第15章 位移法和力矩分配法
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变形协调方程 力的平衡方程
28
力矩分配法
29
一、 力矩分配法的基本概念
例：如图所示超静定结构，杆长均为l，绘制弯矩图。
m
A
iDA
D
iDC
C
1.基本未知量 D 2.杆端弯矩
M DA 3iDA D M AD 0
iDB
B
M DB 4iDB D
M DC iDC D
M BD 2iDB D
2.计算各杆固端弯矩
3.计算分配弯矩和传递弯矩 4.叠加求得最终杆端弯矩
35
例：用力矩分配法作弯矩图。
1.各杆转动刚度、分配系数和传递系数 AB: S BA 4
EI 2 EI 6 3 EI 1 3 EI 6 2
BA 0.571
CBA 0.5 CBC 0
BC: S BC
k12
Bwk.baidu.com
0
2 1 k22
k12 1.5i
C
k22
A D
15 i 16
20
解方程，回代，绘弯矩图
k11 1 k12 2 F1P 0 k21 1 k22 2 F2P 0
10i 1 1.5 2 4 0 1.5i 1 15 i 2 6 0 16
(2) 杆端弯矩
1 AB：M AB 2i B 6i 3 42 4 12 1 M BA 4iB 6i 3 42 4 12
(4) 解方程
BC：M BC 3 2i B CD：M DC 3i 4 小结：位移法的基本方程都是根据平衡方程得出的。 (3) 基本方程 基本未知量中每一个转角有一个相应的结点力矩平衡方程， M 0, M BA M4 0 0 10 i 1.5 i BB BC 1 每一个独立结点线位移有一个相应的截面平衡方程。平衡 M A 0, FQBA (M AB M BA ) 6 4 1.5 i 0.9375 i 6 0 0 0, FQBA FQ 方程的个数与基本未知量的个数彼此相等，正好解出全部 F 1 xB CD M D 0, FQBA M DC 基本未知量。 4
M B 0, M BA M BC 0
F mAB 15kN m F mBA 15kN m F mCB 0 F mBC 9kN m
6 M BC 3i 9 11.57kN m 7i
6 M BA 4i 15 11.57kN m 7i
第15章 位移法和力矩分配法
1
15.1 位移法的基本概念 1 基本思想
结构在荷载作用下及产生位移也产生内力； 内力和位移之间存在着某种对应的关系； 力法是通过先求力，后求位移； 位移法则将过程反过来，先求结点位移，再求力。
C
B
A
E
D
2
2 简单例子
a a a
EAi EAi FNi ui sin i li li FP 5 i EAi 2 sin i li l i 1 i ui sin i EAi B sin i i li B FP FNi u 5 i EAi 2 sin i F Ni l i 1 i 5 5 EAi 2 F sin F sin i FP Ni i P i 1 i 1 l i
2.承受反对称荷载
FP
C
FP
C1 C 2
FP
I 2
FP FP
I 2
I D
D1 D2 C1
对称轴柱上没有轴力和轴向变形，但有弯矩 和弯曲变形
26
D1 D1
例题
q
q
a
a
a
27
2a
2a
力法与位移法的对比
力法 位移法
基本未知量 基本体系
基本方程
多余约束力
结点位移
去除多余约束 增加约束后的 后的静定结构 体系
C
F M BA
0
A
B
M AB
M BC M BA
■ 先在刚结点B上加阻止转动的约束，把连续梁分为单跨梁， 求出杆端弯矩。结点B各杆固端弯矩之和即为约束力矩MB。 ■ 去掉约束，求出各杆B端新产生的分配力矩和远端新产生的 传递弯矩。 ■ 叠加各杆端的力矩就得到实际的杆端弯矩。
34
计算步骤：
1.计算刚结点所连接杆件的转动刚度、分配系数和传 递系数
转动刚度
30
3iDA ii D i i D m m iDA 4 4 3 D DB D DB DCDC
D
m 3iDA 4iDB iDC
转动刚度
表示杆端对转动的抵抗能力 在数值上等于使杆端发生单位转角时 需要施加的力矩。 远端固定：S 4i 远端定向： S i
EI EA
9
§15-4 直接平衡法—无侧移刚架的计算
6 4. 求出最终各杆端弯矩 M 2i 15 16.72kN m 7 i 无侧移刚架 ：结点上只有角位移没有线位移
AB
5.例 作内力图 1：如图所示连续梁结构，各杆i =常数，作弯矩图。
1. 位移法基本未知量 B 2. 各杆杆端弯矩 3. 位移法的基本方程
5
§15-3 形常数和载常数
6
§15-2 位移法的基本未知量
1.基本未知量的选取
结点角位移=刚结点的个数 结点线位移
不考虑轴向变形
7
不考虑轴向变形
8
EI EI
EI
EI为无限大的杆件有内力，但没有弯曲变形，因此，与 EI为无穷大的杆件相连的刚节点均不作为位移法的基本 未知量。
k11 k12 k21 k22 kn1 kn 2
k1n k2 n knn
位移法典型方程
结构的刚度矩阵
kii——主系数，恒大于零； kij=kji——副系数，可正、可负、可为零；
22
§15–7
对称性的应用
——半边结构法
一.奇数跨对称结构
1.承受对称荷载
F2 0
F2 k21 1 k22 2 F2P 0
17
1.荷载单独作用
q≠ 0, Δ1 =0, Δ2 =0
F1P
B
M BA
F2 P
C
1 3 42 4kN .m 12 3 4 FQBA kN 6kN 2
F1P 4kN .m
A D
F2 P 6kN
S
远端铰支：S 3i
远端自由： S 0
31
m
A D
分配系数：
C
Dj
S Dj
S
j A, B, C
M Dj Dj m
B
Dj 1
SiDA 3 DA M DA m S DC 3i 4 S SiDB S DA DB iDC DA 4 SiDB M DB m S DC 3iDA 4 S Si S DA DB iDC DB SiDC M DC m 3 4 iDC S SiDA Si DA DB S DC DB
M AB
DM AD
M AE
4. 位移法的基本要点 I. 位移法的基本未知量是结构的结点位移
II. 位移法的基本方程是平衡方程
III. 建立基本方程的步骤： 第一步，拆——把结构拆成杆件，得出杆件的刚 度方程； 第二步，拼——把杆件综合成结构，整体分析， 得出基本方程。 IV. 杆件分析是位移法的基础。杆件的刚度方程是位 移法基本方程的基础。——刚度法。
18
2.结点位移1=1单独作用
q = 0, Δ1 0, Δ 2 = 0
k11
1 1
B
附加刚臂上的约束力以 顺时针为正。
k21
C
附加支杆上的约束力以 读者规定的线位移方向为正
k11 4i 6i 10i
k21 1.5i
A D
19
3.结点位移2=1单独作用
q = 0, Δ1 = 0, Δ 2
1 0.737 / i 2 7.58 / i
M M1 1 M2 2 MP
21
对于n个基本未知量问题，位移法方程为
k11 1 k12 2 k21 1 k22 2 kn1 1 kn 2 2
k1n n F1P 0 k2 n n F2 P 0 knn n Fn P 0
a
2a
x
y
B
B
FP
FN 1
FN 5
B
F
Y
0
FP
EA/l是使杆端产生单位位移时所施加的杆端力，称为杆 件的刚度系数，表明杆端力与杆端位移之间的关系，称 为杆件的刚度方程。
3
3、位移法的基本思路
C
C
拆
A
B
E
A A A
B A A A
A
E
D
搭
杆端力： 结点位移引起的: 荷载所引起的:
4
AC M A
F BA
BC 0.429
2.固端弯矩
1 F 2 1 M 20 6 90kN .m M 200 6 150kN .m BC 8 81 F M AB 200 6 150kN .m 8
7i B 6 0
6 B 7i
AB杆：M AB 2i B 15kN m
BC杆：M BC 3i B 9kN m
M CB 0
M BA 4i B 15kN m
10
集中外力矩的处理
q A B M MCB MCD P M C q D
C
当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式 中应包括外力矩。
16
结点B的转角1
结点C的水平位移2
基本步骤
第一步：控制附加约束，使得结点位移均为零。 ——即荷载单独作用。 第二步：控制附加约束，使结构依次发生单位结点位移
1和2 。此时，结点内的附加约束力也相应
改变。 基本体系转化为原超静定结构的条件是： 基本结构在给定荷载及结点位移1和2的共同作用 下，附加约束中产生的总约束力F1和F2应等于零。 F1 k11 1 k12 2 F1P 0 F1 0
C
在对称轴截面上，没有转角和水平位移，可有竖向位移。
23
一.奇数跨对称结构
2.承受反对称荷载
FP
C
FP
FP
在对称轴截面上，没有竖向位移，可有转角和水平位移。
24
二.偶数跨对称结构
1.承受对称荷载
C
D
在对称轴截面上，没有转角和水平位移，由于不计轴向变形 ，也没有竖向位移。
25
二.偶数跨对称结构
CDC
33
M AD 0 M DA M BD 1 M DB 2
远端铰支 远端固定
M DB 4iDB D
M DC iDC D
M BD 2iDB D
M CD iDC D
M CD 1 远端定向 M DC
二、力矩分配法的基本运算
A B
C
限制转动
A B
MB
C
M B
32
分配系数 ： 传递系数μ C：
m
A D
C
S Dj Dj j A, B, C 表示当近端有转角时，远端弯 S 矩与近端弯矩的比值。 M Dj Dj m
对于等截面杆件，传递系数 Dj 1 与远端的支承情况有关
B
M DA 3iDA D
M AD 0
CDA CDB
15
§15–6 位移法的基本体系
F1 0 如果基本体系与原结构发生相同的 结点位移，则附加约束上的约束反 F 0 2 力一定等于零。 位移法基本结构：在原结构上增加与基本未知量相应的约束后的 结构 位移法基本体系：增加了与基本未知量相应的人为约束后的体系
统一用表示位移法的基本未知量
11
小结
无侧移刚架的位移法计算要点： 基本未知量：结点的转角位移
转角位移的个数=刚结点的个数 基本方程：结点的合力矩平衡方程
方程个数=刚结点的个数
12
练习：利用直接平衡法作图示结构弯矩图（各杆EI为常数）
ql
B A
q
D B
q
A
ql D
l
C C
l l l
0.5l 0.5l
l
ql
A B
0.5l 0.5l
q
ql 2
C
l
l
D
13
§15-5 直接平衡法有侧移刚架的计算
有侧移刚架 ——结点处不仅有角位移，还有结点线位移
A
基本未知量：结点角位移和线位移
在杆件分析中，需考虑线位移的影响
建立基本方程时，需增加与线位移相对应的平 衡方程
14
2. 基本方程的建立
B= 0.737/ i (1) 基本未知量 B = 7.58/i
M CD iDC D
4.回代，求杆端弯矩
3iDA M DA m 3iDA 4iDB iDC 4iDB M DB m 3iDA 4iDB iDC iDC M DC m 3iDA 4iDB iDC
3.基本方程
M D 0 M DA M DB M DC m
28
力矩分配法
29
一、 力矩分配法的基本概念
例：如图所示超静定结构，杆长均为l，绘制弯矩图。
m
A
iDA
D
iDC
C
1.基本未知量 D 2.杆端弯矩
M DA 3iDA D M AD 0
iDB
B
M DB 4iDB D
M DC iDC D
M BD 2iDB D
2.计算各杆固端弯矩
3.计算分配弯矩和传递弯矩 4.叠加求得最终杆端弯矩
35
例：用力矩分配法作弯矩图。
1.各杆转动刚度、分配系数和传递系数 AB: S BA 4
EI 2 EI 6 3 EI 1 3 EI 6 2
BA 0.571
CBA 0.5 CBC 0
BC: S BC
k12
Bwk.baidu.com
0
2 1 k22
k12 1.5i
C
k22
A D
15 i 16
20
解方程，回代，绘弯矩图
k11 1 k12 2 F1P 0 k21 1 k22 2 F2P 0
10i 1 1.5 2 4 0 1.5i 1 15 i 2 6 0 16
(2) 杆端弯矩
1 AB：M AB 2i B 6i 3 42 4 12 1 M BA 4iB 6i 3 42 4 12
(4) 解方程
BC：M BC 3 2i B CD：M DC 3i 4 小结：位移法的基本方程都是根据平衡方程得出的。 (3) 基本方程 基本未知量中每一个转角有一个相应的结点力矩平衡方程， M 0, M BA M4 0 0 10 i 1.5 i BB BC 1 每一个独立结点线位移有一个相应的截面平衡方程。平衡 M A 0, FQBA (M AB M BA ) 6 4 1.5 i 0.9375 i 6 0 0 0, FQBA FQ 方程的个数与基本未知量的个数彼此相等，正好解出全部 F 1 xB CD M D 0, FQBA M DC 基本未知量。 4
M B 0, M BA M BC 0
F mAB 15kN m F mBA 15kN m F mCB 0 F mBC 9kN m
6 M BC 3i 9 11.57kN m 7i
6 M BA 4i 15 11.57kN m 7i
第15章 位移法和力矩分配法
1
15.1 位移法的基本概念 1 基本思想
结构在荷载作用下及产生位移也产生内力； 内力和位移之间存在着某种对应的关系； 力法是通过先求力，后求位移； 位移法则将过程反过来，先求结点位移，再求力。
C
B
A
E
D
2
2 简单例子
a a a
EAi EAi FNi ui sin i li li FP 5 i EAi 2 sin i li l i 1 i ui sin i EAi B sin i i li B FP FNi u 5 i EAi 2 sin i F Ni l i 1 i 5 5 EAi 2 F sin F sin i FP Ni i P i 1 i 1 l i
2.承受反对称荷载
FP
C
FP
C1 C 2
FP
I 2
FP FP
I 2
I D
D1 D2 C1
对称轴柱上没有轴力和轴向变形，但有弯矩 和弯曲变形
26
D1 D1
例题
q
q
a
a
a
27
2a
2a
力法与位移法的对比
力法 位移法
基本未知量 基本体系
基本方程
多余约束力
结点位移
去除多余约束 增加约束后的 后的静定结构 体系
C
F M BA
0
A
B
M AB
M BC M BA
■ 先在刚结点B上加阻止转动的约束，把连续梁分为单跨梁， 求出杆端弯矩。结点B各杆固端弯矩之和即为约束力矩MB。 ■ 去掉约束，求出各杆B端新产生的分配力矩和远端新产生的 传递弯矩。 ■ 叠加各杆端的力矩就得到实际的杆端弯矩。
34
计算步骤：
1.计算刚结点所连接杆件的转动刚度、分配系数和传 递系数
转动刚度
30
3iDA ii D i i D m m iDA 4 4 3 D DB D DB DCDC
D
m 3iDA 4iDB iDC
转动刚度
表示杆端对转动的抵抗能力 在数值上等于使杆端发生单位转角时 需要施加的力矩。 远端固定：S 4i 远端定向： S i
EI EA
9
§15-4 直接平衡法—无侧移刚架的计算
6 4. 求出最终各杆端弯矩 M 2i 15 16.72kN m 7 i 无侧移刚架 ：结点上只有角位移没有线位移
AB
5.例 作内力图 1：如图所示连续梁结构，各杆i =常数，作弯矩图。
1. 位移法基本未知量 B 2. 各杆杆端弯矩 3. 位移法的基本方程
5
§15-3 形常数和载常数
6
§15-2 位移法的基本未知量
1.基本未知量的选取
结点角位移=刚结点的个数 结点线位移
不考虑轴向变形
7
不考虑轴向变形
8
EI EI
EI
EI为无限大的杆件有内力，但没有弯曲变形，因此，与 EI为无穷大的杆件相连的刚节点均不作为位移法的基本 未知量。
k11 k12 k21 k22 kn1 kn 2
k1n k2 n knn
位移法典型方程
结构的刚度矩阵
kii——主系数，恒大于零； kij=kji——副系数，可正、可负、可为零；
22
§15–7
对称性的应用
——半边结构法
一.奇数跨对称结构
1.承受对称荷载
F2 0
F2 k21 1 k22 2 F2P 0
17
1.荷载单独作用
q≠ 0, Δ1 =0, Δ2 =0
F1P
B
M BA
F2 P
C
1 3 42 4kN .m 12 3 4 FQBA kN 6kN 2
F1P 4kN .m
A D
F2 P 6kN
S
远端铰支：S 3i
远端自由： S 0
31
m
A D
分配系数：
C
Dj
S Dj
S
j A, B, C
M Dj Dj m
B
Dj 1
SiDA 3 DA M DA m S DC 3i 4 S SiDB S DA DB iDC DA 4 SiDB M DB m S DC 3iDA 4 S Si S DA DB iDC DB SiDC M DC m 3 4 iDC S SiDA Si DA DB S DC DB
M AB
DM AD
M AE
4. 位移法的基本要点 I. 位移法的基本未知量是结构的结点位移
II. 位移法的基本方程是平衡方程
III. 建立基本方程的步骤： 第一步，拆——把结构拆成杆件，得出杆件的刚 度方程； 第二步，拼——把杆件综合成结构，整体分析， 得出基本方程。 IV. 杆件分析是位移法的基础。杆件的刚度方程是位 移法基本方程的基础。——刚度法。
18
2.结点位移1=1单独作用
q = 0, Δ1 0, Δ 2 = 0
k11
1 1
B
附加刚臂上的约束力以 顺时针为正。
k21
C
附加支杆上的约束力以 读者规定的线位移方向为正
k11 4i 6i 10i
k21 1.5i
A D
19
3.结点位移2=1单独作用
q = 0, Δ1 = 0, Δ 2
1 0.737 / i 2 7.58 / i
M M1 1 M2 2 MP
21
对于n个基本未知量问题，位移法方程为
k11 1 k12 2 k21 1 k22 2 kn1 1 kn 2 2
k1n n F1P 0 k2 n n F2 P 0 knn n Fn P 0
a
2a
x
y
B
B
FP
FN 1
FN 5
B
F
Y
0
FP
EA/l是使杆端产生单位位移时所施加的杆端力，称为杆 件的刚度系数，表明杆端力与杆端位移之间的关系，称 为杆件的刚度方程。
3
3、位移法的基本思路
C
C
拆
A
B
E
A A A
B A A A
A
E
D
搭
杆端力： 结点位移引起的: 荷载所引起的:
4
AC M A
F BA
BC 0.429
2.固端弯矩
1 F 2 1 M 20 6 90kN .m M 200 6 150kN .m BC 8 81 F M AB 200 6 150kN .m 8
7i B 6 0
6 B 7i
AB杆：M AB 2i B 15kN m
BC杆：M BC 3i B 9kN m
M CB 0
M BA 4i B 15kN m
10
集中外力矩的处理
q A B M MCB MCD P M C q D
C
当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式 中应包括外力矩。
16
结点B的转角1
结点C的水平位移2
基本步骤
第一步：控制附加约束，使得结点位移均为零。 ——即荷载单独作用。 第二步：控制附加约束，使结构依次发生单位结点位移
1和2 。此时，结点内的附加约束力也相应
改变。 基本体系转化为原超静定结构的条件是： 基本结构在给定荷载及结点位移1和2的共同作用 下，附加约束中产生的总约束力F1和F2应等于零。 F1 k11 1 k12 2 F1P 0 F1 0
C
在对称轴截面上，没有转角和水平位移，可有竖向位移。
23
一.奇数跨对称结构
2.承受反对称荷载
FP
C
FP
FP
在对称轴截面上，没有竖向位移，可有转角和水平位移。
24
二.偶数跨对称结构
1.承受对称荷载
C
D
在对称轴截面上，没有转角和水平位移，由于不计轴向变形 ，也没有竖向位移。
25
二.偶数跨对称结构
CDC
33
M AD 0 M DA M BD 1 M DB 2
远端铰支 远端固定
M DB 4iDB D
M DC iDC D
M BD 2iDB D
M CD iDC D
M CD 1 远端定向 M DC
二、力矩分配法的基本运算
A B
C
限制转动
A B
MB
C
M B
32
分配系数 ： 传递系数μ C：
m
A D
C
S Dj Dj j A, B, C 表示当近端有转角时，远端弯 S 矩与近端弯矩的比值。 M Dj Dj m
对于等截面杆件，传递系数 Dj 1 与远端的支承情况有关
B
M DA 3iDA D
M AD 0
CDA CDB
15
§15–6 位移法的基本体系
F1 0 如果基本体系与原结构发生相同的 结点位移，则附加约束上的约束反 F 0 2 力一定等于零。 位移法基本结构：在原结构上增加与基本未知量相应的约束后的 结构 位移法基本体系：增加了与基本未知量相应的人为约束后的体系
统一用表示位移法的基本未知量
11
小结
无侧移刚架的位移法计算要点： 基本未知量：结点的转角位移
转角位移的个数=刚结点的个数 基本方程：结点的合力矩平衡方程
方程个数=刚结点的个数
12
练习：利用直接平衡法作图示结构弯矩图（各杆EI为常数）
ql
B A
q
D B
q
A
ql D
l
C C
l l l
0.5l 0.5l
l
ql
A B
0.5l 0.5l
q
ql 2
C
l
l
D
13
§15-5 直接平衡法有侧移刚架的计算
有侧移刚架 ——结点处不仅有角位移，还有结点线位移
A
基本未知量：结点角位移和线位移
在杆件分析中，需考虑线位移的影响
建立基本方程时，需增加与线位移相对应的平 衡方程
14
2. 基本方程的建立
B= 0.737/ i (1) 基本未知量 B = 7.58/i
M CD iDC D
4.回代，求杆端弯矩
3iDA M DA m 3iDA 4iDB iDC 4iDB M DB m 3iDA 4iDB iDC iDC M DC m 3iDA 4iDB iDC
3.基本方程
M D 0 M DA M DB M DC m