数学数表从杨辉三角谈起讲义

+ 数表—从杨辉三角谈起 2
下面是按规律排列的杨辉三角：
图(1) 图(2)
(1)杨辉三角第8行第2个数是_________;
(2)观察图(2)中的线，你会发现左斜线的数之和等于下一行右面的数．如：1+2+3=6，照此规律，第8行的第3个数是_____．
(3)杨辉三角第1行的所有数之和为1，第2行的所有数之和为2，第3行为4，第4行为8，…，那么，第n 行的所有数之和是________.
(4)杨辉三角中，第101行中左起第三个数是 ．
(5) 5050可能是杨辉三角中第几行的第几个数?
[杨辉三角]★★
【分析】 ⑴根据题意：每一行第2个数是1n -；所以第8行第2个数是7.
(2) 1+2+3+L +6=21．老师可拓展到第n 行的第3个数．
(3)第n 行的和是12n -，所以第10行所有数的和是1012512-=.
(4)考查学生对杨辉三角形特性的认识． ………………………...
(110511051)
61441
3131
121
11
------------------------------------------------------------------------------------------- 例1
第三行左起第三个数是11=；
第四行左起第三个数是312=+；
第五行左起第三个数是6123=++；
第六行左起第三个数是101234=+++；
……
归纳可知，第101行左起第三个数是
991001239949502
⨯++++==L . 或者是杨辉三角的每一行的第三个数都满足21n C -，所以第
101行的第三个数是2210111001009949502C
C -⨯===. (5)杨辉三角第m 行第n 个数实际就是1
1n m C --． 1
1(1)!5050()!(1)!n m m C m n n ---==--，而，101是质数，因此m -1≥101，0<n -1<m -1.当n =2，m =5051;当n ＝3时，m =102；当1
2m -≥n >3时，存在
122111015050n m m C C C --->>=.不会再出现5050.因此5050在左侧只能出现在第5051行第2个数和第102行第3个数．由对称可知，第5051行第5051个数和第102行第100个数也是5050.
杨辉三角中，55可能是杨辉三角中第几行的第几个数?
[杨辉三角]★★
------------------------------------------------------------------------------------------- 练一练
【分析】 第56行第2个和第55个；第13行第3个和第11个．
(1)如图所示的三角形数表中，满足：
①第一行的数为1；
②第n 行首尾两数均为n ，其余的数都是等于它肩上的两个数相加；则第50行第2个数是_________.
1
22
343
4774
51114115
6162525166
L L L (2) 下图是按规律排列的三角形数表：
1
111
12321
1367631
①在方格中填上第五行的各个数．
②求第10行各数的和．
[杨辉三角]★★☆ 【解析】
(1)每一行的第二个数是22223(1)2
n n n -+++++-=L ，代入50n =后，得第50行第2个数是1226.
------------------------------------------------------------------------------------------- 例2
(2)由数表可以得到如下的规律，
(a )两边的数以中间的数为轴对称分布，两边分别包1，其他的数等于上一行对应的数和相邻数的和；
(b )每一行数的和分别是：1，3，9，27…，即第n 行数的和是3n -1，由此解决．
①1+0=1，1+3=4，1+3+6=10，3+6+7=16，6+7+6=19，后面的数就是16、10、4、1；
故答案为：1、4、10、16、19、16、10、4、1；
②93=19683；
如图所示三角形数表叫“莱布尼茨调和三角形”，有111=+122、
111=+236、111=+3412
、……、则第11行第2个数（从左往右数）为________。

1
1
1
12
21
113
631
1114
121241
11115
2030205L L L L L L
[杨辉三角]★
【解析】 “莱布尼兹调和三角形”数阵中所示的规律，可得每1行的第1个数均为行数的倒数，且每一个数等于下------------------------------------------------------------------------------------------- 例3
一行中“脚踩”的两个数的和，第10行第1个数是110.第11行第1个数是111，则第11行第2个数是1111011110-=。

如图，从1开始的自然数按某种方式排列起来，请问：
(1)第10行左起第5个数是多少?
(2)100在第几行?100是这一行左起第几个数?
(3)前10行的数的和是多少?
1
23
456
78910
L L
[三角形数表]★★
【解析】 （1）第9行的最后一个数为：()199452
+⨯=，所以第10行左起第5个数为45+5=50.
（2） 根据题意：1231391++++=L ，第13行的最后一个数是91，所以100在第14行，是这一行中的第100919-=个数．
（3）前10行一共1231055++++=L 个数，()15555
15402+⨯=
------------------------------------------------------------------------------------------- 例4
把自然数按如下规律排成三角形数表：如4是第3行的第3个数，那么(1)自然数60是第____行的第____个数．(2)94是第___行的第____个数.
1
23
654
78910
1211L L
[三角形数表]★★
【解析】 观察规律.每n 行有n 个数，奇数行是从大数到
小数，偶数行是从小到大； (1)1232
n n n +++++=L ， (1)1011552⨯=，1112662⨯=，因此60在第11行，
666017-+=，所以60是11行第7个数.
(2)1314912⨯=，14151052⨯=，94-91=3，因此94在第14
行第3个数．
此题可以说是自然数列的“神龙摆尾”，奇数行第一个数是三角形数，偶数行最后一个数是三角形数，在做题时，要分清方向．
如图，把从1开始的自然数按某种方式排列起来.请问：
（1）200排在第几行，第几列?
-------------------------------------------------------------------------------------------
例5 ------------------------------------------------------------------------------------------- 练一练
（2）第18行第22列的数是多少?
1
24711163
5812176
91310
1415
L L L L L L
[三角形数表]★★
【解析】 （1）根据题意，每一行相邻两个数的差在依次增加1，每一列的相邻两个数的差依次增加1，所以
12345678910111213141516171819190++++++++++++++++++=， 得到190排第19行第1列，191排在第1行第20列.所以200排在10行第11列；（由原数表转化到下数表，原数表中行数+列数相等的数都在此数表中的同一行中．）
1
32
654
10987
1514131211
1716L
（2）第18行的第1个数为：12318171+++⋯+=.
公差为18.所以第22列为17118192038759+++++=L
把从2开始的偶数数列排成如下图所示三角形数表，则表中的偶数80是第_____行第_____个数. -------------------------------------------------------------------------------------------
例6
2
46
81012
14161820
L L L
[三角形数表]★★★
【解析】 法1：每个偶数都除以2，会得到例2中的自然数列，80是第40个偶数，1+2+3+4+5+6+7+8=36，40-36=4.因此80在第9行第4个数．
法2：第n 行的最后一个数是(1)n n +，第8行最后一个数为72，之后第9行的前几个数分别为74，76，78，80，因此80在第9行第4个数．
把奇数数列排成如下图所示三角形数表，则表中的奇数67是第________行第________个数.
1
35
7911
13151719L L L
[三角形数表]★★★
【解析】 上面数表第n 行有n 个数，所以前n 行有
(1)1232
n n n +++++=L 个数，从小到大排列. 先计算67是第(671)234+÷=个奇数；
-------------------------------------------------------------------------------------------
练一练
前7行一共有7(71)282
⨯+=个数. 34286-=，所以67是第8行第6个数.
如图所示数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右都是无限项，则这个数表中的第13行中第10个数是__________.
123456735791113812162024 L
L
L L L L L
[三角形数表]★★★☆
【解析】 研究这个数表，可以得到规律：某数是其上间隔一行，垂直位置的数的4倍．因此第13 行第10个数，是第11行第11个数的4倍、第9行第12个数的2
4倍，直至第1行第16个数“16”的64倍．因此这个数为16×46=216，故答案为216.
4倍的关系可以用下图来证明：设三个数分别为, ,n d n n d -+
2- 2 4n d n n d
n d n d
n -++
------------------------------------------------------------------------------------------- 例7
表中的第一行依次全部排列出1到100的整数，然后从第二行起根据规律一直排到最后的第100行。

问：这个表中一共有多少个数能被77整除?
第1行 1 2 3 4 5……………………96 97 98 99 100
第2行 2 5 7 9…………………………193 196 197 199
第3行 8 12 16………………………………388 392 396
第4行 …………………………………………………………
第5行 …………………………………………………
· ……………………………………………
· ………………………………………
· …………………………………
·
第100行 ………………………
[三角形数表]★★★★
【解析】 在这个表里,有的数的正下方写着它4倍的数.
假如,某数是不能被77整除的数,那么不管它被4乘多少回,
也不能被77整除.于是我们得知不能被77整除的数下面写的数都不能被77整除.那么,如果某数是可以被77整除,不管乘多少回4,得出的数都可以被77整除.可被77整除的数下面都可以被77整除.题目的表中从左右两边第N 个的下面写着N 个整数.表的第一行从右数第24个是77,在它下面写的24个整数都可以被77整除.另外,从左数第二行第38个是383977+=,所以在它下面写的38个整数都可以被77整除.在表的第一行和第二行里除此之外再没有可以被77整除的数了.从整个表来看,除了上述的2A +12A -14A A +1A
A -1
------------------------------------------------------------------------------------------- 例8
+=个以外,再也没有可以被77整除的数了,所以243862
答案为62.
五年级第2讲数表――从杨辉三角谈起（C版）11。