高级通信原理第4章 信号的矢量表示

f 2 t
f 2 ' t



f 2 ' t dt
2
第三步:求第k个正交函数
K 1 i 1
f k t
f k ' t

Байду номын сангаас


f k ' t dt
2
其中
f kt sk t cik f i t
cik sk t fi t dt


正交化过程继续下去，直到所有M个信号波形处理完毕，
则N≤M个标准正交波形构造完成。
信号的矢量空间表示
例
设一组信号为si(t),i=1,2,3,4,现求一组正交函数来表示这组信号。
解:
f1 t
2
s1 t
s1 t 1 2
2 0
c12 s2 t f1 t dt
0
s2 t s1 t dt 0 2
f 2t s2 t 0
f 2 t s2 t

3 0


s2 t 2 2 f 2 ' t dt
2
c13 s3 t f1 t dt
3
0
s3 t s1 t dt 2 2
第4章
信号的矢量表示
设一组标准正交函数为fn(t),n=1,2,..,N，即



0 f n t f m t dt 1
m n m n
信号s(t)可以由fn(t)的线性组合来近似 这一近似的误差为
ˆ et st st

ˆ st sn f n t
k 1
N
如何求得系数sn , 使得误差的能量最小？ 结论：
sn st f n t dt,

n 1,2,... N
st sn f n t
k 1
N
1） 标准正交基 2） 信号的空间表示 3） 数字调制信号的矢量空间表示
信号的正交展开方法 (Gran Schmidt) 设一组信号为si(t),i=1,2,…M,现求一组正交函数来表示这组信号。 第一步:设归一化的s1(t)为第一个正交函数,即第一个单位长度 的正交矢量为 s1 t 2 f1 t 这里 i si t dt
2
c23 s3 t f 2 t dt
0
0
s3 t s2 t dt 0 2
f 3t s3 t 2 f1 t 0 f 2 t 1 s3 t s1 t 0
2 t 3 otherwise
2
f 3 t
同理
f 3 ' t f 3 ' t dt


f 3 ' t

c14 2 , c24 0, c34 1
s4 t s1 t f 3 t 0
f 4t s4 t 2 f1 t f 3 t
f 4t s4 t 2 f1 t f 3 t
例:
练习
解：
复 习

信号的空间表示
信号的正交展开 信号的空间表示
信号的矢量空间表示
例题
有4个消息要在AWGN信道传输，如下图所示。
（1）确定信号空间的标准基函数集； （2）画出信号星座图；
f1 t
s1 t
s1 t 1 2
f 2 t
s2 t



s2 t 2 2 t dt f2 '
s3 t s1 t
f 3 t s3 t 2 f1 t 0 f 2 t
s4 t s1 t f 3 t 0
例5 : 4ASK(或4PAM频带信号)
1


第二步:计算s2(t) 在f1(t)上的投影
c12 s2 t f1 t dt


从s2(t)中减去c12f1(t),即得到s2(t)信号中所包含的与f1(t)正交的部分
f 2t s2 t c12 f1 t
将f2’(t)归一化,即得到第二个单位长度的正交矢量