古扎拉蒂《计量经济学基础》第6章

(w2
/ w1 ) ˆ
同理，有
ˆ * w1ˆ
(ˆ * ) 2
w
2 1
ˆ
2
v a r(ˆ * )
w
2 1
v a r (
)
v a r ( ˆ1* ) ( w1 / w 2 ) 2 v a r ( ˆ1 )
rX Y rX *Y *
不难看出,当X和Y按同一标准减缩或扩大 w1= w2, 估计的斜率无变化，但截距变化,方差 变化。当w1≠w2时, 估计的斜率和截距均有变 化.但由于这种变换仅仅将数据扩大或减缩,所 以估计量的性质不发生改变。 一般而言，在实际应用中对于所拥有的数 据一般不改变度量单位，回归结果按原始数据
截距不出现在模型中，故称为过原点回归。
其图形为
Yi
SRF
:
^ Yi
^2 X i
^2
1
0
Xi
过原点模型：Yi ˆ2 Xi ui，利用OLS，得出：
ˆ2
X iYi
X
2 i
var(ˆ2)
2
X
2 i
ˆ 2 uˆ2
n 1
而含有截距项的模型得出的估计是：
ˆ2
xi yi xi2
var(ˆ2)
ˆ l nˆ 1 ˆ 1 ln 1 ˆ 不是β1的无偏估计。
弹性
一个变量Y 如需求量对另一变量如价格 X的弹性定义：
E
Y的%变化 X的%变化
Y X
Y 100 X 100
Y X
X Y
斜率
X Y
对数一对数模型的一个诱人且致使它获 得普遍应用的特点，就是斜率系数测度了Y 对X的弹性（elasticity），也就是给定X变 化的百分数引起y变化的百分数。
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古扎拉蒂《计量经济学基础》
第6章 双变量回归模型的延伸 主讲老师：李庆海
6.1 本章要点 ●过原点回归
●尺度与度量单位 ●标准化变量的回归 ●回归模型的函数形式 ●怎样测量弹性：一个对数例子 ●函数形式的选择
6.2 重难点导学 一、过原点回归
1．对于模型
Yi 1 X i u i
足关系0<r2<1，却不能直接同惯用的r2值相
比。因此，一些作者并不对零截距回归模型
报告r2值。
过原点模型的特点：
第一：对有截距项的模型来说， uˆ2 0总是成立的。 但过原点模型中的 uˆ2却不一定等于0。
第二：对有截距项的模型来说，R 2总是非负的。 但过原点模型中的R2却可能会出现负数。
几点说明 由于此模型的这些异常特性，在使用零截距 回归模型时须特别小心。除非有非常强的先验预 期，否则以采取习惯含有截距的模型为好。这样 做有两方面的好处： 第一，尽管模型含有截距项，但若该项的出 现是统计上不显著的（即统计上等于零），则从 任何实际方面考虑，都可认为这个结果是一个过 原点回归模型；第二，并且更为重要的是，如果 在模型中确实有截距，而我们却执意拟合一个过 原点回归，就犯了设定错误（specification error）。
二、尺度与测量单位
问题：对于X和Y的数据，同时改变测度单 位，对参数估计会产生什么影响？ 如投资GDPI （＝X）与GNP（＝Y）的关系，将X和Y原为10亿 的度量单位减缩为百万，或者将X的度量单位减 缩为千万，Y的度量单位减缩为百万，这种改变 对于回归参数的估计产生何种影响？这一问题 可表述为：
半对数模型
不变增长率模型.考虑复利公式
取对数，有
Y t Y 0 (1 r ) t
ln Yt ln Y0 t ln 1 r
令 1 ln Y0 , 2 ln (1 r )
上式变为 ln Yt 1 2（t 恒定增长模型） ln Yt 1 2t ut
上式是关于参数的线性模型，但对于变量 而言，为时间变量即样本初始点为1，每次增
的测度单位进行解释。
改变测量单位对OLS统计量的影响
对于模型：Yi 0 1X i ui
1．当w1 =w2即尺度因子相同时，斜率系数及其标准误的估计不变。 而截距项及其标准误会放大或缩小了w1倍。
2．X i的单位不变（w2 1），而Yi尺度按因子w1改变，则截距项和 斜率系数及其各自的标准误都会乘以相同的w1因子。
对数双曲线或对数倒数模型
模型如下：
ln Yi
1
2 (
1 Xi
)
ui
Y首先以递增的速度增加（凸的），然后以递减的速度
增加（凹的），适用于短期生产函数模型。若考虑劳动
和资本是一个生产函数的投入，保持资本不变但劳动力
增加，那么产出与劳动之间的短期关系就是这种情形。
上述函数形式的总结
五、函数形式的选择 1．模型背后的理论（如菲利普斯曲线）可 能给出了一个特定的函数形式。 2．最好能求出回归子相对回归元的变化率 （即斜率）和回归子对回归元的弹性。 3．所选模型的系数应该满足一定的先验预 期。比如，如果考虑对汽车的需求是价格和其 他变量的函数，那应该预期价格变量的系数为 负。
yt 1 2 xt ut (绝对变化) R 2 0.67 ln yt 1 2 xt u（t 相对变化） R2 0.8
对数－线性模型
Yi 1 2 ln X i ui
X 变化一个百分比，Y的绝对变化量
2
Y X / X
Y
2 X
/
X
含义：Y的绝对变化（Y）等于2乘以X的相对变化。
2
xi2
ˆ 2 uˆ2
n2
通过比较可以看出，过原点回归得出的估计参数是
原始数据的交叉相乘之和与原始数据的平方和之比，
而含截距模型的参数估计则为离差平方和或离差交叉
乘积的比。
过原点回归模型的r2
raw r2
( X iYi )2
X
2 i
Yi 2
注：这些是原始（而不是经过均值校
正的）平方和及交叉乘积和。虽然raw r2满
倒数模型
Yi
1
2(
1 Xi
)
ui
这一模型的特点：关于参数是线性的，但关
于变量是非线性的，所以从回归的角度看，这是
一个线性回归模型；当X趋于无穷大时，1/X趋于0，
而 Y则趋于β2。
一个例子：菲利普斯曲线
其中Y为通胀变化率，X为失业率，上半部 （较陡）表明，当失业率低于自然失业率时， 失业的单位变化（下降）引起的工资的变化率 （通胀）上升，其速度快于对应的在失业率高 于自然失业率时，失业的同样变化所引起的工 资下降（下半部较上半部平缓）。
加1而形成的时间趋势变量，应变量为对数，
故为半对数模型。对于这种模型：
2
d ln Yt dt
1 Yt
dY dt
1 Yt
Yt t
Yt Yt
/ t
2
回归子Y的相对改变量 回归元X的绝对改变量
瞬时增长率
线性趋势模型
Yt 1 2t ut
其中的时间变量取名为趋势变量。
对于以上的半对数线性和线性趋势模型， 尽管回归的解释变量均为时间趋势变量，但被 解释变量分别为lnY和Y，所以不能比较这两个 模型的拟合优度（为什么？）。 对于如下模型，如何比较两个模型的拟合 优度？
结果的进一步解释
对 于 模 型 ： Yi 1 2 X i ui 2为 斜 率 系 数 ， 即 变 化 率 。 它 的 单 位 就 是 如 下
比率的单位： 因 变 量 Yi的 单 位
解 释 变 量 X i的 单 位 斜率系数的解释：解释变量X i每改变一个单位，
因 变 量 Yi会 随 之 平 均 改 变 2个 单 位 。
对数）模型。
上式中，由于
2
d ln Yi d ln X i
Xi Yi
d Yi dX i
所以表示变量之间的不变弹性（假定样本
值不变,或者说任一点的弹性不变）即X每变动
1%，Y所变化的1%比变化。对上式运用OLS，即
可得到其估计。要注意的是，尽管 ˆ, ˆ2 分别为
a和b的无偏估计，但在上式中，由
三、标准化变量的回归
模型：Yi 1 2 X i ui
对变量进行标准化：
Yi
Yi Y SY
X
i
Xi SX
X
标准化变量进行回归：
Yi
1
2
X
i
ui
2
X
i
ui
由于ˆ1
Yi
ˆ2 X i，而Yi
0，X
i
0
所以，截距项总是为ˆ1 0。
2的解释：若（标准化）回归元X i增加一个单位标准差
相加性和相乘性随机误差项
无论是何种设定的模型，只要是关于参数的线性模型，
均可以运用OLS进行估计，但对于残差而言，只能对变换
后的模型的残差进行诊断其是否为正态，而不是直接对原
始扰动进行检验。考虑如下模型：
Yi
X 2 1i
为了估计，可以表述为下述模型：
Yi
1
X
2 i
ui
ln Yi
ln
1
2
ln
Xi
ln ui
X*＝w1X Y*＝w2Y
对于使用X和Y的原始数据的模型
Y=a+bC+U
和使用数据X*和Y*的模型 Y*=a*+b*C*+ U*
估计的参数（a和a*，b和b*）之间有什么关系。
ˆ *
x
* i
y
* i
(
x
* i
)
2
w1 xi w2 yi w1w2
( w1 x1 ) 2
w
2 1
xi yi x12
4．有时不止一个模型都能相当不错地拟 合一个给定的数据集。如在修正的菲利普斯曲 线中，可以对同样的数据拟合了一个线性模型 和一个倒数模型。在这两种情况下，系数都与 先验预期相一致，也都是统计显著的。
一个重要的区别在于，线性模型的r2值 比倒数模型的r2值大。因此人们略微倾向于使 用线性模型。但一定要注意，在比较两个r2值 时，两个模型的因变量或回归子必须相同；回 归元则可采用任何形式。
四、回归模型的函数形式 对数线性模型 半对数模型 倒数模型 对数倒数模型
1．对数线性模型 ：弹性测量
考虑指数回归模型
Yi
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X e 2 u i 1i
取对数，有
其中
ln Yi ln 1 2 ln X i ui
ln Yi 2 ln X i ui
ln 1
这样即把指数模型变换为对数线性（双
X / X 改变1%（或0.01个单位）时，则Y的绝对变化
量是0.01 2
一个对数到线性模型什么时候有用? 一个有趣的应用在于所谓的恩格尔支出（ Engel expenditure）模型——以德国统计学 家恩斯特·恩格尔的名字命名。 恩格尔写道：“用于食物的总支出以算术 级数增加，而总支出以几何级数增加”。
（参数线性）
Yi
X e 2 ui 1i
ln Yi
ln 1
2
ln
Xi
ui
（参数线性）
Yi
X 2 1i
ui
ln Yi
ln(
1
X
i
2
ui )
（参数非线性）
运用OLS估计，假定：ln ui ~ i.i.d.N (0, 2 )
因此，在检验残差是否为正态时时，是对估计的残差 lnˆ ui
进行诊断，而不是对原始的残差。
要点与结论 1．有时一个回归模型并不明显包含截距项。 这样的模型被称为过原点回归。虽然估计这种模型 的代数方法很简单，但应小心使用这些模型。对于 这种模型，残差和是非零的；此外，通常计算的r2 不一定有意义。除非有很强的理论原因，否则还是 在模型中明显地引入一个截距为好。 2．因为单位和尺度是回归系数赖以解释的关 键，所以用什么单位和尺度来表达回归子和回归元 是很重要的。在经验研究中，研究者不仅要注明数 据的来源，还要声明变量是怎样度量的。
5．通常不应该过分强调r2这个指标，也就是 说，并非模型的r2值越大越好。如我们在下一章 中将讨论的那样，当我们在模型中添加更多的回 归元时，r2上不断地提高。更重要的地方在于所 选模型的理论基础、估计系数的符号及其统计显 著性。如果一个模型从这些准则来看不错，那么 较低的r2值也是完全可以接受的。将在第13章更 深入地讨论这个重要问题。 6．在有些情形中，确定一个特定的函数形式 不是那么容易，此时，或许可以使用所谓的博克 斯－考克斯变换（Box-Cox transformations）。
则（标准化）回归子Yi会平均增加2单位个标准差。
注意区别：不在采用Y 和X 的单位，而是用标准差为单位。
标准化回归模型的优势 标准化回归模型与传统模型相比有什么优 势呢?若不止一个回归元，则优势更加明显，在 第7章将讨论这个论题。通过将回归元标准化， 就能将它们放到同等地位并直接进行比较。 如果一个标准化回归元的系数比模型中另 一个标准化回归元的系数大，那么前者就能比 后者更多地解释回归子。换言之，可以用β系 数作为各个回归元相对解释力的一种度量。在 接下来的两章有更多的说明。
3．Yi的单位不变（w1 1），X i尺度按因子w2改变，则斜率系数及 其标准误要乘以因子 1w2 ，但是截距项及其标准误的估计不 会变化，一般而言，只改变自变量的测量单位不会影响 截距项的估计。
4．注意：模型的拟合优度R2不会依赖于变量的测量单位。也就 是说，R2不会因Yi和X i的单位变化而改变。