§求导法则与导数公式

合集下载

3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(课件)

第三章导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
1.掌握基本初等函数的导数公式． 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
1.导数公式表的记忆．(重点)
2.应用四则运算法则求导．(重点)
3.利用导数研究函数性质．(难点)
x xlna
2.导数的四则运算法则设f(x)、g(x)是可导的. 公式语言叙述两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)
[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)
[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数
答案： 1± 7 3
4．求下列函数的导数： 1 (1)y＝2x －x＋ x；(2)y＝2xtan x.
3
解析： (1) y′＝(2x
3
1 1 2 )′－x′＋ x ′＝6x －1－x2.
(2)y′＝(2xtan x)′＝(2x)′tan x＋2x(tan x)′ ＝2 ln 2tan x＋2
1.基本初等函数的导数公式
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
nxn-1 ；（2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_____
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=_____ cosx ；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=______; -sinx （5）若f(x)=ax，则f′(x)=_____( axlna a>0)；（6）若f(x)=ex，则f′(x)=__ ex；（7）若f(x)=logax，则f′(x)= 1 (a>0且a≠1)； (8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .

求导法则与导数公式

arccos x
f
11
x2 ，
( x0 )1
或，
dx
1
xdy (y 1y0, 1) ，dy
1 x2
dx x x0
arctan x
1
1 x2
，
arc cotx
1
1 x2
，
x (,
) ．
4. 复合函数的导数
指导思想：“由外向内，逐层求导”
(1) 求导法则（链式法则）
Thm 3 设 u g( x) 在点 x 可导，而 y f (u) 在在对应点 u g( x) 可导，则 y f (g(x)) 在点 x 可导，且
dt
求三叶玫瑰线 r a sin 3 (a> 0) 在对应
4 的点处的切线方程．
a
o
r
6. 隐函数的导数
例 11 (1)
由显x函y 数 ex
e y 0 确定了隐函数 y 形如 y f ( x) 的函数．
f
(x)
，求
y ．
(2) 隐函数由 F ( x, y) 0确定的函数 y y( x) ．能显化，不能显化．
若函数 x(t) 存在反函数 t 1( x) ，则
y f [1( x)]是由 y f (t) ， t 1( x) 复合而成．
Thm 4
设有参数方程
x y
f
(t ), (t ),
t I ，若函数
x(t) ， y f (t) 在区间I 上均可导且 (t)0 ，
又 x(t) 存在反函数 t 1( x) ，则
d ln f ( x)
dx
Thm 若函数 y f ( x) 在 x 可导，且 f (x)0 ，则
d ln f ( x) f ( x) ，即 ln f ( x) f ( x) ．

导数的四则运算法则

x
dy
即
x x (a ) a ln a .
x x 特别地，有 (e ) e ．
例 13
解
求 y arcsin x 的导数．
y arcsin x 是 x sin y 的反函数， sin y 在 x
dx cos y 0 ．区间 , 内单调、可导，且 dy 2 2
.
三.导数公式小结
1.基本初等函数的导数公式
C 0(C为常数）；（log a x ) 1 x ln a ;
1 ( x ) x ( 为实数）；
（ln | x |)
x x (e ) e ;
1 x
;
x x ( a ) a ln a;
(sin x ) cos x; (tan x ) 1
2
求 y sin 2 x ln x 的导数.
y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x ) ln x
2sin x cos x 1
x 1 2cos 2 x ln x sin 2 x . x
f ( x ) lim
1 1 lim x 0 x y 0 x ( y ) y
y
即 f ( x )
1
( y )
.
反三角函数导数公式的证明(略)
例 12
解
求 y a (a 0, a 1) 的导数．
x
y a 是 x log a y 的反函数， x log a y 在且 dx 1 0 , (0,) 内单调、可导，又 dy y ln a 1 x y y ln a a ln a , 所以 dx

求导法则及求导公式

§2 求导法则上一节我们讲述了导数的相关知识,要求大家：深刻理解导数概念,能准确表达其定义;明确其物理、几何意义,会求曲线上一点的切线方程;能够从定义出发求某些函数的导数;知道导数与导函数的区别和联系;明确导数与单侧导数,可导与连续的关系.特别要注意,要学会从导数定义出发求某些导数的导数.例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数,并且我们知道,计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算.因此,从理论上来讲,给了一个函数（不管它是简单函数,还是复杂函数）,总可用定义求其导数（只要极限存在）.但从我们计算左边几个函数的经验知道,用定义计算函数的导数是比较繁琐的.试想对基本初等函数的导数计算（用定义求导）都如此繁琐,对一般的初等函数更是不可想象.因此,我们不能满足于只用导数定义求导数,而应去寻找一些求导数的一般方法,以便能较方便地求出初等函数的导数.在给出较一般的方法之前,先看以下函数如何求导数：x x x f cos sin )(1+=x x g 2sin )(1= x x x f cos sin )(2⋅=)sin()(2ax x g = xxx f a log cos )(3=x x g arcsin )(3= x c x f sin )(4=xx g arccos )(4=一、导数的四则运算问题1 设,求.x x x f cos sin )(±=)('x f 分析利用导数的定义及极限的四则运算知,.)'(cos )'(sin sin cos )('x x x x x f ±== 即)'(cos )'(sin )'cos (sin x x x x ±=±一般地,有如下和的导法则：定理1（和的导数）设)(x f ,)(x g 在x 点可导,则 )()(])()([x g x f x g x f '±'='± （求导是线性运算）证明令 )()()(x g x f x y +=。

导数的基本公式及运算法则

导数的基本公式及运算法则导数是微积分中的一个重要概念，描述了函数在其中一点的变化率。

导数的基本公式和运算法则可以帮助我们求解各种函数的导数，进而解决相关的求导问题。

下面将详细介绍导数的基本公式和运算法则。

1.基本公式：-常数函数：如果f(x)=c是一个常数函数，那么它的导数为0，即f'(x)=0。

- 幂函数：对于幂函数f(x) = x^n，其中n是实数，那么它的导数为f'(x) = nx^(n-1)。

- 指数函数：对于指数函数f(x) = a^x，其中a是正实数且不等于1，那么它的导数为f'(x) = a^x * ln(a)。

- 对数函数：对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a是正实数且不等于1，那么它的导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

- 三角函数：对于三角函数sin(x)、cos(x)、tan(x)，它们的导数分别为cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)。

- 反三角函数：对于反三角函数asin(x)、acos(x)、atan(x)，它们的导数分别为1 / sqrt(1 - x^2)、-1 / sqrt(1 - x^2)、1 / (1 +x^2)。

2.运算法则：-常数法则：如果f(x)=c是一个常数函数，那么对于任何x，有f'(x)=0。

-基本运算法则：a.和法则：对于函数f(x)=u(x)+v(x)，其中u(x)和v(x)是可导函数，那么它的导数为f'(x)=u'(x)+v'(x)。

b.差法则：对于函数f(x)=u(x)-v(x)，其中u(x)和v(x)是可导函数，那么它的导数为f'(x)=u'(x)-v'(x)。

c.乘法法则：对于函数f(x)=u(x)*v(x)，其中u(x)和v(x)是可导函数，那么它的导数为f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)。

函数的求导法则

首页上页返回下页结束铃
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx
求 dy . 例10 y = ln sin x, dx
解 dy =(ln sin x)′= 1 ⋅(sin x)′ = 1 ⋅cosx=cot x . dx sin x sin x dy 3 2 , 求例11 y = 1−2x ． . dx 1 dy −4x 1 (1−2x2)− 2 ⋅(1−2x2)′ = 2)3 ]′ = 解 3 =[( −2x 1 . 3 ( −2x2)2 dx 3 3 1 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y=f(u), u=ϕ(v), v=ψ(x), 则
详细证明首页上页返回下页结束铃
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx 例8 y=ex3 , 求 dy . 9 dx 解函数 y=ex3可看作是由y=e u, u=x3复合而成的, 因此
dy dy du u 2 = ⋅ =e ⋅3x =3x2ex3 . dx du dx dy 例9 y =sin 2x2 , 求 . 10 1+ x dx 解函数 y =sin 2x 是由 y=sin u , u = 2x 复合而成的, 1+ x2 1+ x2 dy dy du 2(1+ x2) −(2x)2 2(1− x2) = ⋅ =cosu⋅ = ⋅cos 2x2 . 因此 dx du dx (1+ x2)2 (1+ x2)2 1+ x
u(x) u′(x)v(x) −u(x)v′(x) >>> [ ]′ = . 2(x) v(x) v

导数的公式及运算法则

y f (u ) , u ( x)
dy dy d u f (u ) ( x) dx d u dx
4. 初等函数在定义区间内可导, 且导数仍为初等函数
作业
A组： 1 （2）（4）. . .（12） 3(4)(5)(6) 4 选作：A组： 5 B组： 1 3 4
1 cos x
1 cos x
3(ln sin x ln(1 cos x))
y
1 1 (sin x) (1 cos x)] 3[ sin x 1 cos x cos x 0 ( sin x) 3[ ] 3 cot x 3 sin x sin x 1 cos x 1 cos x
练习：P.45
A组
3
（1）（2）（3）
例8 设y e 解
1 x 2
，求y
1 x 2
y (e
1 x 2
) e
1
2
( 1 x 2 )
2
e
1 x 2 (
2 1 x
) (1 x )
x 1 x
2
e
1 x 2
sin x 3 ) ，求 y 例9 设y ln( 1 cos x sin x 3 sin x 解由于 y ln( ) 3 ln
例10 设为实数，求幂函数 x的导数 y . 解 y x 可写成指数函数的形式： y e ln x
y e , u ln x, 1 dy u u 从而 (e ) ( ln x) e x dx u 1 1 e x x x
用定义求导数的方法
(1)求增量y
y (2)求比值 x y (3)求极限lim0 x x

求导法则与导数基本公式

1
1
y ln a
y ln a
例11.设
求
解:
x
1 1
x2 1
2
1 2x
x2 1
1 1) , 则
(反双曲正弦)
sh x ex ex 2
的反函数
(arsh x)
1 x2 1
22
1 1 sin2 y
类似可求得
利用
arccos
x

arcsin
x
2
在上一节中我们曾经用定义求出指数函数导数，下面我们利用反函数求它的导数.
2) 设 y a x (a 0 , a 1) , 则 x loga y , y ( 0 , )
1 (loga y)
x ( x3 4cos x sin1)
1 ( x3 4cos x sin1) x (3 x2 4sin x ) 2x
y x1

1 2
(1 4cos1 sin1)
(3 4sin1)
7 7 sin1 2cos1 22
(3)
(其中
)．
证:设 y(x)
f '(x)g(x) f (x)g '(x)
故结论成立.
推论:
(2) ( uvw) uvw uvw uvw
(3)
( loga
x )

ln ln
x a

x
1 ln
a
例1. y x ( x3 4cos x sin1) ,
解: y ( x ) ( x3 4cos x sin1)
二、复合函数的求导法则定理2(复合函数的导数) 若 f 和 g 可导，有意义，则复合函数可导，且

求导法则与导数公式.ppt

P61,5：法一（单调有界原理）证 {a n } 单减有下界 , ：法一（单调有界原理）收敛准则准则）法二（Cauchy 收敛准则） 07 级陈力黄文飞
∀ n, p ∈ Ν 及 ∀p ，要使
an+ p − an ≤ an+ p − an+ p−1 + an+ p−1 − an+ p−2 +⋯+ an+1 − an
x+1 = −∞ . P.47, 1(2) 用定义证 lim + x→ −2 x + 2
1 lim x[ ] . x→ 0 x
1 1 1 解：由 − 1 < [ ] ≤ 得 1 − x = x x x
1 1 1 x − 1 < x[ ] ≤ x = 1 x x x
1 1 1 正解： x > 0 时，由 − 1 < [ ] ≤ 得 x x x 1 1 1 1 − x = x − 1 < x[ ] ≤ x = 1 ． x x x
单增，单减， {an } 单增， {bn } 单减，证： lim(bn − an ) = 0 ⇒ lim bn = lim an n→∞ n→∞ n→∞
收敛数列由 lim(bn − an ) = 0 知， ∀ε > 0 ，存在 N ， Cauchy 收敛准则 n →∞
使得对 ∀ n > N 及 ∀p ，都有
f ′( x0 ) = ∞ 时，
切线方程：切线方程： x = x0
π
法线方程： y = y0 线方程：
2 ) 处的切线方程、法线方程处的切线方程、例 7 求 y = cos x 在点 ( , 4 2

2.2导数基本公式与求导法则

§2. 2 导数的基本公式与求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则定理1 如果函数u =u (x )及v =v (x )在点x 具有导数, 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x 具有导数, 并且（1）和差法则[u (x ) ±v (x )]'=u '(x ) ±v '(x ) ;（2）积法则[u (x )⋅v (x )]'=u '(x )v (x )+u (x )v '(x );特别地如果v =C (C 为常数), 则有(Cu )'=Cu '. （3）商法则)()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡. 例1．y =2x 3-5x 2+3x -7, 求y '解: y '=(2x 3-5x 2+3x -7)'= (2x 3)'-(5x 2)'+(3x )'-(7)'= 2 (x 3)'- 5( x 2)'+ 3( x )' =2⋅3x 2-5⋅2x +3=6x 2-10x +3.例2. 2 sin cos 4)(3π-+=x x x f , 求f '(x )及)2 (πf '.解: x x x x x f sin 43)2 (sin )cos 4()()(23-='-'+'='π,443)2 (2-='ππf .例3．y =e x (sin x +cos x ), 求y '.解: y '=(e x )'(sin x +cos x )+ e x (sin x +cos x )' = e x (sin x +cos x )+ e x (cos x -sin x ) =2e x cos x . 例4．y =tan x , 求y '.解: xx x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ()(tan '-'='='='x xx x x 22222sec cos 1cos sin cos ==+=.即 (tan x )'=sec 2x .例5．y =sec x , 求y '.解: xx x x x y 2cos )(cos 1cos )1()cos 1()(sec '⋅-'='='='x x2cos sin ==sec x tan x . 即 (sec x )'=sec x tan x .用类似方法, 还可求得余切函数及余割函数的导数公式: (cot x )'=-csc 2x ,(csc x )'=-csc x cot x . 二、反函数的求导法则定理2 如果函数x =f (y )在某区间I y 内单调、可导且f '(y )≠0, 那么它的反函数y =f -1(x )在对应区间I x ={x |x =f (y ), y ∈I y }内也可导, 并且)(1])([1y f x f '='-. 或dydx dx dy 1=. 上述结论可简单地说成: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 例6．求函数y =arcsin x 的导数解：设x =sin y , ]2 ,2 [ππ-∈y 为直接函数, 则y =arcsin x 是它的反函数. 函数x =sin y 在开区间)2 ,2 (ππ-内单调、可导, 且(sin y )'=cos y >0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(-1, 1)内有2211sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin x y y y x -=-=='='. 类似地有: 211)(arccos x x --='.例7．求函数y =arctan x 的导数解：设x =tan y , )2,2 (ππ-∈y 为直接函数, 则y =arctan x 是它的反函数. 函数x =tan y 在区间)2 ,2 (ππ-内单调、可导, 且(tan y )'=sec 2 y ≠0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(-∞, +∞)内有 22211t a n11s e c 1)(t a n 1)(a r c t a n x y y y x +=+=='='. 类似地有: 211)cot arc (xx +-='.例8求y =log a x 的导数解：设x =a y (a >0, a ≠1)为直接函数, 则y =log a x 是它的反函数. 函数x =a y 在区间I y =(-∞, +∞)内单调、可导, 且(a y )'=a y ln a ≠0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(0, +∞)内有ax a a a x y y a ln 1ln 1)(1)(log =='='. 到目前为止, 所基本初等函数的导数我们都求出来了, 那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x 、3x e 、的导数怎样求？三、复合函数的求导法则定理3 如果u =g (x )在点x 可导, 函数y =f (u )在点u =g (x )可导, 则复合函数y =f [g (x )]在点x 可导, 且其导数为)()(x g u f dxdy'⋅'=或dx du du dy dx dy ⋅=.例9 3x e y =, 求dxdy. 解：函数3x e y =可看作是由y =e u , u =x 3复合而成的, 因此32233x u e x x e dxdu du dy dx dy =⋅=⋅=. 例10 212sin x x y +=, 求dxdy.解函数212sin x x y +=是由y =sin u , 212x x u +=复合而成的, 因此2222222212cos )1()1(2)1()2()1(2cos xx x x x x x u dx du du dy dx dy +⋅+-=+-+⋅=⋅=. 对复合函数的导数比较熟练后, 就不必再写出中间变量, 例11．lnsin x , 求dxdy.解:)(sin sin 1)sin (ln '⋅='=x xx dx dyx x x cot cos sin 1=⋅=.例12．3221x y -=, 求dxdy . 解: )21()21(31])21[(2322312'-⋅-='-=-x x x dx dy 322)21(34x x --=. 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y =f (u ), u =ϕ(v ), v =ψ(x ), 则dxdv dv du du dy dx du du dy dx dy ⋅⋅=⋅=. 例13．y =lncos(e x ), 求dxdy . 解:])[cos()cos(1])cos([ln '⋅='=x x x e e e dx dy)tan()()]sin([)cos(1x x x x x e e e e e -='⋅-⋅=.例14．xe y 1sin =, 求dxdy . 解:)1(1cos )1(sin )(1sin 1sin 1sin '⋅⋅='⋅='=xx e x e e dx dy xe x x 1cos 11sin 2⋅⋅-=. 例15设x >0, 证明幂函数的导数公式 (x μ)'=μ x μ-1.解因为x μ=(e ln x )μ=e μ ln x , 所以(x μ)'=(e μ ln x )'= e μ ln x ⋅(μ ln x )'= e μ ln x ⋅μ x -1=μ x μ-1.四、初等函数的导数常用与基本初等函数的导数公式: (1)(C )'=0, (2)(x μ)'=μ x μ-1, (3)(sin x )'=cos x , (4)(cos x )'=-sin x , (5)(tan x )'=sec 2x , (6)(cot x )'=-csc 2x , (7)(sec x )'=sec x ⋅tan x , (8)(csc x )'=-csc x ⋅cot x , (9)(a x )'=a x ln a , (10)(e x )'=e x , (11) ax x a ln 1)(log =',(12) x x 1)(ln =',(13) 211)(arcsin x x -=', (14) 211)(arccos x x --='. (15) 211)(arctan x x +=',(16) 211)cot arc (xx +-='.例16．y =sin nx ⋅sin n x (n 为常数), 求y '. 解: y '=(sin nx )' sin n x + sin nx ⋅ (sin n x )'= n cos nx ⋅sin n x +sin nx ⋅ n ⋅ sin n -1 x ⋅(sin x )'= n cos nx ⋅sin n x +n sin n -1 x ⋅ cos x =n sin n -1 x ⋅ sin(n +1)x .。

名师推荐第二章2求导法则,隐函数求导,高阶导数,微分

求
解: y cos x sin( x )
x
(arccos x) 1
1 x2
(arc
cot
x)

1
1 x
2
一、导数的四则运算法则定理1 如果函数u =u(x) 及v =v(x)均在点 x 可导，则函数u =u(x) 及v =v(x)的和、差、积、商 (除分母为
0 的点外) 都在点 x 可导，且
(1) [u(x) v(x)] u(x) v(x),
称的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作或
即 y

( y)或
d2 y d x2

d (dy) d x dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
(n-1)阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
或
二阶导数以及二阶导数以上的导数称为高阶导数 ,
例1 设
求
解: y a1 2a2 x 3a3x2 nan xn1
u
sin x
推广：复合函数法则可推广到多个中间变量的情形.
例如,
dy dy d u dv f (u) (v) (x) dx d u dv dx
关键: 搞清复合函数结构由外向内逐层求导.
解:

1 cos(e x
)

( sin(
ex
))
ex
ex
tan(e x
)
补充例题. 求下列导数:
cos y 0, 则
22
1 (sin y) cos y
1

1 sin 2 y
1 1 x2
利用 arccos
x

第三节导数的基本公式与运算法则

(u) v

uvuv v2
特别地
(
C v
)

Cv（
v2
C
为常数）
例3
求
y
x4 3
4 x3
的导数
解
y
(
x4 3
)
(
4 x3
)
1(x4)4(x3) 3

4 3
x3

12 x4
1/30/2020
第三章导数与微分
例4
求
y

x2 1 x2 1
的导数
解 y(x21)(x2 (x 1)2 (1 x )2 21)(x21)
1/30/2020
第三章导数与微分
（3）设 ytanx （4）设 ycotx
y(tanx)(sinx) cosx
(sinx)cosxsinx(cosx)

cos2x

cos2 xsin2 cos2 x
x

1 cos2
x
sec2
x
(tanx)sec2x 同理可得 (cotx)csc2x
故
yf(可导一定连续 x 0 u 0
0
所以 dy lim y lim[f(u)uu]
dx x0 x x0
x x
f(u)(x) dy du
du dx
证毕.
1/30/2020
也可导，且 y ( x ) u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x )
证明 y(x)lim y(xh)y(x)
h 0
h
lim u (x h )v(x h ) u (x )v(x )

导数计算公式和法则

导数计算公式和法则导数计算公式和法则是微积分中重要的概念之一。

导数是函数的变化率，我们通过求导来计算函数的导数。

以下是导数计算公式和法则的详细说明：一、基本导数公式1、常数函数的导数为0，即f(x)=C，则f'(x)=0。

2、幂函数的导数，对于正整数n，f(x)=x^n，则f'(x)=nx^(n-1)。

3、指数函数的导数，f(x)=a^x，则f'(x)=a^xln(a)。

4、对数函数的导数，f(x)=ln(x)，则f'(x)=1/x。

5、三角函数的导数：（1）sin(x)的导数为cos(x)，即(sin(x))'=cos(x)。

（2）cos(x)的导数为-sin(x)，即(cos(x))'=-sin(x)。

（3）tan(x)的导数为sec^2(x)，即(tan(x))'=sec^2(x)。

二、导数的四则运算法则1、和差法则：（f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)，（f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)。

2、积法则：（f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。

3、商法则：（f(x)/g(x))'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g(x)^2。

三、复合函数的导数1、复合函数的链式法则：如果g(x)和f(x)都是可导函数，则复合函数h(x)=g(f(x))的导数为h'(x)=g'(f(x))f'(x)。

2、反函数的导数：如果y=f(x)是单调且可导的函数，且f'(x)≠0，则其反函数x=f^-1(y)的导数为dx/dy=1/f'(f^-1(y))。

以上就是导数计算公式和法则的详细说明，掌握这些公式和法则可以帮助我们更好地理解和应用微积分中的导数概念。

函数的求导法则2-3

( 1 ) [ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x );
( 2 ) [ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x );
(3 )[u v ( (x x ) )]u (x )v (x v )2 (x u )(x )v (x ) (v (x ) 0 ).
解 y ln u ,u six .n
dy dy dx du
du dx

1 u

cos
x
cos sin
x x
coxt
可推广到多个中间变量
设 y f ( u )u ,( v )v ,( x ),
则复合y函 f数 {[(x)]的 } 导数为
dydydudv. dx dudvdx
h 0
v (x h ) v (x ) h
u (xh )u (x)v(x)u (x)v(xh )v(x)
lim h
h
h 0
v(xh )v(x)
u(x)v([xv)( x)u2 (]x)v(x)
f(x)在x处可. 导
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
上面的法则可分别简写为：
(1 )(uv)u v;
2co2xsln x1si2n x. x
四、基本求导法则与导数公式
1.常数和基本初等函数的导数公式
(C) 0
(x) x1
(a x ) a x ln a
(log a
x)

1 x ln a
(sinx) cos x
(e x ) e x (ln x ) 1
x (cosx) s inx
1
1 x

求导法则与求导基本公式

u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
(v( x) 0).
推论
n
n
(1) [ fi ( x)] fi( x);
i 1
i 1
(2) [Cf ( x)] Cf ( x);
(3)
n
[ fi ( x)]
f1( x) f2( x)
fn ( x)
i 1
f1( x) f2( x) fn( x)
(arctan
x
)
1
1 x
2
;
(
arccot
x)
1
1 x2
.
例2 求函数 y log a x 的导数.
(ln x) 1 . x
三. 复合函数求导
定理由函数 y f (u)与 u u( x) 复合而成的函数 y f (u( x))。若 f (u) 与 u( x) 存在，则 y f (u( x) 在 x 可导，且 dy dy du . dx du dx
(e x ) e x (ln x) 1
x
(arcsin x) 1 1 x2
(arctan
x )
1
1 x
2
(arccos x) 1 1 x2
(
arccot
x)
1
1 x2
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设u u( x), v v( x)可导，则
（1）(u v) u v, （2）(cu) cu ( C 是常数)
u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
(v( x) 0).
❖ 反函数求导反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
3.复合函数的求导法则