高2020届优化方案高考总复习数学理选修4

[基础题组练]

1．在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，

y ＝kt

(t 为参数)，直线l 2的参数方

程为⎩⎪⎨⎪

⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k

(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .

(1)写出C 的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．

解：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1

k

(x ＋2)． 设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），

y ＝1k （x ＋2）.

消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．

所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．

(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．

联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ2（cos 2θ－sin 2

θ）＝4，ρ（cos θ＋sin θ）－2＝0

得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110

，

代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.

2．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ

y ＝sin θ(θ为

参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．

(1)求α的取值范围；

(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π

2

时，l 与⊙O 交于两点．

当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

2

1＋k 2＜1，解得k ＜－1或k ＞1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2或α∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2，3π4.

综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π4，3π4.

(2)l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，

y ＝－2＋t sin α

(t 为参数，π4＜α＜3π4

)．

设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B

2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋

1＝0.

于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.

又点P 的坐标(x ，y )满足⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝t P cos α，

y ＝－2＋t P sin α，

所以点P 的轨迹的参数方程是

⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－2

2cos 2α

(α为参数，π4＜α＜3π4)． 3．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭

⎫π

4－θ.

(1)求曲线C 的直角坐标方程；

(2)已知直线l 过点P (1，0)且与曲线C 交于A ，B 两点，若|P A |＋|PB |＝5，求直线l 的倾斜角α.

解：(1)由ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π4－θ＝2(cos θ＋sin θ)⇒ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)⇒x 2＋y 2＝2x ＋

2y ⇒(x －1)2＋(y －1)2＝2.

故曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.

(2)由条件可设直线l 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，

y ＝t sin α(t 为参数)，代入圆的方程，有t 2－

2t sin α－1＝0，

设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，

则t 1＋t 2＝2sin α，t 1t 2＝－1，|P A |＋|PB |＝|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝

4sin 2α＋4＝5，

解得sin α＝12或sin α＝－1

2(舍去)，故α＝π6或5π6

.

4．(2019·合肥质检)在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，

y ＝2sin α(α为参数)，

以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝

⎛⎭⎫θ－π

6.

(1)写出曲线C 的极坐标方程以及曲线D 的直角坐标方程；

(2)若过点A ⎝⎛⎭⎫22，π

4(极坐标)且倾斜角为π3的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，弦MN

的中点为P ，求|AP |

|AM |·|AN |

的值．

解：(1)由题意可得曲线C 的普通方程为x 29＋y 2

4

＝1，

将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ

代入曲线C 的普通方程可得，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2θ4

＝

1.

因为曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，

所以ρ2＝4ρsin ⎝ ⎛⎪⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－1

2cos θ，

又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9

＋

ρ2sin 2θ

4

＝1；曲线D 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x

－23y ＝0.

(2)点A ⎝

⎛

⎭

⎪⎫

2

2，π4，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22cos π

4＝2，

y ＝2

2sin π

4

＝2，

所以A (2，2)．