排列组合的应用题解法

3.排列数公式: P n

m
n(n 1)(n 2) (n m 1)
n! ( n m)! m P n ( n 1)(n 2) ( n m 1) m 4.组合数公式: Cn n m m! P m
n! m! ( n m )!
5 加法原理和乘法原理：完成任务时是分类进行还是步进行。
浙江省玉环县楚门中学吕联华
1.排列的定义: 从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的 顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个 元素的一个排列。 2.组合的定义: 从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个 组合. 排列与组合的关键是问题与次序有无关系。
2 1 6 2
5 5 7 7 11 11 13 11 13 13 11 15 11 13 13 5 5 7 7 11
解：因为从六个数字中任选两个作为分子分母的分数中，其中 真分数出现的机会与出现假分数的机会是均等的，因此真分 P 数的个数为 个。 ②5名运动员参加100米决赛，如果每人到达终点的顺序不相同, 2P 5 答 : 1 5 问甲比乙先到达终点的可能有几种? 小结：在排列或组合中若某两个元素出现的机会是相同的，在 求解中我们只要求出它的全体，那么，所求种数为全体的 二分之 一，这种方法叫机会均等法。（概率法）
5
例3：某工厂制造的一台机器要按装一排8个不同的按钮，其中 3个方按 钮一定要装在一起，而且红色方钮必在另两方钮 中间，有多少种装法？ 【图示】
解：先把三个方按钮排好，有 P22 种排法， 然后把三个方按 钮“捆绑”在一起看成一个按钮，与其余5个按钮相当于6个 按 P66 所以共有 P66 P22 1440 种装法。 钮排成一排，有 种排法，
小结：在排列或组合问题中“含”与“不含”的问题，经常先 把所有元素进行排列或组合，然后再去掉含有不能含的元 素的取法数，这种方法叫排除法。
例5：圆周上有n个点（n≥6），用线段将它们彼此相连，这 些线段中任意三条在圆内没有公共点，问这些线段构成多 少个顶点在圆内的三角形？ A2 A1 解：圆内三角形ABC，AB，在A1B2 ° 上，⊿ABC在A1B2的一侧，则BC A 所在的B1C2 ，AC所在的A2C1都被 A1B2一截为二，即在A1B2的两侧 C2 B° ° 1 B C 各有两点A2，B1，和C1，C2 ，同 °C 理，在A2C1，B1C2 的两侧也各有 1 两点， 因此每一个圆内的三角形 决定圆周 B2 上6个点，反之，如在圆周上任取6个点，也 可用上述方法找出三对点，每对点之间连线 段，这三线段相交成一个圆内三角形 所以，上述问题转化为在圆周上取6个点就能组成一圆内 6 三角形，从圆周上n个点中选6个点的组合数 Cn 就是圆 内三角形的个数。
再见
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上也绝对不能输。慕容凌娢狠狠地瞪了韩哲轩一眼。“那就等你长高了再打吧。”百蝶毫不留情的揭穿了慕容凌娢。“百蝶你是不是有 急事？”“你怎么知道？”“我……”“别说又是猜得。”“好吧，我最讨厌解释了。”韩哲轩有些后悔自己话多了。“如果你没有急 事，去找夏桦的时候干嘛那么着急，不是说等我出来了再进去的吗？”“怎么，难不成……”百蝶一脸坏笑，小声对韩哲轩说，“难不 成你翻到隔壁老王家了……”“又不是所有的隔壁都住着老王。”“要不就是隔壁小黑家？”“不是。”“那就是正好砸到了楼下小 白？”在明白了被‘出卖’的其实是夏先生之后，慕容凌娢也加入了损韩哲轩的行列，他和百蝶果然都好心机……“怎么可能啊，脑洞 真大。”韩哲轩无奈的叹了口气，完全是一副无法沟通的表情。似乎是因为成功黑了韩哲轩的缘故，慕容凌娢感到心情极其舒畅，兴高 采烈地来到了醉影楼。……这就是古代的青楼啊，慕容凌娢由衷的感叹，比想象中的华丽多了！尽管天色还没有完全暗下来，醉影楼里 已经是灯火通明。门前还站着几个身材很正点的女子，各个是浓妆艳抹，婀娜多姿。一看就是在拉客。慕容凌娢不禁脑补出那些女子拉 客时的情景。“大爷，常来玩啊～”“大爷～”“小美女～”……“古代的青楼，都是这么有钱吗？”慕容凌娢问道。“谁告诉你这是 青楼啊！”百蝶生气的问，旁边的韩哲轩已经笑得不停了。“哈哈哈……其实我也感觉这里是和青楼很像……百蝶还总是狡 辩……”“本来就不是青楼嘛。”百蝶无语的瞟了两人一眼，“你们两个真是的，小小年纪，思想居然这么不纯洁……如果真是青楼， 我怎么会让你来呢。”“十五岁在这个年代都已经算是成年了。”“就是就是。”慕容凌娢第一次和韩哲轩站在了同一立场，“百蝶姐 姐也没有多大吧？最多二十岁吧？”“大得多得多。”“不会吧，百蝶姐姐你到底多大？”“轻易问别人年龄可不太礼貌啊。”韩哲轩 此时的笑容显得别有深意，“这种事情还是不知道的好，太毁三观了。”(古风一言)那时，谁笑逍遥引风骚 。而今，谁盼君归千里外。 第017章 百蝶是楼主“百蝶姐姐也没有多大吧？我觉得最多有二十岁。”“大得多得多。”“不会吧，百蝶姐姐你到底多大？”“轻易 问别人年龄可不太礼貌啊。”韩哲轩此时的笑容显得别有深意，“这种事情还是不知道的好，太毁三观了。”“不过你这个样子好像也 很不礼貌啊。”慕容凌娢本以为百蝶会生气，没想到她只是很坦然的站在一旁看自己斗嘴。这不科学啊！每个女生都会在意自己的年龄 吧？尤其是在被别人谈论的时候。“给你讲过故事。”韩哲轩不等慕容凌娢反应过来就已经开始说了，“从前有座山，山上有座庙，庙 里住着一直
例1：7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种 在中间，也不种在两端的花盆中，问有多少不同的种法？
解一：分两步完成； 3 第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置 有P 5 种排法 4 3 4 第二步排其余的位置： 有P 种排法 共有 P 4 5 P 4 种不同的排法 2 有P 解二：第一步由葵花去占位： 4 种排法 第二步由其余元素占位： 5 2 5 有P 种排法 共有 P 5 4 P 5 种不同的排法
小结：如果某几个元素必须相邻时，首先可以把这几个元 先进行排列，然后把这几个元素捆绑在一起看成一个元素， 再与其它元素进行排列，这种方法叫捆绑法。
例4：空间十个点A1，A2，A3，· · · · · · · · · · · A10，其中A1，A2· · · · · · A5在同一平面内，此外再无三点共线四点共面，以这些点 为顶点，一共可以构成几个四面体？ · A7 · A9 【图示】 · A6 A8 解：因为四面体需四个顶点组成 · A10 · 所以在十个点中取四个点共 4 有 C10 种方法。但四个点 · A5 A2· 在同一平面上不能组成四面体 · A4 A1· · A3 ，所以排除同一平面上五个点 4 C 取四个点的情况共有 5 种 方法，这样，一共可以构成 4 C10 C54 个四面体。
小结：在中学数学中，解答数学问题常用的数学思想方法很 多如数形结合思想；分类讨论思想；化归的思想……等等。 而我们以上的：特殊元素（位置）分析法，插入法，捆绑 法，排除法，转化法，机会均等法，隔板法都是运用这些 思想在解排列组合应用题时所得到的各种解法，当然，这 些 解法要灵活运用，而且有时要联合运用才能把问题解决。
例7：①在从2，3，5，7，11，13这六个数字中任选两个，分 别作分子，分母的分数中，真分数有几个？
真Leabharlann Baidu数 真分数
假分数 假分数
2 3 3 2
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,
2 5 5 2 2 2 2 7 11 13 7 11 13 2 2 2 3 5 5 3 3 3 3 7 11 13 7 11 13 3 3 3 5 7 7 5
小结：当排列或组合问题中，若某些元素或某些位置有特殊要 求 的时候，那么，一般先按排这些特殊元素或位置，然后再 按排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法。
例2：要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，如果 舞蹈节目不排头，并且任何2个舞蹈节目不连排，则不同的 排法有几种？ 【图示】
例6：有一群孩子外出旅行，回来时准备包车回家，包车费 20元，他们把每个人的钱凑合起来，其中有23人，每人有 0．5元硬币一枚，另外10人，每人有1元硬币一枚，问有多 不同的凑合方法？ 解：把所有人的硬币都凑合起来共有23×0．5+10×1=21．5 元，所以多1．5元，这样问题可转化为取多余钱的方法数 即取3个0．5的硬币或取1个0．5硬币和1个1元硬币的方法 3 1 1 数，则有 C23 C23 C10种取法。 小结：对于某些问题如果直接去考虑，就会比较复杂，若 能转化为与其等价的问题，就变得简单，容易解决，这种 方法叫转化法。
例8：12个相同的球分给3个人，每人至少一个，而且必须 全部分完，有多少种分法？
解：将12个球排成一排，一共有11个空隙，将两个隔板插入 这些空隙中，规定两 隔板分成的左中右三部分球分别分给 2 3个人，每一种隔法 对应一种分法，于是分法的总数为 C11 =55 种方法。 小结：将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数），可以 用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有 的插法数就是分法数，这种方法叫隔板法。
① ② ③ ④
⑤
①
②
③
解：5个独唱节目的排法是 P5 ， 舞蹈不排在头一个节目，又 需任何两个舞蹈不连排，只要把舞蹈节目，插入独唱节目的 5个空隙中即可，即舞蹈节目的排法是 P53 ，所以排法的种数 为 P55 P53。
小结：当某几个元素要求不相邻时，可以先排没有条件限 制的元素，再将要求不相邻的元素按要求插入已排好元素 的空隙之中，这种方法叫插入法。