传热学经典题及答案

−
⎛ ⎜
⎢⎣ ⎝
5 u2
'
⎞0.8 ⎟ ⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
=
0.0025
( ) 解得： u2 ' =
5 0.8 1−100 × 0.0025
= 7.164 m s
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5、无限大壁有一矩形直肋，黑度为 1、导热系数为λ，设肋基与无限大壁的温度均为 T0，空间为真空，远处为 0K 的黑体空间。试按一维问题列出求解该肋稳态温度分布 的微分方程与边界条件。
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11、推导出用算术平均温差代替换热器的对数温差的相对误差公式 ε = f (x) （ε为相
对误差，x 为由答题人归纳的某一特征量）。列出误差数据表。
x
1
2
3
4
解：
t1
如图所示：
设 Δtl = t1′ − t2′′
t2
t1
Δtr = t1′′ − t2′
t2
令
x
=
Δtl Δt r
LΔT
(2)
令 d2 = x 利用(1)、(2)式则有：
d1
ε
=
Q2 − Q1 Q1
⋅100%
=
[
1 2
(x
+ 1)
ln x x −1
−1]⋅100%
lim ∵
ln x
= lim
1 x
=1
x→1 x −1 x→1 1
∴x =1， ε = 0
d2 d1
ε
0.25 15.52
0.5 3.97
0.75
1.0
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10、一个晴朗的秋天后半夜，哈尔滨郊区草地上的草叶结成了一层白霜，问此时的 气温最高可能是多少度？已知：空气对草叶的放热系数 h=20W/m 2 ；草叶的黑度
ε = 0.8 ；此时的天空可看做为 100K 的黑体。计算中忽略草根与大地之间的导热。
解： 辐射换热量
qf
=
Q12 F1
1．试推导一维不稳态导热内部节点的有限差分迭代公式(注: 用向前差分法)
解：不稳态导热基本方程为：
∂T ∂2T
∂τ = a ∂x2
(1)
温度对时间的一阶导数，采用向前差分：
⎛⎝⎜
∂T ∂τ
⎞⎠⎟
i,k
=
Tk+1 i
−
Δτ
Tik
(2)
温度对 x 的二阶导数，采用中心差分：
⎛ ∂2T⎞ ⎝⎜ ∂x2 ⎠⎟
ln
R+δ R
+1 2πλB
ln
R + 2δ R+δ
，
R II
=
1 2πλB
ln
R+δ R
+
1 2πλA
ln
R + 2δ R+δ
RI
− R II
=
1 2π
⎡⎛ 1
⎢⎜ ⎣⎝
λA
−
1 λB
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜⎝
ln
R+δ R
− ln
R + 2δ R+δ
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
RI
− R II
=
1 2π
⎛1
⎜ ⎝
λA
若下底面 F1 温度为 T1=500K,黑度 ε1=0.9，侧面 F2 绝热，顶面 F3 敞口，容器外为绝
对温度为 300K 的黑体空间，求容器通过 3 面向外辐射的热流及 2 表面的温度。
3 2
1
答案：
1 ϕ1,2 A1
J2
1 ϕ3,2 A3
Eb1
1− ε1 ε1 A1
1 ϕ1,3 A1
1− ε3 ε3 A3
∑ R =R1 + 1 + 1 1
+ R3 = 57.95m−2 。
R1,3 R1,2 + R3,2
故容器通过
3
面向外辐射的热流为： Φ1,3
=
Eb1 − Eb3
∑R
= 53.23W
。
（2） Φ1,2
=
R1,3
+
R1,3 R1,2
+
R3,2
Φ1,3
=
37.76W
；
( ) Eb2 = J2 = Eb1 − Φ1,3 ⋅ R1 + Φ1,2 ⋅ R1,2 = 1907.29W ；
4
T2 = 100
Eb2 = 428.26K σ
）
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9、工程上常用平壁公式近似计算圆管壁导热问题。若圆管内、外径为 d1 与 d2，求当
把圆管看成是厚度为
1 2
(d2
−
d1 )
，面积为
π 2
(d2
+
d1 )
•
l
的平壁时，计算出的导
热量
Q’与精确值
Q
相比的相对误差公式ε=f
(
d1 d2
求解该不稳定温度场的微分方程与定解条件；（2）当时间趋于无穷大，过程稳定时， 微分方程与定解条件。
c ρ,λ tf
qv 0
hx
答案：微分方程和定解条件
ρc ∂t ∂τ
=λ
∂2t ∂x2
+ qv
x = 0时,∂t = 0 ∂x
( ) x = δ时, −λ ∂t ∂x
=
Tk i−1
−
2Tik Δx 2
+
Tk i+1
(3)
将(2)、(3)代入(1)得：
Tk+1 i
−
Tik
Δτ
=
a
Tk i−1
−
2Tik Δx2
+
Tk i+1
整理得:
Tk +1 i
=
aΔτ Δx2
(
Tk i−1
+
Tk i+1
)
+
(1
−
2
aΔτ Δx2
) Tik
aΔτ 令： Fo = Δx2 得：
T k +1 i
0.69
0
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4、 肋片管水、空气热交换器在某一工况下对应光壁面面积的传热系数为 K＝ 80W/m2·℃，空气侧流速为 5m/s，空气侧放热系数、肋化系数及肋效率的乘积 α2 ⋅ β ⋅η = 100 W/m2·℃。已知放热系数α2 与风速 u 的 0.8 次方成正比，问在其 它条件不变并假定肋效率也近似不变的条件下，要将传热系数提高到 K＝100 W/m2·℃。需将风速提高到多少 m/s。
则对数平均温差为：
Δt m
=
Δtl − Δtr ln Δtl
= Δtr
⋅ x −1 ln x
Δt r
算术平均温差：
Δt p
=
Δtl + Δtr 2
= Δ t r ⋅ ( x + 1)
相对误差
ε (x) = Δt p − Δtm = (x + 1) ln x −1
Δt m
2(x −1)
x
1
2
3
4
0.0000
∵K =
1
1 +δ +
1
α1 λ α2βη
改变工况时：
∵ K'=
1
+δ
1 +
1
α1 λ α2 ' βη
相减：
1 K
−
1 K'
=
1 βη
(1 α2
−
1 α2
) '
=
1 βηα 2
(1− α2 ) α2 '
=
1 βηα2
⎡ ⎢1 −
⎛ ⎜
⎢⎣ ⎝
u2 u2
'
⎞0.8 ⎟ ⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
=
1 100
⎡ ⎢1
增大
增大
3、工程中可用平壁导热公式来进近似地计算园筒壁导热。即将内外直径
为
d1、d2
的园筒壁近似地看做是厚度为
1 2
(d2
−
d1 )
,面积为
1 2
π
(d2
+
d1 )l
的平壁。试推导这种计算方法的误差，给出 ε = Q2 − Q1 ⋅100% (Q1 为园筒、
Q1
Q2 为平壁)的计算公式，并添写下表：
=h
tδ
−tf
τ = 0时,t = t0
τ → ∞时, ∂t = 0 ∂τ
时间无穷大之后变为：
λ
∂ 2t ∂x 2
+
qv
=
0
x = 0时 , ∂t = 0 ∂x
( ) x = δ 时 , − λ ∂ t = h ∂x
tδ − t f
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14. 2 表面互相垂直，且垂直于纸面方向无穷长，其尺寸如右图。1 表面为 T1=300K
=
Uσb 2λ A
(2T
4
−
T04
)
边界条件为：x=0:
T=T0;
x=L:
−λ ( ∂T
∂x
)x=L
=
σ bT 4
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6、横掠平板边界层如图。1-1 为边界层外不远处一平行面。已知边界层内速度分布
为：
wx
=
w∞
[
3 2
y δ
−
1 2
( y )3] δ
y求流出 1-1 面的流量 V 及 x0 点的局部摩擦系数 Cfx。
的黑体，2 表面为 ε = 0.4 ，T2=0 K 的灰体，无穷远空间为 0 K 的黑体。求垂直于纸