离散数学第八讲-NanjingUniversity
离散数学第8章课件PPT,高等教育出版社,屈婉玲,耿素云,张立昂主编
证明
(2) 假设存在x1, x2∈A使得 由合成定理有 f g(x1)=f g(x2)
g(f(x1))=g(f(x2)) 因为g:B→C是单射的, 故 f(x1)=f(x2). 又由于f:A→B是单射的, 所 以x1=x2. 从而证明f g:A→C是单射的. (3)由(1)和(2)得证. 注意：定理逆命题不为真, 即如果f g:A→C是单射(或满射、双 射)的, 不一定有 f:A→B 和 g:B→C都是单射(或满射、双射)的.
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函数复合与函数性质
定理8.2 设f:A→B, g:B→C (1) 如果 f:A→B, g:B→C是满射的, 则 fg:A→C也是满射的 (2) 如果 f:A→B, g:B→C是单射的, 则 fg:A→C也是单射的 (3) 如果 f:A→B, g:B→C是双射的, 则 fg:A→C也是双射的 证 (1) 任取c∈C, 由g:B→C的满射性, b∈B使得 g(b)=c. 对于这个b, 由 f:A→B的满射性，a∈A使得 f(a)=b. 由合成定理有 fg(a) = g(f(a)) = g(b) = c 从而证明了fg:A→C是满射的
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实例
例1 设A={1,2,3}, B={a,b}, 求BA. 解BA={ f0, f1, … , f7}, 其中 f0 = {<1,a>,<2,a>,<3,a>} f1 = {<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2 = {<1,a>,<2,b>,<3,a>} f3 = {<1,a>,<2,b>,<3,b>} f4 = {<1,b>,<2,a>,<3,a>} f5 = {<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6 = {<1,b>,<2,b>,<3,a>} f7 = {<1,b>,<2,b>,<3,b>}
南邮离散数学课后习题答案
南邮离散数学课后习题答案南京邮电大学离散数学课程是一门重要的数学基础课程，它涵盖了许多重要的离散数学概念和方法。
在学习这门课程时，我们经常会遇到一些难题，需要通过课后习题来巩固和加深对所学知识的理解。
然而，由于离散数学的题目类型繁多，解题方法各异，很多同学在课后习题中遇到了困惑。
为了帮助同学们更好地学习离散数学，我整理了一些常见课后习题的答案，供大家参考。
一、集合论1. 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，C={2,4,6,8}，求(A∩B)∪C的元素个数。
答：首先求A∩B，即A和B的交集，得到{3,4,5}。
然后求(A∩B)∪C，即交集{3,4,5}与C的并集，得到{2,3,4,5,6,8}。
所以(A∩B)∪C的元素个数为6。
2. 设集合A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，C={2,4,6,8}，求(A-B)∪C的元素个数。
答：首先求A-B，即A与B的差集，得到{1,2}。
然后求(A-B)∪C，即差集{1,2}与C的并集，得到{1,2,4,6,8}。
所以(A-B)∪C的元素个数为5。
二、关系与函数1. 设集合A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，C={2,4,6,8}，定义关系R为A到B的映射，若R={(1,4),(2,5),(3,6),(4,7)}，求R的逆关系R^-1。
答：逆关系R^-1是由R中的有序对的元素颠倒位置得到的。
所以R^-1={(4,1),(5,2),(6,3),(7,4)}。
2. 设集合A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，C={2,4,6,8}，定义函数f为A到B的映射，若f(1)=4，f(2)=5，f(3)=6，f(4)=7，求f的逆函数f^-1。
答：逆函数f^-1是由f中的元素的自变量和因变量颠倒位置得到的。
所以f^-1(4)=1，f^-1(5)=2，f^-1(6)=3，f^-1(7)=4。
三、图论1. 设G=(V,E)为一个无向图，V={A,B,C,D,E,F}，E={{A,B},{A,C},{B,C},{C,D},{D,E}}，求G的邻接矩阵。
高等教育自学课件 南京邮电大学《离散数学》2020复习资料 计算机软件专业 作业含答案
(P (Q Q)) (Q (R R)) (R (P P)) (P Q) (P Q)) (Q R)
(Q R)) (R P) (R P))
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( x)(N(x) Z(x) ( y)(F(y) Z(y))) b) 对于每一个实数x,存在一个更大的实数y。
R(x):x是实数, G(x,y):x大于y,
( x)(R(x) ( y)(R(y) G(y,x)) c) 存在实数x,y和z,使得x与y之和大于x与z之积。
R(x):x是实数, G(x,y):x大于y,
ห้องสมุดไป่ตู้
第二章作业
27 of 26
练习 P59-2
e) 不是所有运动员都是教练.(L(x),J(x))
( x)(L(x) J(x))
f) 某些大学生运动员是国家选手.
(S(x), L(x),C(x))
( x)(S(x) L(x) C(x))
g) 没有一个国家选手不是健壮的.(C(x),V(x))
( x)(C(x) V(x))
证明
(1)(x)(A(x) B(x)) (2)A(u) B(u) (3)(x)B( x) (4)B(u) (5)B(u) A(u) (6) A(u) (7)(x) A(x)
P US (1) P US (3) T (2) T (4)(5) EG(6)
2024/7/19
第二章作业
32 of 26
P79-2 用CP规则证明
e) 四边形ABCD是平行四边形，当且仅当它的对边平行 P: 四边形ABCD是平行四边形。 Q: 四边形ABCD的对边平行。 PQ
离散数学讲义
NO.1 说谎者悖论(1iar paradox or Epimenides’ paradox) 最古老的语义悖论。公元前6世纪古希腊哲学家伊壁孟德 所创的四个悖论之一。是关于“我正在撒谎”的悖论。具 体为：如果他的确正在撒谎，那么这句话是真的，所以伊 壁孟德不在撤谎，如果他不在撒谎，那么这句话是假的， 因而伊壁孟德正在撒谎。
其内容较广，主要包括数理逻辑、 集合 论、图论、代数结构等四个基本部分。
7
什么是离散数学？
离散数学将日常的概念、判断、 推理用数学符号来表示，用数学方法 进行思维。其目标是掌握严密的思维 方法、严格证明的推理能力和演算能 力，掌握处理各种具有离散结构的事 物的描述工具与方法，适应学习其他 专业课程的各种需要，为学习其它计 算机课程提供必要的数学工具。
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1-1 命题及其表示法
命题：能够判断真假的陈述语句。
例：‘中国是一个国家’， ‘9为素数’。
原子命题：不能分解成更简单的陈述语 句的命题。
复合命题：由连结词、标点符号和原子 命题复合构成的命题。
一般用字母“T”表示“真”，“F”表示 “假”。也经常用“1”表示“真”， “0”表示“假”。
2
课程概况
选修课/必修课：选修 周学时：3（学时） 上课周：1－16周 总学时 数理逻辑（14学时）
第一章 命题逻辑（8） 第二章 谓词逻辑（6）
第二篇 集合论（12学时）
第三章 集合（4） 第四章 二元关系与函数（8）
第四篇 图论（14学时）
第七章 图论（8） 第八章 一些特殊图（4） 第九章 树 （2）
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NO.2 伊勒克特拉悖论(Eletra paradox) 逻辑史上最早的内涵悖 论。由古希腊斯多亚学派提出。它的基本内容是：伊勒克 特拉有位哥哥奥列斯特回家了．尽管伊勒支持拉知道奥列 斯特是她的哥哥．但她并不认识站在她面前的这个男人。 写成一个推理．即： 伊勒克持拉不知道站在她面前的这个人是她的哥哥。 伊勒克持拉知道奥列期特是她的哥哥。 站在她面前的人是奥列期特。
8.7 有向树
离 散 数 学
2013年9月13日星期五
南京信息工程大学数理学院
7
1、有向树（2）
在一棵根树中，从根到某个结点的单向通路的长度 (即边数)是固定的，它叫做该结点的层次。 左图中， b称为a的儿子， a称为b的父亲； a称为c的祖先， c称为a的后裔。 对其它的结点有 类似的说法。
2013年9月13日星期五
南京信息工程大学数理学院
2013年9月13日星期五
南京信息工程大学数理学院
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3、有序树（1）
在根树中，一般将树根放在最上面，但分枝点关联 的各分枝的左中右按顺序却有种种不同的摆法。所以， 标定根树中结点和边的次序在应用中是必要的。 标定了结点和边的次序的根树叫有序树。
任一有序树都可 用二叉树来表示。
2013年9月13日星期五
2013年9月13日星期五
南京信息工程大学数理学院
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1、有向树（1）
定义1 如果一个有向图在不考虑边的方向时是树， 则称之为有向树。 定义2 一棵有向树，如果恰有一个结点的入度为0， 其余所有结点的入度都为1，则称为根树。 入度为0的结点称为根；出度为0的结点称为叶； 出度不为0的结点称为分枝点或内点。
w(T ) wi L( wi )
i 1
t
称为带权二叉树的权。 在所有带权w1, w2, ...wt的二叉树中，w(T)最小的树称 为最优树，又称哈夫曼树。 问题：给定一组权w1, w2, ...wt，如何求相应的最优树呢？
离散数学总复习(南理工)
第七章 图论
4. 欧拉路、欧拉回路、欧拉图；哈密尔顿路、 欧拉路、欧拉回路、欧拉图；哈密尔顿路、 哈密尔顿回路、哈密尔顿图； 哈密尔顿回路、哈密尔顿图； 5. 平面图、欧拉定理、平面图中结点数和边 平面图、欧拉定理、 数之间的关系不等式； 对偶图、 数之间的关系不等式； 6. 对偶图 、平面图 的着色问题。 的着色问题。 7. 树、生成树、带权树、最小生成子树； 生成树、带权树、最小生成子树；
题目来源
• 《离散数学》课本 离散数学》
– 大部分课后习题 – 小部分作业题目 – 小部分例题、定理 小部分例题、
考试时间、地点
• 时间：2010年1月3日（星期日） 下午2：30－4：30 • 地点：14-223
The End
• 好好复习！！ • 不要作弊！！！ • 考出好成绩！
重点
• 布尔代数的性质 • 布尔代数的原子 • 布尔代数的证明
第七章 图论
1．图的基本概念、结点度数与边数的关系公式； ．图的基本概念、结点度数与边数的关系公式； 2. 路径 、 拟路径 、 回路 、 通路 、 连通图与非连通 . 路径、 拟路径、 回路、 通路、 强连通图与弱连通图、有向图与无向图； 图 、 强连通图与弱连通图 、 有向图与无向图 ； 强 分图、点割集、边割集； 分图、点割集、边割集； 图的矩阵表示： 邻接矩阵、 可达性矩阵、 3. 图的矩阵表示 ： 邻接矩阵 、 可达性矩阵 、 关联 矩阵、关联矩阵的秩与结点数的关系式。 矩阵、关联矩阵的秩与结点数的关系式。
第三章集合与关系
7．集合的划分与覆盖、等价关系与等价类； 集合的划分与覆盖、等价关系与等价类； 相容关系；细分； 相容关系；细分； 8．序关系、偏序集、哈斯图。 ．序关系、偏序集、哈斯图。 9. 偏序集中特殊的元素
离散数学高等里离散数学课件-CHAP
图的基本概念
边
连接两个节点的线段称为边。
简单图与多重图
只含一条边的图称为简单图， 含有相同端点的多条边称为多 重边。
节点
图中的顶点称为节点。
定向图与无向图
如果边有方向，则称为定向图； 如果边无方向，则称为无向图。
有限图与无限图
节点和边都有限的图称为有限 图，节点或边至少有一个为无 限的图称为无限图。
发展
随着计算机科学的快速发展，离散数学也得到了迅速的发展 。许多新的分支如组合数学、离散概率论等不断涌现，并广 泛应用于计算机科学、工程学、物理学等领域。
离散数学的应用领域
计算机科学
离散数学在计算机科学中有着广泛的 应用，如算法设计、数据结构、计算 机图形学、数据库系统等。
工程学
离散数学在工程学中也有着广泛的应 用，如电子工程、通信工程、机械工 程等。
要点二
详细描述
集合可以用列举法、描述法、图示法等多种方法来表示。 列举法是将集合中的所有元素一一列举出来，适用于元素 数量较少的集合。描述法是用数学符号和逻辑表达式来描 述集合中的元素，适用于元素数量较多且具有共同特征的 集合。图示法则是用图形来表示集合，直观易懂，适用于 具有明显包含关系的集合。
03
如果图中任意两个节点之间都存在一 条路径，则称该图为连通图。
路径与回路
欧拉回路与哈密顿回路
如果一条回路恰好经过图中的每条边 一次，则称为欧拉回路；如果一条回 路恰好经过图中的每个节点一次，则 称为哈密顿回路。
连接两个节点的序列称为路径，如果 路径的起点和终点是同一点，则称为 回路。
04
离散概率论
离散概率的基本概念
图的表示方法
邻接矩阵
用矩阵表示图中节点之 间的关系，如果节点i与 节点j之间存在一条边， 则矩阵中第i行第j列的 元素为1，否则为0。
南京邮电大学《离散数学》考试复习重点精讲
典型例题1-1
设P表示命题“天下雪”，Q表示命题“我将去镇上”， R表示命题“我有时间”。 以符号形式写出下列命题： a ) 如果天不下雪和我有时间，那么我将去镇上。 b) 我将去镇上，仅当我有时间。
解：(a ) (P R ) Q (b) (1)"仅当"表示必要条件，有：Q R (2)"当"表示充分条件，有：R Q (3)"当且仅当"表示充要条件，有：R Q （本题正确答案）
典型例题1-2
求公式(P∨Q)∧(Q∨R)的主析取范式
解：法一：(P∨Q)∧(Q∨R) =(P∧Q)∨(P∧R) ∨(Q∧Q ) ∨(Q∧R) =(P∧Q∧(R∨R)) ∨(P∧(Q∨Q)∧R)∨((P∨P) ∧Q∧R) =(P∧Q∧R) ∨(P∧Q∧R) ∨(P∧Q∧R) ∨(P∧Q∧R)
《离散数学》考试复习指南
南京邮电大学 计算机学院
《离散数学》课程组
考试题型
1、填空题（ 10空，20分） 2、判断题（10小题，20分）
3、简答题（5小题，40分）
4、证明题（2小题，20分）
第一章 命题逻辑
命题的概念、命题的表示法 五个基本联结词的含义 命题公式与命题翻译。
命题公式的真值表（万能的真值表！）
第二章 谓词逻辑
谓词的概念与表示 量词的含义 谓词公式与翻译
判断谓词公式的真值
谓词演算的等价式与蕴含式证明
谓词演算的推理
典型例题2-1
他就不喜欢乘汽车；每一个人或者喜欢乘汽车或者喜欢骑 自行车；有的人不爱骑自行车。因而有的人不爱步行。 （请假设 P(x): x喜欢步行, Q(x): x喜欢乘汽车，R(x): x
离散数学课件-绪论
目录
• 离散数学的概述 • 离散数学的主要分支 • 离散数学的基本概念 • 离散数学的研究方法 • 离散数学的学习意义和价值
01
离散数学的概述
离散数学的定义
• 离散数学：离散数学是研究数学结构中非连续、分离对象的数 学分支。它主要关注集合论、图论、逻辑、组合数学等领域， 用于描述和研究离散对象之间的关系和性质。
在离散数学中，形式化方法常用于描述集合、关系、图等数学对象，如集合论中的集合定义和关系定 义。
归纳法
归纳法是从个别到一般的推理方法， 通过对一些具体实例的分析，归纳出 一般规律或性质。
VS
在离散数学中，归纳法常用于证明一 些关于自然数的性质和定理，如归纳 法在证明阶乘性质中的应用。
反证法
反证法是一种间接证明方法，通过假设与要 证明的命题相矛盾的命题成立，推出矛盾， 从而证明原命题成立。
逻辑学
01
逻辑学是研究推理和论证的规则 和结构的数学分支。逻辑学为离 散数学的各个分支提供了推理和 证明的工具和方法。
02
逻辑学中的基本概念包括命题、 量词、推理规则、证明等，这些 概念为离散数学的各个分支提供 了推理和证明的工具和方法。
组合数学
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支。组合数学在计算机科学、统 计学和运筹学等领域有广泛应用。
离散数学的起源和发展
起源
离散数学的起源可以追溯到古代数学中的一些研究，如几何学和逻辑学。随着 时间的推移，离散数学的各个分支逐渐形成和发展，成为一门独立的学科。
发展
离散数学的发展与计算机科学的发展密切相关。随着计算机科学的兴起，离散 数学在理论和实践方面都得到了广泛的应用和发展。
离散数学的应用领域
《离散数学》期终试题-软件学院-2003-7
Test of "Discrete Mathematical Structures"July 2003, Institute of Software at Nanjing University1. Prove or disprove (6 scores each):1.1 A,B,C are sets. If A⊂B and B⊆C, then A⊂C.1.2 (S,*) is a semigroup, if * satisfies cancellation property, then (S,*) is group.1.3 A,B,C are sets. If g f(f:A→B, and, g:B→C) is a bijection, then f and g are bothbijections.1.4 If (S,≼) is a totally-ordered set, then (S,≼) is a lattice.1.5 p,q,r are propositional variables. If (r⇒(q⇒p)) and (~p) are both true, then (~r)∨(~q)is true.2. Prove(10 scores each):2.1 N is the set of natural numbers. Define a relation ~ on P(N) as follows: X~Y if andonly if X⊕Y is a finite set. Then, ~ is an equivalence.2.2 L is a lattice, and X is a finite subset of L. Then, there exists an element t∈L,satisfying: for any x in L, x≼y for any y in X if and only if x≼t2.3 (A,*) is a semigroup, and there is an element a in A such that for every x in A, thereexist some u and v in A satisfying the relation: a*u=v*a=x. Then A has an identity.2.4 G is a group and a is a fixed element in G. Define a function f a: G→G, such thatf a(x)=a*x*a-1 for any x in G. Then, f a is an isomorphism.3. Select any 3 from the following, and give the solutions for them(10 scores each)3.1 Give the explicit formula for the Fibonacci sequence: f1= f2 =1; f n= f n-1+ f n-2 .3.2 The vertices of graph K mn can be divided into two sets V1,V2 with |V1|=m, and |V2|=n,and each vertex in V1 is adjacent to all vertices in V2, and vice versa, but no vertex is adjacent to any vertex in the same set. What are the conditions for the K mn to be an Eulerian graph or a Hamilton graph respectively. Why?3.3 Given 3 jugs without measuring signs on them. The largest one is full with exact 8liters of oil, and the other 2, with the capacities of 3 and 5 liters, are empty. Not using any other utensils, divide the oil into two parts with the same amount. How many pourings are needed at least? Solve the problem using a graph model.3.4 Find a maximum flow in the network shown below:《离散数学》期终试题南京大学软件学院 2003年7月1. 判断下列命题是否为真，并说明理由(每题6分):1.1A,B,C是集合。
离散数学6——8章ppt
一、路径，回路。 1、路径 (回路) —— G 中顶点和边的交替序列
(v ,v (无向图)， ，其中 e v e v e e v i i 1 i) 0112 l l
或e v 0 ——始点， i v i 1,v i (有向图)，
v l ——终点，称 为 v 0 到 v l 的通路。当 v 0 v l
并且 e 与 e ' 重数相同，则称 G 1 与 G 2 同构， 记作 G1 ≌ G2 。
例 4、
b
(1) (2)
a d c (3) e c
e
v1
v4 v5 v2
(4)
v3
a
v1 v2 v3 v4
(7)
v6 v5
f
(5)
b
(6)
d
例5、(1) 画出4个顶点，3条边的所有非同构 的无向简单图。 解：只有如下3个图：
…………
例1、(1)
图(1)中，从 v 1 到 v 6 的路径有：
v e v e v e v 1 1125576
v e v e v e v e v e v e v 2 1 1 2 2 3 3 4 4 2 5 5 7 6
基本路径 简单路径 复杂通路
v e v e v e v e v e v e v 3 1 1 2 5 5 6 4 4 2 5 5 7 6
2、图的表示法。
有向图，无向图的顶点都用小圆圈表示。
无向边 ( a , b )
——连接顶点 a , b 的线段。
有向边 a , b ——以 a 为始点，以 b 为终点的有向线段。
例1、(1) 无向图 G V, E ， V v , vvvv ,3 ,4 ,5 1 2
欧拉图-南京大学计算机科学与技术系
C
B
B
“一笔划”问题
？
欧拉通路和欧拉回路
定义：包含图（无向图或有向图）中每条边的简单通 路称为欧拉通路。
注意：欧拉通路是简单通路（边不重复），但顶点可重复
定义：包含图中每条边的简单回路称为欧拉回路。 如果图G中含欧拉回路，则G称为欧拉图。如果图G中 有欧拉通路，但没有欧拉回路，则G称为半欧拉图。 //备注：通常假设G是连通的。
若干小回路串成欧拉回路
若连通图G中所有的边包含在若干边不相交的简单回路中， 则G中含欧拉回路。 证明：对G中简单回路个数d施归纳法。当d=1时显然。
假设d≤k(k≥1)时结论成立。考虑d=k+1. 按某种方式对k+1个简单回路排序，令G‘=G-E(Ck+1)，设G’ 中含s个连通分支，则每个非平凡分支所有的边包含在相互 没有公共边的简单回路中，且回路个数不大于k。由归纳假 设，每个非平凡连通分支Gi均为欧拉图，设其欧拉回路是 Ci'。因G连通，故Ck+1与诸Ci’都有公共点。 G中的欧拉回路构造如下：从Ck+1上任一点(设为v0)出发遍 历Ck+1上的边，每当遇到一个尚未遍历的Ci'与Ck+1的交点 (设为vi'), 则转而遍历Ci'上的边，回到vi'继续沿Ck+1进行。
Fleury算法的证明(续)
(2) (证明含所有边)假设Pm没有包括G中所有的边，令Gm中所 有非零度顶点集合为S（非空）, 令S’=VG-S, 则vm∈S’。
考察序列e1,e2,…ej,ej+1,…,em。假设j是满足vj∈S, 而vj+1∈S’的最大下标。 如果没有这样的j， G就不连通，矛盾。因为Pm的终点在S’中，因此ej+1 一定是Gj中的割边。 令e是在Gj中与vj相关联的异于ej+1的边(非零度点一定有), 根据算法选择 ej+1(割边)的原则，e也一定是割边。但是，Gm中任意顶点的度数必是偶 数，e在Gm中的连通分支是欧拉图，e在Gm的某个 欧拉回路中，不可能是Gj的割边。矛盾。
《离散数学讲义》课件
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
南大计算机考研复试——离散数学(2010版)
三．证明： 1. 对于 G 中任一条边，先证其必在一个圈中： 设存在边 e，e 不在一个圈中，e 的两个断点记为 u，v。若去掉边 e，∵u, v 不在一个圈中， ∴u，v 间无通路，即 P( G – e ) > P(G)。∴e 为桥，与题设矛盾。得证。 2. 再证不存在桥的连通图 G 赋予边以方向后，G’为强连通图。 设不存在这样的圈，则存在对两个顶点 u, v 没有经过它们的圈。∴ G是连通的，∴u 到 v 有 通路，设通路上的点为 u, v1, v2, ……, vn，v 对于与 u, v 相关联边，必有圈，v1, v2 间必有圈， 则可将两圈合并，得到必有 u 到 v2 的圈，同理可得 u 到 v3 的圈，以此类推可得到 u 到 v 的圈，与假设不成立。∴必存在将所有顶点连接的圈，将其以逆时针赋予方向后得经过每 个点至少一次的回路，∴G 为强连通图。 得证。
Zyszys3 2010 年 8 月 19 日
予人玫瑰 手留余香
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严禁用于商业用途
前言
本文收集了 1997、 1998 年和 2001 年到 2007 年和 2009 年南京大学研究生入学考试科目 《离 散数学》的试卷以及相应试卷答案。2008 年试题未找到，1997 年到 2007 年试题给出本人所做 的答案，因为离散数学难度大，很多答案问过原来教我们离散数学的老师，老师也只能给出部 分答案，所以不能保证全部答案的正确性，2009 年试题答案未与同学核对，同样不能确保答 案正确性，故不在此给出。部分答案有更优解，需要同学们自己开发。 南京大学从 2005 年开始把《离散数学》作为复试科目，满分为 80 分，与《编译原理》同 为笔试项目，总分 150 分。主要考试部分为数理逻辑、集合论、代数结构和图论。推荐复习时 候以南大课件为主，课件在网上可以查到，有宋方敏和陈道旭两种版本。通过真题发现，很多 题目都是课件上证明题的原题，而且考试重点与课件也吻合。 离散数学特点就是难度大，上手容易深入难。代数系统和图论两章难度非常大，所以复习 好离散数学要有一定的耐心和钻研精神。 相信天下无难事，只怕有心人。祝愿所有有志考南大 CS 的同学金榜提名。
精品课程《离散数学》PPT课件(全)
言1
为什么学习离散数学？
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学与技术 的理论基础，所以又称为计算机数学，是计算机科学与技术 专业的核心、骨干课程。
它以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研 究对象一般是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算 机科学离散性的特点。
离散数学是什么课？
真值为1
25
1.1 命题符号化及联结词
以下命题中出现的a是给定的一个正整数： (3) 只有 a能被2整除， a才能被4整除。
(4) 只有 a能被4整除， a才能被2整除。
解： 令r： a能被4整除， s： a能被2整除。 真值不确定 (3)符号化为 s r (4)符号化为 r s
真值为1
26
19
1.1 命题符号化及联结词
3.析取词 设p,q为二命题，复合命题“p或q” 称为p与q的析取式，记作p ∨ q，符号∨称 为析取联结词。 运算规则：
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
20
1.1 命题符号化及联结词
析取运算特点：只有参与运算的二命题全为假时，运算结果才 为假，否则为真。 相容或：二者至少有一个发生，也可二者都发生 排斥或：二者只有一个发生，即非此即彼 例如： （1）小王爱打球或爱跑步。 设p：小王爱打球。 q：小王爱跑步。 则上述命题可符号化为：p ∨ q （2）张晓静是江西人或湖南人。 设p：江西人。 q：湖南人。 则上述命题就不可简单符号化为：p ∨ q 而应描述为(p∧ q) ∨( p∧q)(也可用异或联接词∨)
（1）星期天天气好，带儿子去了动物园； （2）星期天天气好，却没带儿子去动物园； （3）星期天天气不好，却带儿子去了动物园； （4）星期天天气不好，没带儿子去动物园。
集合的运算-南京大学
图结构上的经典问题孤岛上的婚姻
孤岛上有m个男子和n A
个女子，每个人均有 B
一个可选配偶列表， 如何成就尽可能多的 C
幸福婚姻？
D
最大匹配问题。
E
F
G
1 {A, C, F}
2
3 {A, C} 4 {A, F}
5
6 {C, F}
中国邮递员问题（管梅谷，1960）
邮递员从邮局出发，走过辖区内每条街道至少一次，
有向图中顶点的出度和入度
dG+(v) = 以v为始点的边的条数， deg+(v) dG-(v) = 以v为终点的边的条数， deg- (v)
有向图中各顶点的出度之和等于入度之和。
vV deg+(v) = vV deg-(v) =|E|
有向图的底图
特殊的简单图（完全图）
若简单图G中任意两点均相邻，则称为完全图。 记为Kn, 其中n是图中顶点数。
社会网络
熟人关系图 合作图，好莱坞图 呼叫图
体育（循环赛的图模型）
图的术语
无向图G = (V, E, ), (e)={u, v} , uv
u和v在G里邻接（相邻）
e关联（连接）顶点u和v
图G中顶点v的度, deg(v)， dG(v)
与该顶点关联的边数，自环为顶点的度做出双倍贡献。
假设G和G’是不交的无向图, 定义GG’如下：
以V(G)∪V(G’)为顶点集 以E(G)∪E(G’)∪{{x, y}| xV(G), yV(G’)}为边集
举例, K2 K3 = K5. 简单图G的补图（complement graph），记为 G
G=(V, E) 的补图定义为 (V, [V]2 \E)
南京大学研究生入学考试复试试题离散数学
严禁用于商业用途?前言??本文收集了1997、1998年和2001年到2007年和2009年南京大学研究生入学考试科目《离散数学》的试卷以及相应试卷答案。
2008年试题未找到 1997年到2007年试题给出本人所做的答案 因为离散数学难度大 很多答案问过原来教我们离散数学的老师 老师也只能给出部分答案 所以不能保证全部答案的正确性 2009年试题答案未与同学核对 同样不能确保答案正确性 故不在此给出。
部分答案有更优解 需要同学们自己开发。
??南京大学从2005年开始把《离散数学》作为复试科目 满分为80分 与《编译原理》同为笔试项目 总分150分。
主要考试部分为数理逻辑、集合论、代数结构和图论。
推荐复习时候以南大课件为主 课件在网上可以查到 有宋方敏和陈道旭两种版本。
通过真题发现 很多题目都是课件上证明题的原题 而且考试重点与课件也吻合。
??离散数学特点就是难度大 上手容易深入难。
代数系统和图论两章难度非常大 所以复习好离散数学要有一定的耐心和钻研精神。
?相信天下无难事 只怕有心人。
祝愿所有有志考南大CS的同学金榜提名。
????????????????????冷城???????????????????2009年7月??????????1?/?30??严禁用于商业用途?1996年?一 试证 ?a.自然数集为无限集中势最小者。
?b.不存在最大的势。
??二 任给无向图G 其联结矩阵为A=[aij] 即若存在边(vi,vj)则aij=1否则aij=0 试定义矩阵运算并给出关于A的矩阵的表达式 B=E(A) 使得矩阵B=[bij]满足 对于G中的任意两结点vi,vj若其间存在通路则bij=1否则bij=0。
??三 任给无向图G ?对G中的边赋予方向得图G’ 试证 存在G满足对任意两点v1,v2 G’不论从哪点为始终端均有有向通路到达另一点的充分条件是原图G连通且不存在割边。
??四 试分别用永真推理过程和假设推理过程证明 ????(?α→?(?β?→?γ?)?)?→?(?(?α?∧?β?)?→?γ?)??五 试给出下式的析合范式和合析范式 ????(?p?→?q?)?→?(?p?→?r?)??六 试用谓词演算公式来描述一个代数系统(A,*)为一个群。
NNG-教师教案-离散数学-黄海华
南宁学院教案承担课程的教学单位高博软件学院承担课程的教研室专业教研室授课对象14计算机科学与技术课程名称离散数学授课教师黄海华编制时间2016-8-30南宁学院教务处制离散数学课程教案说明：本页用于某一章节或某一课教学实施方案的设计，该表可根据内容加页。
南学学院讲稿纸3分钟：课程介绍第一部分数理逻辑：主要内容●命题逻辑基本概念●命题逻辑等值演算●命题逻辑推理理论●一阶逻辑基本概念●一阶逻辑等值演算与推理7分钟：命题与联结词命题与真值命题：判断结果惟一的陈述句命题的真值：判断的结果真值的取值：真与假真命题与假命题注意：感叹句、祈使句、疑问句都不是命题陈述句中的悖论，判断结果不惟一确定的不是命题10分钟：例1 下列句子中那些是命题？(1) 是有理数.(2) 2 + 5 = 7.(3) x + 5 > 3.(4) 你去教室吗？(5) 这个苹果真大呀！(6) 请不要讲话！(7) 2050年元旦下大雪.10分钟：命题分类：简单命题（也称原子命题）与复合命题简单命题符号化●用小写英文字母p, q, r, …, p i, q i, r i (i≥1)表示简单命题●用“1”表示真，用“0”表示假例如，令p：√2 是有理数，则p 的真值为0，q：2 + 5 = 7，则q 的真值为110分钟：定义1.1 设p为命题，复合命题“非p”(或“p的否定”)称为p的否定式，记作⌝p，符号⌝称作否定联结词. 规定⌝p为真当且仅当p为假.定义1.2 设p,q为两个命题，复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q，∧称作合取联结词. 规定p∧q为真当且仅当p与q同时为真.定义1.3 设p, q为两个命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q，∨称作析取联结词. 规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.10分钟例2 将下列命题符号化.(1) 吴颖既用功又聪明.(2) 吴颖不仅用功而且聪明.(3) 吴颖虽然聪明，但不用功.(4) 张辉与王丽都是三好生.(5) 张辉与王丽是同学.解令p:吴颖用功, q:吴颖聪明(1) p∧q(2) p∧q(3) ⌝p∧q(4) 设p:张辉是三好生, q:王丽是三好生p∧q(5) p:张辉与王丽是同学(1)—(3) 说明描述合取式的灵活性与多样性(4)—(5) 要求分清“与”所联结的成分个数依次查起，分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.离散数学课程教案说明：本页用于某一章节或某一课教学实施方案的设计，该表可根据内容加页。
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1
一种证法：
f
(
x)
2 1
22
1
2n 2 x
x0
x 1
x
1 2n
,
n
1,2,3...
x为其它值
优势关系的反对称性用于证明等势 (续)
证明实数集的两个子集(0,1)和[0,1]等势。
分别找两个一对一的映射往往比找一个双射 容易
f : (0,1) [0,1] : f (x) x g : [0,1] (0,1) : g(x) 1 x
<0,4>
<0,0>, <0,1>, <1,0>, <0,2>, <1,1>, <2,0>, <0,3>, ......
mn
l(m, n) i (m 1) i 1
实数集不是可列集
例子
幂集的基数
康托尔定理
0到1之间有理数多还是无理数多 ？
集合的“大小” – 基数
曲线 点
可列 我们能想象
有限
到的世界
？还有什么
我们能感觉 到的世界
重要的等势优势关系
集合用于分类
E
F
EF
既学英语，又学法语Байду номын сангаас同学
将属于某个集合的元素理 解为“具有某种性质”的 对象，则属于该集合的补 集的元素则是“不具有某 种性质”的对象。
例如：
将全班同学的集合视为全集。
其子集E是学英语的同学的集 合，或理解为满足性质E的对 象的集合。类似地，F是学法 语的同学的集合，即满足性质 F的对象的集合。
有穷与无穷：差别不仅是数量
伽利略悖论：
传统公理：整体大于部分” 伽利略发现：{1,2,3,…}与{12,22,32,…}一一对应。
有穷与无穷：差别不仅是数量
与自然数有关的若干命题
证明无限集等势的例子
证明无限集等势的例子
直线上的点集与平面上的点集等势
0.a1a2a3....... 0.b1b2b3......
+ 48! = 2,338,560
三个有限集合并集的计数
假设定义全集的三个子集A,B,C。则： |ABC|=|A|+|B|+|C|-|AB|-|AC|-|BC|+|ABC|
证明：
|ABC|=|AB|+|C|-|(AB)C|
=|A|+|B|-|AB|+|C|-|(AC)(BC)|
=|A|+|B|-|AB|+|C| - |(AC)|-|(BC)|+|(ABC)|
0.a1b1a2b2a3b3.....
这实际上意味着直线上的点与任 意有限维空间的点“一样多”！
集合的优势关系
如果存在从集合A到集合B的单射，则称“集 合B优势于集合A”
集合B优势于集合A 记为 A≼•B
如果集合B优势于集合A，且B与A不等势，则
称“集合B真优势于集合A”，记为A≺•B
实数集合真优势于自然数集 例子：对任意集合A，A的幂集真优势于集合A
这10个数字所有的排法构成全集U, |U|=10! 第1个数字不大于1的排法构成子集A(即所有以0或者1开头的排法),
|A|=29! 最后一个数字不小于8的排法构成子集B(即所有以8或者9结束的
排法), |B|=29! |AB|=228! 题目要求的排法构成子集(~A~B) |(~A~B)| = |U| - |AB| = |U| -|A| - |B| + |AB| = 10! - 49!
=|A|+|B|+|C|-|AB|-|AC|-|BC|+|ABC|
集合的大小称为集合的“势” (cardinality)
集合S的势记为|S|
集合的等势关系
等势关系的定义：
如果存在从集合A到集合B的双射，则称集合A与 B等势。
集合A与B等势记为：AB, 否则A≉B AB意味着：A，B中的元素可以“一一对应”。
要证明AB，找出任意一个从A到B的双射即可。
“等势”的集合就被认为是“一样大”
自然数集是无限集
可列集
可列集
有限集与无限集
S是有限集合，iff. 存在自然数n，使得S与n等势 S不是有限集合(即：无限集)，iff. 存在S的真子集S’，使得S
与S’等势
S一定包含一个与自然数集合等势的子集M = {a1,a2,a3,…} (这实际
上意味着：自然数集是“最小的”无限集) 令S’=S-{a1}，可以定义ƒ:SS’如下： 对于任意xM, ƒ(ai)= ai+1； 对于任意xS-M, ƒ(x)= x 显然这是双射，即S与其真子集S’等势 假设S是有限集，令|S|=n, 则给S任意的真子集S’, 若|S’|=m，必有m<n, 因此从S ’到S的任一单射不可能是满射。
集合计数
离散数学：第八讲
提要
集合的大小 无限集合 等势与优势关系 集合计数 容斥原理
自然数与无穷集合
回顾：无穷公理
回顾：从集合构造自然数
自然数的Peano公理系统
有关自然数的若干命题
我们怎么比较集合的大小
“数得清”的我们就数元素个数。
“无数”的怎么办？
“常识”不一定经得起追问。
集合优势关系的性质
自反性：恒等函数 若A≼•B，且B≼•A，则AB (比较:反对称性)
(Cantor-Bernstein定理)
传递性：单射的复合仍然是单射
优势关系的反对称性用于证明等势
有时候找双射不太容易
证明实数集的两个子集(0,1)和[0,1]等势。
关键是如何安排在[0,1]中但不在(0,1)中的0和1。 想象那个“宇宙旅馆”。我们可以取(0,1)的一个与自然数集合 等势的子集(一定有){a1,a2 ,a3 ,...}, “腾出”前两个位置安排0和1
24
注意：g([0,1]) [1 , 3] 24
自然数集的笛卡儿积是可列集
所有的整数对构成的集合与自然数集等势
<0,0> <0,1> <0,2> <0,3>
<1,0> <1,1> <1,2> <1,3>
<2,0>
<2,1>
<2,2>
...
<3,0>
<3,1>
...
<4,0>
...
...
类似的图形显示： 可列个可列集的并 集仍然是可列集合
两个有限集合并集的计数
E
F
EF
假设全班共100人，记为
|U| = 100
学英语的50人，学法语的 30人，分别记为：
|E| = 50; |F| = 30
显然，只要EF，既不 学英语，也不学法语的人 数并非20人。
|EF| =(|E|+|F|) - |EF|
既学英语，又学法语的同学
多少种排法？
将0,1,2,...,9排成一列，要求第1个数字大于1，最后一 个数字小于8，共有多少种排法？