线性代数证明题解析
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1、试题序号：321
2、题型：证明题
3、难度级别：3
4、知识点：第二章 矩阵及其运算
5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：矩阵秩的性质 8、试题内容：
设A 为一个n 阶方阵，E 为同阶单位矩阵且2A E =，证明：()()R A E R A E n ++-=. 9、答案内容：
证明:
2220()()0,()()()().().()().
A E A E A E A E R A E R A E R A E R E A n R A E R E A R A E E A n R A E R A E n =⇒-=⇒+-=++-=++-≤≥++-=∴++-=由矩阵秩的性质则有同时,有
(+)+(-)
10、评分细则：由题设推出()()0A E A E +-=得2分;由矩阵秩的性质推出
()()R A E R A E n ++-≤得2分;推出()()R A E R A E n ++-≥得2分;因而推出()()R A E R A E n ++-=得2分.
----------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：322 2、题型：证明题 3、难度级别：3
4、知识点： 第五章 相似矩阵及二次型
5、分值：8
6、所需时间：6分钟
7、试题关键字：正交矩阵的特征值 8、试题内容：
设A 为一个n 阶正交矩阵，且1A =-.证明：1λ=-是A 的特征值. 9、答案内容： 证明：
,.1,
(1)()()0(1)0.1.
T T T T T
T
T
T A A A E A A E A E A A A E A A E A A E A E A
E A E A A E A E A λ∴==-∴--=+=+=+=+=-+=-+=-+=-+∴+=⇒--=∴=-是正交矩阵又
是的特征值
10、评分细则：推出()1T A E A AA --=+(2分)T E A =-+(2分)E A =-+(2分) 推出()10A E --=并说明1λ=-是A 的特征值(2分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：323 2、题型：证明题 3、难度级别：4
4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型
5、分值：8
6、所需时间：10分钟
7、试题关键字：二次型的正定性 8、试题内容：
已知,A B 均为n 阶正定矩阵，试证明：分块矩阵00A B ⎛⎫
⎪⎝⎭
也为正定矩阵. 9、答案内容：
()12112212,00.0000
00000.00T
T T T T A B A B A A B B A B X A A f X X X B B X X X f AX BX A B ∴⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎛⎫
∴ ⎪⎝⎭
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫
∀≠⇒ ⎪⎝⎭
>∴⎛⎫
⎪⎝
⎭T T 12T
T 1
2证明
是正定矩阵，，是对称矩阵.A
00B 是对称矩阵.令=,此为所确定的二次型.0,X 中至少有一个不为0,则有=X +X 此二次型为正定二次型，则为正定矩阵.
10、评分细则：由题设中条件推出00A B ⎛⎫
⎪⎝⎭
是对称矩阵(2分);令
()112200T
T X A f X X X B ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(2分);由()120T
T X X ≠推出12,X X 中至少有一个不为零
(2分).则有11220T T f X AX X BX =+>,推出f 1122T T
X AX X BX =+为正定二次型(2分).
因而有00A B ⎛⎫
⎪⎝⎭为正定矩阵(2分).
----------------------------------------------------------------------------
1、试题序号：324
2、题型：证明题
3、难度级别：3
4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型
5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：二次型的正定性 8、试题内容：
设,A B 均为n 阶正定矩阵，试证明：A B +也为正定矩阵. 9、答案内容：
证明：
,.
()().0,.,,.0.()T T T T T T T
T
T T T T T A B A A B B A B A B A B A B f x A B x x f x Ax x Bx A B x Ax x Bx f x Ax x Bx f x A B x ∴+=+=+⇒+=+∀≠=+∴=+>∴=+都是正定矩阵,=,=为对称矩阵.令则有是正定矩阵
是正定二次型则有为正定二次型.则A+B 也为正定矩阵.
10、评分细则：由题设中条件推出A B +为对称矩阵(2分);令()T
f x A B x =+(2
分);00T T x f x Ax x Bx ∀≠⇒=+>(2分);推出()T
f x A B x =+为正定二次型(2分);因
而有A B +为正定矩阵(2分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：325 2、题型：证明题 3、难度级别：2
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性
5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：向量组的线性关系 8、试题内容：
若向量β可由向量组12,,
,r ααα线性表示，但β不能由121,,,r ααα-线性表示，试证：
r α可由121,,
,,r αααβ-线性表示.
9、答案内容： 证明：
2.0,.1
.,.
r r r r r r r r r βααααααββαααβαααααααβααααβ----∴==∴≠⇒=-
--
-∴１２１２r １１２
２r １１２２r-１１１２１１
２r-１r １１r r
r r
１２１可以由，，线性表示，存在一组数Ｋ，Ｋ，Ｋ,使得Ｋ＋Ｋ＋＋Ｋ＝若Ｋ则Ｋ＋Ｋ＋＋Ｋ这与不能由，，线性表示矛盾.ＫＫＫＫ０ＫＫＫＫ可由，，线性表示
10、评分细则：由题设中条件令1122r r k k k αααβ++
+=(2分);假设0r k =推出β不能