刚体动力学解析

完成积分得 3gsin
l
A
o
C
B
讨论: (1)当=0时， =3g/2l， =0 mg
(2)当=90°时， =0， 3g
l
18
例题1.7 匀质圆盘(m、R)以o转动。将
盘置于粗糙的水平桌面上，摩擦系数为µ， 求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？
解 摩擦力矩:
M
R
0
r
g
m
R
2
2rdr
2 mgR
mR2
R
dm
r dr
14
M I 刚体定轴转动定理
例题1.3 一转轮在20N.m的外力矩作用下， 10s内转速均匀地由零增大到100rev/min。撤去 外力矩，它经100s停止。求转轮的转动惯量。
解 由 M=I , = o+ t
有外力矩时,
20-2M0=r=II1，1，1=1=/t/1t1(因(因o=o=0)0) (1)
撤去外力矩时,
-Mr=I2 , 2=- /t2
(2)
代入t1=10s , t2=100s , =(100×2)/60=10.5rad/s,
得
I=17.3kg.m2 。
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例题1.4 匀质柱体(M、R) 边缘用细绳 挂一质量为m的物体。求柱体的角加速度 及绳中的张力。
解 对柱体，由M=I有
mg.R=I
Mo
mg
l cos
6
A
Io
1 ml 2 12
m( l )2 6
1 9
ml 2
Mo 3g cos
Io 2l
2 o2 2
o
B
C
mg
oC l l l 236
17
Mo 3g cos d
Io 2l
dt
又因
d
dt
d d
d
dt
d d
3g cos
2l
d
3gcosd
0
0 2l
2.定轴转动的描述
d , d
dt
dt
r
定轴转动刚体上各质点的线
量(速度、加速度)不同。 但各质点的角量(如角位移、
角速度和角加速度)相同。
3
若角加速度 =c(恒量)，则有
o t
ot
1 2
t 2
r
2 o2 2
4
二. 刚体的定轴转动
1.力矩
M
力F 对o点的力矩定义为：
M=r×F
3
I 1 mR 2 2
水平桌面
o
dr r
M 4g
I
3R
19
M 4g
I
3R
求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？
由= o+ t = 0得
t o 3RO 4g
又由2-o2=2， 水平桌面
停下来前转过的圈数为
o
dr r
N o2 3o2 R 2 2 16 g
(1)轻杆连成的正三角形顶点各有一质点
m，此系统对通过质心C且垂直于三角形平面的
轴的转动惯量为
Ic 3 mr 2 ml 2 ,(r
3 l) 3
m
通过o点且垂直于三角形
l
l
平面的轴的转动惯量为
·c
mr
m
IO= ml2+ml2 =2ml2
o
l
=ml2 +(3m)r2=2ml2
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(2)用轻杆连接五个质点, 转轴垂直于质 点所在平面且通过o点, 转动惯量为
IO=m.02 +2m(2l2) +3m(2l)2 +4ml2 +5m(2l2) =30ml2 2m
l
ml
l 3m
o
4m
l
5m
12
例题1.2 质量连续分布: I r 2dm
(1)均质细直棒(质量m、长l)，求通过质心C且
垂直于棒的轴转动的转动惯量。
解
记住！
l
Ic
2 x2m dx 1 ml2
(1)质量离散分布刚体
I=Δmi ri2
即：刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量 乘以它到转轴距离的平方的总和。
(2)质量连续分布刚体
I r 2dm
式中: r为刚体上的质元dm到转轴的距离。
8
3.平行轴定理
Io=Ic+Md2
Ic 通过刚体质心的轴的转动 惯量
M 刚体系统的总质量 d 两平行轴(o,c)间的距离
绳中张力Tmg！ 用隔离体法:
对m: mg-T=ma
对柱： TR=I a=R
解得 =2mg/[(2m+M)R]
T=Mmg/(2m+M)
M •R
T m
mg
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例题1.6 均匀细棒(m、长l)AB可绕o轴转 动，Ao= l/3。求棒从水平位置静止开始转过
角 时的角加速度和角速度。
解 重力集中在质心，其力矩为
Firi sini fijri sini miri2
Z
i
合外力矩
M
fij
o
ri
i
mii
Fi
i j
合内力矩
0
i
I(转动惯量)
M I
刚体定轴转动定理
6
三. 转动惯量 1.转动惯量的物理意义
M
I
F ma
质量m—物体平动惯性大小的量度。
转动惯量I—物体转动惯性大小的量度。
7
2.转动惯量的计算
Io d Ic
o
C M
9
I r2dm
(r r )dm
V
V
V (rc V (rc
Ic
l 2
)(rc 2l
rc
Ml 2来自百度文库 2l
l )dm
l 2 )dm
V rcdm
Ic是转轴过质心的转动惯量，于是
I I Ml2 c
Ic
I
l
rc
r
l
=0
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例题1.1 质量离散分布: I=Δmi ri2
o
力矩的大小: 方向:
M =F rsin
rF
=Fd
d
r
F
注意: 对定轴转动, (1)只有 在垂直于转轴平面内的力才会
Mz
F
产生力矩; 平行于转轴的力是
不会产生力矩的。
(2)力矩的方向沿转轴。
5
2.刚体定轴转动定理
mi: 切向方程:
Fi sini fij sini miai miri
Firi sini fijri sini miri2
1.刚体的平动和转动
如果刚体内任何两点的连线在运动中始终保持平 行，这样的运动就称为平动。
平动刚体内各质点的运动状态完全相同。
平动刚体可视为质点。质心是平动刚体的代表。
2
如果刚体内的每个质点都绕同一直线(转 轴)作圆周运动，这种运动便称为转动。
转轴固定不动定轴转动。 刚体一般运动可看作是平
动和转动的结合。
l l
12
2
C dm o x dx x
若棒绕一端o转动，由平行轴
定理， 则转动惯量为
o
Io
1 12
ml
2
m(
l 2
)2
1 3
ml 2
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(2)均质细圆环(m, R)对中心轴的转动 惯量:
Ic
R2dm mR2
环
(3)均质圆盘(m,R)对中心轴 的转动惯量:
Ic
R
r
0
2m
R 2
2rdr
1 2
第3章
Dynamics of Rigid Body
刚体力学基础
(6)
力矩的瞬时、时间、空间累积效应
1
§3.1 力矩的瞬时效应刚体的定轴转动 一. 刚体运动学
刚体—运动中形状和大小都保持不变的物体。 (a)刚体上各质点之间的距离保持不变。 (b)刚体有确定的形状和大小。 (c)刚体是由许多质点(质元)组成的质点系。