数学名师叶中豪整理高中数学竞赛平面几何讲义
2023年数学名师叶中豪整理高中数学竞赛平面几何讲义完整版
高中平面几何叶中豪学习要点几何问题的转化圆幂与根轴P’tolemy定理及应用几何变换及相似理论位似及其应用完全四边形与Miquel点垂足三角形与等角共轭反演与配极, 调和四边形射影几何复数法及重心坐标方法例题和习题1. 四边形ABCD中, AB=BC, DE⊥AB, CD⊥BC, EF⊥BC, 且。
求证:2EF=DE+DC。
（10081902.gsp）2. 已知相交两圆O和O'交于A.B两点, 且O'恰在圆O上, P为圆O的AO'B弧段上任意一点。
∠APB的平分线交圆O'于Q点。
求证: PQ2=PA×PB。
（10092401-1.gsp）3. 设三角形ABC的Fermat点为R, 连结AR, BR, CR, 三角形ABR, BCR, ACR的九点圆心分别为D, E, F, 则三角形DEF为正三角形。
（10082602.gsp）4. 在△ABC中, 已知∠A的内角平分线和外角平分线分别交外接圆于D.E, 点A关于D.E的对称点分别为F、G, △ADG和△AEF的外接圆交于A和另一点P。
求证: AP//BC。
（10092102.gsp）5. 圆O1和圆O2相交于A.B两点, P是直线AB上一点, 过P作两圆作切线, 分别切圆O1和圆O2于点C.D, 又两圆的一条外公切线分别切圆O1和圆O2于点E, F。
求证: AB.CE、DF共点。
（10092201.gsp）6. 四边形ABCD中, M是AB边中点, 且MC=MD, 过C.D分别作BC.AD的垂线, 两条垂线交于P点, 再作PQ⊥AB于Q。
求证: ∠PQC=∠PQD。
（10081601-26.gsp）7. 已知RT△ABD∽RT△ADC, M是BC中点, AD与BC交于E, 自C作AM垂线交AD于F。
求证: DE=EF。
（10083001.gsp）8. 在△ABC中, AB=AC, D为BC边的中点, E是△ABC外一点, 满足CE⊥AB,BE=BD。
高中数学竞赛平面几何讲座(非常详细)
第一讲 注意添加平行线证题在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1、为了改变角的位置大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 、设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ,A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D .连结DA .在△DBP ＝∠AQC 中,显然∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C . 由BP ＝CQ ,可知△DBP ≌△AQC .有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC .于是,DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP .则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP .所以AB ＝AC .这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅.例2、如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF ＝∠BCE .求证：∠EBA ＝∠ADE . 证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P ,连PE .由AB CD ,易知△PBA ≌△ECD .有PA ＝ED ,PB ＝EC . 显然,四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形.有∠BCE ＝∠BPE ,∠APE ＝∠ADE .由∠BAF ＝∠BCE ,可知∠BAF ＝∠BPE .有P 、B 、A 、E 四点共圆.于是,∠EBA ＝∠APE .所以,∠EBA ＝∠ADE .这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P 、B 、A 、E 四点共圆,紧密联系起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很巧妙. 2、欲“送”线段到当处利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.例3、在△ABC 中,BD 、CE 为角平分线,P 为ED 上任意一点.过P 分别作AC 、AB 、BC 的垂线,M 、N 、Q 为垂足.求证：PM ＋PN ＝PQ .证明：如图3,过点P 作AB 的平行线交BD 于F ,过点F 作BC 的 平行线分别交PQ 、AC 于K 、G ,连PG . 由BD 平行∠ABC ,可知点F 到AB 、BC∥＝A D BP QC图1PE D G A B FC图2A N E BQ K G CD M FP 图3两边距离相等.有KQ ＝PN . 显然,PD EP ＝FD EF ＝GDCG,可知PG ∥EC . 由CE 平分∠BCA ,知GP 平分∠FGA .有PK ＝PM .于是,PM ＋PN ＝PK ＋KQ ＝PQ . 这里,通过添加平行线,将PQ “掐开”成两段,证得PM ＝PK ,就有PM ＋PN ＝PQ .证法非常简捷.3 、为了线段比的转化由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的. 例4 设M 1、M 2是△ABC 的BC 边上的点,且BM 1＝CM 2.任作一直线分别交AB 、AC 、AM 1、AM 2于P 、Q 、N 1、N 2.试证：APAB＋AQ AC ＝11AN AM ＋22AN AM .证明：如图4,若PQ ∥BC ,易证结论成立. 若PQ 与BC 不平行, 设PQ 交直线BC 于D .过点A 作PQ 的平行线交直线BC 于E . 由BM 1＝CM 2,可知BE ＋CE ＝M 1E ＋M 2E , 易知 AP AB ＝DE BE ,AQ AC ＝DE CE ,11AN AM ＝DE E M 1,22AN AM ＝DE E M 2.则AP AB ＋AQ AC ＝DECEBE +＝DE E M E M 21+＝11AN AM ＋22AN AM .所以,APAB＋AQ AC ＝11AN AM ＋22AN AM .这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE ,于是问题迎刃而解.例5、 AD 是△ABC 的高线,K 为AD 上一点,BK 交AC 于E ,CK 交AB 于F .求证：∠FDA ＝∠EDA .证明：如图5,过点A 作BC 的平行线,分别交直线DE 、DF 、 BE 、CF 于Q 、P 、N 、M .显然,AN BD ＝KA KD ＝AMDC .有BD ·AM ＝DC ·AN . (1)由BD AP ＝FB AF ＝BC AM ,有AP ＝BC AM BD ·. (2) 由DCAQ ＝EC AE ＝BC AN ,有AQ ＝BC AN DC ·. (3)对比(1)、(2)、(3)有AP ＝AQ .显然AD 为PQ 的中垂线,故AD 平分∠PDQ .所以,∠FDA ＝∠EDA .这里,原题并未涉及线段比,添加BC 的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使AP 与AQ 的相等关系显现出来.4、为了线段相等的传递AP EDM 2M 1BQN 1N 2图4图5MP A Q NFB DC EK当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去.例6 在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,点M 在AB 边上,点N 在AC 边上,并且∠MDN＝90°.如果BM 2＋CN 2＝DM 2＋DN 2,求证：AD 2＝41(AB 2＋AC 2). 证明：如图6,过点B 作AC 的平行线交ND 延长线于E .连ME .由BD ＝DC ,可知ED ＝DN .有△BED ≌△CND . 于是,BE ＝NC . 显然,MD 为EN 的中垂线.有 EM ＝MN .由BM 2＋BE 2＝BM 2＋NC 2＝MD 2＋DN 2＝MN 2＝EM 2,可知△BEM 为直角三角形,∠MBE ＝90°.有∠ABC ＋∠ACB ＝∠ABC ＋∠EBC ＝90°.于是,∠BAC ＝90°.所以,AD 2＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛BC ＝41(AB 2＋AC 2).这里,添加AC 的平行线,将BC 的以D 为中点的性质传递给EN ,使解题找到出路. 例7、如图7,AB 为半圆直径,D 为AB 上一点,分别在半圆上取点E 、F ,使EA ＝DA ,FB ＝DB .过D 作AB 的垂线,交半圆于C .求证：CD 平分EF .证明：如图7,分别过点E 、F 作AB 的垂线,G 、H 为垂足,连FA 、EB . 易知DB 2＝FB 2＝AB ·HB ,AD 2＝AE 2＝AG ·AB . 二式相减,得DB 2－AD 2＝AB ·(HB －AG ),或 (DB －AD )·AB ＝AB ·(HB －AG ).于是,DB －AD ＝HB －AG ,或 DB －HB ＝AD －AG . 就是DH ＝GD .显然,EG ∥CD ∥FH .故CD 平分EF .这里,为证明CD 平分EF ,想到可先证CD 平分GH .为此添加CD 的两条平行线EG 、FH ,从而得到G 、H 两点.证明很精彩.经过一点的若干直线称为一组直线束.一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等.如图8,三直线AB 、AN 、AC 构成一组直线束,DE 是与BC 平行的直线.于是,有BN DM ＝AN AM ＝NC ME ,即 BN DM＝NCME 或ME DM ＝NC BN . 此式表明,DM ＝ME 的充要条件是 BN ＝NC .利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮. 例8 如图9,ABCD 为四边形,两组对边延长后得交点E 、F ,对角线BD ∥EF ,AC 的延长线交EF 于G .求证：EG ＝GF .证明：如图9,过C 作EF 的平行线分别交AE 、AF 于M 、N .由BD ∥EF , 可知MN ∥BD .易知 S △BEF ＝S △DEF .有S △BEC ＝S △ⅡKG － *5ⅡDFC . 可得MC ＝CN . 所以,EG ＝GF .例9 如图10,⊙O 是△ABC 的边BC 外的旁切圆,D 、E 、F 分别为⊙O与BC 、CA 、AB图6AN CDEB MAGD O HBFC E图7图8A DBN C EM图9ABM EF ND CG的切点.若OD 与EF 相交于K ,求证：AK 平分BC .证明：如图10,过点K 作BC 的行平线分别交直线AB 、AC 于Q 、P 两点,连OP 、OQ 、OE 、OF . 由OD ⊥BC ,可知OK ⊥PQ .由OF ⊥AB ,可知O 、K 、F 、Q 四点共圆,有∠FOQ ＝∠FKQ . 由OE ⊥AC ,可知O 、K 、P 、E 四点共圆.有∠EOP ＝∠EKP .显然,∠FKQ ＝∠EKP ,可知∠FOQ ＝∠EOP .由OF ＝OE,可知Rt △OFQ ≌Rt △OEP . 则OQ ＝OP .于是,OK 为PQ 的中垂线,故 QK ＝KP .所以,AK 平分BC .综上,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平行线,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用.练习题1. 四边形ABCD 中,AB ＝CD ,M 、N 分别为AD 、BC 的中点,延长BA 交直线NM 于E ,延长CD 交直线NM 于F .求证：∠BEN ＝∠CFN . (提示：设P 为AC 的中点,易证PM ＝PN .)2. 设P 为△ABC 边BC 上一点,且PC ＝2PB .已知∠ABC ＝45°,∠APC ＝60°.求∠ACB .(提示：过点C 作PA 的平行线交BA 延长线于点D .易证△ACD ∽△PBA .答：75°) 3. 六边形ABCDEF 的各角相等,FA ＝AB ＝BC ,∠EBD ＝60°,S △EBD ＝60cm 2.求六边形ABCDEF 的面积.(提示：设EF 、DC 分别交直线AB 于P 、Q ,过点E 作DC 的平行线交AB 于点M .所求面积与EMQD 面积相等.答：120cm 2)4. AD 为Rt △ABC 的斜边BC 上的高,P 是AD 的中点,连BP 并延长交AC 于E .已知AC :AB ＝k .求AE :EC .(提示：过点A 作BC 的平行线交BE 延长线于点F .设BC ＝1,有AD ＝k ,DC ＝k 2.答：211k ) 5. AB 为半圆直径,C 为半圆上一点,CD ⊥AB 于D ,E 为DB 上一点,过D 作CE 的垂线交CB 于F .求证：DE AD ＝FBCF.(提示：过点F 作AB 的平行线交CE 于点H .H 为△CDF 的垂心.)6. 在△ABC 中,∠A :∠B :∠C ＝4:2:1,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .求证：a1＋b 1＝c1.(提示：在BC 上取一点D ,使AD ＝AB .分别过点B 、C 作AD 的平行线交直线CA 、BA 于点E 、F.)O图107. △ABC 的内切圆分别切BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ,过点F 作BC 的平行线分别交直线DA 、DE 于点H 、G .求证：FH ＝HG .(提示：过点A 作BC 的平行线分别交直线DE 、DF 于点M 、N .)8. AD 为⊙O 的直径,PD 为⊙O 的切线,PCB 为⊙O 的割线,PO 分别交AB 、AC 于点M 、N .求证：OM ＝ON .(提示：过点C 作PM 的平行线分别交AB 、AD 于点E 、F .过O 作BP 的垂线,G 为垂足.AB ∥GF .)第二讲 巧添辅助 妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路. 1、挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化. 1.1 作出三角形的外接圆 例1 如图1,在△ABC 中,AB ＝AC ,D 是底边BC 上一点,E 是线段AD 上一点且∠BED ＝2∠CED ＝∠A .求证：BD ＝2CD .分析：关键是寻求∠BED ＝2∠CED 与结论的联系.容易想到作∠BED 的平分线,但因BE ≠ED ,故不能直接证出BD ＝2CD .若延长AD 交△ABC 的外接圆于F ,则可得EB ＝EF ,从而获取.证明：如图1,延长AD 与△ABC 的外接圆相交于点F ,连结CF 与BF ,则∠BFA ＝∠BCA＝∠ABC ＝∠AFC,即∠BFD ＝∠CFD .故BF :CF ＝BD :DC .又∠BEF ＝∠BAC ,∠BFE ＝∠BCA ,从而∠FBE ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠BFE . 故EB ＝EF . 作∠BEF 的平分线交BF 于G ,则BG ＝GF . 因∠GEF ＝21∠BEF ＝∠CEF ,∠GFE ＝∠CFE ,故△FEG ≌△FEC .从而GF ＝FC . 于是,BF ＝2CF .故BD ＝2CD . 1.2 利用四点共圆例2 凸四边形ABCD 中,∠ABC ＝60°,∠BAD ＝∠BCD ＝90°,AB ＝2,CD ＝1,对角线AC 、BD 交于点O ,如图2.则sin ∠AOB ＝____. 分析：由∠BAD ＝∠BCD ＝90°可知A 、B 、C 、D四点共圆,欲求sin ∠AOB ,联想到托勒密定理,只须求出BC 、AD 即可.解：因∠BAD ＝∠BCD ＝90°,故A 、B 、C 、D 四点共圆.延长BA 、CD 交于P ,则∠ADP ＝∠ABC ＝60°.A BGCD FE图1ABCDPO 图2设AD ＝x ,有AP ＝3x ,DP ＝2x .由割线定理得(2＋3x )3x ＝2x (1＋2x ).解得AD ＝x ＝23－2,BC ＝21BP ＝4－3. 由托勒密定理有 BD ·CA ＝(4－3)(23－2)＋2×1＝103－12.又S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝233. 故sin ∠AOB ＝263615+. 例3 已知：如图3,AB ＝BC ＝CA ＝AD ,AH ⊥CD 于H ,CP ⊥BC ,CP 交AH 于P .求证：△ABC 的面积S ＝43AP ·BD .分析：因S △ABC ＝43BC 2＝43AC ·BC ,只须证AC ·BC ＝AP ·BD ,转化为证△APC ∽△BCD .这由A 、B 、C 、Q 四点共圆易证(Q 为BD 与AH 交点).证明：记BD 与AH 交于点Q ,则由AC ＝AD ,AH ⊥CD 得∠ACQ ＝∠ADQ .又AB ＝AD ,故∠ADQ ＝∠ABQ .从而,∠ABQ ＝∠ACQ .可知A 、B 、C 、Q 四点共圆. ∵∠APC ＝90°＋∠PCH ＝∠BCD ,∠CBQ ＝∠CAQ , ∴△APC ∽△BCD . ∴AC ·BC ＝AP ·BD .于是,S ＝43AC ·BC ＝43AP ·BD . 2 、构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝DB ＝p ,BC ＝q .求对角线AC 的长. 分析：由“AD ＝DC ＝DB ＝p ”可知A 、B 、C 在半径为p 的⊙D 上.利 用圆的性质即可找到AC 与p 、q 的关系. 解：延长CD 交半径为p 的⊙D 于E 点,连结AE .显然A 、B 、C 在⊙D 上.∵AB ∥CD ,∴BC ＝AE .从而,BC ＝AE ＝q .在△ACE 中,∠CAE ＝90°,CE ＝2p ,AE ＝q ,故 AC ＝22AE CE -＝224q p -. 2.2联想直径的性质构造辅助圆例5 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC .若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____.分析：由“∠BAC 为锐角”可知点A 在以定线段BC 为直径的圆外,又点A 在x 轴上侧,从而可确定动点A 的范围,进而确定AD 的取值范围.A图3BPQDHC A EDCB图4解：如图5,所给抛物线的顶点为A 0(1,9),对称轴为x ＝1,与x 轴交 于两点B (－2,0)、C (4,0).分别以BC 、DA 为直径作⊙D 、⊙E ,则两圆与抛物线均交于两点P (1－22,1)、Q (1＋22,1).可知,点A 在不含端点的抛物线PA 0Q 内时,∠BAC ＜90°.且有 3＝DP ＝DQ ＜AD ≤DA 0＝9,即AD 的取值范围是3＜AD ≤9. 2.3 联想圆幂定理构造辅助圆例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M ,交AC 于N .求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN .分析：因AB 2－AN 2＝(AB ＋AN )(AB －AN )＝BM ·BN ,而由题设易知AM ＝AN ,联想割线定理,构造辅助圆即可证得结论.证明：如图6, ∵∠2＋∠3＝∠4＋∠5＝90°, 又∠3＝∠4,∠1＝∠5,∴∠1＝∠2.从而,AM ＝AN . 以AM 长为半径作⊙A ,交AB 于F ,交BA 的延长线于E . 则AE ＝AF ＝AN . 由割线定理有BM ·BN ＝BF ·BE ＝(AB ＋AE )(AB －AF )＝(AB ＋AN )(AB －AN )＝AB 2－AN 2,即 AB 2－AN 2＝BM ·BN .例7 如图7,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E ,延长AB 和DC 相交于E ,延长AD 和BC 相交于F ,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q .求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2. 分析：因EP 和FQ 是⊙O 的切线,由结论联想到切割线定理,构造辅助圆使EP 、FQ 向EF 转化.证明：如图7,作△BCE 的外接圆交EF 于G ,连结CG . 因∠FDC ＝∠ABC ＝∠CGE ,故F 、D 、C 、G 四点共圆. 由切割线定理,有EF 2＝(EG ＋GF )·EF ＝EG ·EF ＋GF ·EF ＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EP 2＋FQ 2, 即 EP 2＋FQ 2＝EF 2.2.4 联想托勒密定理构造辅助圆例8 如图8,△ABC 与△A ＇B ＇C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、b ＇、c ＇,且∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇. 分析：因∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证明. 证明：作△ABC 的外接圆,过C 作CD ∥AB 交圆于D ,连结AD 和BD ,如图9所示.∵∠A ＋∠A ＇＝180°＝∠A ＋∠D , ∠BCD ＝∠B ＝∠B ＇,E A NCD B FM 12345图6(1)(2)图8ABCA'B'C'c a b a'c'b'ABCa bb c∴∠A ＇＝∠D ,∠B ＇＝∠BCD .∴△A ＇B ＇C ＇∽△DCB . 有DC B A ''＝CB C B ''＝DBC A '', 即 DC c '＝aa '＝DB b '. 故DC ＝''a ac ,DB ＝''a ab .又AB ∥DC ,可知BD ＝AC ＝b ,BC ＝AD ＝a .从而,由托勒密定理,得 AD ·BC ＝AB ·DC ＋AC ·BD ,即 a 2＝c ·''a ac ＋b ·''a ab . 故aa ＇＝bb ＇＋cc ＇. 练习题1. 作一个辅助圆证明：△ABC 中,若AD 平分∠A ,则AC AB ＝DCBD. (提示：不妨设AB ≥AC ,作△ADC 的外接圆交AB 于E ,证△ABC ∽△DBE ,从而ACAB＝DE BD ＝DCBD.) 2. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE ＝3a ,BC ＝CD ＝DE ,∠BCD ＝∠CDE ＝180°－2a .求证：∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .(提示：由已知证明∠BCE ＝∠BDE ＝180°－3a ,从而A 、B 、C 、D 、E 共圆,得∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .)3. 在△ABC 中AB ＝BC ,∠ABC ＝20°,在AB 边上取一点M ,使BM ＝AC .求∠AMC 的度数.(提示：以BC 为边在△ABC 外作正△KBC ,连结KM ,证B 、M 、C 共圆,从而∠BCM ＝21∠BKM ＝10°,得∠AMC ＝30°.) 4．如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作CF ⊥AF ,CE ⊥AE .求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2.(提示：分别以BC 和CD 为直径作圆交AC 于点G 、H .则CG ＝AH ,由割线定理可证得结论.)5. 如图11.已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ,直线CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D ,且AC ＝AD ,EC 、ED 分别切两圆于C 、D .求证：AC 2＝AB ·AE .(提示：作△BCD 的外接圆⊙O 3,延长BA 交⊙O 3于F ,证E 在⊙O 3上,得△ACE ≌△ADF ,从而AE ＝AF ,由相交弦定理即得结论.) 6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点.求证：AB ·AC ＝AE 2－BE 2.F DAEC图10图11(提示：以BE 为半径作辅助圆⊙E ,交AE 及其延长线于N 、M ,由△ANC ∽△ABM 证AB ·AC ＝AN ·AM .)7. 若正五边形ABCD E 的边长为a ,对角线长为b ,试证：a b －ba＝1. (提示：证b 2＝a 2＋ab ,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)第三讲 点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。
叶中豪平面几何讲座2
1、一道有趣的新编题设D、E、F是△ABC的内切圆的切点，O、I分别是其外心和内心，在DI、EI、FI的延长线上分别截取IA'＝IB'＝IC'＝R（外接圆半径）。
求证：AA'＝BB'＝CC'＝OI；且直线AA'、BB'、CC'共点于外接圆上一点P，P关于△ABC的Simson线恰垂直于OI。
2、大家来讨论一下中等数学高248号问题怎么解决本题结论优美，是Fuhrmann圆的推广。
（当P点取垂心时即得到Fuhrmann圆）呵呵，没有必要Menelaus定理，有如下巧证：如图，自A、B、C分别作PA、PB、PC的垂线，围成△DEF。
取△DEF的内心I。
易见A1在以PD为直径的圆上，且因A1是BC弧中点，故D、I、A1共线。
得∠PA1I ＝90°。
同理∠PB1I＝∠PC1I＝90°。
故A1、B1、C1、P、I五点共圆。
证毕评注：《近代欧氏几何学》第7章§207定理（曼海姆）：“如图，设△DEF是△ABC的内接三角形，△DEF关于△ABC的Miquel点为M。
设任意三条共点直线AP、BP、CP交相应的Miquel圆于A1、B1、C1，则A1、B1、C1、M、P五点共圆。
”取P为△ABC的内心，并改换△DEF作为立足点，即可得到原题。
3、垂极点研究已知△ABC和任意直线x，自A、B、C作x的垂线，垂足分别为A′、B′、C′；再自A′、B′、C′分别作对边BC、CA、AB的垂线，那么这三条垂线一定共点。
这一结论用平方差原理不难论证，它属于两个三角形正交的一种退化情形。
（其中退化三角形就是A′B′C′）所共点X，可称为△ABC关于直线x的“垂极点”（orthopole），见《近代欧氏几何学》§406。
垂极点在近代欧氏几何里是个相对重要的概念，曾被Neuberg、Soons、Gallatly 等人广泛研究。
叶中豪平面几何讲座1.
5．如图，设D
BC中垂线上的
射影为E、Hc。
求证：HaE 6．三角形ABC、F，AD和⊙Ｉ
相交于M，AB于G。求证：CD＝
7．给定△ABC。点D、E在直线AB上，顺次为D、A、B、E，AD＝AC，BE=BC。∠A、∠B的平分线分别交BC、AC于P、Q，交△ABC外接圆于M和N。A与△BME外心的联线及B与△AND外心的联线交于点X。求证：CX ⊥PQ。（09012901.gsp
例题和习题
1．已知：ABCD是圆外切四边形，内切圆心O在对角线BD上射影为M。求证：∠AMD＝∠CMD。（09010703.gsp
）
2．在ΔABC中AC＞BC，F是AB的中点，过F作它的外接圆直径DE，使得C、E
在AB同一侧，又过C做AB的平行线交DE于L。
求证：(AC+BC2＝4DL ×EF。（09011003.gsp
）
8．矩形ABCD中，AB
AC。P是以为AB直径的半圆上任意一点，PC、PD分别交AB于F、E。求证：AE 2＋BF 2＝AB 2。（09013001.gsp
）
9．如图，△ABC中，M为BC的中点，以AM为直径的圆分别与AB、AC交于E、F两点，圆在E、F两点的切线交于点D。
求证：DM ⊥BC。（09013101.gsp
）
10．△ABC中，∠A＝60°，I为△ABC的内心，过I做IE ∥AC交AB于E。在BC上取一点D，使得CD=2BD。求证：∠B＝2∠DEB。（09020201.gsp
）
11．设⊙O 1与⊙O 2交于C、D。过D的直线交⊙O 1与⊙O 2于A、B。点P在弧AD上，PD与AC的延长线交于M，Q在弧BD上，QD与BC的延长线交于N，O为△ABC外心。求证：MN ⊥OD是P、Q、M、N四点共圆的充要条件。（09020401.gsp
几何大王【叶中豪】之高中数学联赛平面几何直播课
几何大王【叶中豪】之高中数学联赛平面几何直播课
叶中豪老师数学竞赛课程：平面几何，可反复回看授课内容：《数学竞赛：二试平面几何》2018年天科教育学科竞赛夏令营将在全国主要城市拉开帷幕！但是有一部分学生因为路途和时间的问题不能来到夏令营现场听课，经众多不能来到现场听高中数学竞赛课程的要求，天科教育联合学科竞赛邀请几何大王叶中豪开设线上几何课程，7月15号热爱高中数学竞赛的同学们不见不散！授课师资：叶中豪
外号老封，人称"几何大王"，1983年获全国高中数学联赛（上海赛区）第2名，美国数学邀请赛（上海赛区）一等奖。
1988年毕业于复旦大学数学系，具有二十多年的教学经验，培育了上百位竞赛一等奖及国家集训队成员，是提倡用几何画板进行数学教学的第一人，现任上海教育出版社副编审，1996年被评为上海市十大藏书家。
叶老师潜心研究平面几何数十年，已成为我国平面几何的大师级专家。
而且不同于死板的传统教学方式，教学效果一流。
借助国外先进、成熟、流行的几何画板软件，形成了自己高效、动态的教学方法，生动、形象地将学生引入奇妙多彩的几何世界，逐步引导学生自己发现数学之美。
学生兴趣高，思维启动，效果显著。
叶老师善于引经据典，揭示题目背后的关键和基础，直接培养学生严谨的逻辑思维能力和严谨的演绎推理能力，显著提高学生的数学水平和解题能力，为升学、各类竞赛和自主招生打下坚实的基础。
地点:学生可以在家享受国内顶尖教授的知识盛宴。
受众:想在数学竞赛中获奖的高中生。
学生所需设备：一台电脑或者笔记本或者手机或者Pad。
张老师：于老师：吴老师：。
叶仲豪平面几何讲义
平面几何讲义叶中豪（老封）1. 求证：三角形外接圆上任一点关于三边的对称点共线，这线通过三角形的垂心。
2．设一条直线l截△ABC的三边BC、CA、AB所在直线于D、E、F三点，O1、O2、O3分别是△AEF、△BFD、△CDE的外心。
求证：△O1O2O3的垂心H位于直线l上。
3．在锐角△ABC中，AB＞AC，M、N是BC边上两个不同的点，使得∠BAM ＝∠CAN。
设△ABC和△AMN的外心分别为O1、O2。
求证：O1、O2、A三点共线。
（2012年全国联赛）4．设P是△ABC内一点，D是BC上一点，作△ACE∽△BDP，△ABF∽△CDP。
求证：E、P、F三点共线。
5. 已知△ABC的内切圆与AC、AB边切于E、F两点，自C点作∠B的平分线的垂线，垂足为P。
求证：E、P、F三点共线。
6．△ABC内心为I，内切圆切AB、AC边于E、F，延长BI、CI分别交直线EF于M、N。
求证：S四边形AMIN＝S△IBC。
7．已知O是△ABC的外心，P是圆OBC上任一点，过O作AB垂线交直线PB 于E，过O作AC垂线交直线PC于F。
求证：A、E、F三点共线。
8．如图，矩形ABCD中，EF∥AB，EF与对角线BD交于G点。
过E作ET⊥DF，垂足为T；过F作FS⊥BE，垂足为S。
求证：S、G、T三点共线。
9. 设⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，两动点A、B从Q点出发，按逆时针方向分别沿两圆运动，且角速度保持相等。
求证：平面上存在一点X，使得X始终到A、B等距。
10. AD是△ABC外接圆切线，M是BC中点，O是外心，E是OD上任一点，过E作BC垂线EH交圆ADE于另一点F。
求证：A、F、M三点共线。
11. 如图，点E在AD上，点F在BC上，PE⊥BC，PF⊥AD。
求证：AEED＝BFFC的充要条件是PAuu r·PCuu u r＝PBuur·PDuu u r。
12. 已知ABCD是圆内接四边形，对角线AC、BD交于P点，O是外接圆心。
平面几何研究----平面几何新思索(叶中豪)
平面几何新思索【000514】△OPQ是一个给定三角形，M，N是PQ的三等分点。
在任意△ABC周围作：△FBA∽△MOP，△EAC∽△NQO。
G是△ABC的重心。
求证：△GEF∽△OPQ。
PC M NF上题是在研究拿破仑定理时，经过一番探索而编造出来的。
结果发觉其难度并不大。
当∠P和∠Q都等于30°时，立即就得到拿破仑定理（不过要将它重复两次）。
【020527】黄路川问如下题：“已知：I是内心，D是A的对径点，且BE，CF的长均为半周长。
求证：DI垂直于EF。
”经探索：当A在外接圆上运动时，EF之包络是圆；若BE，CF长不等于半周长时，EF之包络是圆锥曲线。
EF包络所形成的圆具体位置还值得继续探索，预感还会产生一些新的东西。
【040227】当天晚上收到钟建国的一封E-mail，使我对三角形特殊点又有了一阵探索的兴趣。
结论1三角形的Fermat点与它的等角共轭点的连线，必平行于Euler线。
B C注：图中F是Fermat点（又称“等角中心”），它对于△ABC三边的视角都是120°；其等角共轭点J是△ABC的“等力点”（isodynamic point），其特性如下：它的垂足三角形是正△，它对于△ABC三边的视角分别是60°＋A，60°＋B，60°＋C，它是三个Apollonius圆所共之点，它到三角形的三个顶点距离之比与三边长度成反比，它在外心O和类似重心K的连线上（Brocard轴）。
结论2三角形的每个旁心和相应边的中点连线一定共点，所共点位于重心及Gergonne点的连线上；三角形的每个旁心和相应边上的内切圆切点连线也一定共点，所共点既位于内、外心的连线上，又位于重心及Gergonne点的连线上。
而且上述两个所共点是原三角形的一对等角共轭点。
II21注：图中I1，I2，I3是△ABC的旁心，L，M，N是各边中点，D，E，F是内切圆的切点。
I1L，I2M，I3N所共之点记为P（在文献中称作“Mittonpunkt”，由Nagel于1836年引进），I1D，I2E，I3 F所共之点记为Q（可称作“切聚点”，它是位于内、外心连线IO上的一个特殊点）。
高中数学竞赛教材讲义 第十六章 平面几何
第十六章 平面几何一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成）梅涅劳斯定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','C B A 三点共线，则梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上，若.1''''''=⋅⋅B C AC A B CB C A BA 则',','C B A 三点共线。
塞瓦定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','CC BB AA 三线平行或共点，则.1''''''=⋅⋅B C AC A B CB C A BA 塞瓦定理的逆定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 则',','CC BB AA 三线共点或互相平行。
角元形式的塞瓦定理 ',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 所在直线上的点，则',','CC BB AA 平行或共点的充要条件是.1'sin 'sin 'sin 'sin 'sin 'sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠BA B CBB CB C ACC AC A BAA 广义托勒密定理 设ABCD 为任意凸四边形，则AB •CD+BC •AD ≥AC •BD ，当且仅当A ，B ，C ，D 四点共圆时取等号。
斯特瓦特定理 设P 为ΔABC 的边BC 上任意一点，P 不同于B ，C ，则有AP 2=AB 2•BC PC +AC 2•BCBP -BP •PC. 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。
高中平面几何讲义
高中平面几何(上海教育出版社叶中豪)知识要点三角形的特殊点重心，外心，垂心，内心，旁心，类似重心，九点圆心，Spieker点，Gergonne点，Nagel点，等力点，Fermat点， Napoleon点， Brocard 点，垂聚点，切聚点，X点，Tarry点，Steiner点，Soddy点，Kiepert双曲线特殊直线、圆Euler线，Lemoine线，极轴，Brocard轴，九点圆，Spieker圆，Brocard圆，Neuberg圆，McCay圆，Apollonius圆，Schoute圆系，第一Lemoine圆，第二Lemoine圆，Taylor圆，Fuhrmann圆特殊三角形中点三角形，垂三角形，切点三角形，切线三角形，旁心三角形，弧中点三角形，反弧中点三角形，第一Brocard三角形，第二Brocard三角形，D-三角形，协共轭中线三角形相关直线及相关三角形Simson线，垂足三角形，Ceva三角形，反垂足三角形，反Ceva三角形重心坐标和三线坐标四边形和四点形质点重心，边框重心，面积重心，Newton线，四点形的核心，四点形的九点曲线完全四边形Miquel点，Newton线，垂心线，外心圆，Gauss-Bodenmiller定理重要轨迹平方差，平方和，Apollonius圆三角形和四边形中的共轭关系等角共轭点，等角共轭线，等截共轭点，等截共轭线几何变换及相似理论平移，旋转（中心对称），对称，相似和位似，相似不动点，逆相似轴，两圆外位似中心及内位似中心Miquel定理内接三角形，外接三角形，Miquel点根轴圆幂，根轴，共轴圆系，极限点反演反演，分式线性变换（正定向和反定向）配极极点与极线，共轭点对，三线极线及三线极点，垂极点射影几何点列的交比，线束的交比，射影几何基本定理，调和点列与调和线束，完全四边形及完全四点形的调和性， Pappus定理，Desargues定理，Pascal 定理，Brianchon定理著名定理三大作图问题，勾股定理，黄金分割，鞋匠的刀，P’tolemy定理，Menelaus定理，Ceva定理，Stewart定理，Euler线，Fermat- Torricelli 问题，Fagnano- Schwarz问题，Newton线，Miquel定理，Simson线， Steiner定理，九点圆，Feuerbach定理，Napoleon定理，蝴蝶定理，Morley 定理，Mannheim定理例题和习题1．以△ABC的AB、AC两边向形外作正方形ABEP和ACFQ，AD是BC边上的高。
金石为开2014年寒假几何讲义叶中豪
高中提高班几何讲义(叶中豪)例题和习题1．在锐角△ABC中，AB＞AC，M、N是BC边上两个不同的点，使得∠BAM＝∠CAN。
设△ABC和△AMN的外心分别为O1、O2。
求证：O1、O2、A三点共线。
（2012年全国联赛）2．已知O是△ABC的外心，P是圆OBC上任一点，过O作AB垂线交直线PB于E，过O作AC垂线交直线PC于F。
求证：A、E、F三点共线。
3．已知AB、CD分别是相离两圆圆O1、圆O2的外公切线和内公切线，直线AC、BD交于P。
求证：O1、P、O2三点共线。
4．如图，P是线段AB上任一点，AC＝AP，且AC⊥AB，BD＝BP，且BD⊥AB，作AE⊥BC于E，BF⊥AD于F。
求证：E、P、F三点共线。
5．如果四边形有一角是直角，两对角线相等。
求证：对边中垂线交点与该直角顶点共线。
6．设有一直线与两同心圆相截，交点顺次为A、B、C、D，过A、B各引大圆及小圆的平行弦AE、BF，过C作BF的垂线，垂足为G，过D作AE的垂线，垂足为H。
求证：EH＝FG。
7．已知H是△ABC的垂心，M、N分别是BC和AH的中点，直线MN交以AH为直径的圆于点S、T。
求证：AT、AS平分∠BAC及其外角。
8．如图，设N是△ABC的弧BAC的中点，M是BC边中点，I是△ABC的内心。
求证：∠ANI＝2∠IMC。
9．AC是与BD垂直于E的直径，G是BA延长线上一点，过B作BF∥DG交DA延长线于F，作CH ⊥GF于H。
求证：B、E、F、H四点共圆。
10．已知Rt△ABD∽Rt△ADC，M是BC中点，AD与BC交于E，自C作AM垂线交AD 于F。
求证：DE＝EF。
11．设KL、KN是圆O的切线，M是KN延长线上一点，过K、L、M三点的圆与圆O 交于P，作NQ⊥LM于Q。
求证：∠MPQ＝2∠NMQ。
12．已知四边形ABCD，满足AC⊥BD，自对角线交点O向AB、BC、CD三边作垂线，垂足分别为E、F、G，反向延长OE、OF分别与对边交于P、Q。
高中数学竞赛平面几何讲义
高中平面几何(叶中豪话题几何问题的联系和转化解题和编题的一些规律调和点列,反演与配极,调和四边形完全四边形及其 Miquel 点例题和习题1. △ ABC 中, AB =AC , BD ⊥ AC 于 D , E 在 AC 延长线上,且 CE =CD , F 在CA 延长线上,且 AF = 12CD 。
求证:BE ⊥ BF 。
2. AB 为半圆直径, C 为半圆上一点,由 C 引 AB 的垂线, D 为垂足。
分别在半圆上截取 AE =AD , BF =BD 。
求证:CD 平分 EF 。
3. 已知半圆的直径 AB 的长为 2r ,半圆外的直线 l 与 BA 的延长线垂直,垂足为T ,AT =2a (2a <2r , 半圆上有相异两点 M 、 N , 它们与直线 l 的距离 MP 、 NQ 满足 MP AM=NQAN=1。
求证:AM +AN =AB 。
l PQ T4. 在△ ABC 的边 BC 的延长线上取一点 D ,使 CD =AC ,△ ACD 的外接圆与以BC边为直径的圆交于 C 、 G 两点,直线 BG 、 AC 交于 E ,直线 CG 、 AB 交于F 。
求证:D 、 E 、 F 三点共线。
B5. △ ABC 内心为 I ,内切圆切 AB 、 AC 边于 E 、 F ,延长 BI 、 CI 分别交直线EF 于 M 、N 。
求证:S 四边形 AMIN =S △ IBC 。
B6. AC 是与 BD 垂直于 E 的直径, G 是 BA 延长线上一点,过 B 作 BF ∥ DG 交DA 延长线于 F ,作 CH ⊥ GF 于 H 。
求证:B 、 E 、 F 、 H 四点共圆。
7. 如图,圆 O 1和圆 O 2相交于 E 、 F ,过 E 作割线 AB ,使 AE =EB ,过 F 作割线CD , 联 AD 、 BC ,并过 A 作 AD 的垂线、过 B 作 BC 的垂线,设两条垂线相交于 P 点。
高中数学竞赛-平面几何讲义(很详细)
HBC
（5）H 关于三边的对称点在△ABC 的外接圆上，关于三边中
点的对称点在△ABC 的外接圆上
（6）三角形任一顶点到垂心的距离
A
等于外心到对边的距离的 2 倍。 （7）设△ABC 的垂心为 H，外接圆
F
B'
半径为 R，
OH E
则 HA HB HC 2R B | cos A | | cos B | | cosC |
A
M
N
B
EF
C
D
证明：设∠BAE=∠CAF= ，∠EAF=
则
S AMDN
1 2
AM
AD sin
1 2
AD
AN sin(
)
= 1 AD[AF cos( )sin AF cos sin( )
2
= 1 AD AF sin(2 ) AF AD BC
从而 AB A' F = AC A' E ，又∠AFE=∠AEF
故
S△ABA’=
1 2
sin
AFE
AB
A'
F
=
1 2
s
in
A
EF
A
C
A'
E
=S△ACA’
由此式可知直线 AA’必平分 BC 边，即 AA’必过△
ABC 的重心
同理 BB’，CC‘必过△ABC 的重心，故结论成立。
例 3．设△ABC 的三条高线为 AD，BE，CF，自 A， B，C 分别作 AK EF 于 K，BL DF 于 L， CN ED 于 N，证明：直线 AK，BL，CN 相 交于一点。
叶中豪几何讲稿
16．已知D在 △ABC的九点圆 上，E、F分别在 AB、AC边上， 且∠BDF＝ ∠CDE＝90°。 求证：EF过 △ABC的外心O。
17．已知：PB垂 直于圆O的弦AB， 过P作任意割线 PCD，联结AC、 AD与直线PO交于 E、F，DE、CF分 别交圆O于M、N， MN与PO延长交 于Q。求证：QA 是圆O的切线。
13．设P是 △ABC外接圆上 任一点，自P分 别作PA、PB、 PC的垂线，与 对应边BC、CA、 AB或延长线交 于D、E、F，则 D、E、F及外心 O共线
14．设AB是圆 O的弦， PB⊥AB，过P 作圆O的割线 PCD，联结AC、 OP交于E。求 证：EB⊥DB。
15．设P是 △ABC所在平面 上任意一点， 自P作PA、PB、 PC的垂线，分 别与对应边BC、 CA、AB交于D、 E、F，则D、E、 F三点共线。
叶中豪几何讲稿叶中豪老师几何题解答叶中豪平面几何讲义叶中豪几何基础叶中豪叶中豪打向华强儿子叶中豪三角形全等中豪七格伍中豪中豪大酒店
• 1．平行 四边形 ABCD（非 矩形和菱 形）中， CM⊥AD 于M， CN⊥AB于 N，NM与 BD延长交 于点P。 求证： PC⊥AC。
2．已知AF、DC是圆O的直径，E是CF延长线 上一点，DE交圆O于B，直线AB、OE交于P。 求证：PC是圆O的切线。
3．已知：AB是圆O的直径，P是过B点的切线 上任一点，过P作任F。求证：OE＝OF。
4．ABCD是圆ω的内接四边形，CP、DQ是ω的直径， 过P、Q作的ω切线与直线AB交于E、F。直线EO与AC、 BC交于X、Y，直线FO与AD、BD交于U、V。求证： XV＝YU。 （2010年俄罗斯竞赛
10．在△ABC两 侧作△ABF、 △ACE，使得 ∠BAE＝∠CAF＝ 90°，且∠ABF ＋∠ACE＝180°。 O是△ABC的外心。 求证：E、O、F 三点共线。
平面几何入门(13)
平面几何入门（13）叶中豪（老封） 知识要点中线——联结三角形的顶点和对边中点的线段，称为这个三角形的“中线”。
重心——三角形的三条中线一定交于一点，称为这个三角形的“重心”。
三角形的重心把每条中线分成2∶1的两份。
倍长中线法——将三角形的中线延长到原来的2倍，是常用的添辅助线方法。
轨迹——适合指定条件的点的全体。
基本轨迹（1）和已知线段的两个端点距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线。
（2）和已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。
（引申：和两条相交直线距离相等的点的轨迹，是这两条直线交角的两条平分线。
）（3）到已知直线的距离等于定长的点的轨迹，是平行于这条直线并且和这条直线的距离等于定长的两条直线。
（4）和两条平行线距离相等的点的轨迹，是和两条平行线距离相等的一条平行线。
（5）和一个已知点距离等于定长的点的轨迹，是以已知点为圆心、定长为半径的圆。
交轨法——利用轨迹来确定求作图形中的点的位置的作图法称为“交轨法”。
数学鉴赏A1． 已知△ABC 的AB 、AC 边以及中线ABC 。
2．已知AM是△ABC的中线。
求证：AB＋AC＞2AM。
B3．已知：在△ABC的AB、AC两边外作正方形ABPE、ACQF。
AD是BC边上的中线。
求证：AD＝12 EF。
4．已知三角形的底边c，一个底角α，以及底角所对边上的中线与底边之间的夹角θ，求作这三角形。
5．已知三角形的三中线长为m a，m b，m c，求作这三角形。
6．如图，等腰Rt△ABC的直角顶点A固定，顶点B在一条定直线l上移动。
求第三顶点C的轨迹。
7．正△ABC的一顶点固定，第二顶点在一条定直线l上移动，求第三顶点的轨迹。
8．如图，等腰Rt△ABC的直角顶点A固定，顶点B在一个定圆O上移动。
求第三顶点C的轨迹。
9．已知三角形的一边a，这边上的高h a和另一边上的中线m b，求作这三角形。
10．已知直角三角形的斜c边和一直角边上的中线m a，求作这直角三角形。
平面几何研究----平面几何新思索(叶中豪)
C X Y I
B
P
A
O
。角钝是总 XYO∠�现 发。Y 为点聚切�X 为点聚垂�O 为心外�中 CBA△设 象现
线reluE
。序次的具工整调何如知不但。具工个 02 了建创中版 40.4 板画何几在今】013040【
A
点noelopaN
B
B
C
C
N
d ra corB
'N A
A
tknupn ot tiM � 点rekeipS
C J F H
O G
B
A
。线 reluE 于行平必�线连的点轭共角等的它与点 tamreF 的形角三
D B I
。趣兴的索探阵一了有又点殊特形角三对我使�liam-E 封一的国建钟到收上晚天当】722040【 。西东的新些一生产会还感预�索探续继得值还置位体具圆的成形所络包 FE
1 论结
C
E
A
。线曲锥圆是络包之 FE�时长周半于 等不长 FC�EB 若�圆是络包之 FE�时动运上圆接外在 A 当�索探经 ” 。FE 于直垂 ID�证 求。长周半为均长的 FC�EB 且�点径对的 A 是 D�心内是 I�知已“ �题下如问川路黄】725020【
E
索思新何几面平
�轭共角等好恰 CBA△于关 Q�P 且而�上线连的点 ennogreG 和 G 心重在都 Q�P 则。eG 为标中图在�点 ennogreG 为称点之共所 FC�EB�DA。 �点殊 特个一的上 OI 线连心外、内于位是它� ”点聚切“作称可�Q 为记点之共所 F 3I�E2I�D1I � �进引年 6381 于 legaN 由� ”tknupnottiM“作称中献文在�P 为记点之共所 N3I�M2I�L1I 。点切的圆切内是 F�E�D�点中边各是 N�M�L�心旁的 CBA△是 3I�2I�1I 中图�注
高中平面几何讲义
高中平面几何(上海叶中豪)焦点话题1.三角形中的巧合点2.Simson线及垂足三角形3.圆幂与根轴例题和习题1．已知ABCD是圆内接四边形，I A、I B、I C、I D分别是△BCD、△ACD、△ABD、△ABC 的内心。
求证：I A I B I C I D是矩形。
（Fuhrmann定理）2．已知：△ABC中，AB＝AC，BE、CF是高，H是垂心，过H作AB的平行线交AC 于D，AH延长交外接圆于G点。
求证：DF⊥FG。
3．已知△ABC中，AB＝AC，O、I分别是△ABC的外心和内心，点D在AB边上，且OD⊥BI。
求证：ID∥AC。
4．已知圆内接四边形ABCD，有一半圆直径落在BC边上，且与AB、CD、AD都相切。
求证：AB＋CD＝BC。
5．在△ABC左右两边上截取BE＝CF＝BC，O是△AEF的外心，I是△ABC的内心。
求证：OI⊥BC。
6．已知：E、F在△ABC的AB、AC两边上，且BE＝CF＝BC，I是△ABC的内心，S是△ABC外接圆BC弧中点，T是△AEF外接圆EF弧中点。
求证：SI＝IT。
7. 已知：△ABC ≌△ADE，延长底边BC，ED交于P点，O是△PCD的外心。
求证：AO⊥BE。
B8．已知D是△ABC的BC边上任一点，O、O1、O2分别是△ABC、△ABD、△ACD的外心。
求证：A、O、O1、O2四点共圆。
（Salmon定理）B9．已知ABCD是梯形（AD∥BC），E是腰AB上的动点，O1、O2分别是△ADE、△BCE的外心。
求证：O1O2的长度不随E点的运动而变化。
10．已知：点D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，O1、O2、O3分别是△AEF、△BFD、△CDE的外心。
求证：△O1O2O3∽△ABC。
11．已知：AM是△ABC的中线，P是△ABC 内一点，满足∠BAM＝∠CAP，O、O1、O2分别是△ABC、△ABP、△ACP的外心。
求证：AO平分O1O2。
2013年数学竞赛讲义(几何)——叶中豪
高中平面几何(叶中豪)知识要点：（一）四点共圆及其应用（二）垂足三角形与等角共轭例题和习题：1．已知：自圆O外一点P作切线PA、PB及割线PCD，自C作PA的平行线，分别交AB、AD于E、F。
求证：CE＝EF。
2．A为圆O上一点，B为圆外一点，BC、BD分别与圆O相切于C、D，DE⊥AO于E，DE分别交AB、AC于F、G。
求证：DF＝FG。
3．P为圆外一点，PA、PD为切线，PCE为割线。
过D作PA的平行线，分别与AC延长线及线段AE交于B、F。
求证：D为BF中点。
B4．在△ABC中，AB ≠ AC，I是内心，直线AI与△ABC的外接圆交于D。
过D作DP⊥AD交BC于P，△ABC的B-旁切圆切AC于E，C-旁切圆切AB于F。
求证：EF∥PI。
5．设KL、KN是圆O的切线，M是KN延长线上一点，过K、L、M三点的圆与圆O交于P，作NQ⊥LM于Q。
求证：∠MPQ＝2∠NMQ。
（98年伊朗竞赛）6．已知Rt△ABD∽Rt△ADC，M是BC中点，AD与BC交于E，自C作AM垂线交AD于F。
求证：DE ＝EF。
7．在△ABC中，已知∠A的内角平分线和外角平分线分别交外接圆于D、E，点A关于点D、E的对称点分别为F、G，△ADG和△AEF的外接圆交于A和另一点P。
求证：AP∥BC。
8．△ABC中，E、F是AC、AB边上任意两点，圆ABE和圆ACF交于D点，M、N分别是BC、EF中点，MN延长交AB于L。
求证：∠BLM＝∠CAD。
9．已知P、Q是等腰△ABC（AB＝AC）内两点，满足∠ABP＝∠QCB，∠ACP＝∠QBC。
求证：A、P、Q三点共线。
10．已知：AD、BE、CF是△ABC的三条高，BB'⊥EF于B'，CC'⊥EF于C'。
求证：B'C'＝DE＋DF。
11．一点P在△ABC三边BC、CA、AB上射影分别为S1、S2、S3，在三条高AD、BE、CF上射影分别为T1、T2、T3。
平面几何讲义之四点共圆(内容很详实)
BB高中数学联赛平面几何讲义之四点共圆平面几何中证四点共圆的几个基本方法 方法一：平面上有四点A B C D 、、、,若A D ∠=∠, 则A B C D 、、、四点共圆方法二 线段AC BD 、交于E ,若AE EC BE ED ⋅=⋅,则方法三 线段AC BD 、交于E ,若AE BE CE ED ⋅=⋅, 则A B C D 、、、四点共圆方法四：若四边形ABCD ,180A C ∠+∠=︒， 则A B C D 、、、四点共圆DCBPB方法四、已知 AD 是ABC △内角或外角平分线，AB AC ≠,且BD DC =,则A B C 、、证明 设BAD α∠=,因为AD AD DB DC =,所以sin sin sin sin B C BAD CAD=∠∠，所以sin sin B C =，内角时180B C +=︒,外角时B C =，所以A B C D 、、、四点共圆托勒密定理：Tolemy(托勒密定理）若四边形ABCD 是圆O 内接四边形,则AD •BC+AB •CD=AC •BD证明 在AC 上取点E,使∠EDC=∠ADB,因为∠ABD=∠ACD,所以△ABD ∼△EDC,△ADE ∼△BDC ，于是(AB/CE)=(DB/DC),(AD/AE)=(DB/BC),于是AD •BC+AB •DC=AE •BD+BD •CE=AC •BD例1、（等角共轭点性质）已知 点D E 、在ABC ∆内，ABD CBE ∠=∠,BAE CAD ∠=∠.求证ACD BCE ∠=∠.BCBB证明(一)（文武光华数学工作室南京潘成华）作E关于BC AB AC、、对称点P R Q、、,易知BRD∆≌BPD∆,ARD∆≌AQD∆,于是DP DR DQ==,所以DCP∆≌DCQ∆,得到PCD QCD∠=∠,进而BCE ACD∠=∠.证明（二）作BDS∆外接圆交AD延长线于S,可知ASC DBC ABE∠=∠=∠,得到ABE∆∽ASC∆,所以ABS∆∽AEC∆,得到ACE ASB DSB∠=∠=∠,所以BCE ACD∠=∠.南京潘成华）E是ABC∆内一点，点D在BC上，且BAE DAC∠=∠,EDB ADC∠=∠.则180AEC BED∠+∠=︒证明先证明AB BEAC EC=,过E作AB AC BC、、垂线EF EG EL、、交AB AC BC、、分别于F G L、、，直线EL AD、交于J,取AF中点K,易知B F E L、、、四点共圆，E G C L、、、四点共圆，所以sinsinFLAB C FL CEBEAC B LG LG BECE===⋅(1),(B C、是ABC∆的内角)，因为EDB ADC∠=∠，所以EL LJ=,于是//KL AJ,易知A F E G、、、四点共圆，B圆心是K，BAE DAC∠=∠,所以AD FG⊥,进而//KL FG，得到KL是FG中垂线，所以FL LG=，(1)得AB BEAC EC=下面我们证明180AEC BED∠+∠=︒，因为sin sin,ACAEC EACAE∠=∠sin sin,ABBAE BAEBE∠=∠,两式相除得sin sin sinsin sin sinAEC EAC BADBAE BAE DAC∠∠∠==∠∠∠sin sinsin sinAB BAD EC BD EC BEDAC DAC BE CD BE DEC∠∠=⋅=⋅=∠∠,因为360AEC BAE BED DEC∠+∠+∠+∠=︒所以，180AEC BED∠+∠=︒证明（二）在AB取H,使得AHB PDB∠=∠,所以AHD∆∽APC∆,易知H P D B、、、四点共圆，所以180APC BPD BHD AHD∠+∠=∠+∠=︒例3、叶中豪老师2013年国庆讲义一几何题我的解答已知，D是ABC∆底边BC上任一点，P是形内一点，满足12∠=∠，34∠=∠。
叶中豪几何讲稿
形）中， CM⊥AD 于M， CN⊥AB于 N，NM与 BD延长交 于点P。 求证： PC⊥AC。
2．已知AF、DC是圆O的直径，E是CF延长线 上一点，DE交圆O于B，直线AB、OE交于P。
求证：PC是圆O的切线。
3．已知：AB是圆O的直径，P是过B点的切线 上任一点，过P作任意割线PCD，联结AC、AD，
交于E点。求证：∠DBE＝90°
6．在△ABC中，AB ≠ AC，I是内心，直线AI与△ABC 的外接圆交于D。过D作DP⊥AD交BC于P，△ABC的
B-旁切圆切AC于E，C-旁切圆切AB于F。 求证：EF⊥PI。 （2007年秘鲁国家队选拔考试）
7．已知：直角△ABC，D是斜边AB的中点，MB⊥AB， MD交AC于N，MC延长线交AB于E。求证：∠DBN＝
13．设P是 △ABC外接圆上 任一点，自P分 别作PA、PB、 PC的垂线，与 对应边BC、CA、 AB或延长线交 于D、E、F，则 D、E、F及外心 O共线
14．设AB是圆 O的弦， PB⊥AB，过P 作圆O的割线 PCD，联结AC、 OP交于E。求 证：EB⊥DB。
15．设P是 △ABC所在平面
任作直线分别交 AB、AC于E、F， 联结B'E、C'F交于 Q点。
求证：AQ⊥BC
∠BCE。 （2007年第4届东南地区数学奥林匹克
8．自圆内接 四边形ABCD 的每边端点作
邻边的垂线，
相邻垂线分别 交于E、F、G、 H。求证：E、 F、G、H四点 共线。
9．已知ABCD是
圆内接四边形， 对角线AC、BD 交于P点，O是 外接圆心。过A、 B分别作邻边AD 和BC的垂线交 于E点。求证： E、O、P三点共 线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中平面几何叶中豪学习要点几何问题的转化圆幂与根轴P ’tolemy 定理及应用几何变换及相似理论位似及其应用完全四边形与Miquel 点垂足三角形与等角共轭反演与配极，调和四边形射影几何复数法及重心坐标方法例题和习题1．四边形ABCD 中，AB=BC ，DE ⊥AB ，CD ⊥BC ，EF ⊥BC ，且()sin 1tan sin 2θθγγ⋅+=。
求证：2EF=DE+DC 。
（.gsp ）2．已知相交两圆O和O'交于A、B两点，且O'恰在圆O上，P为圆O的AO'B 弧段上任意一点。
∠APB的平分线交圆O'于Q点。
求证：PQ2=PA×PB。
（-1.gsp）3．设三角形ABC的Fermat点为R，连结AR，BR，CR，三角形ABR，BCR，ACR的九点圆心分别为D，E，F，则三角形DEF为正三角形。
（.gsp）4．在△ABC中，已知∠A的内角平分线和外角平分线分别交外接圆于D、E，点A关于D、E的对称点分别为F、G，△ADG和△AEF的外接圆交于A 和另一点P。
求证：APsp）5．圆O1和圆O2相交于A、B两点，P是直线AB上一点，过P作两圆作切线，分别切圆O1和圆O2于点C、D，又两圆的一条外公切线分别切圆O1和圆O2于点E，F。
求证：AB、CE、DF共点。
（.gsp）6．四边形ABCD中，M是AB边中点，且MC=MD，过C、D分别作BC、AD 的垂线，两条垂线交于P点，再作PQ⊥AB于Q。
求证：∠PQC=∠PQD。
（.gsp）7．已知RT△ABD∽RT△ADC，M是BC中点，AD与BC交于E，自C作AM 垂线交AD于F。
求证：DE=EF。
（.gsp）8．在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，E是△ABC外一点，满足CE⊥AB，BE=BD。
过线段BE的中点M作直线MF⊥BE，交△ABD的外接圆的劣弧AD于点F。
求证：ED⊥DF。
（2010年女子竞赛）（）9．设圆I1是△ABC的BC边外的旁切圆，D、E、F分别是切点，若I1D与EF 交于P点。
求证：AP平分底边BC。
（）10．如图，⊙于点C，M是边BC上一点，AM交CD于点N．求证：M是BC中点的充要条件是ON⊥BC。
（）11．已知：BC是圆上的定弦，而动点A在圆上运动，M是AC中点，作MP⊥AB于P。
求P点的轨迹。
（）12．△ABC外接圆为圆O，P为AB上一点，过P分别作OA、OB的垂线，与AC、BC交于S、T，与AB交于M、N。
求证：PM=MS的充要条件是PN=NT。
（）13．在ΔABC中AC＞BC，F是AB的中点，过F作它的外接圆直径DE，使得C、E在AB同一侧，又过C做AB的平行线交DE于L。
求证：(AC+BC) 2＝4DL×EF。
（）14．已知：P是垂直ABC外接圆BC弧上任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥CA于E，PF⊥AB于F。
求证：(BC/PD)＝(AC/PE)+(AB/PF)。
（）15．已知O是△ABC的外心，M是BC边中点，D是OM延长线上一点，满足DO=DB，E、F分别是AB、AC边上的点，满足∠MEA=∠MFA=∠A。
求证：AD⊥EF。
（.gsp）16．已知△ABC中，AB＝AC，线段AB上有一点D，线段AC延长线上有一点E，使得DE＝AB。
线段DE与△ABC的外接圆交于点T，P是线段AT延长线上的一点。
求证：点P满足PD＋PE＝AT的充要条件是P在△ADE的外接圆上。
（2000年国家集训队）（）17．已知△ABC中，内心I关于BC边中点M的对称点为I'，S是BC弧（不含A点）中点，直线SI'交△ABC的外接圆于另一点P。
求证：P点到△ABC 较远的顶点距离等于到另两个顶点距离的和。
（）BS18．在△ABC外作△DBC∽△ECA∽△FAB，联结AD、BE、CF。
求证：AF+FB+BD+DC+CE+EA≥AD+BE+CF。
（）E19．过△ABC内一点O引三边AB、BC、CA的平行线与其它两边的交点分别为E、F、G、H、I、K，过O作△ABC的外接圆的弦AL。
求证：OE·OF＋OG·OH＋OI·OK＝OA·OL。
（）20．一小圆内切大圆于点N，BA、BC是大圆的两条弦，且分别切小圆于K、M，劣弧AB和劣弧BC的中点分别为Q、P，又设△BQK、△BPM外接圆的另一个交点为B1。
求证：BPB1Q为平行四边形。
（）21．圆O与圆O1、圆O2同时相切，切点为S、T，圆O1与圆O2交于A、B两点，且圆O2的圆心恰在圆O1上。
设公共弦AB延长交圆O于C、D两点，联结SC、SD分别交圆O1于P和Q。
求证：PQ与圆O2相切。
（40届IMO）（.gsp）22．设KL、KN是圆O的切线，M是KN延长线上一点，过K、L、M三点的圆与圆O交于P，作NQ⊥LM于Q。
求证：∠MPQ=2∠NML。
（98年伊朗竞赛）（-5、）（）K23．设△ABC AB于F，交AC 延长线于G TF⊥GE。
（.gsp）24．已知圆O外一点P向圆O作切线PA、PB和一条割线PEF，M是EF上一点，联结BM延长交圆O于C。
求证：ACP32．凸四边形ABCD内接于圆O，两组对边所在直线分别交于点E、F，对角线AC、BD交于G，作GH⊥EF于H，圆O的弦MN经过G点。
求证：GH 与圆O交点恰是△HMN的内心。
（）33．⊙O为△ABC的外接圆，P为劣弧AB上一点，E、F分别为AC、AB延长线上的点，BE、CF交于D，PE、PF分别交⊙O于S、R。
若AD、BC、RS 共点，求证：点D在⊙O上。
（.gsp）（）E34．已知：D、E、F分别在△ABC三边上，满足EB＝ED，FC＝FD，O是△ABC外心。
求证：A、E、O、F四点共圆。
（）B35．如图，设N是△ABC的BAC弧中点，M是BC边中点，I是△ABC的内心。
求证：∠ANI＝2∠IMC。
（）36．设T 为△ABC 的内切圆与BC 边的切点，D 为BC 上任一点，I 1、I 2分别为△ABD 、△ACD 的内心。
求证：T I 1⊥T I 2。
（）B37．矩形ABCD 中，AB AC 。
P 是以为AB 直径的半圆上任意一点，PC 、PD 分别交AB 于F 、E 。
求证：AE 2＋BF 2＝AB 2。
（）B38． AB 是圆O 的直径，P 是过B 所作切线上的任一点，过P 作圆O 的割线PCE ，联结直线PO 分别交AC 、AD 于E 、F 。
求证：OE=OF 。
（）39．自圆O外一点P作切线PA、PB及割线PCD，自C作PA的平行线，分别交AB、AD于E、F。
求证：CE=EF。
（）40．A为圆O上一点，B为圆外一点，BC、BD分别相切圆O于C、D，DE 垂直AO于E，DE分别交AB、AC于F、G。
求证：DF＝FG。
（）A41．P为圆外一点，PA、PD为切线，PCE为割线。
过D作PA的平行线，分别与AC延长线及线段AE交于B、F。
求证：D为BF中点。
（）42．已知P、Q是等腰三角形ABC（AB=AC）内两点，满足∠ABP=∠QCB，且∠ACP=∠QBC。
求证：A、P、Q三点共线。
（）43．已知锐角△ABC中，AD是高，O是外心，AO的延长线交过O、B、C三点的圆于P，自P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F。
求证：DEPF是平行四边形。
（.gsp）44M是EF的中点，自。
（）45．AD为△ABC内角平分线，I1、I2为△ABD、△ACD的内心，以I1I2为底向BC边作等腰△E I1I2，使得∠I1EI2＝12∠BAC。
求证：DE⊥BC。
（）46．已知P是凸四边形内一点，满足∠PAB=∠CAD，∠PCB=∠ACD。
求证：PB=PD的充要条件是ABCD四点共圆。
（2004年IMO）（）（）47．已知D是△ABC底边BC上任一点，P是形内一点，满足∠1=∠2，∠3=∠4。
求证：(PB/PC)=(AB/AC)。
（）C48．已知：D是△ABC的BC中垂线上一点，I1、I2是△ABD、△ACD的内心，E是△ABC外接圆弧BAC的中点。
求证：A、E、I1、I2四点共圆。
（）49．如图，△ABC中，M为BC的中点，以AM为直径的圆分别与AB、AC 交于E、F两点，圆在E、F两点的切线交于点D。
求证：DM⊥BC。
（）50．已知：⊙O两切线PA、PB和一割线PCD，AD、AP交C处的切线于E、F，BE交DF于K。
求证：K在圆O上。
（）51．设⊙O1与⊙O2交于C、D。
过D的直线交⊙O1与⊙O2于A、B。
点P 在弧AD上，PD与AC的延长线交于M，Q在弧BD上，QD与BC的延长线交于N，O为△ABC外心。
求证：MN⊥OD是P、Q、M、N四点共圆的充要条件。
（）52．设X是P点的Simson线关于△ABC的垂极点。
求证：XP被Simson线所平分。
（）53．已知：AD是高，O、H是外心和垂心，过D作OD垂线，交AC于E。
求证：∠DHE=∠C。
（）54．△ABC中，AD为边BC上的中线，E、F、G分别为AB、AC、AD上的点，且A、E、G、F四点共圆。
设△BDE外心为O1、半径为r1；△CDF 外心为O2、半径为r2。
求证：GO12＋GO22＝r12＋r22。
（）B55．已知P是△ABC内一点，A1、B1、C1分别是圆弧BPC、CPA、APB的中点。
求证：P、A1、B1、C1四点共圆。
（）56．给定△ABC，D、E、F是边BC、CA、AB上的任意三点，M、N分别是△BDF、△CDE的外心。
P、Q分别是BC、MN上的点，满足(BP/PC)=(MQ/QN)。
AP与⊙AEF相交于R点。
求证：（1）QR=QD；（2）∠RQD=2∠APC。
（）C57．已知⊙O1与⊙O2交于C、D两点，A、B分别是两圆上的点，满足PA ＝PB，E、F是弧AQ、BQ中点。
求证：C、D、E、F四点共圆。
（）58．△ABC中，D、E、F是边BC、CA、AB的中点，X、Y、Z是各边上高的垂足，EZ与FY交于L，FX与DZ交于M，DY与EX交于N。
求证：L、M、N三点共线。
（.gsp）59．设△ABC的内切圆分别与三边切于D、E、F，联结AD交内切圆于另一点P，联PB、PE、PF。
求证：PFB C1A3A1A2A1A2A21OA3sp）67．已知M、N是四边形ABCD对边AD、BC上任意两点，E、F是对边AB、CD上两点，满足(AE/EB)=(CF/FD)=(AM/MD)*(CN/NB)，AN、BM交于P，CM、DN交于Q。
求证：PQ//EF。
（）。