整理机动车驾驶教练员四级考试题库

整理人 尼克
机动车驾驶教练员四级考试题库
模拟试卷
一. 选择题：本大题共5个小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。

f(x)={0x≤0|x=0 1. 函数在点不连续是因为（ C ）
f(0+0)¹f(0)f(0−0)¹f(0) A. B.
f(0+0)f(0−0) C. 不存在 D. 不存在
f(x)∫f(x)dx=0 2. 设为连续函数，且，则下列命题正确的是（C ）
f(x)[−a£¬a] A. 为上的奇函数
f(x)[−a£¬a] B. 为上的偶函数
f(x)[−a£¬a] C. 可能为上的非奇非偶函数
f(x)[−a£¬a] D. 必定为上的非奇非偶函数
a0b=3i+j+4kc=i+ka0 3. 设有单位向量，它同时与及都垂直，则为（ C ）
√3√3+
√3
+j−k A. B.
√3√3−
√3
−j+k C. D.
∑ln(n+1)
n+1x n
¥
n=1 4. 幂级数的收敛区间是（ B ）
[−1£¬1](−1£¬1)A. B.
[−1£¬1)(−1£¬1]C. D.
y=sinx} { 5. 按照微分方程通解的定义，的通解是（ A ）
−sinx+c1x+c2−sinx+c1+c2 A. B.
sinx+c1x+c2sinx+c1+c2 C. D.
c1¡¢c2（其中是任意常数）
f(x)=x2−4x+4£¬xÎ[2£¬+¥)g(x)f(x)6. 设函数，是的反函数，则（ B ）g(x)=2−√xg(x)=2+√x A. B.
g(x)=-2−√xg(x)=-2+√x C. D.
x0f(x)7. 若是的极值点，则（ C ）
f′(x0)f′(x0)=0 A. 必定存在，且
f′(x0)f′(x0) B. 必定存在，但不一定等于零
f′(x0) C. 可能不存在
f′(x0) D. 必定不存在
x
=y 4=z
−3 8.设有直线，则该直线必定（ A ） A. 过原点且垂直于x 轴
B. 过原点且平行于x 轴
C. 不过原点，但垂直于x 轴
D. 不过原点，且不平行于x 轴
∑a n x n ¥n=0x =2∑(−1)n a n ¥n=0 9. 幂级数在点处收敛，则级数（ A ）
A. 绝对收敛
B. 条件收敛 a n
C. 发散
D. 收敛性与有关
y''+3y′+2y =e −x y ∗ 10. 对微分方程，利用待定系数法求其特解时，下面特解设法正确的是（ C ）
y ∗Ae −x y ∗(Ax +B)e −x A. B. y ∗Axe −x y ∗Ax 2e −x C. D.
二. 填空题：本大题共10个小题， 把答案填在题中横线上。

f(x)={
e x 2
−12x 2
x¹0|a =lim x→0
f(x)=lim
x→0
e x 2
−12x 2
=lim
x→0
x 22x 2
=12
£¬⇒a =1
2
1. 设为连续函数，
则 。

y =2x 3+3x 2−12x +1 2. 函数的单调递减区间是 （-2，1）。

sinx x
f(x)∫xf′(x)dx =∫xf′(x)dx =xf(x)−∫f(x)dx =
xcosx−sinx
x
−
sinx x
+c =cosx −
2sinx x
+c 3.
设是的一个原函数，则 。

∫f(t)dt =(1+x 2)arctanx +e −x 2
f(x)=f(x)=2xarctanx +(1+x 2)1
1+x 2−2xe −x 2
=2xarctanx −2xe −x 2
+1 4. 设，则 。

∫k x 2+4x+5dx =pk ==k (p 2−arctan2)⇒k =p/(p
2−arctan2) 5. 设，其中k 为常数，则 。

z =e −sin
2(xy )2
¶z ¶y
=¶z
¶y =e −sin
2(xy )2
⋅−2sin (xy )2cos(xy)22x 2y=-2x 2ysin [2(xy)2]e −sin
2(xy )2
6.
设，则 。

x 1+y
dx −
y 1+x
dy =02(x 3−y 3)+3(x 2−y 2)=c(c =6c 1) 7. 微分方程的通解为 。

M 0(1£¬2£¬3)x +2y −z −2=0d =d =
22()2
=
5√6
6
8. 点到平面的距离 。

∑(−1)
n
4n
(x −1)n ¥n=0 8. 幂级数的收敛区间是 （-3，5） （不含端点）。

y -2y'+5y=0} {y =e x (c 1cos2x +c 2sin2x )9. 方程的通解是 。

x→+¥lim √x 3+x+1−x x 32
⁄= 10. 1 .
y =e x
1+x 2y′=y′=
e x (1+x 2)−e x (1+x 2)′
(1+x 2)2
=
(1+x 2−2x)e x
(1+x 2)2
=
(x−1)2e x (1+x 2)2
11.设，则.
F (n−2)(x)=∫e t dt F (n)(x)=F (n)(x)=(F (n−1)(x))′=(2xe x 2
−e x )′
=2e x 2+4x 2e x 2
−e x
=4x 2e x 2
+2e x 2
−e x
12. 设，则. x√1+lnx ==2√3−2=2(√3−1) 13..
z =1
2ln(1+x 2+y 2)dz|(1£¬1)=⇒dz|(1£¬1)=1
3dx +1
3dy 14.设，则.
a ={1£¬2£¬1}£¬
b ={2£¬−1£¬1}M 0(1£¬1£¬1)ab3x +y −5z +1=0 15.已知，则过点且同时平行于向量和的平面的方程为.
dy
dx +3y =e 2x =1
5
e 2x +ce −3x 16.微分方程的通解是. ∑(x−1)2n
9n
¥n=0
(−2£¬4) 17.幂级数的收敛区间是 .
a =i +j +2kaa 0=a 0=a
|a |=√
6
√
6
√6
18.设，则与同方向的单位向量 .
I =∫dx ∫f(x£¬y)dy I =I =∫dx ∫f(x£¬y)dy =∫dy ∫f(x£¬y)dx 19.交换二次积分的次序得 .
三. 解答题：本大题共13个小题， 解答时应写出推理，演算步骤。

lim x→0
(
e x x
−
1
e x −1
) 1 . 求极限。

解：
lim x→0(e x x −1e x −1)=lim x→0e x (e x −1)−x x (e x −1)=lim x→0e 2x −e x −x x 2=lim x→02e 2x −e x −1
2x
=lim x→04e 2x −e x 2=3
2
∫x+(arctanx)2
1+x dx 2. 计算 ∫
x+(arctanx)2
1+x dx 解：
=∫
x 1+x
dx +∫
(arctanx)21+x dx
=12
∫d(1+x 2)1+x +∫(arctanx)2d(arctanx)
=1
2ln(1+x 2)+1
3(arctanx)3+c f(x)=e
−
1x 2
ℎ→0lim f(1+ℎ)−f(1)
ℎ
3.设，求
ℎ→0lim f(1+ℎ)−f(1)
ℎ=f′(1) 解：
=e −
1
x 2
(2
x 3)|x=1=2e −1
y =
x 2+12
(arctanx )2−xarctanx +1
2
ln (1+x 2)dy 4. 设，求。

解：
y′=x (arctanx
)2
+x 2+12⋅2arctanx ⋅11+x 2−arctanx −11+x 2+
122x 1+x 2
=x (arctanx )2+x−1
1+x 2
dy =y′dx =[x(arctanx)2+x−1
1+x 2]dx 所以 y =x 3
3−x 2 5.判定函数的单调区间 y′=3x 2(3−x 2)−x 3(3−x 2)′
(3−x ) 解：
=
x 2(9−x 2)(3−x 2)2
−3<x <3y′>0x<-3x >3y′<0(-¥£¬−3)È(3£¬+¥)(−3£¬3) 当时，，函数单调增加；当或时，，函数单调减少，故函数的单调递减区间为，单调递增区间为 f(x)=lnx −∫f(x)dx ∫f(x)dx 6.设函数，求
A =∫f(x)dx f(x)=lnx −A 解：设，则，两边求定积分得 A =∫f(x)dx =∫(lnx −A)dx
=(xlnx −x −Ax)|1e
=-Ae +A +1
A =1
e
解得：，于是
f(x)=lnx −1
e ∑n √n 2+√n ¥ 7.判定级数的收敛性，若其收敛，指出是绝对收敛，还是条件收敛？
∑|n
√n 2+n |=∑√n 2+n
¥¥n=1 解：（1）先判别级数的收敛性 u n =
√n 2+n
>
2
=1
Dv n 令
Q ∑v n ¥n=1=∑1
n+1
¥n=1 发散
¥
n=1
u n =∑√n 2+n
¥ 发散
（2）由于所给级数是交错级数且 u n =
2>
2=u n+1 <1>
n→¥lim
u n
=0 <2>
由莱布尼兹判别法知，原级数收敛，且是条件收敛。

z =x 2siny 2+xy 3
¶z ¶x¶y
8. 设，求
¶z ¶x
=2xsiny 2+y 3 解：
¶2z
¶x¶y
=¶
¶y (¶z
¶x )=¶
¶y (2xsiny 2+y 3) =4xycosy 2+3y 2
y''+3y′+2y =xe x 9.求微分方程的通解 y''+3y′+2y =0 先求方程的通解：
r 2+3r +2=0r 1=-1r 2=-2 特征方程为 ，特征根为，，于是齐次方程通解为 y =c 1e −x +c 2e −2x (1)
f(x)=xe x =xe αx α=1 方程中的，其中不是特征根，可令 y ∗(ax +b)e x
y*'=(ax +a +b)e x y*''=(ax +2a +b)e x 则， 代入原方程并整理得
(6ax +5a +6b)e x =xe x ⇒6a =1 ， 5a +6b =0⇒a =1
6£¬b=-5
36 y ∗(1
6x −5
36)e x (2)
y =y +y ∗c 1e −x +c 2e −2x +(16x −5
36)e x 所求通解为 f(x)=arctan2x 10.将函数展开为麦克劳林级数
f′(x)=(arctan2x)′=2
1+4x 2=2∑(−4x 2)n
¥n=0 解：
=∑(−1)n 22n+1¥n=0x 2n −1
2<x <1
2 （） f(x)−f(0)=∫f′(t)dt =∫[∑(−1)n 22n+1¥n=0x 2n ]dx =∑(−1)n 22n+1∫x 2n dx =∑(−1)
n 22n+12n+1
¥n=0x 2n+1¥n=0
f(x)=arctan2x =∑(−1)n 22n+12n+1
¥n=0x 2n+1−12
≤x ≤12
即
d dx f(x 2)=1
x
f′(x) 11.设，求
d
dx f(x 2)=f′(x 2)⋅2x d
dx
f(x 2)=1
x 解：因由得 f′(x 2)=12x 2f′(x)=1
2x ，从而
z =√1−x 2−y 2y −1
2=0 12.求函数在条件之下的最值。

解：把条件极值问题转化为一元函数的最值 z(x)=√1−x 2−1
4
=√3
4
−x 2
x =0
√3
2 当时，函数取到最大值 x =±
√32 当时，函数取到最小值0
y =x 3
(x+1) 13.求曲线的渐近线
Q x→¥lim y
=x→¥lim
x 3(x+1)=¥
解：（1）
} 曲线没有水平渐近线
x→−1lim
y =x→−1
lim x 3(x+1)=¥x=-1 （2），曲线有铅直渐近线
x→¥lim y x
=x→¥
lim x 2
(x+1)2
=1=a （3）
x→¥lim
(y −ax)=x→¥lim (
x 3(x+1)2
−x)
=x→¥
lim x 3−x 3−2x 2−x
(x+1)2
=-2=b
所以曲线有斜渐近线
y=x−2
1≤x2+y2≤2£¬y³0∬
√4−x22
14. 设区域为D：，计算
解：积分区域如图所示（阴影部分）
∬
√4−x22=∫dq
√4−r2
=p∫
2√4−r2
−r2)
=-p√4−r2|1√2=p(√3−√2)
y=x−3
2
x23[−1£¬1]15 求函数在区间上的最大值与最小值。

y=x−3
2x23x=0y′=1−x−13=x
1
3−1
x
1
3
(x¹0ʱ)解：函数在处不可导，
y′=0x=1y(−1)=-5
2£¬y(0)=0£¬y=-1
2
令得驻点，求得
[−1£¬1]y(0)=0y(−1)=-5
2
于是y在上的最大值为，最小值为∫sin√xdx16. 求不定积分。

√x=t£¬x=t2dx=2tdt解：令，，于是
∫sin√xdx=∫sint⋅2tdt=2∫tsintdt=-2∫t(cost)′dt
=-2[tcost−∫costdt]=-2[tcost−sint]+c
»¹Ô­−2√xcos√x+2sin√x+c
z=z(x,y)x2+2y2+3z2+xy−z=9¶z
¶x £¬¶z
¶y
17. 设由方程确定，求。

F(x,y,z)=x2+2y2+3z2+xy−z−9解：令，则F x′=2x+y£¬F y′=4y+x£¬F z′=6z−1
¶z ¶x =-F x′
F z′
=-2x+y
6z−1
于是，
¶z ¶y =-F y′
F z
=-4y+x
6z−1
x2+y2≤1∬1
1+x2+y2dxdy
D
18. 若区域D：，计算二重积分。

{(r,q)|0≤q≤2p£¬0≤r≤1}解：D用极坐标表示为
∬1
1+x2+y2dxdy
D =∫dq∫1
1+r2
rdr=2p∫rdr
1+r2
=p∫d(1+r2)
1+r2
=pln(1+r2)|01=pln2
19. 求过三点A（0，1，0），B（1，-1，0），C（1，2，1）的平面方程。

平面方程为：
−2(x−0)−(y−1)+3(z−0)=0−2x−y+3z+1=0，即
∑(
3n
4
n
+n √n ¥n=1 20. 判定级数的收敛性。

∑3
n
4n ¥n=1q
=3
4<1∑n
√n
¥ 解：因为是公比的等比级数从而收敛，再考察级数 u n =|
n √n
|=
√
n n
=√
n
>√n+1
=u n+1lim n→¥
u n =√n
=0 其中满足①，②
∑n
√n
¥⇒
∑(3n 4
n
+
n √n
)¥n=1 由莱布尼兹判别法知收敛，
级数收敛。

（两收敛级数之和收敛） y+y'-2y=x rSup { size 8{2} } } { 21. 求方程的一个特解。

r 2+r −2=0r 1=-2£¬r 2=1 解：特征方程为，特征值 f(x)=x 2=x 2e 0x α=0 ，这里不是特征根，可设特解为： y ∗x 0⋅e 0x ⋅(ax 2+bx +c )=ax 2+bx +c y*'=2ax +b£¬y*=2a} { 代入原方程并整理得： −2ax 2+(2a −2b )x +(2a +b −2c )=x 2 a=-1
2£¬b=-1
2
£¬c=-34
解得：
y ∗=-1
2x 2−1
2x −3
4 于是
∫f(x2+a2
x )dx
x
=∫f(x+a2
x
)dx
x
22. 证明：
解：
∫f(x2+a2
x2
)
dx
x
t=x2f(t+
a2
t
)
dt
2t
=
1
2
∫f(t+
a2
t
)
dt
t
=1
2[∫f(t+a2
t
)dt
t
+∫f(t+a2
t
)dt
t
]¡­¡­<1>
∫f(t+a2
t )dt
t
t=a2
u
∫f(u+a2
u
)(−du
u
)=∫f(u+a2
u
)du
u
又
=∫f(t+a2
t )dt
t
¡­¡­<2>
由<1>、<2>得：
∫f(x2+a2
x2)dx
x
=1
2
[∫f(t+a2
t
)dt
t
+∫f(t+a2
t
)dt
t
]
=∫f(t+a2
t )dt
t
=∫f(x+a2
x
)dx
x
f(x)f(x)=x3+3x∫f(x)dx f(x)23. 设为连续函数，且，求。

A=∫f(x)dx解：令，则
f(x)=x3+3x∫f(x)dx=x3+3Ax
⇒∫f(x)dx=∫(x3+3Ax)dx=(1
4x4+3
2
Ax2)|01=1
4
+3
2
A
A=1
4+3
2
A⇒A=-1
2
即
f(x)=x3−3
2
x于是
y=ax2+bx+cxÎ[0£¬1]y³0y=ax2+bx+cx=1y=04
9
24. 设抛物线过原点（0，0）且当时，，试确定a、b、c的值。

使得抛物线与直线，所围成图形的面积为，且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小。

y=ax2+bx+cc=0⇒y=ax2+bx解：因抛物线过原点（0，0），有依题意，如图所示阴影部分的面积为
∫(ax2+bx)dx=(1
3ax3+b
2
x2)|01=1
3
a+b
2
=4
9
b=8
9−2
3
a
该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为
V=p∫(ax2+bx)2dx=p∫(a2x4+2abx3+b2x2)dx
=p(a2
5+1
2
ab+1
3
b2)
⇒V(a)=p[a2
5+1
2
a(8
9
−2
3
a)+1
3
(8
9
−2
3
a)
2
]
=p(2
135a2+4
81
a+64
243
)
V′(a)=p(4
135a+4
81
)=0a=-5
3
令，得驻点：
b=8
9−2
3
´−5
3
=18
9
=2
a=-5
3b=2y=-5
3
x2+2x由问题的几何意义可知，当，从而时，旋转体的体积最小，于是所
求曲线为
x−x3
3+x5
5
−x7
7
+¡­¡­1−1
3
+1
5
−1
7
+¡­¡­25. 求幂级数的和函数，并由此求级数的和。

S(x)=x−x3
3+x5
3
−x7
7
+¡­¡­S(0)=0解：令，则且有
S′(x)=1−x2+x4−x6+¡­¡­=1
1+x2
S(x)−S(0)=∫S′(t)dt=∫1
1+t2
dt=arctanx又(x)=arctanx
1−1
3+1
5
−1
7
+¡­¡­=arctan1=p
4
于是
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