统计学第3章概率分布与抽样分布
统计学-抽样分布与抽样方法
保持不变，每一次抽样中各总体单位被抽到的机会 都相同，每次抽样结果相互独立。 ②每一总体单位都有被重复抽取的可能。
5.2 抽样调查的方法
一、两种抽样方式（续）：
(2)不重复抽样 ——也称不放回抽样，指被抽到的单位不再放回总
体，每次仅在余下的总体单位中抽取下一个样本的 抽样方法。 特点： ①任一总体单位都不会被重复抽到； ②每次抽样结果都受到以前各次抽取结果的影响，因 此各次抽取结果是不独立的； ③可以一次抽取所需要的样本单位数。 ❖ 在实际应用中通常采用的都是不重复抽样方法。
总体
群1
群2
…… 群k
个体1 个体2 个体3 个体4 个体5 个体6
5.2 抽样调查的方法
3.整群抽样
❖特点：
▪ 抽样时只需群的抽样框，可简化工作量 ▪ 调查的地点相对集中，节省调查费用，方便
调查的实施 ▪ 当群中的元素差异性大时，整群抽样得到的
结果比较好。在理想状态下，每一群是整个 总体小范围内的代表。如对人口普查资料进 行复查，就采用整群抽样的方式。
5.1 抽样调查的概念、特点和作用
五、全及总体和抽样总体 ❖全及总体，简称总体，是指所要认识对象的全
体，是许多同质性单位的集合。通常用大写字 母N来表示（容量）。 ❖抽样总体，简称样本，是从全及总体中随机抽 取出来，代表全及总体部分单位的集合。通常 用小写字母n来表示（容量） 。
▪ 样本容量(Sample size)：样本中所含个体的数量。分为 大样本(>30)、小样本(<30)。
▪ 样本个数：又称为样本可能数目。是指从一个总体中可以 抽取的样本个数。
5.2 抽样调查的方法
统计学之抽样与抽样分布
的抽样分布
统计推断的过程
• 总体均值
m=?
• 从总体中抽取 • 样本容量为 n 的样本
• 用 作为m 的点估计
• 计算样本平均值
的抽样分布
的抽样分布是指所有可能的样本平均值 的概率分 布
的期望值
E( ) = = 总体平均值
的抽样分布
的标准差
•
有限总体
无限总体
• 当 n/N < .05时，可以将一个有限总体看作是无限
统计学之抽样与抽样分 布
2020年4月29日星期三
Chapter 7
抽样和抽样分布
本章主要内容
简单随机抽样 点估计 抽样分布 样本平均值 的抽样分布 样本比例 的抽样分布 抽样方法
•n = 100
•n = 30
统计推断
统计推断的目的是利用样本的信息推断总体的信息 总体是指感兴趣的所有元素的集合 样本是总体的一个子集 通过样本统计量对总体参数进行估计 只要抽样方法恰当，通过样本统计量可以对总体参数 进行很好的估计
也就是说，样本平均值在总体平均值+/-10分范围内的 概率为0.5036
•面积 = 2(.2518) = .5036
• 的抽样分布
•980 •990•1000
的抽样分布
的抽样分布是指所有可能的样本比例 的概率分布 的期望值
p = 总体比例
的抽样分布
的标准差 有限总体
无限总体
• 也称为样本比例的标准误
总体
•
称为有限总体校正因子.
• 也称为样本均值的标准误
的抽样分布
中心极限定理：只要样本容量足够大 (n > 30)，不管总 体服从什么分布，样本平均值 都可以认为近似服从 正态分布。
统计学 第三章抽样与抽样分布
=10
= 50 X
总体分布
n= 4
x 5
n =16
x 2.5
x 50
X
抽样分布
从非正态总体中抽样
结论：
从非正态中体中抽样，所形成 的抽样分布最终也是趋近于正态分 布的。只是样本容量需要更大些。
总结：中心极限定理
设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽 取容量为n的样本，当n充分大时（超过30），样本 均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的
总体
样本
参数
统计量
总体与样本的指标表示法
总体参数
样本统计量
(Parameter) (Sample Statistic)
容量 平均数 比例 方差 标准差
N
n
X
x
p
2
s2
s
小练习
某药品制造商感兴趣的是用该公司开发的某 种新药能控制高血压人群血压的比例。进行了一 项包含5000个高血压病人个体的研究。他发现用 这种药后80%的个体，他们的高血压能够被控制。 假定这5000个个体在高血压人群中具有代表性的 话，回答下列问题： 1、总体是什么？ 2、样本是什么？ 3、识别所关心的参数 4、识别此统计量并给出它的值 5、我们知道这个参数的值么？
正态分布
一个任意分 布的总体
x
n
当样本容量足够 大时(n 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
x
X
总体分布
正态分布
非正态分布
大样本 小样本 大样本 小样本
正态分布
正态分布
非正态分布
三 中心极限定理的应用
中心极限定理(Central Limit theorem) 不论总体服从何种分布，从中抽取
概率与统计中的抽样分布与假设检验
概率与统计中的抽样分布与假设检验概率与统计是一门研究随机事件及其规律的学科，其中抽样分布与假设检验是概率与统计学中至关重要的概念。
本文将介绍抽样分布的概念及其重要性，并探讨假设检验的原理和应用。
一、抽样分布在统计学中，抽样是指从总体中选取一部分样本进行观察和测量，通过对样本的分析和推断，得出对总体特征的结论。
而抽样分布则是在多次抽取样本的基础上得到的一组统计量的概率分布。
抽样分布的重要性在于它为统计推断提供了理论基础。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
这意味着通过对样本数据的分析，我们可以对总体特征进行合理的推断和估计。
二、假设检验假设检验是概率与统计学中常用的分析方法，用于检验关于总体参数的某种假设。
它基于样本数据，通过比较样本统计量与假设值之间的差异，来判断是否拒绝或接受某个假设。
假设检验的基本步骤包括：1. 建立原假设（H0）和备择假设（H1）：原假设通常是关于总体特征的某种陈述，而备择假设则是与原假设相对立的假设。
2. 选择适当的检验统计量：根据具体问题选择合适的统计量进行计算和分析。
3. 确定显著性水平（α）：显著性水平是进行假设检验时预先设定的一个界限，用来判断是否拒绝原假设。
通常将显著性水平设定为0.05或0.01。
4. 计算检验统计量的观察值：通过对样本数据进行计算，得到实际的检验统计量的值。
5. 判断检验统计量的观察值是否落在拒绝域内：拒绝域是指在显著性水平下，根据分布函数得到的一组临界值。
如果观察值落在拒绝域内，则拒绝原假设；否则，接受原假设。
6. 得出结论：根据判断结果，对于原假设的合理性进行结论。
假设检验在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在医学研究中，可以使用假设检验来判断新药物是否对疾病有显著疗效；在工商管理中，可以使用假设检验来判断某种市场策略是否能够提高销售业绩。
总结：概率与统计中的抽样分布与假设检验是概率与统计学的重要概念。
袁卫《统计学》(第3版)课后习题-概率、概率分布与抽样分布(圣才出品)
5．离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布的描述有哪些不同？连续型随机变量
的概率密度与分布函数之间是什么关系？
答：（1）离散型随机变量 X 只取有限个可能的值 x1，x2，…， xn ，而且是以确定的概
率取这些值，即
P（X=xi）=pi（ i =1，2，…，n）。因此，可以列出 X 的所有可能取值 x1，x2，…， xn ，以 及取每个值的概率 p1，p2，…， pn ，将它们用表格的形式表现出来，就是离散型随机变量
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（3）主观概率
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古典概率和统计概率都属于客观概率，它们的确定完全取决于对客观条件的理论分析或
是大量重复试验的事实，不以个人的意志为转移。而有些事件，特别是未来的某一事件，既
不能通过等可能事件个数来计算，也不能根据大量重复试验的频率来估计，但决策者又必须
，
对于连续型随机变量，其均值和方差分别为：
= E(X ) = xf (x)dx， 2 = E(X 2) − E2(X ) = − x2 f (x)dx
−
−
7．二项分布与超几何分布的适用场合有什么不同？它们的均值和方差有什么区别？
答：（1）从理论上讲，二项分布只适合于重复抽样（即从总体中抽出一个个体观察完后
对其进行估计从而作出相应的决策，那就需要应用主观概率。
主观概率需要人们根据经验、专业知识、对事件发生的众多条件或影响因素进行分析，
以此确定主观概率。
3．概率密度函数和分布函数的联系与区别表现在哪些方面？ 答：（1）区别 概率密度函数只是给出了连续型随机变量某一特定值的函数值，这一函数值不是真正意 义上的取值概率，连续型随机变量在给定区间内取值的概率对应的是概率密度函数 f（x）曲 线（或直线）在该区间上围成的面积，这一特征恰恰意味着连续型随机变量在某一点的概率 值为 0，因为它对应的面积为 0。而分布函数 F 在 x 处的取值，就是随机变量 X 的取值落在 区间（-∞，x）的概率。 （2）联系
《应用统计学》课程网上考试题库
答案：错
3
、展示时间序列数据的最佳图形是直方图。（
）
答案：错
4
、在组距数列中，组中值是各组的代表值，它等于组内各变量值的平均数。（
）
答案：错
5
、统计分组法在整个统计活动过程中都占有重要地位。（
）
答案：对
6
、推断统计学是描述统计学的基础。（
）
答案：错
第三章概率、概率分布与抽样分布
3
、以下关于样本统计量的说法中正确的是（
C.抽样方式
D.抽样方法
E.估计的可靠程度
答案：ABCDE
3
、在区间估计中，如果其他条件保持不变，概率保证程度与精确度之间存在下
列关系（）。
A.前者愈低，后者也愈低
B.前者愈高，后者也愈高
C.前者愈低，后者愈高
D.前者愈高，后者愈低
E.两者呈相反方向变化
A. 100个工业企业的工业总产值B.每一个工人的月工资
C.全部工业企业D.一个工业企业的工资总额
E.全部工业企业的劳动生产率
答案：AE
3
、下面哪些属于变量（）。
A、可变品质标志
D、可变的数量标志
答案：BCD
B、质量指标
C、数量指标
E、某一指标数值
三、判断题
1
、总体性是统计研究的前提。（）
答案：错
2
）。
A.定类尺度
B.定序尺度
D.定比尺度
C.定距尺度
答案：A
4
、在对工业企业的生产设备进行普查时，调查对象是（
）。
A.所有工业企业
C.工业企业的所有生产设备
答案：C
B.每一个工业企业
D.工业企业的每台生产设备
3-理论分布与抽样分布
68-95-99.7规则
➢ 正态分布有其特定的数据分布规则： ▪ 平均值为, 标准差为σ的正态分布 ▪ 68%的观察资料落在的1σ之内 ▪ 95%的观察资料落在的2σ之内 ▪ 99.7%的观察资料落在的3σ之内
19
20
三、68-95-99.7规则
68.26% 的资料 95.45% 的资料 99.73% 的资料 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3s -2s -s +s +2s +3s
体称为样本平均数的抽样总体。其平均数和标准差分
别记为 和 。x
s x
是样s x本平均数抽样总体的标准差，简称标准误 (standard error)，它表示平均数抽样误差的大小。统 计学上已证明x总体的两个参数与x 总体的两个参数有 如下关系：
u=(x-μ)／σ
x～N(0,1)
上一张 下一张 主 页 退12出
3.3.3 正态分布的概率计算 1. 标准正态分布的概率计算
设u服从标准正态分布，则u在[u1，u2 ）内取 值的概率为：
＝Φ(u2)－Φ(u1)
(3-16)
Φ(u1)与Φ(u2)可由附表1查得。
上一张 下一张 主 页 退13出
例如，u=1.75时，由附表1可以查出 Φ(1.75)=0.95994
图3-6 μ相同而σ不同的3个正态分布比较大 8
（6）分布密度曲线与横轴所围成的区间面积为1， 即：
（7） 正态分布的次数多数集中在平均数μ的附 近，离均数越远，其相应次数越少，在3σ以外的 极少，这就是食品工业控制中的3σ 原理的基础。
上一张 下一张 主 页 退 9出
3.3.2 标准正态分布
上一张 下一张 主 页 退16出
(1) P(u＜-1.64)=0.05050 (2) P (u≥2.58)=Φ(-2.58)=0.024940 (3) P (｜u｜≥2.56)
统计学的概率分布与抽样
统计学的概率分布与抽样统计学是一门研究数据的收集、分析和解释的学科，它在许多领域中起着重要的作用。
其中一个关键的概念是概率分布和抽样。
本文将介绍统计学中的概率分布和抽样方法，并讨论它们在实际应用中的作用。
一、概率分布概率分布是指描述一个随机变量所有可能取值的概率。
常见的概率分布包括离散概率分布和连续概率分布。
离散概率分布是指随机变量只能取有限个或可列无限个值的分布。
其中最常见的是二项分布和泊松分布。
二项分布描述了在进行有限次的独立重复试验时，成功的次数的概率分布。
而泊松分布用于描述单位时间或者单位空间内某事件发生次数的概率分布。
连续概率分布是指随机变量可以取任意实数值的分布。
其中最常见的是正态分布。
正态分布在自然界和社会科学中广泛应用，它是一个对称的钟形曲线，具有许多重要的特性。
二、抽样方法抽样是指从总体中选取样本的过程。
样本是指总体中的一个子集，通过对样本的研究和分析，可以推断总体的特征。
常见的抽样方法包括随机抽样、系统抽样和分层抽样。
随机抽样是指在总体中随机选择样本，使每个个体被选中的概率相等。
系统抽样是指按照一定的规则，选择样本中的个体。
分层抽样是将总体分为若干层次，然后在每个层次中进行抽样。
抽样方法的选择取决于研究的目的和总体的特点。
合适的抽样方法可以提高样本的代表性和可靠性，从而提高统计分析的准确性。
三、概率分布与抽样的应用概率分布和抽样在许多领域中都有重要的应用。
以下将介绍几个具体的例子。
1. 市场调研：在市场调研中，研究者通常需要从总体中选取样本，然后通过对样本的调查和分析来推断总体的特征。
这时候可以使用随机抽样或者分层抽样的方法，并根据样本数据的概率分布来进行统计分析。
2. 医学研究：医学研究中经常需要进行临床试验，以评估某种治疗方法的有效性和安全性。
在临床试验中，研究者需要随机选取一部分患者接受治疗，然后比较治疗组和对照组的结果。
这时候可以使用随机抽样的方法，并根据结果的概率分布做出结论。
统计学 抽样分布和理论分布
抽样分布与理论分布一、抽样分布总体分布：总体中所有个体关于某个变量的取值所形成的分布。
样本分布：样本中所有个体关于某个变量大的取值所形成的分布。
抽样分布：样品统计量的概率分布，由样本统计量的所有可能取值和相应的概率组成。
即从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本最多可抽取m 个样本，m 个样本统计值形成的频率分布，即为抽样分布。
样本平均数的抽样分布：设变量X 是一个研究总体，具有平均数μ和方差σ2。
那么可以从中抽取样本而得到样本平均数x ，样本平均数是一个随机变量，其概率分布叫做样本平均数的抽样分布。
由样本平均数x 所构成的总体称为样本平均数的抽样总体。
它具有参数μx 和σ2x ，其中μx 为样本平均数抽样总体的平均数，σ2x 为样本平均数抽样总体的方差，σx 为样本平均数的标准差，简称标准误。
统计学上可以证明x 总体的两个参数 μx 和σ2x 与X 总体的两个参数μ和σ2有如下关系：μx = μσ2x = σ2 /n 由中心极限定理可以证明，无论总体是什么分布，如果总体的平均值μ和σ2都存在，当样本足够大时（n>30），样本平均值x 分布总是趋近于N （μ，n2σ)分布。
但在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的，此时可用样本标准差S 估计σ。
于是，以nS估计σx ，记为X S ，称为样本标准误或均数标准误。
样本平均数差数的抽样分布：二、正态分布2.1 正态分布的定义：若连续型随机变量X 的概率密度函数是⎪⎭⎫ ⎝⎛--=σμπσx e x f 22121)( （-∞＜x ＜+∞）则称随机变量X 服从平均数为μ、方差为σ2的正态分布，记作X~N （μ，σ2）。
相应的随机变量X 概率分布函数为 F （x ）=⎰∞-x dx x f )(它反映了随机变量X 取值落在区间（-∞，x ）的概率。
2.2 标准正态分布当正态分布的参数μ=0，σ2=1时，称随机变量X 服从标准正态分布，记作X~N （0,1）。
3 理论分布与抽样分布
【例3.7】 已知u～N(0，1)，试求： (1) P(u＜-1.64)＝?
(2) P (u≥2.58)=?
(3) P (｜u｜≥2.56)=? (4) P(0.34≤u＜1.53) =?
(1) P(u＜-1.64)=0.05050
(2) P (u≥2.58)=Φ(-2.58)=0.024940
加减不同倍数σ区间的概率)是经常用到的。
P(μ-σ≤x＜μ+σ)= 0.6826
P(μ-2σ≤x＜μ+2σ) = 0.9545 P (μ-3σ≤x＜μ+3σ) = 0.9973
P (μ-1.96σ≤x＜μ+1.96σ) = 0.95
P (μ-2.58σ≤x＜μ+2.58σ)= 0.99
在数理统计分析中，不仅注意随机变量x落在平均数加减不 同倍数标准差区间（μ-kσ , μ+kσ）之内的概率，更关心的是x落在 此区间之外的概率。
二项分布---二项分布的定义及其特点
二项分布的应用条件： （1）各观察单位 只具有相互对立 的一种结果，如合格或不 合格， 生存或死亡等等，非此即彼； （2）已知发生某一结果 (如死亡) 的概率为p，其对立结果 的概率则为1-P=q，实际中要求p 是从大量观察中获得的比较 稳定的数值； （3）n次观察结果互相独立，即每个观察单位的观察结果不
P (-2.58≤u＜2.58)=0.99
标准正态分布的三个常用概率如图示
u变量在上述区间以外取值的概率分别为： P(｜u｜≥1)=2Φ(-1)=1- P(-1≤u＜1) =1-0.6826=0.3174 P(｜u｜≥2)=2Φ(-2) =1- P（-2≤u＜2） =1-0.9545=0.0455 P(｜u｜≥3)=1-0.9973=0.0027 P(｜u｜≥1.96)=1-0.95=0.05 P(｜u｜≥2.58)=1-0.99=0.01
第3章 抽样分布
样本方差s2
s2取值的概率
0.0 0.5
4/16 6/16
2
4.5
39
4/16
2/16
0.00 0.0 0.5 s的取值 2.0 4.5
(用Excel计算2分布的概率)
1. 利用Excel提供的CHIDIST统计函数，计算2分布 右单尾的概率值
2. 语法为 CHIDIST(x,df) ，其中 df 为自由度， x 是随 机变量的取值 3. 给定自由度和统计量取值的右尾概率，也可以利 用“插入函数”命令来实现 4. 计算自由度为8，统计量的取值大于10的概率
σ2 =1.25
23
x 2.5
x2 0.625
样本均值的抽样分布
当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，来自该总体的所有 容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x 的数 学期望为μ，方差为σ2/n。即x～N(μ,σ2/n)
=10
n=4 x 5 n =16 x 2.5
37
2分布
(图示)
选择容量为n 的 不同容量样本的抽样分布
n=1 n=4 n=10
总体
简单随机样本
计算样本方差s2
计算卡方值
n=20
2 = (n-1)s2/σ2
计算出所有的
2
2值
38
2分布
(例题的图示)
16个样本方差的分布
s取值的概率
0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05
13
三种不同性质的分布
1 2 3
14
总体分布 样本分布 抽样分布
总体分布
(population distribution)
第三章 概率分布
第二节 概率分布
概率:一次试验某一个结果发生的可能性大小 概率分布:试验的全部可能结果及各种可能结果发生 的概率
一、随机变量 随机试验的所有可能结果中，若对于每一种可能结果 都有唯一的实数x与之对应，则称x为随机试验的随 机变量。
【例4.3】 对100头病畜用某种药物进行治疗，其可能 结果是“0头治愈”、 “1头治愈”、“2头治愈”、 “…”、“100头治愈”。若用x表示治愈头数，则x的 取值为0、1、2、…、100。
【例4.4】 孵化一枚种蛋可能结果只有两种，即“ 孵出小鸡”与“未孵出小鸡”。 若用变量x表示试验 的两种结果，则可令x=0表示“未孵出小鸡”，x=1表 示“孵出小鸡”。
【例4.5】 测定某品种猪初生重，表示测定结果的 变量x所取的值为一个特定范围(a,b)，如0.5―1.5kg，x 值可以是这个范围内的任何实数。
但在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结
果却呈现出某种固有的特定的规律性——频率的稳定
性，通常称之为随机现象的统计规律性
概率
论与数理统计
（二）随机试验与随机事件
1、随机试验 通常我们把根据某一研究目的 ，在一定条件下对 自然现象所进行的观察或试验统称为随机试验。
随机试验满足下述三个特性
（1）可重复性：试验可以在相同条件下多次重复进行； （2）结果多样性：每次试验的可能结果不止一个，并且事先 知道会有哪些可能的结果； （3）未知性：每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个， 但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。
一类随机现象或不确定性现象：事前不可预言其 结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行观察， 其结果未必相同。即在个别试验中其结果呈现偶然性、 不确定性现象。例
随机现象特点：
统计学(第三版课后习题答案
Hah 和网速是无形的|1：各章练习题答案2.1（1）属于顺序数据。
（2）频数分布表如下：服务质量等级评价的频数分布服务质量等级家庭数（频率）*频率%A1414B2121C3232；D1818E1515合计100100（3）条形图（略）2.2）2.3（1）频数分布表如下：（2）某管理局下属40个企分组表按销售收入分组（万元）企业数（个）频率（%）\先进企业良好企业一般企业落后企业111199^合计402.4频数分布表如下：某百货公司日商品销售额分组表按销售额分组（万元）频数（天）频率（%）…25～30 30～35 35～40 40～45 45～50461596~合计40直方图（略）。
2.5（1）排序略。
(（2）频数分布表如下：100只灯泡使用寿命非频数分布按使用寿命分组（小时）灯泡个数（只）频率（%）650~66022660~6705》5670~68066680~6901414690~7002626《700~7101818710~7201313720~7301010730~740《33740~750 3 3 合计100100直方图（略）。
2.6 % 2.7 （1）属于数值型数据。
（2）分组结果如下：分组 天数（天）-25~-20 6 -20~-15 8 -15~-10 10 ~-10~-5 13 -5~0 12 0~5 4 5~107 合计60@（3）直方图（略）。
2.8 （1）直方图（略）。
（2）自学考试人员年龄的分布为右偏。
2.9 （1（2）A 班考试成绩的分布比较集中，且平均分数较高；B 班考试成绩的分布比A 班分散，且平均成绩较A 班低。
2.102.11 L U （2）17.21=s （万元）。
2.12 （1）甲企业平均成本＝（元），乙企业平均成本＝（元）；原因：尽管两个企业的单位成本相同，但单位成本较低的产品在乙企业的产量中所占比重较大，因此拉低了总平均成本。
2.13 x =（万元）；48.116=s （万元）。
数理统计第3章 随机抽样与抽样分布
E ( X i ) = E ( X ) = µ , D( X i ) = D( X ) = σ 2 , i = 1,2,L , n
1 n 1 n 所以 E ( X ) = E ( ∑ X i ) = ∑ E ( X i ) = µ , n i =1 n i =1
1 1 . D ( X ) = D( ∑ X i ) = 2 ∑ D( X i ) = n n i =1 n i =1
11
它反映了总体 二、样本数字特征 均值的信息 它反映了总体 1 n 样本均值 X = ∑Xi 方差的信息 n i=1 1 n 1 n 2 2 2 2 样本方差 S = ∑( Xi − X) = n −1 ∑Xi − nX n −1 i=1 i =1
推导： 推导：
( Xi − X)2 = ∑( Xi2 − 2Xi X + X 2 ) ∑
因此, 应视为一组随机变量, 因此,抽样值 ( x1 , x2 ,L, xn ) 应视为一组随机变量,我们把 的一个样本 子样), 样本( ),其中 称为该样本的容量 容量。 它称为总体 X 的一个样本(或子样),其中 n 称为该样本的容量。
7
二、简单随机抽样
由于抽样的目的是为了对总体的分布进行统 计推断， 计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的 信息，必须考虑抽样方法 信息，必须考虑抽样方法. 最常用的一种抽样方法叫作“ 最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽 它要求抽取的样本满足下面两点: 样”，它要求抽取的样本满足下面两点: 1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体 代表性： 有相同的分布. 有相同的分布 2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量 独立性： 是相互独立的随机变量. 由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本 简单随机样本， 由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本， 今后如不加声明，均指简单随机样本。 今后如不加声明，均指简单随机样本。
《统计学》(第四版)袁卫 (03)第3章 概率、概率分布与抽样分布(袁卫)
P(A∪B) =P(A)+P(B) 2. 事件A1，A2，…，An两两互斥，则有
P(A1∪A2 ∪…∪An) =P(A1)+P(A2) +…+P(An)
3－17
统计学 互斥事件的加法规则
STATISTICS
(例题分析)
【例】抛掷一颗骰子，并考察其结果。求出其点 数为1点或2点或3点或4点或5点或6点的概率
P(A)事 重件 A发 复生 试的 验次 次 m n数 数 p
3－10
统计学
STATISTICS
概率的性质和运算法则
3－11
统计学 互斥事件及其概率
STATISTICS
(mutually exclusive events)
在试验中，两个事件有一个发生时，另 一个就不能发生，则称事件A与事件B是互斥 事件,(没有公共样本点)
统计学
STATISTICS
条件概率
(例题分析)
解：设 A = 取出的一个为正品
B = 取出的一个为供应商甲供应的配件
186
(1P)(A) 0.93
200
(2P)(B) 900.45
200
(3P)(AB)280400.42
(P 4() AB)P(AB )0.420.9333
P(B) 0.45
3－29
3－25
统计学
条件概率
STATISTICS
(conditional probability)
在事件B已经发生的条件下事件A发生的概率， 称为已知事件B时事件A的条件概率，记为P(A|B)
P(A|B)
=
P(AB) P(B)
事件A 事件B
概率统计基础：第 3 章 随机变量及抽样分布
这一过程称为抽样 , X1 , X2 , , Xn 称为容量为n的样本.
抽样的特点 在相同条件下对总体X进行n次重复、独立观察
要求各次取样的结果互不影响 每次取出的样品与总体有相同的分布
样本的特点
观察前:X1 , X2 ,, Xn 是相互独立,与总体同分布的随机 变量
0.4
n=2
0.3
n=3
0.2
n=5
n = 10
0.1
n = 15
5 10 15 20 25
设 c 2 ~c 2 (n) X i ~ N (0,1) i 1, 2, , n
则
E(X i ) 0,
D( X i ) 1,
E
(
X
2 i
)
1
E c 2
E
n
X
2 i
n
i1
E
(
X
4 i
)
1
x4e
1. 期望为：E(c2)=n，方差为：D(c2)=2n(n为自
由度)
2. 可加性：若U和V为两个独立的c2分布随机变 量，U~c2(n1)，V~c2(n2),则U+V这一随机变 量服从自由度为n1+n2的c2分布
总体
样本
计算样本统计量 如：样本均值、 比例、方差
几个重要分布 c2-分布(c2-distribution)
1. 由阿贝(Abbe) 于1863年首先给出，后来由海 尔墨特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson) 分 别于1875年和1900年推导出来
定义: 设 X 1 , X 2 , , X n相互独立,都服从正态
个体：随机变量X的值
总体
金融统计学课后答案
金融统计学课后答案统计学概述统计学是一门研究收集、分析、解释和呈现数据的学科。
在金融领域，统计学作为一种重要的分析工具，可帮助金融从业人员进行市场研究、风险评估和投资决策。
以下是金融统计学课后练习的答案。
第一章：数据和概率1.数据可以分为定量数据和定性数据。
定量数据是可以以数量或数字表示的数据，例如收入、股价等。
定性数据是指不能以数字来表示的数据，例如性别、产品类别等。
2.描述性统计学是指对数据进行总结和解释的统计方法，例如均值、中位数和标准差等。
推论统计学是通过对样本数据进行分析来对总体进行推断的统计方法，例如假设检验、置信区间等。
3.概率是一种度量事件发生可能性的方法。
概率可以用来预测事件的发生概率，并用于风险管理和投资决策中。
概率的范围是从0到1，表示事件发生的可能性。
概率为0表示事件不可能发生，概率为1表示事件一定会发生。
4.随机变量是一个具有随机性的变量，可以取不同的值。
离散随机变量只能取有限个或可数个值，连续随机变量可以取无限个值。
例如，抛硬币的结果可以表示为离散随机变量，股票价格可以表示为连续随机变量。
5.概率质量函数（Probability Mass Function, PMF）是离散随机变量的概率分布函数，用于描述每个可能值发生的概率。
概率密度函数（Probability Density Function, PDF）是连续随机变量的概率分布函数，描述了随机变量取某个值的概率密度。
6.期望是随机变量取值的加权平均值，表示了随机变量的平均值。
方差衡量随机变量取值的离散程度，是每个取值与均值之间差的平均值。
标准差是方差的平方根。
7.正态分布是一种常见的连续概率分布，具有钟形曲线形状。
正态分布由两个参数完全描述，即均值和标准差。
正态分布的均值决定了钟形曲线的中心位置，标准差决定了曲线的宽度。
许多自然现象和金融数据都近似于正态分布。
8.离散型随机变量的期望由每个可能值的取值及其对应的概率相乘再求和得到；连续型随机变量的期望由每个取值及其对应的概率密度相乘再积分得到。
(完整)统计学简答题参考答案
统计学简答题参考答案第一章绪论1。
什么是统计学？怎样理解统计学与统计数据的关系？答:统计学是一门收集、整理、显示和分析统计数据的科学。
统计学与统计数据存在密切关系，统计学阐述的统计方法来源于对统计数据的研究，目的也在于对统计数据的研究，离开了统计数据，统计方法以致于统计学就失去了其存在意义。
2．简要说明统计数据的来源。
答:统计数据来源于两个方面：直接的数据：源于直接组织的调查、观察和科学实验,在社会经济管理领域，主要通过统计调查方式来获得,如普查和抽样调查。
间接的数据：从报纸、图书杂志、统计年鉴、网络等渠道获得.3。
简要说明抽样误差和非抽样误差。
答：统计调查误差可分为非抽样误差和抽样误差。
非抽样误差是由于调查过程中各环节工作失误造成的，从理论上看，这类误差是可以避免的.抽样误差是利用样本推断总体时所产生的误差，它是不可避免的，但可以控制的.4。
解释描述统计和推断统计的概念？(P5）答：描述统计是用图形、表格和概括性的数字对数据进行描述的统计方法。
推断统计是根据样本信息对总体进行估计、假设检验、预测或其他推断的统计方法。
第二章统计数据的描述1描述次数分配表的编制过程。
答：分二个步骤:（1）按照统计研究的目的，将数据按分组标志进行分组。
按品质标志进行分组时，可将其每个具体的表现作为一个组，或者几个表现合并成一个组，这取决于分组的粗细。
按数量标志进行分组，可分为单项式分组与组距式分组单项式分组将每个变量值作为一个组；组距式分组将变量的取值范围(区间）作为一个组.统计分组应遵循“不重不漏”原则（2）将数据分配到各个组，统计各组的次数，编制次数分配表.2. 一组数据的分布特征可以从哪几个方面进行测度？答：数据分布特征一般可从集中趋势、离散程度、偏态和峰度几方面来测度。
常用的指标有均值、中位数、众数、极差、方差、标准差、离散系数、偏态系数和峰度系数。
3。
怎样理解均值在统计中的地位？答：均值是对所有数据平均后计算的一般水平的代表值，数据信息提取得最充分，具有良好的数学性质，是数据误差相互抵消后的客观事物必然性数量特征的一种反映，在统计推断中显示出优良特性，由此均值在统计中起到非常重要的基础地位.受极端数值的影响是其使用时存在的问题。
生物统计学课件-3正态分布和抽样分布
的信息。
生物量分布
生物量在不同生物个体 之间存在差异，其生物 量通常服从正态分布。 通过对生物量分布进行 分析，可以了解生物群 落的结构和生态特征。
02
抽样分布
抽样分布的定义
抽样分布
抽样分布的特性
感谢您的观看
THANKS
实例一：人类身高数据的正态分布分析
总结词
人类身高数据呈现正态分布，即大多数人的身高集中 在平均值附近，少数人偏离平均值。
详细描述
通过对大量人群的身高数据进行统计分析，可以发现 这些数据呈现正态分布的特点。正态分布是一种常见 的概率分布，其特点是数据点呈现钟形曲线，平均值 处达到峰值，两侧逐渐降低。在人类身高数据中，平 均身高即为正态分布的均值，大多数人的身高都接近 这个平均值，只有少数人身高过高或过低。这种分布 反映了人类身高的自然变异和遗传因素。
描述样本统计量（如样本均值、样本 比例等）如何围绕总体参数（如总体 均值、总体比例等）分布的统计规律。
与总体参数密切相关，样本量越大， 抽样分布越接近总体参数。
抽样分布的形成
通过多次从总体中随机抽取样本，并 观察样本统计量的变化，可以形成抽 样分布。
抽样分布的性质
中心极限定理
无论总体分布是什么形状，当 样本量足够大时，样本统计量
实例二：人类基因频率的抽样分布分析
总结词
人类基因频率在不同人群中存在差异，通过抽样分布 分析可以了解基因频率的分布情况。
详细描述
基因频率是指某种特定基因在群体中的出现频率。由于 不同人群的遗传背景和进化历程不同，基因频率也会有 所差异。为了了解基因频率在不同人群中的分布情况， 可以采用抽样分布的方法进行分析。通过对不同人群进 行随机抽样，检测特定基因的存在与否，并计算基因频 率。通过比较不同人群的基因频率数据，可以了解基因 频率的分布特征和变异情况。
统计学之抽样与抽样分布
正确答案: d. n/N > 0.05
8. 从一个均匀分布的总体中抽取一个样本容量为45的样本， 从什么分布？
a. 指数分布 b. 正态分布 c. 均匀分布 d. 无法判断
正确答案: b. 正态分布
考察所有900个申请者
• 考试成绩
• 总体平均成绩
xi 990
900
• 总体标准差
(xi )2 80 900
考察所有900个申请者
• 无相同工作经验的申请者比例
• 总体比例
p 648 .72 900
使用随机数表随机选择30个申请者作为样本进行研 究,从书上随机数表第三列开始
统计学之抽样与抽样分 布
2021年7月19日星期一
Chapter 7
抽样和抽样分布
本章主要内容
简单随机抽样 点估计 抽样分布
样本平均值x 的抽样分布 样本比例 p 的抽样分布
抽样方法
n = 100
n = 30
统计推断
统计推断的目的是利用样本的信息推断总体的信息 总体是指感兴趣的所有元素的集合 样本是总体的一个子集 通过样本统计量对总体参数进行估计 只要抽样方法恰当，通过样本统计量可以对总体参 数进行很好的估计
点估计
• x 作为 的点估计值 x xi 29,910 997
30 30
• s 作为 的点估计值
s
(xi x )2 163,996 75.2
29
29
• p 作为p 的点估计值
p 20 30 .68
值得注意的是，不同的随机数会导致不同的抽样，也就会 数的不同的点估计值
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可能的取值 X0 0 X 100 X0
5
统计学
STATISTICS
分布函数的定义
定义 设X是一随机变量，X是任意实数，则实值函数 F(x)＝P {Xx}， x∈(-∞，+∞)
称为随机变量X的分布函数。 有了分布函数定义，任意x1，x2∈R， x1＜x2，随机
变量X落在(x1,x2]里的概率可用分布函数来计算： P {x1<X x2}＝P{X x2}－P{Xx1}＝ F(x2)－F(x1).
简单随机抽样
(simple random sampling)
1. 从总体N个也单称位纯中随随机机抽地样抽，取是n应个用单最位多作、为样本，使 得每一个总最体基单本位的都抽有样相方同法的之机一会(概率)被抽中
2. 抽取元素的具体方法有重复抽样和不重复抽样 3. 特点
➢ 简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本 ➢ 用样本统计量对目标量进行估计比较方便 ➢ 但是当N很大时，不易构造抽样框 ➢ 抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难 ➢ 没有利用其他辅助信息以提高估计的效率
23
统计学
STATISTICS
正态分布的转换
1. 任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性 变换转化为标准正态分布
Z X ~ N (0,1)
X-μ表示将一般正态分布的曲线平衡到标准正态分布的位置
除以σ表示将一般正态分布的曲线形状转换为标准正态分布
P
(a
x
b
)
(
b
)
(
a
)
P(
X
b)
(b
)
24
b
3. P{a X b} a f (x)dx,
则称X是连续型随机变量，f(X)称为X的概率密度函
数,简称概率密度。
注意f(x)不是概
率
9
统计学
STAT概IST率ICS密度函数的性质
1) f ( x) 0
2) f ( x)dx 1
这两条性质是判定一 个函数 f(x)是否为某 个随机变量X的概率 密度函数的充要条件
17
统计学
STATISTICS
N (1,0.82 )
0.6
f (X )
0.5
0.4 N (0,12 )
0.3
N (1,1.22 )
μ决定曲线的位置，σ0.决2 定曲线的“胖瘦”
0.1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
X
统计学
STATIS正TIC态S 分布下的概率计算
P{X x} F ( x) 1
➢ 组织实施调查更方便
➢ 既可以对总体参数进行估计，也可以对各层 的目标量进行估计
30
统计学
系统抽样
STATISTICS
(systematic sampling)
也称等距抽样或机械抽样
1. 将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺 序排列，在规定的范围内随机地抽取一个 单位作为初始单位，然后按事先规定好的 规则确定其他样本单位
两个尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交
5. 正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下 的面积给出，而且其曲线下的总面积等于1
14
统计学
STATIS正TIC态S 概率密度函数的几何特征
(1)曲线关于 x μ 对称; (2) 当x μ时, f ( x)取得最大值 1 ;
2 πσ (3) 当 x 时, f ( x) 0; (4)曲线在 x μ σ 处有拐点;
2. 以确定的概率取这些不同的值
3. 离散型随机变量的一些例子
试验
随机变量
可能的取值
抽查100个产品 一家餐馆营业一天 电脑公司一个月的销售 销售一辆汽车
取到次品的个数 顾客数 销售量 顾客性别
0,1,2, …,100 0,1,2, … 0,1, 2,… 男性为0,女性为1
4
统计学
STATISTICS
28
统计学
STATISTICS
简单随机抽样的优缺点
▪ 优点：简单随机抽样是最符合随机原则的 抽样方法，能保证总体的每个成员具有已 知的且同等的被选为样本单位的机会，因 此，产生的样本，不论其多大都是总体的 一个有效代表。
▪ 缺点：不论使用哪种抽样方法，都需要预 先设定每个总体成员，要为每个总体成员 提供一个标志值，而且要有一个完整的总 体情况表，这往往是难以获得的。
2. 描述连如续t分型布随、机F变分量布的、最χ2分重布要都的是分在布正态分 3. 许多现布象的都基可础以上由推正导态出分来布的，来此描外述，t分布、 4. 可用于二分近项布似分，离布在散、 一型定Po随条is机件so变下n分量，布可的的以分极按布限正为态正分态布
➢ 例布如原：理来二项处分理布。当n越来越大，越近似服从正态分
P
X
500 60
Hale Waihona Puke 560 500 60 1
560 500 60
1 (1)
1 0.8413 0.1587
26
统计学
STATISTICS
3.3 常用的抽样方法
▪ 3.3.1 简单随机抽样 ▪ 3.3.2 分层抽样 ▪ 3.3.3 系统抽样 ▪ 3.3.4 整群抽样
27
统计学
STATISTICS
29
统计学
STATISTICS
分层抽样
(stratified sampling)
1. 将总体单位按某种特征或某种规则划分为
不同的层，然分层后或从分不类同时，的应层使中层独内各立、随机
地抽取样本 单位的差异尽可能小，而使
2. 优点
各层之间的差异尽可能大。
➢ 保证样本的结构与总体的结构比较相近，从 而提高估计的精度
1 0.97725 0.02275
P(40 X 60) Φ(60 50) Φ(40 50) Φ(1) Φ(1) 2Φ(1) 1
10
10
2 0.8413 1 0.6826
25
统计学
STATIS练TIC习S 设X ~ N (500 ,60 2 ), 求
() P{ X }
解 (1) P{ X } P{ X }
解 P{1.25 X 2}
(2) (1.25)
查表标准正态分布函数表
0.9772 0.8944
0.0828.
22
统练习计学设X ~ N(0,1)求 (1) P(0.2 X 0.5), (2) P( X 1.2),
STATISTICS
() P(| X | 0.34)
解 查标准正态分布表
15
统计学
STATISTICS
(5) 曲线以 x 轴为渐近线; (6) 当固定 σ, 改变 μ 的大小时, f ( x) 图形的形状不变,只是沿 着 x 轴作平移变换;
16
统计(7学) 当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x) 图形的对称轴
STATIS不TIC变S,而形状在改变, σ 越小,图形越高越瘦,σ越大, 图形越矮越胖.
连续型随机变量
1. 连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴 上的任意一个值
2. 它取任何一个特定的值的概率都等于0 3. 不能列出每一个值及其相应的概率 4. 通常研究它取某一区间值的概率 5. 用概率密度函数和分布函数的形式来描述
试验 抽查一批电子元件 新建一座住宅楼 测量一个产品的长度
随机变量 使用寿命(小时) 半年后工程完成的百分比 测量误差(cm)
0, x 1,
＝00..71,,
0 x 1, 1 x 2,
F(x)
1, x 2.
1
0
1
2
x 8
统计学
STATISTICS
连续型随机变量与概率密度
设X是随机变量，如果存在定义在整个实数轴上的函 数f(x)，满足条件
1. f (x) 0,
2. f (x)dx 1,
对于任意的 a,b(a b), a也可为 , b也可为,有
f (x) 1
S
o
••
ab
x
b
3) X落入区间［a,b］内的概率＝ f ( x)dx a
10
统计学
STATISTICS
连续型随机变量的期望和方差
1. 连续型随机变量的数学期望
E(X ) xf (x)dx
2. 方差
D( X
)
[
x
E
(
X
)]2
f
( x)dx
2
11
统计学
STATISTICS
在这个意义上可以说，分布函数完整地描述了随机 变量的统计规律性，或者说，分布函数完整地表示了 随机变量的概率分布情况。
6
统计学
STATISTICS
分布函数的性质
1、单调不减性：若x1<x2, 则F(x1)F(x2)；
2、归一 性：对任意实数x，0F(x)1，且
F() lim F(x) 0, F() lim F(x) 1;
13
统计学
STATISTICS
正态分布函数的性质
1. 图形是关于x=对称钟形曲线，且峰值在x= 处 2. 均值和标准差一旦确定，分布的具体形式也惟一确
定，不同参数正态分布构成一个完整的“正态分布族”
3. 均值可取实数轴上的任意数值，决定正态曲线的具
体位置；标准差决定曲线的“陡峭”或“扁平”程度。
越大，正态曲线扁平；越小，正态曲线越高陡峭 4. 当X的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的
() P(0.2 X 0.5) (0.5) (0.2) 0.6915 0.5793 0.1122
() P( X 1.2) (1.2) 1 (1.2)