2018年江苏省南通市高考数学一模试卷

2018年江苏省南通市高考数学一模试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1. 已知集合A ={−1, 0, a}，B ={0, √a}．若B ⊆A ，则实数a 的值为________．

2. 已知复数z =

1+4i 1−i

，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为________．

3. 已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400，400，500．为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取________名学生．

4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________．

5. 某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为________．

6. 若实数x ，y 满足{x ≥1

y ≤3x −y −1≤0 ，则2x −y 的最大值为________．

7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线y 2=8x 的焦点，则点F 到双曲线

x 216

−

y 29

=1的渐近线的距离为________．

8. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2=1，a 8=a 6+6a 4，则a 3的值为________．

9. 在平面直角坐标系xOy 中，将函数y =sin(2x +π

3)的图象向右平移φ(0<φ<π

2)个单位长度．若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为________．

10. 若曲线y =xlnx 在x =1与x =t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________．

11. 如图，铜质六角螺帽毛胚是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4cm ，圆柱的底面积为9√3cm 2．若将该螺帽熔化后铸成一个高

12. 如图，已知矩形ABCD 的边长AB =2，AD =1．点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠PAQ =45∘，则AP →

⋅AQ →

的最小值为________．

13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(−4, 0)，B(0, 4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2+y 2=4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D ．设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为________．

14. 已知函数f(x)={x 2−2ax −a +1,x ≥0

ln(−x),x <0 ，g(x)=x 2+1−2a ．若函数y =f

（g(x)）有4个零点，则实数a 的取值范围是________．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

如图，在三棱锥P −ABC 中，AB ⊥PC ，CA =CB ，M 是AB 的中点．点N 在棱PC 上，点D 是BN 的中点．求证：

（1）MD // 平面PAC ；

（2）平面ABN ⊥平面PMC ．

在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2−bc ，a =√152

b ．

（1）求sinB 的值；

（2）求cos(C+π

12

)的值．

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)的离心率为√2

2

，两

条准线之间的距离为4√2．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2=8

9

上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．

如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm的正方形ABCD，另一部

分是以AD为直径的半圆，其圆心为O．规划修建的3条直道AD，PB，PC将广场分割为

6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点

P在半圆弧上，AD分别与PB，PC相交于点E，F．（道路宽度忽略不计）

（1）若PB经过圆心，求点P到AD的距离；

（2）设∠POD=θ，θ∈(0, π

2

)．

①试用θ表示EF的长度；

②当sinθ为何值时，绿化区域面积之和最大．

已知函数g(x)=x3+ax2+bx(a, b∈R)有极值，且函数f(x)=(x+a)e x的极值点是g(x)的极值点，其中e是自然对数的底数．（极值点是指函数取得极值时对应的自变量

的值）

（1）求b关于a的函数关系式；

（2）当a>0时，若函数F(x)=f(x)−g(x)的最小值为M(a)，证明：M(a)<−7

3

．

若数列{a n }同时满足：①对于任意的正整数n ，a n+1≥a n 恒成立；②对于给定的正整数k ，a n−k +a n+k =2a n 对于任意的正整数n(n >k)恒成立，则称数列{a n }是“R(k)数列”． （1）已知a n ={

2n −1,n 为奇数2n,n 为偶数

，判断数列{a n }是否为“R(2)数列”，并说明理由；

（2）已知数列{a n }是“R(3)数列”，且存在整数p(p >1)，使得b 3p−3，b 3p−1，b 3p+1，b 3p+3成等差数列，证明：{b n }是等差数列． 一、【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1：几何证明选讲]

如图，已知⊙O1的半径为2，⊙O 2的半径为1，两圆外切于点T ．点P 为⊙O 1上一点，PM 与⊙O 2切于点M ．若PM =√3，求PT 的长．

[选修4-2：矩阵与变换]

已知x ∈R ，向量[01]是矩阵A =[1x

02]的属于特征值λ的一个特征向量，求λ与A −1．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy 中，直线y =x 与曲线{x =t −1

y =t 2−1 （t 为参数）相交于A ，B 两点，

求线段AB 的长．

[选修4-5：不等式选讲]

已知a >1，b >1，求

b 2

a−1

+a 2

b−1的最小值． 【必做题】第25、26题，每小题0分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答

时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

如图，四棱锥P −ABCD 中，AP 、AB 、AD 两两垂直，DE // BC ，且AP =AB =AD =4，BC =2．

（1）求二面角P −CD −A 的余弦值；

（2）已知点H 为线段PC 上异于C 的点，且DC =DH ，求PH

PC 的值．