数学名师叶中豪整理高中数学竞赛平面几何讲义

高中平面几何

叶中豪

学习要点

几何问题的转化

圆幂与根轴

P ’tolemy 定理及应用

几何变换及相似理论

位似及其应用

完全四边形与Miquel 点

垂足三角形与等角共轭

反演与配极，调和四边形

射影几何

复数法及重心坐标方法

例题和习题

1．四边形ABCD 中，AB=BC ，DE ⊥AB ，CD ⊥BC ，EF ⊥BC ，且

()sin 1

tan sin 2

θθγγ⋅+=。求证：2EF=DE+DC 。（.gsp ）

2．已知相交两圆O和O'交于A、B两点，且O'恰在圆O上，P为圆O的AO'B 弧段上任意一点。∠APB的平分线交圆O'于Q点。求证：PQ2=PA×PB。（-1.

gsp）

3．设三角形ABC的Fermat点为R，连结AR，BR，CR，三角形ABR，BCR，ACR的九点圆心分别为D，E，F，则三角形DEF为正三角形。（.gsp）

4．在△ABC中，已知∠A的内角平分线和外角平分线分别交外接圆于D、E，点A关于D、E的对称点分别为F、G，△ADG和△AEF的外接圆交于A 和另一点P。求证：APsp）

5．圆O1和圆O2相交于A、B两点，P是直线AB上一点，过P作两圆作切线，分别切圆O1和圆O2于点C、D，又两圆的一条外公切线分别切圆O1和圆O2于点E，F。求证：AB、CE、DF共点。（.gsp）

6．四边形ABCD中，M是AB边中点，且MC=MD，过C、D分别作BC、AD 的垂线，两条垂线交于P点，再作PQ⊥AB于Q。求证：∠PQC=∠PQD。

（.gsp）

7．已知RT△ABD∽RT△ADC，M是BC中点，AD与BC交于E，自C作AM 垂线交AD于F。求证：DE=EF。（.gsp）

8．在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，E是△ABC外一点，满足CE⊥AB，BE=BD。过线段BE的中点M作直线MF⊥BE，交△ABD的外接圆的劣弧AD于点F。求证：ED⊥DF。（2010年女子竞赛）（）

9．设圆I1是△ABC的BC边外的旁切圆，D、E、F分别是切点，若I1D与EF 交于P点。求证：AP平分底边BC。（）

10．如图，⊙于点C，M是边BC上一

点，AM交CD于点N．求证：M是BC中点的充要条件是ON⊥BC。（）

11．已知：BC是圆上的定弦，而动点A在圆上运动，M是AC中点，作MP⊥AB于P。求P点的轨迹。（）

12．△ABC外接圆为圆O，P为AB上一点，过P分别作OA、OB的垂线，与AC、BC交于S、T，与AB交于M、N。求证：PM=MS的充要条件是PN=NT。

（）

13．在ΔABC中AC＞BC，F是AB的中点，过F作它的外接圆直径DE，使得

C、E在AB同一侧，又过C做AB的平行线交DE于L。

求证：(AC+BC) 2＝4DL×EF。（）

14．已知：P是垂直ABC外接圆BC弧上任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥CA于E，PF⊥AB于F。求证：(BC/PD)＝(AC/PE)+(AB/PF)。（）

15．已知O是△ABC的外心，M是BC边中点，D是OM延长线上一点，满足DO=DB，E、F分别是AB、AC边上的点，满足∠MEA=∠MFA=∠A。求证：AD⊥EF。（.gsp）

16．已知△ABC中，AB＝AC，线段AB上有一点D，线段AC延长线上有一点

E，使得DE＝AB。线段DE与△ABC的外接圆交于点T，P是线段AT延长线上的一点。求证：点P满足PD＋PE＝AT的充要条件是P在△ADE的外接圆上。（2000年国家集训队）（）

17．已知△ABC中，内心I关于BC边中点M的对称点为I'，S是BC弧（不含A点）中点，直线SI'交△ABC的外接圆于另一点P。求证：P点到△ABC 较远的顶点距离等于到另两个顶点距离的和。（）

B

S

18．在△ABC外作△DBC∽△ECA∽△FAB，联结AD、BE、CF。

求证：AF+FB+BD+DC+CE+EA≥AD+BE+CF。（）

E

19．过△ABC内一点O引三边AB、BC、CA的平行线与其它两边的交点分别

为E、F、G、H、I、K，过O作△ABC的外接圆的弦AL。

求证：OE·OF＋OG·OH＋OI·OK＝OA·OL。（）

20．一小圆内切大圆于点N，BA、BC是大圆的两条弦，且分别切小圆于K、M，劣弧AB和劣弧BC的中点分别为Q、P，又设△BQK、△BPM外接圆的另一个交点为B1。求证：BPB1Q为平行四边形。（）

21．圆O与圆O1、圆O2同时相切，切点为S、T，圆O1与圆O2交于A、B两点，且圆O2的圆心恰在圆O1上。设公共弦AB延长交圆O于C、D两点，联结SC、SD分别交圆O1于P和Q。求证：PQ与圆O2相切。（40届IMO）（.gsp）

22．设KL、KN是圆O的切线，M是KN延长线上一点，过K、L、M三点的圆与圆O交于P，作NQ⊥LM于Q。求证：∠MPQ=2∠NML。（98年伊朗竞赛）（-5、）（）

K

23．设△ABC AB于F，交AC 延长线于G TF⊥GE。（.gsp）24．已知圆O外一点P向圆O作切线PA、PB和一条割线PEF，M是EF上一点，联结BM延长交圆O于C。求证：

AC

P

32．凸四边形ABCD内接于圆O，两组对边所在直线分别交于点E、F，对角线AC、BD交于G，作GH⊥EF于H，圆O的弦MN经过G点。求证：GH 与圆O交点恰是△HMN的内心。（）

33．⊙O为△ABC的外接圆，P为劣弧AB上一点，E、F分别为AC、AB延长线上的点，BE、CF交于D，PE、PF分别交⊙O于S、R。若AD、BC、RS 共点，求证：点D在⊙O上。（.gsp）（）

E

34．已知：D、E、F分别在△ABC三边上，满足EB＝ED，FC＝FD，O是△ABC外心。求证：A、E、O、F四点共圆。（）

B

35．如图，设N是△ABC的BAC弧中点，M是BC边中点，I是△ABC的内心。求证：∠ANI＝2∠IMC。（）