常见不等式的解法

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不等式的解法

不等式的解法不等式是数学中常见的一种关系式，用于表示两个数或者两个代数式之间的大小关系。

解不等式是指找出满足不等式条件的未知数的取值范围。

在解不等式的过程中，可以运用一些特定的方法和技巧，以求得精确的解。

一、一元一次在解一元一次不等式时，可以运用以下几种常见的方法和技巧：1.1 加减法法则：对于不等式中的两边都加上或者减去同一个数，不等式的符号不改变。

1.2 乘除法法则：对于不等式中的两边都乘以或者除以同一个正数，不等式的符号不改变；若乘以或者除以同一个负数，不等式的符号则反向。

1.3 移项法：将不等式中的项移动到同一边，形成一个相等的等式，然后根据等式求解的方法得到解的范围。

1.4 区间判定法：通过观察不等式中的系数和常数项的正负关系，判断不等式的解的范围。

二、一元二次在解一元二次不等式时，除了可以运用一元一次不等式的解法外，还可以运用以下方法和技巧：2.1 因式分解法：将一元二次不等式进行因式分解，然后根据因式的正负情况判断不等式的解的范围。

2.2 二次函数图像法：将一元二次不等式所对应的二次函数的图像进行分析，根据图像的凹凸性和与 x 轴的交点来求解不等式。

2.3 完全平方差和平方根法：将一元二次不等式形式化为完全平方差或平方根的形式，然后根据完全平方差和平方根的性质来求解不等式。

三、绝对值绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式，其解的范围一般分成两个部分。

解绝对值不等式时，可以采用以下方法和技巧：3.1 分情况讨论法：根据绝对值的定义，将不等式分成正数和负数的情况讨论，并解出相应的不等式。

3.2 辅助变量法：引入一个辅助变量，使得绝对值不等式可以转化为一元一次或一元二次不等式，然后使用已知的解法来求解。

3.3 图像法：将绝对值不等式所对应的函数图像进行分析，根据图像的凹凸性和与 x 轴的交点来求解不等式。

四、多元多元不等式是指含有多个未知数的不等式，解多元不等式时可以运用以下方法和技巧：4.1 图像法：将多元不等式所对应的多元函数的图像进行分析，根据图像的几何特征来求解不等式。

解不等式的方法

解不等式的方法解不等式是代数学中的重要内容，它在数学建模、优化问题、函数图像等方面都有着重要的应用。

在解不等式的过程中，我们需要掌握一些基本的方法和技巧，下面我将为大家介绍几种解不等式的常用方法。

一、一元一次不等式的解法。

对于一元一次不等式ax+b>c，我们可以按照以下步骤来解题：1. 将不等式转化为等价的形式，即ax+b-c>0；2. 根据a的正负情况进行讨论：a. 若a>0，则不等式的解集为x>-b/a+c；b. 若a<0，则不等式的解集为x<-b/a+c。

二、一元二次不等式的解法。

对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0，我们可以按照以下步骤来解题：1. 求出二次函数的判别式Δ=b^2-4ac的值；2. 根据Δ的正负情况进行讨论：a. 若Δ>0，则二次函数有两个不等实根，即x的取值范围为x<x1或x>x2；b. 若Δ=0，则二次函数有两个相等的实根，即x的取值范围为x=x1=x2；c. 若Δ<0，则二次函数无实根，即不等式无解。

三、绝对值不等式的解法。

对于绝对值不等式|ax+b|<c，我们可以按照以下步骤来解题：1. 分情况讨论：a. 若a>0，则不等式的解集为-b<c<ax+b；b. 若a<0，则不等式的解集为-b<c<-ax-b。

四、分式不等式的解法。

对于分式不等式f(x)>0，我们可以按照以下步骤来解题：1. 求出分式的定义域；2. 求出分式的零点；3. 根据零点的正负情况进行讨论：a. 若零点为实数且大于0，则不等式的解集为定义域内使分式大于0的实数；b. 若零点为实数且小于0，则不等式的解集为空集。

五、不等式组的解法。

对于不等式组{f(x)>0, g(x)>0}，我们可以按照以下步骤来解题：1. 求出每个不等式的解集；2. 将每个不等式的解集取交集，得到不等式组的解集。

基本不等式的所有公式及常用解法

基本不等式的所有公式及常用解法1.加减法不等式公式：若a>b，则a+/-c>b+/-c，其中c为任意实数。

2.乘法不等式公式：若a>b且c>0，则a*c>b*c；若a>b且c<0，则a*c<b*c。

3.幂次不等式公式：对任意非零实数a和b若a>b且n>0且n为正整数，则a^n>b^n；若a>b且0<n<1，则a^n<b^n。

4.倒数不等式公式：若a>b>0，则1/a<1/b。

5.奇偶性不等式公式：若a>0且n为正整数，则a^n>0。

若a<0且n为奇数整数，则a^n<0。

常用的解基本不等式的方法有：1.用数轴法解：将不等式绘制在数轴上，根据不等式的性质找出符合条件的x的取值范围。

2.用代数方法解：针对不等式上的加减法、乘法、幂次或倒数等，利用基本不等式公式进行运算，化简不等式，最终得到x的取值范围。

3.用平方差、立方差或更高次差法解：对于特定形式的不等式，如二次函数不等式（即含有二次项的不等式），可使用平方差公式将其转化为不等式的标准形式；同样，对于三次函数不等式（即含有三次项的不等式），可使用立方差公式将其转化为不等式的标准形式。

通常，对高次不等式的解法需要更高级的数学知识，此处不再详细介绍。

4.用函数图像解：对于一些特定函数，如一次函数、二次函数等，可通过绘制函数图像来判断不等式的解集。

5.用不等式链解：若能将一个不等式化为多个简单的不等式，即不等式的解集满足一系列条件，可通过每个条件对应的不等式求解解集。

以上是基本不等式的一些公式和常用解法。

对于不同的不等式，我们需要根据具体情况选择合适的解法。

希望以上内容对您有所帮助。

常见不等式的解法--高考数学【解析版】

专题04 常见不等式的解法所谓常见不等式是指，一元二次不等式、含绝对值不等式、指数对数不等式、函数不等式等，高考中独立考查的同时，更多地是在对其他知识的考查中，作为工具进行考查.正是解不等式的这一基础地位，要求务必做到求解快捷、准确．【重点知识回眸】（一）常见不等式的代数解法1、一元二次不等式：()200ax bx c a ++>≠可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++，作出图象，再找出x 轴上方的部分即可——关键点：图象与x 轴的交点2、高次不等式（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于x 的表达式为()f x ，不等式为()0f x >）①求出()0f x =的根12,,x x ② 在数轴上依次标出根③ 从数轴的右上方开始，从右向左画.如同穿针引线穿过每一个根④ 观察图象，()0f x >⇒ 寻找x 轴上方的部分()0f x <⇒ 寻找x 轴下方的部分（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式3、分式不等式（1）将分母含有x 的表达式称为分式，即为()()f xg x 的形式（2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即()0g x ≠（3）对形如()()0f x g x >的不等式，可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可，所以将分式不等式转化为()()()00f xg x g x ⋅>⎧⎪⎨≠⎪⎩ （化商为积），进而转化为整式不等式求解4、含有绝对值的不等式（1）绝对值的属性：非负性（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解：① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理5、指数、对数不等式的解法：（1）利用函数的单调性：1a >时，x y > log log (,0)x ya a a a x y x y ⇔>⇔>>01a <<时，x y > log log (,0)x y a a a a x y x y ⇔<⇔<>（2）对于对数的两点补充：① 对数能够成立，要求真数大于0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条件，如当1a >时，()()()()()()0log log 0a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇒>⎨⎪>⎩② 如何将常数转化为某个底的对数.可活用“1”：因为1log a a =，可作为转换的桥梁6、利用换元法解不等式利用换元法解不等式的步骤通常为：①选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体 ②求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式③解出新元的范围④在根据新元的范围解x 的范围（二）构造函数解不等式1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、假设()f x 在[],a b 上连续且单调递增，()()00,,0x a b f x ∃∈=，则()0,x a x ∈时，()0f x <;()0,x x b ∈时，()0f x > (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）3、导数运算法则：（1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+ （2）()()()()()()()'''2f x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4、构造函数解不等式的技巧：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图象只是辅助手段.所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点.那么问题便易于解决了.（三）利用函数性质与图象解不等式：1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系.通常可作草图帮助观察.例如：()f x 的对称轴为1x =，且在()1,+∞但增.则可以作出草图（不比关心单调增的情况是否符合()f x ，不会影响结论），得到：距离1x =越近，点的函数值越小.从而得到函数值与自变量的等价关系2、图象与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如()()f x g x <，其中()(),f x g x 的图象均可作出.再由()()f x g x <可知()f x 的图象在()g x 图象的下方.按图象找到符合条件的范围即可.【典型考题解析】热点一简单不等式的解法【典例1】（2022·全国·高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B =（）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-【答案】B【解析】【分析】求出集合B 后可求A B .【详解】{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B =，故选：B.【典例2】（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.【典例3】（2017·上海·高考真题）不等式11x x ->的解集为________【答案】(,0)-∞【解析】【详解】由题意，不等式11x x ->，得111100x x x->⇒<⇒<，所以不等式的解集为(,0)-∞. 【典例4】（2020·江苏·高考真题）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<．【答案】2(2,)3- 【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【详解】1224x x x <-⎧⎨---<⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-<⎩或0224x x x >⎧⎨++<⎩21x ∴-<<-或10x -≤≤或203x << 所以解集为：2(2,)3- 【典例5】解下列高次不等式：（1）()()()1230x x x --->（2）()()()21230x x x +--< 【答案】（1）()()1,23,+∞；（2）()()1,22,3-. 【解析】（1）解：()()()()123f x x x x =---则()0f x =的根1231,2,3x x x ===作图可得：12x << 或3x >∴不等式的解集为()()1,23,+∞（2）思路：可知()220x -≥，所以只要2x ≠，则()22x -恒正，所以考虑先将恒正恒负的因式去掉，只需解()()13020x x x +-<⎧⎨-≠⎩ ，可得13x -<<且2x ≠∴不等式的解集为()()1,22,3-【名师点睛】在解高次不等式时，穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉，在进行穿根即可.穿根法的原理：它的实质是利用图象帮助判断每个因式符号，进而决定整个式子的符号，图象中的数轴分为上下两个部分，上面为()0f x > 的部分，下方为()0f x <的部分.以例2（1）为例，当3x >时，每一个因式均大于0，从而整个()f x 的符号为正，即在数轴的上方（这也是为什么不管不等号方向如何，穿根时一定要从数轴右上方开始的原因，因为此时()f x 的符号一定为正），当经过3x = 时，()3x -由正变负，而其余的式子符号未变，所以()f x 的符号发生一次改变，在图象上的体现就是穿根下来，而后经过下一个根时，()f x 的符号再次发生改变，曲线也就跑到x 轴上方来了.所以图象的“穿根引线”的实质是()f x 在经历每一个根时，式子符号的交替变化.【规律方法】1.含绝对值的不等式要注意观察式子特点，选择更简便的方法2.零点分段法的好处在于，一段范围可将所有的绝对值一次性去掉，缺点在于需要进行分类讨论，对学生书写的规范和分类讨论习惯提出了要求，以及如何整理结果，这些细节部分均要做好，才能保证答案的正确性.3.引入函数，通过画出分段函数的图象，观察可得不等式的解.热点二含参数不等式问题【典例6】（2022·浙江·高考真题）已知,a b ∈R ，若对任意,|||4||25|0x a x b x x ∈-+---≥R ，则（）A ．1,3a b ≤≥B ．1,3a b ≤≤C ．1,3a b ≥≥D ．1,3a b ≥≤ 【答案】D【解析】【分析】将问题转换为|||25||4|a x b x x -≥---，再结合画图求解．【详解】由题意有：对任意的x ∈R ，有|||25||4|a x b x x -≥---恒成立．设()||f x a x b =-，()51,2525439,421,4x x g x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，即()f x 的图像恒在()g x 的上方（可重合），如下图所示：由图可知，3a ≥，13b ≤≤，或13a ≤<，3143b a ≤≤-≤，故选：D ．【典例7】（2020·浙江·高考真题）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（）A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >0【答案】C【解析】【分析】对a 分0a >与0a <两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.【详解】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <，即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <.综上一定有0b <.故选：C【典例8】（2023·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式()222R ax x ax a ≥-∈-．【答案】详见解析.【解析】【分析】分类讨论a ，求不等式的解集即可.【详解】原不等式变形为()2220ax a x +--≥．①当0a =时，1x ≤-；②当0a ≠时，不等式即为()()210ax x -+≥，当0a >时，x 2a≥或1x ≤-；由于()221a a a+--=，于是当20a -<<时，21x a≤≤-；当2a =-时，1x =-；当2a <-时，21x a-≤≤．综上，当0a =时，不等式的解集为(,1]-∞-；当0a >时，不等式的解集为2(,1][,)a-∞-⋃+∞；当20a -<<时，不等式的解集为2,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为21,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【总结提升】关于含参数不等式，其基本处理方法就是“分类讨论”，讨论过程中应注意“不重不漏”.关于含参数的一元二次不等式问题：(1)当判别式Δ能写成一个式子的平方的形式时，可先求方程的两根，再讨论两根的大小，从而写出解集．(2)三个方面讨论：二次项系数的讨论，根有无的讨论，根大小的讨论．(3)含参数分类讨论问题最后要写综述．热点三函数不等式问题【典例9】（2018·全国·高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D【解析】【分析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果. 详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .【典例10】（2020·北京·高考真题）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）． A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】【分析】作出函数2x y =和1y x =+的图象，观察图象可得结果.【详解】因为()21x f x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【典例11】（天津·高考真题（理））设函数f (x )=()212log ,0log ,0x xx x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（） A ．()()1,00,1-B ．()(),11,-∞-+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃【答案】C【解析】【分析】由于a 的范围不确定，故应分0a >和0a <两种情况求解.【详解】当0a >时，0a -<，由()()f a f a >-得212log log a a>，所以22log 0a >，可得：1a >，当0a <时，0a ->，由()()f a f a >-得()()122log log a a ->-，所以()22log 0a -<，即01a <-<，即10a -<<，综上可知：10a -<<或1a >.故选：C【典例12】（2020·海南·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【典例13】（2023·全国·高三专题练习）设函数()f x '是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，f （﹣1）＝0，当x ＞0时，()()0xf x f x '->，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）B ．（0，1）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D ．（﹣1，0）∪（1，+∞）【答案】D【解析】【分析】构造函数()()f x g x x =，求导结合题意可得()()f x g x x =的单调性与奇偶性，结合()10g -=求解即可【详解】由题意设()()f x g x x=，则()()()2xf x f x g x x '-'= ∵当x ＞0时，有()()0xf x f x '->，∴当x ＞0时，()0g x '>，∴函数()()f x g x x=在（0，+∞）上为增函数， ∵函数f （x ）是奇函数，∴g （﹣x ）＝g （x ），∴函数g （x ）为定义域上的偶函数，g （x ）在（﹣∞，0）上递减，由f （﹣1）＝0得，g （﹣1）＝0，∵不等式f （x ）＞0⇔x •g （x ）＞0，∴()()01x g x g >⎧⎨>⎩或()()01x g x g <⎧⎨<-⎩，即有x ＞1或﹣1＜x ＜0，∴使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：D ．【总结提升】关于函数不等式问题，处理方法往往从以下几方面考虑：（1）利用函数的奇偶性、单调性.（2）借助于函数的图象（数形结合法）.（3）涉及抽象函数、导数问题，利用构造辅助函数法，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.【精选精练】一、单选题1．（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.2．（2021·湖南·高考真题）不等式|21|3x -<的解集是（）A ．{}2x x <B ．{}1x x >-C ．{}12x x -<<D ．{1x x <-或}2x >【答案】C【解析】【分析】根据绝对值的几何意义去绝对值即可求解.【详解】由|21|3x -<可得：3213x -<-<，解得：12x -<<，所以原不等式的解集为：{}12x x -<<，故选：C.3．（2021·广东·潮阳一中明光学校高三阶段练习）设集合{}11A x x =-≤≤，{}2log 1B x x =<，则A B =（）A ．{}11x x -<≤B ．{}11x x -<<C ．{}01x x <≤D ．{}01x x <<【答案】C【解析】【分析】根据对数函数定义域以及对数函数不等式求解集合B ，再进行交集运算即可.【详解】由题意得，{}{}2log 102B x x x x =<=<<，所以{}|01A B x x ⋂=<≤，故选：C.4．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知集合{}230A x x x =-<，{}|33x B x =≥，则A B =（） A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．(2 D ．()1,3【答案】B【解析】【分析】求出集合A 、B ，再由交集的定义求解即可【详解】集合{}{}23003A x x x x x =-<=<<，{}1332x B x x x ⎧⎫==≥⎨⎬⎩⎭，则132A B x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭.故选：B.5.（天津·高考真题（理））设x ∈R ，则“21x -<”是“220x x +->”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.【详解】由21x -<，可得13x <<，即x ∈(1,3)；由22(1)(2)0x x x x +-=-+>，可得2x <-或1x >，即x ∈(,2)(1,)-∞-+∞；∴(1,3)是(,2)(1,)-∞-+∞的真子集，故“21x -<”是“220x x +->”的充分而不必要条件.故选：A6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），若关于x 的不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），则实数c 的值为（）A ．4B ．3C ．9D ．94【答案】C【解析】【分析】根据函数的值域求出a 与b 的关系，然后根据不等式的解集可得()f x c =的两个根为,6m m +，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可.【详解】∵函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），∴f （x ）＝x 2+ax +b ＝0只有一个根，即Δ＝a 2﹣4b ＝0则b 24a =，不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），即为x 2+ax 24a +＜c 解集为（m ，m +6），则x 2+ax 24a +-c ＝0的两个根为m ，m +6 ∴|m +6﹣m |22444a a c c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭6 解得c ＝9故选：C ．7．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()22x f x =-，则不等式()0f x >的解集是（）A ．()()1,00,1-B ．()()1,01,-⋃+∞C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()(),11,-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】【分析】根据函数为奇函数求出当0x <时，函数()f x 的函数解析式，再分0x <和0x >两种情况讨论，结合指数函数的单调性解不等式即可.【详解】解：因为函数()y f x =是奇函数，所以()()f x f x -=-，且()00f =当0x <时，则0x ->，则()()22x f x f x --=-=-，所以当0x <时，()22x f x -=-+，则()0220x x f x >⎧⎨=->⎩，解得1x >，()0220x x f x -<⎧⎨=-+>⎩，解得10x -<<，所以不等式()0f x >的解集是()()1,01,-⋃+∞.故选：B.8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，则不等式()(31)<-f a f a 的解集为（）A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】由函数解析式判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：因为33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，当0x <时()33f x x =-+函数单调递减，且()3033f x >-⨯+=，当0x ≥时()e 1x f x -=+函数单调递减，且()00e 123f =+=<，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减，所以不等式()(31)<-f a f a 等价于31a a >-，解得12a <．即不等式的解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；故选：C9．（2020·海南·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.10．（2023·全国·高三专题练习）定义在(0)+∞，上的函数()f x 满足()()110,2ln 2xf x f '+=＞，则不等式)(e 0x f x +> 的解集为（） A ．(02ln2)，B ．(0,ln2)C ．(ln21)，D ．(ln2)+∞，【答案】D【解析】【分析】构造新函数()()ln ,(0)g x f x x x =+>，利用导数说明其单调性，将)(e 0x f x +>变形为)>(e (2)x g g ，利用函数的单调性即可求解.【详解】令()()ln ,(0)g x f x x x =+> ，则()11()()xf x g x f x x x'+''=+=，由于()10xf x '+＞, 故()0g x '>,故()g x 在(0)+∞，单调递增，而1(2)(2)ln2ln ln 202g f =+=+= ，由)(e 0x f x +>，得)>(e (2)x g g ，∴e 2x > ，即ln2x > ,∴不等式)(e 0x f x +>的解集为(ln2)+∞，, 故选：D ．二、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）不等式组230,340.x x x ->⎧⎨-->⎩的解集为_________. 【答案】()4,+∞【解析】【分析】解一元二次不等式取交集即可.【详解】原不等式组化简为3034(4)(1)041x x x x x x x ->>⎧⎧⇒⇒>⎨⎨-+>><-⎩⎩或故答案为：()4,+∞.12．（2019·浙江·高考真题）已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a =【解析】【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()222(2)()2(2)(2)2234{}2]6f t f t a t t t t a t t +-=•[++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤，由折线函数，如图只需11133a -≤-≤，即2433a ≤≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.13．（2023·全国·高三专题练习）若函数f (x )＝ln x ＋e x －sin x ，则不等式f (x －1)≤f (1)的解集为________．【答案】(1，2]【解析】【分析】先利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性解不等式.【详解】解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴()1f x x'=＋e x －cos x . ∵x >0，∴e x >1，∴()f x '>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x －1)≤f (1)，∴0<x －1≤1，即1<x ≤2，则原不等式的解集为(1，2]．故答案为：(1，2]三、双空题14．（2019·北京·高考真题（理））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】 130. 15.【解析】【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值.【详解】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8y y x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元. 所以x 的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）111()12x x x x -≤⎧⎪=⎨⎪⎩，，＞，则()()2f f ＝__，不等式()()32f x f -<的解集为__．【答案】12## 0.5 {x |x 72＜或x ＞5} 【解析】【分析】第一空先求出()2f 的值，再求()()2f f 的值；第二空将3x -分为大于1或小于等于1两种情况讨论，分别解出不等式，写出解集即可.【详解】解：f （2）211122-⎛⎫== ⎪⎝⎭，1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()()122f f =，当x ﹣3＞1时，即x ＞4时，311122x --⎛⎫ ⎪⎝⎭＜，解得x ＞5，当x ﹣3≤1时，即x ≤4时，x ﹣312＜，解得x 72＜，综上所述不等式f （x ﹣3）＜f （2）的解集为752x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或故答案为：12，752x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或．四、解答题16．（2020·山东·高考真题）已知函数()225,02,0x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩. （1）求()1f f ⎡⎤⎣⎦的值；（2）求()13f a -<，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3；（2）35a -<<.【解析】【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；（2）先判断1a -的取值范围，再代入分段函数解析式，得到()13f a -<的具体不等式写法，解不等式即可.【详解】解：（1）因为10>，所以()12153f =⨯-=-，因为30-<，所以()()()()2133233f f f =-=-+⨯⎤⎦-⎣=⎡.（2）因为10a -≥，则()1215f a a -=--，因为()13f a -<，所以2153a --<，即14a -<，解得35a -<<.17．（2021·全国·高考真题（理））已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;（2）若()f x a >-，求a 的取值范围．【答案】（1）(][),42,-∞-+∞.（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简()f x a >-，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞.[方法二]【最优解】：零点分段求解法当1a =时，()|1||3|f x x x =-++．当3x ≤-时，(1)(3)6-+--≥x x ，解得4x ≤-；当31x -<<时，(1)(3)6-++≥x x ，无解；当1≥x 时，(1)(3)6-++≥x x ，解得2x ≥．综上，|1||3|6-++≥x x 的解集为(,4][2,)-∞-+∞．（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+, 故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<，解得32a >-. 所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. [方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值由||x a -是数轴上数x 表示的点到数a 表示的点的距离，得()|||3||3|f x x a x a =-++≥+，故|3|a a +>-，下同解法一.[方法三]：分类讨论+分段函数法当3a ≤-时，23,,()3,3,23,3,x a x a f x a a x x a x -+-<⎧⎪=--≤≤-⎨⎪-+>-⎩则min [()]3=--f x a ，此时3-->-a a ，无解．当3a >-时，23,3,()3,3,23,,x a x f x a x a x a x a -+-<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-+>⎩则min [()]3=+f x a ，此时，由3a a +>-得，32a >-．综上，a 的取值范围为32a >-． [方法四]：函数图象法解不等式由方法一求得()min 3f x a =+后，构造两个函数|3|=+y a 和y a =-，即3,3,3,3a a y a a --<-⎧=⎨+≥-⎩和y a =-，如图，两个函数的图像有且仅有一个交点33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭M ，由图易知|3|a a +>-，则32a >-．【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得()3min f x a =+，利用不等式恒成立的意义得到关于a 的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得()f x 的最小值，最有简洁快速，为最优解法方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求()f x 最小值，要注意函数()f x 中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；方法四与方法一的不同在于得到函数()f x 的最小值后，构造关于a 的函数，利用数形结合思想求解关于a 的不等式.18.（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()2f x x ax =++，R a ∈．(1)若不等式()0f x 的解集为[1，2]，求不等式2()1f x x -的解集；(2)若对于任意的[1x ∈-，1]，不等式()2(1)4f x a x -+恒成立，求实数a 的取值范围；(3)已知2()(2)1g x ax a x =+++，若方程()()f x g x =在1(,3]2有解，求实数a 的取值范围．【答案】(1)(-∞，1][12，)∞+ (2)13a ≤ (3)[0，1）．【解析】【分析】（1）根据不等式的解集转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系求出a ，然后解一元二次不等式即可；（2）问题转化为222x a x --在[1x ∈-，1]恒成立，令22()2x h x x -=-，[1x ∈-，1]，根据函数的单调性求出a 的范围即可；（3）利用参数分离法进行转化求解即可．（1）解：若不等式()0f x 的解集为[1，2]，即1，2是方程220x ax ++=的两个根，则123a +=-=，即3a =-，则2()32f x x x =-+，由2()1f x x -得，22321x x x -+-即22310x x -+得(21)(1)0x x --，得1x 或12x ，即不等式的解集为(-∞，1][12，)∞+．（2）解:不等式()2(1)4f x a x -+恒成立，即222x a x --在[1x ∈-，1]恒成立，令22()2x h x x -=-，[1x ∈-，1]，则2242()(2)x x h x x -+'=-，令()0h x '=，解得：22x =，故()h x 在[1-，22)递增，在(221]递减，故()min h x h =（1）或1()h -，而h （1）1=，1(1)3h -=，故13a ．（3）解：由()()f x g x =得22(2)12ax a x x ax +++=++，2(1)210a x x ∴-+-=，即2(1)12a x x -=-，若方程()()f x g x =在1(2，3]有解，等价为2212121x a x x x --==-有解，设22121()(1)1h x x x x =-=--，1(2x ∈，3]，∴11[3x ∈，2)，即1()0h x -<，即110a --<，则01a <，即实数a 的取值范围是[0，1)．。

不等式的解法

不等式的解法不等式，即数学中用来表示大小关系的符号，它与等式不同的地方在于，不等式可以有无数个解，而不像等式只有一个解。

解不等式的方法有很多种，接下来将介绍几种常见的解不等式的方法。

一、一元一次不等式一元一次不等式是最基本的不等式，它的形式通常为ax+b>0或ax+b<0，其中a和b为已知数，x为未知数。

解一元一次不等式的方法有两种：图解法和代数法。

1. 图解法图解法是通过在数轴上画出所给不等式的解集来解不等式。

首先，我们将不等式中的x系数作为直线的斜率，常数项作为直线的截距，画出不等式对应的直线。

然后，根据不等式符号的方向，涂色标记出不等式的解集。

例如，对于不等式3x+2>0，我们可以画出直线y=3x+2，并根据大于号的方向，将直线上大于0的部分涂色。

2. 代数法代数法是通过代数运算解不等式。

首先，根据不等式符号的方向，确定不等式的类型是大于、小于还是等于。

然后，根据不等式中的系数和常数项，进行加法、减法、乘法和除法运算，将未知数x的系数和常数项移到不等式的一侧，使得不等式变为0的形式。

最后，通过考察几个关键点的取值情况，确定不等式的解集。

二、一元二次不等式一元二次不等式是一元二次方程的不等式形式，它的形式通常为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。

解一元二次不等式的方法有两种：图解法和代数法。

1. 图解法图解法是通过在坐标平面上画出所给不等式的解集来解不等式。

首先，我们将不等式转化为对应的一元二次方程，找到方程的判别式，判断方程的根的情况。

根据根的位置，将坐标平面分为几个区域，并确定每个区域对应的不等式的正负。

然后，将不等式对应的曲线画在坐标平面上，并根据不等式符号的方向，将曲线上符合条件的部分涂色。

2. 代数法代数法是通过代数运算解一元二次不等式。

首先，根据不等式符号的方向，确定不等式的类型是大于、小于还是等于。

然后，根据不等式中的系数和常数项，进行移项、配方、因式分解等运算，将不等式变为一元二次方程的零点形式。

不等式的解法

不等式的解法不等式是数学中常见的问题，解不等式可以帮助我们找到满足特定条件的数值范围。

本文将介绍几种常用的不等式的解法。

一、一元一次一元一次不等式是形如ax+b>c或ax+b<c的不等式，其中a、b、c都是已知的实数，x是未知数。

1. 等价变形法通过对不等式进行等价变形，使得未知数x单独在一边，从而得到不等式的解。

例如，对于不等式3x+4>10，我们可以通过减4，并除以3来消去4和3，得到x>2。

所以x的取值范围为大于2的所有实数。

2. 符号法考虑不等式中的符号，根据不等式关系的性质确定解的范围。

例如，对于不等式5x-7≥8，我们观察到不等式中的符号是≥，根据≥的意义，我们知道等号成立时也是一个解。

所以我们可以解得5x-7=8，得到x=3。

因此，x的取值范围为大于等于3的所有实数。

二、一元二次一元二次不等式是形如ax^2+bx+c>d或ax^2+bx+c<d的不等式，其中a、b、c、d都是已知的实数，x是未知数。

1. 图像法将一元二次不等式转化为二次函数的图像，通过观察函数图像来确定不等式的解。

例如，对于不等式x^2-4x<3，我们可以将不等式转化为方程x^2-4x=3，并求得其根为x=1和x=3。

然后绘制出函数图像y=x^2-4x的图像，在图像上观察x轴上落在1和3之间的部分，即得到不等式的解为1<x<3。

2. 化简法将一元二次不等式进行化简，将不等式转化为一个或多个一元一次不等式，然后求解这些一元一次不等式的解。

例如，对于不等式x^2+2x-3>0，我们可以将不等式因式分解为(x-1)(x+3)>0。

然后我们考虑两个因式的正负情况，得到两个一元一次不等式x-1>0和x+3>0。

解这两个一元一次不等式，得到x>1和x>-3。

因此，x的取值范围为大于1和大于-3的所有实数。

三、多元多元不等式是包含两个或多个未知数的不等式，解多元不等式可以使用代入法、图像法或数学方法。

常见不等式的解法

常见不等式的解法【知识要点】一、一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为(0)ax b a >≠的形式.当0a >时，不等式的解集为b x x a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；当0a <时，不等式的解集为b x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.二、一元二次不等式20(0)ax bx c a ++≥≠的解法1、二次不等式2()0f x ax bx c =++≥（0a >）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答.2、当二次不等式()f x =20(0)ax bx c a ++≥<时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数a 变成正数，再利用上面的方法解答. 3、温馨提示（1）不要把不等式20ax bx c ++>看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析2x 的系数.（2）对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论.（3）如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件. （4）不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性. 三、指数不等式和对数不等式的解法解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法(1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件.①当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩②当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩(2)对指互化法：如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法.对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解.(1)x a b a >>log ()log log x a a a a b x b ⇒>⇒> (01)x a b a ><<log ()log log x a a a a b x b ⇒<⇒<log 00log (1)aa xb x x x b a x b aa >>⎧⎧>⇒⇒>⎨⎨>>⎩⎩其中log 00log (1)aa xb x x x b a x b a a >>⎧⎧>⇒⇒<<⎨⎨<<⎩⎩其中0四、分式不等式的解法把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成()0()f x g x ≥的形式→化成不等式组()0()()0g x f x g x ≠⎧⎨≥⎩→解不等式组得解集.温馨提示：解分式不等式一定要考虑定义域. 五、高次不等式的解法先把高次不等式分解因式化成123()()()()0n x a x a x a x a ---->的形式（x 的系数必须为正）→标记方程的实根（注意空心和实心之分）→穿针引线，从右往左，从上往下穿（奇穿偶不穿）→写出不等式的解集.实际上，序轴标根法适用于所有的整式不等式，根据它可以很快地写出整式不等式的解集. 六、绝对值不等式的解法方法一：公式法解只含有一个绝对值形如()ax b c +><的不等式，一般直接用公式x a x a x a >⇔><-或 x a a x a <⇔-<<，注意集合的关系和集合的运算，集合的运算主要利用数轴.方法二：零点讨论法解含有两个绝对值形如()x a x b c +++><的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.方法三：平方法如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：3x >，可以使用平方法. 七、无理不等式的解法无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答.无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，)()(x g x f ≥可转化为)()(x g x f >或)()(x g x f =，而)()(x g x f >等价于：⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f 或⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥2)]([)(0)(0)(x g x f x g x f ．八、抽象的函数不等式的解法一般利用函数的单调性解答，先研究函数的单调性，再利用函数的单调性把抽象的函数不等式转化成具体的函数不等式解答. 学科#网【方法讲评】【例1】解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ．②当0>a 时，①式变为0)1)(1(<--x ax ． ② ∵a a a -=-111，∴当10<<a 时，11>a ，此时②的解为ax 11<<．当1=a 时，11=a ，此时②的解为11<<x a．【点评】解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>=<<><≠=∈11100000a a a a a a a R a 分类应做到使所给参数a 的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论0<a 时，解一元二次不等式01)1(2<++-x a ax 应首选做到将二次项系数变为正数再求解．【反馈检测1】解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ．【例2】解不等式211126()82x x ---⨯<【点评】解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解.【反馈检测2】解关于x 的不等式：)22(223x x x xa --<-（其中0a >）【例3】已知0>a 且1a ≠，关于x 的不等式1xa >的解集是{}0x x >，解关于x 的不等式1log ()0a x x-<的解集.【点评】本题选同底法解答，把0写成log 1a ，再利用对数函数的图像和性质将不等式变成分式不等式组解答.【反馈检测3】解不等式21log (2)1x x x +-->.【例4】解关于x 的不等式12>-x【点评】分析：若将原不等式移项、通分整理可得：02)2()1(>----x a x a ⇔0)2)](2()1[(>----x a x a显然，现在有两个问题：（1）1a -的符号怎样？（2）12--a a 与2的大小关系怎样？这也就是本题的分类标准所在.【反馈检测4】解不等式x xx x x <-+-+222322．)(n x a -数必须为正）→标记方程的实根（注意空心和实心之分）→穿针引线，从右往左，从上【例5】解不等式： 015223>--x x x【点评】如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．学科#网【反馈检测5】0)2()5)(4(32<-++x x x【例6】|5||23|1x x --+<【点评】该题由于有两个不等式，所以一般利用零点讨论法.对于含有两个和两个以上的不等式，一般利用零点讨论法.【反馈检测6】解不等式242+<-x x【例7】解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ．【解析】原不等式⎪⎩⎪⎨⎧->-≥->-⇔;)1(2,01,02)1(222x a ax x a ax 或⎩⎨⎧<-≥-.01,02)2(2x a x由0>a ，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+++-≤>⇔;01)1(2,1,2)1(22a x a x x a x ⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇔.1,2)2(x a x由判别式08)1(4)1(422>=+-+=∆a a a ，故不等式01)1(222<+++-a x a x 的解是a a x a a 2121++<<-+．当20≤<a 时，1212≤-+≤a a a，121>++a a ，不等式组(1)的解是121≤<-+x a a ，不等式组(2)的解是1>x ．当2>a 时，不等式组(1)无解，(2)的解是2a x ≥．综上可知，当20≤<a时，原不等式的解集是[)+∞-+,21a a ；当2>a 时，原不等式的解集是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a ．【点评】本题分类讨论标准“20≤<a ，2>a ”是依据“已知0>a 及(1)中‘2ax >，1≤x ’，(2)中‘2ax ≥，1>x ’”确定的．解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点．一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定．本题易误把原不等式等价于不等式)1(22x a ax ->-．纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法．【反馈检测7】解不等式x x x ->--81032．【例8】若非零函数对任意实数均有，且当时，. （1）求证：；（2）求证：为减函数；（3）当时，解不等式.（3）由原不等式转化为，结合（2）得：故不等式的解集为【点评】（1）第（3）问的关键是找到1(?)4f =，再利用函数的单调性把抽象的函数不等式转化成具()f x ,a b ()()()f a b f a f b +=0x <()1f x >()0f x >()f x 1(4)16f =21(3)(5)4f x f x --≤211(4)(2)1(2)164f f f ==⇒=，由（）)2()53(2f x x f ≤-+-10222≤≤⇒≥-+x x x {}10|≤≤x x体函数不等式.【反馈检测8】函数对任意(0)x y ∈+∞，，满足()()()f xy f x f y =+且当1x >时，()0f x <. （l ）判断函数的单调性并证明相关结论；（2）若(2)1f =-，试求解关于x 的不等式()(3)2f x f x +-≥-.【反馈检测9】【2017江苏，11】已知函数31()2e e x xf x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若 2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是 .不等式的解法参考答案【反馈检测1答案】见解析【反馈检测2答案】见解析【反馈检测2详细解析】解原不等式得：即),12()12(2222-<-x xxa0)14)(4(),14()14(4<--∴-<-x x x x x a a)0,(log ,14,104a a a x 此时不等式的解集为时当<<<<此时不等式无解时当,0)14(,12<-=x a )log ,0(,41,14a a a x 此时不等式的解集为时当<<>【反馈检测3答案】3x >()f x ()fx【反馈检测3详细解析】[法一]原不等式同解于所以原不等式的解为3x >.[法二]原不等式同解于211log (2)log (1)x x x x x ++-->+所以原不等式的解为3x >.【反馈检测4答案】}321{><<-x x x 或【反馈检测5答案】{}2455>-<<--<x x x x 或或【反馈检测5详细解析】原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或【反馈检测6答案】{}31<<x x【反馈检测6详细解析】解法一：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+<-<-⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥-⇔240424042222x x x x x x 或即⎩⎨⎧>-<<<-⎩⎨⎧<<--≤≥1222222x x x x x x x 或或或 ∴32<≤x 或21<<x 故原不等式的解集为{}31<<x x ．解法二：原不等式等价于 24)2(2+<-<+-x x x即⎪⎩⎪⎨⎧+->-+<-)2(42422x x x x ∴312132<<⎩⎨⎧-<><<-x x x x 故或．【反馈检测7答案】⎭⎬⎫⎩⎨⎧>1374x x【反馈检测8答案】（1）()f x 在(0,)+∞上单调递减；（2）{34}x x <≤.学科#网【反馈检测8详细解析】（1）()f x 在(0,)+∞上单调递减1212,,(0,)x x x x <∈+∞任取且 2221111()()()()x x f x f x f x f x x =⋅=+则 2211()()()x f x f x f x ∴-= 120x x << 21()0x f x ∴< 2112()()0()()f x f x f x f x ∴-<>即 ()(0,)f x ∴+∞在单调递减（2）2)2()2()4(-=+=f f f ((3))(4f x x f ∴-≥原不等式可化为 ()0f x +∞又在（，）上单调递增030(3)4x x x x >⎧⎪∴->⎨⎪-≤⎩34x <≤解得 {34}x x ∴<≤原不等式解集为. 【反馈检测9答案】1[1,]2-。

不等式的解法

不等式的解法不等式是数学中常见的一种表示数值关系的方法。

解不等式就是找出使不等式成立的数值范围。

在解不等式时，可以通过几种常见的方法来确定解集。

一、图像法图像法适用于简单的一元一次不等式。

通过将不等式转化为直线的形式，并在数轴上画出对应的线段，可以直观地找到满足不等式的数值范围。

例如，对于不等式x + 3 > 2，我们可以将其转化为x > -1的形式。

在数轴上，我们可以画出一个开口向右的箭头，箭头的起点为-1，表示解集为大于-1的所有实数。

二、代入法代入法是一种常见的解不等式的方法，特别适用于含有绝对值的不等式。

通过将可能的解代入到不等式中，验证是否满足不等式的关系，可以逐步缩小解集。

例如，对于不等式|2x - 3| < 5，我们可以先将其拆分成两个不等式：2x - 3 < 5和2x - 3 > -5。

然后分别解这两个不等式，可以得到解集为-1 < x < 4。

三、性质法性质法是解不等式的一种常用方法，通过利用不等式的性质和常用不等式的性质，可以快速求解不等式。

例如，对于不等式x^2 - 4x > 3，我们可以将其转化为x^2 - 4x - 3 > 0的形式。

通过因式分解或配方法，可以求得该不等式的根为x > 3或x < 1。

然后，结合二次函数的凹凸性质，可以得到解集为x < 1或x > 3。

四、区间法区间法是一种用于求解一元二次不等式的常用方法。

通过将一元二次不等式转化为标准形式，然后结合图像法和区间划分的方法，可以求解出不等式的解集。

例如，对于不等式x^2 - 5x + 6 > 0，可以将其转化为(x - 2)(x - 3) > 0的形式。

通过将x^2 - 5x + 6 = 0的根-1, 2, 3绘制在数轴上，并观察函数的正负性，可以得到解集为-1 < x < 2或x > 3。

综上所述，解不等式的方法有很多种，包括图像法、代入法、性质法和区间法等。

不等式的解法

不等式的解法不等式是数学中常见的一种关系式，描述了数值之间的大小关系。

它是由不等号（例如>, <, ≥, ≤, ≠）连接的两个数或表达式组成的。

解不等式就是找出满足该不等式的所有数值。

在解不等式的过程中，需要考虑不等式中的未知数、常数以及可能存在的绝对值、平方根等特殊情况。

以下是几种常见的不等式解法方法：一、加减法解不等式若不等式中的未知数带有符号，并且仅涉及到加减法运算，则可以通过移项的方式解不等式。

具体步骤如下：1. 将所有含有未知数的项放在一边，将常数放在另一边，确保未知数的系数为正数；2. 合并同类项；3. 如果未知数系数为负数，将不等号反转；4. 如果不等式两侧都含有未知数，则根据大小关系进行筛选；5. 最后化简，得到不等式的解。

举例说明：解不等式2x + 5 < 7 - x。

1. 将所有含有未知数的项放在一边，将常数放在另一边，得到2x + x < 7 - 5；2. 合并同类项，得到3x < 2；3. 未知数系数为正数，不需要改变不等号；4. 进行筛选，得到x < 2/3；5. 最后化简，得到解集{x | x < 2/3}。

二、乘除法解不等式若不等式中的未知数带有符号，并且仅涉及到乘除法运算，则可以通过乘除法的逆运算解不等式。

具体步骤如下：1. 将不等式中的未知数项移动一侧，将常数项移动到另一侧；2. 如果是乘法，则将未知数系数为正数；3. 如果是除法，则需考虑被除数符号与除数符号的关系；4. 根据大小关系进行筛选；5. 最后化简，得到不等式的解。

举例说明：解不等式3x - 4 > 2x + 1。

1. 将未知数项移动到一侧，将常数项移动到另一侧，得到3x - 2x > 1 + 4；2. 未知数系数为正数，不需要改变不等号；3. 进行筛选，得到x > 5；4. 最后化简，得到解集{x | x > 5}。

三、绝对值不等式的解法对于含有绝对值的不等式，需要分情况进行讨论。

不等式的解法高中数学公式

不等式的解法高中数学公式
高中数学常见的不等式解法有如下几种公式：
1. 二次函数法：
对于一元二次不等式，可以将其转化为二次函数的求解问题。

首先对不等式中的二次项与常数项进行合并，得到一个一元二次函数。

然后通过求解二次函数的根或者根的位置来确定不等式的解集。

2. 直接法：
对于一些简单的不等式，可以直接通过对不等式进行变形，化简得到最终结果。

常见的直接法有加减法、乘除法等。

3. 分段讨论法：
对于一个包含多个不等式的复合不等式，可以将复合不等式拆分成若干个简单的不等式，并通过讨论每个简单不等式的解集的情况来确定复合不等式的解集。

4. 取模法：
对于一些涉及取模的不等式，可以通过取模运算的性质来进行求解。

通过去除不等式中的取模运算，将其转化为普通的不等式，进而求解得到最终结果。

5. 绝对值法：
对于一些含有绝对值的不等式，可以通过绝对值的性质来进行求解。

通过分情况讨论绝对值的取值范围，进而求解得到最终结果。

以上是高中数学中常见的不等式解法公式，通过灵活应用这些公式，可以有效地解决各种不等式问题。

基本不等式的所有公式及常用解法

基本不等式的所有公式及常用解法
基本不等式是数学中一种重要的概念，它可以帮助我们解决许多复杂的问题。

基本不等式的公式有许多，其中最常用的是加法不等式、乘法不等式、减法不等式和比较不等式。

加法不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有a+b≥0。

加法不等式的解法是：若a、b是
任意实数，则可以将a+b≥0转化为a≥-b，从而得出a的取值范围。

乘法不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有ab≥0。

乘法不等式的解法是：若a、b是任
意实数，则可以将ab≥0转化为a≥0或b≥0，从而得出a、b的取值范围。

减法不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有a-b≥0。

减法不等式的解法是：若a、b是
任意实数，则可以将a-b≥0转化为a≥b，从而得出a的取值范围。

比较不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有a>b或a<b。

比较不等式的解法是：若a、b
是任意实数，则可以将a>b或a<b转化为a-b>0或a-b<0，从而得出a的取值范围。

基本不等式的公式和解法可以帮助我们解决许多复杂的问题，它们在生活中也有着重要的作用。

比如，当我们在购物时，可以利用基本不等式的公式和解法来比较价格，从而节省购物费用。

此外，基本不等式的公式和解法还可以帮助我们解决许多其他的问题，比如计算投资回报率、计算贷款利息等。

总之，基本不等式的公式和解法对我们的生活娱乐有着重要的意义，它们可以帮助我们解决许多复杂的问题，节省购物费用，计算投资回报率和贷款利息等。

不等式的解法

不等式的解法数学中的不等式是我们在初中阶段学习的重要内容之一。

解不等式是解决数学问题的基本技能，也是我们日常生活中需要运用的数学知识。

在这篇文章中，我将为大家介绍几种常见的不等式解法，并通过具体的例子来说明。

一、一元一次一元一次不等式是最基础的不等式类型，它的解法与一元一次方程类似。

我们以不等式2x + 3 > 5为例进行讲解。

首先，我们将不等式中的等号去掉，得到2x + 3 = 5。

然后，我们根据方程的性质，将x的系数化为1，得到x + 3/2 = 5/2。

最后，我们将x的系数化为1后的方程进行求解，得到x = 1/2。

根据不等式的性质，我们可以知道，当x > 1/2时，不等式2x + 3 > 5成立。

因此，不等式的解集为x > 1/2。

二、一元二次一元二次不等式是稍微复杂一些的不等式类型，它的解法需要运用到二次函数的性质。

我们以不等式x^2 - 4x + 3 > 0为例进行讲解。

首先，我们将不等式中的等号去掉，得到x^2 - 4x + 3 = 0。

然后，我们求出方程的根，得到x = 1和x = 3。

接下来，我们将数轴分成三段：x < 1，1 < x < 3和x > 3。

我们可以通过代入法来判断每一段的取值范围。

当x < 1时，代入x = 0，得到0^2 - 4*0 + 3 = 3 > 0，因此不等式在这一段成立。

当1 < x < 3时，代入x = 2，得到2^2 - 4*2 + 3 = -1 < 0，因此不等式在这一段不成立。

当x > 3时，代入x = 4，得到4^2 - 4*4 + 3 = 7 > 0，因此不等式在这一段成立。

综上所述，不等式的解集为x < 1或x > 3。

三、绝对值绝对值不等式是一种常见的不等式类型，它的解法需要运用到绝对值的性质。

我们以不等式|2x - 3| < 5为例进行讲解。

不等式的解法

不等式的解法●知识梳理1.一元一次不等式的解法.任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b （a ≠0）的形式. 当a ＞0时，解集为{x |x ＞ab }；当a ＜0时，解集为{x |x ＜ab }.2.一元二次不等式的解法.任何一个一元二次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax 2+bx +c ＞0（或＜0）（其中a ＞0）的形式，再根据“大于取两边，小于夹中间”求解集.3.简单的高次不等式、分式不等式的求解问题可采用“数轴标根法”.思考讨论用“数轴标根法”解高次、分式不等式时，对于偶次重根应怎样处理? ●点击双基1.（2004年全国Ⅳ，5）不等式32-+x x x ）（＜0的解集为A.{x |x ＜－2或0＜x ＜3}B.{x |－2＜x ＜0或x ＞3}C.{x |x ＜－2或x ＞0}D.{x |x ＜0或x ＞3} 解析：在数轴上标出各根.-2 0 3答案：A2.（2003年北京）若不等式|ax +2|＜6的解集为（－1，2），则实数a 等于 A.8 B.2 C.－4 D.－8 解析：由|ax +2|＜6得－6＜ax +2＜6，即－8＜ax ＜4.∵不等式|ax +2|＜6的解集为（－1，2），易检验a =－4. 答案：C3.（2003年重庆市诊断性考试题）已知函数f （x ）是R 上的增函数，A （0，－1）、B （3，1）是其图象上的两点，那么| f （x +1）|＜1的解集是A.（1，4）B.（－1，2）C.（－∞，1］∪［4，+∞）D.（－∞，－1］∪［2，+∞）解析：由题意知f （0）=－1，f （3）=1.又| f （x +1）|＜1⇔－1＜f （x +1）＜1，即f （0）＜f （x +1）＜f （3）.又f （x ）为R 上的增函数， ∴0＜x +1＜3.∴－1＜x ＜2.答案：B 4.（理）（2003年山东潍坊市第二次模拟考试题）不等式x 2－|x －1|－1≤0的解集为____________.解析：当x －1≥0时，原不等式化为x 2－x ≤0，解得0≤x ≤1.∴x =1；当x －1＜0时，原不等式化为x 2+x －2≤0，解得－2≤x ≤1.∴－2≤x ＜1. （文）不等式ax 2+（ab +1）x +b ＞0的解集为{x |1＜x ＜2}，则a +b =_______. 解析：∵ax 2+（ab +1）x +b ＞0的解集为{x |1＜x ＜2}，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-<.2310aba ab a ，，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=121b a ，或⎩⎨⎧-=-=.21b a ，∴a +b =－23或－3. 5.不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式ax 2－bx +c ＞0的解集为_______. 解析：令f （x ）=ax 2+bx +c ，其图象如下图所示，xyy y O = = f x ( )f x ()-3 -2 2 3-再画出f （－x ）的图象即可.答案：{x |－3＜x ＜－2} ●典例剖析【例1】解不等式3252---x x x＜－1.剖析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x 的多项式的商，而右边是非零常数，故需移项通分，右边变为零，再利用商的符号法则，等价转化成整式不等式组.解：原不等式变为3252---x xx＋1＜0，即322322--+-x xx x ＜0⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-⎪⎩⎪⎨⎧>--<+-⇔0320230320232222x x x x x x x x 或，－1＜x ＜1或2＜x ＜3.∴原不等式的解集是｛x ｜－1＜x ＜1或2＜x ＜3｝.【例2】求实数m 的范围，使y =lg ［mx 2+2（m +1）x +9m +4］对任意x ∈R 恒有意义. 剖析：mx 2+2（m +1）x +9m +4＞0恒成立的含义是该不等式的解集为R . 故应⎩⎨⎧>.00＜，Δm解：由题意知mx 2+2（m +1）x +9m +4＞0的解集为R ，则⎩⎨⎧<+-+=>.04941402）（）（，m m m Δm 解得m ＞41. 评述：二次不等式ax 2+bx +c ＞0恒成立的条件：⎩⎨⎧<>.00Δa ，若未说明是二次不等式还应讨论a =0的情况.思考讨论本题若要使值域为全体实数，m 的范围是什么? 提示：对m 分类讨论，m =0适合. 当m ≠0时，⎩⎨⎧≥>.00Δm ，解m 即可.【例3】若不等式2x －1＞m （x 2－1）对满足|m |≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围. 剖析：对于m ∈［－2，2］，不等式2x －1＞m （x 2－1）恒成立，把m 视为主元，利用函数的观点来解决.解：原不等式化为（x 2－1）m －（2x －1）＜0. 令f （m ）=（x 2－1）m －（2x －1）（－2≤m ≤2）.则⎪⎩⎪⎨⎧<---=<----=-.01212201212222）（）（）（，）（）（）（x x f x x f 解得271+-＜x ＜231+.深化拓展1.本题若变式：不等式2x －1＞m （x 2－1）对一切－2≤x ≤2都成立，求m 的取值范围.2.本题若把m 分离出来再求m 的范围能行吗? ●闯关训练夯实基础1.（2004年重庆，4）不等式x +12+x ＞2的解集是 A.（－1，0）∪（1，+∞） B.（－∞，－1）∪（0，1） C.（－1，0）∪（0，1）D.（－∞，－1）∪（1，+∞）解法一：x +12+x ＞2⇔x －2+12+x ＞0⇔11+-x x x ）（＞0⇔x （x －1）（x +1）＞0⇔－1＜x ＜0或x ＞1.解法二：验证，x =－2、21不满足不等式，排除B 、C 、D.2.设f （x ）和g （x ）都是定义域为R 的奇函数，不等式f （x ）＞0的解集为（m ，n ），不等式g （x ）＞0的解集为（2m ，2n ），其中0＜m ＜2n ，则不等式f （x ）·g （x ）＞0的解集是A.（m ，2n ）B.（m ，2n ）∪（－2n ，－m ）C.（2m ，2n ）∪（－n ，－m ）D.（2m ，2n ）∪（－2n ，－2m ）解析：f （x ）、g （x ）都是定义域为R 的奇函数，f （x ）＞0的解集为（m ，n ），g （x ）＞0的解集为（2m ，2n ）.∴f （－x ）＞0的解集为（－n ，－m ），g （－x ）＞0的解集为（－2n，－2m ），即f （x ）＜0的解集为（－n ，－m ），g （x ）＜0的解集为（－2n ，－2m ）.由f （x ）·g （x ）＞0得⎩⎨⎧>>00）（，）（x g x f 或⎩⎨⎧<<.00）（，）（x g x f .又0＜m ＜2n，∴m ＜x ＜2n 或－2n ＜x ＜－m .3.若关于x 的不等式－21x 2+2x ＞mx 的解集为{x |0＜x ＜2}，则实数m 的值为_______.解析：由题意，知0、2是方程－21x 2+（2－m ）x =0的两个根，∴－212--m =0+2.∴m =1.4.（2004年浙江，13）已知f （x ）=⎩⎨⎧<-≥.0101x x ，则不等式x +（x +2）·f （x +2）≤5的解集是____________.解析：当x +2≥0，即x ≥－2时.x +（x +2）f （x +2）≤5⇔2x +2≤5⇔x ≤23.∴－2≤x ≤23.当x +2＜0即x ＜－2时，x +（x +2）f （x +2）≤5 ⇔x +（x +2）·（－1）≤5⇔－2≤5，∴x ＜－2.综上x ≤23.5.（2004年宣武二模题）定义符号函数sgn x =⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.010001）（），（），（x x x 当x ∈R 时，解不等式（x +2）＞（2x －1）sgn x .解：当x ＞0时，原不等式为x +2＞2x －1.∴0＜x ＜3.当x =0时，成立.当x ＜0时，x +2＞121-x .x －121-x +2＞0.1224122--+--x x x x＞0.123322--+x x x＞0.∴－4333+＜x ＜0.综上，原不等式的解集为{x |－4333+＜x ＜3}.6.（2003年北京西城区一模题）解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax （a ∈R ）. 解：原不等式变形为ax 2+（a －2）x －2≥0. ①a =0时，x ≤－1；②a ≠0时，不等式即为（ax －2）（x +1）≥0，当a ＞0时，x ≥a2或x ≤－1；由于a2－（－1）=aa 2+，于是当－2＜a ＜0时，a2≤x ≤－1；当a =－2时，x =－1；当a ＜－2时，－1≤x ≤a2.综上，当a =0时，x ≤－1；当a ＞0时，x ≥a2或x ≤－1；当－2＜a ＜0时，a2≤x ≤－1；当a =－2时，x =－1；当a ＜－2时，－1≤x ≤a2.培养能力7.（2004年春季安徽）解关于x 的不等式log a 3x ＜3log a x （a ＞0，且a ≠1）. 解：令y =log a x ，则原不等式化为y 3－3y ＜0，解得y ＜－3或0＜y ＜3，即log a x ＜－3或0＜log a x ＜3. 当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |x ＞a 3-}∪{x |a3＜x ＜1}；当a ＞1时，不等式的解集为{x |0＜x ＜a 3-}∪{x |1＜x ＜a3}.8.有点难度哟！（2003年天津质量检测题）已知适合不等式|x 2－4x +a |+|x －3|≤5的x 的最大值为3，求实数a 的值，并解该不等式.解：∵x ≤3，∴|x －3|=3－x .若x 2－4x +a ＜0，则原不等式化为x 2－3x +a +2≥0.此不等式的解集不可能是集合{x |x ≤3}的子集，∴x 2－4x +a ＜0不成立.于是，x 2－4x +a ≥0，则原不等式化为x 2－5x +a －2≤0.∵x ≤3，令x 2－5x +a －2=（x －3）（x －m ）=x 2－（m +3）x +3m ，比较系数，得m =2，∴a =8. 此时，原不等式的解集为{x |2≤x ≤3}. 探究创新9.关于x 的不等式⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--055220222k x k x x x ）（，的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围.解：由x 2－x －2＞0可得x ＜－1或x ＞2.∵⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--055220222k x k x x x ）（，的整数解为x =－2，又∵方程2x 2+（2k +5）x +5k =0的两根为－k 和－25.①若－k ＜－25，则不等式组的整数解集合就不可能为{－2}；②若－25＜－k ，则应有－2＜－k ≤3.∴－3≤k ＜2.综上，所求k 的取值范围为－3≤k ＜2.●思悟小结1.一元二次不等式的解集与二次项系数及判别式的符号有关.2.解分式不等式要使一边为零，转化为不等式组.如果能分解，可用数轴标根法或列表法.3.解高次不等式的思路是降低次数，利用数轴标根法求解较为容易.4.解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论. ●教师下载中心教学点睛1.解不等式的过程，实质上是不等式等价转化过程.因此在教学中向学生强调保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则.2.各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来解，这体现了转化与化归的数学思想.3.解不等式几乎是每年高考的必考题，重点仍是含参数的有关不等式，对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确. 拓展题例【例1】（2003年南京市第二次质量检测题）解关于x 的不等式12-ax ax＞x （a ∈R ）.解法一：由12-ax ax＞x ，得12-ax ax－x ＞0，即1-ax x ＞0.此不等式与x （ax －1）＞0同解.若a ＜0，则a1＜x ＜0；若a =0，则x ＜0；若a ＞0，则x ＜0或x ＞a1.综上，a ＜0时，原不等式的解集是（a1，0）；a =0时，原不等式的解集是（－∞，0）； a ＞0时，原不等式的解集是（－∞，0）∪（a 1，+∞）. 解法二：由12-ax ax＞x ，得12-ax ax－x ＞0，即1-ax x＞0.此不等式与x （ax －1）＞0同解. 显然，x ≠0.（1）当x ＞0时，得ax －1＞0.若a ＜0，则x ＜a1，与x ＞0矛盾，∴此时不等式无解；若a =0，则－1＞0，此时不等式无解；若a ＞0，则x ＞a1.（2）当x ＜0时，得ax －1＜0.若a ＜0，则x ＞a1，得a1＜x ＜0；若a =0，则－1＜0，得x ＜0；若a ＞0，则x ＜a1，得x ＜0.综上，a ＜0时，原不等式的解集是（a1，0）；a =0时，原不等式的解集是（－∞，0）；a ＞0时，原不等式的解集是（－∞，0）∪（a1，+∞）.【例2】 f （x ）是定义在（－∞，3］上的减函数，不等式f （a 2－sin x ）≤f （a +1+cos 2x ）对一切x ∈R 均成立，求实数a 的取值范围.解：由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++≥-≤++≤-x a x a x a x a 2222cos 1sin 3cos 13sin ，，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--≥---≤+≤222221sin 49cos 2sin 3）（，，x a a x a x a 对x ∈R 恒成立.故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--≥--≤≤max22221sin 4912）（，，x a a a a ∴－2≤a ≤2101-.●知识梳理1.|x |＞a ⇔x ＞a 或x ＜－a （a ＞0）； |x |＜a ⇔－a ＜x ＜a （a ＞0）.2.形如|x －a |+|x －b |≥c 的不等式的求解通常采用“零点分段讨论法”.3.含参不等式的求解，通常对参数分类讨论.4.绝对值不等式的性质： ||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |. 思考讨论1.在|x |＞a ⇔x ＞a 或x ＜－a （a ＞0）、|x |＜a ⇔－a ＜x ＜a （a ＞0）中的a ＞0改为a ∈R 还成立吗?2.绝对值不等式的性质中等号成立的条件是什么?●点击双基1.（2003年成都第三次诊断题）设a 、b 是满足ab ＜0的实数，那么 A.|a +b |＞|a －b | B.|a +b |＜|a －b | C.|a －b |＜||a |－|b || D.|a －b |＜|a |+|b | 解析：用赋值法.令a =1，b =－1，代入检验.2.（2004年春季安徽）不等式|2x 2－1|≤1的解集为 A.{x |－1≤x ≤1}B.{x |－2≤x ≤2}C.{x |0≤x ≤2}D.{x |－2≤x ≤0}解析：由|2x 2－1|≤1得－1≤2x 2－1≤1. ∴0≤x 2≤1，即－1≤x ≤1.3.不等式|x +log 3x |＜|x |+|log 3x |的解集为 A.（0，1） B.（1，+∞） C.（0，+∞）D.（－∞，+∞）解析：∵x ＞0，x 与log 3x 异号， ∴log 3x ＜0.∴0＜x ＜1. 4.已知不等式a ≤||22x x+对x 取一切负数恒成立，则a 的取值范围是____________.解析：要使a ≤||22x x +对x 取一切负数恒成立，令t =|x |＞0，则a ≤tt22+.而tt22+≥tt 22=22，∴a ≤22.答案：a ≤225.已知不等式|2x －t |+t －1＜0的解集为（－21，21），则t =____________.解析：|2x －t |＜1－t ，t －1＜2x －t ＜1－t ，2t －1＜2x ＜1，t －21＜x ＜21.∴t =0.●典例剖析【例1】解不等式|2x +1|+|x －2|＞4.剖析：解带绝对值的不等式，需先去绝对值，多个绝对值的不等式必须利用零点分段法去绝对值求解.令2x +1=0，x －2=0，得两个零点x 1=－21，x 2=2.解：当x ≤－21时，原不等式可化为－2x －1+2－x ＞4，∴x ＜－1.当－21＜x ≤2时，原不等式可化为2x +1+2－x ＞4，∴x ＞1.又－21＜x ≤2，∴1＜x ≤2.当x ＞2时，原不等式可化为2x +1+x －2＞4，∴x ＞35.又x ＞2，∴x ＞2.综上，得原不等式的解集为{x |x ＜－1或1＜x }. 深化拓展若此题再多一个含绝对值式子.如：|2x +1|+|x －2|+|x －1|＞4，你又如何去解？分析：令2x +1=0，x －2=0，x －1=0，得x 1=－21，x 2=1，x 3=2.解：当x ≤－21时，原不等式化为－2x －1+2－x +1－x ＞4，∴x ＜－21.当－21＜x ≤1时，原不等式可化为2x +1+2－x +1－x ＞4，4＞4（矛盾）.当1＜x ≤2时，原不等式可化为2x +1+2－x +x －1＞4，∴x ＞1. 又1＜x ≤2，∴1＜x ≤2.当x ＞2时，原不等式可化为2x +1+x －2+x －1＞4，∴x ＞23.又x ＞2，∴x ＞2.综上所述，原不等式的解集为{x |x ＜－21或x ＞1}.【例2】解不等式｜x 2－9｜≤x ＋3.剖析：需先去绝对值，可按定义去绝对值，也可利用|x |≤a ⇔－a ≤x ≤a 去绝对值.解法一：原不等式⇔（1）⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-390922x x x ，或（2）⎪⎩⎪⎨⎧+≤-<-.390922x x x ，不等式（1）⇔⎩⎨⎧≤≤-≥≤4333x x x 或⇔x ＝－3或3≤x ≤4；不等式（2）⇔⎩⎨⎧≥-≤<<-2333x x x 或⇔2≤x ＜3.∴原不等式的解集是｛x ｜2≤x ≤4或x ＝－3｝.解法二：原不等式等价于⎩⎨⎧+≤-≤+-≥+393032x x x x ）（⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤-≥4333x x x ，或x ≥2⇔x=－3或2≤x ≤4. ∴原不等式的解集是｛x ｜2≤x ≤4或x ＝－3｝. 【例3】（理）已知函数f （x ）=x |x －a |（a ∈R ）. （1）判断f （x ）的奇偶性；（2）解关于x 的不等式：f （x ）≥2a 2. 解：（1）当a =0时， f （－x ）=－x |－x |=－x |x |=－f （x ）， ∴f （x ）是奇函数.当a ≠0时，f （a ）=0且f （－a ）=－2a |a |.故f （－a ）≠f （a ）且f （－a ）≠－f （a ）. ∴f （x ）是非奇非偶函数. （2）由题设知x |x －a |≥2a 2， ∴原不等式等价于⎩⎨⎧≥+-<222aax xa x ， ①或⎩⎨⎧≥-≥.222a ax xa x ， ②由①得⎩⎨⎧≤+-<.0222a ax x a x ，x ∈∅.由②得⎩⎨⎧≥+-≥.02））（（，a x a x a x 当a =0时，x ≥0.当a ＞0时，⎩⎨⎧-≥≤≥，或，a x a x a x 2∴x ≥2a .当a ＜0时，⎩⎨⎧-≤≥≥，或，a x a x a x 2x≥－a . 综上a ≥0时，f （x ）≥2a 2的解集为{x |x ≥2a }；a ＜0时，f （x ）≥2a 2的解集为{x |x ≥－a }.（文）设函数f （x ）=ax +2，不等式| f （x ）|＜6的解集为（－1，2），试求不等式）（x f x ≤1的解集.解：|ax +2|＜6，∴（ax +2）2＜36，即a 2x 2+4ax －32＜0.由题设可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-.2321422aa a ，解得a =－4.∴f （x ）=－4x +2.由）（x f x≤1，即24+-x x ≤1可得2425--x x ≥0.解得x ＞21或x ≤52.∴原不等式的解集为{x |x ＞21或x ≤52}.●闯关训练夯实基础1.（2003年北京海淀区一模题）已知集合A ={x |a －1≤x ≤a +2}，B ={x |3＜x ＜5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是A.{a |3＜a ≤4}B.{a |3≤a ≤4}C.{a |3＜a ＜4}D.∅解析：由题意知⎩⎨⎧≥+≤-，，5231a a 得3≤a ≤4.2.不等式|x 2+2x |＜3的解集为____________. 解析：－3＜x2+2x ＜3，即⎪⎩⎪⎨⎧>++<-+.03203222x x x x ，∴－3＜x ＜1.3.（2004年全国Ⅰ，13）不等式|x +2|≥|x |的解集是____________.解法一：|x +2|≥|x |⇔（x +2）2≥x 2⇔4x +4≥0⇔x ≥－1.解法二：在同一直角坐标系下作出f （x ）=|x +2|与g （x ）=|x |的图象，根据图象可得x ≥－1.|解法三：根据绝对值的几何意义，不等式|x +2|≥|x |表示数轴上x 到－2的距离不小于到0的距离，∴x ≥－1.答案：{x |x ≥－1}评述：本题的三种解法均为解绝对值不等式的基本方法，必须掌握. 4.（2004年春季北京）当0＜a ＜1时，解关于x 的不等式a 12-x ＜a x －2.解：由0＜a ＜1，原不等式可化为12-x ＞x －2.这个不等式的解集是下面不等式组①及②的解集的并集.⎩⎨⎧<-≥-02012x x ， ⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-.212020122）（，，x x x x解不等式组①得解集为{x |21≤x ＜2}，解不等式组②得解集为{x |2≤x ＜5}，所以原不等式的解集为{x |21≤x ＜5}.5.关于x 的方程3x 2－6（m －1）x +m 2+1=0的两实根为x 1、x 2，若|x 1|+|x 2|=2，求m 的值.解：x 1、x 2为方程两实根，∴Δ=36（m －1）2－12（m 2+1）≥0.∴m ≥253+或m ≤253-.又∵x 1·x 2=212+m＞0，∴x 1、x 2同号.∴|x 1|+|x 2|=|x 1+x 2|=2|m －1|.于是有2|m －1|=2，∴m =0或2.∴m =0. 培养能力 6.解不等式212-x≤||1x .解：（1）当x 2－2＜0且x ≠0，即当－2＜x ＜2且x ≠0时，原不等式显然成立．（2）当x 2－2＞0时，原不等式与不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥->||22||2x xx ，等价．x 2－2≥｜x ｜，即｜x ｜2－｜x ｜－2≥0.∴｜x ｜≥2.∴不等式组的解为｜x ｜≥2，即x ≤－2或x ≥2．∴原不等式的解集为（－∞，－2］∪（－2，0）∪（0，2）∪［2，＋∞）． 7.（2003年湖北黄冈模拟题）已知函数f （x ）=xx ax122-+的定义域恰为不等式log 2（x +3）+log 21x ≤3的解集，且f （x ）在定义域内单调递减，求实数a 的取值范围.解：由log 2（x +3）+log 21x ≤3得⎪⎩⎪⎨⎧>≤+033log 2x x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧>≤+⇔083x x x x ≥73，即f （x ）的定义域为［73，+∞）.∵f （x ）在定义域［73，+∞）内单调递减，∴当x 2＞x 1≥73时，f （x 1）－f （x 2）＞0恒成立，即有（ax 1－11x +2）－（ax 2－21x +2＞0⇔a （x 1－x 2）－（11x －21x ）＞0⇔（x 1－x 2）（a +211x x ）＞0恒成立.∵x 1＜x 2，∴（x 1－x 2）（a +211x x ）＞0⇔a +211x x ＜0. ∵x 1x 2＞499⇒－211x x ＞－949，要使a ＜－211x x 恒成立，则a 的取值范围是a ≤－949.8.有点难度哟！已知f （x ）=x 2－x +c 定义在区间［0，1］上，x 1、x 2∈［0，1］，且x 1≠x 2，求证：（1）f （0）=f （1）；（2）| f （x 2）－f （x 1）|＜|x 1－x 2|；（3）| f （x 1）－f （x 2）|＜21；（4）| f （x 1）－f （x 2）|≤41.证明：（1）f （0）=c ，f （1）=c ，∴f （0）=f （1）. （2）| f （x 2）－f （x 1）|=|x 2－x 1||x 2+x 1－1|.∵0≤x 1≤1，∴0≤x 2≤1，0＜x 1+x 2＜2（x 1≠x 2）.∴－1＜x 1+x 2－1＜1. ∴| f （x 2）－f （x 1）|＜|x 2－x 1|. （3）不妨设x 2＞x 1，由（2）知| f （x 2）－f （x 1）|＜x 2－x 1而由f （0）=f （1），从而| f （x 2）－f （x 1）|=| f （x 2）－f （1）+f （0）－f （x 1）|≤| f （x 2）－f （1）|+| f （0）－ f （x 1）|＜|1－x 2|+|x 1|＜1－x 2+x 1. ②①+②得2| f （x 2）－f （x 1）|＜1，即| f （x 2）－f （x 1）|＜21.（4）|f （x 2）－f （x 1）|≤f max －f min =f （0）－f （21）=41.探究创新9.（1）已知|a |＜1，|b |＜1，求证：|ba ab --1|＞1；（2）求实数λ的取值范围，使不等式|ba ab --λλ1|＞1对满足|a |＜1，|b |＜1的一切实数a 、b 恒成立；（3）已知|a |＜1，若|abb a ++1|＜1，求b 的取值范围.（1）证明：|1－ab |2－|a －b |2=1+a 2b 2－a 2－b 2=（a 2－1）（b 2－1）.∵|a |＜1，|b |＜1，∴a 2－1＜0，b 2－1＜0.∴|1－ab |2－|a －b |2＞0.∴|1－ab |＞|a －b |，|||1|b a ab --=|||1|b a b a -⋅-＞1.（2）解：∵|ba ab --λλ1|＞1⇔|1－ab λ|2－|a λ－b |2=（a 2λ2－1）（b 2－1）＞0.∵b 2＜1，∴a 2λ2－1＜0对于任意满足|a |＜1的a 恒成立.。

解不等式的方法

解不等式的方法解不等式是数学中的重要内容，它在我们的日常生活和工作中都有着广泛的应用。

解不等式的方法有很多种，接下来我们将逐一介绍常见的解不等式方法，希望能帮助大家更好地理解和掌握这一部分知识。

一、一元一次不等式的解法。

对于一元一次不等式ax+b>0（或<0），我们可以通过以下步骤来解决：1. 将不等式化为等式ax+b=0；2. 求出等式的解x0；3. 根据a的正负分情况讨论：a）若a>0，则不等式的解集为{x|x>x0}（或{x|x<x0}）；b）若a<0，则不等式的解集为{x|x<x0}（或{x|x>x0}）。

二、一元二次不等式的解法。

对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0（或<0），我们可以通过以下步骤来解决：1. 利用一元二次不等式的解法，将不等式化为二元一次不等式；2. 求出二元一次不等式的解集{x1, x2}；3. 根据a的正负和二次项系数b的正负分情况讨论：a）若a>0，且Δ=b^2-4ac>0，则不等式的解集为{x|x<x1}∪{x2<x<x2}（或{x|x>x1}∪{x2>x>x2}）；b）若a>0，且Δ=0，则不等式的解集为{x|x=x1}；c）若a>0，且Δ<0，则不等式的解集为空集；d）若a<0，则不等式的解集为{x1<x<x2}。

三、绝对值不等式的解法。

对于绝对值不等式|ax+b|>c（或< c），我们可以通过以下步骤来解决：1. 根据不等式的正负情况分情况讨论：a）若c≥0，且a>0，则不等式的解集为{x|x<-b-a}∪{x>-b+a}（或{x|x>-b-a}∪{x<-b+a}）；b）若c≥0，且a<0，则不等式的解集为{x|x<-b+a}∪{x>-b-a}（或{x|x>-b+a}∪{x<-b-a}）；c）若c<0，则不等式的解集为全体实数集。

不等式的求解方法

不等式的求解方法不等式是数学中常见的一种表示形式，用来描述数值之间的大小关系。

求解不等式是一种重要的数学技巧，常用于解决各种实际问题。

本文将介绍几种常见的不等式求解方法。

一、一元线性一元线性不等式是指只有一个变量的一次方程，在不等式中，常见的符号有“<”、“>”、“≤”、“≥”等。

下面将分别介绍几种一元线性不等式的求解方法。

1. 图解法通过将不等式转化为直线或曲线，利用图形的分布情况来解决不等式。

首先将不等式变换成相等式，然后绘制出相等式表示的图形。

接着根据符号的要求，确定解集的位置。

2. 代入法通过代入不等式中的数值，判断不等式的真假性，从而确定解。

需注意，在代入时需要考虑不等号的方向。

3. 分析法根据不等式中的系数和常数项的正负关系，推导出不等式的解集。

常见的情况有正数与负数之间的大小比较，以及变号性质的利用。

二、一元二次一元二次不等式是指含有一个变量的二次方程的大小关系。

一元二次不等式的解集往往是一个或多个区间。

以下将介绍几种求解一元二次不等式的方法。

1. 图示法绘制一元二次不等式对应的图形，根据图形的位置来确定解集的范围。

可以通过将一元二次不等式转化为标准形式，然后分析抛物线的开口方向和位置来求解。

2. 公式法利用求根公式，将一元二次不等式化为关于根的大小比较，从而求解不等式。

需要注意的是，解集的确定要根据方程的定义域进行筛选。

三、多元多元不等式是指含有多个变量的不等式。

多元不等式的求解方法相对复杂，需要利用代数和几何的知识共同分析。

以下是一些常用的方法。

1. 齐次化法将多元不等式转化为齐次表达式，简化计算，然后求解。

该方法通常适用于含有两个变量的不等式。

2. 区域法将多元不等式的解集表示为平面上的区域，通过分析区域的性质来求解。

区域法常用于解决多个不等式同时成立的问题。

3. 线性规划法将多元不等式与线性目标函数相结合，通过线性规划方法求解。

该方法通常在约束条件下寻找最优解。

不等式的解法

不等式的解法不等式是数学中常见的一种关系表达式，它描述了两个数之间的大小关系。

在解决实际问题时，经常会遇到需要求解不等式的情况，本文将介绍常见的不等式解法方法，帮助读者更好地理解和掌握不等式的求解过程。

一、一元一次一元一次不等式是指只含有一个未知数并且次数为1的不等式。

常见的一元一次不等式形式为ax + b < c或者ax + b > c。

求解一元一次不等式的方法如下：1. 将不等式转化为等式，得到ax + b = c的形式。

2. 根据a的正负情况，分别讨论两种情况：- 当a > 0时，解为x > (c - b) / a。

- 当a < 0时，解为x < (c - b) / a。

3. 以解集的形式表示不等式的解。

例如，对于不等式3x + 4 > 10，可以按照上述步骤求解：1. 将不等式转化为等式，得到3x + 4 = 10。

2. 根据3的正负，讨论两种情况：- 当3 > 0时，解为x > (10 - 4) / 3，即x > 2。

- 当3 < 0时，解为x < (10 - 4) / 3，即x < 2。

3. 不等式的解为解集{x | x > 2}。

二、二元一次二元一次不等式是指含有两个未知数并且次数为1的不等式。

常见的二元一次不等式形式为ax + by > c或者ax + by < c。

求解二元一次不等式的方法如下：1. 将不等式转化为等式，得到ax + by = c的形式。

2. 根据a、b的正负情况，分别讨论四个象限的情况：- 当a > 0，b > 0时，解为x > (c - by) / a。

- 当a > 0，b < 0时，解为x > (c - by) / a。

- 当a < 0，b > 0时，解为x < (c - by) / a。

- 当a < 0，b < 0时，解为x < (c - by) / a。

基本不等式的解法

基本不等式的解法如下：
方法一：代数方法。

通过变形和化简等操作，将不等式转化为更简单的形式，从而得到不等式的解集。

例如，对于不等式2x + 5 > 3x - 1，可以移项得到2x - 3x > -1 - 5，然后化简为-x > -6，最后根据-x的系数为负数，将不等式两边的符号取相反，得到x < 6。

方法二：图像法。

将不等式转化为图像的形式，通过观察图像来确定不等式的解集。

例如，对于不等式x + 2 > 0，可以将其转化为x > -2。

然后在数轴上标出-2和1、2、3等点，根据不等号的符号确定解集。

方法三：比较法。

通过比较两个不等式的解集来确定它们是否相同。

例如，对于不等式x + 2 > 0和x + 1 > 0，可以通过比较它们的解集来确定它们是否相同。

方法四：同解变形法。

将不等式进行同解变形，使其转化为另一个不等式，然后求解新的不等式。

例如，对于不等式x + 2 > 0，可以将其转化为x + 1 > -1的形式，然后根据同解变形法则得到x + 1 > 0，从而得到原不等式的解集。

需要注意的是，基本不等式的解法有很多种，不同的方法适用于不同的不等式类型和问题背景。

在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的方法进行求解。

不等式的求解方法

不等式的求解方法一、引言不等式是数学中重要的概念之一，它在解决实际问题时起到了至关重要的作用。

如何求解不等式是我们需要掌握的数学技能之一。

本文将介绍不等式的求解方法，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

二、一元一次不等式的求解方法1. 消元法：对于一元一次不等式，我们可以通过消元法将其转化为一个简单的形式。

例如，对于不等式2x+3>7，我们可以通过减去3，得到2x>4，再除以2，最终得到x>2。

这就是消元法的基本思路。

2. 分类讨论法：对于一元一次不等式，我们可以通过分类讨论的方法求解。

首先，我们将不等式中的x的系数分为正数和负数两种情况，然后再进一步讨论x的取值范围。

例如，对于不等式2x+3>7，我们可以将其分为x>2和x<2两种情况，然后再根据实际情况确定x的取值范围。

三、一元二次不等式的求解方法1. 图像法：对于一元二次不等式，我们可以通过绘制函数的图像来求解。

首先，将不等式转化为函数的形式，然后绘制函数的图像，最后根据图像确定不等式的解集。

例如，对于不等式x^2-4x+3>0，我们可以将其转化为函数y=x^2-4x+3，然后绘制函数的图像，最后根据图像确定不等式的解集。

2. 因式分解法：对于一元二次不等式，我们可以通过因式分解的方法求解。

首先，将不等式进行因式分解，然后根据因式的性质确定不等式的解集。

例如，对于不等式x^2-4x+3>0，我们可以将其进行因式分解，得到(x-3)(x-1)>0，然后根据因式的性质确定不等式的解集。

四、多元不等式的求解方法1. 图像法：对于多元不等式，我们可以通过绘制函数的图像来求解。

首先，将不等式转化为函数的形式，然后绘制函数的图像，最后根据图像确定不等式的解集。

例如，对于不等式2x+3y>7，我们可以将其转化为函数z=2x+3y-7，然后绘制函数的图像，最后根据图像确定不等式的解集。

2. 线性规划法：对于多元不等式，我们可以通过线性规划的方法求解。

初中数学知识点不等式的解法

初中数学知识点不等式的解法不等式是数学中一个重要的概念，它描述了两个项之间大小关系的符号。

在初中数学中，学生通常会接触到简单的一元一次不等式，也就是只含有一个未知数的一次方程。

本文将介绍几种常见的初中数学知识点不等式的解法。

一、图像法图像法是一种简便直观的不等式解法，通过将不等式转化为一个函数的图像来进行判断。

对于一元一次不等式 ax+b<0，我们可以先将等式 ax+b=0 的解 x0 求出，然后绘制关于 x0 的函数图像，最后根据函数在 x0 左右两侧的取值确定不等式的解集。

二、数轴法数轴法是另一种常见的不等式解法，它通过在数轴上表示不等式的解集来进行判断。

对于一元一次不等式 ax+b>0，我们可以先将等式ax+b=0 的解 x0 求出，然后在数轴上标记 x0，并根据 a 的正负确定箭头的方向，最后确定不等式的解集。

三、代数法代数法是一种常用的不等式解法，通过代数运算来推导不等式的解集。

对于一元一次不等式 ax+b>0，我们可以先将等式 ax+b=0 的解 x0 求出，然后根据 a 的正负，将数轴分为两个区间。

当 a>0 时，不等式的解集为 x<x0；当 a<0 时，不等式的解集为 x>x0。

四、化简法化简法是一种需要巧妙运用数学性质的不等式解法，通过将复杂的不等式化简为简单的形式来求解。

对于一元一次不等式 ax+b>cx+d，我们可以将其移项化简为 ax-cx>b-d，然后再进行合并、分离系数以及讨论 a-c 的正负来确定不等式的解集。

五、倍数法倍数法是一种常见的不等式解法，适用于求解带有倍数关系的不等式。

对于一元一次不等式 ax<b，我们可以将不等式中的 a 和 b 都乘以同一个正数 k，并进行分析得到新的不等式 akx<kb，然后再根据 a 的正负来确定不等式的解集。

综上所述，初中数学知识点不等式的解法有图像法、数轴法、代数法、化简法和倍数法等多种方法。