常见不等式的解法

常见不等式的解法(教师版)

一、一元一次不等式 解下列关于x 的不等式

1、2x+3>5

2、-2x+5<6

3、ax>1

4、不等式3(x +1)≥5x -9的正整数解是_________

5、已知关于x 的不等式(3a -2)x +2<3的解集是41

-

>x ,则a =______.

二、一元二次不等式

1、2

2x ≥ 2、2(1)2x -< 3、x 2+x -2≤4 4、若0＜a ＜1，则不等式(x -a )(x -a 1)＜0的解是______.a ＜x ＜a 1

5、已知不等式022>++bx ax 的解集为⎭

⎬⎫⎩

⎨⎧<<-312

1

x x ，则b a +的值为______.-14

6、不等式2x 2-3|x |-35>0的解为______..x <-5或x >5

7、方程实数根，有两个不相等的 0122

=+++m x m mx )(则实数m 的取值范围是______.0

41

≠->m m 且

8、不等式02

≤++n mx x 的解集是{}32≤≤-x x |，则m = __，n = __.-1;-6

9、函数的定义域为22--=

x x x f )(______________{2≥x x 或}1-≤x

10、对于任意实数x ，一元二次不等式(2m -1)x 2+(m +1)x +(m -4)＞0恒成立，则实数m 的取值范围是______. m ＞5

11、函数()f x =R ，则a 的取值范围是_________ 【0,8】

1）标准化：移项通分化为

()

()

f x

g x

>(或

()

()

f x

g x

<)；

()

()

f x

g x

≥(或

()

()

f x

g x

≤)的形式，

2）转化为整式不等式（组）

()()0 ()()

0()()00

()0 ()()

f x

g x

f x f x

f x

g x

g x

g x g x

≥

⎧

>⇔>≥⇔⎨

≠

⎩

；

1. 不等式

2

2

231

372

x x

x x

++

>

-+

的解集是 2. 不等式

31

1

3

x

x

+

>-

-

的解集是

3. 不等式

2

2

237

1

2

x x

x x

+-

≥

--

的解集是 4. 不等式

11

11

x x

x x

-+

<

+-

的解集是

5. 不等式

2

29

1

52

x x

x

--

<

+

的解集是 6. 不等式

2

2

32

712

x x

x x

-+

>

-+

的解集是

7. 不等式

2

1

21

x x

x

+

≤

+

的解集是 8. 不等式

21

1

2

x

x

-

>

-+

的解集是

9. 不等式23

2

34

x

x

-

≤

-

的解集是 10. 不等式

2

2

1

2

(1)(1)

x

x x

-

<

+-

的解集是

答案

1. 2. (-2，3)3. 4.

5. 6. 7. 8. (1，2)

9. 10.

无理不等式一般是指在根号下含有未知数的不等式，今天我们主要研究在二次根号下含有未知数的简单的无理不等式的解法。

题型Ⅰ：⎪⎩

⎪⎨⎧>⇒⎭

⎬⎫

≥≥⇔>

)()(0)()0)(()()(x g x f x g x f x g x f 定义域

型 例一 解不等式0343>---x x

解：移项：343->-x x ⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧

>≥≥⇔⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-⇔2133

43430

3043x x x x x x x ∴3≥x ∴不等式的解集是：{3|≥x x } 练习一：解不等式⑴0231≤---x x ⑵125->-x x

解：⑴移项：231-≤-x x

∴⎪⎩

⎪⎨⎧≥≤⇒⎩⎨⎧-≥-≥-43112301x x x x x ∴143≤≤x ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤143|x x ⑵⎩

⎨

⎧<≥⇒⎩⎨

⎧->-≥-21

12501x x x x x ∴21<≤x ∴原不等式的解集为{21|<≤x x } 例二 解不等式 125->-x x

解：原不等式的解集等价于下面两个不等式组解集的并集：

Ⅰ：⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2

)1(250

10

25x x x x 或 Ⅱ：⎩⎨⎧<-≥-010

25x x 解Ⅰ：⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧

<<-≥≤22125x x x 解Ⅱ：⎪⎩⎪⎨⎧

<≤1

25x x

即：21<≤x 或 1

⎩⎨⎧<≥⎪⎩

⎪

⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]

([)(0)(0

)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型

练习二：解不等式x x x 211322

+>+-

解：原不等式的解集等价于下面两个不等式组解集的并集：

Ⅰ：⎪⎩⎪

⎨⎧+>+-≥+≥+-2

22)21(1320210

132x x x x x x 或 Ⅱ：⎩⎨⎧<+≥+-02101322x x x

解Ⅰ：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧

<<--≥≤≥02

721211x x x x 或 解Ⅱ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<≤≥21211x x x 或 即：021<≤-

x 或 2

1

-