设有三个正整数的乘积N是这三个正整数之和的6倍

2003AIME

1． 设有三个正整数的乘积N 是这三个正整数之和的6倍，且其中一个数是另外两个数的和，则N 的所有可能值之和是多少？

2． 设N 表示每一位数上的数字都不同的正整数，且为8的最大整数倍数，则N 除以1000所得的余数是多少？

3． 定义一个“好字”为只由三个字母A ，B ，C 所组成的序列（A ，B ，C 不必全部出现在序列中），其中A 不能紧接在B 之后，B 不能紧接在C 之后且C 不能紧接在A 之后。试问7个字母的“好字”有多少个？

4．在一个正四面体中，以其四个面的中心为顶点可形成一个较小的四面体，若小四面体和大四面体的体积之比为

m

n

，其中m ，n 为互质的正整数，则m+n=？ 5．一圆柱形木头其直径为12英寸，利用两次贯穿此木头的平面切割，可得一个契形木块。第一次切割垂直于此圆柱的中心线，第二次切割所在平面与第一次切割所在平面所夹的二面角为45º，且此二平面之交线恰与圆柱交于一点设所得之契形木块的体积为n π立方英寸，其中n 为正整数，求n 。

6．在ΔABC 中，AB=13，BC=14，AC=15。且G 为三中线的交点，若以G 为中心，将ΔABC 旋转180º后，A ，B ，C 三点分别移动到A ’,B’,C’.那么ΔABC 与ΔA ’B ’C ’所盖住的平面面积是多少？

7．已知菱形ABCD ，ΔABD 与ΔACD 的外接圆半径分别为12。5与2。5，试求此菱形面积。

8．由某两个等差数列之对应项相乘所得的数列为1440，1716，1848，…试求此数列的第8项。

9．设多项式6

5

3

2

()P x x x x x =---，且4

3

2

()1Q x x x x =---，已知1234,,,z z z z 为

()0Q x =的根，求1234()()()()P z P z P z P z +++=？

10．两个正整数相差60，它们平方根的和是某个非完全平方整数的平方根，试问这样的两个正整数之和其最大可能值是多少？

11．ΔABC 为一直角三角形。其中AC=7，BC=24且∠C 为直角。设M 为AB 的中点，且

D 为与C 在AB 同侧的一点，使得AD=BD=15。若将ΔCMD ，其m,n,p

为正整数，m 与p 互质，且n 不可被任何质数的平方所整除。试求m+n+p 之值。

12. 一委员会的委员正从27位候选人中选拔一位会长，每位委员只能从这些候选人中选一人投一票若每位候选人的得票百分率（所谓百分率即a%中的数值a ）皆较其得票数至少少1。问委员会最多有多少位委员？

13．一个跳蚤在一个等腰三角形的三个顶点间跳动，每次跳动可随机由一个顶点跳到其他两个顶点中的一个。若此跳蚤从某一顶点开始跳动，经过10次跳动后会回到原来顶点的概率为

m

n

，其中m ，n 为互质的正整数，试求m+n 之值。 14．若A(0,0),B(b ,0)是直角坐标平面上两点，且ABCDEF 是凸等边六边形，∠FAB=120 º,AB ∥CD,BC ∥EF,CD ∥FA.且各顶点的纵坐标为集合{0,2,4,6,8,10}中的相异元素，该六边形的面

积可以表示为m,n 为正整数，且n 不可能被任何质数的平方所整除。试求m+n=?

15设23

24

24241

()24(24)()j j j P x x

j x x -+==+-+∑，令12,,,r z z z 为()0P x =的所有相异的

根，并令2k

k k z a b i =+，其i 是虚数单位，且k a 与k b 为实数，设

1

||r

k

k b

m ==+∑m,n,p 为整数且p 不可能被任何质数的平方所整除，试求m+n+p 之值