《平面向量的应用举例》ppt教学课件
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《平面向量应用举例》高一年级下册PPT课件
第二章 平面向量
[解析] 以 B 为原点，BC 所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标
系．
∵AB＝AC＝5，BC＝6， ∴B(0,0)，A(3,4)，C(6,0)， 则A→C＝(3，－4)． ∵点 M 是边 AC 上靠近点 A 的一个三等分点， ∴A→M＝31A→C＝(1，－43)，
8
∴M(4，3)，
第二章 平面向量
(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线 段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：a⊥b⇔a· b＝0(或 x1x2＋y1y2＝0)
_______________________________.
a· b cosθ＝|a ||b|
(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式________________.
第二章 平面向量
∴B→M＝(4，8)．
3
假设在 BM 上存在点 P 使得 PC⊥BM， 设B→P＝λB→M，且 0<λ<1， 即B→P＝λB→M＝λ(4，83)＝(4λ，83λ)， ∴C→P＝C→B＋B→P＝(－6,0)＋(4λ，83λ)＝(4λ－6，83λ)． ∵PC⊥BM，∴C→P· B→M＝0，
第二章 平面向量
[解析] A→B＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j， (1)F1所做的功 W1＝F1· s＝F1· A→B ＝(i＋j)· (－13i－15j)＝－28； F2 所做的功 W2＝F2· s＝F2· A→B ＝(4i－5j)· (－13i－15j)＝23. (2)因为 F＝F1＋F2＝5i－4j， 所以 F 所做的功 W＝F· s＝F· A→B ＝(5i－4j)· (－13i－15j)＝－5.
1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
平面向量应用举例课件
充分利用向量这个工具来解决
主页
2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模 如图， 型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两 条邻边长度之间的关系吗？ 条邻边长度之间的关系吗？ uuur uuur uuur uuur uuur uuur DB = AB − AD, AC = AB + AD, 猜想： 猜想： 1.长方形对角线的长度 1.长方形对角线的长度 与两条邻边长度之间有 何关系？ 何关系？ 2.类比猜想， 2.类比猜想，平行四边 类比猜想 形有相似关系吗？ 形有相似关系吗？
A B
发现： 发现：平行四边形两条对角线 的平方和等于两条邻边平方和 的两倍。 的两倍。
主页
2.5平面向量的应用举例 平面向量的应用举例
你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基 本思路吗？ 本思路吗？
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： 建立平面几何与向量的联系， （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中涉及的几何元素， 题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向 量问题； 量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如距离、夹角等问题； 如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 把运算结果“翻译”成几何关系。 用基底表示
∴ n n − + m m = 0 − 1 = 2
D E R
F T B
C
0A
1 解 得 ： n= m = 3
uuur 1 uuur uuu 1 uuur r uuur 1 uuur 所 以 AR = AC , 同 理 TC = AC , 于 是 RT = AC 3 3 3
平面向量应用举例ppt
xx年xx月xx日
平面向量应用举例ppt
平面向量的基础知识平面向量在几何中的应用平面向量在物理中的应用平面向量在解析几何中的应用平面向量的实际应用举例平面向量的发展前景与研究方向
contents
目录
01
平面向量的基础知识
平面向量的定义
带有方向和大小的量
平面向量
零向量
单位向量
相等向量
长度为0的向量
要点三
平面向量在经济学中的应用
总结词
向量在经济学中可以用于描述经济指标之间的关系和趋势。
向量在生产函数中的应用
生产函数是经济学中的一个重要概念，它可以用向量来表示各种生产要素之间的比例关系。
向量在投入产出分析中的应用
投入产出分析是经济学中用于研究各部门之间相互依存关系的方法，可以用向量来表示不同部门之间的相互影响。
2
3
直线方向向量是直线上任意两点坐标差的向量，因此可用向量表示直线方向。
直线方向向量的表示
直线距离向量可以用两个点之间的距离表示，从而用于计算点到直线的距离。
直线距离向量的表示
曲线每一点的切向量是该点处曲线切线的方向向量，而法向量则是垂直于切向量的向量。
曲线切向量和法向量的表示
03
向量夹角的求解
两个向量夹角的求解可以用两个向量的点积除以两个向量的模长乘积得到。
总结词
向量在几何形状分析中的应用
向量可以用有向线段表示，具有方向和大小两个属性，可以用来表示物体的位置和运动
向量的几何意义
向量可以表示直线和平面，用向量表示直线可借助其方向和长度来刻画直线的基本性质；用向量表示平面可借助其法向量和到平面的距离来刻画平面的基本性质
向量在解析几何中的应用
平面向量应用举例课件PPT
解： (1)粒子 b 相对于粒子 a 的位移 s＝sb－sa＝(4,3)－(3，－4)＝ (1,7)． (2)设 s 与 sa 的夹角为 θ，则 s 在 sa 方向上的投影为 |s|cos θ＝|s||ss|··s|saa|＝s|s·saa| ＝1×33＋2＋7×－4－24＝－5.
误区解密 推理不严谨而出错 【例题】 三角形 ABC 中，设B→C＝a，C→A＝b，A→B＝c，若 a·b ＝b·c＝c·a，请确定三角形 ABC 的形状．
典例剖析 知识点 1 用向量解答几何问题
【例 1】 已知两定点 A(－2,0)，B(2,0)，P 是圆 C：(x－5)2＋ (y－12)2＝4 上的一个动点，求|PA|2＋|PB|2 的最大值和最小值．
思路点拨：用向量运算，把|PA|2＋|PB|2 转化为只与一个变量 (|O→P|)有关的式子，在根据|O→C|－|P→C|≤|O→P|≤|O→C|＋|P→C|可求得最 大值与最小值．
③过点 P0(x0，y0)且与向量 a＝(m，n)垂直的直线的方程为 m(x －x0)＋n(y－y0)＝0.
3．向量方法解决物理问题的步骤： ①认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的关系． ②通过抽象、概括，把物理现象转化为向量问题． ③利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的 解． ④利用这个结果，对原物理现象作出解释.
5．功是力与_位__移___的数量积．
自主探究 已知直角三角形的两直角边长分别为 10 和 12，求两直角边上 的中线所夹的锐角的余弦值．
解： 如图，设直角三角形 ABC 的∠C＝90°，D，E
分别是 BC，AC 边的中点，BC＝10，AC＝12. 则 CD＝5，CE＝6. 所以|A→D|＝ 122＋52＝13， |B→E|＝ 62＋102＝ 136. A→D·B→E＝(A→C＋C→D)·(B→C＋C→E) ＝0＋12×6×(－1)＋5×10×(－1)＋0＝－122. 于是 cos〈A→D，B→E〉＝|AA→→DD|·|BB→→EE|＝13－×122234＝－6144234.
误区解密 推理不严谨而出错 【例题】 三角形 ABC 中，设B→C＝a，C→A＝b，A→B＝c，若 a·b ＝b·c＝c·a，请确定三角形 ABC 的形状．
典例剖析 知识点 1 用向量解答几何问题
【例 1】 已知两定点 A(－2,0)，B(2,0)，P 是圆 C：(x－5)2＋ (y－12)2＝4 上的一个动点，求|PA|2＋|PB|2 的最大值和最小值．
思路点拨：用向量运算，把|PA|2＋|PB|2 转化为只与一个变量 (|O→P|)有关的式子，在根据|O→C|－|P→C|≤|O→P|≤|O→C|＋|P→C|可求得最 大值与最小值．
③过点 P0(x0，y0)且与向量 a＝(m，n)垂直的直线的方程为 m(x －x0)＋n(y－y0)＝0.
3．向量方法解决物理问题的步骤： ①认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的关系． ②通过抽象、概括，把物理现象转化为向量问题． ③利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的 解． ④利用这个结果，对原物理现象作出解释.
5．功是力与_位__移___的数量积．
自主探究 已知直角三角形的两直角边长分别为 10 和 12，求两直角边上 的中线所夹的锐角的余弦值．
解： 如图，设直角三角形 ABC 的∠C＝90°，D，E
分别是 BC，AC 边的中点，BC＝10，AC＝12. 则 CD＝5，CE＝6. 所以|A→D|＝ 122＋52＝13， |B→E|＝ 62＋102＝ 136. A→D·B→E＝(A→C＋C→D)·(B→C＋C→E) ＝0＋12×6×(－1)＋5×10×(－1)＋0＝－122. 于是 cos〈A→D，B→E〉＝|AA→→DD|·|BB→→EE|＝13－×122234＝－6144234.
平面向量应用举例ppt课件
探究点二 直线的法向量与两直线的位置关系
思考1 如何定义直线Ax＋By＋C＝0的法向量？ 答 如果向量n与直线l垂直，则称向量n为直线l的法向量.因 此若直线的方向向量为v，则n·v＝0.从而对于直线Ax＋By＋C ＝0而言，其方向向量为v＝(B，－A)，则由于n·v＝0，于是 可取n＝(A，B)，这是因为(B，－A)·(A，B)＝AB－AB＝0.直 线的法向量也有无数个.
思考1 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？ 答 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几 何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系.
§2.5 平面向量应用举例
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
1.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及 其它一些实际问题的过程. 2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具. 3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力.
填要点·记疑点
∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，
即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程.
反思与感悟 (1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线 段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算. (2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为v＝(B，－A)，法向量 n＝(A，B).这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系、 求两条直线的夹角时非常有用.
∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0， 即x－y＋2＝0为直线DE的方程. 同理可求，直线EF，FD的方程分别为 x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.
平面向量应用举例PPT课件
化的主要手段是向量的坐标运算.( )
(4)在△ABC中，若
则△ABC为钝角三角形.( )
AB AC，
AB BC＜0，
【解析】( 1)正确 .因为
有相同 的起点 A，故 A，B， C三点 共线， 故正确.
(2)正确. 解析几 何中的 坐标、 直线平 行、垂 直、长 度等问 题可利 用向量 的共线 、数量 积、模 等知识 解决， 故正确.
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6 【解析】 选B.由 题意可 知，
则CM CB
CM CB＝(CA＋1 AB) CB 3
＝CA CB＋1 AB CB 3
＝0＋1 3 2 3cos45＝3. 3
BM＝2MA，
4.在△ABC中，已知向量 满足 则△ABC为( )
(A)等边三角形 (C)等腰非等边三角形 (D)三边均不相等的三角形
1.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3( 单位： 牛顿) 的作用 而处于平衡状态，已知F1,F2成60°角， 且F1,F2的大小 分别 为2和4，则F3的大小为( ) 【解析】选D.|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos 60°=28,所 以|F3|= 选D.
A6B2C2 5D2 7
②用含θ 的关系 式表示m,n，然 后转化 为三角 函数的 最值问 题
求解.
| BC BA | 2
【规范解答】(1)选C.已知a=(1,cos θ)，b=(-1,2cos θ)， ∵a⊥b， ∴a·b=0， ∴-1+2co s2θ=cos 2θ= 0，故 选C.
2① | BC BA |2 | AC |2 ( 2cos 1)2 ( 2sin 1)2
AB AC且AB,AC
高中数学 2.5.2平面向量的应用举例课件 新人教A版必修4
反思小结 观点提炼
1.利用向量解决物理问题的基本步骤： ①问题转化，即把物理问题转化为数学问题； ②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型； ③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等； ④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.般先要作出向量示意图，必要时可建立直角坐标系， 再通过解三角形或坐标运算，求有关量的值.
学生探索 尝试解决
平面向量的应用举例
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
变式演练 深化提高
反思小结 观点提炼
请同学们想一想，本节课我们学习了哪些知识？ 用到了什么思想方法？你还有其他什么收获？
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8
设计问题 创设情境
学生探索 尝试解决
平面向量的应用举例
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
变式演练 深化提高
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9
[作业精选，巩固提高]
• 题：A组：3，4. B组：2.
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10
2.5.2平面向量的应用举例
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1
设计问题 创设情境
平面向量的应用举例
学生探索 尝试解决
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
变式演练 深化提高
反思小结 观点提炼
问题1：你能掌握物理中的哪些矢量？
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2
设计问题 创设情境
平面向量的应用举例
学生探索 尝试解决
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
学生探索 尝试解决
平面向量的应用举例
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
变式演练 深化提高
反思小结 观点提炼
用向量研究物理问题的方法: 问题转化，即把物理问题转化为数学问题； 建立模型，即建立以向量为载体的数学模型； 求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等； 回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
《平面向量的应用》课件
详细描述
向量的模表示向量的长度，可以通过坐标表示计算得出。具体计算公式为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$分别是向量的起点和终点的坐标。
向量加法和数乘可以通过坐标表示进行计算，遵循平行四边形法则和数乘的分配律。
详细描述
总结词
向量的大小或模定义为向量起点到终点的距离。
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，可以通过勾股定理计算得到。向量的模具有几何意义，表示向量起点到终点的距离。
详细描述
向量小。
总结词
向量的加法是将两个有向线段首尾相接，形成一个新的有向线段。数乘则是将一个向量放大或缩小，保持方向不变。通过向量的加法和数乘，可以组合多个向量，形成复杂的向量关系。
平面向量的应用实例
03
速度和加速度
在匀速圆周运动和平抛运动等物理问题中，可以利用平面向量表示速度和加速度，进而分析运动规律。
力的合成与分解
通过向量加法、数乘和向量的数量积、向量的向量积等运算，可以方便地表示出力的合成与分解过程，进而分析物体的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，可以利用平面向量表示力矩，进而分析转动效果。
总结词：平面向量在解决几何问题中具有广泛的应用，如向量的加法、减法、数乘等运算可以用于解决长度、角度、平行、垂直等问题。
总结词：平面向量在解决代数问题中具有广泛的应用，如向量的模长、向量的数量积、向量的向量积等运算可以用于解决方程组、不等式等问题。
总结词
通过平面直角坐标系，可以将向量表示为有序实数对。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量可以由其起点和终点的坐标确定，并表示为有序实数对。例如，向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示为$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。
向量的模表示向量的长度，可以通过坐标表示计算得出。具体计算公式为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$分别是向量的起点和终点的坐标。
向量加法和数乘可以通过坐标表示进行计算，遵循平行四边形法则和数乘的分配律。
详细描述
总结词
向量的大小或模定义为向量起点到终点的距离。
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，可以通过勾股定理计算得到。向量的模具有几何意义，表示向量起点到终点的距离。
详细描述
向量小。
总结词
向量的加法是将两个有向线段首尾相接，形成一个新的有向线段。数乘则是将一个向量放大或缩小，保持方向不变。通过向量的加法和数乘，可以组合多个向量，形成复杂的向量关系。
平面向量的应用实例
03
速度和加速度
在匀速圆周运动和平抛运动等物理问题中，可以利用平面向量表示速度和加速度，进而分析运动规律。
力的合成与分解
通过向量加法、数乘和向量的数量积、向量的向量积等运算，可以方便地表示出力的合成与分解过程，进而分析物体的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，可以利用平面向量表示力矩，进而分析转动效果。
总结词：平面向量在解决几何问题中具有广泛的应用，如向量的加法、减法、数乘等运算可以用于解决长度、角度、平行、垂直等问题。
总结词：平面向量在解决代数问题中具有广泛的应用，如向量的模长、向量的数量积、向量的向量积等运算可以用于解决方程组、不等式等问题。
总结词
通过平面直角坐标系，可以将向量表示为有序实数对。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量可以由其起点和终点的坐标确定，并表示为有序实数对。例如，向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示为$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。
人教A版必修四 2.5平面向量应用举例 课件(36张)
因为 tan α＝10303＝ 33(α 为 ν 和 ν2 的夹角，α为锐
角)， 所以 α＝30°. 所以帆船向北偏东 60°的方向行驶，速度为 20 3
km/h.
归纳升华 用向量方法解决物理问题的步骤
1．转化：把物理问题中的相关量用向量表示，转化 为向量问题的模型．
2．运算：通过向量的运算使问题得以解决． 3．还原：把结果还原为物理问题．
|b|＝1，θ＝π3. 所以 a·b＝|a||b|cos θ＝32.
又因为A→C＝a＋b，D→B＝a－b， 所以|A→C|＝ A→C2＝ （a＋b）2＝
a2＋2a·b＋b2＝ 13， |D→B|＝ D→B2＝ （a－b）2＝
a2－2a·b＋b2＝ 7. 所以 AC 的长为 13，DB 的长为 7.
又D→E＝D→A＋A→E＝－a＋b2，A→F＝A→B＋B→F＝b＋a2，
所以A→F·D→E＝b＋a2·－a＋b2＝－12a2－34a·b＋b22＝
－12|a|2＋12|b|2＝0.
→→ 故AF⊥DE，即
AF⊥DE.
法二：建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为
→ 2，则 A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，AF＝(2，
→ 1)，DE＝(1，－2)．
→→ 因为AF·DE＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，
→→ 所以AF⊥DE，即
AF⊥DE.
归纳升华 对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条 件，即向量的数量积为 0.而对于这一条件的应用，可以用 向量关系式的形式，也可以用坐标的形式．
[变式训练] 在△ABC 中，(B→C＋B→A)·A→C＝|A→C|2，
解析：设合力为 F，则 F1⊥F2，且 F＝F1＋F2， |F|＝ （F1＋F2）2＝ F21＋2F1·F2＋F22＝
角)， 所以 α＝30°. 所以帆船向北偏东 60°的方向行驶，速度为 20 3
km/h.
归纳升华 用向量方法解决物理问题的步骤
1．转化：把物理问题中的相关量用向量表示，转化 为向量问题的模型．
2．运算：通过向量的运算使问题得以解决． 3．还原：把结果还原为物理问题．
|b|＝1，θ＝π3. 所以 a·b＝|a||b|cos θ＝32.
又因为A→C＝a＋b，D→B＝a－b， 所以|A→C|＝ A→C2＝ （a＋b）2＝
a2＋2a·b＋b2＝ 13， |D→B|＝ D→B2＝ （a－b）2＝
a2－2a·b＋b2＝ 7. 所以 AC 的长为 13，DB 的长为 7.
又D→E＝D→A＋A→E＝－a＋b2，A→F＝A→B＋B→F＝b＋a2，
所以A→F·D→E＝b＋a2·－a＋b2＝－12a2－34a·b＋b22＝
－12|a|2＋12|b|2＝0.
→→ 故AF⊥DE，即
AF⊥DE.
法二：建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为
→ 2，则 A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，AF＝(2，
→ 1)，DE＝(1，－2)．
→→ 因为AF·DE＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，
→→ 所以AF⊥DE，即
AF⊥DE.
归纳升华 对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条 件，即向量的数量积为 0.而对于这一条件的应用，可以用 向量关系式的形式，也可以用坐标的形式．
[变式训练] 在△ABC 中，(B→C＋B→A)·A→C＝|A→C|2，
解析：设合力为 F，则 F1⊥F2，且 F＝F1＋F2， |F|＝ （F1＋F2）2＝ F21＋2F1·F2＋F22＝
平面向量应用举例课件(人教A必修
平面向量应用举例
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平面向量在物理中的应用 平面向量在解决实际问题 中的应用
平面向量的概念
平面向量在解析几何中的 应用
平面向量与其他数学知识 的综合应用
01
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02
平面向量的概念
向量的定义和表示方法
向量的定义：向量是 具有大小和方向的量， 通常用有向线段表示
向量在平面几何中的应用
向量表示：用有向线段表示向量，可以直观地表示向量的大小和方向 向量运算：向量的加法、减法、数乘和数量积等运算，可以解决平面几何中的很多问题 向量坐标：向量的坐标表示，可以方便地进行向量的运算和比较 向量应用：向量在平面几何中的应用，如求线段长度、求角、求面积等
向量在解析几何中的线性关系
向量与不等式： 向量的模、向量 的夹角等概念与 不等式的性质、 不等式的解法等 概念相结合，解 决实际问题。
向量与函数：向 量的线性组合、 向量的模、向量 的夹角等概念与 函数的定义、函 数的性质、函数 的极限等概念相 结合，解决实际 问题。
向量与几何：向 量的线性组合、 向量的模、向量 的夹角等概念与 几何的性质、几 何的解法等概念 相结合，解决实 际问题。
向量在解析几何中的向量的向量积和向量的混合积
向量积：两个向量的乘积，结果为一个向量，其方向与两个向量垂直，大小等于两个向 量的模的乘积
混合积：三个向量的乘积，结果为一个标量，其大小等于三个向量的模的乘积
应用：在解析几何中，向量积和混合积可以用来解决一些几何问题，如求三角形的面积、 求直线与平面的夹角等
的乘积之和
向量的向量积： 也称为叉积或 外积，是两个 向量对应分量
的乘积之差
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平面向量在物理中的应用 平面向量在解决实际问题 中的应用
平面向量的概念
平面向量在解析几何中的 应用
平面向量与其他数学知识 的综合应用
01
添加章节标题
02
平面向量的概念
向量的定义和表示方法
向量的定义：向量是 具有大小和方向的量， 通常用有向线段表示
向量在平面几何中的应用
向量表示：用有向线段表示向量，可以直观地表示向量的大小和方向 向量运算：向量的加法、减法、数乘和数量积等运算，可以解决平面几何中的很多问题 向量坐标：向量的坐标表示，可以方便地进行向量的运算和比较 向量应用：向量在平面几何中的应用，如求线段长度、求角、求面积等
向量在解析几何中的线性关系
向量与不等式： 向量的模、向量 的夹角等概念与 不等式的性质、 不等式的解法等 概念相结合，解 决实际问题。
向量与函数：向 量的线性组合、 向量的模、向量 的夹角等概念与 函数的定义、函 数的性质、函数 的极限等概念相 结合，解决实际 问题。
向量与几何：向 量的线性组合、 向量的模、向量 的夹角等概念与 几何的性质、几 何的解法等概念 相结合，解决实 际问题。
向量在解析几何中的向量的向量积和向量的混合积
向量积：两个向量的乘积，结果为一个向量，其方向与两个向量垂直，大小等于两个向 量的模的乘积
混合积：三个向量的乘积，结果为一个标量，其大小等于三个向量的模的乘积
应用：在解析几何中，向量积和混合积可以用来解决一些几何问题，如求三角形的面积、 求直线与平面的夹角等
的乘积之和
向量的向量积： 也称为叉积或 外积，是两个 向量对应分量
的乘积之差
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方法小结 利用向量法解决平面几何问题的基本思路：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉 及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究集合元素之间的关系，如距离、 夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何元素。
三、例题分析
例2、证明直径所对的圆周角是直角
已知：如图所示，已知⊙O，AB为直 径，C为⊙O上任意一点。
(n
m
1 )b
0
解得：n m 1
2
3
所以AR 1 AC,同理TC 1 AC,于是RT 1 AC
3
3
3
故AT=RT=TC
针对性练习
ΔABC中，点D、E、F分别是AB、BC 、CA边的中点，
BF 与CD交于O两点，设 AB a, AC b 证明A、O、E三点共线，且 AO BO CO 2
同理 | DB |2 | a |2 2a • b | b |2 (2)
由(1) (2)得
向量的运算
| AC |2 | DB |2 2(| a |2 | b |2 ) 2(| AB |2 | AD |2 )
AB2 BC 2 CD2 DA2 AC 2 BD2 翻译
3、已知直角梯形ABCD中，AB//CD， ∠CDA=∠DAB=90°，CD=DA=0.5AB， 求证：AC⊥BC
四、针对性练习
4、利用向量证明：菱形的两条 对角线互相垂直
A
B
D
C
六、作业
课本P.113 习题2.5 A组 第2题
三、例题分析
例3、如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD 、
DC边的中点，BE 、BF分别与AC交于R、T两点，你
能发现AR 、RT、TC之间的关系吗？
猜想：AR=RT=TC
DF C
ER
T
A
B
证法一
连接BD交AC于O，则R为三角形ABD的重心，所 以AR=2RO，同理CT=2TO
解：设 AB a， AD b, 则 AC a b
OE OF OD
A
D
OF
B
E
C
四、课时小结 利用向量法解决平面几何问题的基本思路：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题 中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问 题； （2）通过向量运算，研究集合之间的关系，如距离、 夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
形到向量 向量的运算 向量和数到形
一、复习回顾
（1）向量共线的条件：
a / /b a b R,b 0
a
( x1,
y1)，b
( x2 ,
y2
)
x1 y2
x2
y1
a / /b
（2）向量垂直的条件：
a b a b 0 a 0,b 0
a
( x1,
y1)，b
四、针对性练习
1、在ABC中，点D在BC边上，且CD 4DB
r AB s AC，则3r s的值是 C
A16
5
B12
5
C 8
5
D 4
5
2、已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量（1－m，1）
与l平行，则实数m的值为（ D ）
(A)-1
(B)1
(C)2
(D)-1或2
DF C
由于 AR与 AC共线，
ER T
故设 AR n(a b ), n R
又因为ER与EB共线，
A
B
所以设ER mEB m(a 1 b)
因为AR
AE
2 ER，所以AR
1 2
b
m(a
1 2
b)
因此n(a b) 1 b m(a 1 b)
2
2
即(n
m)a
A
求证：∠ACB=90°
C B
O
证明：设 AO a,OC b
思考：能否用向量
则AC a b,CB a b
坐标形式证明？
由此可得：AC CB a b a b
2
a
2
b
2
a
b 2 r2
r2
0
即： AC CB 0，∴∠ACB=90°
三、例题分析
例1、证明平行四边形四边平
D
方和等于两对角线平方和。
b
已知：平行四边形ABCD。
A
a
求证：AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
C B
解：设 AB a, AD b，则 AC a b, D形B转 向a 量b
| AC |2 AC AC (a b) (a b) | a |2 2a b | b |2 (1)
( x2 ,y2) Nhomakorabea
x1 x2
y1 y2
0
a b
一、复习回顾 （3）两向量相等条件：
a b a b , 且方向相同。
a
( x1,
y1
)，b
(
x2
,
y2
)
a b
x1 y1
x2 y2
（4）平面向量基本定理 a 1e1 2e2 其中e1，e2不共线,1，2为唯一确定的常数