自旋

自旋量子数
基本粒子的自旋
对于像光子、电子、各种夸克这样的基本粒子，理论和实验研究都已经发现它们所具有的自旋无 法解释为它们所包含的更小单元围绕质心的自转（参见电子半径）。由于这些不可再分的基本粒 子可以认为是真正的点粒子，因此自旋与质量、电量一样，是基本粒子的内禀性质。
在量子力学中源自文库任何体系的角动量都是量子化的，其值只能为：
用Stern-Gerlach仪器得到的粒子，自旋矢量确实有良好定义的实验意义。
自旋矢量
自旋与磁矩
具有自旋的粒子具有磁偶极矩，就如同经典电动力学中转动的带电物体。磁矩可以通过多种实验 手段观察，例如，在施特恩-格拉赫实验中受到不均匀磁场的偏转，或者测量粒子自身产生的磁 场。
一个基本粒子，电量为q，质量为m，自旋为S，则其内禀磁矩 为
自旋与泡利不相容原理
泡利不相容原理指出，对于可分辨的N粒子体系，交换其中任意两个粒子，则有： ：
因此，对于玻色子，前置因子
可简化为+1，而对于费米子为-1。在量子力学中，所有的
粒子不是玻色子就是费米子，而在相对论量子场论中存在“超对称”粒子，它们是玻色子成分和
费米子成分的线性组合。对于二维体系，前置因子
其中无量纲量g称为g-因子（g-factor），当仅有轨道角动量时，g=1。 电子是带电荷的基本粒子，具有非零磁矩。量子电动力学理论成功以预测了电子的g-因子，其实 验测量值为−2.002 319 304 3622（15），括号中的两位数字为测量的不确定度，来源于标准 差[1]，整数部分2来源于狄拉克方程（狄拉克方程是与将电子自旋与其电磁性质联系起来的基本 方程），小数部分（0.002 319 304…）来源于电子与周围电磁场的相互作用，其中也包括电子自 身的产生的电磁场。
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自旋
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在量子力学中，自旋（英语：Spin）是粒子所具有的内在性质，其运算规则类似于经典力学的 角动量，并因此产生一个磁场。虽然有时会与经典力学中的自转（例如行星公转时同时进行的自 转）相类比，但实际上本质是迥异的。经典概念中的自转，是物体对于其质心的旋转，比如地球 每日的自转是顺着一个通过地心的极轴所作的转动。
泡利不相容原理非常重要，例如，化学家和生物学家常用的元素周期表就是遵循泡利不相容原理 制订的。
自旋与旋转
如上所述，量子力学指出角动量沿任意方向的分量只能取一系列离散值，量子力学中最普遍的描
述粒子自旋的方法是，用一个归一完备的复数集来表示内禀角动量在给定坐标轴方向投影出现的
概率。例如，对于自旋1/2的粒子，用
通常认为亚原子粒子与基本粒子一样具有确定的自旋，例如，质子是自旋为1/2的粒子，可以理 解为这是该亚原子粒子能量量低的自旋态，该自旋态由亚原子粒子内部自旋角动量和轨道角动量 的结构决定。
利用第一性原理推导出亚原子粒子的自旋是比较困难的，例如，尽管我们知道质子是自旋为1/2 的粒子，但是原子核自旋结构的问题仍然是一个活跃的研究领域。
自旋对原子尺度的系统格外重要，诸如单一原子、质子、电子甚至是光子，都带有正半奇数 （1/2、3/2等等）或含零正整数（0、1、2）的自旋；半整数自旋的粒子被称为费米子（如电 子），整数的则称为玻色子（如光子）。复合粒子也带有自旋，其由组成粒子（可能是基本粒 子）之自旋透过加法所得；例如质子的自旋可以从夸克自旋得到。
泡利的“自由度”的物理解释最初是未知的。Ralph Kronig，Landé的一位助手，于1925年初提 出它是由电子的自转产生的。当泡利听到这个想法时，他予以严厉的批驳，他指出为了产生足够 的角动量，电子的假想表面必须以超过光速运动。这将违反相对论。很大程度上由于泡利的批 评，Kronig决定不发表他的想法。
当年秋天，两个年轻的荷兰物理学家产生了同样的想法，George Uhlenbeck和Samuel Goudsmit。在保罗·埃伦费斯特的建议下，他们以一个小篇幅发表了他们的结果。它得到了正面 的反应，特别是在Llewellyn Thomas消除了实验结果与Uhlenbeck和Goudsmit的（以及Kronig未 发表的）计算之间的两个矛盾的系数之后。这个矛盾是由于电子指向的切向结构必须纳入计算， 附加到它的位置上；以数学语言来说，需要一个纤维丛描述。切向丛效应是相加性的和相对论性 的（比如在c趋近于无限时它消失了）；在没有考虑切向空间朝向时其值只有一半，而且符号相 反。因此这个复合效应与后来的相差系数2（Thomas precession）。
可以取为任何模为1的复数。
电子是自旋量子数S=1/2的费米子；光子是自旋量子数S=1的玻色子。这充分说明自旋这一特性无 法完全用经典的内禀轨道角动量来解释，也就是不能认为自旋是像陀螺一样的自转运动，因为轨 道角动量只能导致s取整数值。电子一般情况下可以不考虑相对论效应，光子必须采用相对论来 处理，而用来描述这些粒子的麦克斯韦方程组，也是满足相对论关系的。
目录
1 概论 2 发展史 3 自旋量子数
3.1 基本粒子的自旋 3.2 次原子粒子的自旋 3.3 原子和分子的自旋 3.4 自旋与统计 4 自旋的方向 4.1 自旋投影量子数与自旋多重态 4.2 自旋矢量 5 自旋与磁矩 6 量子力学中关于自旋的数学表示 6.1 自旋算符 6.2 自旋与泡利不相容原理 6.3 自旋与旋转 6.4 自旋与洛伦兹变换 6.5 泡利矩阵和自旋算符 6.6 沿x, y和z轴的自旋测量 6.7 沿任意方向的自旋测量 6.8 自旋测量的相容性 7 应用 8 相关条目 9 参考资料 10 外部链接
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其中 是约化普朗克常数，而自旋量子数是整数或者半整数（0, 1/2, 1, 3/2, 2,……），自旋 量子数可以取半整数的值，这是自旋量子数与轨道量子数的主要区别，后者的量子数取值只能为 整数。自旋量子数的取值只依赖于粒子的种类，无法用现有的手段去改变其取值（不要与自旋的 方向混淆，见下文）。
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其中s是之前章节讨论过的自旋量子数。可以看出对于给定的s， 可以取“2s+1”个不同的值。
例如：对于自旋为1/2的粒子，"sz"只能取两个不同的值，+1/2或-1/2。相应的量子态为粒子自
旋分别指向+z或-z方向，一般我们把这两个量子态叫做"spin-up"和"spin-down"。 对于一个给
原子和分子的自旋
原子和分子的自旋是原子或分子中未成对电子自旋之和，未成对电子的自旋导致原子和分子具有 顺磁性。
自旋与统计
粒子的自旋对于其在统计力学中的性质具有深刻的影响，具有半整数自旋的粒子遵循费米-狄拉 克统计，称为费米子，它们必须占据反对称的量子态（参阅可区分粒子），这种性质要求费米子 不能占据相同的量子态，这被称为泡利不相容原理。另一方面，具有整数自旋的粒子遵循玻色爱因斯坦统计，称为玻色子，这些粒子可以占据对称的量子态，因此可以占据相同的量子态。对 此的证明称为自旋统计理论，依据的是量子力学以及狭义相对论。事实上，自旋与统计的联系是 狭义相对论的一个重要结论。
首先对基本粒子提出自转与相应角动量概念的是1925年由Ralph Kronig、George Uhlenbeck与 Samuel Goudsmit三人所开创。他们在处理电子的磁场理论时，把电子想象一个带电的球体，自 转因而产生磁场。然而尔后在量子力学中，透过理论以及实验验证发现基本粒子可视为是不可分 割的点粒子，是故物体自转无法直接套用到自旋角动量上来，因此仅能将自旋视为一种内在性 质，为粒子与生俱来带有的一种角动量，并且其量值是量子化的，无法被改变（但自旋角动量的 指向可以透过操作来改变）。
例如，所有电子具有s = 1/2，自旋为1/2的基本粒子还包括正电子、中微子和夸克，光子是自旋 为1的粒子，理论假设的引力子是自旋为2的粒子，理论假设的希格斯玻色子在基本粒子中比较特 殊，它的自旋为0。
次原子粒子的自旋
对于像质子、中子及原子核这样的亚原子粒子，自旋通常是指总的角动量，即亚原子粒子的自旋 角动量和轨道角动量的总和。亚原子粒子的自旋与其它角动量都遵循同样的量子化条件。
自旋的方向
自旋投影量子数与自旋多重态
在经典力学中，一个粒子的角动量不仅有大小（取决于粒子转动的快慢），而且有方向（取决于 粒子的旋转轴）。量子力学中的自旋同样有方向，但是是以一种更加微妙的形式出现的。
在量子力学中，对任意方向的角动量分量的测量只能取如下值：
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从费米-狄拉克统计；自旋为0或整数的粒子称为玻色子，服从玻色-爱因斯坦统计。复合粒子的
自旋是其内部各组成部分之间相对轨道角动量和各组成部分自旋的矢量和，即按量子力学中角动
量相加法则求和。已发现的粒子中，自旋为整数的，最大自旋为4；自旋为半奇数的，最大自旋
为3／2。
自旋是微观粒子的一种性质，没有经典对应，是一种全新的内禀自由度。自旋为半奇数的物质粒 子服从泡利不相容原理。
表示角动量投影出现的概率为 和
，它们满
足：
由于这些复数的取值依赖于坐标轴的选取，坐标轴转动变换可以是非平凡的，因此要求采用线性 的变换法则，以便将所有的转动通过一个矩阵联系起来，这要求变换必须满足乘法运算，而且必 须保持内积不变，因此变换矩阵应当满足：
发展史
自旋的发现，首先出现在碱金属元素的发射光谱课题中。于1924年，沃尔夫冈·泡利首先引入他 称为是“双值量子自由度”（two-valued quantum degree of freedom），与最外壳层的电子有 关。这使他可以形式化地表述泡利不相容原理，即没有两个电子可以在同一时间共享相同的量子 态。
不能取半整数值也只是一种约定，没有具体的含义。
除了其它性质以外，量子力学描述的所有粒子具有内禀自旋（尽管可能出现量子数
的情
况）。自旋量子数的取值为约化普朗克常数 的整数倍或半整数倍，因此波函数可以写为
而不是
，其中 可以取值的集合为：
，由此可以区分玻色子（S=0, 1 ,
2 , ...）和费米子（S=1/2 , 3/2 , 5/2 , ...）。自旋角动量与轨道角动量之和为总角动量， 在相互作用过程中总角动量守恒。
定的量子态，可以给出一个自旋矢量 ，它的各个分量是自旋沿着各坐标轴分量的数学期望
值，即
.这个矢量描述自旋所指的“方向”，对应于经典物理下旋转轴
的概念。这个矢量在实际做量子力学计算时并不十分有用，因为它不能被直接精准测量：根据不 确定性原理，sx、sy和sz不能同时有确定值。但是对于被置于同一个量子态的大量粒子，例如使
量子力学中关于自旋的数学表示
自旋算符
与轨道角动量类似，自旋满足对易关系：
其中 为列维-奇维塔符号。 与 的本征值（用狄拉克符号表示）为：
自旋产生和湮灭算符作用于本征矢量上可以得到：
其中
。
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然而与轨道角动量所不同的是，自旋的本征矢量不是球谐函数，它们不是 和 的函数，而且 与
尽管他最初反对这个想法，泡利还是在1927年形式化了自旋理论，运用了埃尔文·薛定谔和沃纳 ·海森堡发现的现代量子力学理论。他开拓性地使用泡利矩阵作为一个自旋算子的群表述，并且 引入了一个二元旋量波函数。
泡利的自旋理论是非相对论性的。然而，在1928年，保罗·狄拉克发表了狄拉克方程，描述了相 对论性的电子。在狄拉克方程中，一个四元旋量（所谓的“狄拉克旋量”）被用于电子波函数。 在1940年，泡利证明了“自旋统计定理”，它表述了费米子具有半整数自旋，玻色子具有整数自 旋。
概论
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自旋角动量是系统的一个可观测量，它在空间中的三个分量和轨道角动量一样满足相同的对易关
系。每个粒子都具有特有的自旋。粒子自旋角动量遵从角动量的普遍规律，p=[J(J+1)]0.5h，此
为自旋角动量量子数 ，J ＝ 0，1 ／ 2，1，3／2，……。自旋为半奇数的粒子称为费米子，服