经济数学下及答案

练习一 行列式的概念、基本性质及计算 一 、选择题1、设(,1,2,3)ij A i j =是三阶行列式中元素ij a 的代数余子式，则（ ）时，必有1312323330j j j a A a A a A ++=（ ）（A ）j=1 (B) j=2 (C) j=3 (D) j=1 或 j=22、111213111112132122232121222331323331313233421,4242a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a -===--1如果D ,那么1D ＝（ ） （A ） 8 (B) -12 (C) -4 (D) 24 3、12021k k -≠-的充要条件是（ ）4、 ＝（ ）A 、24B 、-24C 、42D 、0 二. 计算下列三阶行列式:1) 241130421--; 2) 32001753-;三. 计算下列行列式:1) 0000000005544332222211111b a b a b a e d c b a e d c b a ; 2)x y yx y x yx D n 00000000000=; 四. 利用行列式的性质计算下列行列式1) 2605232112131412-; 2) efcf bf de cd bd ae ac ab ---;3) 2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a五. 把下列行列式化为上三角形行列式, 并计算其值1) 1502321353140422-----; 2) 2164729541732152-----六. 计算下列n 阶行列式1) 12125431432321-n n n2) a bbba b a3)122 (2222)....2..........22..1222..2n D n n=-七. 证明：练习二 克莱姆法则一 选择题1 如果304050x ky z y z kx y z +-=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩有非零解，则（ ）（A ） k=0 (B) k=1 (C) k=4 (D) k=-3或k=-12 当（ ）时02020kx z x ky z kx y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 仅有零解二 计算题1 用克莱姆法则解下列方程组.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++10329253142321321321x x x x x x x x x(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++24324322256511322121432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x2. 如果齐次线性方程组有非零解, k 应取什么值?3. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组有非零解?练习三 矩阵的概念及运算一 多项选择题1、有矩阵322333,,,A B C ⨯⨯⨯下列（ ）运算可行（A ） AC （B ） BC （C ） ABC （D ）AB BC - 2、,A B 均为n 阶矩阵，当（ ）时22()()A B A B A B +-=- （A ） A E = （B ） 0B = （C ） A B = （D ） AB BA =3、,,,A B C E 为四阶矩阵，E 为单位矩阵，若ABC E =，则下列各式中总是成立的有（ ）（A ）BCA E = （B ） ACB E = （C ） CAB E = （D ） CBA E = 二 计算题1 已知310121342A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭和102111211B ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，求满足方程32A X B -=中的X2 求A=1000()00nn N λλλ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭3. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=212121A , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=212234B 求: 1) 3A -2B ;2) 若X 满足A T +X T =B T , 求X .. 4. 计算下列矩阵的乘积:1) []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-213121; 2) []214321-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡;3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-103110021212321; 4) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡011011120101130213 5. 设求: 1) (A +B )(A -B ); 2) A 2-B 2.比较1)和2)的结果, 可得出什么结论? 三 证明题1. 如矩阵AB =BA , 则称A 与B 可交换, 试证:1) 如果B 1, B 2都与A 可交换, 那么B 1+B 2, B 1B 2, 也与A 可交换;2) 如果B与A可交换, 那么B的k(k>0)次幂B k也与A可交换.2. 如矩阵A=A T, 则称A为对称矩阵.设A,B都是n阶对称矩阵, 证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.练习四逆矩阵，矩阵的秩一选择题1 若,,A B C是同阶矩阵，且A可逆，下式（）必成立（A）若AB AC=，则B C=（B）若AB CB=，则A C=（C）若0AB=，则0B=（D）若0BC=，则0B=2 设A为非奇异对称矩阵，则（）仍为对称矩阵（A）T A（B）1A-（C）3A（D）TAA3 当ad bc≠时，1a bc d-⎛⎫=⎪⎝⎭（）（A）d cb a-⎛⎫⎪-⎝⎭（B）1d bc aad bc-⎛⎫⎪--⎝⎭（C）1d bc abc ad⎛⎫⎪--⎝⎭（D）1d cb aad bc-⎛⎫⎪--⎝⎭4 已知102013213A⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则（）（A）A为可逆矩阵（B）T A A=（C）1AA-为对称矩阵（D）000231 010013 100102A⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5 设A为m n⨯矩阵，且()r A r m n=<<，则（）（A）A中r阶子式不全为零（B）A中每一个阶数大于r的子式皆为零（C）A经初等变换可化为00RI⎛⎫⎪⎝⎭，I为单位矩阵（D）A不可能是对称矩阵二计算题1. 求矩阵A的伴随矩阵A*, 并求A-1.2. 设A为三阶方阵, A*是A的伴随矩阵, 且|A|=1/2, 求行列式|(3A)-1-2A*|的值.3. 若n阶矩阵A满足A2-2A-4I=0, 试证A+I可逆, 并求(A+I)-1.4. 判别下列矩阵是否初等矩阵? 1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100020001, 2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100, 3) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010100201, 4) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1004100015. 求下列矩阵的逆矩阵:1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=285421122A ; 2)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=111111*********1A 3)6. 解下列矩阵方程, 求出未知矩阵X .1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡12643152X 2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--132321433312120X7. 求矩阵X 满足AX =A +2X , 其中8*. 利用分块的方法, 求下列矩阵的乘积:1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100110201110021; 2) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡d d c c b b a a 000000010001010001000000 三 证明题1. 设A 为n 阶可逆阵, A 2=|A |I , 证明: A 的伴随矩阵A *=A .2设,,,A B C D 均是矩阵，且det 0A ≠，AC CA =，试证：det det()A B AD CB C D ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3. 设A ,B 均为n 阶方阵, 且)(21I B A +=, 证明: A 2=A 的充分必要条件是B 2=I .练习五 n 维向量及线性相关性一 选择题1 有向量组12(1,0,0).(0,0,1)αα==，以下是它的线性组合的是（ ）（A ）（2，0，0） (B) （－3，0，4）(C) （1，1，0） (D) （0，－1，0） 2 向量组123,,ααα线性相关，则（）（A ）123,,ααα 中必有零向量 (B)12,,αα必线性无关(C) 12,αα必线性相关(D) 1234,,,αααα必线性相关1234(,,,αααα的维数相同） 3 向量组12,,s ααα⋅⋅⋅的秩不为零的充分必要条件是（ ）（A ）12,,s ααα⋅⋅⋅中至少有一个非零向量 （B ）12,,s ααα⋅⋅⋅全是非零向量 （C ）12,,s ααα⋅⋅⋅线性无关 （D ）12,,s ααα⋅⋅⋅中有一个线性无关的部分组 二 计算题1. 设α1=(1,1,1), α2=(-1,2,1), α3=(2,3,4), 求β=3α1+2α2-α32. 设3(α1-α)+2(α2+α)=5(α3+α), 求α, 其中a 1=(2,5,1,3) a 2=(10,1,5,10)a 3=(4,1,-1,1)3. 判数下列向量是线性相关还是线性无关. 1) α1=(1,1), α2=(2,2);2) α1=(2,3), α2=(1,4), α3=(5,6);3) α1=(1,1,1), α2=(2,1,3), α3=(0,1,2);4) α1=(a 11,0,0,…,0), α2=(0,a 22,0,…,0),…,αn =(0,0,…,a nn ); 4. 设β1=α1+α2, β2=α2+α3, β3=α3+α4, β4=α4+α1,且 向量组α1 α2 α3α4线性无关证明：向量组β1,β2,β3,β4线性相关.5. 设向量组α1,α2,…,αs 线性无关, 证明向量组α1,α1+α2,…,α1+α2+…+αs 也线性无关.6. 设α1,α2,α3是一组3维向量, 已知3维单位坐标向量 e 1=(1,0,0), e 2=(0,1,0), e 3=(0,0,1)能由α1,α2,α3线性表出, 证明α1,α2,α3线性无关.练习六 向量组的秩1. 求下列向量组的秩, 并求出它的一个极大无关组:1) α1=(2,0,1,1), α2=(-1,-1,0,1), α3=(1,-1,0,0),α4=(0,-2,-1,-1) 2) α1=(1,2,1,3), α2=(4,-1,-5,-6), α3=(1,-3,-4,-7) 2. 求下列矩阵的秩1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2110154214321A ; 2)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=02301085235703273812A 3. 证明: 等价的向量组有相同的秩.4. 设向量β可以由向量组α1,α2,…,αr -1,αr 线性表出, 但向量β不能由向量组α1,α2,…,αr -1线性表出, 试证: 向量组α1,α2,…,αr -1,αr 与α1,α2,…,αr -1,β有相同的秩. 5*．设R 为全体实数的集合, 并且设}0,,,|),,,({11211=++∈==n n n x x R x x x x x X V 满足,}1,,,|),,,({11212=++∈==n n n x x R x x x x x X V 满足.问V 1,V 2是否向量空间? 为什么?6*. 在R 3中, 设S 1是由α1=(1,1,1),α2=(2,3,4)生成的子空间, S 2是由β1=(3,4,5),β2=(0,1,2)生成的子空间, 证明S 1=S 2, 并说出该子空间的维数.练习七线性方程组1. 用Gauss消元法解下列线性方程组.1)⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=++-=-+333693132472321321321xxxxxxxxx2)⎩⎨⎧-=-+=+-223252321321xxxxxx3)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-=--=+5421232433214243241xxxxxxxxxx4)⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+338343232132121xxxxxxxx2. 确定下列线性方程组中k的值满足所要求的解的个数.1) 无解: 2) 有唯一解:3) 有无穷多解:4. 讨论以下述阶梯矩阵为增广矩阵的线性方程组是否有解; 如有解，区分是唯一解还是无穷多解.1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---323212)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--413212313)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--4324214)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--11321215. 对给定方程组的增广矩阵施行行初等变换求解线性方程组..1)⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=+-3284432253yxyxyx2)⎩⎨⎧=--+=--+302859322207124wzyxwzyx3)⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=--+=+-+22224212121211 2wzyxwzyxwzyx6. 对给定齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换求解下列方程组.1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+=+-22zyxyxzyx2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+++2222wzywyxwzyx7．设一线性方程组的增广矩阵为求α的值使得此方程组有唯一解.8. 设一线性方程组的增广矩阵为1) 此方程有可能无解吗? 说明你的理由.2) β取何值时方程组有无穷多解?9. 一城市局部交通流如图所示.(单位: 辆/小时) 1) 建立数学模型2) 要控制x 2至多200辆/小时, 并且x 3至多50辆/小时是可行的吗?练 习 八 向量的内积1. 试用施密特法把下列向量组正交化:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=931421111) , ,(321a a a ; (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=011101110111) , ,(321a a a 2. 下列矩阵是不是正交阵:(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---121312112131211; (2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------979494949198949891. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵.练习九 特征值与特征向量1. 求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----201335212; (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛633312321;2、已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求|A *+3A +2E |.3、已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 求|A 3-5A 2+7A |. 4 、设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同. 5 设A 2-3A +2E =O , 证明A 的特征值只能取1或2. 6、 设A 为正交阵, 且|A |=-1, 证明λ=-1是A 的特征值.练习十 相似矩阵1、设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=50413102x A 可相似对角化, 求x .2、已知p =(1, 1, -1)T是矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量.(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值; (2)问A 能不能相似对角化？并说明理由.3、试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022; (2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----542452222.4、设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λy 45相似, 求x , y ; 并求一个正交阵P , 使P -1AP =Λ.5、设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T , p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1, 1, 0)T , 求A .6、设3阶对称阵A 的特征值为λ1=1, λ2=-1, λ3=0; 对应λ1、λ2的特征向量依次为p 1=(1, 2, 2)T , p 2=(2, 1, -2)T , 求A .7、设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=122221212A , 求ϕ(A )=A 10-6A 9+5A 8.8. 在某国, 每年有比例为p 的农村居民移居城镇, 有比例为q 的城镇居民移居农村, 假设该国总人口数不变, 且上述人口迁移的规律也不变. 把n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为x n 和y n (x n +y n =1). (1)求关系式⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛++n n n n y x A y x 11中的矩阵A ;(2)设目前农村人口与城镇人口相等, 即⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛5.05.000y x , 求⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y x .练习十一 二次型1. 用矩阵记号表示下列二次型: (1) f =x 2+4xy +4y 2+2xz +z 2+4yz ; .(2) f =x 2+y 2-7z 2-2xy -4xz -4yz ;(3) f =x 12+x 22+x 32+x 42-2x 1x 2+4x 1x 3-2x 1x 4+6x 2x 3-4x 2x 4. 2. 写出下列二次型的矩阵:(1)x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1312)(T f ; (2)x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=987654321)(T f . 3、求一个正交变换将下列二次型化成标准形: (1) f =2x 12+3x 22+3x 33+4x 2x 3;(2) f =x 12+x 22+x 32+x 42+2x 1x 2-2x 1x 4-2x 2x 3+2x 3x 4.4、用配方法化下列二次形成规范形, 并写出所用变换的矩阵. (1) f (x 1, x 2, x 3)=x 12+3x 22+5x 32+2x 1x 2-4x 1x 3; (2) f (x 1, x 2, x 3)=x 12+2x 32+2x 1x 3+2x 2x 3; (3) f (x 1, x 2, x 3)=2x 12+x 22+4x 32+2x 1x 2-2x 2x 3. 线性代数试题 (一) 一、 填空（每题2分，共20分） 1. N (n12…(n -1))= 。