数学方法论___论文

（关于“方差”的理解）
摘要：本文主要讲述概率统计中的方差以及其意义和方差在人们生活中的应用，同时还会介绍方差分析法，让大家更详细的了解方差，增加同学们对数学学习的兴趣。

关键词方差协方差方差分析法
1.方差简介
方差的定义：设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]^2}存在，则称E{[X-E(X)]^2}为X 的方差，记为D(X)或DX。

即D(X)=E{[X-E(X)]^2}称为方差，由方差定义的数学表达式可以看出，方差实际上是随机变量X与它的平均值E(X)离差平方的期望值，它的大小自然可以衡量随机变量的稳定状态，所以方差反映了随机变量的变异特征。

对于一个随机变量来讲，方差D(X)是一个稳定常数，不再是随机的了。

由随机变量函数的数学期望计算公式可得:
(1)若X为离散型随机变量，且X的概率分布列为P(X=xn)=pn,n=1,2,...,则D(X)= E(X-E(X))2
(2)若X为连续型随机变量,X~ f (x),则D(X)= E(X-E(X))2
方差的性质：
(1)如果C是一个常数，则D(X)；
(2)如果C是一个常数，则D(X+C)=D(X)；
(3)如果a是一个常数，则D(aX+C)=a^2D(X)；
(4)设X与Y相互独立，则D(X+-Y)=D(X)+D(Y)；
(5)设X与Y是两个随机变量，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}，方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。

若X的取值比较集中，则方差D(X)较小；若X 的取值比较分散，则方差D(X)较大。

因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。

下面是一些概率统计中常见的随机变量的期望和方差随机变量X。

【1】
X服从(0—1)分布，则E(X)=p D(X)=p(1-p)
X服从二项分布，即X~B(n,p)，则E(x)=np, D(X)=np(1-p)
X服从泊松分布，即X~ π(λ),则E(X)= λ，D(X)= λ
X服从均匀分布，即X~U(a，b),则E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)^2/12
X服从指数分布，即X~e(λ), E(X)= λ^(-1)，D(X)= λ^(-2)
X 服从正态分布，即X~N(μ，σ^2), 则E(x)=μ，D(X)=σ^2
X 服从标准正态分布，即X~N(0,1), 则E(x)=0, D(X)=1
2方差的应用
随机变量取值的稳定性是判断随机现象性质的十分重要的指标。

例如某地区地震仪上描出的曲线如果起伏很大，这说明该地区地下活动异常，是地震的预兆；某天股市中股票价格出现异常波动，这就预示着社会经济将有重大事件发生；一台仪器在测量某一元件的某
数量指标时，若在多次测量中数据的差异很大，则说明该仪器存在质量问题，需修理或更新了。

因此，如何衡量随机变量的稳定特征就是通过方差的应用。

【2】
3协方差
对随机变量(X.Y),若E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在，则称它为X与Y的协方差，记为Cov(X.Y),即Cov(X.Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。

从上述定义中可见，当X=Y,即它们是同一个随机变量时，有Cov(X.Y)=E[X-E(X)]^2=D(X)此时，协方差就成为该随机变量的方差。

因此，可以说方差是协方差的一个特例，而协方差是方差的推广。

既然方差反映了随机变量本身的离散程度，那么用协方差反映俩个随机变量之间的“离散”程度也就很自然了。

协方差主要有以下性质
(1)COV(X.Y)=E(XY)-E(X)E(Y);
(2)COV(X.Y)=COV(Y.X);
(3)(3)COV(aX+bY)=abCOV(X.Y),a,b为常数；
(4)(4)COV(X1+X2.Y)=COV(X1.Y)+COV(X2.Y)。

【3】
4方差分析法(Analysis of Variance，简称ANOVA)
什么是方差分析法？
方差分析法（ANOVA）又称“变异数分析”或“F检验”，是R.A.Fister发明的，用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。

由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动的原因可分为两类，一是不可控制的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。

一个复杂的事物，其中往往有许多因素相互制约又相互依存。

方差分析法的目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用，以及显著影响因素的最佳水平等。

方差分析是在可比较的数组中，把数据间的总的“变差”按各指定的来源进行分解的一种技术。

对变差的度量，可采用离差平方和。

方差分析方法是从总离差平方和分解出可追溯到指定来源部分离差平方和，这是一个很重要的思想。

经过方差分析若拒绝了检验假设，只能说明多个样本总均数不相等或不全相等。

若要得到各数组间更详细的信息，应在方差分析的基础上进行多个样本均数的两两比较。

（1）多个样本均数间两两比较
多个样本均数间两两比较常用q检验的方法，即Newman-kueuls法，其基本步骤为：建立检验假设—样本均数排序—计算q值—查q界值表判断结果。

（2）多个实验组与一个对照组均数两两比较
多个实验组与一个对照均数间两两比较，若目的是减小第二类错误，最好选用最小显著差法，（LSD法）；若目的是减小第一类错误，最好选用新复极差法，前者考查t界均值，后者查界q值表。

方差分析的基本思想
基本思想：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控制因素对研究结果影响力的大小。

下面我们用一个简单的例子来说明方差分析的基本思想：
例如某克山病区测得11例克山病患者和13名健康人的血磷值（mmol/L）如下：
患者：0.84 1.05 1.20 1.20 1.39 1.53 1.67 1.80 1.87 2.07 2.11
健康人：0.54 0.64 0.64 0.75 0.76 0.81 1.16 1.20 1.34 1.35 1.48 1.56 1.87
问该地区克山病患者与健康人的血磷值是否不同？
从以上资料可以看出，24个患者与健康人的血磷值各不相同，如果用离均差平方和（ss）描述其围绕总均数的变异情况，则总变异有以下两个来源：
组内变异，即由于随机误差的原因使得各组内部的血磷值各不相同等；
组间变异，即由于克山病的影响使得患者与健康人组的血磷值均
数大小不等。

而且ss总=ss组间+ss组内v总=v组间+v组内
如果用均方（即自由度v去除离均差平方和的商）代替离均差平
方和以消除各组样本数不同的影响，则方差分析法就是用组内均方去除组间均方的商（即F 值）与1相比较，若F值接近1，则说明各组均数间的差异没有统计学意义，若F值远大于1，则说明各组均数间的差异有统计学意义。

实际应用中检验假设成立条件下F值大于特定值的概率可通过查阅F界值表（方差分析用）获得。

方差分析应用条件
应用方差分析对资料进行统计推断之前应注意其使用条件，包括：
（1）可比性。

若资料中各组均数本身不具有可比性则不适合用方差分析。

（2）正太性。

即偏态分布资料不适合用方差分析。

对偏态分布资料应考虑用对数变换，平方根变换，倒数变换，平方根反正弦变换等变量变换方法变为正态或接近正态后在进行方差分析。

（3）方差齐性。

即若组间方差不齐则不适用方差分析。

多个方差的齐性检验可用Bartlett法，它用卡方值作为检验统计量，结果判断需查阅卡方界值表。

方差分析主要用于：
（1）均数差别的显著性体验
（2）分离各有关因素并估计其对总变异的作用
（3）分析因素间的交互作用
（4）方差齐性检验
方差分析的主要内容
根据资料设计类型的不同，有以下两种方差分析的方法：
（1）对成组设计的多个样本均数比较，应采用完全随即设计的方差分析，即单因素方差分析。

（2）对随机区组设计的多个样本均数比较，应采用配伍组设计的方差分析，即两因方差分析。

两类方差分析的基本步骤相同，只是变异的分解方式不同，对于成组设计的资料，总变异分解为组内变异和组间变异（随机误差），即：SS总=SS组间+SS组内，而对配伍组设计的资料，总变异除了分解为处理组变异和随机误差外还包括配伍组变异，即：SS总=SS处理+SS 配伍+SS误差。

整个方差分析的基本步骤如下：
（1）建立检验假设HO：多个样本总体均数相等；H1：多个样本总体均数不相等或不全等。

检验水准为0.05
（2）计算检验统计量F值。

（3）确定P值并作出推断结果。

参考文献
[1]于义良，安建业，王全文等概率统计及其应用[m]2010;89
[2]于义良，安建业，王全文等概率统计及其应用[m]2010;99
[3]于义良，安建业，王全文等概率统计及其应用[m]2010;90
数学方法论课的认识
通过对这门课程的学习，我学到了很多，以前觉得数学是枯燥无味的，现在则更多的通过此门课程发现了数学的可趣之处，课堂上老师总会讲些有关数学的奇妙发法，让人觉得很不可思议，而且老师会在课堂上发视频给我们看，陈省身的故事，钱学森的故事……都深深的感染了我，最后几节课上同学们的讲解更让我感到了数学的奇妙，原来它还有那么多和我们生活息息相关的地方，将数学融入生活，用数学的方法去面对生活，你会发现枯燥的生活原来也可以变得很有趣，这门课程带给我们的并不仅仅是几种数学方法，更让我们学习到了如何巧用数学已达到事半功倍，同时在使用这些方法时会帮助我们解决很多生活难题，这就是我对这门课程的认识。

另外还有两点建议要提，第一，老师的那个麦克风声音真的很小，总感觉听不太清里面好像有杂音；第二，老师应该多放些那些数学名家们从小艰辛求学的视频，真的很有激励作用；真心的希望老师能采纳。