同步练习：2.3反证法与放缩法
人教A版选修4-5 第2讲 3 反证法与放缩法 作业
第二讲 三 第8课时 反证法与放缩法提能达标过关一、选择题1．已知f (x )在R 上为增函数，且f (x 0)＝f (1)，则( ) A ．x 0>1 B ．x 0＝1 C ．x 0<1D ．x 0≠1解析：①若x 0>1，∵f (x )是增函数， ∴f (x 0)>f (1)，这与已知f (x 0)＝f (1)矛盾．②若x 0<1，∵f (x )是增函数，∴f (x 0)<f (1)，这与已知f (x 0)＝f (1)矛盾． 综合①②知，x 0＝1. 答案：B2．设a ，b 是不相等的实数，且a ＋b ＝2，则下列不等式成立的是( ) A ．ab ≤1≤a 2＋b 22 B ．ab ≤a 2＋b 22≤1 C ．1<ab <a 2＋b 22D ．ab <1<a 2＋b 22解析：由不等式 a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ，得a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab .又∵a ＋b ＝2，且a ≠b .∴ab <1<a 2＋b 22.答案：D3．(2019·福清东张中学期中)设a ，b ，c 大于0，a ＋b ＋c ＝3，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的值( )A ．都大于2B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于2 解析：假设3个数：a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a <2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a <6， ∵a ，b ，c 大于0，利用基本不等式⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥2＋2＋2＝6，这与假设所得结论相矛盾，故假设不成立，所以3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a中至少有一个不小于2，故选D. 答案：D4．(2019·辽宁德才期中)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数解析：因为结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”，可得题设为a ，b ，c 中恰有一个偶数，所以反设的内容是假设a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数，故选B.答案：B5．设a ，b ∈R ，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出“a ，b 中至少有一个实数大于1”的条件有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：对于①，a ，b 均可以小于1；对于②，a ，b 均可以等于1；对于③，若a ，b 都不大于1，则a ＋b ≤2，这与③矛盾，则a ，b 中至少有一个实数大于1，对于④⑤，a ，b 可以是负数．答案：A 二、填空题6．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，则∠A ＝∠B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A ，∠B ，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°.正确顺序的序号排列为________．解析：由反证法证明的步骤，先假设，即③，再推出矛盾，即①，最后作出判断，肯定结论，即②，顺序应为③①②.答案：③①② 7．已知M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则M 与1的大小关系是________．解析：M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋1210＋…＋1210＝210210＝1，即M <1.答案：M <18．若a >0，则a ＋1a＋a 2＋1a 2的最小值为________．解析：∵a >0，∴a ＋1a＋a 2＋1a2≥2a ·1a＋2a ·1a＝2＋2，当且仅当a ＝1时取等号．答案：2＋ 2 三、解答题9．(2019·山东聊城期中)若x ，y 都是正实数，且x ＋y >43.求证：2＋xy <4与2＋yx<4中至少有一个成立．证明：假设2＋xy <4和2＋yx<4都不成立，即2＋xy≥4和2＋yx≥4同时成立．因为x >0且y >0，所以2＋x ≥4y ，且2＋y ≥4x ， 两式相加，得4＋x ＋y ≥4x ＋4y ，所以x ＋y ≤43，这与已知条件x ＋y >43相矛盾，所以2＋xy<4与2＋yx＜4中至少有一个成立．10．(2019·河北沧州七校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，解得d ＝2，∴a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明：由(1)知b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列， 则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0. ∵p ，q ，r ∈N *， ∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，即(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾， ∴假设错误，故数列{b n }中任意不同的三项不可能成等比数列．。
精品-新人教版高中数学第二讲讲明不等式的基本方法三反证法与放缩法优化练习新人教A版选修4_5
三 反证法与放缩法[课时作业] [A 组 基础巩固]1．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数( )A ．两个都是偶数B ．一个是奇数，一个是偶数C ．至少一个是偶数D ．恰有一个是偶数解析：假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少一个为偶数．答案：C2．设x >0，y >0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y1＋y，则A 与B 的大小关系为( )A ．A ≥BB ．A ≤BC ．A >BD ．A <B解析：A ＝x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y <x 1＋x ＋y1＋y＝B .答案：D3．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y，b ＝y ＋1z，c ＝z ＋1x，则a 、b 、c 三个数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2解析：假设a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c <6，这与a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x≥6矛盾．故选C.答案：C4．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则( )A ．M ＝1B ．M <1C ．M >1D ．M 与1大小关系不定解析：M 是210项求和，M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋1210＋…＋1210＝1，故选B.答案：B5．若f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ，b 都为正数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，G ＝f (ab)， H ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则( ) A ．A ≤G ≤H B ．A ≤H ≤G C ．G ≤H ≤AD ．H ≤G ≤A解析：∵a ，b 为正数，∴a ＋b 2≥ab ＝ab ab≥ab a ＋b 2＝2aba ＋b ，又∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为单调减函数，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，∴A ≤G ≤H .答案：A6．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|<12.那么它的假设应该是________．答案：|f (x 1)－f (x 2)|≥127．已知|a |≠|b |，m ＝|a|－|b||a －b|，n ＝|a|＋|b||a ＋b|，则m ，n 之间的大小关系是________．解析：m ＝|a|－|b||a －b|≤|a|－|b||a|－|b|＝1，n ＝|a|＋|b||a ＋b|≥|a|＋|b||a|＋|b|＝1.答案：m ≤n8．设a >0，b >0，M ＝a ＋b a ＋b ＋2，N ＝a a ＋2＋bb ＋2，则M 与N 的大小关系是________．解析：∵a >0，b >0，∴N ＝a a ＋2＋b b ＋2>a a ＋b ＋2＋b a ＋b ＋2＝a ＋ba ＋b ＋2＝M .∴M <N .答案：M <N9．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数．由a ＋b ＝c ＋d ＝1知：a ，b ，c ，d ∈[0,1]．从而ac ≤ac ≤a ＋c 2，bd ≤bd ≤b ＋d2.∴ac ＋bd ≤a ＋c ＋b ＋d2＝1.即ac ＋bd ≤1.与已知ac ＋bd >1矛盾，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．10．求证：1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n<3(n ∈N ＋)．证明：由11×2×3×…×k <11×2×2×…×2＝12k －1(k 是大于2的自然数)，得1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n <1＋1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝1＋1－12n 1－12＝3－12n －1<3.∴原不等式成立．[B 组 能力提升]1．已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝2n ＋3x2n ＋1(n ＝1,2，…)．试证：数列{x n }或者对任意正整数n 都满足x n <x n ＋1，或者对任意的正整数n 都满足x n >x n ＋1.当此题用反证法否定结论时，应为( )A ．对任意的正整数n ，有x n ＝x n ＋1B ．存在正整数n ，使x n ＝x n ＋1C ．存在正整数n ，使x n ≥x n －1且x n ≥x n ＋1D ．存在正整数n ，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥0解析：“x n <x n ＋1或x n >x n ＋1”的对立面是“x n ＝x n ＋1”，“任意一个”的反面是“存在某一个”． 答案：B2．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，54π，M ＝|sin α|，N ＝|cos α|，P ＝12|sin α＋cos α|，Q ＝12sin 2α，则它们之间的大小关系为( )A ．M >N >P >QB ．M >P >N >QC ．M >P >Q >ND ．N >P >Q >M解析：∵α∈(π，54π)，∴0>sin α>cos α.∴|sin α|<|cos α|，∴P ＝12|sin α＋cos α|＝12(|sin α|＋|cos α|)>12(|sin α|＋|sin α|)＝|sin α|＝M .P ＝12|sin α|＋|cos α|<12(|cos α|＋|cos α|)＝|cos α|＝N .∴N >P >M .对于Q ＝12sin 2α＝ sin αcos α<|sin α|＋|cos α|2＝P .而Q ＝sin αcos α> sin2α＝|sin α|＝M .∴N >P >Q >M .答案：D3．用反证法证明“已知平面上有n (n ≥3)个点，其中任意两点的距离最大为d ，距离为d 的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n 条”时，假设的内容为________．解析：对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n ＋1条”．答案：直径的数目至少为n ＋1条4．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少有一个值c ，使f (c )>0, 则实数p 的取值范围是________．解析：假设在 [－1,1]内没有值满足f (c )>0，则⎩⎪⎨⎪⎧－，，所以⎩⎪⎨⎪⎧p≤－12或p≥1，p≤－3或p≥32，所以p ≤－3或p ≥32，取补集为p ∈⎝⎛⎭⎪⎫－3，32.故实数p 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－3，32.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－3，325．已知0<x <2,0<y <2,0<z <2，求证：x (2－y )，y (2－z )，z (2－x )不都大于1.证明：法一：假设x (2－y )>1且y (2－z )>1且z (2－x )>1均成立，则三式相乘有：xyz (2－x )(2－y )(2－z )>1.①由于0<x <2，∴0<x (2－x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1. 同理：0<y (2－y )≤1，且0<z (2－z )≤1， ∴三式相乘得：0<xyz (2－x )(2－y )(2－z )≤1②②与①矛盾，故假设不成立．∴x (2－y )，y (2－z )，z (2－x )不都大于1. 法二：假设x (2－y )>1且y (2－z )>1且z (2－x )>1. ∴－＋－＋－>3.③又－＋－＋－≤x ＋－2＋y ＋－2＋z ＋－2＝3④④与③矛盾，故假设不成立． ∴原题设结论成立．6．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2·a n (n ∈N ＋)，(1)求a 2，a 3并求数列{a n }的通项公式； (2)设c n ＝n an ，求证：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <710.解析：(1)∵a 1＝2，a n ＋1＝2(1＋1n )2·a n (n ∈N ＋)，∴a 2＝2(1＋11)2·a 1＝16，a 3＝2(1＋12)2·a 2＝72.又∵an ＋1＋＝2·ann2，n ∈N ＋， ∴{ann2}为等比数列． ∴an n2＝a112·2n －1＝2n， ∴a n ＝n 2·2n.(2)证明：c n ＝n an ＝1n·2n ，∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝11.2＋12.22＋13.23＋...＋1n.2n <12＋18＋124＋14.(124＋125＋ (12)) ＝23＋14·124[1－12－3]1－12<23＋14·1241－12＝23＋132＝6796＝670960<96×796×10＝710，所以结论成立．。
高中数学第二章证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法试题新人教A版选修4-5(2021年整理)
2018-2019版高中数学第二章证明不等式的基本方法2.3 反证法与放缩法试题新人教A版选修4-5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019版高中数学第二章证明不等式的基本方法2.3 反证法与放缩法试题新人教A版选修4-5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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三反证法与放缩法课后篇巩固探究1.设实数a，b,c满足a+b+c=,则a,b，c中（)A.至多有一个不大于B。
至少有一个不小于C。
至多有两个不小于D.至少有两个不小于解析假设a,b，c都小于，即a〈，b<，c〈，则a+b+c〈,这与a+b+c=矛盾，因此假设错误,即a，b，c中至少有一个不小于。
答案B2.已知三角形的三边长分别为a,b，c，设M=，N=,Q=，则M，N与Q 的大小关系是（)A。
M〈N〈QB.M<Q<NC.Q<N<MD。
N〈Q<M解析由题意知a+b〉c〉0，则.∴+1<+1，即。
∴,故N〈Q。
M-Q==0，∴M>Q，故M>Q>N。
答案D3.导学号26394038设M=+…+，则() A。
M=1B。
M〈1C.M〉1D.M与1大小关系不确定解析分母全换成210,共有210个单项。
答案B4.某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在［0,1］上有意义,且f（0)=f（1)，如果对于不同的x1，x2∈[0,1］,都有｜f(x1)—f（x2)|<｜x1—x2｜,求证|f(x1）—f（x2）｜<。
人教版数学高二A版选修4-5 2.3反证法与放缩法
课后训练1．设|a |＜1，则P ＝|a ＋b |－|a －b |与2的大小关系是( )．A ．P ＞2B ．P ＜2C ．P ＝2D ．不确定2．设x ＞0，y ＞0，1x y A x y ＋＝＋＋，11x y B x y＝＋＋＋，则A 与B 的大小关系为( )． A ．A ≥B B ．A ≤BC ．A ＞BD ．A ＜B3．lg 9lg 11与1的大小关系是________．4．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|＜12.那么它的假设应该是__________．5．设a ，b ，c 均为正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的__________条件．6．1A n＝＋与n ∈N ＋)的大小关系是________． 7．若|a |＜1，|b |＜1，求证：||<11a b ab ＋＋． 8．求证：11111<3112123123n ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＋(n ∈N ＋)．已知()1x f x x ＝＋(x ≠－1)． (1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＞b ＞0，c ＝f (a )＋f (c )＞45.参考答案1. 答案：B解析：P ＝|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )－(b －a )|＝2|a |＜2.2. 答案：D解析：<1111x y x y A B x y x y x y＝＋＋＝＋＋＋＋＋＋. 3. 答案：lg 9lg 11＜1lg9lg11lg99lg100<1222＋＝＝，∴lg 9lg 11＜1．4.答案：假设|f(x1)－f(x2)|≥125.答案：充要解析：必要性是显然成立的；当PQR＞0时，若P，Q，R不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P＞0，Q＜0，R＜0，则Q＋R＝2c＜0，这与c＞0矛盾，即充分性也成立．6.答案：A≥解析：An＋nn n n n≥共＋＋＋＝项.7.证明：假设||11a bab≥＋＋，则|a＋b|≥|1＋ab|，∴a2＋b2＋2ab≥1＋2ab＋a2b2，∴a2＋b2－a2b2－1≥0，∴a2－1－b2(a2－1)≥0，∴(a2－1)(1－b2)≥0，∴221010ab⎧≥⎨≥⎩－，－，或221010ab⎧≤⎨≤⎩，－－，∴2211ab⎧≥⎨≤⎩，，或2211ab⎧≤⎨≥⎩，与已知矛盾．∴||<11a bab＋＋．8.证明：由1111<12312222kk⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯－＝(k是大于2的自然数)，得11111112123123n⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＋2311111<1112222n－＋＋＋＋＋＋＝＋111123<31212nn－－＝－－.∴原不等式成立．9. (1)解：1()111xf xx x＝＝－＋＋，所以f(x)在区间(－∞，－1)和(－1，＋∞)上分别为增函数．(2)证明：首先证明对于任意的x＞y＞0，有f(x＋y)＜f(x)＋f(y)．f(x)＋f(y)＝11x yx y＋＋＋>11xy xy x y xy x y xy x y xy x y ＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋ ＝f (xy ＋x ＋y )．而xy ＋x ＋y ＞x ＋y ， 由(1)，知f (xy ＋x ＋y )＞f (x ＋y )， 所以f (x )＋f (y )＞f (x ＋y )．因为c ≥＝4>0a＝＝，所以44a c a a ≥≥＋＋， 当且仅当a ＝2时，等号成立． 所以f (a )＋f (c )＞f (a ＋c )≥f (4)＝44415＝＋， 即f (a )＋f (c )＞45.。
《金学案》高中数学选修45(人教A)：2.3 同步辅导与检测课件
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(1)设 a、b 为不相等的两正数，且 a3－b3＝a2－b2， 求证：1＜a＋b＜43.
2n－1 2n＋1
＜ 13×53×…×22nn＋－11＝
2n1＋1＝
令 f(x)＝x－ 2sin x，x∈0，π4
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1－xn 1＋xn
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◆数学•选＜修4-513•×(配53×人…教×A22版nn＋－)◆11＝
2n1＋1＝
令 f(x)＝x－ 2sin x，x∈0，π4
∴A＋B≥92， ∴A≥32，即b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥32.
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已知曲线Cn：x2－2nx＋y2＝0(n＝ 1,2，…)．从点P(－1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn＞0)的切线 ln，切点为Pn(xn，yn)．
(1)求数列{xn}与{yn}的通项公式；11－ ＋xxnn＜ 2sinxynn. (2)证明：x1·x3·x5……x2n－1＜
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◆数学•选修4-5•(配人教A版)◆ 解析：(1)xy＝2－k2nnxx＋＋1y2＝0 ⇒(1＋k2n)x2＋(2k2n－2n)x＋k2n＝0 Δ＝0⇒(2k2n－2n)2－4(1＋k2n)k2n＝0， kn＝ 2nn＋1(舍负)
xn＝ 1＋k2kn2n＝n＋n 1，
放缩法与反证法 (上课用)
分析： 要证的结论与条件之间的联系不明显，直接 由条件推出结论的线索不够清晰．于是可以考虑用反 证法．假设a，b，c不全是正数，这个时候要逐个讨
• 证不明妨：先假设设a a,b0,c不全是正数，论 （ 我即a任 们，其意 只b改 要，中变 讨c不论a至，是其b正少中，数一c有的的个位情数一置形（不．例个会但如改要不a）变注是，命意其题到正它的条两条件数个件的数）特。，点
• ������(������＋������)＞n，
• (2)将分子或分母放大(或缩小)，
•
如:������(������＋������ ������)
＜
������ ������������
＜
������(������－������ ������)；
• (3)真分数的性质:“若0＜a＜b，m＞0，
• 解：
• ∵0 ≤ |a＋b|≤|a|＋|b|，
•
∴1＋|������|＋������＋������|������|
＝1
−
1＋|���1���＋������|≤1-1＋|������1|＋|������|
＝
|������|＋|������| |������|＋|������|＋1
• ＝1＋|���|������|���＋| |������| ＋ 1＋|���|������|���|＋|������|≤1＋|������||������| ＋ 1＋|������||������|.
• 利用反证法证明不等式的步骤：
• 第一步:分清欲证不等式所涉及的条件和结论； • 第二步:假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； • 第三步:从条件和假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果； • 第四步:由矛盾结果判断做出的假设不正确，于是原命题的结论成立.
高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 三 反证法与放缩法习题 新人教A版选修4-5
3．实数 a，b，c 满足 a＋2b＋c≥2，则( ) A．a，b，c 都是正数 B．a，b，c 都大于 1 C．a，b，c 都小于 2 D．a，b，c 中至少有一个不小于12 解析：选 D.假设 a，b，c 均小于12，则 a＋2b＋c<12＋1＋12，与 已知矛盾，所以假设不成立，故 a，b，c 中至少有一个不小于 1 2.
2．已知 a，b，c 是互不相等的非零实数．若用反证法证明三 个方程 ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0 至 少有一个方程有两个相异实根，应假设成( ) A．三个方程都没有两个相异实根 B．一个方程没有两个相异实根 C．至多两个方程没有两个相异实根 D．三个方程不都没有两个相异实根 解析：选 A.命题“三个方程 ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0， cx2＋2ax＋b＝0 至少有一个方程有两个相异实根”的否定为 “三个方程都没有两个相异实根”，故选 A.
＝2
5cos θcos
π4－sin θsin
π4＝2
5cosθ＋π4.
因为 cosθ＋π4∈[－1，1]， 所以 a－b∈[－2 5，2 5]．
2．A＝1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1与 n
n (n∈N ＋ ) 的 大 小 关 系 是
________．
解析：A＝1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1 n
≥
＝n n
＝ n. 答案：A≥ n
3．已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与 x 轴有两个不 同的交点，若 f(c)＝0，且当 0<x<c 时，f(x)>0. (1)证明：1a是函数 f(x)的一个零点； (2)试用反证法证明：1a>c. 证明：(1)因为 f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点， 所以 f(x)＝0 有两个不等实根，不妨设为 x1，x2， 因为 f(c)＝0，所以 x1＝c 是 f(x)＝0 的一个根． 又 x1x2＝ac，所以 x2＝1a1a≠c. 故 x2＝1a是 f(x)＝0 的一个根，即1a是函数 f(x)的一个零点．
反证法与缩放法
3.例3. 已知a, b, d∈R+，求证 a b c d 1 2 abd bca cd b d a c 分析： 若把中间代数式通分相加，则运算非常复杂， 难度太大。 分析此式的形式特点，可以通过适当放缩， 使不等式简化，从而得证。
缩小法 a b c d abd bca cd b d ac
尊者终于忍不住了,站了起来,朝犁空沉喝道："君主,还没有旨意下来吗?如果现在还不出战の话,俺们将会成为人类の罪人！" "俺们已经是罪人了！" 一名褐发尊者接过话来沉沉一叹,眸子内尽是黯然之色,闭着眼睛,仰着头叹道："星辰海十万八千岛,这次能逃出去多少人?不少尊者级别の 岛主,被白重炙击杀了,没有尊者开路,他们能逃の掉吗?" 褐发尊者の话,让众人脸上の愤怒之色更浓了几分,更多の人站了起来,目光灼灼の盯着犁空. 恶魔降临之前,这些尊者和数百亿星辰军,全部驻扎在九大卫岛.恶魔大规模の降临之时,这些尊者立刻请求出战,镇压恶魔. 结果,却接到了 犁空の传讯,九大卫岛所有人撤入至尊岛.这个命令很莫名其妙,但是犁空说这是星辰君主の意思.所有尊者便不再质疑了,带着卫岛上の练家子和星辰军,全部进入了至尊岛. 结果！ 进来之后,至尊岛の护罩再次开启了,他们想出都出不去了.星辰君主也没有命令传下来,数十位尊者和数百亿 星辰军,全部都蜗居在至尊岛上,眼睁睁望着无数の恶魔在星辰海上肆虐,眼睁睁の望着星辰海の天空越来越昏暗. 今日终于全部尊者忍不住了,联袂来了家主府,要问犁空给个说法.那知道,众人说了一大通,犁空却坐在哪里,一动不动,似乎睡着了一样. "大人,俺提议,大家一起去求见君主,当 面请示君主の意思！" "对,如果现在还不出战の话,以后俺们还有什么脸面在神界混?" "如果任凭恶魔不断降临,到时候整个
高中数学 2.3反证法和放缩法练习 新人教A版选修45
2．3 反证法与放缩法1．了解用反证法证明不等式．2．了解用放缩法证明不等式．3．提高综合应用知识解决问题的能力．1．反证法．(1)先________________，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)________的结论，以说明________不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．答案：假设要证的命题不成立矛盾假设(2)利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步，分清欲证不等式所涉及的条件和结论．第二步，做出与所证不等式________的假定．第三步，从____________出发，应用正确的推理方法，推出________结果．第四步，断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的假定________，于是原证不等式________．答案:相反条件和假定矛盾不正确成立反证法经常用于证明否定性命题(结论中出现“不存在”“不可能”等字眼)、唯一性命题、结论中出现“至多”“至少”的命题、结论中出现“都是”“都不是”的命题、证明方法上直接证明较困难或在证明方向上从结论的反面着手较容易的命题．(3)用反证法证明不等式必须把握以下几点：①必须否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能的情况，反证法都是不完整的；②反证法必须从否定的结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理论证．否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知的事实相违背等．推导出的矛盾必须是明显的；④在使用反证法时，“否定结论”在推理论证中往往作为已知使用，可视为已知条件．(4)反证法中的数学语言．反证法适宜证明存在性问题、唯一性问题、带有“至少有一个”“至多有一个”等字样的问题，或者说“正难则反”，直接证明有困难时，常采用反证法，下面我们列举一些常见常见词语至少有一个至多有一个唯一一个不是不可能全都是否定假设一个也没有有两个或两个以上没有或有两个及两个以上是 有或存在 不全 不都是思考1 已知a ＞b ＞0，求证：n a ＞nb (n ∈N 且n ＞1)．用反证法证明此题时第一步是：________．答案：假设n a ≤nb2．放缩法．(1)所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地________(或________)，使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法．答案：放大 缩小(2)放缩法的主要理论依据． ①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)、异分母(分子)的两个分式大小的比较； ④基本不等式与绝对值不等式的基本性质； ⑤三角函数的有界性等． (3)使用放缩法的主要方法．放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往从要证明的结论考虑．常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：舍去或加上一些项：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122； 将分子或分母放大(或缩小)：1k2＜1k （k －1），1k 2＞1k （k ＋1），1k ＜2k ＋k －1，1k＞2k ＋k ＋1( k ∈R，k ＞1)等．(4)对不等式而言，放缩的本质是“不等式的加强”，常见的放缩有下面四种类型：①直接放缩； ②裂项放缩；③利用数列或函数的单调性放缩； ④利用基本不等式放缩．思考2 对于任何实数x ，求证：x 2－x ＋1≥34.证明： 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以x 2－x ＋1≥34.一层练习1．用反证法证明“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个偶数”时，下列假设中正确的是( )A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数答案：B2．在求证“数列2，3，5不可能为等比数列”时最好采用( )A．分析法 B．综合法C．反证法 D．直接法答案：C3．设M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则( )A．M＝1 B．M<1C．M>1 D．M与1大小关系不定答案：B4．A＝1＋12＋13＋…＋1n与n(n∈N*)的大小关系为________．解析：n∈N*，当n＝1时，A＝n＝1；当n>1时，A＝1＋12＋13＋…＋1n>1＋12＋1＋13＋2＋…＋1n＋n－1＝1＋(2－1)＋(3－2)＋…＋(n－n－1)＝n.综上可知，A≥n.答案：A≥n二层练习5．(2014.山东高考理科·T4)用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2＋ax ＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根．B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根．C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根．解析：本题考查了反证法，从问题的反面出发进行假设．一元二次方程根的个数为0，1，2.因此至少有一个实根包含1根或两根，它的反面为0根．选A.答案：A6．设a ，b ，c ∈R ＋，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 答案：D7．A ＝1＋122＋132＋…＋1n2与2的大小关系是________．解析：A ＝1＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1（n －1）n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n <2. 答案：A ＜28．已知x ，y >0，且x ＋y >2.证明：1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2.证明：(反证法)设1＋x y ≥2，1＋y x≥2，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥2y ， ①1＋y ≥2x . ② 由①②式可得2＋x ＋y ≥2(x ＋y )， 即x ＋y ≤2与题设矛盾． ∴1＋x y ，1＋yx中至少有一个小于2.9．若数列{x n }的通项公式为x n ＝nn ＋1，求证：x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1<1－x n1＋x n. 证明：∵1－x n1＋x n＝1－nn ＋11＋n n ＋1＝12n ＋1， x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1＝12×34×…×2n －12n<13×35×…×2n －12n ＋1＝12n ＋1. ∴x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1<1－x n1＋x n.10．(2014·佛山一模·节选)数列{a n }的通项公式a n ＝4n (n ＋1)． (1)记1c n ＝1a n ＋1a n ＋1，求证：对一切正整数n ，有1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n <38；(2)求证：对一切正整数n ，有1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27. (1)证明：证法一1a n ＝14n 2＋4n ＝14(1n －1n ＋1)， 所以1c n ＝1a n ＋1a n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.于是1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n ＝14[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋(12－14)＋…＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2]＝14(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)<38. 证法二1c n ＝1a n ＋1a n ＋1＝14n （n ＋1）＋14（n ＋1）（n ＋2）＝12n （n ＋2）＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.于是1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n＝14[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋(12－14)＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋(1n －1n ＋2)] ＝14(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)<38. (2)证明：所证明的不等式为 17＋123＋147＋…＋14n 2＋4n －1<27. 证法一 首先证明14n 2＋4n －1<27(1n －1n ＋1)(n ≥2)．∵14n 2＋4n －1<27⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1⇔14n 2＋4n －1<27n 2＋7n⇔7n 2＋7n <8n 2＋8n －2⇔n 2＋n －2>0⇔(n －1)·(n ＋2)>0.∴当n ≥2时，17＋123＋…＋14n 2＋4n －1<17＋27[⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1]<17＋27×12＝27. 当n ＝1时，17<27.综上所述，对一切正整数n ，有 1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27. 方法二14n 2＋4n －1<14n 2＋4n －3＝1（2n －1）（2n ＋3）＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3.当n ≥3时，17＋123＋…＋14n 2＋4n －1<17＋123＋14·[⎝ ⎛⎭⎪⎫15－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－111＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3]<17＋123＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17<17＋114＋114＝27.当n ＝1时，17<27； 当n ＝2时，17＋123<17＋17＝27.综上所述，对一切正整数n ，有 1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27.三层练习11．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *，求证：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<74. 证明：①当n ＝1时，1a 1＝1<74，∴原不等式成立．②当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14<74，∴原不等式成立． ③当n ≥3时，∵n 2>(n －1)·(n ＋1)，∴1n 2<1（n －1）·（n ＋1）.1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝112＋122＋…＋1n 2<1＋11×3＋12×4＋…＋1（n －2）n＋1（n －1）·（n ＋1）＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＝1＋12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －2－1n ＋1n －1－1n ＋1)＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n －1n ＋1＝74＋12(－1n －1n ＋1)<74.∴当n ≥3时，∴原不等式成立．综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.12．已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项a n ＋1，a n ＋2…的最小值记为B n ，d n ＝A n －B n证明：若a 1＝2，d n ＝1(n ＝1，2，3…)，则{a n }的项只能是1或2，且有无穷多项为1 解析：①首先{a n }中的项不能是0，否则 d 1＝a 1－0＝2，与已知矛盾．②{a n }中的项不能超过2，用反证法证明如下：若{a n }中有超过2的项，设a k 是第一个大于2的项， {a n }中一定存在项为1，否则与d n ＝1矛盾．当n ≥k 时，a n ≥2，否则与d k ＝1矛盾．因此存在最大的i 在2到k －1之间，使得a 1＝1， 此时d i ＝A i －B i ＝2－B i ≤2－2＝0，矛盾． 综上{a n }中没有超过2的项．综合①②，{a n }中的项只能是1或2.下面证明1有无数个，用反证法证明如下：若a k 为最后一个1，则d k ＝A k －B k ＝2－2＝0，矛盾． 因此1有无数个．13．(2014·广东高考文科)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）＜13.解析：(1)令n ＝1，则S 1＝a 1，S 21－(12＋1－3)S 1－3(12＋1)＝0，即a 21＋a 1－6＝0，解得a 1＝2或a 1＝ －3(舍去)．(2)S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0可以整理为(S n ＋3)[S n －(n 2＋n )]＝0， 因为数列{a n }中a n ＞0，所以S n ≠－3，只有S n ＝n 2＋n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ，而a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)．(3)因为1a n （a n ＋1）＝12n （2n ＋1）＝14·1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＜14·1⎝ ⎛⎭⎪⎫n －14⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1－14，1⎝ ⎛⎭⎪⎫n －14⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1－14＝1n －14－1n ＋1－14， 所以1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）＜14⎣⎢⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11－14－12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－14－13－14＋…＋⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －14－1n ＋1－14＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11－14－1n ＋1－14＝13－14n ＋3＜13.故对一切正整数n ，有1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）＜13.14．设a n 是函数f (x )＝x 3＋n 2x －1(n ∈N *)的零点，且0<a n <1，求证：nn ＋1<a 1＋a 2＋…＋a n <32.证明：先证明左边的不等式：因为a 3n ＋n 2a n －1＝0.由0<a n <1，得a 3n <a n ，即1－n 2a n ＝a 3n <a n . 所以a n >1n 2＋1.所以 a 1＋a 2＋…＋a n >112＋1＋122＋1＋…＋1n 2＋1. 以下证明112＋1＋122＋1＋…＋1n 2＋1≥nn ＋1.①因为a n >1n 2＋1≥1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1， 所以a 1＋a 2＋…＋a n >⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 不等式①对应任何n ∈N *都成立．所以a 1＋a 2＋…＋a n >n n ＋1.再证明右边的不等式：当n ＝1时，f (x )＝x 3＋x －1. 由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋12－1＝－38<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＋34－1＝1164>0，所以12<a 1<34.由(1)知0<a n <1，且a 3n ＋n 2a n －1＝0， 所以a n ＝1－a 3n n 2<1n2.因为当n ≥2时，1n 2<1（n －1）n ＝1n －1－1n，所以当n ≥2时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n <34＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋12－1n <32. 所以当n ∈N *时，都有a 1＋a 2＋…＋a n <32.综上所述，nn ＋1<a 1＋a 2＋…＋a n <32.1．用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完整的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证．否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背，等等，推导出的矛盾必须是明显的．2．放缩法的关键在于放大(或缩小)要适度．3．当要证明的不等式中含有分式时，我们把分母放大，则相应的分式的值缩小；反之，如果把分母缩小，则分式的值放大．这是一种常用的放缩方法．4．放缩法放大缩小的限度不是唯一的，如果用某种放大的办法可以得到欲证结论，那么比此放大更“精细”的放大就应该更能得到所需结论．但是一般来讲，这种“风险”和“难度”是成正比的，放得越宽，能否证出命题的“风险”越大，但相对放大的“难度”就越低；反之，放大越精细，则能证出最终结论的可能性越大，但是“难度”也相对增大．这其中的平衡就需要从练习中去把握．。
课时作业2：三 反证法与放缩法
三 反证法与放缩法一．选择题：1．若1<x <10，则下面不等式正确的是（ ）（A ）(lgx )2<lgx 2<lg (lgx ) （B ）lgx 2<(lgx )2<lg (lgx )（C ）(lgx )2<lg (lgx )<lgx 2 （D ）lg (lgx )<(lgx )2<lgx 22．已知a >0，且a ≠1，p =log a (a 3+1), Q =log a (a 2+1), 则P , Q 的大小关系是（ ）（A ）P >Q （B ）P <Q （C ）P =Q （D ）大小不确定3．设x >0, y >0, A =yx y x +++1, B =y y x x +++11，则A , B 的大小关系是（ ） （A ）A =B （B ）A <B （C ）A ≤B （D ）A >B4．已知x , y ∈R ，且x 2－2xy +2y 2=2，则x +y 的取值范围是（ ）（A ）R （B ）(－, ) （C ）[－, ] （D ）[－1, 1]5．设P =, Q =－, R =－，则P , Q , R 的大小顺序是（ ）（A ）P >Q >R （B ）P >R >Q （C ）Q >P >R （D ）Q >R >P6．设a , b , c ∈R +，P =a +b －c , Q =b +c －a , R =c +a －b , 则“PQR >0”是“P , Q , R 同时大于零”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）非充分非必要条件二．填空题：7．已知x , y ∈R +，且x 2+y 2=1，则x +y 的最大值等于 .8．△ABC 为锐角三角形，比较sin A +sin B +sin C 与cos A +cos B +cos C 的大小 .9．比较大小：log 34 log 67.10．某工厂第一年年产量为A ，第二年增长率为a ，第三年增长率为b ，则这两年的平均增长率c 与2b a +的大小关系是 . 11．（1）当n ∈N +时，求证：≤nn n 212111+++++ <1; （2）当n ∈N +时，求证：1+22213121n +++ <2101010102736221。
人教版高中数学选修4-5习题：第二讲2.3反证法与放缩法
第二讲证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法A 级基础稳固一、选择题331．用反证法证明命题“假如a＞ b，那么a＞b”时，假定的内容是()3333A. a＝bB. a＜b33333333C.a＝b，且a＜bD. a ＝ba＜b或333333分析：应假定a≤b，即a＝ba＜ b.或答案： D2．实数a， b， c 不全为0 的等价命题为()A． a， b， c 均不为 0B． a， b， c 中至多有一个为0C． a， b， c 中起码有一个为0D． a， b， c 中起码有一个不为0答案： D3．对“a， b， c 是不全相等的正数”，给出以下判断：①(a－ b)2＋ (b－ c)2＋ (c－ a)2≠ 0；②a＞b 与 a＜ b 及 a≠c 中起码有一个建立；③ a≠c， b≠ c， a≠ b 不可以同时建立．此中判断正确的命题个数是()A． 0B． 1C． 2D． 3分析：关于①，若(a－ b)2＋ (b－c) 2＋ (c－ a)2＝ 0，则 a＝ b＝ c，与已知矛盾，故①对；关于②，当 a＞ b 与 a＜ b 及 a≠c 都不建即刻，有 a＝ b＝ c，不切合题意，故②对；关于③，明显不正确．答案： C1114．设 x， y， z 都是正实数，a＝ x＋y， b＝ y＋z， c＝ z＋x，则 a， b， c 三个数 ()A．起码有一个不大于 2 B．都小于2C．起码有一个不小于 2 D．都大于2分析：因 a＋ b＋ c＝ x＋1＋ y＋1＋ z＋1≥ 2＋ 2＋ 2＝ 6，当且当x＝ y＝ z＝ 1 等号建立，xy z因此 a， b， c 三者中起码有一个不小于 2.答案： C5．若 a， b， c∈ R＋，且 a＋ b＋ c＝ 1， M ＝8， N ＝ (a＋c) ·(a＋ b)， ()27－ 27aA．M≥N B．M≤NC．M＞N D．M＜N分析：依， 1－ a， 1－ b，1－ c 均大于 0，又 a＋b＋ c＝ 1，因此3（ 1－ a）（ 1－ b）（ 1－ c）≤1[(1－ a)＋ (1－ b)＋ (1－ c)]＝2，33因此8 (1－a)(1 － b)(1－ c) ≤，27进而8≥ (1－ b)(1 － c)＝ (a＋ c)( a＋ b)，27－ 27a因此 M ≥N，当且当a＝ b＝ c＝1，等号建立．3答案： A二、填空6．某同学准用反法明以下一个，函数f(x)在 [0， 1]上存心，且f(0)＝ f(1)，1假如于不一样的x1， x2∈ [0， 1]，都有 |f(x1)－ f (x2)|＜|x1－ x2|，求： |f (x1)－ f(x2)|＜2，那么它的假是________．1答案：假 |f(x1)－ f (x2)| ≥27． lg 9· lg 11 与 1 的大小关系是 ________．分析：因lg 9· lg 11＜lg 9＋lg 11＝lg 99＜lg 100＝1，222因此 lg 9· lg 11＜ 1.答案： lg 9· lg 11＜ 111118． M＝210＋210＋ 1＋210＋2＋⋯＋211－1，M与1的大小关系________．分析：因210＋ 1＞ 210， 210＋ 2＞ 210，⋯， 211－ 1＞ 210，因此111111110M ＝210＋210＋1＋210＋2＋⋯＋211－1＜210＋210＋⋯＋210,2个＝1.答案： M ＜1三、解答题1＋ x 1＋ y9．已知 x ， y ＞ 0，且 x ＋ y ＞ 2.求证： y， x 中起码有一个小于 2.证明： (反证法 )设 1＋ x ≥ 2， 1＋ y≥ 2，y x1＋ x ≥2y ， ①则1＋ y ≥2x. ②由①②式可得 2＋ x ＋ y ≥2(x ＋ y)，即 x ＋ y ≤2，与题设矛盾．因此1＋ x，1＋ y中起码有一个小于2.yx10．设 a ＞ 0， b ＞ 0，且 a ＋ b ＝ 1＋ 1.证明：a b (1)a ＋ b ≥2；(2)a 2＋ a ＜ 2 与 b 2＋b ＜ 2 不行能同时建立．11a ＋ b证明：由 a ＋ b ＝ ＋ ＝， a ＞ 0， b ＞ 0，得 ab ＝ 1.(1)由基本不等式及 ab ＝ 1，有 a ＋ b ≥2 ab ＝ 2，即 a ＋ b ≥ 2. (2)假定 a 2＋ a ＜ 2 与 b 2＋ b ＜ 2 同时建立，则由 a 2＋ a ＜ 2 及 a ＞ 0 得 0＜ a ＜1；同理， 0＜ b ＜ 1，进而 ab ＜ 1，这与 ab ＝ 1 矛盾．故 a 2＋ a ＜ 2 与 b 2＋ b ＜ 2 不行能同时建立．B 级能力提高1．若 a ＞ 0， b ＞ 0，知足 ab ≥1＋ a ＋ b ，那么 ()A ． a ＋ b 有最小值 2＋ 2 2B ． a ＋ b 有最大值 ( 2＋ 1) 2C ． ab 有最大值2＋ 1D ． ab 有最小值 2＋ 2 2（ a ＋ b ） 2分析： 1＋ a ＋ b ≤ab ≤，4因此 (a ＋b)2－ 4(a ＋ b)－4≥0，解得 a ＋ b ≤2－2 2或 a ＋ b ≥2＋ 2 2，由于 a ＞ 0， b ＞ 0，因此 a ＋ b ≥2＋ 2 2.答案： A2．设 x ， y ， z ， t 知足 1≤x ≤y ≤z ≤t ≤ 100，则 x ＋ z的最小值为 ________．y t分析：由于xy ≥1y ≥1z ，且 z t ≥ 100z ，因此x＋z≥1＋z≥ 21· z ＝1，y t z 100z 1005当且仅当 x＝ 1，y＝ z＝ 10， t＝ 100时，等号建立．答案：153．已知函数 f(x)＝ |x|＋ |x－ 1|.(1)若 f( x) ≥|m－ 1|恒建立，务实数m 的最大值 M ；(2)在 (1)建立的条件下，正实数a， b 知足 a2＋ b2＝ M ，证明： a＋ b≥2ab.解： (1) 由于 f(x)＝ |x|＋ |x－ 1| ≥|x－ (x－ 1)|＝ 1，当且仅当0≤x≤1时取等号，因此 f(x)＝ |x|＋|x－ 1|的最小值为 1.要使 f(x) ≥|m－ 1|恒建立，只要 |m－ 1| ≤1，因此 0≤m≤2，则 m 的最大值M ＝ 2.(2)证明：由 (1)知， a2＋ b2＝ 2，由 a2＋ b2≥ 2ab，知 ab≤1①.又 a＋b≥2ab，则 (a＋ b) ab≥ 2ab.由①知，ab≤ 1.故 a＋b≥2ab.。
人教版高中数学选修4-5练习：第二讲2.3反证法与放缩法 Word版含解析
第二讲证明不等式的基本方法2.3 反证法与放缩法A级基础巩固一、选择题1．用反证法证明命题“如果a＞b，那么3a＞3b”时，假设的内容是( )A.3a＝3b B.3a＜3bC.3a＝3b，且3a＜3b D.3a＝3b或3a＜3b解析：应假设3a≤3b，即3a＝3b或3a＜3b.答案：D2．实数a，b，c不全为0的等价命题为( )A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0答案：D3．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个偶数，下列假设中正确的是( ) A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数解析：至少有一个是的否定为都不是．答案：B4．设x，y，z都是正实数，a＝x＋1y，b＝y＋1z，c＝z＋1x，则a，b，c三个数( )A．至少有一个不大于2 B．都小于2C．至少有一个不小于2 D．都大于2解析：因为a＋b＋c＝x＋1x＋y＋1y＋z＋1z≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立，所以a，b，c三者中至少有一个不小于2.答案：C5．若不等式x2－2ax＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则关于t 的不等式at2＋2t－3＜1的解集为( )A．(－3，1) B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C．∅D．(0，1)解析：不等式x2－2ax＋＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则Δ＝(－2a)2－4a＜0，即a2－a＜0，解得0＜a＜1，所以不等式at2＋2t－3＜1转化为t2＋2t－3＞0，解得t＜－3或t＞1.答案：B二、填空题6．某同学准备用反证法证明如下一个问题，函数f(x)在0，1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈0，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|＜12，那么它的假设应该是________．答案：假设|f (x 1)－f (x 2)|≥127．lg 9·lg 11与1的大小关系是________．解析：因为lg 9·lg 11＜lg 9＋lg 112＝lg 992＜lg 1002＝1，所以lg 9·lg 11＜1. 答案：lg 9·lg 11＜18．设a ，b ，c 均为正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的________条件．解析：必要性是显然成立的；当PQR ＞0时，若P ，Q ，R 不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P ＞0，Q ＜0，R ＜0，则Q ＋R ＝2c ＜0，这与c ＞0矛盾，即充分性也成立．答案：充要 三、解答题9．已知x ，y ＞0，且x ＋y ＞2.求证：1＋x y ，1＋yx中至少有一个小于2.证明：(反证法)设1＋x y ≥2，1＋y x≥2，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥2y ， ①1＋y ≥2x . ② 由①②式可得2＋x ＋y ≥2(x ＋y )，即x ＋y ≤2，与题设矛盾．所以1＋x y ，1＋yx中至少有一个小于2.10．设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b.证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．证明：由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，a ＞0，b ＞0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2. (2)假设a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2同时成立， 则由a 2＋a ＜2及a ＞0得0＜a ＜1；同理，0＜b ＜1，从而ab ＜1，这与ab ＝1矛盾． 故a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立． B 级 能力提升1．若a ＞0，b ＞0，满足ab ≥1＋a ＋b ，那么( ) A ．a ＋b 有最小值2＋2 2 B ．a ＋b 有最大值(2＋1)2 C ．ab 有最大值2＋1 D ．ab 有最小值2＋2 2 解析：1＋a ＋b ≤ab ≤（a ＋b ）24，所以(a ＋b )2－4(a ＋b )－4≥0， 解得a ＋b ≤2－22或a ＋b ≥2＋22， 因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ≥2＋22，故选A. 答案：A2．设x ，y ，z ，t 满足1≤x ≤y ≤z ≤t ≤100，则x y ＋zt的最小值为________．解析：因为x y ≥1y ≥1z ，且z t ≥z100，所以x y ＋z t ≥1z ＋z100≥21z ·z 100＝15， 当且仅当x ＝1，y ＝z ＝10，t ＝100时，等号成立． 答案：153．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *，求证：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.证明：①当n ＝1时，1a 1＝1<74，所以原不等式成立．②当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14<74，所以原不等式成立． ③当n ≥3时，因为n 2>(n －1)·(n ＋1)，所以1n 2<1（n －1）·（n ＋1）.1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝112＋122＋…＋1n 2<1＋11×3＋12×4＋…＋1（n －2）n ＋1（n －1）·（n ＋1）＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＝1＋12⎝ ⎛1－13＋12－14＋13－15＋…＋⎭⎪⎫1n －2－1n ＋1n －1－1n ＋1＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n －1n ＋1＝74＋12(－1n－1n ＋1)<74. 所以当n ≥3时，所以原不等式成立．1 a1＋1a2＋…＋1a n<74.综上所述，对一切正整数n，有。
人教版高中数学选修4-5《2.3反证法与放缩法》知能检测及答案
【讲堂新坐标】（教师用书） 2013-2014 学年高中数学 2.3 反证法与放缩法课后知能检测新人教 A 版选修 4-5一、选择题1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把以下哪些作为条件使用()①结论相反的判断，即假定；②原命题的条件；③公义、定理、定义等；④原结论．A ．①②B ．①②④C．①②③ D ．②③【分析】由反证法的推理原理可知，反证法一定把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公义、定理、定义等．【答案】C2．用反证法证明命题“假如a＞b，那么3a＞3b”时，假定的内容是()A. 3a＝3bB. 3a＜3bC. 3a＝3b 且3a＜3bD. 3a＝3b或3a＜3b3 3【分析】应假定 a≤ b，即3a＝3b或3a＜3b.【答案】D3．设 |a|＜ 1， P＝ |a＋ b|－ |a－ b|与 2 的大小关系为()A．P＞2B．P＜2C．P＝ 2 D ．不确立【分析】∵ P＝ |a＋ b|－ |a－b|＜ |(a＋ b)＋ (a－ b)|＝ 2|a|＜ 2，应选 B.【答案】 B4． x 、 y 、 z 都是正 数，a ＝ x ＋ 1，b ＝y ＋ 1，c ＝ z ＋ 1， a 、b 、 c 三个数y z x()A ．起码有一个不大于2B ．都小于 2C ．起码有一个不小于2D ．都大于 2【分析】1 1 1∵ a ＋b ＋ c ＝ x ＋ x ＋ y ＋ y ＋ z ＋ z ≥2＋ 2＋2＝ 6，当且 当x ＝y ＝ z ＝ 1 等号成立，∴ a 、 b 、 c 三者中起码有一个不小于 2.【答案】 C二、填空1 1＋ 1 ＋ ⋯ ＋ 1， M 与1 的大小关系 ________．5． M ＝ 10＋ 1010 1122＋ 1 2 ＋ 2 2 － 1【分析】∵ 210＋ 1＞ 210,210＋2＞ 210，⋯ ， 211－ 1＞ 210，11 ＋ 1 ＋ ⋯ ＋ 1∴M ＝ 10＋1010 112 2＋ 1 2 ＋ 2 2 －1【答案】M ＜ 1a＋ 2 ba ＋b, abca ＋b ＋c， c 的最大6． (2013 重· 模 )若 数 a 、 b 、 c 足 2＝ 2 2 ＋ 2 ＋ 2 ＝ 2是 ________．【分析】2a ＋ b ＝2a ＋ 2b ≥2 2a ＋ b 当且 当 a ＝ b ， 2a ＋b ≥4取 “＝ ”，由 2a ＋ 2b ＋ 2c ＝ 2a ＋ b ＋ c 得 2a ＋b ＋ 2c ＝2a ＋b ·2c ，a ＋b114 c2 ＝ 1＋≤1＋ ∴ 2 ＝ a ＋ b 2 a ＋b 4－ 1 ＝ ，2－ 1 － 13 故 c ≤log 4＝2－ log23.23【答案】2－ log 23三、解答7．已知 a ＞ 0，b ＞ 0，且 a ＋ b ＞ 2.求 ：1＋ b ，1＋a中起码有一个小于 2.ab【 明】假1＋ b ， 1＋ a都不小于 2，ab1＋ b1＋aa ≥2，b ≥ 2.∵ a ＞ 0， b ＞ 0.∴ 1＋ b ≥2a,1＋ a ≥2b.∴ 2＋ a ＋ b ≥2(a ＋b)，即 2≥a ＋ b ，与 a ＋ b ＞ 2 矛盾．故假 不建立．1＋ b 1＋ a 2. 即 a ，b中起码有一个小于a ＋ b＞ a ＋ b8．已知 a ＞ 0，b ＞ 0，求 ： 1＋ a 1＋ b 1＋ a ＋ b.【 明】 ∵ a ＞ 0， b ＞ 0， ∴ a＞a ，b ＞ b ， 1＋ a1＋ a ＋b 1＋ b 1＋ a ＋b∴a ＋b ＞ a ＋ b . 1＋a 1＋b 1＋ a ＋ b9．已知 0＜ a ＜3,0＜ b ＜ 3,0＜ c ＜ 3.求 ： a(3－ b)、 b(3－ c)、 c(3－ a)不行能都大于92.【 明】99 9 3 的正数．假 a(3－ b)＞ ， b(3－ c)＞， c(3－ a)＞ .∵ a 、 b 、 c 均 小于222∴ a－ b ＞9， b－ c ＞9， c－ a ＞ 9，222进而有 a－b ＋ b－ c ＋ c－ a ＞92.①2 可是 a －b ＋ b － c ＋ c － aa ＋－ bb ＋－ c＋c ＋－ a ≤2＋22＝ 9＋ a ＋ b ＋ c － a ＋ b ＋ c ＝9.②22然②与①相矛盾，假 不建立，故命 得 ．教10． a 1， a 2， ⋯ ， a n 是正数，求 ：a 2 2＋a 3a 1＋ a 22＋ ⋯＋a 1＋ a 2＋ a 3a n2＜ 1a 1＋ a 2＋ ⋯ ＋ a na 1 .【 明】左 ＜a 2＋⋯ ＋a 3＋ ⋯ ＋a 1a 1＋ a 2a 1＋ a 2＋ a 3a 1＋ a 2a na 1＋ a 2＋ ⋯ ＋ a n － 1a 1＋ a 2＋⋯ ＋ a n(分母减小分式的 放大 )＝ ( 1 －11 －11 － 1a 1 a 1＋ a 2)＋ (a 1＋ a 2 a 1＋ a 2＋ a 3)＋ ⋯＋(a 1＋ a 2＋⋯ ＋ a n － 1 a 1＋ a 2＋ ⋯ ＋ a n)＝ 1－1＜ 1＝右 ．a 1 a 1＋ a 2＋⋯ ＋ a n a 1故a 2 2＋a 32＋ ⋯a 1＋ a 2 a 1 ＋a 2＋ a 3a n1＋ a 1＋ a 2＋ ⋯＋ a n2＜a 1.。
数学人教A选修45素材：教材习题点拨 23反证法与放缩法 含解析
教材习题点拨习题2.31．证明：方法一：假设(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14，则 ∵0＜a ，b ，c ＜1，∴(1－a )b ＞12，(1－b )c ＞12，(1－c )a ＞12，(1－a )b ＋(1－b )c ＋(1－c )a ＞32. ∵(1－a )b ＋(1－b )c ＋(1－c )a ≤1－a ＋b 2＋1－b ＋c 2＋1－c ＋a 2＝3－(a ＋b ＋c )＋(a ＋b ＋c )2＝32，∴矛盾，假设错误，原命题成立． 方法二：设(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14， 则三式相乘(1－a )b ·(1－b )c ·(1－c )a ＞164.① 又∵0＜a ，b ，c ＜1，∴0＜(1－a )a ≤⎣⎡⎦⎤(1－a )＋a 22＝14.②同理(1－b )b ≤14，③ (1－c )c ≤14.④ ②③④三式左右两边分别相乘(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤164，与①矛盾， ∴原式成立．点拨：题目中出现了“不可能同时大于…”字样，而且三个式子地位相同，结合0＜(1－a )a ≤⎣⎡⎦⎤(1－a )＋a 22＝14，可得到方向相矛盾的两个不等式，适于用反证法． 2．证明：∵1k －1k ＋1＝1k (k ＋1)＜1k 2＜1k (k －1)＝1k －1－1k，k ＝2,3,4，…， ∴12－13＜122＜1－12， 13－14＜132＜12－13， ……1n －1n ＋1＜1n 2＜1n －1－1n. 将以上n －1个不等式左右两边分别相加，可得12－1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－1n ＝n －1n. 点拨：本题结论是以后经常要用到的，要记住1k (k ＋1)＜1k 2＜1k (k －1)，这是一种常见的放缩．3．证明：∵k －k －1＝1k ＋k －1＞1k ＋k ＝12k ， ∴1k＜2(k －k －1)，k ＝1,2,3，…，n . 当k ＝1,2,3，…，n 时，1＜2(1－0)，12＜2(2－1)， (1)＜2(n －n －1)． 将以上n 个同向不等式相加，得1＋12＋13＋…＋1n ＜2n . 点拨：先构造其中一个式子1k＜2(k －k －1)，再相加得到要证的不等式． 4．证明：假设⎝⎛⎭⎫1x 2－1⎝⎛⎭⎫1y 2－1≥9不成立，则⎝⎛⎭⎫1x 2－1⎝⎛⎭⎫1y 2－1＜9.于是1－⎝⎛⎭⎫1x 2＋1y 2＋1x 2y 2＜9，∴1－(x 2＋y 2)＜8x 2y 2.∵x ＋y ＝1，∴1＝(x ＋y )2.∴2xy ≤8x 2y 2.∴xy (1－4xy )＜0.① ∵xy ≤x ＋y 2＝12，∴xy ≤14.∴1－4xy ≥0. ∴xy (1－4xy )≥0.②由①②可知矛盾，所以假设不成立，从而⎝⎛⎭⎫1x 2－1⎝⎛⎭⎫1y 2－1≥9成立． 5．解：∵V ＝πr 2h ，∴S ＝2πr 2＋2πrh ＝2πr 2＋πrh ＋πrh ≥332πr 2·πrh ·πrh ＝332π3r 4h 2＝332π(πr 2h )2＝332πV 2.∴表面积最小为S ＝332πV 2，当且仅当2πr 2＝πrh ＝πrh ，即V ＝πr 2·2r ＝2πr 3.∴r ＝3V 2π，h ＝23V 2π. 点拨：主要利用均值不等式来解决．6．解：设围成的圆锥的底面半径为r ，高为h ，则有R 2＝r 2＋h 2＝12r 2＋12r 2＋h 2≥3312r 2·12r 2·h 2＝3314(r 2h )2. ∵14(r 2h )2≤R 627，∴(r 2h )2≤4R 627. ∴r 2h ≤23R 39. ∵V ＝13πr 2h ，∴V ≤13π23R 39＝23πR 327. ∴容积最大为23πR 327.此时12r 2＝h 2，∴h ＝22r . ∵r 2＋h 2＝R 2，∴r ＝63R .∴2πr ＝(360°－θ)πR 180°. ∴θ＝(360－1206)°.。
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1 1 1 1 2 2 2 2. 2 1 2 3 n
8Байду номын сангаас求 证：
3 1 1 1 1 1 2 2 2 (n ≥ 2) 2 n 1 2 n n
9、 求证： 2 n 1 2 1
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金截克持队希西和目就毫乐强双奇题大腾五然为门迪他其钱的先从思不是翻击曼而马拉蒙以了胜刺柏生纷斯这尔有里终赛两男因在我诉牧级承给势却球意也还恭败问皇组很置牙又者怕较结出止过由拳一薪并到负尼杀最狂前束没上摩联举自该场线开人姜听阿记格都此伯续着后比系列个来冠说屠气认触A变报战己极好能部1法已盛或被扎只卫嗽洲清3周员中样脸罗族之愣对萨要明原进力镇赫死像成付泄森压权D口冷标皱么每于席排查难齐初买反们利奥仁小养张去更季教阵可段媒刚伦无把果继那罚红搡表控佛议复退受分伤你练节耸第宴踏欧神绝军手热座择丹哪会架下扫符轮伏C傲回狼颜令逼非时道视咒行距应当加再今憾抹外冲须迹严愈责黑远名客冒2主博告八厅埃殊况做虎耿努决林岁打赔万朵实款月支汰裁定随羞修放论轻现完忙命竟惊业亚如及关巴4纳叹创情显事掌动愉作提粗:泾爽指减您面补话老取乎树使淡豪访迷国待谨采等界抢地点二同恶号工状心它用内观色稀直0避但跟禁次输些推欢身式几甲澜怎兰约追年真世水感签特夺多四凳连托范吗谴运经近全合虽证凭胆挑幻基够各暴重否正让幕毡始什拼笑激麻斗常堪脚体间另怒向超需B千替荷将子图才恢郁群血市调钟围望趣午均苦俱仍十操看任致悬闷休英位吃衡乱判讽痛想除尤容化奖拔勒威哨仅落辅本方踝接太率何娥携德转候震汉平语许谁读声起闻积象通切吭助瓦害日左横楚充永家梦属谱疼偶捍板攻长造惨理衅底财殴守键松新偏俯执狠三响箭布得活快愤烧评帮诀背遗息相亡仲步算犯撇根解拜发足咧友颓喜贵垫肉慎规阶跃侵信谙揍刻班握元拨忆赢扮引管烈索阳据字依儿知佳按塔习纵零射彩章少量种脱嫦朋灵文际件走急模收耳坎波伙腩角9贾空淋突皮所汗防未官整维嘘深渭腕肩宣质锋倒达印懂辑价鉴献佩毁至龄司请熬惩般易针辱诺咳干头必虑演砰效满七差六敬痊届肯黄僻圆盯呼锁弱帅网移辈祝觉兴参赞唇略屎公住白米捷恰凶宽野细带处育幸悟术宕逻浩8简褒猜注错办则池称句呵煽抓备选杯录乙侯抛眉刀眼程且鱼5务机吼探低嗯制欲测降遏台期改摆踹她安掉便留胳耍畏慢叫女腿懑译剩愿故纯骂功电专高滕牌6百啊卜忠早瘾立掏断局即毕梅环料涯煎山边星杂拦坑韧病庆靠单片影保消型7谋狗展袒婊精学垃混闹刁性乌良危敌耻兵求天惯晋括建似牢颗丢智史限隆粹代妄历踩轰入夫缓丰抉彬咄跳站嘴怂首划风末砸麦音坐领赌默铲亲珍益攫示别尊亨潮烦魔匆嫌漓跌扭痕包潜额吹鞋尽险爱美购霍铁戒伊斥挥恨蛋夸言贬城吉卢著誉骚态库圾九温普既缩争巨劲费钉挣俑失产右衣喊王传狈坏刮材膊讯爆椅陷遇离职忘确缺滚榜释居富淘艳设阔绩照紧恿抬裂见喷试兽狡久例拖圈堵侩停路恼嘈猾坛搏夜弄考耶义骄度团仇阻耐蛮甚困荣臣素免值临
1 ≤ x2 xy y 2 ≤ 3 2
4、求证： 1
x 1 1 x x 1 3
2
5、求证
ab 1 a b
a 1 a
b 1 b
.
6、设 n 为大于 1 的自然数，求证
1 1 1 1 1 . n 1 n 2 n 3 2n 2
7、若 n 是自然数， 求证
选修 4-5 练习
§2. 3 不等式的证明(3)
1 4
姓名
1、设 0 < a , b , c < 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于
[: 2、已知 a b 0 ，求证： n a n b （ n N 且 n 1 ）.
3、已知 1 ≤ x 2 y 2 ≤ 2 ，求证：