15运动微分方程的解

• 平面极坐标 • 自然坐标
m m(( rr r2 )r )Fr(F r,(r,,r ,, r ,,t) ,t)
m
dv dt
F
m
v2
Fn
0
Fb
（3）初始条件 t 0 ， r r 0 ， v v 0
（4）求解 运动方程
rr(t)
x x(t)
y
y(t)
z z ( t )
xx0d xtt0[v0em 0 E sinm e 0 E si nt ()d ] t
x x 0 m e0 2 c Eo ( v 0 s m e0 s E i) n t m e0 2 c Eo t s )
例题2 力是速度的函数
在具有阻力的媒质中运动的抛射体
• •
分析：受力 mg 运动微分方程
R
解微分方程组可得
R2mg
质点动力学问题解题总结
• 受力分析 • 写出运动微分方程矢量式 • 建立适当的坐标系分解标量方程 • 解微分方程
d dd s v g
g
消去参量 可得运动方程
例题3 力是坐标的函数
原子在晶体点阵中的运动
F ( x ,y ,z ) k x x i k y y j k z z k
运动微分方程： m r F (x,y,z)
直角坐标分解：
m x
m
y
k k
xx yy
m
z
kzz
Fra Baidu bibliotek
令
2 x
kx m
初始条件： t0 ， x0 ， x A xx
m R r mg R
• 用自然坐标系分解（运动方向为正）
m
dv dt
R(v)
mg
sin
m
v
2
mg cos
ds d
dvdvdsvdv dt ds dt ds
mv
dv ds
R(v)
mg
s in
m
v2 ds
mg cos
d
两式相比
可解出 因此：
1vddvR(vm )gcmogssin
§1.5质点运动微分方程
• 本章宗旨： Fr(t)
一、建立运动微分方程
1.
自由质点 mdd2r2 t F(r,ddrt,t)
解微分方程：
（1）受力分析
万有引力、弹性力、电磁场对电荷的作用力、
摩擦力、介质阻力等.
（2）化为标量方程
• 直角坐标系
mx Fx(x, y, z, x, y, z,t) my Fy(x, y, z, x, y, z,t) mz Fz (x, y, z, x, y, z,t)
v f ()
d d x d dd d x s s c o sv g 2 [f(g )2] x x ()
d y dd y s si n v 2 tg [f()2 t ]g y y ()
d dd s
gg
d t dd t s v se c f()se c t t()
试求运动方程。 解：受运力动：微分m方g程、Rm r mg R
建一维直角坐标系，分解
m x m gR m x m gmx k
dx g kx dt
积分 速度
x
dx
t
dt
0 g kx 0
xg(1ekt)
k
0dxt g(1ekt)dt
h
0k
运动方程 xhkg2(1ek)tkgt
讨论：t 增加， x g k
电子受力： F x exE e0E cot s)(
由
m
d2x dt 2
Fx
mdd22xteE 0cost()
mddvteE 0cost()
积分
得
v
t
dv
eE0 co st()dt
v0
0m
vv0em 0 E sin m e 0 E si nt ()
d d x tv0em 0 E sin m e 0 E si n t ()
可解得
x y
Ax Ay
cos(xt c os( yt
x) y )
x Az cos(zt z )
利萨如图形
受迫振动 LRC电路
m x b x k xF (t)
Lq Rq1qE(t) C
例题4
质量为m的质点，在有阻力的空气中无初速地自离地面 为h的地方竖直下落，如阻力与速度成正比（mkv），
匀速直线运动
例题5
小环的质量为m，套在一条光滑的钢索上，钢索的方程式
为 x2 4ay. 试求小环自x=2a处自由滑至抛物线顶点时的
解：速受运度力动及：微小m 分环g 方在、 程此R时所m 受 r 到m 的g 约 束R 反作用力。
自然坐标，运动方向为正
m
dv dt
mg
sin
m
v2
mg
cos
非线性
混沌
2. 非自由质点 • 解决方法：去掉约束，用约束反作用力代替
• 运动微分方程 mdd2r2 tF (r ,ddrt,t)R • 解方程与自由质点一样
• 注意（1） 一般未知，加约束方程 （2）用自然坐标系很方便
R
例题1 力仅是时间的函数
自由电子在沿x轴的振荡电场中运动：ExE0cots()