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A)

＝n(AB)

n(A)

，其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件个数，n(A)表示事件A包含的基本事件个数．

二是直接根据定义计算，P(B|A)＝P(AB)

P(A)

，特别要注意P(AB)的求法．[例1]一只口袋内装有2个白球和2个黑球，那么：

(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？

(2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？

[思路点拨]先摸出1个白球后放回或不放回，影响到后面取到白球的概率，应注意两个事件同时发生的概率的不同．

[精解详析](1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A，“再摸出1个白球”为事件B，则“先后两次摸到白球”为AB，先摸1球不放回，再摸1球共有4×3种结果．

∴P(A)＝2×3

4×3

＝

1

2，P(AB)＝

2×1

4×3

＝

1

6.

∴P(B|A)＝P(AB)

P(A)

＝

1

3.

(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A1，“再摸出1个白球”为事件B1，两次都摸到白球为事件A1B1.

∴P(A1)＝2×4

4×4＝

1

2，P(A1B1)＝

2×2

4×4

＝

1

4.

∴P(B1|A1)＝P(A1B1)

P(A1)

＝

1

4

1

2

＝

1

2.

故先摸1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为1

3；先摸1个白球后放回，

再摸出1个白球的概率为1 2.

1．抛掷一枚质地均匀的骰子所出现的点数的所有可能结果为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，记事件A＝{2,3,5}，B＝{1,2,4,5,6}，则P(A|B)＝

()

A.1

2 B.

1

5 C.

2

5 D.

3

5

解析：P(B)＝5

6

，P(A∩B)＝1

3

，P(A|B)＝P(AB)

P(B)

＝

1

3

5

6

＝2

5

2．已知P(A|B)＝1

2，P(B)＝

1

3，则P(AB)＝________.

解析：∵P(A|B)＝P(AB) P(B)

，

∴P(AB)＝P(A|B)P(B)＝1

2×1

3

＝1

6.

3．甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记

录，知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：

(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？

(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？

解：设“甲地为雨天”为事件A，“乙地为雨天”为事件B，由题意，得P(A)＝0.20，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12.

(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是

P(A|B)＝P(AB)

P(B)

＝0.12

0.18≈0.67.

(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是

P(B|A)＝P(AB)

P(A)

＝0.12

0.2

＝0.60.

探究点一条件概率

问题13张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？

答最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1

3，不比其他同学小．

问题2如果已知第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？

答按照古典概型的计算公式，此时最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1 2.

小结已知第一名同学的抽奖结果会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率，这就是条件概率．

例1在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；

(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；

(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．

解设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2次抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题”就是事件AB.

(1)从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为n(Ω)＝A25＝20.

根据分步乘法计数原理，n(A)＝A13×A14＝12.