§求导法则与导数公式

例 7．已知 f 由 y f ( x)lnx( x )3 所定义，求 ( f 1 )(2) 。 e
解： f (e)2 ，
f ( x) 在 xe 的某邻域内是严格单调增加
的连续函数，
且
f
(e)(
1 x
3x2 e3
)
xe
4 e
0
，
∴ ( f 1)(2) 1 e 。 f (e) 4
例 8．（1）求 yarcsinx ， x(1, 1)的导数。
(thx
)(
shx chx
)
1 ch2
xห้องสมุดไป่ตู้
.
例 4．设 f ( x) x( x1)(x2) ( x100) ， 求 f (0) 。
解法 1：（利用乘积的求导法则）
f ( x) x [(x1)(x2) ( x100)] x[(x1)(x2) ( x100)]
[(x1)(x2) ( x100)] x[(x1)(x2) ( x100)]
f ( xx)g( xx) f ( x)g( xx) lim [
x0
x
f ( x)g( xx) f ( x)g( x)] x
g( x)在点 x 可导, g( x)在点 x 连续,
lim [
x0
f
( xx) x
f
(
x)
g(
x
x
)]
lim
x0
g(
x
x
)
g( x).
lim [ f ( x) g( xx) g( x)] f ( x)g( x) f ( x)g( x)
例
6．设
f
(
x)
1 e 2
x
2
,
x
, x 0, x0.
求 f ( x) 。
解：当 x0 时， f (x)(1e2x )[(e2)x ]
e2x lne2 2e2x ，
当 x0 时， f (x)(x2)2x ，
当 x0 时，∵ f (00) f (00) f (0)0 ，
∴ f ( x) 在点 x0 连续。
在点 x 处 连续，证明 f ( x) 在点 x 处 可导。
分证析明：：仅f知( xg()x)0连，续，故不能用乘法求导公式，
∵
f
(
x只)能 x从lim导x数f (的xx定 )义xf(出x发) 来xl证imx明 g。( x
)sin( x x x
x)
g( x), 0,
1 .
1
∴ f ( x) 在点x 处 可导。
f (x)] g(x)
f
(
x)
g(x) f ( [g( x)]2
x)
g(
x)
,(
g
(
x)
0)
；
特别
[
1 g(x)
]
[
g( x) g( x)]2
,
(g( x) 0) .
只证证明公：式令（y2）f。( x) g( x) ，则
y lim y x0 x
lim
x0
f ( xx)g( xx) x
f (x)g(x)
§2.2 求导法则与导数公式
2.2.1若干基本初等函数的导数
1.(C )0 ； 2. ( x )x1 (R) ； 3. (sinx)cosx ； 4. (cosx)sinx ；
5.
(loga
x)
1 xlna
；
6. (a x )a x lna ；
(lnx) 1 ； x
(e x )e x 。
2.2.2导数的四则运算法则
定理 1 若函数 f ( x) 、g( x) 在点 x 处可导 ， 则（1）[( f ( x) g( x)] f ( x) g( x) ；
（2）[ f ( x) g( x)] f ( x) g( x) f ( x) g( x) ； 特别[cf ( x)] Cf ( x) (C为常数) ；
（3）[
1.反函数求导法则
定理 2 设定义在区间(c, d ) 内的严格单调连续函数 x f ( y) 在点 y 处可导， 且 f ( y)0 ，则它的反函数 y f 1( x) 在对应点 x f ( y) 处也可导，且
( f 1)( x) 1 或 dy 1 . f ( y) dx dx dy
定理表明反函数的导数等于直接函数的导数的倒数。
x0
x
公式（1）、（2）可以推广到有限多个函数的情形。
例如: (uvw) uvw uvw uvw
例 1．求下列函数的导数
（1）
y
x5
x x3
13
x
cos
x
；
解：
y
x2
5
x2
x3 3 x cos
x
，
y(
x
2
)(
x
5 2
)(
x
3
)
(3
x
)cos
x
3
x
(cosx)
2
x
5
x
7 2
3
x
4
3
x
ln3cos
解：∵ yarcsinx 在(1, 1) 内严格单调增加且连续，
∴ xsiny 在( , ) 内也严格单调增加且连续， 22
又当 y( , 2
2
)
时，
xy
∵
f
(0)
lim
x0
f
(x) f x0
(0) lim 1e2x 0 2 ， x0 x0
f
(0)
lim
x0
f ( x) f (0) lim
x0
x0
x200 ， x0
∴ f ( x) 在点 x0 不可导。
故
f
(
x
)
2e
2
x
,
x
0,
2 x, x0.
分段函数求导的关键是：用定义对分段点求导。
2.2.3 反函数的导数
类似地可得： (cot x)csc2 x,
(secx)secxtan x, (cscx) cscxcot x.
例 3．求 y shx 的导数
解：
y ( shx
)[
1 (e
2
x
ex
)]
1 (e
2
x
1 ex
)
1 (e
2
x
e x e2x
)
1 (e
2
x
e
x
)chx,
即 (shx )chx .
类似地可得 (chx)[1(e x ex )] shx, 2
)
3x2sinx(lnx 1 ) x3cosx(lnx 1 )( x x2 )sinx.
x
x
例 2.求函数 ytanx 的导数。
解：
y(tanx)(
sinx cosx
)
(sin
x)cos xsinx(cos cos 2 x
x
)
cos2 xsin2 cos2 x
x
1 cos2
x
se
c2
x.
即 (tanx)sec2 x
x
3
x
sinx
。
2
（2） y x3sinx(lnx 1 ) x
解： y[x3sinx(lnx 1 )] x
( x3 )sinx(lnx 1 ) x3(sinx)(lnx 1 ) x3sinx(lnx 1 )
x
x
x
3
x
2
s
inx(ln
x
1 x
)
x
3
cos
x(ln
x
1 x
)
x
3
sinx(
1 x
1 x2
f (0)(1)(2)(3) (100)100!.
解法 2：（利用导数的定义）
f
(0)
lim
x0
f
(
x) f x0
(0)
lim
x0
x( x1)(
x 2) x
(
x 100) 0
lim ( x1)( x2) ( x100)100!.
x0
例 5．已知 f (x) g(x)sin( x x)(1) ，其中 g( x)