第六讲：二阶对称张量及其主轴化
5第一章5二阶对称
0 0 H ij
i j k 有二个相同 i j k偶排列 i j k奇排列
13 1 0 0 23 0 1 0 33 0 0 1
x2 x1 x'2 x2
H ijkl
x'1 x1
0
i j k l i j k l ik j l il j k 其它
11 12 ij 21 22 31 32
H1111 H '1111 1m 1n 1 p 1q H mnpq
12 111112 H 2112 12 1112 11H 2121 12 12 1111H 2211 12 12 12 12 H 2222
H1111 11111111H1111 111112 12 H1122 1112 1112 H1212 1112 12 11H1221
4）三阶各向同性张量
1
3 2
H ijk ijk
ii）
x3 x'3 x3
H ijk
0 0
i j k 有二个相同 i j k偶排列 i j k奇排列
13 0 1 0 23 1 0 0 33 0 0 1
s33
1 0 S 0 2 0 0 0 0 3
2）
③ 三个主值相同
S e1 e3 e3
e2 e3 e1
s11
s21 0
s31 0
e3
s11 s22 s33 1 2 3 3
x2 x1 x'2 x2
第06讲 主切应力和八面体应力
( 2 3 ) m [( 2 3 ) 2 ( 1 3 ) l 2 ( 2 3 ) m ] 0
2
2
（1）由上式， l=m=0 为其一组解。由l2+m2+n2=1, 得n=±1， 代表一对主平面。τ=0,正应力为σ3
l l2=1-m2-n2 m2=1-l2-n2 n2=1-l2-m2
l m n 1 3
八面体应力
2、八面体应力的求解
lmn 1 3
1
0
2 2
0
0 0
2
0
1l 2 m 3 n
1 3
2
0
3
8
( 1 2 3 ) m
J1 3
=
1 3
( x
y
z)
八面体应力
2、八面体应力的求解
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
将 n 1 l m
2 2 2 2 2
代入上式，消去n
2 2 2 2 2 2 2 2
1 l 2 m 3 (1 l m ) [ 1l 2 m 3 (1 l m )]
( 1 3 ) l ( 2 3 ) m 3 [( 1 3 ) l ( 2 3 ) m 3 ]
2
2
（2）若σ1=σ2=σ3，则上式有无穷多解。τ≡0——球应力状态。
主切应力
主切应力平面求解
( 1 3 ) l [( 1 3 ) 2 ( 1 3 ) l 2 ( 2 3 ) m ] 0
2 2
( 2 3 ) m [( 2 3 ) 2 ( 1 3 ) l 2 ( 2 3 ) m ] 0
对称的变形速率张量
对称的变形速率张量对称的变形速率张量是描述物体在变形过程中各个方向上的变形速率的张量。
在材料力学领域中，变形速率张量是一个重要的概念，它可以帮助我们理解和分析物体的变形特性。
变形速率张量是一个二阶张量，具有三个主轴和三个主值。
其中的主轴对应着物体的主要变形方向，而主值则表示了物体在该方向上的变形速率大小。
对称的变形速率张量具有一个重要的特性，即其主轴与物体的对称轴一致。
这意味着物体在变形过程中，对称轴上的变形速率是相同的，而其他方向上的变形速率可能不同。
为了更好地理解对称的变形速率张量，我们可以以一个弹性材料的拉伸变形为例。
当一个弹性材料受到拉伸力时，其会发生变形，形成一个拉伸状态。
在这个过程中，材料会沿着拉伸方向发生线性的变形，而在垂直于拉伸方向的方向上则几乎不变形。
这意味着材料的变形速率在拉伸方向上是最大的，而在垂直于拉伸方向的方向上则是最小的。
因此，这个变形过程中的变形速率张量是对称的。
对称的变形速率张量在实际工程中有着广泛的应用。
例如，在材料的弹性和塑性变形分析中，对称的变形速率张量可以帮助我们确定材料的变形特性和应力分布情况。
此外，在流体力学中，对称的变形速率张量也被用来描述流体的剪切变形和应变率分布。
在工程实践中，我们通常使用应变率传感器来测量物体的变形速率。
这些传感器可以将物体的变形速率转化为电信号，从而实现对变形速率的测量。
通过测量不同方向上的变形速率，我们可以得到对称的变形速率张量的主值和主轴。
这些数据可以用于进一步分析和设计工程结构。
对称的变形速率张量是描述物体在变形过程中各个方向上的变形速率的重要工具。
它的应用范围广泛，可以帮助我们理解和分析材料和流体的变形特性，以及设计和优化工程结构。
通过测量和分析变形速率张量，我们可以更好地理解物体的变形行为，并应用于实际工程中。
2.4二阶张量标准形
T·g3=l3g3 g3
T·g2=l1g2 g2
g1
T·g1=l1g1
（2）特征矩阵具有2次的初等因子l-l12以及l-l3)： l
经过初等变换，可以化为
Σ
l
J
2
l1
0
0
J1 l3
l
0 0
l1
1
l l1
0
0
0
l l3
式中Jn(li)称为对应于特征根li的n阶约当块。T 可以化为约
j
l01
0
l2
0
0
0 0 l3
T·g3=l3g3 g3
T·g2=l2g2 g2
g1
T·g1=l1g1
（2）特征方程具有一个实根与一对共轭复根——l1,l2为
一对共轭复根。设
l1 l i l2 l i
则仍有
T λ1 g1 g1 λ2 g2 g2 λ3 g3 g3
T
i •
j
l01
设
g1 g1
g3 g3
g2
i 2
gi
在 g1 , g2 , g3为基矢量的坐标系内
T
λ1 g1 g1
T
1 •2
g1
λ1
g2
T
3 •2
g3
g2 λ3 g3 g3
T
i •
j
l01
T 1 •2 l1
0
0
0
T 3 •2
l3
T g2
22T
1 •2
g1
l1
g2
T2 3 2 •2
l 0
T
i •
j
l
0
0 0 l3
T·g'3=l3g'3
第二章 二阶张量
第二章：二阶张量1. ij T ij ji i j j i i j T T T ;=⊗=⊗=⊗T g g T g g g g ij i j ij i j T ; T =⋅⋅=⋅⋅g T g g T g2. T =T.u u.TT ij ij ij ij j i j i i j j i ( = T T u ;T T u )⋅⊗==⊗⋅=u.T u g g g T.u g g u g 3.i .j det()T =T行列式不等于零的二阶张量定义为正则二阶张量 正则二阶张量存在逆张量：1-⋅T T =G 4.主不变量①1)()()ζ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=⋅⨯T u (v w)+u (T v w)+u (v T w )u (v w)（1.()::i i Tr T ζ====T T G G T)()()i j k ijk S u v w ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=T u (v w)+u (T v w)+u (v T w )（m m mijk .i mjk .j imk .k ijm S T T T εεε=++由于mik imkmmmiik .i mik.i imk.k iimS T T T εεεεε=-⇓=++=当i,j,k 当中有两个相等时，0iik S = 当i j k ≠≠时i j k m ijk .i .j .k ijk not sum ijk .m ijk S (T T T )T εε=++=②2)[)][()(]()[()]()ξ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （2......122123323113.1.2.1.2.2..3.2..3.3.1.3.1112233.1.2.2..3.3.1223311.1.2.2..3.3.111()22ij l mi j i l lm i j i j l j T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T TTTTT T ζδ==-=-+-+-=++注意：ij ijklm lmkδδ=是张量的分量张量T 行列式中各阶主子式之和)[)][()(]()[()]i j k ijk S u v w ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w （ 其中......()m n m n n mijk i j mnk j k imn k i mjn S T T T T T T εεε=++..........()0m n m n n m iik i i mnk i k imn k i min m n i i mnk m n i i nmk iik S T T T T T T T T T T S εεεεε=++===-=当i,j,k 当中有两个相等时，0iik S = 当i j k ≠≠时 (122123323113).1.2.1.2.2..3.2..3.3.1.3.12()()i j j i j k k j k i i k ijk i j i j j k j k k i k i ijk not sumijkijkijkS T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T εεζε=-+-+-=-+-+-=③()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w...()[()()]()()()i j k l m nl m n ijkl m n lmn T T T u v w det u v w det εε⋅⋅⋅⨯⋅===⋅⨯T u T v T w T T u v w ④()()det()()T T -⋅⨯⋅=⨯T v T w T v w()[()()]det()()[()()]det()()T⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w u T T v T w T u v w由于上式对任意矢量u 都成立[()()]det()()()()det()()T T-⋅⋅⨯⋅=⨯⋅⨯⋅=⨯T T v T w T v w T v T w T T v w⑤主不变量与矩之间的关系*1*2..*3...()()()ii i kk i i j kj k i Tr T Tr T T Tr T T T ζζζ===⋅==⋅⋅=T T T T T T2212112212ij k li j j i kl .i .j .i .j .i .j *T T (T T T T )[()]ζδζζ==-=-3.....................*3***13121611()()661(()23)6ijk l m nlmn i j ki j k j k i k i j j i k i k j k j i i j k i j k i j k i j k i j k i j k e e T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T ζζζζζ==++-++=+- 二阶张量标准形 1. 特征值、特征向量 λ⋅=T v v ()λ-⋅=T G v 01111232221233331230.........T T T T T T T T T λλλ--=-特征方程 321230λζλζλζ-+-= 特征根是不变量2. 实对称二阶张量标准形 1. 特征根是实根*************; ; ()0 () λλλλλλλλ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-⋅=⇒=⋅-=⇒=N v N v v v N v v v v N v v v v v N v v 0v v2. 特征向量互相正交1112222112112212121212 ; ; ()00λλλλλλ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-⋅=⇒⋅=N v v N v v v N v v v v N v v v v v v v 3. 不存在约当链如果λ是n 重根，但不存在相应的特征向量12,v v ,使1122 ; λλ⋅=⋅=T v v T v v则一定存在约当链11221λλ⋅=⋅=+T v v T v v v然而对对称张量112212112121211110λλλλ⋅=⋅=+⇓⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅+⋅⇓⋅=N v v N v v v v N v v v v N v v v v v v v这是不可能的。
2.6二阶张量的分解
N =P+D
于是 其中
T = N + = P + D+ 1 T i 1 T i j j P = P j g i g = J 1 δ j g i g = J1 G 3 3 1 k P T N J1 = J1 = J1 = N k 3 1 N 2 1 N 3 P P J 2 = J1 J3 = J1 3 27
i3
1 (i1 + i2 + i3 ) n= 3
N 在八面体等斜面上作用的矢量分量： 在八面体等斜面上作用的矢量分量：
σ
i3' n i2' pn
1 (N1i1 + N 2 i2 + N 3i3 ) pn = N n = 3
pn 的法向分矢量： 的法向分矢量：
i1
i1'
ω τ
i2
1 1 N σ = ( N : nn )n = (N1 + N 2 + N 3 )n = J1 n 3 3
π J cos ω 3
D 2
π J cos ω + 3
D 2
2 D3 = 3
J 2D cosω
就可满足前述三式。 就可满足前述三式。利用其中第三式可证
cos3ω =
27 J 3D 2J
D 32 2
不失广泛性， 不失广泛性，可设 D1 ≥ D2 ≥ D3 ，因此必有 D1 ≥ 0, D3 ≤ 0, 从而
2
T T T = H T QT Q H = H 2 > O
后二式存在方根，且其方根也是正张量， 后二式存在方根，且其方根也是正张量，即
H = T T T > O
H1 = T T T > O
第06讲应变的坐标变换与应变张量
§3.3 应变的坐标变换与应变张量学习思路:与应力状态分析相同，一点的应变分量在不同坐标系下的描述是不相同的,因此讨论应变状态，就必须建立坐标变换，就是坐标转动时的应变分量变换关系。
本节通过新坐标系与旧坐标系之间的位移变换关系式,根据几何方程，通过复合函数的微分，就可以得到应变分量的转轴公式。
转轴公式表明应变张量也是二阶对称张量.根据转轴公式,一点的六个独立的应变分量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定，即应变状态完全确定。
应变状态分析表明：坐标变换后各个应变分量均发生改变，但是作为一个整体，一点的应变状态是不会改变的。
学习要点：1. 坐标变换；2. 应变分量坐标转轴公式；3. 应变张量。
应变可以描述一点的变形,即对微分平行六面体单元棱边的伸长以及棱边之间夹角的改变做出定义。
但是这还不足以完全描述弹性体的变形,原因是应变分析仅仅讨论了棱边伸长和夹角变化，而没有考虑微分单元体位置的改变，即单元体的刚体转动。
通过分析弹性体内无限邻近两点的位置变化,则可得出刚体的转动位移与纯变形位移之间的关系。
设P点无限邻近O点，P点及其附近区域绕O作刚性转动，转过微小角度。
设转动矢量为ω，OP之间的距离矢量为，如图所示。
则引入拉普拉斯算符矢量设P点的位移矢量为U，有U =u i +u j +u k由于位移矢量可以表示为U =ω×，所以即其中x，y, z为转动分量，是坐标的函数,表示了弹性体内微分单元体的刚性转动。
设M点的坐标为（x,y，z），位移（u，v,w）.与M点邻近的N点，坐标为（x+d x,y+d y,z+d z），位移为（u+d u,v+d v,w+d w)。
则MN两点的相对位移为（d u，d v,d w）。
因为位移为坐标的函数，所以同理可得以上位移增量公式中，前三项为产生变形的纯变形位移，后两项是某点邻近区域的材料绕该点像刚体一样转动的刚性转动位移.刚性转动位移的物理意义为, 如果弹性体中某点及邻近区域没有变形，则与某点无限邻近这一点的位移，根据刚体动力学可知，是由两部分组成。
《二阶张量的矩阵》课件
06 二阶张量的实例分析
实例一：弹性力学中的应力张量
弹性力学中的应 力张量定义
应力张量的基本 性质
弹性力学中的应 力张量应用
实例分析：某具 体弹性力学问题 中的应力张量
实例二：流体力学中的应力张量
应力张量的定义与性质 流体力学中的应力张量表示 应力张量在流体力学中的应用 实例分析：某流体力学问题的应力张量分析
电磁学：二阶张量用于描述电磁场 的应力-能量张量
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
流体力学：二阶张量用于描述流体 的应力场
相对论力学：二阶张量用于描述相 对论力学中的应力-能量张量
在工程中的应用
结构分析：利用二阶张量矩阵对结构进行力学分析，包括应力、应变、刚度等
弹性力学：二阶张量矩阵在弹性力学中的应用，如弹性问题的求解、弹性本构关系的 建立等
注意事项：在计算过程中需要注意各个分量的符号和顺序，以确保结果 的正确性
应用范围：适用于所有类型的二阶张量计算，是一种通用的计算方法
间接计算法
定义：通过已知 的一阶张量计算 二阶张量的方法
计算步骤：先计算 一阶张量的偏导数， 再利用高斯公式计 算二阶张量
适用范围：适用 于具有对称性的 一阶张量
注意事项：需要 保证计算精度和 稳定性
二阶张量的矩阵
PPT,a click to unlimited possibilities
汇报人：PPT
目录 /目录
01
点击此处添加 目录标题
04
二阶张量的应 用
02
二阶张量的定 义
05
二阶张量的计 算方法
03
二阶张量的矩 阵表示
06
二阶张量的实 例分析
第2章 二阶张量
8．正交张量：QT = Q−1，Q ⋅ QT = QT ⋅ Q = G
[ （1）在任意斜坐标系中 QT ] ≠ [Q]T ，只有在迪卡尔坐标系中有：[QT ] = [Q]T
（2）正交变换的保内积性：∀u、v有 (Q ⋅ u) ⋅ (Q ⋅ v ) = u ⋅ v
（3）逆定理：u、v变换后内积不变，则变换一定是正交的 （4）正交张量的并矢表达：
T3
•2
T2 •2
T3
δ ε ε • 3
T2 •3
T3
= 1ε 3!
T ⊗T ⊗T
ε=1 6
1 ijk l m n T T T = 6 lmn • i • j • k
T T T ijk
l mn
lmn • i • j • k
•1
•2
•3
[共有6项相加，前后指标均为顺序或逆序为正，一正一逆为负，有非序为零；
111
222
333
N为正（非负）张量 ⇔ N > (≥)0 i
（2）N非负，存在唯一的非负对称张量M，使 M 2 = N
（3）任意非对称张量可以 构造非负张量：
1 ）X = T ⋅T T，Y = T T ⋅T为非负张量，若T可逆，则X、Y为正张量
2）X 、Y 为对称张量
3）X 、Y 为不同的张量，但有相同的主分量
Ni ij
=
1 2
T + T i
ii
ij
j
N ii = 1 j2
T + T ii
i
j
ij
( ) ( ) ( ) ( ) ， ， ， 1
Ω = Ω +Ω
2 ij
ij
ji
Ωij = 1 Ωij + Ω ji 2
二阶对称张量的示性面
⼆阶对称张量的⽰性⾯
⼆阶对称张量的⽰性曲⾯
⼆阶对称张量与⼆次曲⾯
1(,1,2,3)
ij i j S x x i j ==⼆阶曲⾯
i ki k
j lj l x a x x a x ′=′
=1ij ki lj k
l S a a x x ′′=kl
ij ki lj S S a a ′=kl
ki lj ij S a a S ′=
光率体
称⼆次曲⾯包围的椭球为光率体?椭球⾯上⽮径的长度即为折射率?沿晶体不同⽅向传输具有不同的折射率我们可以获得相互垂直两个偏振态在晶体某个波⽮⽅向的折射率。
K D E S
⊥⊥
折射率曲⾯
为什么研究折射率曲⾯
研究⽅便
形象直观
如何获得折射率曲⾯
取任意过晶体中⼼的直线⽅向为光线传输⽅向
利⽤该⽅向⽮量定义该⽅向过晶体中⼼的垂直截⾯，求出它与光率体外表⾯的交线（椭圆）
求该椭圆的长轴和短轴
由于取得⽅向任意获得的即为椭圆长短轴曲⾯－即两互相垂直偏振态的折射率曲⾯。
张量分析基础
二阶张量的表示
P1 T11 P = T 2 21 P3 T31 T12 T22 T32 T13 Q1 T23 Q 2 T33 Q 3
傀标表示必须成对出现
爱因斯坦求和规则：傀标表示法
Pi =
∑T Q
j =1 ij
3
j
( i = 1, 2 ,3) ( i , j = 1, 2 ,3)
x1* a11 * x 2 = a 21 * x 3 a 31
a12 a 22 a 32
a13 x1 a 23 x 2 a 33 x 3
Neuman原理
物质张量、场张量
— 物质张量是建立晶体在外场作用下的响应与外场之间关系的物理性 能，物质张量受到晶体对称性的制约，如弹性系数 — 场张量：外场张量及晶体对外场响应后所产生的新的物理量，不受 晶体对称性的制约，如应力、电场 — 晶体响应，受外场、物理性能和晶体对称性的共同影响，如应变
—二次曲面方程系数与张量分量 具有相同的变换规律； —二次曲面方程称为张量S的示 性二次曲面； —示性二次曲面可描述具有二阶 对称张量性质的物理特性；
示性二次曲面的主轴
二次曲面的主轴方程
S x + S x + S x =1
2 1 1 2 2 2 2 3 3
x2 a
2
+
y2 b
2
+
z2 c
2
=1
P Q
Neuman原理
— 一个晶体的任何物理性能的对称性必须包括晶体点群的对称性， 即 G物性G点群； — 例1：属于立方晶系的晶体的介电系数可以是各向同性的； — 例2：属于立方晶系的晶体的介电系数不可以只有一个四次对称轴。
晶体对称性对二阶对称张量的制约
第06讲 主切应力和八面体应力
x ' xy xz J 3 yx y ' yz zx zy z '
应力张量的分解
2 2 2 J 2 ( x ' y ' y ' z ' z ' x ') xy yz zx
1 2 2 2 2 [6( x ' y ' y ' z ' z ' x ') 2( x ' y ' z ') ] xy yz zx 6 1 2 2 2 [( x ' y ')2 ( y ' z ')2 ( z ' x ')2 6( xy yz zx )] 6 1 2 2 2 [( x y )2 ( y z )2 ( z x )2 6( xy yz zx )] 6
2、八面体应力的求解
1 2 2 2 lmn 2 1 l 2 2 m 2 3 n 2 ( 1 l 2 2 m 2 3 n 2 ) 2 3
2 2 8 [ ( 12 2 32 ) ( 12 2 32 2 1 2 2 2 3 2 3 1 )]
应力张量的分解
八面体应力
1、八面体应力的概念
八面体：以受力物体内任意点的应力主轴为坐标轴，在无限靠 近该点作等倾斜的微分面，其法线与三个主轴的夹角都相等， 在主轴坐标系空间八个象限中的等倾微分面构成一个正八面体， 正八面体的每个平面称八面体平面。 八面体应力：八面体平面上的应力称八面体应力。 八面体平面的方向余弦
方程意义：沿某一方向三个应力分量 对x,y,x轴的变化率之各为零。
【南航研究生课程】[张量分析]第 2 章 二阶张量
![【南航研究生课程】[张量分析]第 2 章 二阶张量](https://img.taocdn.com/s3/m/d4503a0aa216147917112883.png)
第2章 二阶张量研究定义在空间一个固定点（张量的元素是实常数，i g 也是常数）上的二阶张量随坐标系转动的不同形式，不涉及与另一个张量的关系，也不涉及张量运动。
2.1 二阶张量与矩阵的对应分量同一坐标系：j i ijj i i ij ij i j i ij T T T T g g g g g g g g T ====∙∙ 另一坐标系：j i j i j i i i j i j i j i j i T T T T ''''''''∙'''∙'''''====g g g g g g g g● 对应不同坐标的分量不同：,,,jj i i iji j iji j i i jj T T T T T T T T ''''∙∙''''∙∙≠≠≠≠● 对应不同并矢的分也不同：iji i j i ij T T T T ≠≠≠∙∙● 指标满足升降：mm mniji mj im iim nj T T g g T g T g ∙∙===转置()()()()jiijTTijTiTjTj i i j ijijTT TT ∙∙====T g g g g g g g gi jj ii j jiji ij ji i j T T T T ∙∙====g g g g g g g g 分量指标互换 jijii jijij i j ii j i T T T T ∙∙====g g g g g g g g 并矢指标交换一般情况混变分量的转置≠系数矩阵的转置对称 T=N Nji ij N N =、ji ij N N =、i j i j N N ∙∙=、j i j i N N ∙∙=N u u N ⋅=⋅反对称 T=-ΩΩij ji ΩΩ=-、ijjiΩΩ=-、i i jjΩΩ∙∙=-、jj i iΩΩ∙∙=-，Ωu u Ω⋅-=⋅行列式的值 定义：i jT∙=T det ， iji jjiij T g g T T g T 2===∙∙， ij g G =ji ij T T =、jiijTT =、jj iiT T ∙∙=、i iT tr ∙=T ，()i iiiS T tr ∙∙+=+S T ，()S T S T ⋅⋅=⋅tr ，():Ttr ⋅=T ST S二阶张量与矢量的点积—矢量线性变换=⋅w T u ， ii jjw T u ∙=⋅，⋅≠⋅T u u T2.2 正则与退化的二阶张量定理：任意二阶张量将一个线性相关的矢量集映射为线性相关的矢量集 【设矢量集()i u 线性相关，则存在不全为零的实数()i α使：1()()I i i i α==∑u 0,()11()()()()I Ii i i i i i αα===⋅=⋅∑∑0T u T u , 所以()i ⋅T u 也线性相关】定理：[][],,det ,,⋅⋅⋅=T u T v T w T u v w[det T 为两个平行六面体的体积比，三维空间中3个矢量是否线性相关取决与它们的混合积是否为零] 正则与退化det 0≠T 正则二阶张量；否则为退化的二阶张量(1) T 为正则⇔()i u (i =1,2,3) 性无关，则()i ⋅T u 也线性无关。
第06讲应变的坐标变换与应变张量
对于l，m，n的齐次线性方程组，其非零解的条件为其系数行列式的值为零。即
将力不变量相同，J1，J2，J3为应变不变量，分别称为第一，第二和第三应变不变量。
根据特征方程，可以求解得到三个主应变。将求解后的主应变代入公式，并注意到任意一点三个方向余弦的平方和等于1，则可解应变主轴的方向余弦。
在任何应变状态下，至少可以找到三个这样的垂直方向，在该方向仅有正应变而切应变为零。
具有该性质的方向，称为应变主轴或应变主方向，该方向的应变称为主应变。
设ij为物体内某点在已知坐标系的应变张量，求其主应变1，2，3及应变主轴方向n1,n2,n3。设MN为M点的主轴之一，其变形前的方向余弦为l，m，n，主应变为。令d表示MN的长度, 则MN相对伸长为d，如图所示。
设M点的位移为（u，v，w），则N点的位移为（u+du，v+dv，w+dw）。因为
du=在x方向的变形位移分量+刚性转动位移在x方向的分量
=ld+ 刚性转动位移在x方向的分量
根据公式
即du等于纯变形位移与刚性转动位移在x方向的分量之和。根据上述公式，可得
或者写作
同理可得
上述公式是关于l，m，n的齐次线性方程组。
根据转轴公式，一点的六个独立的应变分量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定，即应变状态完全确定。
应变状态分析表明：坐标变换后各个应变分量均发生改变，但是作为一个整体，一点的应变状态是不会改变的。
学习要点：
1.坐标变换； 2.应变分量坐标转轴公式；3.应变张量。
应变可以描述一点的变形，即对微分平行六面体单元棱边的伸长以及棱边之间夹角的改变做出定义。但是这还不足以完全描述弹性体的变形，原因是应变分析仅仅讨论了棱边伸长和夹角变化，而没有考虑微分单元体位置的改变，即单元体的刚体转动。
张量分析课件-3.4 二阶张量的二阶张量函数
上式存在极限的条件是： （1）当T 的特征根= 时， H 的特征根= 。 1 2 （2）极限 lim 存在，因而k0，k1，k2 也接近于相应 2 1 1 2 极限。 III. T 的特征方程具有三重根 1=2=3 具有三重根的能化为对角型标准形的张量只能是球形张量， 故T 为球形张量，考虑→，2→ 的极限过程，H=f (T )表
于三个特征值的集合，与特征值得排序无关。特征值的集合取
T T T , J2 , J3 决于特征方程的系数 J1 ），因此 k0，k1，k2是主不变
T T T , J2 , J3 量 J1 函数，从而H 是 T 的各向同性函数。
II. T 的特征方程具有二重根 1=2≠3
2 1
lim
T 3G 1 2 f T lim T 2G T 1G
3.4.3 同时化为对角型标准形的函数
设二阶张量T 的二阶张量函数 H=f (T )，当T 在某一组基
矢量中化为对角型标准形时，H 在同一组基矢量中也化为对 角型标准形，并设 H 的特征根 i（i=1，2，3)为T 的特征根 i（i=1，2，3)的函数，而与T 的其他性质无关，即
i i j i 1 , 2 , 3
H f T 1 2 1 1 2 2 3 3 1 3 1 2 T 2 1 3 3 1 2 1 3 2
2 2 G 1 2 2 T 3 2 1 3 2
T
i j
3 2 1 J11 J 21 J 3 T 0 0 O
3 2J J J J J
2 2 1 3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1. 6. 2 二阶对称张量的主轴化
什么样的二阶张量可以主轴化（对角化）
数学要求：所有实对称矩阵都可以被对角化
张量主轴化方法
• 线性代数方法 • 求解张量矩阵特征值、特征向量
6
1. 6. 2 二阶对称张量的主轴化
例子 1 ：对如下介电常数矩阵进行对角化
3 1 0 1 3 0 0 0 4
2 0 0 0 4 0 0 0 4
为了得到矩阵的上述变换，坐标轴发生了什么变化？
1/ 2 1/ 2 坐标变换矩阵： 1 / 2 1 / 2 0 0
0 0 1
7
1. 6. 2 二阶对称张量的主轴化
例子 2 ：对如下介电常数矩阵进行对角化
2F ji E j Ei
ij ji
二阶偏微分结果与微分次序无关
4
1. 6. 1 二阶对称张量
对称张量的判断Байду номын сангаас
• 电导率张量
A J E J i Ei
单位时间电阻消耗的能量
A J i Ei ij Ei E j
ij ji
从能量的角度可以证明，介电张量、电导率张量为二阶对称张量！ 应力张量、应变张量如何呢？
2
1. 6. 1 二阶对称张量
二阶对称张量举例 介电张量 电导率张量
应力张量
应变张量
3
1. 6. 1 二阶对称张量
对称张量的判断
• 介电张量
广义力 广义位移 电能表达式
dF E d D Ei dDi
Ei dDi Ei ijdE j
2F ij Ei E j
晶体物理学第一章
晶体物理学基础
主讲人：李飞 电信学院电子系
1
第一章：晶体物理学基础
本章内容
1. 1 晶体的结构概述 1. 2 宏观对称要素和点群
1. 3 坐标变换 1. 4 张量及其基本运算 1. 5 初识晶体物理性质的各向异性
1. 6 二阶对称张量及其主轴化 1. 7 诺埃曼原理 1. 8 张量的变换方法
2 5 0 5 2 0 0 0 3
3 0 0 0 3 0 0 0 7
从能量角度讲，纵向介电常数不可能为负值！ 上述介电常数矩阵是不存在的。
8