高考数学 立体几何-1 空间几何体及其表面积和体积(理科)

正（主）视图

侧（左）视图

第八章 立体几何

第1节 空间几何体及其表面积和体积

1 .（2014 陕西理 14）观察分析下表中的数据：

猜想一般凸多面体中，,,F V E 所满足的等式是_________.

1 . 解析 观察表中数据，并计算F V +分别为11，12，14，又其对应E 分别为9，10，12，容易观察并猜想2F V E +-=.

题型85 空间几何体的表面积与体积

1．（2013湖北理8）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有：（ ）. A ．12

43V V V V <<< B ．1324V V V V <<<

C ．2134V V V V <<<

D ．2314V V V V <<<

2 . (2013重庆理5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）.

A.

560

3

B. 580

3

C. 200

D. 240

3 .（2013江苏8）如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，， 的中点，设三棱锥

ADE F -的体积为1V ，三棱柱

ABC C B A -111的体积为2V ，则

=21:V V .

4．（2013广东理5）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）.

A ．4

B ．143

C ．16

3

D ．6

5 .（2014 山东理 13）三棱锥P ABC -中，,D E 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥

D AB

E -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则

1

2

V V = . 5 . 解析 如图，设1ABD S S =△，2PAB S S =，E 到平面ABD 的距离为1h ，C 到平面PAB 的

E

D

C

A

P

A B

C

1A

D

E F 1B

1C

俯视图

4

32

距离为2h ，则212S S =，212h h =，11113V S h =，2221

3

V S h =，所以11122214V S h V S h ==.

评注 本题考查三棱锥的体积求法以及等体积转化法在求空间几何体体积中的应用.本题的

易错点是不能利用转化与化归思想把三棱锥的体积进行适当的转化，找不到两个三棱锥的底面积及相应高的关系，从而造成题目无法求解或求解错误.

6 .（2014 福建理 13）要制作一个容积为34m ，高为1m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 .（单位：元）

6 . 解析 设底面的边长分别为x m ，y m ，总造价为T 元，则144V xy xy =⋅=⇒=.

()(

)420221108020802080204160T x y x y =⨯++⨯⨯=+++⨯+⨯=…（当

且仅当x

y =时取等号）故该容器的最低总造价是160元.

7 .（2014 新课标2理18） （本小题满分12分）

如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.

（1）证明：//PB 平面AEC ； （2）设二面角D AE C --为60︒，1AP =

，AD =，求三棱锥E ACD -的体积.

8 .（2016上海理19）将边长为1的正方形11AAOO （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图所示，AC 长为

23π，11A B 长为3

π

，其中1B 与C 在平面11AAOO 的同侧． （1）求三棱锥111C O A B -的体积； （2）求异面直线1BC 与1AA 所成角的大小．

A 1

A

A

P

E

C

B

8.解析 （1）连结11O B ，则111113

AO A B B ∠=π

=

，所以111O AB △

为正三角形，故111O A B S =

△

，所以1111

11113C O A B O A B V OO S -=⋅=△．

（2）设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连结1BB ，则11BB AA ∥，所以1BBC ∠为直线1BC 与

1AA 所成角

（或补角），111BB AA ==，连结,,BC BO OC ，113AB A B π==，23

AC π

=，所以3BC π=

，故3

BOC π

∠=，因此BOC △为正三角形，所以1BC BO ==，故11

tan 1BC

BB C BB ∠=

=，所以145BBC ∠=︒，故直线1BC 与1AA 所成角大小为45︒．

A

A 1

C

9 .（2016江苏17）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥

1111P A BC D -，下部分的形状是正四棱柱1111

ABCD A BC D -（如图所示），并要求正四棱柱的高1OO 是正四棱锥的高1PO 的4倍．

（1）若6m AB =，12m PO =，则仓库的容积是多少；

（2）正四棱锥的侧棱长为6m ，则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？ 9 .解析 （1）()12m PO =，则()18m OO =

()1111

23111

6224m 33

P A B C D ABCD V S PO -=⋅=⨯⨯=， ()111123168288m ABCD A B C D ABCD V S OO -=⋅=⨯=，

()111111113=312m P A B C D ABCD A B C D V V V --+=，故仓库的容积为()3312m ．

（2）设1PO x =(m)，仓库的容积为()V x ，

则1

4OO x =(m)

，11A O =

，11A B =，

()11111111

P A B C D ABCD A B C D V x V V --=+1113ABCD ABCD S PO S OO =

⋅+⋅()213

2363

x x =⨯- ()06x <<，()()2

'2612V x x =--()06x <<，

当(x ∈时，()'0V x >，()V x

单调递增；当()

x ∈时，()'0V x <， ()V x 单调递减．

A 1