陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)名校考研真题-Euclid空间上的极限和连续(圣才出品)
欧阳光中《数学分析》(下册)配套题库-名校考研真题【圣才出品】
解：（1）当
时，有
当 x＝y＝0 时，有
（2）
2．设
证明：（1）
和
在点（0，0）的邻域中存在但不连续；（2）f（x，y）
在点（0，0）处可微．[东南大学研、河北大学研、中国地质大学 2006 研]
证明：（1）当
时，有
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，当
时，有
②
时，由①、②，得
4．设 f（x，y）为二元函数，在 与累次极限
附近有定义．试讨论二重极限
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之间的关系．[浙江大学研] 解：（1）二重极限与累次极限之间没有必然的关系．因为 ①两个累次极限都存在，且相等时，二重极限还可能不存在．比如：
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第一部分 名校考研真题
第 16 章 Euclid 空间上的点集拓扑
1．设
为 S 的内点，
为 S 的外点．证明：直线段
必与 S 的边界 至少有一交点．[华东师范大学研]
证明：（用反证法）令
取
的中点 C．若 C 为界点，则证毕。否
关于 x 在[a，b]上连续．
在[a，b]上连续．
3．设 f（x，y）在
上有定义，若 f（x，0）在点 x＝0
处连续，且
在 G 上有界，则 f（x，y）在（0，0）处连续．[北京大学研]
证明：由中值定理，得
由
在 G 上有界，知
使
当
时有
由 f（x，0）在点 x＝0 处连续，知
取 在（0，0）处连续．
①
陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)课后习题-含参变量积分(圣才出品)
7．设函数 具有二阶导数， 是可导的，证明函数
满足弦振动方程
以及初始条件
。
证明：直接计算，可得
所以
且显然成立
。
8．利用积分号下求导法计算下列积分：
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解：（1）设
于是
令
则
所以
（2）设
作变换
得到
则
。
。
则
。设 由于
。研究函数
的连续性。
解：设
由于
在
在 处连续。
设
则
。由于 在 上连续，且
上的最小值
当 时，成立
于是
上连续，可知 所以 在
由 连续。
可知
即
在
处不
§2 含参变量的反常积分
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1．证明下列含参变量反常积分在指定区间上一致收敛：
与
在
上一致收敛。所以
在
上一致收敛。
（ ii ） 当
对于
取
取
则当 充分大时，
由 Cauchy 收敛准则，
在
上不一致收敛，同理
在
上也不一致收敛，所以
在
上不一致收敛。
（3）（i）当
而
收敛，由 Weierstrass
判别法
在
上一致收敛。
（ii）当 取
由于
由 Cauchy 收敛准则，可知
在
（ 4 ）（ i ） 当
即
关于
一致有界，以及 单调，当
时 关于
致趋于零，由 Dirichlet 判别
数学分析原理答案
数学分析原理答案数学分析原理答案【篇一：数学分析教材和参考书】：《数学分析》（第二版），陈纪修，於崇华，金路编高等教育出版社, 上册：2004年6月，下册：2004年10月参考书：（1）《数学分析习题全解指南》，陈纪修，徐惠平，周渊，金路，邱维元高等教育出版社, 上册：2005年7月，下册：2005年11月（2）《高等数学引论》（第一卷），华罗庚著科学出版社（1964）（3）《微积分学教程》，菲赫金哥尔兹编，北京大学高等数学教研室译，人民教育出版社（1954）（4）《数学分析习题集》，吉米多维奇编，李荣译高等教育出版社（1958）（5）《数学分析原理》，卢丁著，赵慈庚，蒋铎译高等教育出版社（1979）（6）《数学分析》，陈传璋等编高等教育出版社（1978）（7）《数学分析》（上、下册），欧阳光中，朱学炎，秦曾复编，上海科学技术出版社（1983）（8）《数学分析》（第一、二、三卷），秦曾复，朱学炎编，高等教育出版社（1991）（9）《数学分析新讲》（第一、二、三册），张竹生编，北京大学出版社（1990）（10）《数学分析简明教程》（上、下册），邓东皋等编高等教育出版社（1999）（11）《数学分析》（第三版，上、下册），华东师范大学数学系，高等教育出版社（2002）（12）《数学分析教程》常庚哲，史济怀编，江苏教育出版社（1998）（13）《数学分析解题指南》林源渠，方企勤编，北京大学出版社（2003）（14）《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文编，高等教育出版社（1993）复旦大学数学分析全套视频教程全程录像,asf播放格式，国家级精品课程，三学期视频全程教师简介:陈纪修-基本信息博士生导师教授姓名：陈纪修任教专业：理学-数学类在职情况：在性别：男所在院系：数学科学学院陈纪修-本人简介姓名：陈纪修性别：男学位：博士职称：教授（博士生导师）高校教龄22年，曾获2001年上海市教学成果一等奖、获2001年国家级教学成果二等奖、获2002年全国普通高等学校优秀教材一等奖、2002年获政府特殊津贴；获宝钢教育奖（优秀教师奖）；被评为“九五”国家基础科学人才培养基金实施和基地建设先进工作者。
陈纪修《数学分析》（第2版）（下册）名校考研真题-曲线积分、曲面积分与场论（圣才出品）
陈纪修《数学分析》（第2版）（下册）名校考研真题-曲线积分、曲面积分与场论（圣才出品）第14章曲线积分、曲面积分与场论1．计算为取逆时针方向．[南开大学2011研]解：记因为P与Q在点（0，0）处都无定义，则不能直接应用格林公式．在L围成的区域内取一闭曲线L1:（取逆时针方向）,则在L与L1围成是区域内可以应用格林公式．由于则由Green公式知，则2．求第一型曲面积分其中h≠R．[浙江大学研]解：令其中且3．计算其中[湖南大学研]解：令所以4．求常数λ，使得曲线积分对上半平面内任何光滑闭曲线L成立．[北京大学研]解：记由题设知，所考虑积分在上半平面内与路径无关，所以，即即即所以λ=．5．设为xy平面上具有光滑边界的有界闭区域且u为非常值函数及证明[武汉大学研]证明：因在上，u=0．故所以又u为非常值函数，故再注意到的连续性，所以6．计算其中∑为圆柱面被z=0，z=3截的部分外侧．[北京航空航天大学研]解：分别补充圆柱体的交面记P=x，Q=y，R=z，由奥高公式而平面，yz平面；平面，yz平面，所以从而7．计算为[南开大学2011研]解：(对称性)8．计算曲线积分其中L是从（2a，0）沿曲线到点（0，0）的一段．[兰州大学2009研]解：曲线即记则所以所以由Green公式得9．计算，其中为圆柱面的部分，它的法线与ox轴正向成锐角；为xoy平面上半圆域：的部分，它的法线与oz轴正向相反．[上海交通大学研]解：如图14-1所示，补充则构成封闭曲面的外侧，由奥高公式其中则又，从而平面，平面，从而图14-110．计算曲线积分其中C是从A（－a，0）经上半椭圆到B（a，0）的弧段．[湖北大学研]解：记则所以此积分在上半平面内与路径无关，如图14-2所示取以（0，0）为心，a为半径的上半圆周，则。
陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)章节题库-曲线积分、曲面积分与场论(圣才出品)
第14章曲线积分、曲面积分与场论1．计算曲线积分，其中L是绕原点的简单闭曲线．解：方法一当时，可以验证，所以可将曲线L换成以原点为中心，适当小的＞0为半径的小圆周：易见构造辅助函数：仍有．若定义A（0，0）＝0，B（0，0）＝1，则A，B在原点连续．事实上，由泰勒展开式，有．所以有即补充定义后A在原点连续，同理可证B也在原点连续．于是I＝J＝2π．方法二在L′上，有故积分值与无关．注意到被积函数关于连续，令，在积分号下取极限即得2．设封闭曲线的正向与z轴正向符合右手法则，求曲线积分解：由可得因此可设曲线L的参数方程为：，t从－3π/4到3π/4．于是3．设函数f（x）在（－∞，＋∞）上具有一阶连续导数，L是上半平面y＞0内的有向分段光滑曲线，其起点为（a，b），终点为（c，d）．记（1）证明：曲线积分I与积分路径无关；（2）当ab＝cd时，求I的值．证明：（1）因为所以在上半平面内曲线积分I与积分路径无关．（2）由（1）知，是某个函数u（x，y）的全微分，而设F（x）是f（x）的一个原函数，则，因此4．计算积分其中（n，x），（n，y）分别是由x轴、y轴正向与L的外法向n之间的夹角，L为逐段光滑的简单闭曲线．解：表示L的正向，即沿逆时针方向，切线方向τ与一致，如图14-1所示.从n逆时针旋转π/2即到τ，于是有（n，x）＝（τ，y），（n，y）＝π－（τ，x），故cos（n，x）ds＝cos（τ，y）ds＝dy，cos（n，y）ds＝－cos（τ，x）ds＝－dx．从而其中S表示L所围的面积．图14-15．计算曲面积分，其中S是球面解：将球面S分成三部分S1，S2，S3，其中此时曲面S1在xOy平面的投影区域为，S1的方程为z＝，故有从而6．计算曲面积分，其中S为下半球面的上侧，a＞0为常数．解：采用补面法．按常规应补平面S1：x2＋y2≤a2，z＝0．仔细观察发现被积函数在原点处有奇性，不能直接应用高斯公式，但注意到在下半球面上的点（x，y，z）满足x2＋y2＋z2＝a2，则可将原曲面积分改写成这样，取S1的法向方向与z轴正向相反，就可对上式使用高斯公式了．于是有其中V是S1，S所围的空间区域．故7．计算曲线积分L是x2＋y2＋z2＝2r1x与x2＋y2＝2r2x的交线（0<r2<r1，z＞0），L的方向是使L所围的球面上较小部分区域保持在左边．解：由于球面的外法向的方向余弦为所以由斯托克斯公式，有其中S是球面x2＋y2＋z2＝2r1x由L所围的部分．由于曲面S关于xOz平面对称，所以．又由可知，。
陈纪修主编的《数学分析》(第2版)辅导书-第3章 函数极限与连续函数【圣才出品】
的数列{xn}，相应的函数值数列{f（xn）}成立
。
（2）Heine 定理的另一表述
，且
存在的充分必要条件是：对于任意满足条件
且
xn≠x0（n=1，2，3，…）的数列{xn}，相应的函数值数列{f（xn）}收敛。
5．单侧极限
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第 3 章 函数极限与连续函数
3.1 复习笔记
一、函数极限 1．函数极限的定义 设函数 y=f（x）在点 x0 的某个去心邻域中有定义，即存在 ρ>0，使
如果存在实数 A，对于任意给定的 ε>0，可以找到 δ>0，使得当
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则称当
时，
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是有界量，记为
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若又存在 ，当 在 的某个去心邻域中，成立
则称当
时，
与 是同阶无穷小量。
（3）若
，称当
时， 与 是等价无穷小量，记为
2．无穷大量的比较
设
是两个变量，当
时它们都是无穷大量，讨论 的极限情况。
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（3）函数极限
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台
存在而且有限的充分必要条件是：对于任意给定的 ε>0，存
在 X>0，使得对一切 x′，x″>X，成立
二、连续函数 1．连续函数的定义 （1）在某点处连续 设函数 f（x）在点 x0 的某个邻域中有定义，并且成立
①若 f（x）>g（x）成立。
②推论
数学分析原理答案
数学分析原理答案【篇一：数学分析教材和参考书】：《数学分析》（第二版），陈纪修，於崇华，金路编高等教育出版社, 上册：2004年6月，下册：2004年10月参考书：（1）《数学分析习题全解指南》，陈纪修，徐惠平，周渊，金路，邱维元高等教育出版社, 上册：2005年7月，下册：2005年11月（2）《高等数学引论》（第一卷），华罗庚著科学出版社（1964）（3）《微积分学教程》，菲赫金哥尔兹编，北京大学高等数学教研室译，人民教育出版社（1954）（4）《数学分析习题集》，吉米多维奇编，李荣译高等教育出版社（1958）（5）《数学分析原理》，卢丁著，赵慈庚，蒋铎译高等教育出版社（1979）（6）《数学分析》，陈传璋等编高等教育出版社（1978）（7）《数学分析》（上、下册），欧阳光中，朱学炎，秦曾复编，上海科学技术出版社（1983）（8）《数学分析》（第一、二、三卷），秦曾复，朱学炎编，高等教育出版社（1991）（9）《数学分析新讲》（第一、二、三册），张竹生编，北京大学出版社（1990）（10）《数学分析简明教程》（上、下册），邓东皋等编高等教育出版社（1999）（11）《数学分析》（第三版，上、下册），华东师范大学数学系，高等教育出版社（2002）（12）《数学分析教程》常庚哲，史济怀编，江苏教育出版社（1998）（13）《数学分析解题指南》林源渠，方企勤编，北京大学出版社（2003）（14）《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文编，高等教育出版社（1993）复旦大学数学分析全套视频教程全程录像,asf播放格式，国家级精品课程，三学期视频全程教师简介:陈纪修-基本信息博士生导师教授姓名：陈纪修任教专业：理学-数学类在职情况：在性别：男所在院系：数学科学学院陈纪修-本人简介姓名：陈纪修性别：男学位：博士职称：教授（博士生导师）高校教龄22年，曾获2001年上海市教学成果一等奖、获2001年国家级教学成果二等奖、获2002年全国普通高等学校优秀教材一等奖、2002年获政府特殊津贴；获宝钢教育奖（优秀教师奖）；被评为“九五”国家基础科学人才培养基金实施和基地建设先进工作者。
陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)章节题库-数项级数(圣才出品)
由数学归纳法即可看出式子成立． 12．求下列级数的和：
同理
解：（1）由公式
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，
所以
其部分和
故 （2）设
，两边同乘以
得
解得
故
（3）此级数通项趋于 0，因此只需求 的极限即可．利用公式
（其中 c 为尤拉常数
）有
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（1）先证：
用 sn 表示级数的前 n 项部分和，注意到 an>0，则有
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由于级数
收敛，所以
，因此
，并且容
易看出
（2）再证：
事实上，对任意的正整数 n，存在唯一的正整数 m，使得 m2≤n<（m+1）2．由 单调递减，可得
由
可得
于是有
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由此可见，当 p>0 时，级数收敛；当 p≤0 时，级数发散．
4．设{pn}为正数列，证明：若级数
收敛，则级数
也
收敛． 证明：用收敛原理．引进记号 q0=0，
下面估计部分和数列的上界．令
则
由柯西不等式，有 代入上式可得
14．若级数
与 都收敛，且不等式
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成立，证明级数
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也收敛．又若 与
都发散，试问
一定发散吗？
证明：（1）方法一：
，由
与
都收敛知，存在正整数 N，当 n＞N 及
对任意正整数 p 都有
陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)名校考研真题-Fourier级数(圣才出品)
第16章Fourier级数一、判断题存在实数，，使得.（）[华东师范大学2009研]【答案】对【解析】可选取周期为的连续可微函数，且当时，；时，，取，，为的Fourier系数，则有，.结论得证.二、解答题1．将函数展开为余弦级数．[华中科技大学2008研]解：对作偶式周期延拓，则的傅里叶系数为：，，即，（），所以．2．（1）试讨论级数关于0≤x≤1是否一致收敛；（2）设函数f的周期为2π，且，试利用f的Fourier展开计算的和数.[复旦大学研]解：（1），取，则故关于0≤x≤1不一致收敛.（2）Fourier系数由于f（x）在（0，2π）上连续，由收敛定理知对，有在端点x=0和x=2π处，其傅里叶级数收敛于令x=2π，有故3．把函数展开成Fourier（傅立叶）级数．[中山大学研]解：将f（x）延拓成以2π为周期的按段光滑函数.故f（x）的Fourier级数为由收敛定理知它收敛于4．设在上黎曼可积，证明：的傅里叶展开式有相同系数的充要条件是[北京大学2007研]证明：此处只需证明的情况（对于一般的情况只是区间的平移和拉伸）．都为0，，5．在[0，π]上展开f（x）=x＋cosx为余弦级数．[华中科技大学研]解：将f（x）= x＋cosx延拓为[－π，π]上的偶函数.则由收敛定理，对在点x=π处，其傅里叶级数收敛于6．设f（x）为以为周期且在[－π，π]上可积的函数，和为f（x）的傅里叶系数.（1）试求f（x＋h）的傅里叶系数，（其中h为常数）；（2）令，求函数F（x）的傅里叶系数，并利用所得结果证明巴塞瓦（Parseval）等式：[哈尔滨工业大学研]解：（1）设f（x＋h）的傅里叶系数为和即同理（2）设F（x）的傅里叶系数为，易知F（x）是以2π为周期的函数．因为f（x）连续，所以由含参变量积分性质知，F（x）是连续函数，又故F（x）是[－π，π]上的偶函数，从而F（x）的傅里叶系数另外，根据含参变量积分的积分顺序可交换定理，令x＋t =u可得由F（x）的连续性和收敛定理得或取x=0，则得Parseval等式7．将函数展成级数，并求的和．[苏州大学2005研]解：根据题意，f（x）在上是奇函数因此。
数学分析【陈纪修(第二版)】上下册
１Ｅｕｃｌｉｄ空间上的基本定理 Ｅｕｃｌｉｄ空间上的距离与极限 开集与闭集 Ｅｕｃｌｉｄ空间上的基本定理 紧集 习题 ２ 多元连续函数 多元函数 多元函数的极限 累次极限 多元函数的连续性 向量值函数 习题 ３ 连续函数的性质 紧集上的连续映射 连通集与连通集上的连续映射 习题 第十二章多元函数的微分学 １ 偏导数与全微分 偏导数 方向导数 全微分 梯度 高阶偏导数 高阶微分 向量值函数的导数 习题 ２ 多元复合函数的求导法则 链式规则 一阶全微分的形式不变性 习题 ３中值定理和Ｔａｙｌｏｒ公式 中值定理 Ｔａｖｌｏｒ公式 习题 ４ 隐函数 单个方程的情形 多个方程的情形 逆映射定理 习题 ５ 偏导数在几何中的应用 空间曲线的切线和法平面 曲面的切平面与法线 习题 ６ 无条件极值 无条件极值 函数的最值 最小二乘法 “牧童”经济模型 习题 计算实习题
前言 目录 第九章 数项级数 １ 数项级数的收敛性 数项级数 级数的基本性质 习题 ２ 上极限与下极限 数列的上极限和下极限 上极限和下极限的运算 习题 ３ 正项级数 正项级数 比较判别法 Ｃａｕｃｈｙ判别法与ｄ’Ａｌｅｍｂｅｒｔ判别法 Ｒａａｂｅ判别法 积分判别法 习题 ４ 任意项级数 任意项级数 Ｌｅｉｂｎｉｚ级数 Ａｂｅｌ判别法与Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ判别法 级数的绝对收敛与条件收敛 加法交换律 级数的乘法 习题 ５ 无穷乘积 无穷乘积的定义 无穷乘积与无穷级数 习题 第十章函数项级数 １函数项级数的一致收敛性点态收敛 函数项级数（或函数序列）的基本问题 函数项级数（或函数序列）的一致收敛性 习题 ２ 一致收敛级数的判别与性质 一致收敛的判别 一致收敛级数的性质 处处不可导的连续函数之例 习题 ３ 幂级数 幂级数的收敛半径 幂级数的性质 习题 ４ 函数的幂级数展开 Ｔａｙｌｏｒ级数与余项公式 初等函数的Ｔａｙｌｏｒ展开 习题 ５ 用多项式逼近连续函数 习题 第十一章 Ｅｕｃｌｉｄ空间上的极限和连续
数学分析习题答案(陈纪修第二版)
⒋ 用集合符号表示下列数集： (1) 满足
x−3 ≤ 0 的实数全体； x+2
(2) 平面上第一象限的点的全体； (3) 大于 0 并且小于 1 的有理数全体； (4) 方程 sin x cot x = 0 的实数解全体。 解（1） {x | −2 < x ≤ 3} 。 （2） {( x, y) | x > 0 且 y > 0}。 （3） {x | 0 < x < 1且 x ∈ Q}。
x ∈ [0,1] x ∈ (1,3] 。 x ∈ (3,4]
y
(1, 1 )
O
x
2
x 图 1.2.9
图 1.2.8
11.
设 f ( x ) 表示图1.2.8中阴影部分面积，写出函数 y = f ( x ) , x ∈[ 0, 2 ] 的表达式。
⎧1 2 x x ∈ [ 0,1] ⎪ ⎪ y = ⎨2 。 1 2 ⎪− x + 2 x − 1 x ∈ (1, 2] ⎪ ⎩ 2
x −1 。 x +1
解（1） y = log a ( x 2 − 3) ，定义域： (− ∞,− 3 ) ∪ ( 3 ,+∞ )，值域： (−∞,+∞ ) ；
π⎤ （2） y = arcsin 3 x ，定义域： (− ∞,0] ，值域： ⎛ ⎜ 0, ⎥ ；
⎝ 2⎦
π π⎞ （3） y = tan x ，定义域： ∪ ⎛ ⎜ kπ − , kπ + ⎟ ，值域： [0,+∞) ；
一玻璃杯装有汞水煤油三种液体比重分别为136108克厘米图129上层煤油液体高度为5厘米中层水液体高度为4厘米下层汞液体高度为2厘米试求压强p与液体深度x之间的函数关系
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--2章
数列极限
1. 按定义证明下列数列是无穷小量： ⑴ ⎨
⎧ n +1 ⎫ ⎬； 2 ⎩ n + 1⎭ 1 ⎩n
⑵ { ( −1) n (0.99) n }； ⑷ ⎨
⎧1 + 2 + 3 + n3 ⎩ + n⎫ ⎬； ⎭
⎧ −n ⎫ ⑶ ⎨ + 5 ⎬； ⎭
⑺ ⎨
⎧ n! ⎫ ； n ⎬ ⎩n ⎭ 2
⎧ ⑻ ⎨ − 1 ⎩n
hd
（2） ∀ε (0 < ε < 1) ，取 N = ⎢
n n
⎡ lg ε ⎤ ⎥ ，当 n > N 时，成立 ⎣ lg 0.99 ⎦
lg ε lg 0.99
案 网
(−1) (0.99) < (0.99)
后 答
2⎤ 2⎤ 1 ε ⎡ n > N 取 N1 = ⎡ ， 当 时， 成立 ； 取 （3） = ∀ε (0 < ε < 2) ， N log < 1 2 5 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥， ⎣ε ⎦ n 2 ⎣
α
2
案 网
（1）的结论矛盾。
ww w
9
3+ 2 =
m2 m2 5 m ，于是 3 + 2 6 + 2 = 2 ， 6 = 2 − ，即 6 是有理数，与 2 n n 2n
.k
hd
aw .c om
max C 与 min C 都不存在，因为 ∀
n n n +1 ，所以 max C 与 min C 都不存在。 < < m +1 m m +1
n n n +1 ∈ C ，有 ∈C ， ∈C ， m m +1 m +1
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--11章
S 必是开集。
9. 证明 S ⊂ R n 的闭包 S = S ∪ S′ 必是闭集。 则 x∉ S ， 且 x 不是 S 的聚点， 于是在 x 的某邻域 O ( x , δ ) 证 假设 x ∈ S c ， 中至多只有 S 的有限项，故存在 x 的邻域 O( x , δ1 ) 不含 S 的点，即
第十一章 Euclid 空间上的极限和连续
习题 11.1 Euclid 空间上的基本定理
1. 证明定理 11.1.1： 距离满足正定性、对称性和三角不等式。 证 （a）显然有 | x − y |≥ 0 ，而且 | x − y |= 0 ⇔ xi = yi (i = 1, 2, … , n) ⇔ x = y 。 (b) 由距离定义直接可得 | x − y |=| y − x | 。 (c) 由于
5.
求下列点集的全部聚点：
⎫ k k = 1,2, ⎬ ； k +1 ⎩ ⎭ ⎫ ⎧ 2kπ 2kπ ⎞ , sin （2）S = ⎨⎛ ⎜ cos ⎟ k = 1,2, ⎬ ； 5 5 ⎠ ⎭ ⎩⎝ 2 2 2 2 （3）S = {( x, y ) | ( x + y )( y − x + 1) ≤ 0} 。
Heine-Borel 定理知 S 为 R n 上的紧集。
∀x ∈ S ， 由于 x 不是 S 的聚点， 存在 O( x,δ x ) 只含有 S 中有限个点。
但由于其中有限个 O( x,δ x ) 显然 {O( x,δ x ) | x ∈ S} 构成为 S 的一个开覆盖，
必有聚点。
课
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第11章Euclid空间上的极限和连续
一、判断题
1．若f（x，y）在D内对x和y都是连续的，则f（x，y）对（x，y）∈D为二元连续函数．[重庆大学研]
【答案】错
【解析】举反例：，很明显
但是不存在，如果选取路径y=kx趋于0，有
不唯一．
二、填空题
（1）函数的定义域是______，它是______区域；
（2）函数的定义域是______；
（3）函数的定义域是______；
（4）二元函数的定义域是______；
（5）函数的定义域是______．[西安交通大学研]
【答案】
（1）
（2）
（3）椭圆与抛物线所围的区域；
（4）
（5）
三、解答题
1．设f（x）为定义在上的连续函数，α是任意实数，有
证明：E是开集，F是闭集．[江苏大学2006研]
证明：对任意的，有．因为f（x）在上连续，所以由连续函数的局部保号性知，存在的一个邻域使得当
时有，从而，故E是开集．设为F 的任意一个聚点，则存在F中的点列使得．由于f（x）在
上连续，所以，又，从而，即
，故F是闭集．
2．求．[南京大学研、厦门大学研、山东科技大学研]
解：方法一由于
令，有
所以
方法二由于，，所以
，故有
3．设f（x，y）在[a，b]×[c，d]上连续，证明：在[c，d]上连续．[南京理工大学研、华东师范大学研]
证明：反证法．假设g（y）在某点处不连续，则存在及点列，使得
因为f（x，y）在[a，b]×[c，d]上连续，故在[a，b]×[c，d]上一致连续．于是对，存在δ＞0，当
时恒有．特别当时
，即．固定y，让x在[a，b]上变化，取最大值，可得
即时，．因为，所以对δ＞0，存在N ＞0，当n＞N时有
，从而有，这与一开始得到的不等式矛盾，结论得证．
4．设，为有界闭集，试证：开集W、V，使得A
证明：A、B为有界闭集．[四川大学研]
令
显然
W、V为开集．
5．设
试讨论下面三种极限：
[南京工学院研]
解：由于在y=0和x=0的函数极限不存在，故在（0，0）点的两个累次极限
都不存在．
6．设f（x，y是区域D：|x|≤1，|y|≤1上的有界k次齐次函数（k≥1），问极限
是否存在？若存在，试求其值．[南京大学研]
解：令x=rcosθ，y=rsinθ．由于f（x，y）是区域D上的有界k次齐次函数
7．设二元函数f(x,y)在正方形区域[0，1]×[0，1]上连续．记J=[0，1]．
（1）试比较的大小并证明之；
（2）给出并证明使等式成立的（你认为最好的）充分条件．[浙江大学研]
解：（1），有
上式对于任意的x都成立，则
由y的任意性可知
（2）若，使
下面证明上面条件为充分条件
显然
8．设为n维欧氏空间，A是的非空子集，定义x到A的距离为
证明：上的一致连续函数．[南京大学研] 证明：有
对使
故对时，
即上的一致连续函数．
9．[暨南大学2013研] 解：设，则。