七年级数学上一元一次方程提高专题复习(浙教版)
2022-2023学年浙江七年级数学上学期阶段性复习精练(浙教版)专题5-2 一元一次方程(提高篇)
专题5.2 一元一次方程（提高篇）专项练习一、单选题1．若关于x 的方程（m ﹣2）x |m|﹣1+3=0是一元一次方程，则m 值为（ ） A ．﹣2B ．2C ．﹣3D ．32．已知x ＝2是关于x 的方程3x +a ＝0的一个解，则a 的值是（ ） A ．﹣6B ．﹣3C ．﹣4D ．﹣53．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是：，怎么呢？小明想了一想，便翻看书后答案，此方程的解是53y =-，很快补好了这个常数，并迅速地完成了作业，同学们，你们能补出这个常数吗？它应是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．44．把方程13124x x -+=-去分母，得（ ） A ．2(1)1(3)x x -=-+ B ．2(1)4(3)x x -=++ C ．2(1)43x x -=-+D ．2(1)4(3)x x -=-+5．定义运算“*”，其规则为2*3a ba b +=，则方程4*4x =的解为（ ） A ．3x =-B ．3x =C ．2x =D ．4x =6．某工程甲独做8天完成，乙独做12天完成，现由乙先做3天，甲再参加合做．设完成此工程一 共用了x 天，则下列方程正确的是（ ） A ．3128x x++=1 B ．3128x x -+=1 C ．128x x +=1 D ．33128x x +-+=1 7．明月从家里骑车去游乐场，若速度为每小时10km ，则可早到8分钟，若速度为每小时8km ，则就会迟到5分钟，设她家到游乐场的路程为xkm ，根据题意可列出方程为( ) A ．851060860x x -=- B ．851060860x x -=+ C ．851060860x x +=- D ．85108x x +=+ 8．一个正方形的边长如果增加2cm ，面积则增加32cm 2，则这个正方形的边长为（ ） A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm9．按如图所示的运算程序,能使输出的结果为12的是（ ）A ．3,3x y ==B ．4,2x y =-=-C ．2,4x y ==D ．4,2x y ==10．如图，将边长为3a 的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b 的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（ ）A ．3a+2bB ．3a+4bC ．6a+2bD ．6a+4b二、填空题11．m ，n 互为相反数，则（3m –2n ）–（2m –3n ）=__________．12．用“●”“■”“▲”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”_____个．13．方程2x+1=3与方程()20a x --=的解相同，则a=________． 14．当x=______时，代数式52x +的值比11x -的值大3． 15．一般情况下2323m n m n ++=+不成立，但也有数可以使得它成立，例如：m ＝n ＝0．使得2323m n m n ++=+成立的一对数m 、n 我们称为“相伴数对”，记为（m ，n ）．若（x ，1）是“相伴数对”，则x 的值为_____． 16．某人在解方程21132x x a-+=-去分母时，方程右边的1-忘记乘以6，算得方程的解为2x =，则a 的值为__________．17．设a ，b ，c ，d 为实数，现规定一种新的运算a cb d=ad -bc ，则满足等式22x131x +=1的x 的值为_____.18．已知a ，b 为定值，关于x 的方程2136kx a x bk++=-，无论k 为何值，它的解总是1，则a +b ＝__．19．一个两位数，个位数字比十位数字的2倍多1，如果个位与十位的数字交换位置，得到一个新的两位数，新的两位数比原来两位数的2倍少1，则原两位数为_____．20．一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是__________．21．5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来.若报出来的数如图所示，则报4的人心里想的数是__________．三、解答题22．解下列方程：（1）(1)2(1)13x x x +--=-； （2）30564x x--=； （3）3 1.4570.50.46x x x --=．23．解方程： （1）211012113642x x x -+--=-； （2）20.30.410.50.3x x -+-=. 24．在做解方程练习时，学习卷中有一个方程“2y –12=12y +■”中的■没印清晰，小聪问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与当x =2时代数式5（x –1）–2（x –2）–4的值相同．”小聪很快补上了这个常数．同学们，你们能补上这个常数吗？ 25．解下列方程：（1）4x +7＝12x ﹣5 （2）4y ﹣3（5﹣y ）＝6； （3）3157146x x ---= （4）20.30.40.50.3a a -+-＝1． 26．已知A 、B 两地相距450千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，已知甲车速度为115千米/时，乙车速度为85千米/时，（1）两车同向而行，快车在后，求经过几小时快车追上慢车？（2）两车相向而行，求经过几小时两车相距50千米？27．某超市用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的1多15件，2甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利＝售价﹣进价）（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该超市将购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？28．已知：a、b、c满足a=-b,|a+1|+（c-4）2=0，请回答问题:（1）请求出a、b、c的值；（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，P为数轴上一动点，其对应的数为x，若点P在线段BC上时，请化简式子：|x+1|-|1-x|+2|x-4|（请写出化简过程）；（3）若点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，试探究当点P运动多少秒时，PC=3PB?参考答案1．A【分析】根据一元一次方程的定义，即可得到关于m的方程，求解即可．解：∵关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣1+3=0是一元一次方程，∵m﹣2≠0且|m|﹣1=1，解得：m=﹣2．故选A．【点拨】本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的指数为1．2．A【分析】将x＝2代入方程求解即可.解：将x＝2代入3x+a＝0,解得：a=-6,故选A.【点拨】本题考查了一元一次方程求参数问题,属于简单题,代入法是解题关键. 3．C解：设所缺的部分为x ， 则2y -1122=y -x ， 把y=-53代入，求得x=3． 故选C ． 4．D【分析】根据解一元一次方程去分母的相关要求，结合等式的基本性质2，对等式两边同时乘以分数的最小公倍数4即可求解.解：等式两边同乘4得：2(1)4(3)x x -=-+， 故选：D.【点拨】本题主要考查了一元一次方程求解中的去分母，熟练掌握使用等式的基本性质2进行去分母是解决本题的关键. 5．D【分析】根据新定义列出关于x 的方程，解之可得． 解：∵4*x=4， ∵234x⨯+=4， 解得x=4，故选：D ．【点拨】本题主要考查解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a 形式转化． 6．B【分析】根据“乙先做3天，甲再参加合做”找到等量关系列出方程即可． 解：设完成此项工程共用x 天，根据题意得： 31128x x -+=， 故选B ．【点拨】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元一次方程的知识，解题关键是根据工作量之间的关系列出方程． 7．C【分析】她家到游乐场的路程为xkm ，根据时间＝路程÷速度结合“若速度为每小时10km ，则可早到8分钟，若速度为每小时8km ，则就会迟到5分钟”，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解．解：她家到游乐场的路程为xkm ， 根据题意得：x 8x 51060860+=-， 故选C ．【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，弄清题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 8．C【分析】设正方形边长为x ，则增加后为x+2，根据正方形面积公式列出方程求解即可. 解：设正方形边长为x ，则增加后为x+2， 根据题意得：（x+2）2=x 2+32 解得：x=7. 故选C【点拨】本题考查一元一次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解是解题关键． 9．C【分析】由题可知，代入x 、y 值前需先判断y 的正负，再进行运算方式选择，据此逐项进行计算即可得.解：A 选项0y ≥，故将x 、y 代入22x y +，输出结果为15，不符合题意；B 选项0y ≤，故将x 、y 代入22x y -，输出结果为20，不符合题意；C 选项0y ≥，故将x 、y 代入22x y +，输出结果为12，符合题意；D 选项0y ≥，故将x 、y 代入22x y +，输出结果为20，不符合题意，故选C.【点拨】本题主要考查程序型代数式求值，解题的关键是根据运算程序，先进行y 的正负判断，选择对应运算方式，然后再进行计算. 10．A【分析】根据这块矩形较长的边长＝边长为3a 的正方形的边长－边长为2b 的小正方形的边长＋边长为2b 的小正方形的边长的2倍代入数据即可. 解：依题意有：3a ﹣2b +2b ×2=3a ﹣2b +4b =3a +2b ． 故这块矩形较长的边长为3a +2b ．故选A ．【点拨】本题主要考查矩形、正方形和整式的运算，熟读题目，理解题意，清楚题中的等量关系是解答本题的关键. 11．0解：由题意m+n=0，所以(3m －2n)－(2m －3n)=3m -2n -2m+3n=m+n=0.【点拨】本题考查相反数、去括号法则等，解题的关键是根据题意得出m+n=0，然后再对所求的式子进行去括号，合并同类项，整体代入数值即可. 12．5解：试题分析：设“●”“■”“”分别为x 、y 、z ，根据前两个天平列出等式，然后用y 表示出x 、z ，相加即可．解：设“●”“■”“”分别为x 、y 、z ， 由图可知，2x=y+z∵， x+y=z∵，∵两边都加上y 得，x+2y=y+z∵， 由∵∵得，2x=x+2y ，∵x=2y ， 代入∵得，z=3y ， ∵x+z=2y+3y=5y ， ∵“”处应放“■”5个． 故答案为5． 考点：等式的性质． 13．3【分析】先解方程213x +=求出x 的值，再代入方程()20a x --=可得一个关于a 的一元一次方程，然后解方程即可得．解：213x +=，移项、合并同类项得：22x =， 系数化为1得：1x =，由题意，将1x =代入方程()20a x --=得：30a -=， 移项得：3a =， 故答案为：3．【点拨】本题考查了解一元一次方程、以及方程同解问题，熟练掌握方程的解法是解题关键． 14．2【分析】根据题意列出关于x 的方程，求出x 的值即可． 解：∵代数式5x+2的值比11-x 的值大3， ∵5x+2-（11-x ）=3， 去括号得，5x+2-11+ x =3， 移项得，5x+x=3-2+11， 合并同类项得，6x=12, 系数化为1得，x=2. 故答案为2．【点拨】本题考查的是解一元一次方程，熟知解一元一次方程的基本步骤是解答此题的关键．15．﹣49．【分析】利用新定义“相伴数对”列出方程，解方程即可求出x 的值． 解：根据题意得：11235x x ， 去分母得：15x+10＝6x+6， 移项合并得：9x ＝﹣4， 解得：x ＝﹣49．故答案为﹣49．【点拨】本题考查解一元一次方程，正确理解“相伴数对”的定义是解本题的关键． 16．13解：试题分析：∵在解方程21132x x a-+=-去分母时，方程右边的－1忘记乘以6，算得方程的解为x ＝2，∵把x ＝2代入方程2(2x －1)＝3(x ＋a )－1， 得：2×(4－1)＝3×(2＋a )－1， 解得：a ＝13，故答案为13．点睛：本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a 的一元一次方程是解此题的关键． 17．-10解：试题分析：根据题中的新定义化简已知方程，求出方程的解即可得到x 的值． 试题解析：根据题中的新定义得： 2(1)123x x +-=去分母得：3x -4x -4=6， 移项合并得：-x=10， 解得：x=-10考点：解一元一次方程． 18．0．【分析】先把方程化简，然后把x=1代入化简后的方程，因为无论k 为何值时，它的根总是1，就可求出a 、b 的值． 解：2136kx a x bk++=- ()()262kx a x bk +=-+其中x=1，()242b k a +=-无论k 为何值对方程无影响，所以20,2b b +==- 所以420,2a a -== 所以0a b +=【点拨】本题考查了一元一次方程的解，化解方程得出关系式是解题的关键. 19．37【分析】先设十位数为x 则个位为2x +1,原来两位数为: 10x +2x +1,根据题意将个位与十位的数字交换位置后可得新的两位数为: 10 (2x+1) + x,根据新的两位数比原来两位数的2倍少1,可得:10 (2x+1) + x=2(10x +2x +1)-1,解得x =3,则原来两位数为:10x +2x +1=30+6+1=37. 解：设十位数为x 则个位为2x +1,根据题意可得:10 (2x+1) + x=2(10x +2x +1)-1, 20x +10+x =20x +4x +2-1, -3x =-9, x =3,则10x +2x +1=30+6+1=37, 故答案为:37.【点拨】本题主要考查一元一次方程解决数字问题,解决本题的关键是要熟练表示出原来的两位数和交换位置后的两位数,并能根据根据等量关系列出方程. 20．15解：分析：设输出结果为y ，观察图形我们可以得出x 和y 的关系式为：32y x =-，将y 的值代入即可求得x 的值． 详解：∵32,y x =-当y =127时，32127,x -= 解得：x =43； 当y =43时，3243,x -=解得：x =15； 当y=15时,3215,x -= 解得17.3x = 不符合条件．则输入的最小正整数是15. 故答案为15.点睛：考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键. 21．9【分析】设报4的人心想的数是x ，则可以分别表示报1，3，5，2的人心想的数，最后通过平均数列出方程，解方程即可．解：设报4的人心想的数是x ，报1的人心想的数是10﹣x ，报3的人心想的数是x ﹣6，报5的人心想的数是14﹣x ，报2的人心想的数是x ﹣12， 所以有x ﹣12+x=2×3， 解得x=9， 故答案为：9．【点拨】本题属于阅读理解和探索规律题，考查的知识点有平均数的相关计算及方程思想的运用．一般地，当数字比较多时，方程是首选的方法，而且，多设几个未知数，把题中的等量关系全部展示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决． 22．（1）1x =-；（2）30x =；（3）0.7x =-．【分析】（1）去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解；（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解；（3）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解.解：（1）去括号，得12213x x x +-+=-．移项及合并同类项，得22x =-．系数化为1，得1x =-．（2）去分母，得23(30)60x x --=．去括号，得290360x x -+=．移项及合并同类项，得5150x =．系数化为1，得30x =．（3）原方程可化为757626x x x --=，去分母，得362157x x x -=-． 移项及合并同类项，得107x =-．系数化为1，得0.7x =-．【点拨】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．23．(1) x=16； (2) x=225【解析】试题分析:(1)先去分母,再去括号,移项合并同类项,系数化为1,(2) 先将分母和分子扩大10倍,然后去分母,再去括号,移项合并同类项,系数化为1.试题解析:(1)21101211 3642x x x -+--=-, ()()()42121013216x x x --+=--,84202636x x x ---=--,82063642x x x --=--++,183x -=-,1 6x =, (2)20.30.410.50.3x x -+-=. 203104153x x -+-=,()()3203510415x x --+=,609502015x x ---=,1044x =,225x =. 【分析】把x ＝3代入代数式5（x−1）−2（x−2）−4，求出“2y−12＝12y -■”的y ，再代入该式子求出■．解：5(x －1)－2(x －2)－4＝3x －5，当x ＝2时，3x －5＝3×2－5＝1，∵y ＝1.把y ＝1代入2y －12＝12y －■中，得2×1－12＝12×1－■，∵■＝-1.即这个常数为-1. 【点拨】根据题意先求出y ，将■看作未知数，把已知解代入方程的未知数中，使未知数转化为已知数，从而建立起未知系数的方程，通过未知系数的方程求出未知数系数，这种解题方法叫做待定系数法，是数学中的一个重要方法，以后在函数的学习中将大量用到这种方法．25．(1) x ＝32；(2) y ＝3；（3）x ＝﹣1；（4）a ＝4.4． 【分析】(1)(2)移项再合并同类项即可解答.(3)(4)先去分母，去括号，再移项合并同类项即可解答.解：（1）移项，得：4x ﹣12x ＝﹣5﹣7，合并同类项，得：﹣8x ＝﹣12，系数化为1，得：x ＝；（2）去括号，得：4y ﹣15+3y ＝6，移项，得：4y+3y ＝6+15，合并同类项，得：7y ＝21，系数化为1，得：y ＝3；（3）去分母，得：3（3x ﹣1）﹣2（5x ﹣7）＝12，去括号，得：9x ﹣3﹣10x+14＝12，移项，得：9x ﹣10x ＝12+3﹣14，合并同类项，得：﹣x＝1，系数化为1，得：x＝﹣1；（4）整理，得：﹣＝1，去分母，得：3（20a﹣3）﹣5（10a+4）＝15，去括号，得：60a﹣9﹣50a﹣20＝15，移项，得：60a﹣50a＝15+9+20，合并同类项，得：10a＝44，系数化为1，得：a＝4.4．【点拨】本题考查了解方程的步骤，熟悉掌握重点步骤是解答本题的关键.26．（1）经过15小时快车追上慢车；（2）经过2或2.5小时两车相距50千米.【分析】（1）根据快车路程-慢车路程=450解题,（2）根据快车路程+慢车路程+50=450或快车路程+慢车路程-50=450解题,解：（1）设求经过x小时快车追上慢车.115x-85x=450解得x=15答：经过15小时快车追上慢车（2）求经过a小时两车相距50千米.两种情况：∵相遇前两车相距50千米，列方程为：115a+85a+50=450解得a=2∵相遇后两车相距50千米，列方程为：115a+85a-50=450解得a=2.5答：经过2或2.5小时两车相距50千米.【点拨】本题考查了一元一次方程的实际应用，速度与路程的关系,中等难度,根据汽车行进方向建立等量关系是解题关键.27．(1) 该超市第一次购进甲种商品150件、乙种商品90件．(2) 1950元．x+15），根据题意列出【分析】（1）设第一次购进甲种商品x件，则乙种商品的件数是（12方程求出其解就可以；（2）由利润=售价-进价作答即可．x+15）件，解：（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品（12根据题意得：22x +30（12x+15）＝6000，解得：x ＝150， ∵12x+15＝90． 答：该超市第一次购进甲种商品150件、乙种商品90件．（2）（29﹣22）×150+（40﹣30）×90＝1950（元）．答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1950元．【点拨】本题考查的知识点是利润=售价-进价的运用和列一元一次方程解实际问题的运用及一元一次方程的解法的运用，解题关键是解答时根据题意建立方程．28．（1）a =-1, b =1,c =4；（2）-2x+10；（3）14或118秒 解：(1) 利用“若几个非负数之和为零则每一个非负数均为零”这一结论，可以得到a 与c 的值. 利用已知条件容易得到b 的值.(2) 根据“点P 在线段BC 上”可以得到x 的取值范围. 根据x 的取值范围，可以依次确定待化简式子中绝对值符号内的整式值的符号，再根据绝对值的代数意义去掉相应的绝对值符号，然后合并同类项即可得出答案.(3) 设点P 的运动时间为t 秒. 分析题意可知，要想得到符合题意的运动时间，就需要获得线段PC 与线段PB 的长关于运动时间t 的表达式. 对于线段PC 的表达式，可以通过PC =AC -AP 的关系得到. 线段AC 的长易知；由于点P 从点A 出发沿直线向右运动，所以线段AP 的长代表了点P 的运动路程. 根据“路程等于速度乘以时间”这一等量关系，可以用t 表示出线段AP 的长. 对于线段PB 的表达式，则需要按照点P 与点B 的相对位置进行讨论. 当点P 在点B 的左侧时，可根据PB =AB -AP 获得线段PB 的表达式；当点P 在点B 的右侧时，可根据PB =AP -AB 获得线段PB 的表达式. 在获得上述表达式后，利用等量关系PC =3PB 列出方程求解时间t 即可.解：(1) 因为()2140a c ++-=，所以a +1=0，c -4=0，即a =-1，c =4.因为a =-b ，a =-1，所以b =-a =-(-1)=1.综上所述，a =-1，b =1，c =4.(2) 因为点P 在线段BC 上，b =1，c =4，所以14x ≤≤.因为14x ≤≤，所以x +1>0，10x -≤，40x -≤.当x +1>0时，11x x +=+；当10x -≤时，()111x x x -=--=-；当40x -≤时，()444x x x -=--=-.因此，当点P 在线段BC 上(即14x ≤≤)时，1124x x x +--+-=()()()1124x x x +--+-=1182x x x +-++-=210x -+.(3) 设点P 的运动时间为t 秒.因为点P 从A 点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，所以AP =2t .因为点A 对应的数为-1，点C 对应的数为4，所以AC =4-(-1)=5.因为PC =3PB ，所以PC >PB . 故点P 不可能在点C 的右侧.因此，PC =AC -AP .因为AP =2t ，AC =5，所以PC =AC -AP =5-2t .分析本小题的题意，点P 与点B 的位置关系没有明确的限制，故本小题应该对以下两种情况分别进行求解.∵点P 在点B 的左侧，如下图.因为点A 对应的数为-1，点B 对应的数为1，所以AB =1-(-1)=2.因为AP =2t ，AB =2，所以PB =AB -AP =2-2t .因为PC =3PB ，PC =5-2t ，PB =2-2t ，所以5-2t =3(2-2t ).解这个关于t 的一元一次方程，得 14t =. ∵点P 在点B 的右侧，如下图.因为AP =2t ，AB =2，所以PB =AP -AB =2t -2.因为PC =3PB ，PC =5-2t ，PB =2t -2，所以5-2t =3(2t -2).解这个关于t 的一元一次方程，得 118t =. 综上所述，当点P 运动14或118秒时，PC =3PB . 【点拨】本题综合考查了有理数的相关知识和线段长度的计算. 在化简含有绝对值的式子的时候，关键在于确定绝对值符号内部代数式的符号以便通过绝对值的代数意义将绝对值符号去掉. 在解决简单几何动点问题时，关键在于准确找到表示动点运动路程的线段并利用运动时间表示出该线段的长，这样便可以将线段之间的几何关系转化为运动时间的方程，从而解决问题.。
浙教版七年级数学上册第5章 一元一次方程应用专题复习学案(附答案)
浙教版七年级数学上册第5章一元一次方程应用复习学案◆考点六：一元一次方程的应用：典例精讲：例7.一个三位数，百位上的数字比十位上的数字大4，个位上的数字比十位上的数字大2，这个三位数恰好是去掉百位上的数字后的两位数的21倍，求这个三位数．变式训练：已知一个三位数，个位上的数字是十位上数字的2倍还多1，百位上的数字是个位和十位数字的和，把这个三位数的个位数字与百位数字交换位置，得到一个新三位数，原三位数与新三位数的差为99，求原三位数.典例精讲：例8.某酒店客房部有三人间、双人间客房，收费标准如表：为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施．现有一个100人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人普通间和双人普通间客房．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费6040元，则旅游团住了三人普通间和双人普通间客房各多少间？变式训练：某学校准备印刷一批证书，现有两个印刷厂可供选择：甲厂收费方式：收制版费1000元，每本印刷费0.5元；乙厂收费方式：不超过2000本时，每本收印刷费1.5元；超过2000本超过部分每本收印刷费0.25元，若该校印制证书x本．（1）若x不超过2000时，甲厂的收费为元，乙厂的收费为元；（2）若x超过2000时，甲厂的收费为元，乙厂的收费为元；（3）当印制证书8000本时应该选择哪个印刷厂更节省费用？节省了多少？（4）请问印刷多少本证书时，甲乙两厂收费相同？典例精讲：例9.为发展校园足球运动，学校决定购买一批足球运动装备，市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50 元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折．(1)求每套队服和每个足球的价格是多少？(2)若城区四校联合购买100 套队服和a 个足球，请用含a 的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用；(3)假如你是本次购买任务的负责人，你认为到哪家商场购买比较合算？变式训练：目前节能灯在各地区基本普及使用，某商场计划用3800元购进甲、乙两种节能灯共120只，这两种节能灯的进价、售价如下表：(1)(2)全部售完这120只节能灯后，该商场共获利多少元？典例精讲：例10.已知甲、乙两人均从400米的环形跑道的A处出发，各自以每秒6米和每秒8米的速度在跑道上跑步．（1）若两人同时出发，背向而行，则经过秒钟两人第一次相遇；若两人同时出发，同向而行，则经过秒钟乙第一次追上甲．（2）若两人同向而行，乙在甲出发10秒钟后去追甲，经过多少时间乙第二次追上甲．（3）若让甲先跑10秒钟后乙开始跑，在乙用时不超过100秒的情况下，乙跑多少秒钟时，两人相距40米．变式训练：甲、乙两站相距240千米，从甲站开出一列慢车，速度为每小时80千米，从乙站开出一列快车，速度为每小时120千米．(1)若两车同时开出，背向而行，则经过多长时间两车相距540千米？(2)若两车同时开出，同向而行(快车在后)，则经过多长时间快车可追上慢车？(3)若两车同时开出，同向而行(慢车在后)，则经过多长时间两车相距300千米？典例精讲：例11.某小组几名同学准备到图书馆整理一批图书，若一名同学单独做要40h完成．现在该小组全体同学一起先做8h后，有2名同学因故离开，剩下的同学再做4h，正好完成这项工作．假设每名同学的工作效率相同，问该小组共有多少名同学？变式训练：1.信息技术课上，老师让七年级学生练习打字，要求限时40分钟打完﹣篇文章．已知小宝独立打完这篇文章需要50分钟，而小贝只需要30分钟．为了完成任务，小宝打了30分钟后，请求小贝帮助合作，他能在要求的时间打完吗？2.小敏和小强到某厂参加社会实践，该厂用白板纸做包装盒．设计每张白板纸裁成盒身3个或者盒盖5个，且一个盒身．．．．恰好能做成一个包装盒．设裁成盒身的白板纸有x张，回答下列问题．．．．．和两个盒盖(1)若有11张白板纸．①请完成下表．②求最多可做几个包装盒．(2)若仓库中已有4个盒身，3个盒盖和23张白板纸，现把白板纸分成两部分，一部分裁成盒身，一部分裁成盒盖．当盒身与盒盖全部配套用完时，可做多少个包装盒？(3)若有n张白板纸(70≤n≤80)，先把一张白板纸适当套裁出3个盒身和1个盒盖，余下白板纸分成两部分，一部分裁成盒身，一部分裁成盒盖．当盒身与盒盖全部配套用完时，n的值可以是__________．巩固提升：1.某超市店庆促销，某种书包原价为每个x元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元，则得到方程( )A. 0.8x－10＝90B. 0.08x－10＝90C. 90－0.8x＝10D. x－0.8x－10＝902. 如图，水平桌面上有一个内部装有水的长方体箱子，箱内有一个与底面垂直的隔板，且隔板左右两侧的水面高度分别为40 cm，50 cm，现将隔板抽出，若过程中箱内的水量未改变，且不计箱子及隔板的厚度，则根据图中的数据，可知隔板抽出后水面静止时，箱内的水面高度为( )A. 43 cmB. 44 cmC. 45 cmD. 46 cm3.某书店为配合该市开展的“我读书，我快乐”读书活动推出一种优惠卡，每张卡售价为20元，凭卡购书可享受8折优惠﹒小芳同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元﹒若此次小芳同学不买卡直接购书，则她需付款多少元？（）A﹒140元 B﹒150元 C﹒160元 D﹒200元4.一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店（）A．不盈不亏 B．盈利20元 C．亏损10元 D．亏损30元5.甲、乙两运动员在长为100m的直道AB（A，B为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点…若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后100s内，两人相遇的次数为（）A．5 B．4 C．3 D．26.将正整数1至2018按一定规律排列如下表：平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（）A．2019 B．2018 C．2016 D．20137.《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？8.某车间每天能制作甲种零件200只，或者制作乙种零件150只，2只甲种零件与3只乙种零件配成一套产品，现要在30天内制作最多的成套产品，则甲、乙两种零件各应制作多少天？9.某市水果批发部门欲将A市的一批水果运往本市销售，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为200元/时，其他主要参考数据如下：(1)如果选择汽车的总费用比选择火车的总费用多1100元，那么你知道本市与A市之间的路程是多少千米吗？请你列方程解答；(2)若A市与某市之间的路程为s千米，且知道火车与汽车在路上耽误的时间分别为2小时和3.1小时，要想将这批水果运往该市进行销售，则当s为多少时，选择火车和汽车运输所需费用相同？10.为了保障我国海外维和部队和官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别调运100吨和50吨生活物资，已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，从甲、乙两仓库运送物资到每个港口的费用（元/吨）如下表所示：（1）如果从甲、乙两仓库运送物资到两个港口的总费用为1920元，则需要从甲仓库运送多少吨物资到A港口？（2）根据（1）求出的结果，请你说出此时的调运方案﹒11.某班计划买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价100元，乒乓球每盒定价25元．经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．该班需球拍5副，乒乓球若干盒(不少于5盒)．问：(1)当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？(2)当购买20盒，40盒乒乓球时，去哪家商店购买更合算？答案◆考点六：一元一次方程的应用： 典例精讲：例7.解析：设十位上的数为x ，则百位数字为x+4，个位数字为x+2， 由题意得：100（x+4）+10x+x+2=21（10x+x+2）， 解得：x=3，x+4=7，x+2=5， ∴这个三位数为735变式训练：解析：设这个三位数的十位数字为x ，则个位为()12+x ，百位为()13+x 由题意得：()()[]99131012100121013100=++++-++++x x x x x x 解得：1=x答：这个三位数为：413典例精讲：例8.解析：设三人普通间住了x 间，则双人普通间住了23100x-间， 由题意得：604014023100150=⨯-+⨯xx 解得：16=x答：旅游团住了三人普通间16间，双人普通间客房26间变式训练：解析：（1）若x 不超过2000时，甲厂的收费为元，乙厂的收费为（1.5x ）元， 故答案为：0.5x +1000，1.5x ；（2）若x 超过2000时，甲厂的收费为元，乙厂的收费为2000×1.5+0.25（x ﹣2000）=0.25x +2500元，故答案为：1000+0.5x ，0.25x +2500；（3）当x =8000时，甲厂费用为1000+0.5×8000=5000元， 乙厂费用为：0.25×8000+2500=4500元，∴当印制证书8000本时应该选择乙印刷厂更节省费用，节省了500元； （4）当x ≤2000时，1000+0.5x =1.5x ，解得：x =1000；当x ＞2000时，1000+0.5x =0.25x +2500，解得：x =6000； 答：印刷1000或6000本证书时，甲乙两厂收费相同典例精讲：例9.解析：（1）设每个足球的定价是x 元，则每套队服是()50+x 元， 由题意得：()x x 3502=+，解得：100=x ， 答每套队服是150元，每个足球是100元（2）到甲商场购买所化的费用为：1400010010100100100150+=⎪⎭⎫⎝⎛-+⨯a a （元） 到乙商场购买所化的费用为：150********.0100150+=⋅⨯+⨯a a （元） （3）当在两家商场购买一样合算时，150008014000100+=+a a ， 解得：50=a所以购买的足球数等于50个时，则在两家商场购买一样合算， 当购买的足球数多于50个时，则到乙商场购买合算， 当购买的足球数少于50个时，则到甲商场购买合算变式训练：解析：(1)设购进甲种节能灯x 只，则购进乙种节能灯(120－x )只． 由题意得25x ＋45(120－x )＝3800， 解得x ＝80，120－x ＝40.答：购进甲种节能灯80只，乙种节能灯40只． (2)80×(30－25)＋40×(60－45)＝1000(元)．答：全部售完这120只节能灯后，该商场共获利1000元．典例精讲：例10.解析：（1）400÷（6+8）=7200（秒）； 400÷（8﹣6）=200（秒）． 故答案为：7200；200． （2）设经过x 秒时乙第二次追上甲， 根据题意得：8x ﹣6x=400+6×10， 解得：x=230．答：经过230秒钟乙第二次追上甲．（3）设经过y 秒时甲乙两人相距40米， 甲、乙同向而行时，|6（10+y ）﹣8y|=40， 解得：y=10或y=50；甲、乙背向而行时，6（10+y ）+8y=400n ﹣40或6（10+y ）+8y=400n+40； 解得：750200-=n y 或710200-=n y ， ∵y ≤100， ∴7150=y 、7190、50、7390、7550、7590． 答：当甲、乙同向而行时，乙跑10秒或50秒时，两人相距40米；当甲、乙背向而行时，乙跑7150、7190、50、7390、7550或7590秒时，两人相距40米．变式训练：解析：(1)设经过x 小时两车相距540千米， 由题意得80x ＋120x ＝540－240，解得23=x . 答：经过23小时两车相距540千米．(2)设经过y 小时快车可追上慢车． 由题意得120y －80y ＝240，解得y ＝6. 答：经过6小时快车可追上慢车． (3)设经过z 小时两车相距300千米． 由题意得120z －80z ＝300－240.解得z ＝23. 答：经过23小时两车相距300千米．典例精讲：例11.解析：设该小组共有x 名同学，由题意得，()14024408=-+x x ． 解得：4=x答：该小组共有4名同学变式训练：1.解析：设小贝加入后打x 分钟完成任务， 根据题意得：（30+x ）×501+301x=1， 解得：x=7.5． ∵7.5+30=37.5＜40， 所以他能在要求的时间打完．2.解析：(1)①填表如下：②解：由题意得2×3x ＝5(11－x )，解得x ＝5．∴3x ＝15． 答：最多可做成15个包装盒．(2)解：设用y 张白板纸裁成盒身，由题意得2×(3y ＋4)＝3＋5(23－y )，解得y ＝10．∴3y ＋4＝34． 答：可做成34个包装盒． (3)79．巩固提升：1.解析：设某种书包原价每个x 元，根据题意列出方程解答即可． 设某种书包原价每个x 元， 可得：0.8x ﹣10=90，故选择A2.解析:设长方形的宽为x 公分,抽出隔板后之水面高度为h 公分,长方形的长为130+70=200（公分），由题意得：()()hx x x ⨯⨯=⨯++⨯+2005029070402110130解得:h =44, 故选择B3.解析：设小芳同学不买卡直接购书需付书款x 元， 由题意，得x -(20+0.8x )＝10， 解得x ＝150，即小芳同学不买卡直接购书需付书款150元，故选：B ﹒4.解析：设两件衣服的进价分别为x 、y 元，根据题意得：120﹣x=20%x ，y ﹣120=20%y ，解得：x=100，y=150，∴120+120﹣100﹣150=﹣10（元）．故选：C ．5.解析：设两人相遇的次数为x ， 依题意有：100452100=+⨯x 解得x=4.5，∵x 为整数，∴x 取4．故选：B ．6.解析：设中间数为x ，则另外两个数分别为x ﹣1、x+1，∴三个数之和为（x ﹣1）+x+（x+1）=3x ．根据题意得：3x=2019、3x=2018、3x=2016、3x=2013，解得：x=673，x=67232（舍去），x=672，x=671． ∵673=84×8+1，∴2019不合题意，舍去；∵672=84×8，∴2016不合题意，舍去；∵671=83×7+7，∴三个数之和为2013．故选：D ．7.解析：设城中有x 户人家，依题意得：x+3x =100 解得x=75．答：城中有75户人家．8.解析：设甲种零件制作x 天，乙种零件制作（30-x ）天由题意得：200x × 3=2×150（30-x ）解得：x=10所以30-x=30-10=20答：甲种零件制作10天，乙种零件制作20天9.解析：(1)设本市与A 市之间的路程是x 千米，由题意得200·80x ＋20·x ＋900－(200·100x ＋15·x ＋2000)＝1100， 解得x ＝400.答：本市与A 市之间的路程是400千米．（2）选择汽车的总费用＝200⎪⎭⎫ ⎝⎛+1.380s ＋20s ＋900＝(22.5s ＋1520)元， 选择火车的总费用＝200⎪⎭⎫ ⎝⎛+2100s ＋15s ＋2000＝(17s ＋2400)元， 令22.5s ＋1520＝17s ＋2400，解得s ＝160.故当s ＝160时，选择火车和汽车运输所需总费用相同．10.解析：设从甲仓库运送x 吨物资到A 港口，则从乙仓库运送（100-x ）吨到A 港口，从甲仓库运送（80-x ）吨物资到B 港口，从乙仓库运送50-(80-x )＝(x -30)吨到B 港口，由题意，得14x +20(100-x )+10(80-x )+8(x -30)＝1920，化简并整理，得-8x +640＝0，解得x ＝80，答：需要从甲仓库运送80吨物资到A 港口；（2）当x ＝80时，100-x ＝20，x -30＝50，故此时调配方案为：将甲仓库的80吨全部运送到A 港口，从乙仓库运送20吨到A 港口，乙仓库余下的50吨全部运送到B 港口﹒11.解析：(1)设该班购买乒乓球x 盒．根据题意，得甲：100×5＋(x －5)×25＝(25x ＋375)元，乙：0.9×100×5＋0.9x ×25＝(22.5x ＋450)元，当甲＝乙时，25x ＋375＝22.5x ＋450，解得x ＝30．答：当买30盒乒乓球时，两种方法付款一样．(2)买20盒时：甲25×20＋375＝875(元)，乙22.5×20＋450＝900(元)，选甲；买40盒时：甲25×40＋375＝1 375(元)，乙22.5×40＋450＝1 350(元)，选乙．答：买20盒乒乓球时，甲店更合算；买40盒乒乓球时，乙店更合算．。
七年级数学上册 第五章《一元一次方程》期末复习知识点及典型例题(二)(新版)浙教版
期末复习六一元一次方程（二)要求知识与方法了解问题解决的四个步骤列方程解应用题的一般步骤理解根据具体问题中的关系找寻相等关系根据相等关系列方程运用利用一元一次方程解决简单的实际问题一、必备知识：1．问题解决的基本步骤：____________，____________,____________，____________。
2．行程问题：速度×时间＝路程,速度和×时间＝总路程，速度差×时间＝追及的路程．3．工程问题:工作效率×工作时间＝工作总量,甲、乙合作的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率．4．利率问题：本金×利率×存期＝利息，利息×税率＝利息税，本金＋利息－利息税＝实得本利和．二、防范点:1．各类问题中的数量关系要理清．如行程问题中速度、时间、路程之间的关系，工程问题中工作效率、工作时间、工作总量之间的关系等．利用常见的相等关系列方程．2．调配问题中要分清是内部调配还是外部调配，配套问题中注意两个量之间的比例关系不要搞错．3．题意比较复杂时要用线段图示、列表等方法分析题意．一元一次方程的应用例1（1)小华带x元钱去买甜点，若全买红豆汤圆，刚好可买30杯；若全买豆花，刚好可买40杯．已知豆花每杯比红豆汤圆便宜1元，依据题意可列出的方程是________________．(2）如图，要求以下的”□"内填入同一个数字．求这个数字是________．9□1×3□763（3)要锻造一个边长为50mm的立方体零件毛坯，需要取直径为100mm的圆钢长为________mm（结果保留π)．(4）小华的爸爸三年前为小华存了一份5000元的教育储蓄，今年到期时的本息和是5405元，请你帮小华算一算,这种储蓄的年利率是________．（5)植树节期间，我市某初中学校组织植树活动,已知在甲处植树的有13人,在乙处植树的有17人．现调15人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的错误!，问应调往甲、乙两处各多少人？（6)甲、乙两人分别从A、B两地出发,甲骑摩托车，乙骑自行车,沿同一条路线相向匀速行驶．出发后经3小时两人相遇．已知在相遇时乙比甲少行驶了90千米，相遇后经1小时甲到达B地．问甲、乙行驶的速度分别是多少?【反思】列一元一次方程解应用题关键在于寻找未知量与已知量之间的一个相等关系．然后根据这个相等关系，设相应的未知量为未知数,列出一元一次方程．往往设未知数的方法有两种：一种是直接设法，还有一种是间接设法．利用一元一次方程解决方案决策问题例2一家电信公司推出两种移动电话计费方法：计费方法A 是每月收月租费58元,通话时间不超过160分钟的部分免费，超过160分钟的按每分钟0。
浙教版初中数学七年级上册《一元一次方程》全章复习与巩固(提高)巩固练习
《一元一次方程》全章复习与巩固（提高）巩固练习： ：【巩固练习】一、选择题1．已知方程||(1)34m m x +-=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是( )．A ．±1B ．1C ．-1D ．0或12．已知1x =是方程122()3x x a -=-的解，那么关于y 的方程(4)24a y ay a +=+的解是( )．A ．y ＝1B ．y ＝-1C ．y ＝0D ．方程无解3．已知2(1)3(1)4(1)x y x y y x y x ++--+=---+-，则x y +等于（ ）．A ．65-B ．65C ．56- D ．56 4．一列火车长100米，以每秒20米的速度通过800米长的隧道，从火车进入隧道起，至火车完全通过所用的时间为( )．A ．50秒B ．40秒C ．45秒D ．55秒5．一架飞机在两城间飞行，顺风要5.5小时，逆风要6小时，风速为24千米/时，求两城距离x 的方程是（ ）A ．24245.56x x -=+ B ．24245.56x x -+= C ． 2245.56 5.5x x =-+ D ．245.56x x -= 6．某商场的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价．若你想买下标价为360元的这种商品，最多降价多少时商店老板才能出售（ ）A ．80元B ．100元C ．120元D ．160元7．某书中一道方程题：213x x ++=，□处在印刷时被墨盖住了，查书后面的答案，得知这个方程的解是x ＝﹣2.5，那么□处应该是数字( )．A ．-2.5B ．2.5C ．5D ．78. 已知：2222233+=⨯，2333388+=⨯，244441515+=⨯，255552424+=⨯，…， 若21010b b a a +=⨯符合前面式子的规律，则a ＋b 的值为（ ）． A ． 179 B ． 140 C ． 109 D ． 210二、填空题9．已知方程2235522ax x x x a ++=-+是关于x 的一元一次方程，则这个方程的解为________．10．已知|4|m n -+和2(3)n -互为相反数，则22m n -=________．11．当x ＝________时，代数式453x -的值为-1． 12．一商店把某商品按标价的九折出售仍可获得20%的利润率，若该商品的进价是每件30元，则标价是每件 元．13．某种中草药含甲、乙、丙、丁四种草药成分，这四种草药成分的质量比是0.7∶1∶2∶4.7．现在要配制这种中药1400克，这四种草药分别需要多少克？设每份为x 克，根据题意，得 ．14．有一列数，按一定的规律排列：―1，2，―4，8，―16，32，―64，128，…，其中某三个相邻数之和为384，这三个数分别是 ．15．已知关于x 的方程3242a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦和方程3151128x a x +--=有相同的解，则出该方程的解为 ．16. x 表示一个两位数, y 表示一个三位数, 若把x 放在y 的左边组成一个五位数记作M 1, 把y 放在x 的左边组成一个五位数记作M 2, 则 M 1 - M 2 是 的倍数．三、解答题17．解方程：（1）0.40.90.030.0250.50.032x x x ++--=． （2）)12(43)]1(31[21+=--x x x （3）｜3x-2｜-4=018.探究：当b 为何值时，方程｜x-2｜=b+1 ① 无解；②只有一个解；③ 有两个解.19．右图的数阵是由一些奇数排成的． 1 3 5 7 9（1）右图框中的四个数有什么关系？（设框中第一行第一个数 11 13 15 17 19 为x ） …… …… ……（2）若这样框出的四个数的和是200，求这四个数． 91 93 95 97 99（3）是否存在这样的四个数，它们的和为420，为什么？20．商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出场价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号的电视机的方案中，为使销售时获利最多，该选择哪种进货方案？【答案与解析】一、选择题1. 【答案】B【解析】由题意得|m |＝1，且m+1≠0，所以m ＝1，故选B ．2. 【答案】C【解析】由x ＝1是方程122()3x x a -=-的解，可代入求出a 的值，然后把a 的值代入方程a (y+4)＝2ay+4a 中，求出y 的值．3. 【答案】D【解析】由原式可得：()2()233()4()4x y x y x y x y +-++=-+-++，将“x y +”看作整体，合并化简即可．4．【答案】C【解析】相等关系是：火车所走的路程＝火车长度+隧道长度．设火车完全通过所用时间为x 秒，可得方程20x ＝100+800，解得x ＝45．5. 【答案】A【解析】解：∵两城距离为x ，顺风要5.5小时，逆风要6小时，∴顺风速度=5.5x 错误！未找到引用源。
七年级数学上一元一次方程提高专题复习浙教版
七年级数学上一元一次方程提高专题复习(浙教版)一元一次方程提高重难点易错点辨析题一：若关于x的方程3x2a=0和2x+3a13=0的解相同，则a= ．考点：“同解”方程题二：解关于x的方程：ax=b．考点：解的个数问题金题精讲题一：（1）当k为何值时，关于x的方程3+9x=7k+6x 的解比2k+x=4x3的解大6？（2）已知关于x的方程5x+3k=24的解是5x+3=2k 的解的3倍，求k的值．考点：近似“同解”问题题二：若方程ax=2x+b有无数多个解，则（）A．a≠0，b≠0 B．a≠2，b=0C．a=2，b=0 D．a=0，b=0考点：含参方程解的个数题三：已知关于x的方程2a(x1)=(5a)x+3b有无数多个解，那么a25+b的值是多少？考点：含参方程解的个数题四：关于x的一元一次方程(k5)x+1=65x的解为整数,请求出整数k所有可能的值．考点：解为整数的含参方程题五：若以x为未知数的方程x2a+4=0和3x+6= 2x3a的解的乘积为0，则a的值是多少？考点：近似“同解”问题思维拓展题一：若关于x的方程|2x2013|+m=0无解，|3x2014|+n=0只有一个解，|4x2015|+k=0有两个解．请用“ ”将m、n 、k由小到大排列．考点：用绝对值性质解决含参方程问题一元一次方程提高讲义参考答案重难点易错点辨析题一：3．题二：当a≠0时，x=b/a；当a=0，b=0时，无数个解；当a=0，b≠0时，无解．金题精讲题一：24/5；11/3．题二：C．题三：10/3．题四：±1和±5．题五：±2．思维拓展题一：knm．。
浙教版初中数学七年级上册提高实际问题与一元一次方程(二)(提高)知识讲解
实际问题与一元一次方程（二）（提高）知识讲解【学习目标】(1)进一步提高分析实际问题中数量关系的能力，能熟练找出相等关系并列出方程；(2)熟悉利润，存贷款，数字及方案设计问题的解题思路．【要点梳理】要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题−−−→分析抽象方程−−−→求解检验解答．由此可得解决此类问题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．要点诠释：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一．（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可．（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．要点三、常见列方程解应用题的几种类型（续）1．利润问题（1）=100%⨯利润利润率进价 (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)(3) 实际售价＝标价×打折率(4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．2．存贷款问题（1）利息=本金×利率×期数（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)（3）实得利息=利息-利息税（4）利息税=利息×利息税率（5）年利率＝月利率×12（6）月利率＝年利率×121 3.数字问题已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a ，十位数字为b ，则这个两位数可以表示为10b+a ．4．方案问题选择设计方案的一般步骤：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．【典型例题】类型一、利润问题1．文星商店以每支4元的价格进100支钢笔，卖出时每支的标价6元，当卖出一部分钢笔后，剩余的打9折出售，卖完时商店赢利188元，其中打9折的钢笔有几支?【答案与解析】解：设打折的钢笔有x支，则有：6(100-x)+6×90%x＝100×4+188解得x＝20答：打9折的钢笔有20支．来构建方程的，其结果一样．举一反三：【：实际问题与一元一次方程(二) 388413 思考与研究1】【变式】某种商品的标价为900元，为了适应市场竞争，店主打出广告：该商品九折出售，并返100元现金.这样他仍可获得10%的利润率（相对于进货价），问此商品的进货价是多少？（用四舍五入法精确到个位）【答案】解：设此商品的进货价为x元，依题意，得：(900×0.9-100)-x=10%x，得：x=564511∴x≈645.答：此商品的进价约为645元.类型二、存贷款问题2．某公司从银行贷款20万元，用来生产某种产品，已知该贷款的年利率为15%(不计复利)，每个产品成本是3.2元，售价是5元，应纳税款为销售款的10%．如果每年生产10万个，并把所得利润(利润＝售价－成本－应纳税款)用来偿还贷款，问几年后能一次性还清? 【答案与解析】解：设x年后能一次性还清贷款，根据题意，得(5-3.2-5×10%)·10x＝20+20×15%x．解之，得x＝2．答：所以2年后能一次性还清贷款．【总结升华】解答本题利用了类比的数学方法，把贷款与存款相类比，贷款金额相当于存款本金，贷款的年利率相当于存款的年利率，每年产品的利润＝售价－成本－应纳税款，产品的总利润等于本息和．举一反三：【：实际问题与一元一次方程(二)388413贷款问题】【变式】小华父母为了准备她上大学时的16000元学费，在她上初一时参加教育储蓄，准备先存一部分，等她上大学时再贷一部分.小华父母存的是六年期（年利率为2.88%），上大学贷款的部分打算用8年时间还清（年贷款利息率为6.21%），贷款利息的50%由政府补贴.如果参加教育储蓄所获得的利息与申请贷款所支出的利息相等，小华父母用了多少钱参加教育储蓄？还准备贷多少款？【答案】解：设小华父母用x元参加教育储蓄，依题意，x×2.88%×6=(16000-x)×6.21%×8×50%,解得, x≈9436(元)16000-9436=6564(元).答：小华父母用9436元参加教育储蓄，还准备贷6564元.类型三、数字问题3．一个两位数，十位数字比个位数字的4倍多1，将这两个数字调换顺序所得的数比原数小63，求原数．【答案与解析】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为4x+1．根据题意得：10(4x+1)+x＝10x+(4x+1)+63，解得x＝2，∴4x+1＝4×2+1＝9，故这个两位数为92．答：这个两位数是92．【总结升华】在数字问题中应注意：（1）求的是一个两位数，而不是两个数；（2）这类应用题，一般设间接未知数，切勿求出x就答；（3）两位数的表示方法是10位上的数字乘以10，把所得的结果和个位数字相加类型四、方案设计问题4．某牛奶加工厂有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元，该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该厂某领导提出了两种可行方案：方案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；方案2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．你认为选择哪种方案获利最多，为什么?【答案与解析】解：（1）若选择方案1，依题意，总利润=2000元×4+500元×(9-4)=10500元．（2）若选择方案2．设将x吨鲜奶制成奶片，则用(9-x)吨鲜奶制成酸奶销售，依题意得，94 13x x-+=，解得 1.5x=．当 1.5x =时，97.5x -=．总利润=2000元×1.5+1200元×7.5=12000元．∵ 12000>10500，∴ 选择方案2较好．答：选择方案2获利最多，只要在四天内用7.5吨鲜奶加工成酸奶，用1.5吨的鲜奶加工成奶片．【总结升华】如果题目中的数量关系较复杂，常借助列表，画线段图，示意图等手段帮助我们理顺题目中的数量关系，列出方程．例如本题方案2中，设将x 吨鲜奶制成奶片，则列表如下：从表中能一目了然条件之间的关系，从而，得到等量关系．举一反三：【变式1】商场出售的A 型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B 型节能冰箱每台售价比A 型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55度．现将A 型冰箱打折出售(打一折后的售价为原价的110)，问商场将A 型冰箱打几折，消费者买A 型冰箱10年的总费用与B 型冰箱10年的总费用相当(每年365天，每度电按0.40元计算)．【答案】解：设商场A 型冰箱打x 折，依题意，买A 型冰箱需2190×10x 元，10年的电费是365×10×1×0.4元；买B 型冰箱需2190×(1+10%)元，10年的电费是365×10×0.55×0.4元，依题意，得：2190×10x +365×10×1×0.4＝2190×(1+10%)+365×10×0.55×0.4 解得：x ＝8答：商场将A 型冰箱打8折出售，消费者买A 型冰箱10年的总费用与B 型冰箱10年的总费用相当．【变式2】某市居民生活用电的基本价格为每度0.40元，若每月用电量超过a 度，超出部分按基本电价的70%收费．(1)某户五月份用电84度，共交电费30.72元，求a ；(2)若该户六月份的电费平均每度0.36元，求六月份共用电多少度?应交电费多少元?【答案】解： (1)根据题意，得0.40a+0.40×70%×(84-a )＝30.72．解得：a ＝60．(2)设该户六月份共用电x 度，因0.36＜0.40，所以x ＞60，于是超出部分电量为(x -60)度，依题意，得：0.40×60+0.4×70%(x -60)＝0.36x ．解得：x ＝90．所以0.36x ＝0.36×90＝32.40元．答：(1)a＝60；(2)该用户六月份共用电90度，应交电费32.40元．。
一元一次方程(压轴必刷30题)—2024学年七年级数学上册同步讲义(浙教版)(解析版)
一元一次方程（压轴必刷30题5种题型专项训练）一．一元一次方程的定义（共1小题）1．（2022春•雁峰区校级月考）已知（m2﹣9）x2﹣（m﹣3）x+6＝0是以x为未知数的一元一次方程，如果|a|≤|m|，那么|a+m|+|a﹣m|的值为（）A．2B．4C．6D．8【分析】根据一元一次方程的定义，则x2系数为0，且x系数≠0，得出m＝﹣3；由|a|≤|m|，得a﹣m≥0，a+m≤0，∴|a+m|+|a﹣m|＝﹣a﹣m+a﹣m＝﹣2m＝6．【解答】解：∵一元一次方程则x2系数为0，且x系数≠0∴m2﹣9＝0，m2＝9，m＝±3，﹣（m﹣3）≠0，m≠3，∴m＝﹣3，|a|≤|﹣3|＝3，∴﹣3≤a≤3，∴m≤a≤﹣m，∴a﹣m≥0，|a﹣m|＝a﹣m，a+m≤0，|a+m|＝﹣a﹣m，∴原式＝﹣a﹣m+a﹣m＝﹣2m＝6．故选：C．【点评】本题主要考查了如何去绝对值以及一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1．根据一元一次方程的定义求m的值．去绝对值时注意a+m、a﹣m 与0的关系．二．一元一次方程的解（共2小题）2．（2022秋•拱墅区月考）若关于x的方程（k﹣2019）x﹣2017＝7﹣2019（x+1）的解是整数，则整数k的取值个数是（）A．2B．3C．4D．6【分析】原方程依次去括号，移项，合并同类项，系数化为1，得到关于k的x的值，根据“该方程的解是整数”，得到几个关于k的一元一次方程，解之即可．【解答】解：方程（k﹣2019）x﹣2017＝7﹣2019（x+1）整理化简，可得kx＝5，即x＝，∵该方程的解是整数，k为整数，∴x＝1或﹣1或5或﹣5，即＝1或﹣1或5或﹣5，解得：k＝5或﹣5或1或﹣1，∴整数k的取值个数是4个，故选：C．【点评】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．3．（2021秋•天门月考）已知a，b为定值，关于x的方程＝1﹣，无论k为何值，它的解总是1，则a+b＝．【分析】把x＝1代入方程＝1﹣，得：＝1﹣，整理可得（2+b）k+2a﹣4＝0，再根据题意可得2+b＝0，2a﹣4＝0，进而可得a、b的值，从而可得答案．【解答】解：把x＝1代入方程＝1﹣，得：＝1﹣，2（k+a）＝6﹣（2+bk），2k+2a＝6﹣2﹣bk，2k+bk+2a﹣4＝0，（2+b）k+2a﹣4＝0，∵无论k为何值，它的解总是1，∴2+b＝0，2a﹣4＝0，解得：b＝﹣2，a＝2．则a+b＝0．故答案为：0．【点评】本题主要考查方程解的定义，由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．三．解一元一次方程（共3小题）4．（2021春•余杭区校级月考）用⊕表示一种运算，它的含义是：A⊕B＝．如果，那么3⊕4＝．【分析】根据题中的新定义化简已知等式求出x的值，所求式子利用新定义化简后，将x的值代入计算即可求出值．【解答】解：根据题中的新定义得：2⊕1＝+＝，去分母得：2+x＝10，即x＝8，则3⊕4＝+＝+＝．故答案为：【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．5．（2021秋•潮安区期末）小东同学在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象：x+＝0的解为x＝﹣，而﹣＝﹣1；2x+＝0的解为x＝﹣，而﹣＝﹣2．于是，小东将这种类型的方程作如下定义：若一个关于x的方程ax+b＝0≠0）的解为x＝b﹣a，则称之为“奇异方程”．请和小东一起进行以下探究：（1）若a＝﹣1，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由；（2）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）为奇异方程，解关于y的方程：a（a﹣b）y+2＝（b+）y．【分析】（1）把a＝﹣1代入原方程解得：x＝b，若为“奇异方程”，则x＝b+1，由于b≠b+1，根据“奇异方程”定义即可求解；（2）根据“奇异方程”定义得到a（a﹣b）＝b，方程a（a﹣b）y+2＝（b+）y可化为by+2＝（b+）y，解方程即可求解．【解答】解：（1）没有符合要求的“奇异方程”，理由如下：把a＝﹣1代入原方程解得：x＝b，若为“奇异方程”，则x＝b+1，∵b≠b+1，∴不符合“奇异方程”定义，故不存在；（2）∵ax+b＝0（a≠0）为奇异方程，∴x＝b﹣a，∴a（b﹣a）+b＝0，a（b﹣a）＝﹣b，a（a﹣b）＝b，∴方程a（a﹣b）y+2＝（b+）y可化为by+2＝（b+）y，∴by+2＝by+y，2＝y，解得y＝4．【点评】考查了解一元一次方程，关键是熟悉若一个关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解为x＝b﹣a，则称之为“奇异方程”．6．（2020秋•丰城市校级期中）（1）小玉在解方程去分母时，方程右边的“﹣1”项没有乘6，因而求得的解是x＝10，试求a的值．（2）当m为何值时，关于x5m+3x＝1+x的解比关于x的方程2x+m＝5m的解大2？【分析】（1）把x＝10代入错误的去分母得到的方程，求出a的值即可；（2）表示出两方程的解，由题意求出m的值即可．【解答】解：（1）错误去分母得：4x﹣2＝3x+3a﹣1，把x＝10代入得：a＝3；（2）方程5m+3x＝1+x，解得：x＝，方程2x+m＝5m，解得：x＝2m，根据题意得：﹣2m＝2，去分母得：1﹣5m﹣4m＝4，解得：m＝﹣．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．四．同解方程（共1小题）7．（2022秋•义乌市月考）已知关于x的方程：2（x﹣1）+1＝x与3（x+m）＝m﹣1有相同的解，求以y为未知数的方程的解．【分析】根据方程1可直接求出x的值，代入方程2可求出m，把所求m和x代入方程3，可得到关于y的一元一次方程，解答即可．【解答】解：解方程2（x﹣1）+1＝x得：x＝1将x＝1代入3（x+m）＝m﹣1得：3（1+m）＝m﹣1解得：m＝﹣2将x＝1，m＝﹣2代入得：，解得：．【点评】本题解决的关键是能够求解关于x的方程，根据同解的定义建立方程．五．一元一次方程的应用（共23小题）8．（2022秋•义乌市校级月考）已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位，点N从点B出发，速度为M点的3倍，点P从原点出发，速度为每秒1个单位．（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距54个单位？（2）若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？（3）当时间t满足t1＜t≤t2时，M、N两点之间，N、P两点之间，M、P两点之间分别有55个、44个、11个整数点，请直接写出t1，t2的值．【分析】（1）由题意列出方程可求解；（2）分两种情况讨论，列出方程可求解；（3）M、N、P三点之间整数点的多少可看作它们之间距离的大小，M、N两点距离最大，M、P两点距离最小，可得出M、P两点向右运动，N点向左运动，结合数轴分类讨论分析即可．【解答】解：（1）设运动时间为t秒，由题意可得：6+8+2t+6t＝54，∴t＝5，∴运动5秒点M与点N相距54个单位；（2）设运动时间为t秒，由题意可知：M点运动到6+2t，N点运动到﹣8+6t，P点运动到t，当t＜1.6时，点N在点P左侧，MP＝NP，∴t﹣（﹣8+6t）＝6+2t﹣t，∴6+t＝8﹣5t，∴t＝s；当t＞1.6时，点N在点P右侧，MP＝NP，∴﹣8+6t﹣t＝6+2t﹣t，∴6+t＝﹣8+5t，∴t＝s，∴运动s或s时点P到点M，N的距离相等；（3）由题意可得：M、N、P三点之间整数点的多少可看作它们之间距离的大小，M、N两点距离最大，M、P M、P两点向右运动，N点向左运动①如图，当t1＝5s时，P在5，M在16，N在﹣38，再往前一点，MP之间的距离即包含11个整数点，NP之间有44个整数点；②当N继续以6个单位每秒的速度向左移动，P点向右运动，若N点移动到﹣39时，此时N、P之间仍为44个整数点，若N点过﹣39时，此时N、P之间为45 个整数点，故t2＝+5＝s∴t1＝5s，t2＝s．【点评】本题考查了一元一次方程在数轴上的动点问题中的应用，理清题中的数量关系、数形结合，是解题的关键．9．（2020秋•温州期末）七年（1）（2）两班各40人参加垃圾分类知识竞赛，规则如图．比赛中，所有同学均按要求一对一连线，无多连、少连．（1）分数5，10，15，20中，每人得分不可能是分．（2）七年（1）班有4人全错，其余成员中，满分人数是未满分人数的2倍；七年（2）班所有人都得分，最低分人数的2倍与其他未满分人数之和等于满分人数．①问（1）班有多少人得满分？②若（1）班除0分外，最低得分人数与其他未满分人数相等，问哪个班的总分高？【分析】（1）根据得分规则课判断出不可能得的分数；（2）①设（1）班未满分的人数是x人，则满分的人数是2x人，列方程即可；②分别计算出两班得分的情况计算出两个班的总分，再比较即可．【解答】解：（1）∵共有4条线，可能全部连错，得0分，可能1条线对，3条线错，得5分，可能2条线对，2条线错，得10分，可能3条线对，则第4条也对，得20分，∴每人得分不可能是15分；故答案为：15．（2）①设（1）班未得满分的有x人，得满分的有2x人，依题意得：x+2x＝40﹣4，解得x＝12，2x＝24．答：（1）班得满分的有24人；②∵（1）班除0分外，最低得分人数与其他未满分人数相等，∴得5分的和得10分的都是6人，∴（1）班总分为：24×20+6×10+6×5＝570（分）；设（2）班最低得分a人，其余未满分b人，则满分人数为（2a+b）人，∴总分为：5a+10b+20（2a+b）＝（45a+30b）分，∵a+b+2a+b＝40，∴（2）班总分为：45a+30b＝15（3a+2b）＝600（分）＞570（分），∴（2）班总分高．【点评】本题考查一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题关键．10．（2021秋•瓯海区月考）某中学库存若干套桌椅，准备修理后支援贫困山区学校．现有甲、乙两木工组，甲每天修理桌椅16套，乙每天修桌椅比甲多8套，甲单独修完这些桌椅比乙单独修完多用20天，学校每天付甲组80元修理费，付乙组120元修理费．（1）该中学库存多少套桌椅？（2）在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天10元生活补助费，现有三种修理方案：a、由甲单独修理；b、由乙单独修理；c、甲、乙合作同时修理．你认为哪种方案省时又省钱？为什么？【分析】（1）通过理解题意可知本题的等量关系，即甲单独修完这些桌凳的天数＝乙单独修完的天数+20天，列方程求解即可；（2）分别计算，通过比较选择最省钱的方案．【解答】解：（1）设该中学库存x套桌椅，则；解得x＝960．答：该中学库存960套桌椅．（2）设a、b、c三种修理方案的费用分别为y1、y2、y3元，则y1＝（80+10）×＝5400，y2＝（120+10）×＝5200，y3＝（80+120+10）×＝5040，综上可知，选择方案c更省时省钱．答：方案c省时省钱．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．此题要掌握工作量的有关公式：工作总量＝工作时间×工作效率．11．（2020秋•鹿城区期末）十一期间，各大商场掀起购物狂潮，现有甲、乙、丙三个商场开展的促销活动如表所示：根据以上活动信息，解决以下问题：（1）三个商场同时出售一件标价290元的上衣和一条标价270元的裤子，王阿姨想买这一套衣服，她应该选择哪家商场？（2）黄先生发现在甲、乙商场同时出售一件标价380元的上衣和一条标价300多元的裤子，最后付款额也一样，请问这条裤子的标价是多少元？（3）丙商场又推出“先打折”，“再满100减50元”的活动．张先生买了一件标价为630元的上衣，张先生发现竟然比没打折前多付了18.5元钱，问丙商场先打了多少折后再参加活动？【分析】（1）按照不同的优惠方案算出实际花的钱数，再比较得出答案即可；（2）设这条裤子的标价为x元，按照优惠方案算出实际付款数，根据付款额一样，列方程求解即可；（3）先设丙商场先打了x折后再参加活动，折后减50n（0≤n＜6），根据打折后比没打折前多付了18.5元钱，列方程求解．【解答】解：（1）选甲商城需付费用为（290+270）×0.6＝336（元）；选乙商城需付费用为290+（270﹣200）＝360（元）；选丙商城需付费用为290+270﹣5×50＝310（元）．∵310＜336＜360，∴选择丙商城最实惠．（2）设这条裤子的标价为x元，根据题意得：（380+x）×0.6＝380+x﹣100×3，解得：x＝370，答：这条裤子的标价为370元．（3）设丙商场先打了x折后再参加活动，折后减50n（0≤n＜6且n为整数），根据题意得：（630×﹣50n）﹣（630﹣6×50）＝18.5，整理得63x﹣50n＝348.5，当n＝0时，63x＝348.5，可再优惠3×50＝150元，与n＝0矛盾，舍去当n＝1时，63x＝398.5，可再优惠3×50＝150元，与n＝1矛盾，舍去当n＝2时，63x＝448.5，可再优惠4×50＝200元，与n＝2矛盾，舍去当n＝3时，63x＝498.5，可再优惠4×50＝200元，与n＝3矛盾，舍去当n＝4时，63x＝548.5，可再优惠5×50＝250元，与n＝4矛盾，舍去当n＝5时，63x＝598.5，满足题意，此时x＝9.5答：丙商场先打了9.5折后再参加活动．出合适的等量关系列出方程进行求解．12．（2020秋•永嘉县校级期末）某班级组织学生集体春游，已知班级总人数多于20人，其中有15名男同学，景点门票全票价为30元，对集体购票有两种优惠方案．方案一：所有人按全票价的90%购票；方案二：前20人全票，从第21人开始每人按全票价的80%购票；（1）若共有35名同学，则选择哪种方案较省钱？（2）当女同学人数是多少时，两种方案付费一样多？【分析】（1）方案一的收费＝学生人数×30×90%，方案二的收费＝20×30+（学生人数﹣20）×30×80%，将两者的收费进行比较，从而确定选择何种方案更省钱；（2）设女同学人数是x人时，两种方案付费一样多，列出方程求解即可．【解答】解：（1）方案一收费为：35×30×90%＝945（元），方案二收费为：20×30+（35﹣20）×30×80%＝960（元），∵960＞945，∴方案一更省钱；（2）设女同学人数是x人时，两种方案付费一样多，由题意得（15+x）×30×90%＝20×30+（15+x﹣20）×30×80%，解得：x＝25，答：当女同学人数是25人时，两种方案付费一样多．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．13．（2021秋•临海市月考）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值．若不存在，请说明理由？（3）当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B以每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？【分析】（1）根据点P到点A、点B的距离相等，结合数轴可得答案；（2）此题要分两种情况：①当P在AB左侧时，②当P在AB右侧时，然后再列出方程求解即可；（3）点P、点A、点B B的运动速度最快，点P的运动速度最慢．故P点总位于A点右侧，B可能追上并超过A．P到A、B的距离相等，应分两种情况讨论．【解答】解：（1）如图，若点P到点A、点B的距离相等，P为AB的中点，BP＝P A．依题意得3﹣x＝x﹣（﹣1），解得x＝1；（2）由AB＝4，若存在点P到点A、点B的距离之和为5，P不可能在线段AB上，只能在A点左侧，或B点右侧．①P在点A左侧，P A＝﹣1﹣x，PB＝3﹣x，依题意得（﹣1﹣x）+（3﹣x）＝5，解得x＝﹣1.5；②P在点B右侧，P A＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝x﹣3，依题意得（x+1）+（x﹣3）＝5，解得x＝3.5；（3）设运动t分钟，此时P对应的数为﹣t，B对应的数为3﹣20t，A对应的数为﹣1﹣5t．①B未追上A时，P A＝PB，则P为AB中点．B在P的右侧，A在P的左侧．P A＝﹣t﹣（﹣1﹣5t）＝1+4t，PB＝3﹣20t﹣（﹣t）＝3﹣19t，依题意有1+4t＝3﹣19t，解得t＝；②B追上A时，A、B重合，此时P A＝PB．A、B表示同一个数．依题意有﹣1﹣5t＝3﹣20t，解得t＝．即运动或分钟时，P到A、B的距离相等．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及数轴，关键是理解题意，表示出两点之间的距离，利用数形结合法列出方程．14．（2020秋•永嘉县校级期末）为弘扬中华优秀文化传统，某中学在2014年元旦前夕，由校团委组织全校30支，毛笔20支，共需1070元，其中每支毛笔比钢笔贵6元．（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？（2）①后来校团委决定调整设奖方案，扩大表彰面，需要购买上面的两种笔共60支（每种笔的单价不变）．张老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领1322元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么账肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的账算错了．②张老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔的单价为不大于10元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为元．【分析】（1）设钢笔得单价为x元，则毛笔单价为（x+6）元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）①设单价为19元得钢笔y支，则单价为25元的毛笔为（60﹣y）支，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；②设单价为19元的钢笔z支，签字笔的单价为a元，根据题意列出关系式，根据z，a为整数，确定出a与z的值，即可得到结果．【解答】解：（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+6）元，由题意得：30x+20（x+6）＝1070，解得：x＝19，则x+6＝25，答：钢笔的单价为19元，毛笔的单价为25元；（2）①设单价为19元的钢笔y支，则单价为25元的毛笔为（60﹣y）支，根据题意得：19y+25（60﹣y）＝1322，解得：y＝，不合题意，即张老师肯定搞错了；②设单价为19元的钢笔z支，签字笔的单价为a元，根据题意得：19z+25（60﹣z）＝1322﹣a，即6z＝178+a，由a，z都是整数，且178+a应被6整除，经验算当a＝2时，6z＝180，即z＝30，符合题意；当a＝8时，6z＝186，即z＝31则签字笔的单价为2元或8元．故答案为：2或8．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．15．（2020秋•苍南县期末）一家电信公司推出手机话费套餐活动，具体资费标准见表：（1）已知小聪办理的是月租费为88元的套餐，小明办理的是月租费为118元的套餐，他们某一月的主叫时间都为m分钟（m＞360）．①请用含m的代数式分别表示该月他们的话费，化简后填空：小聪该月的话费为元；小明该月的话费为元．②若该月小聪比小明的话费还要多14元，求他们的通话时间．（2）若小慧的两个手机号码分别办理了58元、88元套餐．该月她的两个号码主叫时间共为220分钟，总话费为152元，求她两个号的主叫时间分别可能是多少分钟．【分析】（1）①用“根据话费＝套餐费+主叫超时费”求出总话费；②因为m＞360分钟，所以两人的话费均由套餐费和主叫超时费两部分组成，根据具体数字列出式子即可；（2）可设办理了58元套餐的主叫时间为x分钟，分类进行讨论求解即可．【解答】解：（1）①小聪该月的话费为：88+0.20（m﹣150）＝58+0.2m，小明该月的话费为：118+0.15（m﹣350）＝65.5+0.15m，故答案为：（58+0.2m），（65.5+0.15m）；②58+0.2m＝65.5+0.15m+14，解得：m＝430，答：他们的通话时间为430分钟；（2）设办理了58元套餐的主叫时间为x分钟，依题意得：①当58元套餐的主叫时间超过限定时间，88元套餐没有超过限定时间时，得：58+0.25（x﹣50）+88＝152，解得：x＝74，则88元套餐的主叫时间为：220﹣74＝146（分钟）；②当58元套餐的主叫时间没有超过限定时间，88元套餐超过限定时间时，得：58+88+0.2（220﹣x﹣150）＝152，解得：x＝40，则88元套餐的主叫时间为：220﹣40＝180（分钟）；③当58元套餐的主叫时间超过限定时间，88元套餐超过限定时间时，得：58+0.25（x﹣50）+88+0.2（220﹣x﹣150）＝152，解得：x＝130，则88元套餐的主叫时间为：220﹣130＝90（不符合题意）．综上所述，小慧58元、88元套餐的主叫时间分别可能是74分钟，146分钟或40分钟，180分钟．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，能读懂数表弄清数量关系是解题关键．16．（2020秋•拱墅区期末）某快递公司每件普通物品的收费标准如表：例如：寄往省内一件1.7千克的物品，运费总额为：10+8×（0.5+0.5）＝18元．寄往省外一件3.2千克的物品，运费总额为：15+12×（2+0.5）＝45元．（1）小丁同时寄往省内一件2千克的物品和省外一件2.7千克的物品，各需付运费多少元？（2）小丽同时寄往省内和省外同一件a千克的物品，已知a超过2，且a的整数部分是m，小数部分小于0.5，请用含字母的代数式表示这两笔运费的差．（3）某日小丁和小丽同时在该快递公司寄物品，小丁寄往省外，小丽寄往省内，小丁的运费比小丽的运费多43元，物品的重量比小丽多1.5千克，则小丁和小丽共需付运费多少元？【分析】（1）根据表中给出的运费计算方式分别计算运费即可；（2）利用已知条件分别求出同一件a千克的物品寄往省内和省外需付的运费，再用寄往省外付的运费﹣寄往省内付的运费即可求解；（3）设小丽的物品重（x+a）千克，x为正整数，a为小数部分，则小丁的物品重（x+a+1.5）千克，分①0＜a≤0.5时，②0.5＜a＜1时两种情况，根据小丁的运费比小丽的运费多43元列出方程求解，再列式计算求出小丁和小丽共需付的运费．【解答】解：（1）寄往省内一件2千克的物品需付运费：10+8＝18（元），∵超过1千克即要续重，续重以0.5千克为计重单位（不足0.5千克按0.5千克计算），∴寄往省外一件2.7千克的物品需付运费：15+12×2＝39（元），∴小丁寄往省内的费用18元，寄往省外的费用39元；（2）省内：10+8（m﹣1+0.5）＝（8m+6）元，省外：15+12（m﹣1+0.5）＝（12m+9）元，12m+9﹣（8m+6）＝12m+9﹣8m﹣6＝（4m+3）元，∴这两笔运费的差（4m+3）元；（3）设小丽的物品重（x+a）千克，x为正整数，a为小数部分，小丁的物品重（x+a+1.5）千克，①0＜a≤0.5时，小丽：10+8（x﹣1）+0.5×8＝（8x+6）元，小丁：15+12（x﹣1）+2×12＝（12x+27）元，∴12x+27﹣（8x+6）＝43，解得：x＝5.5（不是正整数，舍去）；②0.5＜a＜1时，小丽：10+8（x﹣1）+1×8＝（8x+10）元小丁：15+12（x﹣1）+2.5×12＝（12x+33）元12x+33﹣（8x+10）＝43解得：x＝5，小丁和小丽共需付运费：8×5+10+12×5+33＝143（元）．∴小丁和小丽共需付运费143元．费计算方式分别列出寄往省内和省外需付的运费的代数式．17．（2022秋•义乌市月考）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为秒时，P、Q两点到点B的距离相等．【分析】根据（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，可得B表示的数是9，C表示的数是15，由已知分四种情况讨论：①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝，③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30．【解答】解：∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，∴b﹣9＝0，c﹣15＝0，∴b＝9，c＝15，∴B表示的数是9，C表示的数是15，①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣6），∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝，③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示的数是﹣（t﹣9），∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30，综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为秒或30秒，故答案为：或30．【点评】本题考查一元一次方程的应用，涉及数轴上的动点表示的数，两点间的距离等知识，解题的关键是分类讨论．18．（2021秋•义乌市月考）如图，已知一周长为30cm的圆形轨道上有相距10cm的A、B两点（备注：圆形轨道上两点间的距离是指圆上这两点间的较短部分展直后的线段长）．动点P从A点出发，以7cm/s的速度，与此同时，动点Q从B点出发，以5cm/s的速度，按同样的方向运动，设运动时间为t（s），在P、Q第二次相遇前，当动点P、Q在轨道上相距14cm时，则t＝秒．【分析】设经过ts，P、Q两点相距14cm，分相遇前和相遇后两种情况建立方程求出其解；分点P，Q只能在直线AB上相遇，而点P旋转到直线AB上的时间分两种情况，所以根据题意列出方程分别求解．【解答】解：共有4种可能：①7t+10﹣5t＝14，解得：t＝2；②7t+10﹣5t＝16，解得：t＝3；③7t+10﹣5t＝44，解得：t＝17；④7t+10﹣5t＝46，解得：t＝18．综上所知，t＝2、3、17或18．故答案为：2、3、17或18．【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握行程问题中的基本数量关系是解决问题的关键．19．（2022秋•拱墅区期末）如图，已知数轴上点A表示的数为10，点B位于点A左侧，AB＝15．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．（1）当点P在A、B两点之间运动时，①用含t的代数式表示PB的长度；②若PB＝2P A，求点P所表示的数；（2）动点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点Q到达点A后立即原速返回．若P，Q两点同时出发，其中一点运动到点B时，两点停止运动．求在这个运动过程中，P，Q 两点相遇时t的值．【分析】（1）①读懂题意，列代数式即可；②根据题意列关于t的一元一次方程，再求解即可；（2）读懂题意，分析整个运动过程，根据第一次相遇，第二次相遇路程上的关系列方程求解．【解答】解：（1）①∵点A表示的数为10，点B位于点A左侧，AB＝15，∴点B表示的数为10﹣15＝﹣5，∴点P在A、B＝15﹣2t；②∵PB＝2P A，∴15﹣2t＝2×2t，∴t＝2.5，∴P A＝2×2.5＝5，∴10﹣5＝5，∴点P所表示的数为5；（2）在这个运动过程中，P，Q两点有两次相遇，设P，Q两点第一次相遇的时间为t秒，根据题意得（2+5）t＝15，∴t＝；设P，Q两点第二次相遇的时间为t秒，根据题意得2t+15＝5t，∴t＝5，∴在这个运动过程中，P，Q两点相遇时t的值为秒或5秒．【点评】本题考查了列代数式，数轴，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握数轴知识，读懂题意，能根据题意列出正确的代数式和一元一次方程．20．（2022秋•江北区期中）数轴上点A表示﹣8，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为|﹣8﹣18|＝26个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．（1）当t＝2秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离|MN|为；（2）当点M、N都运动到折线段O﹣B﹣C上时，O、M两点间的和谐距离|OM|＝（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离|CN|＝（用含有t的代数式表示）；t＝时，M、N两点相遇；（3）当t＝时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当t＝时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等．【分析】（1）当t＝2秒时，M表示的数是﹣8+2×4＝0，N表示的数是18﹣3×2＝12，即的M、N两点在折线数轴上的和谐距离|MN|为|12﹣0|＝12；（2）当点M、N都运动到折线段O﹣B﹣C上，即t≥2时，M表示的数是×（t﹣2）＝2t﹣4，N表示的数是12﹣3（t﹣2）＝18﹣3t，而M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，即得额2t﹣4＝18﹣3t，可解得答案；（3）根据M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，得|2t﹣4﹣（18﹣3t）|＝4，可解得t＝或t＝，由t＝2时，M运动到O，同时N运动到C，知t＜2时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，当2≤t≤8，即M在从点O运动到点C时，有2t﹣4＝|6﹣（18﹣3t）|，可解得t＝8或t＝，当8＜t≤时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，即可得答案．【解答】解：（1）当t＝2秒时，M表示的数是﹣8+2×4＝0，N表示的数是18﹣3×2＝12，∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离|MN|为|12﹣0|＝12，故答案为：12；（2）由（1）知，2秒时M运动到O，N运动到C，∴当点M、N都运动到折线段O﹣B﹣C上，即t≥2时，M表示的数是×（t﹣2）＝2t﹣4，N表示的数是12﹣3（t﹣2）＝18﹣3t，∴O、M两点间的和谐距离|OM|＝|2t﹣4﹣0|＝2t﹣4，C、N两点间的和谐距离|CN|＝|12﹣（18﹣3t）|＝3t ﹣6，∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，∴2t﹣4＝18﹣3t，解得t＝，故答案为：2t﹣4，3t﹣6，；（3）∵M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，∴|2t﹣4﹣（18﹣3t）|＝4，即|5t﹣22|＝4，∴5t﹣22＝4或5t﹣22＝﹣4，解得t＝或t＝，由（1）知，t＝2时，M运动到O，同时N运动到C，∴t＜2时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，当2≤t≤8，即M在从点O运动到点C时，2t﹣4＝|6﹣（18﹣3t）|，即|3t﹣12|＝2t﹣4，∴3t﹣12＝2t﹣4或3t﹣12＝4﹣2t，。
数学：第五章一元一次方程复习教案(浙教版七年级上)
第五章一元一次方程要点复习：1．只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程2．解一元一次方程的一般步骤是：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将未知数的系数化为“1”3．一元一次方程ax=b的解的情况：（1）当a≠0时，ax=b有唯一的解（2）当a=0，b≠0时，ax=b无解（3）当a=0，b=0时，ax=b有无穷多个解1．列一元一次方程解应用题，必须认真做到“设、列、解、验、答”五个步骤：“设”――审清题意，明确等量关系，恰当地设立未知数来表示某个未知量。
“列”——根据问题中的等量关系列出方程。
“解”——解方程。
检验方程的解，并判断方程的解是否应用题的实际意义。
“验”——双重检验，检验根的正确性，检验解的合理性“答”——写出应用题的答案。
2．应用题中常见的基本关系式：（1）行程问题：路程=速度⨯时间（2）工程问题：工作量=工作效率⨯时间练习题：1．有两个工程队，第一队有46人，第二队有28人，从第一队调x人到第二队使两队人数相等，列方程得：________________________________________2．一项工程，甲队单独做10天可以完成，乙队单独做15天可以完成，两队合作x天可以完成，列方程得：________________________________________3．某汽车厂今年生产汽车16000辆，去年生产x辆，今年比去年生产的汽车增加1倍还多1000辆，列方程得：________________________________________ 4．某车间接到x件零件加工任务，计划每天加工120件，可以如期完成，而实际加工每天多做40件，结果提前6天完成，列方程得：___________________________________ 5．将5千克浓度为85%的农药配成浓度为2%的药水杀虫，应该加水x千克列方程得：________________________________________6．甲、乙两车工在一天内共加工零件180个，其中甲车工加工x 件，乙车工完成的件数是甲车工的54， 列方程得：________________________________________7．收割一块小麦，第一组需要5小时收割完，第二组需要7小时收割完。
浙教版七年级数学上《一元一次方程提高》专题复习讲义
一元一次方程提高重难点易错点辨析题一：若关于x的方程3x-2a=0和2x+3a-13=0的解相同，则a= ．考点：“同解”方程题二：解关于x的方程：ax=b．考点：解的个数问题金题精讲题一：（1）当k为何值时，关于x的方程3+9x=7k+6x的解比2k+x=4x-3的解大6？（2）已知关于x的方程5x+3k=24的解是5x+3=2k的解的3倍，求k的值．考点：近似“同解”问题题二：若方程ax=2x+b有无数多个解，则（）A．a≠0，b≠0 B．a≠2，b=0C．a=2，b=0 D．a=0，b=0考点：含参方程解的个数题三：已知关于x的方程2a(x-1)=(5-a)x+3b有无数多个解，那么a2-5+b的值是多少？考点：含参方程解的个数题四：关于x的一元一次方程(k-5)x+1=6-5x的解为整数,请求出整数k所有可能的值．考点：解为整数的含参方程题五：若以x为未知数的方程x-2a+4=0和3x+6= -2x-3a的解的乘积为0，则a的值是多少？考点：近似“同解”问题思维拓展题一：若关于x的方程|2x-2013|+m=0无解，|3x-2014|+n=0只有一个解，|4x-2015|+k=0有两个解．请用“<”将m、n、k由小到大排列．考点：用绝对值性质解决含参方程问题一元一次方程提高讲义参考答案重难点易错点辨析题一：3．题二：当a≠0时，x=b/a；当a=0，b=0时，无数个解；当a=0，b≠0时，无解．金题精讲题一：24/5；11/3．题二：C．题三： 10/3．题四：±1和±5．题五：±2．思维拓展题一：k<n<m．。
一元一次方程复习2[上学期]--浙教版-
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C组题：
18、给你一只容积为3升的水桶和一只容积为5升的水 桶，不能借助其他工具，如何准确地从街心公园的喷 水池中取出4升水。
19、时钟计时的长短两针在1、2之间，而长针超过短 针1个小格，求这时的时间。
20、若x a b c ,求x的值。
bc ac ab
21、把99拆成四个数，使第一数加2，第二数减2 ，第三数乘2，第四数除以2，得到的结果都相等， 应怎样拆？
22、你仔细看过足球吗？小李和小明仔细看了一下 足球，结果发现足球上黑块均呈五边形，白块均呈 六边形，小李好不容易数清黑块共12块，小明数白 块不是重复就是遗漏，无法数清白块的个数，你能 帮他们吗？
2、要锻造一个直径为18厘米，高为30厘米的圆柱 形毛坏，应截取面积为15×15平方厘米的方钢___ ___长。（保留三个有效数字）。
3、甲乙两地相距410千米，一辆汽车从甲地开往 乙地、每小时行32千米，汽车开出半小时后，一 辆摩托车从乙地开往甲地，速度是汽车的1.5倍， 则摩托车开出_____小时后方能和汽车相遇。
4、甲、乙两人练习短跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑 6.5米； （1）如果甲让乙先跑5米，那么_____秒钟后可以 追上乙。
（2）如果甲让乙先跑1秒钟，那么____秒钟后可以 追上乙。
5、把含盐15%的盐水150克，稀释为含盐5%的盐水 ，则需要加_____克水。
6、有含盐15%的盐水20千克，要使盐水浓度为20% ，则需要加_____克盐。
16、某人骑自行车从A地先以每小时12公里的速度下 坡，再以每小时9公里的速度走平路到B地，共用55分 钟；回来时，他先以每小时8公里的速度通过平路后， 再以每小时4公里的速度上坡，共用1.5小时，求A、B 两地的路程。
17、杯中有一定量的水，第一天蒸发掉10%，第二天 继续蒸发掉杯中水的10%，为了保持原来的水重，此 时的工作人员又添加了19克水，求杯中原有的水。
一元一次方程知识归纳与题型训练(4类题型清单)(解析版)—2024-2025学年七年级数学上册浙教版
《一元一次方程》知识归纳与题型训练（4类题型）一、认识方程方程：含有未知数的等式叫作方程．方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。
二、等式的基本性质等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。
字母表达式为：c b c a b a ±=±=，那么如果．等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。
字母表达式为：)0(≠===c cbc a bc ac b a ，或，那么如果．要点诠释：等式的传递性 。
，那么、如果c a c b b a ===三、一元一次方程一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。
一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。
四、一元一次方程的解法步骤名 称方 法注 意 事 项1去分母在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）①不含分母的项也要乘以最小公倍数；②分子是多项式的一定要先用括号括起来2去括号去括号法则（可先分配再去括号）注意正确的去掉括号前带负数的括号3移项把未知项移到议程的一边（左边），常数项移到另一边（右边）移项一定要改变符号4合并同类项分别将未知项的系数相加、常数项相加单独的一个未知数的系数为“±1”5系数化为“1”在方程两边同时除以未知数的系数（即方程两边同时乘以未知数系数的倒数）不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数——分母）要点诠释：上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说解每一个方程都必须经过五个步骤；解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再根据对应步骤和方法解方程；五、一元一次方程的应用一元一次方程应用题解题一般步骤：要点诠释：（1）利润型应用题常用等量关系：利润=售价-进价；售价=标价×折扣；总利润=单件利润×数量；（2）行程类应用题常用等量关系：速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总；追及问题：S快-S慢=S相距；（3）工程类应用题常用等量关系：工作量=工作效率×工作时间；完成某项工作的各工作量的和=总工作量=1；题型一 等式的基本性质例题：1．（2023秋•镇海区校级期中）下列说法正确的是（ ）A．如果ac＝bc，那么a＝bB．如果a＝b，那么a+2＝b﹣2C．如果a＝b，那么ac＝bcD．如果a2＝b2，那么a＝b【分析】根据等式的基本性质判断即可．【解答】解：A．当c＝0时，a不一定等于b，故该选项错误，不符合题意；B．如果a＝b，那么a+2＝b+2，故该选项错误，不符合题意；C．如果a＝b，那么ac＝bc，故该选项正确，符合题意；D．如果a2＝b2，那么a＝±b，故该选项错误，不符合题意．故选：C．2．（2023秋•恩施市期末）根据等式的性质，下列变形不成立的是（ ）A．若a＝b，则2a＝2b B．若a＝b，则C．若a＝b，则D．若a＝b，则a+1＝b﹣1【分析】利用等式的性质对每个式子进行变形即可找出答案．【解答】解：A、若a＝b，则2a＝2b，正确，故此选项不符合题意；B、若a＝b，则，正确，故此选项不符合题意；C、若a＝b，则，正确，故此选项不符合题意；D、若a＝b，则a+1≠b﹣1，原变形错误，故此选项符合题意．故选：D．3．（2023秋•郧阳区期末）如图，在天平上放若干苹果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码（ ）A．350克B．300克C．250克D．200克【分析】根据等式的性质即可求出答案．【解答】解：设苹果重为x克，香蕉重为y克，∴2x+y＝350，x+2y＝400，相加得：3x+3y＝750，∴x+y＝250．∴需要在天平右盘中放入砝码250克，故选：C．巩固训练4．（2023秋•台州期中）下列等式变形中，正确的是（ ）A．若3x﹣2＝5，则3x＝﹣7B．若﹣8x＝4，则x＝﹣2C．若，则2x＝6D．若5x+2＝﹣6，则5x＝﹣8【分析】根据等式的性质逐一判断即可．【解答】解：A选项错误，移项，得3x＝7，故错误，不符合题意；B选项错误，两边同时除以﹣8得，x＝﹣，故错误，不符合题意；C选项错误，两边同时除以﹣，得x＝﹣3，故错误，不符合题意；D选项正确，符合题意．故选：D．5．（2023秋•仙居县校级期中）已知ax＝ay，下列等式变形不一定成立的是（ ）A．b+ax＝b+ay B．x＝yC．x﹣ax＝x﹣ay D．＝【分析】根据等式的性质，可得答案．【解答】解：A、两边都加b，结果不变，故A不符合题意；B、a＝0时两边都除以a，无意义，故B符合题意；C、两边都乘以﹣1，都加x，结果不变，故C不符合题意；D、两边都除以同一个不为零的整式结果不变，故D不符合题意；故选：B．题型二 一元一次方程与方程的解例题：1．（2023秋•镇海区期末）下列四个方程中，属于一元一次方程的是（ ）A．2x2﹣1＝0B．x﹣y＝12C．D．6x＝0【分析】根据一元一次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、2x2﹣1＝0中，未知数的次数是2，不是一元一次方程，不符合题意；B、x﹣y＝12中，含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；C、x+4＝中，含有分式，不是一元一次方程，不符合题意；D、6x＝0是一元一次方程，符合题意．故选：D．2．（2023秋•玉环市期末）当关于x的方程2x﹣1＝ax+3的解为x＝1时，a的值是（ ）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．4【分析】虽然是关于x的方程，但是含有两个未知数，其实质是知道一个未知数的值求另一个未知数的值．【解答】解：把x＝1代入2x﹣1＝ax+3，得2﹣1＝a+3解得：a＝﹣2，故选：B．3．（2023秋•苍南县校级月考）整式mx+n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程mx﹣n＝8的解为（ ）x﹣1012mx+n﹣8﹣404A．x＝﹣1B．x＝0C．x＝1D．x＝2【分析】由表格可知，当x＝﹣1时，mx+n＝﹣m+n＝﹣8，进而得到m﹣n＝8，即可得出结果．【解答】解：由表格可知，当x＝﹣1时，mx+n＝﹣m+n＝﹣8，∴m﹣n＝8，∴当x＝1时，mx﹣n＝m﹣n＝8；∴mx﹣n＝8的解为x＝1；故选：C．4．（2023秋•椒江区校级期末）关于x的方程2a（x+5）＝3x+1无解，则a＝（ ）A．﹣5B．0C．D．【分析】要使一元一次方程无解，则需要一次项系数为0，常数项不等于0，根据这个知识点可以得到关于a的方程，从而求解即可．【解答】解：由原方程得：2ax+10a﹣3x﹣1＝0，即（2a﹣3）x＝1﹣10a，要使方程无解，则2a﹣3＝0，解得：a＝，故选：C．巩固训练5．（2024•东阳市开学）方程（a﹣3）x|a|﹣2+2＝a+3是关于x的一元一次方程，则a＝ ﹣3 ．【分析】一元一次方程是指只含有一个未知数、未知数的系数不为0，次数为1且两边都为整式的方程；根据上述一元一次方程的定义，可列出关于a的方程和不等式，求解即可得到答案．【解答】解：由题意得：|a|﹣2＝1，且a﹣3≠0．∵|a|﹣2＝1，解得a＝±3；a﹣3≠0，解得a≠3，∴a＝﹣3．故答案为：﹣3．6．（2022秋•温州月考）已知关于x的一元一次方程2022x﹣5＝3x﹣a的解为x＝2，那么关于y的一元一次方程2022（y+1）﹣3（y+1）＝5﹣a的解为（ ）A．y＝﹣1B．y＝﹣3C．y＝1D．y＝3【分析】将关于y的一元一次方程2022（y+1）﹣3（y+1）＝5﹣a变形为2022（y+1）﹣5＝3（y+1）﹣a，由关于x的一元一次方程2022x﹣5＝3x﹣a的解为x＝2，可得出关于（y+1）的一元一次方程2022（y+1）﹣5＝3（y+1）﹣a的解为y+1＝2，解之即可得出结论．【解答】解：关于y的一元一次方程2022（y+1）﹣3（y+1）＝5﹣a可变形为2022（y+1）﹣5＝3（y+1）﹣a，∵关于x的一元一次方程2022x﹣5＝3x﹣a的解为x＝2，∴关于（y+1）的一元一次方程2022（y+1）﹣5＝3（y+1）﹣a的解为y+1＝2，解得：y＝1，∴关于y的一元一次方程2022（y+1）﹣3（y+1）＝5﹣a的解为y＝1．故选：C．7．（2022秋•拱墅区校级期末）已知关于x的一元一次方程的解是x＝2022，关于y的一元一次方程的解是y＝﹣2021（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（ ）A．b＝﹣y﹣1，c＝y+1B．b＝1﹣y，c＝y﹣1C．b＝y+1，c＝﹣y﹣1D．b＝y﹣1，c＝1﹣y【分析】根据x＝2022，y＝﹣2021得到x＝1﹣y，得到的解为y＝﹣2021，类比得到答案．【解答】解：∵x＝2022，y＝﹣2021得到x＝1﹣y，∴的解为y＝﹣2021，∵方程的解是y＝﹣2021，∴b＝1﹣y，c＝y﹣1，故选：B．8．（2023秋•婺城区期末）已知a，b为实数，且关于x的方程x﹣ax＝b的解为x＝6，则关于y的方程（y﹣1）﹣a（y﹣1）＝b的解为y＝ 7 ．【分析】根据第一个方程的解是x＝6得出第二个方程中y﹣1＝﹣6，再求出y即可．【解答】解：∵关于x的方程x﹣ax＝b的解为x＝6，∴关于y的方程（y﹣1）﹣a（y﹣1）＝b中y﹣1＝6，解得：y＝7，即关于y的方程（y﹣1）﹣a（y﹣1）＝b的解为y＝7，故答案为：7．题型三 解一元一次方程例题：1．（2023秋•余姚市校级月考）已知方程，去分母后正确的结果是（ ）A．3（3x﹣1）﹣1＝﹣x+2B．3（3x﹣1）﹣1＝﹣（x+2）C．3（3x﹣1）﹣6＝﹣x+2D．3（3x﹣1）﹣6＝﹣（x+2）【分析】根据解一元一次方程的方法，首先去分母，方程两边同时乘以两个分数的最小公倍数，即可得到答案．【解答】解：方程的两边同时乘以6，得，整理得，3（3x﹣1）﹣6＝﹣（x+2），故选：D．2．（2023秋•诸暨市期末）把方程的分母化成整数，结果应为（ ）A．B．C．D．【分析】根据分式的基本性质进行计算，即可解答．【解答】解：，﹣＝16，故选：D．3．（2024•江北区校级开学）解方程：，则x＝ ．【分析】根据解一元一次方程的方法求解即可．【解答】解：，去分母，得3×3x+6＝60﹣8x，即9x+6＝60﹣8x，移项、合并同类项，得17x＝54，将系数化为1，得．故答案为：．4．（2024•西湖区校级模拟）某同学解方程．的过程如下框：解：．两边同时乘以10，得……①合并同类项，得……②系数化1，得x＝60……③请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程．【分析】第①步是将方程中未知数的系数化为整数，而不是去分母可得出错误的步骤序号，先将系数化为整数得，再合并同类项得，最后再将未知数的系数化为1即可得出该方程的解．【解答】解：出现错误的步骤是①，正确的解法如下：对于方程，将系数化为整数，得：，合并同类项，得：，未知数的系数化为1，得：x＝6．5．（2023秋•鄞州区期末）解方程：（1）4x﹣3＝2（x﹣1）；（2）解方程：．【分析】（1）根据一元一次方程的解法即可求出答案；（2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1可求出答案．【解答】解：（1）4x﹣3＝2（x﹣1），4x﹣3＝2x﹣2，4x﹣2x＝﹣2+3，2x＝1，x＝；（2），2（2x﹣1）＝6﹣3（x﹣2），4x﹣2＝6﹣3x+6，4x+3x＝14，7x＝14，x＝2．6．（2024•东阳市开学）解下列方程：（1）5x﹣2＝7x+8；（2）．【分析】（1）移项，合并同类项，系数化成1即可；（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．【解答】解：（1）5x﹣2＝7x+8，移项，得5x﹣7x＝8+2，合并同类项，得﹣2x＝10，系数化成1，得x＝﹣5；（2），去分母，得2（2x﹣3）﹣（7x+2）＝4，去括号，得4x﹣6﹣7x﹣2＝4，移项，得4x﹣7x＝4+6+2，合并同类项，得﹣3x＝12，系数化成1，得x＝﹣4．巩固训练7．（2023秋•金东区期末）解方程2﹣3（2﹣3x）＝2，去括号正确的是（ ）A．2﹣6﹣9x＝2B．2﹣6﹣3x＝2C．2﹣6+9x＝2D．2﹣6+3x＝2【分析】根据去括号法则进行变形即可．【解答】解：2﹣3（2﹣3x）＝2，去括号，得2﹣6+9x＝2．故选：C．8．（2008秋•台州期末）下面解方程变形正确的是（ ）A．方程4x+1＝2x+1，移项，得4x+2x＝0B．方程，去分母得x+1＝3x﹣1﹣1C．方程﹣，系数化为1得x＝﹣6D．方程，合并，得【分析】方程变形常用的方法有：移项、合并同类项、去分母、系数化1、去括号．【解答】解：A、方程4x+1＝2x+1，移项得4x﹣2x＝0；B、方程＝，去分母得x+1＝3x﹣1﹣2；C、方程﹣x＝5，系数化1得x＝﹣6；D、方程+10x＝7.5+1，合并得x＝8.5．故选D．故选：D．9．（2023秋•杭州月考）定义符号“*”表示的运算法则为a*b＝ab+3a，若（3*x）+（x*3）＝﹣27，则x＝ ﹣4 ．【分析】先根据运算法则a*b＝ab+3a转化方程，然后解出x的值即可．【解答】解：根据题中的新定义得：3x+9+3x+3x＝﹣27，移项合并得：9x＝﹣36，解得：x＝﹣4，故答案为：﹣4．10．（2023秋•东阳市期末）解方程：（1）6+2（x﹣4）＝x；（2）．【分析】（1）“去括号，移项，合并同类项，系数化为1”，即可解题．（2）“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1”，即可解题．【解答】解：（1）6+2（x﹣4x，6+2x﹣8＝x，2x﹣x＝8﹣6，x＝2；（2）解：；，3（20x﹣10）＝7×10x﹣3，60x﹣30＝70x﹣3，60x﹣70x＝﹣3+30，﹣10x＝27，x＝﹣2.7．11．（2023秋•宁波期末）解方程：（1）3﹣（4x﹣3）＝7；（2）．【分析】（1）方程去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．【解答】解：（1）去括号得：3﹣4x+3＝7，移项得：﹣4x＝7﹣3﹣3，合并同类项得：﹣4x＝1，x系数化为1得：x＝﹣；（2）去分母得：5（x﹣1）＝10﹣2（3x+2），去括号得：5x﹣5＝10﹣6x﹣4，移项得：5x+6x＝10﹣4+5，合并同类项得：11x＝11，x系数化为1得：x＝1．题型四 一元一次方程的应用例题：1．（2023秋•荆门期末）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，则可列方程为（ ）A．8x+3＝7x﹣4B．8x﹣3＝7x+4C．＝D．【分析】设共有x人，根据物品的价格不变列出方程．【解答】解：设共有x人，由题意，得8x﹣3＝7x+4．故选：B．2．（2024•嘉善县一模）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意设乙出发x 日，甲乙相逢，则甲、乙分别所走路程占总路程的和，进而得出等式．【解答】解：设乙出发x 日，甲乙相逢，则甲出发（x ﹣2）日，故可列方程为：+＝1．故选：D ．3．（2022秋•临海市期末）如图，在两个完全相同的大长方形中各放入五个完全一样的白色小长方形，得到图（1）与图（2）．若AB ＝m ，则图（1）与图（2）阴影部分周长的差是（ ）A ．mB ．C ．D ．【分析】设小长方形的宽为x ，长为y ，大长方形的宽为n ，表示出x 、y 、m 、n 之间的关系，然后求出阴影部分周长之差即可．【解答】解：设小长方形的宽为x ，长为y ，大长方形的宽为n ，由图（1）得4x ＝n ，由图（2）得2x +y ＝m ，y ＝3x ，∴5x ＝m ，∴，图（1）中阴影部分的周长为：，图（2）中阴影部分的周长为：，∴阴影部分的周长之差为：．故选：C ．4．（2023秋•舟山期末）根据如表素材，探索未完成任务．水费、用水量是多少？素材1为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2023年采用“阶梯收费”．素材2第一阶梯（用水量≤14吨）：水费为4.3元/吨，其中自来水为3.35元/吨，污水处理费为0.95元/吨．第二阶梯（14吨＜用水量≤21吨）：水费为5.97元/吨，其中自来水为5.02元/吨，污水处理费为0.95元/吨．第三阶梯（用水量＞21吨）：水费为11元/吨，其中自来水为10.05元/吨，污水处理费为0.95元/吨．素材3如某用户2023年2月份用水15吨，则各种费用如下：自来水费14×3.35+（15﹣14）×5.02＝51.92（元）污水处理费15×0.95＝14.25（元）水费14×4.3+（15﹣14）×5.97＝66.17（元）问题解决任务1确定污水处理费已知某用户2023年12月份所缴水费中，自来水费为66.98元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？任务2确定水费某用户2023年11月用水a吨，则应缴水费多少元？任务3确定用水量如果该用户2023年5、6月份共用水42吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费209.01元，则该用户5、6月份各用水多少吨？【分析】（1）先判断12月份用水量超过14吨不超过21吨，设该用户12月份的用水量为x吨，再建立方程求解即可；（2）根据分段收费的分式分三种情况分别列代数式即可；（3）由6月份用水量超过5月份用水量，设该用户5月份的用水量为x吨，6月份的用水量为（42﹣x）吨，再分两种情况分别列方程求解即可．【解答】解：（1）∵3.35×14＝46.9＜66.98＜3.35×14+7×5.02＝82.04，∴12月份用水量超过14吨不超过21吨，设该用户12月份的用水量为x吨，3.35×14+5.02（x﹣14）＝66.98，解答x＝18，18×0.95＝17.1（元），答：设该用户12月份的污水处理费为17.1元；（2）当a≤14时，应缴水费为4.3a元；当14＜a≤21时，应缴水费为14×4.3+5.97（a﹣14）＝（5.97a﹣23.38）元；当a ＞21时，应缴水费为14×4.3+7×5.97+11（a ﹣21）＝（11a ﹣129.01）元；（3）设该用户5月份的用水量为x 吨，6月份的用水量为（42﹣x ）吨，当x ≤14时，4.3x +11（42﹣x ）﹣129.01＝209.01，解答x ≈18.5＞14（不合题意，舍去），14＜x ＜21时，5.97x ﹣23.38+11（42﹣x ）﹣129.01＝209.01，解得：x ＝20，∴42﹣20＝22，答：该户居民5，6月份各用水20吨和22吨．5．（2023秋•东阳市期末）列方程解应用题．欧尚超市恰好用3200元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的与少10件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：每件商品获利＝售价﹣进价）．甲乙进价（元/件）2030售价（元/件）2540（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该超市将购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？【分析】（1）设该商场购进甲种商品x 件，则购进乙种商品（x ﹣10）件，所以购进这两种商品需要的总钱数为[20x +30×（x ﹣10）]元，于是列方程得20x +30×（x ﹣10）＝3200，解方程求出x 的值，再求出代数式x ﹣10的值即可；（2）甲、乙两种商品每件的利润分别为（25﹣20）元、（40﹣30）元，即可由（25﹣20）×100+（40﹣30）×40求得将购进的甲、乙两种商品全部卖完共可获利900元．【解答】解：（1）设该商场购进甲种商品x 件，则购进乙种商品（x ﹣10）件，根据题意得20x +30×（x ﹣10）＝3200，解得x ＝100，∴x ﹣10＝×100﹣10＝40，答：该商场购进甲种商品100件、乙两种商品40件．（2）（25﹣20）×100+（40﹣30）×40＝900（元），答：该超市将购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润900元．巩固训练6．（2024•拱墅区校级模拟）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．其中记载了“百羊问题”：甲赶羊群逐草茂，乙拽一羊随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，所得这般一群凑（再多这样一群羊），再添半群小半（四分之一）群，得你一只来方凑（正好一百），玄机奥妙谁猜透？设这群羊共有x只，则（ ）A．B．C．D．【分析】设这群羊有x只，根据甲乙对话列出方程即可．【解答】解：原文的意思是：甲赶着一群羊在草地上往前走，乙牵着一只羊从后面跟来，问甲：“你这群羊有100只吗？”甲说：“如果再多这样一群羊，再加上原来羊群的一半，又加上原来羊群的一半的一半，连你牵着的这只羊也算进去，才刚好凑满一百只．”请问甲赶着多少只羊？设这群羊有x只，则可列方程为，故选：D．7．（2023秋•沭阳县月考）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无x辆，根据题意，可列出的方程是（ ）A．3x﹣2＝2x+9B．3（x﹣2）＝2x+9C．D．3（x﹣2）＝2（x+9）【分析】设车x辆，根据乘车人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：设车x辆，根据题意得：3（x﹣2）＝2x+9．故选：B．8．（2023秋•路桥区期末）某种商品的进价为80元，出售时的标价为110元．为了尽快减少库存，商店准备打折出售，但要使利润率为10%，则该商品应打（ ）A．6折B．7折C．8折D．9折【分析】设该商品打x折销售，利用利润＝售价﹣进价，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设该商品打x折销售，根据题意得：110×﹣80＝80×10%，解得：x＝8，∴该商品打8折销售．故选：C．9．（2024•台州一模）某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下：阶梯档次年用电量电价（单位：元/度）第一阶梯2760度及以下部分0.538第二阶梯2761度至4800度部分0.588第三阶梯4801度及以上部分0.838小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（ ）A．5250度B．5100度C．4900度D．4850度【分析】设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据12月份用电量为500度，电费为319元，列出方程，解方程即可．【解答】解：∵0.588×500＝294（元），500×0.838＝419（元），又∵294＜319＜419，∴小聪家去年前11个月用电量超过2761度，不足4800度，设小聪家去年12月份用电量度超过4800度的部分为x度，根据题意得：0.588（500﹣x）+0.838x＝319，解得：x＝100，4800+100＝4900（度），答：小聪家去年全年用电量为4900度．故选：C．10．（2024秋•浙江校级月考）上午八时，张、王两同学分别从A、B两地同时骑摩托车出发，相向而行．已知张同学每小时比王多行2千米，到上午十时，两人仍相距36千米的路程．相遇后，两人停车闲谈了15分钟，再同时按各自的方向和原来的速度继续前进，到中午十二时十五分，两人又相距36千米的路程．A、B两地间的路程有多少千米？【分析】由题意可知，从上午10时到中午12时15分共用了2小时15分钟，减去两人闲谈用去的15分，即两人共行（36+36）千米用了2小时，则两人速度和是（36+36）÷2＝36（千米/时），得两人共行36千米需要1小时，到上午十时，两人已共行了2小时，共行的路程是36×2＝72（千米），此时两人相距36千米，所以两地相距72+36＝108（千米）．【解答】解：12时（15分）﹣10时﹣（15分）＝2小时，10时﹣8时＝2小时，设两个人的速度和为x千米/时，根据题意得2x＝36+36，∴x＝（36+36）÷2＝72÷2＝36（千米/时），∴36×2+36＝72+36＝108（千米），答：A、B两地相距108千米．11．（2023秋•温州期末）综合与实践：设计完成工程的最短工期方案（最短工期是指完成某项工程所需的最短时间）．【背景素材】某公司要生产某大型产品60件，已知甲，乙，丙三家子工厂完成一件产品的时间分别为4天，6天，5天．现计划：①三家子工厂同时开始生产；②分配给甲工厂的数量是丙的2倍．【问题解决】为设计方案，可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究．思考1（特值分析）：若该公司将20件产品分配给甲工厂，则最短工期为多少天？思考2（减少要素）：若不考虑素材②，仅由甲、乙两工厂完成，则当两家工厂同时完成生产时工期最短，求如何分配产品件数与最短工期．思考3（方案探究）：如何分配三家工厂的生产任务使得工期最短，并求出最短工期．（注：如你直接挑战思考3并正确解答也给满分）【分析】思考1（特值分析）：分别求出甲，乙，丙三家子工厂的工期即可求解；思考2（减少要素）：设分配给甲工厂产品x件，则乙工厂为（60﹣x）件．根据时间的等量关系即可求解；思考3（方案探究）：设分配给丙工厂的产品有m件，则甲为2m件，乙为（60﹣3m）件，可求当甲，乙同时完成时，工期最短，得到8m﹣6（60﹣3m），求出m，再根据m为整数分析求解．【解答】解：【逐步挑战】思考1（特值分析）：甲完成的时间为：20×4＝80（天），分配给丙工厂的数量为：20÷2＝10（件），乙完成的时间为：（60﹣20﹣10）×6＝180（天），丙完成的时间为：10×5＝50（天），∴该公司完成60件产品的最短工期为180天．思考2（减少要素）：设分配给甲工厂产品x件，则乙工厂为（60﹣x）件．由题意，得4x＝6（60﹣x），解得x＝36，则60﹣x＝24．∴此时公司分配给甲，乙工厂的产品数量分别为36件，24件，工期为144天；思考3（方案探究）：设分配给丙工厂的产品有m件，则甲为2m件，乙为（60﹣3m）件．甲完成的时间为：4×2m＝8m（天），乙完成的时间为：6（60﹣3m）天，丙完成的时间为：5m天，∵8m＞5m，∴当甲，乙同时完成时，工期最短，则8m﹣6（60﹣3m），解得，∵m为整数，∴当m＝14时，即甲比同时完成时多分配了，完成时间为8×14＝112（天）；当m＝13时，即乙比同时完成时多分配了，完成时间为6×（60﹣3×13）＝126（天），∵112＜126，∴当m＝14时，工期最短，为112天，即分配给甲，乙，丙工厂的产品数量分别为28件，18件，14件．【直接挑战思考3】思考3（方案探究）：设分配给丙工厂的产品有m件，则甲为2m件，乙为（60﹣3m）件．甲完成的时间为：4×2m＝8m（天），乙完成的时间为：6（60﹣3m）天，丙完成的时间为：5m天，∵8m＞5m，∴当甲，乙同时完成时，工期最短，则8m﹣6（60﹣3m），解得，∵m为整数，∴当m＝14时，即甲比同时完成时多分配了，完成时间为8×14＝112（天）；当m＝13时，即乙比同时完成时多分配了，完成时间为6×（60﹣3×13）＝126（天），∵112＜126，∴当m＝14时，工期最短，为112天，即分配给甲，乙，丙工厂的产品数量分别为28件，18件，14件．。
浙教版七年级数学上册期末复习五 一元一次方程(一)-word
期末复习五 一元一次方程(一)一、必备知识：1．方程的两边都是____________，只含有____________未知数，并且未知数的指数是____________，这样的方程叫做一元一次方程．2．等式的性质1：等式的两边都加上(或都减去)____________数或式，所得结果仍是等式．等式性质2：等式的两边都乘或除以同一个____________(除数不能为0)，所得结果仍是等式．3．解方程常见的变形有____________，____________，____________，____________，____________.二、防范点：1．利用等式性质2时，注意除数或式不能为0.2．移项要注意变位置，变符号两个变．3．去分母时不要漏乘没分母的单项式，去掉分母后，分子部分为一个整体，要添加括号．4．用分配律去括号时注意不要漏项，并注意每一项的符号变化．一元一次方程的概念例1 (1)下列方程中，是一元一次方程的是( )A ．x 2－4x ＝3B ．x ＋2y ＝1C ．x －1＝0D ．x －1＝1x(2)关于x 的方程(m －1)x n －2－3＝0是一元一次方程，则m ，n 应满足的条件为：m________，n________．【反思】根据一元一次方程的概念进行判断，注意除了考虑次数为1之外，还应考虑未知数的系数不为零．一元一次方程的解例2 (1)请写出一个未知数x 的系数为2，且解为x ＝－3的一元一次方程________．(2)若x ＝－2是关于x 的方程2x ＋3m ＋5＝0的解，则m 的值为________．(3)已知关于x 的方程9x －3＝kx ＋14有整数解，那么满足条件的所有整数k ＝__________．【反思】解决整数解的问题，关键是把另一个字母看做已知数，解关于x 的方程，最后再考虑解的整除性从而求出结果．等式的基本性质例3 (1)如果a ＝b ，那么下列式子不一定成立的是( )A ．a ＋c ＝b ＋cB ．c －a ＝c －bC ．ac ＝bcD .a c ＝b c(2)已知2x ＋y ＝0，且x ≠0，则y x的值为( ) A ．－2 B ．－12 C ．2 D .12(3)在括号内填写解方程中一些步骤的依据：2－x 4＝x 3＋1. 解：去分母，得：3(2－x)＝4x ＋12( )，去括号，得：6－3x ＝4x ＋12( )，移项，得：－3x －4x ＝12－6( )，合并同类项，得：－7x ＝6，系数化为1，得：x ＝－67( )． 【反思】使用等式性质2的时候要注意除以的数或式子不能为零．解一元一次方程例4 (1)解方程2x 0.3＋0.5－0.1x 0.2＝1时，把分母化为整数正确的是( )A .20x 3＋5－x 2＝10 B .20x 3＋5－x 2＝1 C .20x 3＋0.5－0.1x 2＝10 D .2x 3＋5－x 2＝1 (2)某同学在解关于y 的方程2y －13＝y ＋a 2－1去分母时，方程右边的－1没有乘6，结果求得方程的解为y ＝2，试求a 的值及此方程的解．(3)解方程：①5(x ＋8)－5＝6(2x －7)；②3y －14－1＝5y －76； ③0.1x －0.20.02－x ＋10.5＝3. 【反思】解方程各步骤中的易错点要引起重视，去分母时注意不漏乘，关注分数线括号的作用；去括号时注意符号的变化；当方程中分数的分子、分母含有小数时，一般要把小数化成整数，转化过程中注意用到分数的基本性质，不要和等式的性质混淆．1．下列各项正确的是( )A ．7x ＝4x －3移项得7x －4x ＝3B ．由2x －13＝1＋x －32去分母得2(2x －1)＝1＋3(x －3) C ．由2(2x －1)－3(x －3)＝1去括号得4x －2－3x －9＝1D ．由2(x ＋1)＝x ＋7去括号、移项、合并同类项得x ＝52．关于x 的方程|m －1|x |n －2|－13＝0是一元一次方程，则m ，n 应满足的条件为：m____________，n____________.3．定义新运算a ※b 满足：(a ＋b)※c ＝a ※c ＋b ，a ※(b ＋c)＝a ※b －c ，并规定：1※1＝5，则关于x 的方程(1＋4x)※1＋1※(1＋2x)＝12的解是x ＝____________.4．当x 取何值时，代数式3x ＋26和x －2是互为相反数？ 5．解方程：(1)1－3x －52＝1＋5x 3； (2)32[23(x 4－1)－2]－x ＝2.参考答案期末复习五 一元一次方程(一)【必备知识与防范点】1．整式 一个 一次 2.同一个 数或式 3.去分母 去括号 移项 合并同类项 两边同除以未知数的系数【例题精析】例1 (1)C (2)≠1 ＝3例2 (1)答案不唯一，如2x ＝－6 (2)－13 (3)8，10，－8，26例3 (1)D (2)A (3)等式性质2 去括号法则或分配律 等式性质1 等式性质2 例4 (1)B (2)a ＝13，y ＝－3. (3)①x ＝11； ②y ＝－1； ③x ＝5.【校内练习】1．D 2.≠1 ＝3或1 3.14．由题意得3x ＋26＋x －2＝0，解方程得x ＝109.5．(1)x ＝1 (2)x ＝－8。
新浙教版七年级数学上册单元测试：第五章一元一次方程综合复习题
一元一次方程综合复习题一、填空题：1、x 的方程(k+2)x 2＋4kx －5k ＝0是一元一次方程,则k ＝_______,方程的解为_______ 2、当y=______ _时，代数式y －3与3－5y 的值相等； 3．当x =_________时，代数式x －1与2x+10的值互为相反数.4．一项工程,甲独做m 天完成,乙独做比甲晚3天才能完成,甲、乙二人合作需要_______天完成.5、某工程队在修建高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直以缩短路程，这样的理论依据是_____ _．6、若x=2是关于x 的方程2x+3k －1=0的解，则k= 。
7、一件衣服的进价为a 元，将其价格提高40%后，再以九折出售，则这件衣服的售价是_______________。
（用含a 的代数式表示）8、一艘船在静水中的速度是27千米/时，水流的速度是3千米/时，则这艘船顺流的速度是_____________，逆流的速度是___________。
9、甲袋中有32个苹果，乙袋中有28个苹果，如果从乙袋中拿出x 个苹果，放到甲袋中，则甲袋中的苹果个数正好是乙袋中苹果个数的2倍，则列方程是______________。
10、莉莉的叔叔将打工挣来的25000元钱存入银行，整存整取三年，年利率为3.24%，三年后本金和利息共有 元（不计利息税）11、某化肥厂去年生产化肥3200吨，今年计划生产3600吨，今年计划比去年增产 %12、妈妈带小明到文具店买书包和文具盒，经过讨价还价，原价42元的书包打九折，原价18元的文具盒打八折。
他们一共要付 元13、一块地有6公顷，其中60%种大豆，其余的种玉米，种玉米 公顷14、一道数学题，全班同学24人做对，14人做错，12人不会做，正确率是15、一项工程甲单独做要20小时，乙单独做要12小时。
现在先由甲单独做5小时，然后乙加入进来合做。
完成整个工程一共需要多少小时？若设一共需要x 小时，则所列的方程为 。
浙教版七年级上册数学-一元一次方程复习教案(含答案)习题-基础提高题
例1：A，B两地相距60千米，甲、乙两人分别同时从 A，B两地骑自行车出发，同向而行。
甲每小时行驶的路程是乙每小时行驶路程的3倍多2千米，经过2小时甲追上乙。
问甲、乙两人的速度分别是多少？思考：什么叫相向而行、同向而行？（1）从“”能找到等量关系，设为x。
列方程为：例2：一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售，将亏本20元．如果按标价的8折出售，将盈利40元．求：（1）每件服装的标价是多少元？（2）为保证不亏本，最多能打几折？（2）从题中所给条件，你能找出哪些不变的量：，设为x。
第一次标价不变的量（用代数式表示）：第二次标价不变的量（用代数式表示）：列方程：例3：某车间加工一批零件，计划每天加工48个，实际每天比计划多加工12个，结果提前5天完成任务。
这批零件共有多少个？分析：从题中所给条件，容易找到不变的量：这批零件的总量。
如果直接设这批零件的个数为未知数，发现不好列方程。
我们不妨找与之相关的未知量，并用这个未知量表示这批零件的总量。
故可为x。
列方程：例4:甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇？（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？提示：对于相遇、追及问题，在条件太多不理解题意的情况下，可以考虑通过图解法，将问题给出的条件在图上直观表现出来。
例5: 某船从A地顺流而下到达B地，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时。
问：（1）若一共航行了6小时，逆流返回A地需要多少小时？（1）若B地有一艘货船，同时出发逆流而上去A地，3小时后两船相遇，已知A，B之间的路程为60千米，货船在静水中的速度是多少？（2）若到达B地后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共用了7小时，A、C两地之间的路程为10千米，求A、B两地之间的路程。
一元一次方程复习2[上学期]--浙教版-(2019年新版)
![一元一次方程复习2[上学期]--浙教版-(2019年新版)](https://img.taocdn.com/s3/m/fef570a8700abb68a882fb49.png)
公孙诡 卑梁大夫怒 凡直三十馀万金 堕肝胆 病久不死 国人以是不附厉公 因及国政 求人可使报秦者 子路为季氏宰 ”以六月中来至薪望之地 共王有宠子五人 问孔成子 而言於太后曰：“王恢首造马邑事 号其书曰“新语” 策同范蠡 杀者甚众 天子既闻公孙卿及方士之言 为砀郡长
及到 反古者不可非 穰；”齐人杀彭生以说鲁 生子三人 ”公曰：“一旦杀三卿 士卒罢敝 白公胜怒曰：“非郑之仇 与男等同 曰：“汝非豫让邪 明日为五万灶 至明之极也 或以为圣王遭事无不定 小馀八；雍轻车骑於雍南 与连和攻汉 故失其国 取美人子名之 非及乡时之士也 ”相如
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齐雍廪杀无知、管至父等而立齐桓公 封召公奭於燕 项羽至 难以久居 汉王为帝 学申商刑名於轵张恢先所 是年 三十五年 造诈成辞 ”然亦无所毁 隐公弟遂弑隐公自立 举国降 高帝少弟也 乃谢越王 君释之 齐人也 失亡多 则周道四达 定公立 战於汉中 疾申公 秦因大怒 势不可耳 宝
幸得免负檐 探续哀公卒时年而为元 於是邳郑使谢秦未还 父不能得之於子 还谒 莫敢徙 恐不能卒业 未有不然者也 投之棘门外 以訾为骑
郎 假杀郑子及其二子而迎厉公突 三年 ”乃行击陈留、外黄、睢阳 诏削二县 平原君闻之 乃请徙释之补谒者 安宁则长庠序 张耳、陈馀 陈馀乃复说陈王曰：“大王举梁、楚而西 此所谓十二经脉长短之数也 卻老 而泰山下祠五帝 主国政 亭长妻患之 出孔子东门 而股无胈 乃相与杀
2、要锻造一个直径为18厘米，高为30厘米的圆柱 形毛坏，应截取面积为15×15平方厘米的方钢___ ___长。（保留三个有效数字）。
3、甲乙两地相距410千米，一辆汽车从甲地开往 乙地、每小时行32千米，汽车开出半小时后，一 辆摩托车从乙地开往甲地，速度是汽车的1.5倍， 则摩托车开出_____小时后方能和汽车相遇。
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七年级数学上一元一次方程提高专题复习
(浙教版)
一元一次方程提高
重难点易错点辨析
题一：若关于x的方程3x2a=0和2x+3a13=0的解相同，则a=．
考点：“同解”方程
题二：解关于x的方程：ax=b．
考点：解的个数问题
金题精讲
题一：当为何值时，关于x的方程3+9x=7+6x的解比2+x=4x3的解大6？
已知关于x的方程5x+3=24的解是5x+3=2的解的3倍，求的值．
考点：近似“同解”问题
题二：若方程ax=2x+b有无数多个解，则
A．a≠0，b≠0B．a≠2，b=0
c．a=2，b=0D．a=0，b=0
考点：含参方程解的个数
题三：已知关于x的方程2a=x+3b有无数多个解，那么a25+b的值是多少？
考点：含参方程解的个数
题四：关于x的一元一次方程x+1=65x的解为整数,请求出整数所有可能的值．
考点：解为整数的含参方程
题五：若以x为未知数的方程x2a+4=0和3x+6=2x 3a的解的乘积为0，则a的值是多少？
考点：近似“同解”问题
思维拓展
题一：若关于x的方程|2x XX|+=0无解，|3x XX|+n=0只有一个解，|4x XX|+=0有两个解．请用“<”将、n、由小到大排列．
考点：用绝对值性质解决含参方程问题
一元一次方程提高
讲义参考答案
重难点易错点辨析
题一：3．题二：当a≠0时，x=b/a；当a=0，b=0时，无数个解；当a=0，b≠0时，无解．
金题精讲
题一：24/5；11/3．题二：c10/3．题四：±1和±5．题五：±2．
思维拓展
题一：<n<．。