刚体动力学解析
刚体动力学
●
刚体基本动力学量
现在取 Axyz 坐标系为一个平动参考系 , 则刚体上的 R 点相对速度为 v r R =× R
dV
【定理】刚体相对动量为 p r =× mt R C
证明：pr =∫ v r R dV =∫ × R R dV
=×∫ R R dV =×m t RC（证毕）
⇒ L'A =∫ R2 I − R R ⋅ R dV =[∫ R2 I − R R R dV ]⋅
= J A⋅
（证毕）
1 1 ' 【定理】刚体相对动能为 T r = ⋅L A= ⋅J A⋅ 2 2
证明： T r=
1 1 2 v r R dV = ∫ v r⋅v r R dV ∫ 2 2 1 1 × R ⋅ v R dV = R × v r ⋅ R dV ∫ ∫ r 2 2
【推论】匀质刚体如果有一过 A 的镜像对称面，则过 A 且 与该镜像面垂直的轴是主轴；如果过 A 有两个正交的 镜像面，则两镜像面过 A 点的法线以及镜像面的交线 构成主轴系；匀质旋转体的旋转轴和任意与之正交的 两正交轴构成主轴系 . （请自己根据定义证明） 【定理】假定角速度在主轴坐标系下表示为
d d' J A⋅ 是矢量， J A⋅ = J A⋅× J A⋅ dt dt
⇒⋯⇒ J A⋅ = J XZ X J YZ Y J ZZ Z = ˙ Z ˙
d e ⋅M A ⇒ Z⋅ J A⋅= J ZZ = ≡M Z ¨ Z dt
2
J lk = J kl
（证毕）
因为：
lk =kl , Rl R k = Rk Rl
注：一般把 Jlk 称为惯量系数，由于对称性，只有 6 个是独立的 注：如果 AXYZ 不是固连在刚体上的坐标系，则 R 相对 AXYZ 有 转动，那么在 AXYZ 上看到的质量分布一般会随时间改变， 故在这个坐标系中惯量系数依赖于时间 . 注：如果 AXYZ 不是固连在刚体上的坐标系，在少数有良好对称性 的情况下 AXYZ 上看到的质量分布可能不随时间改变，此时在 这个坐标系中惯量系数是常数 .
第7.5节刚体平面运动的动力学
第7.5节 刚体平面运动的动力学7.5.1 10m 搞得烟筒因底部损坏而倒下来，求其上端到达地面时的线速度。
设倾倒时底部未移动。
可近似认为烟筒为均质杆。
解：烟筒的长度l =10m 。
设烟筒上端到达地面的瞬间，烟筒绕其底部的转动角速度为ω。
在倾倒过程中，只受重力作用，做的功为：mg ⋅½l 。
由刚体定轴转动的动能定理：lgmlI I l mg 323122121=∴==⋅ωω烟筒上端到达地面时的线速度为：s m gl l v /2.17108.933≈⨯⨯===ω7.5.2 用四根质量各为m 长度各为l 的均质细杆制成正方形框架，可围绕其中一边的中点在竖直平面内转动，支点O 是光滑的．最初，框架处于静止且AB 边沿竖直方向，释放后向下摆动，求当AB 边达到水平时，框架质心的线速度C v。
以及框架作用于支点的压力N ．解：先求正方形框架对通过其质心且与其垂直的转轴（质心轴）的转动惯量：框架的质心位于框架的中心，即两条对角线的交点上。
每根细杆对其本身的质心轴的转动惯量：21210ml I =，细杆的质心与框架的质心的距离为l 21，由平行轴定理：2342210])([4ml l m I I c =⋅+⋅=再由平行轴定理，得框架对通过0点的转轴的转动惯量：237221)(4ml l m I I c =⋅+=(1)求框架质心的线速度v c框架在下摆过程中，只有重力做功，机械能守恒。
选取杆AB 达到水平时框架质心位置位势能零点，得：gll v l h m M I Mgh c lgc c 7321712212214===∴===ωωω（2）求框架对支点的压力N以框架为研究对象，它受到重力M g 和支点的支撑力N 的作用，由质心运动定理：c a M g M N =+取自然坐标系，τ沿水平方向，n 铅直向上，得投影方程：βτττc n c c n n Mh Ma N mgmg mg N mg l gl m h v M Ma Mg N n===+=⇒=⋅===-7372472421732744:ˆ:ˆ在铅直位置时，外力矩为0，故角加速度β=0，==〉N τ = 07.5.3 由长为l ，质量各为m 的均质细杆组成正方形框架，其中一角连于光滑水平转轴O ，转轴与框架所在平面垂直．最初，对角线OP 处于水平，然后从静止开始向下自由摆动．求OP 对角线与水平成450时P 点的速度，并求此时框架对支点的作用力．解：先求正方形框架对通过其质心且与其垂直的转轴（质心轴）的转动惯量：框架的质心位于框架的中心，即两条对角线的交点上。
《刚体动力学 》课件
牛顿第二定律
物体的加速度与作用在物 体上的力成正比，与物体 的质量成反比。
牛顿第三定律
对于任何两个相互作用的 物体，作用力和反作用力 总是大小相等，方向相反 ，作用在同一条直线上。
刚体的平动
刚体的平动是指刚体在空间中 的位置随时间的变化而变化， 而刚体的形状和大小保持不变
的运动。
刚体的平动具有三个自由度 ，即三个方向的平动。
05
刚体的动力学方程
刚体的动力学方程
牛顿第二定律
刚体的加速度与作用力成正比，与刚体质量 成反比。
刚体的转动定律
刚体的角加速度与作用力矩成正比，与刚体 对转动轴的转动惯量成反比。
刚体的动量方程
刚体的动量变化率等于作用力对时间的积分 。
刚体的自由度与约束
自由度
描述刚体运动的独立变量，如平动自由度和转动 自由度。
约束
限制刚体运动的条件，如固定约束、滑动约束等 。
约束方程
描述刚体运动受约束的数学表达式。
刚体的动力学方程的求解方法
解析法
通过代数运算求解动力学方程，适用于简单问 题。
数值法
通过迭代逼近求解动力学方程，适用于复杂问 题。
近似法
通过近似模型求解动力学方程，适用于实际问题。
06
刚体动力学中的问题与实例 分析
人工智能和机器学习的发展将为刚体 动力学的研究提供新的思路和方法， 有助于解决复杂动力学问题。
感谢您的观看
THANKS
船舶工程
在船舶工程中，刚体动力学 用于研究船舶的航行稳定性 、推进效率以及船舶结构的 安全性等。
兵器科学与技术
在兵器科学与技术领域，刚 体动力学用于研究弹药的发 射动力学、火炮的射击精度 和稳定性等。
第七章 刚体动力学(讲义)
MO = ∑ MO ( Fi ) = ∑ (ri × Fi )
i =1 i =1
n
n
注意，主矩的的计算与参考点的选取有关。例如，将参考点由 O 改成 O′ ，于是
MO = ∑ ri × Fi = ∑
i =1 i =1
n
n
(ri′ + OO′) × Fi = ∑ (ri′ × Fi ) + OO′ × ∑ Fi
R = ∑ Fi
i =1
n
这是个自由矢量，它只给出矢量的大小和方向，不过问作用点的位置。 对力系的矩也可作类似的讨论。对于共点力系，合力的矩等于各个力对同一点的矩的矢量 和，即
MO ( F) = r × F = r × ∑ Fi = ∑ (r × Fi )
i =1 i =1
n
n
一般的力系中不一定存在合力，因此也就谈不上求合力的矩。但是每个力相对于同一参考 点的力矩是矢量，我们可以求这些矢量的和，并称为主矩，记为 MO ，即有
（II）刚体绕质心的转动：
dLc = ∑ ric × Fi （对质心的角动量定理） dt i
第一个式子求质心运动等同于质点动力学，可以解出刚体的平动运动部分（三个方程解三个运 动变量） 。第二个式子又可求出刚体的转动角速度 ω （ L 与 ω 有一定的关系） ，于是刚体的运动 就完全确定了。由角动量定理求刚体的转动角速度是重点讨论的内容。 7．2 作用在刚体上的力和力矩 通常矢量指的是所谓自由矢量（free vector） ：只有大小和方向，它可以平行自由移动。 作为物理量的矢量则不然，例如，力矢量 F ，为了完全确定这个力，还要说明力的作用点， 若用 r 表示作用点的话，则要有两个矢量 F 和 r ，这个力才完全被确定下来。这种矢量被称为定 位矢量（bound vector） 。除了力矢量是定位矢量外，质点的速度和加速度等也是定位矢量的例 子。 还有一种矢量，称为滑动矢量（sliding vector） ，它可在包含该矢量的一直线上自由移动。 例如，作用在刚体上的力（见下面的讨论） 。
4-2刚体的转动-刚体动力学解析
mB g
1 m A mB mC 2 m Am B g T1 1 m A m B mC 2
物体B由静止出发作匀速直线运动
2mB gy v 2ay 1 m A mB mC 2
考虑滑轮与轴承间的摩擦力
由初始条件 : t 0时, 0 0, 0 0得 :
0
3g d sind 2l 0
3g (1 cos ) 2l
例4:一半径为R，质量为m的匀质圆盘，平放在粗 糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ， 令圆盘最初以角速度 0绕通过中心且垂直盘面的 轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？
2m1m2 T1 T2 g m2 m1
m2 m1 a g m2 m1
上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测 量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、 m2 、 r和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a， 再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1 和 m2 相近，从而使它们的加速度 a 和速度 v都较小， 这样就能角精确地测出a来。
例2.质量为 m A 的物体A静止在光滑的水 平面上,它和一轻绳相连接,此绳跨过一半 径为R、质量为 mC 的园柱形滑轮C,并系在 另一质量为 m B 的物体B上,滑轮与轴承间 A 的摩擦力不计.问： C (1)两物体的线加 速度? 水平和铅直 B 两段绳的张力？ (2)B由静止下落距离y时速率？ (3)若滑轮与轴承间的摩擦力矩为 M ,再 求线加速度及绳的张力.
1 1 2 a RT2 RT1 M J mC R mC Ra 2 R 2 ( 4)
解(1)(2)(4),即可得 a,T
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应用场景：碰撞、打击、爆炸等 角动量定理 角动量定理
定义：角动量是物体转动惯量和角速度的乘积 单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
角动量定理公式：L=Iω
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应用场景：行星运动、陀螺仪等
刚体的滚动和滑动摩擦
刚体滚动：刚体在平面内绕固定点转动，滚动摩擦力产生的原因和影响
刚体滑动摩擦：刚体在平面内滑动时产生的摩擦力，滑动摩擦系数与接触面材料和粗糙度等因素 的关系
刚体滚动和滑动摩擦的应用实例：例如，汽车轮胎与地面之间的滚动摩擦力，以及机械零件之间 的滑动摩擦力等
刚体滚动和滑动摩擦的实验研究：通过实验研究刚体滚动和滑动摩擦力的影响因素和规律，为实 际应用提供理论支持
04
刚体动力学基本原理
牛顿第二定律
定义：物体加速度的大小跟作用 力成正比，跟物体的质量成反比
应用：解释物体运动状态变化的 原因
添加标题
添加标题
公式：F=ma
添加标题
添加标题
注意事项：只适用于宏观低速运 动的物体
动量定理和角动量定理
定义：动量是物体质量与速度的乘积
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
刚体动力学研究内容
刚体的定义和性质 刚体运动的基本形式 刚体动力学的基本方程 刚体动力学的研究方法
刚体动力学发展历程
早期发展：古代力学对刚体的研究 经典力学时期：牛顿、伽利略等经典力学大师对刚体动力学的研究 弹性力学时期：弹性力学的发展对刚体动力学的影响 现代发展：计算机技术和数值模拟方法在刚体动力学中的应用
课程内容：刚体 的平动、转动、 碰撞等动力、力学等相关专 业的本科生和研 究生
刚体运动的基本原理与动力学分析
刚体运动的基本原理与动力学分析刚体运动是物理学中的重要概念，研究刚体的基本原理和动力学分析对于理解力学运动规律具有重要意义。
本文将从刚体的定义、刚体运动的基本原理，以及刚体的动力学分析等方面展开论述。
一、刚体的定义刚体是指在力的作用下，保持形状和体积不变的物体。
刚体的特点是不易变形，内部各点之间的相对位置保持不变。
二、刚体运动的基本原理1. 平动和转动刚体运动可以分为平动和转动两种形式。
平动是指刚体上所有点按照相同方向和相同距离运动，转动是指刚体绕着某个轴旋转。
2. 受力和力矩刚体的运动受到外力的作用，外力可以分为接触力和非接触力。
接触力是指物体之间直接接触施加的力，非接触力是指物体间通过场的相互作用施加的力，如重力和电磁力等。
另外，刚体的转动还受到力矩的影响。
力矩是由作用力与力臂的乘积，用来描述力对刚体的转动效果。
力矩的方向由右手定则确定，大小等于力的大小与力臂的长度之积。
3. 刚体的运动学方程刚体的运动学方程描述了刚体在运动过程中各个部分的位置、速度和加速度之间的关系。
根据牛顿第二定律和运动学关系可以得到刚体的运动学方程。
三、刚体的动力学分析1. 平动的动力学分析刚体的平动运动可以通过牛顿第二定律进行动力学分析。
根据牛顿第二定律可知，刚体所受的合外力等于刚体的质量与加速度的乘积。
2. 转动的动力学分析刚体的转动运动需要通过力矩和转动惯量进行动力学分析。
根据牛顿第二定律可知，刚体所受的合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积。
此外，刚体的角动量和动能也是进行动力学分析的重要物理量。
角动量等于刚体的转动惯量与角速度的乘积，动能等于刚体的转动惯量与角速度的平方的乘积的一半。
四、刚体运动的应用刚体运动的研究在工程、医学等领域有广泛应用。
例如在机械工程中，对机械零件的运动进行分析可以用于设计和优化机械结构；在生物医学中，对人体骨骼系统的运动学和动力学分析可以用于疾病的诊断和康复治疗。
总结：刚体运动的基本原理和动力学分析是研究力学运动规律中的重要内容。
动力学中的刚体运动分析
动力学中的刚体运动分析动力学是物理学的一个分支，研究物体在受到力的作用下的运动规律。
刚体运动是动力学中的一个重要内容，刚体是指形状不会发生变化的物体，它的各个部分在同一时间内有相同的速度和加速度。
本文将对动力学中的刚体运动进行详细分析。
一、刚体的基本概念刚体是一个理想化的物体，它具有以下基本特征：1. 完全刚性：刚体的所有部分都是刚性连接的，不会发生形状上的变化。
2. 不可伸缩：刚体的各个部分不会发生伸缩变形。
3. 不可旋转：刚体在运动过程中不会发生自转。
刚体可以用来模拟很多实际物体，如棍子、车辆等，通过对刚体的运动进行研究，我们可以更好地理解物体在力的作用下的运动规律。
二、刚体运动的基本性质刚体运动具有以下几个基本性质：1. 平动：刚体上的任意两点都具有相同的位移和速度。
2. 定点旋转：刚体绕固定轴线作定点旋转运动，其各个部分仅有的位移是纯粹的旋转位移。
3. 平面运动：刚体运动可以限制在一个平面内进行。
三、刚体运动的描述刚体的运动可以通过位置、速度和加速度三个方面的描述来进行分析。
1. 位置描述：刚体的位置可以通过选择一个坐标系以确定刚体的位置矢量来描述。
常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
2. 速度描述：刚体的速度可以通过位置的变化率来描述，即位置矢量对时间的导数。
刚体的速度矢量与位矢的方向相同。
3. 加速度描述：刚体的加速度可以通过速度的变化率来描述，即速度矢量对时间的导数。
刚体的加速度矢量与速度矢量的方向相同。
四、刚体的运动方程刚体的运动可以通过牛顿运动定律以及动力学中的一些基本定理来描述。
1. 牛顿第二定律：刚体受到的合外力等于其质量与加速度的乘积，即F=ma。
2. 刚体的角动量定理：刚体的角动量的变化率等于合外力对刚体的力矩，即L=dL/dt=τ。
3. 刚体的动能定理：刚体的动能的变化率等于合外力对刚体的功，即dK/dt=P。
根据这些定律和公式，我们可以对刚体的运动进行定量的描述和计算。
高中物理竞赛辅导之刚体动力学
其轴的转动惯量与圆盘的相同。
球体绕其直径的转动惯量
将均质球体分割成一系
列彼此平行且都与对称轴垂
直得圆盘，则有
JO
1 dm r 2 2
1 2
r 2dz
r
2
R 1( R2 z2 )2 dz
R 2
8 R5 2 mR2
15
5
z
r
z
dz R
om
JO
2 mR2 5
设任意物体绕某固定轴O的转动惯量为J，绕 通过质心而平行于轴O的转动惯量为Jc，则有
0 t 2 gt R
达到纯滚动时有： vc R
解得作纯滚动经历的时间：
t v0 2g h R
3 g
3 g
2）达到纯滚动时经历的距离：
x
v0t
1 2
at 2
v02
3 g
1 2
g
v02
3g 2
5v02
5h R
18 g 9
例 5 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
J 1 ml2 3
球壳： 转轴沿直径
J 2 mr2 3
竿
子
长
些
还
是
短
些
较
安
飞轮的质量为什么
全
大都分布于外轮缘？
？
例1 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置，其
下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动. 由于此竖
直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰
动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动.
压力N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出.试
常见刚体运动的动力学分析方法
常见刚体运动的动力学分析方法刚体是指在运动过程中保持形状不变的物体，它的运动可以通过动力学分析方法来研究。
本文将介绍常见的刚体运动的动力学分析方法。
一、平面刚体运动的动力学分析方法在平面刚体运动中，刚体在平面上的运动可以分解为质心运动和绕质心的旋转运动。
常见的动力学分析方法包括线动量定理、角动量定理和动能定理。
1. 线动量定理线动量定理描述了刚体在平面上的线动量变化与合外力矩之间的关系。
根据线动量定理，刚体在一个时间间隔内的线动量变化等于作用在刚体上的合外力矩乘上时间间隔。
线动量定理的数学表达式为：Δp= ∑F⃗ ×Δt，其中Δp表示线动量的变化量，F⃗表示合外力矩，Δt表示时间间隔。
2. 角动量定理角动量定理描述了刚体在平面上围绕质心旋转时的角动量变化与合外力矩之间的关系。
根据角动量定理，刚体在一个时间间隔内的角动量变化等于作用在刚体上的合外力矩乘上时间间隔。
角动量定理的数学表达式为：ΔL = ∑τ⃗ ×Δt，其中ΔL表示角动量的变化量，τ⃗表示合外力矩，Δt表示时间间隔。
3. 动能定理动能定理描述了刚体在平面上的动能变化与合外力矩之间的关系。
根据动能定理，刚体在一个时间间隔内的动能变化等于作用在刚体上的合外力矩与刚体的质量乘积乘上时间间隔。
动能定理的数学表达式为：ΔE = ∑τ⃗ ×Δθ，其中ΔE表示动能的变化量，τ⃗表示合外力矩，Δθ表示角位移。
二、空间刚体运动的动力学分析方法在空间刚体运动中，刚体在三维空间上的运动可以分解为质心运动和绕质心的旋转运动。
常见的动力学分析方法包括动量矩定理、角动量矩定理和动能定理。
1. 动量矩定理动量矩定理描述了刚体在空间上的动量矩变化与合外力和合外力矩之间的关系。
根据动量矩定理，刚体在一个时间间隔内的动量矩变化等于作用在刚体上的合外力和合外力矩乘上时间间隔。
动量矩定理的数学表达式为：ΔL = ∑M⃗ ×Δt，其中ΔL表示动量矩的变化量，M⃗表示合外力矩，Δt表示时间间隔。
刚体的知识点总结
刚体的知识点总结一、刚体的概念刚体是物理学中的一个重要概念，它是指在运动或静止过程中，形状和大小不发生改变的物体。
刚体具有以下特点：1. 刚体的分子结构相对固定，对外力的变形能力非常小。
2. 刚体受到外力作用时，其内部分子之间的相对位置发生微小变化，但整体上保持不变。
3. 刚体在变形后会恢复原状，即使外力作用消失后也会保持所受外力时的状态。
刚体的概念在物理学中有重要的应用，在力学、动力学、静力学等领域都有广泛的应用。
二、刚体的基本性质1. 自由度刚体在运动过程中具有自由度的概念，即刚体在空间中的自由度是指其可以围绕固定坐标系的运动方式。
2. 平移运动刚体在空间中可以进行平移运动，即整个刚体的位置随时间发生变化，但其形状和大小保持不变。
3. 旋转运动刚体在空间中也可以进行旋转运动，即围绕某一固定点或者固定轴进行旋转运动，这种运动称为刚体的自由旋转。
4. 刚体的定点定轴运动刚体在空间中也可以进行以某一固定点为中心或者以某一固定轴为旋转轴的运动，这种运动称为刚体的定点定轴运动。
5. 定点定轴自由度刚体在空间中具有三个定点定轴自由度，即刚体的位置可以变化，且可以绕三个固定轴进行旋转运动。
6. 刚体的平移自由度刚体在空间中具有三个平移自由度，即刚体在空间中可以相对于三个坐标轴进行平移运动。
7. 刚体的旋转自由度刚体在空间中具有三个旋转自由度，即刚体在空间中可以绕三个坐标轴进行旋转运动。
以上是刚体的基本性质，了解这些性质有助于我们在物理学研究中更深入地理解刚体的运动规律。
三、刚体的运动学分析1. 刚体的速度刚体在空间中的运动状态可以用速度来描述，刚体的速度分为线速度和角速度。
线速度是描述刚体中任一点的速度，通常用矢量来表示，可以用向量表示。
角速度则是描述刚体的旋转运动状态，通常用矢量来表示，可以用向量表示。
2. 刚体的加速度刚体在运动中会受到外力的影响，导致其速度发生变化，这种速度变化的率就是刚体的加速度。
刚体的静力学与动力学
刚体的静力学与动力学刚体是物理学中的重要概念之一，它是指一类在力的作用下没有形变的物体。
刚体的运动可以通过静力学和动力学来描述。
本文将对刚体的静力学和动力学进行探讨。
一、刚体的静力学静力学研究的是物体在力的作用下处于静止状态的力学性质和规律。
对于刚体的静力学分析，我们需要了解以下几个基本概念和定律。
1. 力矩力矩是刚体静力学中的重要概念，它描述了力对刚体产生转动的效应。
力矩等于力乘以作用点到旋转轴的距离，可以用以下公式表示：M = F × d其中，M表示力矩，F表示力的大小，d表示作用点到旋转轴的距离。
2. 杠杆原理杠杆原理是刚体静力学中的基本原理之一，它描述了力矩的平衡条件。
根据杠杆原理，如果一个杠杆系统在平衡状态下，力矩的总和为零：ΣM = 0即所有力矩的代数和等于零。
3. 平衡条件在刚体的静力学中，平衡条件是指物体在力的作用下保持平衡的条件。
根据平衡条件，刚体在平衡状态下，必须满足以下两个条件：(1) 力的合力为零，即ΣF = 0；(2) 力矩的总和为零，即ΣM = 0。
二、刚体的动力学动力学研究的是物体在力的作用下的运动学性质和规律。
对于刚体的动力学分析，我们需要了解以下几个基本概念和定律。
1. 动量和角动量动量是刚体动力学中的重要概念，它描述了物体的运动状态。
对于一个刚体，其动量等于质量乘以速度，可以用以下公式表示：p = mv其中，p表示动量，m表示质量，v表示速度。
角动量是刚体动力学中与转动相关的物理量，对于一个刚体，其角动量等于惯性矩乘以角速度，可以用以下公式表示：L = Iω其中，L表示角动量，I表示惯性矩，ω表示角速度。
2. 牛顿第二定律牛顿第二定律是刚体动力学的基本定律之一，它描述了力对物体的加速度产生的影响。
对于一个刚体，其受力等于质量乘以加速度，可以用以下公式表示：F = ma其中，F表示力，m表示质量，a表示加速度。
3. 动力学定律刚体的动力学定律包括动量定理和角动量定理。
刚体动力学运动学问题专题讲解
Ml s lS mM
lS
ml S mM
例2质心运动定律来讨论以下问题
一长为l、密度均匀的柔软链条,其单位长度 的质量为λ.将其卷成一堆放在地面.若手提 链条的一端,以匀速v 将其上提.当一端被提 离地面高度为 y 时,求手的提力.
y y yC o
F
c
解:建立图示坐标系
i 竖直方向作用于链条的合外力为
例3
设有一质量为2m的弹丸,从地面斜抛出去,它飞行在
最高点处爆炸成质量相等的两个碎片,其中一个竖直自由下落,另 一个水平抛出,它们同时落地.问第二个碎片落地点在何处?
解:选弹丸为一系统,爆炸前、 后质心运动轨迹不变.建立 图示坐标系.
2m O
m
m1 m2 m x1 0
xC为弹丸碎片落地时质心 离原点的距离. xC
xC
C
xC
m x
x2
m1 x1 m2 x2 m1 m2
x2 2 xC
7
/12
2. 质心运动定理 dri mi miv i drc d t • 质心的速度 vc dt m m
P mvc —— 质点系的总动量
Pi m
•
质心的加速度和动力学规律
v R
4m gh 2m M R
例题3 一质量为m、半径为R的均质圆柱，在水 平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力 的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l，如图所 示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。 解：设静摩擦力 f 的方向如 图所示，则由质心运动方程
l ac
F
圆柱对质心的转动定律：
二、质心
1. 质心
质心运动定理
第3章 刚体动力学
T2 m2g m2a2
对m
T2r T1r I
其中
I
1 2
mr 2
T1
m1
a1
m1 g
T2
正
m2
m2 g
a2
m2 m1
a1 a2 a a at r 绳子没有相对滑动
a (m2 m1)g (m1 m2 m 2)
(m2 m1)g
(m1
m2
1 2
m)r
对 m1 对m2 对m
第3章 刚体动力学
牛顿力学的基本概念、基本定律和定理适用于任意的 质点系, 有非常广泛的应用领域。 本章介绍牛顿力学的基本概念和有关定理在一类特 殊的质点系——“刚体”中的初步应用。
主要内容包括：刚体的定义、刚体的定点转动定理、 刚体的定轴转动定理、刚体的转动惯量、刚体定轴转 动的动能定理、刚体定轴转动的角动量定理以及角动 量守恒定律。
23
8.刚体的定轴转动定理应用举例
例1：一质量为m、半径为R的圆盘可以绕通过中心的轴
自由地转动, 一根弦线绕在盘的边缘,
如果: (1)用一个9.8N的力向下拉弦线;
(2)用一个质量为m’=1kg的物体挂在弦上;分别求出圆盘
的角加速度。
m R
m
R
T m
F
a
mg
(1) 圆盘的转动惯量为I=mR2/2 圆盘所受到的合外力
RT mR2 / 2
两式相加得 Rmg mR2 / 2 mR2
2mg
(m 2m)R
例2
两边绳子的拉力相等必需满足三个条件
①、滑轮的质量不计
m
②、无阻力 ③、绳子的质量不计
rO
解：按牛顿运动定律和转动定律
对m1 T1 m1g m1a1
转动惯量与刚体转动运动的动力学描述
转动惯量与刚体转动运动的动力学描述在物理学中，转动惯量是描述刚体绕某一轴旋转时对旋转运动的惯性大小的物理量。
它与刚体的质量分布和轴线的位置有关。
转动惯量在刚体转动运动的动力学描述中起着重要的作用。
1. 转动惯量的定义与计算转动惯量的定义是刚体绕某一轴旋转时，对旋转运动的惯性大小的度量。
对于质量分布均匀的刚体，其转动惯量可以用以下公式计算：I = ∫r^2 dm其中，I表示转动惯量，r表示质点到轴线的距离，dm表示质点的质量微元。
2. 转动惯量的物理意义转动惯量反映了刚体绕某一轴旋转时的惯性大小。
转动惯量越大，刚体对旋转运动的惯性越大，需要施加更大的力矩才能改变其旋转状态。
转动惯量可以看作是刚体对旋转运动的“惰性”，类似于质量在直线运动中的作用。
3. 转动惯量与质量分布的关系转动惯量与刚体的质量分布密切相关。
对于质量分布均匀的刚体，其转动惯量可以用简单的公式计算。
例如，对于绕通过质心的轴旋转的均匀圆盘，其转动惯量可以表示为：I = (1/2) m r^2其中，m表示圆盘的质量，r表示圆盘的半径。
4. 转动惯量的应用转动惯量在物理学中有广泛的应用。
在机械工程中，转动惯量是设计旋转设备和机械系统的重要参数。
例如，对于旋转的风力发电机，其转动惯量需要满足一定的要求，以保证系统的稳定性和效率。
在天体物理学中，转动惯量也是研究天体旋转运动的重要工具。
5. 刚体转动运动的动力学描述刚体转动运动的动力学描述是研究刚体绕某一轴旋转时的力学规律和运动方程。
根据牛顿第二定律，刚体绕固定轴旋转时，其转动惯量与角加速度之间存在关系：τ = I α其中，τ表示力矩，I表示转动惯量，α表示角加速度。
这个关系可以用来描述刚体转动运动的加速度和力矩之间的关系。
6. 转动惯量的改变与转动运动的影响转动惯量的改变会影响刚体的转动运动。
当转动惯量减小时，刚体的转动惯性也减小，需要较小的力矩才能改变其旋转状态。
例如，一个旋转的滑轮如果减小其转动惯量，可以更容易地改变其旋转速度。
刚体动力学的基本概念
刚体动力学的基本概念第二篇动力学第五章刚体动力学的基本概念一、目的要求 1．深入地理解力、刚体、平衡和约束等重要概念。
2．静力学公理（或力的基本性质）是静力学的理论基础，要求深入理解。
3. 能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影，对合力投影定理有清晰的理解。
4. 理解力对点之矩的概念，并能熟练地计算。
5．深入理解力偶和力偶矩的概念，明确力偶的性质和力偶的等效条件。
6．明确和掌握约束的基本特征及约束反力的画法。
7．熟练而正确地对单个物体与物体系统进行受力分析，画出受力图。
二、基本内容 1．重要概念 1）平衡：物体机械运动的一种特殊状态。
在静力学中，若物体相对于地面保持静止或作匀速直线平动，则称物体处于平衡。
2）刚体：在力作用下不变形的物体。
刚体是静力学中的理想化力学模型。
3）约束：1/ 11对非自由体的运动所加的限制条件。
在刚体静力学中指限制研究对象运动的物体。
约束对非自由体施加的力称为约束反力。
约束反力的方向总是与约束所能阻碍的物体的运动或运动趋势的方向相反。
4）力：物体之间的相互机械作用。
其作用效果可使物体的运动状态发生改变和使物体产生变形。
前者称为力的运动效应或外效应，后者称为力的变形效应或内效应，理论力学只研究力的外效应。
力对物体作用的效应取决于力的大小、方向、作用点这三个要素，且满足平行四边形法则，故力是定位矢量。
5）力的分类：集中力、分布力；主动力、约束反力 6）力系：同时作用于物体上的一群力称为力系。
按其作用线所在的位置，力系可以分为平面力系和空间力系，按其作用线的相互关系，力系分为共线力系、平行力系、汇交力系和任意力系等等。
7）等效力系：分别作用于同一刚体上的两组力系，如果它们对该刚体的作用效果完全相同，则此两组力系互为等效力系。
8）平衡力系：若物体在某力系作用下保持平衡，则称此力系为平衡力系。
9）力的合成与分解：若力系与一个力FR等效，则力FR称为力系的合力，而力系中的各力称为合力FR的分力。
物理-刚体平面运动动力学
【平面运动】刚体上各点均在平面ຫໍສະໝຸດ 运动， 且这些平面均与一固定平面平行。
例：圆柱体沿直线路径的滚动。
一、刚体平面运动的动力学方程
刚体的平面运动可分解为
随质心的平动 绕过质心且垂直于固定平面的轴的转动
ω C
一、刚体平面运动的动力学方程
1、质心的运动
——刚体的质量 ——合外力
2l
故有
N2
f
Wl Pl1 2l
cot
梯子不滑动的条件 f N1
Wl Pl1 cot (W P) 2l
线的垂直距离为l. 求: 质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力.
F l
ac
Rm
f
随堂练习
圆柱在竖直面内作平面运动。 由质心运动定理：
F f maC
又由对质心轴的转动定理：
Fl fR 1 mR 2
2
纯滚动的运动学判据 aC R
以上三式联立，可解得
2F(R 3mR 2
l)；
f (R 2l) F 3R
则梯子的倾角？
Mq Ogf
x
随堂练习
设梯子不滑动时与地面的夹角为q， y N2 C
水平方向的力平衡： N 2 f 竖直方向的力平衡： N1 W P
为简化计算，取C为力矩的参考点，
2 fl sin Wl cos Pl1 cos
m g
l1 N1
Mq x
Ogf
解之得
f Wl Pl1 cot
由质心的运动定理决定
C
aC
——代表刚体作整体平移运动的加速度
一、刚体平面运动的动力学方程
对刚体的平面运动 y
在固定平面投影
Fx
m
刚体动力学
1 ml 2 12
5
将棒的端点取为坐标原点, 建立坐标系Oxy,取y 轴
为转轴。在距离转轴为x 处取棒元dx, 其质量为
m dm = dx
l
y
dx
o
x
l
=J
∫0l= x2 ml dx
1= m x3 l 3l 0
1 ml 2 3
6
常用的几个J
C R m 均匀圆环：
JC = mR2
C R m 均匀圆盘：
4
例：求长度为 l ，质量为m的均匀细棒对过中点
和端点轴的转动惯量。
解：将棒的中点取为坐标原点, 建立坐标系Oxy, 取y 轴 为转轴。在距离转轴为x 处取棒元dx, 其质量为
m dm = dx
l
y
−l
o
2
+l x
2
J
∫−+= ll//22 x2 ml dx
1= m x3 +l / 2
3l
−l / 2
m反映质点的平动惯性，J 反映刚体的转动惯性。
14
例 一根长为l、质量为m的均匀细直棒，一端有一固定的光 滑水平轴，可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置
，求由此下摆 θ 角时的角加速度和角速度。
解 棒下摆为加速过程，
l/2
外力矩为重力对O的力矩。
O
重力作用在棒的重心，当
θ
x
棒处在下摆θ 角时，重力
与转动惯量有关的因素：
刚体的质量、刚体的形状(质量分布)、转轴的位置3。
转动惯量的求法：
若刚体的质量连续分布 , 转动惯量中的求和号 用积分号代替
J = ∫ r 2dm = ∫∫∫r 2ρdV
线密度、面密度、体密度
刚体运动的动力学分析
刚体运动的动力学分析刚体运动是物理学中一个基础而重要的概念，研究刚体在运动过程中受到的力和运动参数之间的关系。
本文将对刚体的动力学进行深入分析，探讨刚体运动的基本原理和相关定律。
一、刚体的定义和特性刚体是指在运动过程中保持自身形状不变的物体。
与之相对应的是弹性体，弹性体在受到外力作用后会发生形变。
刚体的特性包括质量、形状和位置等方面的固有属性，这些属性决定了刚体在运动时的运动状态和受力情况。
二、刚体的运动描述1. 位移、速度和加速度刚体的位移是指刚体上某一点在运动过程中从一个位置到另一个位置的变化量。
速度是位移变化量与时间的比值，而加速度是速度变化量与时间的比值。
位移、速度和加速度是描述刚体运动状态的重要参数，它们与刚体所受到的力之间存在着一定的关系。
2. 角位移、角速度和角加速度对于刚体的旋转运动，除了位置的变化外，还需要考虑角度的变化。
角位移、角速度和角加速度是描述刚体旋转运动的重要参数，它们与刚体所受到的力矩之间存在特定的关系。
三、牛顿定律与刚体运动1. 第一定律：惯性定律刚体在不受外力作用时，将保持静止状态或匀速直线运动状态。
这是因为刚体具有惯性，不易改变其运动状态。
2. 第二定律：动量定律刚体所受合外力等于动量的变化率。
合外力越大，刚体的加速度越大；合外力越小，刚体的加速度越小。
3. 第三定律：作用-反作用定律刚体所受的作用力和反作用力大小相等、方向相反，且作用于不同的物体上。
这一定律描述了力的作用方式，为刚体运动提供了均衡和相互作用的基础。
四、刚体的转动定律刚体的转动运动与直线运动类似，同样遵循着牛顿定律。
利用转动力学原理，可以得到刚体在旋转过程中所受的力矩与角加速度之间的关系，进而分析刚体的运动状态和力的作用效果。
五、刚体运动的应用刚体运动的动力学分析广泛应用于物理学、工程学和运动学等领域。
在物理学中，刚体运动是解释物体运动规律的重要基础，为其他物理学定律的推导提供了依据。
在工程学中，刚体运动的分析可用于机械设计、运动控制和材料研究等方面。
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Mo
mg
l cos
6
A
Io
1 ml 2 12
m( l )2 6
1 9
ml 2
Mo 3g cos
Io 2l
2 o2 2
o
B
C
mg
oC l l l 236
17
Mo 3g cos d
Io 2l
dt
又因
d
dt
d d
d
dt
d d
3g cos
2l
d
3gcosd
0
0 2l
绳中张力Tmg！ 用隔离体法:
对m: mg-T=ma
对柱： TR=I a=R
解得 =2mg/[(2m+M)R]
T=Mmg/(2m+M)
M •R
T m
mg
16
例题1.6 均匀细棒(m、长l)AB可绕o轴转 动，Ao= l/3。求棒从水平位置静止开始转过
角 时的角加速度和角速度。
解 重力集中在质心，其力矩为
IO=m.02 +2m(2l2) +3m(2l)2 +4ml2 +5m(2l2) =30ml2 2m
l
ml
l 3m
o
4m
l
5m
12
例题1.2 质量连续分布: I r 2dm
(1)均质细直棒(质量m、长l)，求通过质心C且
垂直于棒的轴转动的转动惯量。
解
记住！
l
Ic
2 x2m dx 1 ml2
l l
12
2
C dm o x dx x
若棒绕一端o转动，由平行轴
定理， 则转动惯量为
o
Io
1 12
ml
2
m(
l 2
)2
1 3
ml 2
13
(2)均质细圆环(m, R)对中心轴的转动 惯量:
Ic
R2dm mR2
环
(3)均质圆盘(m,R)对中心轴 的转动惯量:
Ic
R
r
0
2m
R 2
2rdr
1 2
Firi sini fijri sini miri2
Z
i
合外力矩
M
fij
o
ri
i
mii
Fi
i j
合内力矩
0
i
I(转动惯量)
M I
刚体定轴转动定理
6
三. 转动惯量 1.转动惯量的物理意义
M
I
F ma
质量m—物体平动惯性大小的量度。
转动惯量I—物体转动惯性大小的量度。
7
2.转动惯量的计算
撤去外力矩时,
-Mr=I2 , 2=- /t2
(2)
代入t1=10s , t2=100s , =(100×2)/60=10.5rad/s,
得
I=17.3kg.m2 。
15
例题1.4 匀质柱体(M、R) 边缘用细绳 挂一质量为m的物体。求柱体的角加速度 及绳中的张力。
解 对柱体，由M=I有
mg.R=I
完成积分得 3gsin
l
A
o
C
B
讨论: (1)当=0时， =3g/2l， =0 mg
(2)当=90°时， =0， 3g
l
18
例题1.7 匀质圆盘(m、R)以o转动。将
盘置于粗糙的水平桌面上，摩擦系数为µ， 求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？
解 摩擦力矩:
M
R
0
r
g
m
R
2
2rdr
2 mgR
Io d Ic
o
C M
9
I r2dm
(r r )dm
V
V
Hale Waihona Puke V (rc V (rcIc
l 2
)(rc 2l
rc
Ml 2 2l
l )dm
l 2 )dm
V rcdm
Ic是转轴过质心的转动惯量，于是
I I Ml2 c
Ic
I
l
rc
r
l
=0
10
例题1.1 质量离散分布: I=Δmi ri2
o
力矩的大小: 方向:
M =F rsin
rF
=Fd
d
r
F
注意: 对定轴转动, (1)只有 在垂直于转轴平面内的力才会
Mz
F
产生力矩; 平行于转轴的力是
不会产生力矩的。
(2)力矩的方向沿转轴。
5
2.刚体定轴转动定理
mi: 切向方程:
Fi sini fij sini miai miri
Firi sini fijri sini miri2
(1)质量离散分布刚体
I=Δmi ri2
即：刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量 乘以它到转轴距离的平方的总和。
(2)质量连续分布刚体
I r 2dm
式中: r为刚体上的质元dm到转轴的距离。
8
3.平行轴定理
Io=Ic+Md2
Ic 通过刚体质心的轴的转动 惯量
M 刚体系统的总质量 d 两平行轴(o,c)间的距离
1.刚体的平动和转动
如果刚体内任何两点的连线在运动中始终保持平 行，这样的运动就称为平动。
平动刚体内各质点的运动状态完全相同。
平动刚体可视为质点。质心是平动刚体的代表。
2
如果刚体内的每个质点都绕同一直线(转 轴)作圆周运动，这种运动便称为转动。
转轴固定不动定轴转动。 刚体一般运动可看作是平
动和转动的结合。
2.定轴转动的描述
d , d
dt
dt
r
定轴转动刚体上各质点的线
量(速度、加速度)不同。 但各质点的角量(如角位移、
角速度和角加速度)相同。
3
若角加速度 =c(恒量)，则有
o t
ot
1 2
t 2
r
2 o2 2
4
二. 刚体的定轴转动
1.力矩
M
力F 对o点的力矩定义为：
M=r×F
3
I 1 mR 2 2
水平桌面
o
dr r
M 4g
I
3R
19
M 4g
I
3R
求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？
由= o+ t = 0得
t o 3RO 4g
又由2-o2=2， 水平桌面
停下来前转过的圈数为
o
dr r
N o2 3o2 R 2 2 16 g
mR2
R
dm
r dr
14
M I 刚体定轴转动定理
例题1.3 一转轮在20N.m的外力矩作用下， 10s内转速均匀地由零增大到100rev/min。撤去 外力矩，它经100s停止。求转轮的转动惯量。
解 由 M=I , = o+ t
有外力矩时,
20-2M0=r=II1，1，1=1=/t/1t1(因(因o=o=0)0) (1)
第3章
Dynamics of Rigid Body
刚体力学基础
(6)
力矩的瞬时、时间、空间累积效应
1
§3.1 力矩的瞬时效应刚体的定轴转动 一. 刚体运动学
刚体—运动中形状和大小都保持不变的物体。 (a)刚体上各质点之间的距离保持不变。 (b)刚体有确定的形状和大小。 (c)刚体是由许多质点(质元)组成的质点系。
(1)轻杆连成的正三角形顶点各有一质点
m，此系统对通过质心C且垂直于三角形平面的
轴的转动惯量为
Ic 3 mr 2 ml 2 ,(r
3 l) 3
m
通过o点且垂直于三角形
l
l
平面的轴的转动惯量为
·c
mr
m
IO= ml2+ml2 =2ml2
o
l
=ml2 +(3m)r2=2ml2
11
(2)用轻杆连接五个质点, 转轴垂直于质 点所在平面且通过o点, 转动惯量为