春高三第二轮复习专题三解析几何A(教师)

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高三数学二轮复习专题突破课件：解析几何

3
A．[1，＋∞) B．[－1，－ )
3
C．( ，1]
4
4
D．(－∞，－1]
答案：B
解析：∵y＝kx＋4＋2k＝k(x＋2)＋4，所以直线过定点(－2，4)，曲线y＝
4 − x 2 变形为x2＋y2＝4(y≥0)，表示圆的上半部分，当直线与半圆相切时直线斜
3
率为k＝－，当直线过点(2，0)时斜率为－1，结合图象可知实数k的取值范围是
a=2
所以 ሺ2 − 3 − ሻ2 + 2 = 2 ，解得 b = 1 .
r=2
2 + ሺ1 − ሻ2 = 2
所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
4．[2023·广东深圳二模]过点(1，1)且被圆x2 ＋y2 －4x－4y＋4＝0所
x＋y－2＝0
截得的弦长为2 2的直线的方程为___________．
－2)的距离为 2 − 0 2 + 0 + 2 2 ＝2 2，由于圆心
α
2
5
＝
2 2 2 2
α
αபைடு நூலகம்
α ＝ 2sin cos ＝
2
2
与点(0，－2)的连线平分角α，所以sin ＝
10
α
6
，所以 cos ＝，所以 sin
4
2
4
10
6
15
2×
× ＝ .故选B.
4
4
4
r
＝
(2)[2023·河南郑州二模]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2
解析：圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝4，
圆心为(2，2)，半径r＝2，

春季08-高三数学培优版-三轮复习专题：解析几何解答题分析2-教师版

教师姓名学生姓名年级高三上课时间学科数学课题名称专题：解析几何解答题分析2一．知识梳理：解析几何在解答题中研究在基础问题的处理上常会研究曲线的方程求法、几何性质以及一些几何形式的应用（距离、角、面积、弦等），在提升拔高上常会研究变量的参与使得产生动态问题，随着动态的变化研究相应的范围、最值、定点、定值等一系列问题 1.范围、最值问题 2.定值问题、存在性问题； 3.过定点、定直线等问题二、例题讲解：例1.（2017届奉贤二模21）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，左焦点是1F .（1）若左焦点1F 与椭圆E 的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,3Q 在椭圆E 上.求椭圆E 的方程；（2）过原点且斜率为()0t t >的直线1l 与（1）中的椭圆E 交于不同的两点,G H ，专题：解析几何解答题分析2AB CM k k ⋅2CM k ∴=16(k ∴∆=4r ==23k ∴=∉综上所述，直线(3)([)0,24,5r ∈时，共时，共4条；1与双曲线22a b-=220F A F B +=．将直线右侧的双曲线部分（不含A ,B 两点）记为曲线作一条射线，分别交(,)M M M x y (点M 在第一象限1F P .）求2W 的方程）证明:x 斜率之间的关系; ）设直线MF 220F A F B +=知，F 且由椭圆与双曲线的对称性知，A 、B 关于x 轴对称，2(1,)2A ，2(1,2B -a 1F P =(x p +1,1F M =(x M +1,1)p x +，即p p mx m my +-分别在曲线1W 上，有现2931A B y y m =-, 21231A Bmy y m +=--, 代入上式, 得1812(2)0m t m --=对一切33m ≠±都成立. 即182412t =-, 12t =. 此时交点的横坐标为()B A A By x t x t y y --=+-2()(2)(2)11125222224A B BB A A B A B ty y t y my t t y y y y y -+--+--=+=+=+=---. 综上, t 存在, 12t =, 此时两直线的交点为5,04⎛⎫⎪⎝⎭. 21. [2019届普陀二模21]设曲线2:2y px Γ=（0p >），D 是直线:2l x p =-上的任意一点，过D 作Γ的切线，切点分别为A 、B ，记O 为坐标原点. （1）设(4,2)D -，求△DAB 的面积；（2）设D 、A 、B 的纵坐标依次为0y 、1y 、2y ，求证：1202y y y +=；（3）设点M 满足OM OA OB =+，是否存在这样的点D ，使得M 关于直线AB 的对称点N 在Γ上？若存在，求出D 的坐标，若不存在，请说明理由. 21.（1）205；（2）略；（3）(2,0)p -例5.（2018届虹口区年二模20题）如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”. （1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=；（2）设A ，B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA ，MB 分别交y 轴于点P ，Q ，过M 的椭圆C 的“切线”l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；(2,d n =1(1MF =-2(1)MF n =--，记d 与1MF 的夹角d 与2MF 的夹角分114d MF d MF ⋅=224d MF d MF ⋅=cos αβ=，有届杨浦区年二模12KF KF ⋅的范围；能否为平行四边形？，设),(y x K的坐标；如果不存在，请说明理由；2OP OQ OM +=，当b 33， 2c b =， ………………221PF ，即2224c PF +=所以，椭圆Γ上不存在这样的点E ，使得1F E 、关于直线l 成轴对称. ……10分（3）由3a b =，得椭圆Γ方程为222330x y b +-=，且2c b =，2F 的坐标为(2,0)b ，所以可设直线l 的方程为2(cot )x m y b m α=+=，代入222330x y b +-=得：()2223220my bmy b ++-=因为点M 满足2OP OQ OM +=，所以点M 是线段PQ 的中点设M 的坐标为(),x y ''，则y '=122223y y bmm +=-+ ………………12分因为直线1:6l y =上总存在点M 满足2OP OQ OM +=所以2263bm y m '=-=+，且0m <，所以333236b m m ⎛⎫=-+≥⋅= ⎪-⎝⎭，当且仅当3m m-=-，即3m =-时取等号. ………………14分所以当cot 3m α==-时，min 6b =，此时直线l 的倾斜角56πα=. …………16分8.（2018届长嘉二模20）已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的焦距为32，点)2,0(P 关于直线x y -=的对称点在椭圆Γ上．（1）求椭圆Γ的方程；（2）如图，过点P 的直线l 与椭圆Γ交于两个不同的点C 、D （点C 在点D 的上方），试求△COD 面积的最大值；（3）若直线m 经过点)0,1(M ，且与椭圆Γ交于两个不同的点A 、B ，是否存在直线0l ：0x x =（其中20>x ），使得A 、B 到直线0l 的距离A d 、B d 满足||||MB MA d d B A =恒成立？若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由．答案：（1）点)2,0(P 关于直线x y -=的对称点为)0,2(-， ……………………………（1分）因为)0,2(-在椭圆Γ上，所以2=a ，又322=c ，故3=c ， ………………（3分）MO xy l P CD·则212120222210)1(||)1(||||||y x x x y x x x MA d MB d B A +-⋅--+-⋅-=⋅-⋅2122022210)1)(1(||)1)(1(||-+⋅---+⋅-=x k x x x k x x |]1||||1||[|11202102-⋅---⋅-⋅+=x x x x x x k )]1)(()1)([(11202102-----⋅+=x x x x x x k[]02))(1(212121002=+++-⋅+=x x x x x x k ，所以，02))(1(2212100=+++-x x x x x x ， ………………………………（4分）即014)1(814)1(82222200=+-+++-k k k k x x ，解得40=x ． …………………………（5分）综上，存在满足条件的直线4=x ，使得||||MB MA d d B A =恒成立． ………………（6分）9.（2018届徐汇二模20）如图，,A B 是椭圆22:12x C y +=长轴的两个端点，,M N 是椭圆上与,A B 均不重合的相异两点，设直线,,AM BN AN 的斜率分别是123,,k k k .(1)求23k k ⋅的值； (2)若直线MN 过点2,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，求证：1316k k ⋅=-； (3)设直线MN 与x 轴的交点为(,0)t (t 为常数且0t ≠)，试探究直线AM 与直线BN 的交点Q 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．答案：(1)设00(,)N x y ，由于(2,0),(2,0)A B -，所以200232000222y y y k k x x x ⋅=⋅=--+，因为00(,)N x y 在椭圆C 上，于是220012x y +=，即220022x y -=-，所以222122122211222(2)()(2)(2)(2)222(2)(2)(2)(2)2t mt m t y m t t m y m m t m t t m y m t y m -⋅++---+-++++==--+-+⋅+-+ 2121(2)(2)222(2)(2)2m t m y t t t m t m y t-+-+++=⋅=-+++-，于是2xt =，所以2x t =，即直线AM 与直线BN 的交点Q 落在定直线2x t=上．16分 10.（2017届黄浦二模20）设椭圆M :22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A 、中心为O ，若椭圆M 过点11(,)22P -，且AP PO ⊥．（1）求椭圆M 的方程；（2）若△APQ 的顶点Q 也在椭圆M 上，试求△APQ 面积的最大值；（3）过点A 作两条斜率分别为12,k k 的直线交椭圆M 于,D E 两点，且121k k =，求证：直线DE 恒过一个定点．答案：（1）由 AP OP ⊥，可知1AP OP k k ⋅=-，又A 点坐标为(,0),a -故1122111+22a ⋅=---，可得1a =，因为椭圆M 过P 点，故211+144b =，可得213b =，所以椭圆M 的方程为22113yx +=．（2）AP 的方程为01110122y x -+=--+，即10x y -+=，由于Q 是椭圆M 上的点，故可设3(cos ,sin )3Q θθ，所以3cos sin 1312222APQ S θθ∆-+=⨯⨯123cos()1436πθ=++ 当2()6k k πθπ+=∈Z ，即2()6k k πθπ=-∈Z 时，APQ S ∆取最大值．故APQ S ∆的最大值为3164+． xy。

2023年高考数学三轮复习解析几何(解析版)

查补易混易错点06解析几何1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错．2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为xa ＋ya＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等．3．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0.当两条直线的斜率相等时，两直线平行或重合，易忽视重合．4致错解．5．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．6．易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误．7．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解．8．直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进1．（2023·吉林·统考三模）已知圆C：线l的距离为（）123．（2023·甘肃兰州则a 的取值范围是（A ．[12,12]-+C ．[2,12)+【答案】B【解析】2y =-即曲线2y x =--作出曲线2y =-4．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）设()4,0B ，若AF BF =，则AB A ．2B ．22A．2B 【答案】DPQ=【解析】因为24A ．22194y x -=B ．22124y x -【答案】B【解析】双曲线(222104y x a a -=>以原点为圆心，双曲线虚半轴长为半径长的圆的方程为A ．23B 【答案】D【解析】以A 为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，由题意知：NQ a c =+，则直线:134xy PR -+=，即设()(),03Q n n <-，则M ∴点M 到直线PR 的距离71322QR ∴=-+=，即a -设直线(:4PN y kx k =+>∴点M 到直线PN 的距离又直线PN PR k k <，15k ∴=令0y =，解得：152x =-715422NQ ∴=-+=，即将()MAy k x a =+与by x a =-联立，解得将()MA y k x a =+与by x a =联立，解得因为线段MA 被两条渐近线三等分，所以212y y =，即MA MAk abb ak=-对于B ：设()00,M x y ，则15．（多选题）（2023·广东左、右焦点分别为1F ，2F ，A ．若()2,1P ，且2PF x ⊥B ．若C 的一条渐近线方程是C ．若点P 在C 的右支上，D ．若12sin sin PF F e PF ∠=⋅∠【答案】AD【解析】对于A ，若(2,1P 所以()221221PF PF -=+221x y -=，故A 正确；对于B ，若C 的一条渐近线方程是确；对于C ，若C 的离心率为等腰三角形，则1PO OF =18．（2023·山东聊城·统考模拟预测）已知双曲线2F ，且124F F =，(3,2)P 是(1)求C 的方程；(2)不垂直于坐标轴的直线l 轴于点D ，若||||2|AM AN ⋅=【解析】（1）设C 的焦距为由双曲线的定义，得2a PF =即3a =，所以22b c a =-=故C 的方程为2213x y -=；（2）设(),0A s ，()11,M x y ，联立2213x ty s x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得(2t -由题意，得222230Δ44(3)(t s t t ⎧-≠⎨=--⎩则12223st y y t -+=-，212233s y y t -=-()(1AM AN AM AN x s ⋅=⋅=-由OA OB ⊥得直线OB 方程为：由24y kx y x =⎧⎨=⎩，解得244,A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

高三数学第二轮复习教案——解析几何

2020年高三数学第二轮复习教案——解析几何（4课时）一、考试内容回顾2009年高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为26.9分，占17．9％；近几年以来，解析几何内容在全卷的平均分值为29.3分，占19.5％．因此，占全卷近1/5的分值的解析几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重视．高考试题中对解析几何内容的考查几乎囊括了该部分的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及．高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。

其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。

选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。

解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平面几何知识和向量的方法．．．．．．．．．．．．，这一点值得强化二、高考大纲要求(一)直线和圆的方程1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。

2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。

3．了解二元一次不等式表示平面区域。

4．了解线性规划的意义，并会简单的应用。

5．掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的参数方程。

(二)圆锥曲线方程1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。

2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。

3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。

4．了解圆锥曲线的初步应用。

三、复习目标1.能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.3．理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.4．掌握圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a 、b 、c 、p 、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.四、基础知识再现(一)直线的方程1.点斜式：)(11x x k y y -=-；2. 截距式：b kx y +=；3.两点式：121121x x x x y y y y --=--；4. 截距式：1=+bya x ；5.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0.(二)两条直线的位置关系两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.设直线1l ：y =1k x +1b ，直线2l ：y =2k x +2b ，则1l ∥2l 的充要条件是1k =2k ，且1b =2b ；1l ⊥2l 的充要条件是1k 2k =-1.(三)线性规划问题1．线性规划问题涉及如下概念：⑴存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x 、y 的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件.⑵都有一个目标要求，就是要求依赖于x 、y 的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值.特殊地，若此函数是x 、y 的一次解析式，就称为线性目标函数.⑶求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题. ⑷满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解. ⑸所有可行解组成的集合，叫做可行域.⑹使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解. 2．线性规划问题有以下基本定理：⑴ 一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形. ⑵ 凸多边形的顶点个数是有限的.⑶ 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到. 3.线性规划问题一般用图解法. (四)圆的有关问题 1.圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a ，b ），半径为r.特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r 时，圆的方程为222r y x =+. 2.圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0）称为圆的一般方程，其圆心坐标为（2D -，2E -），半径为F E D r 42122-+=.当F E D 422-+=0时，方程表示一个点（2D -，2E -）；当F E D 422-+＜0时，方程不表示任何图形. (四)椭圆及其标准方程1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），12222=+bx a y （a ＞b ＞0）.3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x 项的分母大于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(五)椭圆的简单几何性质1.椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222=+by a x （a ＞b ＞0）.⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）.线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ace =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义⑴ 定义：平面内动点M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ac e =（e ＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.⑵ 准线：根据椭圆的对称性，12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的准线有两条，它们的方程为c a x 2±=.对于椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0）的准线方程，只要把x 换成y 就可以了，即ca y 2±=.(六)椭圆的参数方程椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不同：θαtan tan ab=； ⑵ 椭圆的参数方程可以由方程12222=+by a x 与三角恒等式1sin cos 22=+θθ相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. (七)双曲线及其标准方程1.双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.2. 双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. (八)双曲线的简单几何性质1.双曲线12222=-by a x 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a ce =＞1，离心率e 越大，双曲线的开口越大.2. 双曲线12222=-by a x 的渐近线方程为x a by ±=或表示为02222=-b y a x .若已知双曲线的渐近线方程是x nmy ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式： k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线12222=-b y a x ，它的焦点坐标是（-c ，0）和（c ，0），与它们对应的准线方程分别是c a x 2-=和ca x 2=.在双曲线中，a 、b 、c 、e 四个元素间有ac e =与222b a c +=的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件. (九)抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。

2021-2022年高三数学第二轮专题复习解析几何问题的题型与方法人教版

2021年高三数学第二轮专题复习解析几何问题的题型与方法人教版一．复习目标：1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.3．理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.4．掌握圆的标准方程：（r ＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程（θ为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a 、b 、c 、p 、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.二．考试要求：(一)直线和圆的方程1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。

【专题复习】高三数学第二轮复习专题之《解析几何》

高三数学专题复习《解析几何》解题思路与方法：高考试题中的解析几何的分布特点是除在客观题中有1~2个题目外，就是在解答题中有一个压轴题.也就是解析几何没有中档题.且解析几何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线和圆锥曲线的位置关系、关于圆锥曲线的最值问题等.其中最重要的是直线与圆锥曲线的位置关系.在复习过程中要注意下述几个问题：（1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键。

（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍。

（3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程。

一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤。

定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置。

定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)。

定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。

（4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义。

高三二轮复习解析几何课件

2
24
它与
y
轴的交点为
ห้องสมุดไป่ตู้
F

0,

x02 4

由于 2
x0

2, 因此 1
x0 2
1
①当 1 t
0 时， 1
t
1 2
1 ，存在 2
x0
(2, 2), 使得
x0 2

t
1 ， 2
即 l 与直线 PA 平行，故当 1 t 0 时不符合题意
相交，交点分别为 D,E，且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数？若存在，求 t 的值；若不存在，说明理由.
解：（1）由 MA 2 x,1 y, MB 2 x,1 y
MA MB 2x2 2 2 y2 ,OM OA OB = x, y0,2 2y ，
（1）直译法：将原题中由文字语言明确给出动
点所满足的等量关系直接翻译成由动点坐标表示的等量关系式.
（2）代入法：所求动点与已知动点有着相互关系，可用所求动点坐标（x , y）表示出已知动点的坐标，然后代入已知的曲线方程.
（3）参数法：通过一个（或多个）中间变量的
引入，使所求点的坐标之间的关系更容易确立，消去参数得坐标的直接关系便是普通方程.
（2）圆锥曲线
主要考查圆锥曲线的概念和性质，直线与圆锥曲线的位置关系等，考查方式大致有以下三类：考查圆锥曲线的概念与性质；求圆锥曲线的方程和求轨迹；关于直线与圆锥曲线的位置关系。
考查的主要问题：
（1）几何特征问题；（2）运用圆锥曲线定义解决的问题；（3）求曲线方程问题；（4）最值范围问题；（5）探索性问题.

高考二轮复习解析几何(教师版)

高三零模冲刺讲义C 级考点讲解与训练之四解析几何C 级考点回顾：直线的方程、圆的方程一、课本回顾与拓展1.（P85练习3）已知两点A （3,2），B (8，12)，若点C （-2，a ）在直线AB 上，则实数a =_________.2.（P88习题9）直线l 经过点)1,3(-，且与两条坐标轴的截距相等，则直线l 的方程为____________________.3. （P88习题15）已知两条直线0111=++y b x a 和0122=++y b x a 都过点A(1，2)，则过两点),(),,(222111b a P b a P 的直线的方程为_______________.4.（P92例5改编）在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直，BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，120ABC ∠=，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知60ACD ∠=，路宽24AD =米，设灯柱高AB h =（米），ACB θ∠=（3045θ≤≤）（1）求灯柱的高h （用θ表示）；（2）若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．5. （P96习题9）已知三条直线082,01=+-=++y x y x 和053=-+y ax 共有三个不同的交点，则实CBAD数a 的取值范围是______________.6.（P105练习3）直线0546=+-y x 与直线x y 23=的距离为__________. 7.（P105习题4）已知B A ,两点都在直线1-=x y 上，且B A ,两点的横坐标之差为2，则B A ,两点之间的距离为___________.8.（P106习题14）过点)0,3(P 作直线l ，使它被两条相交直线022=--y x 和03=++y x 所截得的线段恰好被点P 平分，则直线l 的方程为____________.9.（P106习题16）已知光线通过点A(2，3)，经直线01=++y x 反射，其反射光线通过点B(1,1),则反射光线所在直线的方程为___________.10.（P112习题12）已知点(,)M x y 与两定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12，那么点M 的坐标满足的关系为_____________.11.（P116例2）过点)6,0(A 且与圆01010:22=+++y x y x C 切于原点的圆的方程为______________. 12.（P116练习2）若圆m y x =+22与圆0118622=--++y x y x 相交，则实数m 的取值范围是_______. 13.（P28习题12）圆044422=++-+y x y x 被直线5-=x y 所截得的弦的长度为____________.14.（P117习题8）已知一个圆经过直线042=++y x l ：与圆014222=+-++y x y x C ：的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为_____________.15.（P128习题2）如果0,0><BC AC ，那么直线0=++C By Ax 不经过第_____象限. 16.（P128习题19）已知点)1,3(),1,4(--B A ，若直线2+=kx y 与线段AB 恒有公共点，则实数k 的取值范围是____________.17.（P129习题29）已知圆0442:22=-+-+y x y x C ，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.18.（P33习题7）已知圆1)1(:221=++y x F ，圆9)1(:222=+-y x F ，若动圆C 与圆1F 外切，且与圆2F 内切，则动圆圆心C 的轨迹方程为_____________________. 19.（P33习题8）设动点P 到点）0,1(F 的距离是到直线9=x 距离的31，则点P 的轨迹方程为___________. 20.（P37习题10）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为21,F F ，短轴的一个端点为P .（1）若21PF F ∠为直角，则椭圆的离心率为_______；（2）若21PF F ∠为钝角，则椭圆的离心率的取值范围是____________.思考：已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ），21,F F 是椭圆的左、右焦点，试问在椭圆上存在几个点P ，使得21PF PF ⊥？21.（P37习题6）已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为______. 22.（P53练习1）抛物线y x =22的焦点坐标为_________，准线方程为__________.23.（P74习题14）已知定点)2,7(Q ，抛物线x y 22=上的动点P 到焦点的距离为d ，则PQ d +的最小值为__________.24. （P74习题15）若抛物线y x 22=的顶点是抛物线上到点),0(a A 的距离最近的点，则实数a 的取值范围是__________.25.若椭圆11022=+m y x 与双曲线122=-b y x 有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于点P （),310y ，求m , b 的值分别为______________.26. 已知ABC ∆的一条内角平分线CD 的方程为012=-+y x ，两个顶点为A (1，2),B (-1，-1)，则第三个顶点C 的坐标为____________.二、典例剖析例1.（对称问题）（P106习题18）已知直线,33+=x y l ：求：（1）直线l 关于点M （3,2）对称的直线的方程；（2）直线02=--y x 关于l 对称的直线的方程.变1：（P106习题21）已知),26(),31(，，N M -点P 在x 轴上，且使PM +PN 取最小值，则点P 的坐标为________. 变2：（P129习题23）已知点），，（），（2-53,1N M 在x 轴上取一点P ，使得||PN PM -最大，则P点的坐标为_____________.变3：已知点P 为椭圆2212516x y +=上的动点，F 1为椭圆的左焦点，定点M （6，4），则PM +PF 1的最大值为． 15变4：自)3,3(-A 发出的光线被x 轴反射后射到圆074-4-22=++y x y x 上，则光线走过的最短距离为_________. 1-25变5：在等腰三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图）．若光线QR 经过ABC ∆的重心，则AP 等于___________．解答：43．设P （t ，0），点P 关于直线AC 的对称点为E ，点P 关于直线BC 的对称点为F ，则E （- t ，0），F （4，4 - t ），直线QR 即直线EF 为()44t y x t t -=++，又△ABC 的重心为（43，43），代入直线EF 的方程，得AP = t =43．例2.（和圆有关的八类轨迹问题）（1）已知在ABC ∆中，ABC S b B ∆==∠,2,3π的最大值为__________3（2）如果圆4)2()22=-+-m y m x （上总存在两点到原点的距离为1，则实数m 的取值范围为___________.变1：在平面直角坐标系xOy 中，若满足)()(y k y k x x -≤-的点),(y x 都在以坐标原点为圆心，2为半径的圆及其内部，则实数k 的取值范围是________ [2,2- 两圆内含和内切变2：若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为则直线l 斜率的取值范围是___________.[323-2+，（3）平面内到A(0，-3)的距离为1，到点B （4,0）的距离为2的直线有______条.变：在平面直角坐标系xOy 中，若与点)2,2(A 的距离为1且与点)0,(m B 的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围为__________.()322,2)2,322(+- 考察圆与圆的位置关系，研究公切线的条数（4）写出以),(11y x P ，),(22y x Q ,为直径的圆的方程________________. 变：若点G 为ABC ∆的重心，且AG ⊥BG ，则C sin 的最大值为（5）点A ，B 分别在x 轴与y 轴的正半轴上移动，且AB ＝2，若点A 从(3移动到(2，0)，则AB 中点D 经过的路程为 . π12单位圆变：如图，线段EF 的长度为1，端点F E ,在边长不小于1的正方形ABCD 的四边上滑动，当F E ,沿正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨迹为G ，若G 的周长为l ，其围成的面积为S ，则S l -的最大值为．（6）已知点A (-2 , 0)，B (4 , 0)，圆()22:416C x y ++=，P 是圆C 上任意一点，问是否存在常数λ，使得PAPB λ=？若存在，求出常数λ；若不存在，请说明理由．变1：已知点A (-2 , 0)，圆()22:416C x y ++=，P 是圆C 上任意一点，问：在平面上是否存在点B ，使得1PA PB =？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由．变2：已知点A (-2 , 0)，B (4 , 0)，圆()()22:416C x y b +++=，P 是圆C 上任意一点，若PAPB为定值，则b的值为___________．变3：设圆22:(4)16C x y ++=，动圆22:22(8)4220 M x y ax a y a +---++=，平面内是否存在定点P ，过点P 作圆C 的一条切线，切点为1T ，过点P 作圆M 的一条切线，切点为2T ，使无穷多个圆M ，满足1212PT PT =？如果存在，求出所有这样的点P ；如果不存在，说明理由.变4：在△ABC 中，点D 在边BC 上，且2D C BD =，::AB AD AC 3::1k =，则实数k 的取值范围为 . 解：建立如图1所示平面直角坐标系，令(),A x y ，由3ABAC=得到：3=，即有228838350x y x +-+=，那么点(),A x y 的轨迹为圆，并且得到其标准方程为：22199()88x y -+=.又由题意知，ADk AC =k =， 2222244x y k x x y +=-++38353816+63663x x x --==--；易知()2k x 为关于x 的增函数；并且，圆上点的横坐标的范围为57(,)42x ∈，代入得到：22549(,)99k ∈，即57(,)33k ∈. （7）已知圆M ：,1)sin ()cos 22=-++θθy x （直线l :y =kx ,给出下列四个命题： ① 对任意实数k 和θ,直线l 与圆M 相切； ② 对任意实数k 和θ,直线l 与圆M 有公共点；③ 对任意实数θ,必存在实数k ，使得直线l 与圆M 相切；④ 对任意实数k ，必存在实数θ,使得直线l 与圆M 相切. 其中正确命题的序号为_____________. 思考1：圆心的运动轨迹是什么？思考2：圆扫过的面积是多少？π4变1：已知1l 和2l 是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点是A ，动点C B ,分别在1l 和2l 上，且23=BC ，过C B A ,,三点的动圆所形成的区域的面积为__________解答：π18；C B A ,,三点的动圆在以BC 为直径的圆上，以AB 的中点M 为圆心，M 点的轨迹是以A 为圆心，223为半径的圆，所以动圆所形成的区域是是以A 为圆心，23为半径的圆变2：已知点P 在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）上运动，点F 为椭圆的右焦点，以P 为圆心，PF 为半径做圆，当P 在椭圆上扫过一周时，形成的轨迹图象的面积为_______ （8）在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 与圆1:221=+y x C 和圆49)25()25(:222=-+-y x C 都相切，且两个圆的圆心均在直线l 的下方，则直线l 的斜率为________ . 7 通过对图形进行割补可得到最终结果。

解析几何 A卷-2023届高考数学二轮复习解答题专练

解析几何A 卷——2023届高考数学二轮复习解答题专练1.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>直线:1l y x =-与双曲线C 交于,A B 两点,点()00,D x y 在双曲线C 上. (1)求线段AB 中点的坐标; (2)若1a =,过点D 作斜率为2x y 的直线l '与直线10l y -=交于点P ,与直线20l y +=交于点Q ,若点(,)R m n 满足||||||RO RP RQ ==,求22220022m x n y +--的值.2.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)A，焦距为（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点(2,1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N .当2MN =时，求k 的值.3.已知过点(1,0)P 的直线l 与抛物线2:2(0)C x py p =>相交于A ，B 两点，当直线l 过抛物线C 的焦点时，||8AB =. (1)求抛物线C 的方程；(2)若点(0,2)Q -，连接QA ，QB 分别交抛物线C 于点E ，F ，且QAB △与QEF △的面积之比为1:2，求直线AB 的方程.4.已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A 是C的右顶点，22AF =，P是椭圆C 上一点，M ，N 分别为线段12,PF PF 的中点，O 是坐标原点，四边形OMPN 的周长为4.（1）求椭圆C 的标准方程（2）若不过点A 的直线l 与椭圆C 交于D ，E 两点，且0AD AE ⋅=，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.5.设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点.当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =. （1）求C 的方程；（2）设直线MD ，ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线MN ，AB 的倾斜角分别为α，β.当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程.6.已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过(0,2)A -，3,12B ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点.（1）求E 的方程；（2）设过点(1,2)P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =，证明：直线HN 过定点.7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =.（1）求C 的方程；（2）过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()11,P x y ，()22,Q x y 在C 上，且120x x >>，10y >.过P 且斜率为Q M ，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立： ①M 在AB 上；②//PQ AB ；③||||MA MB =.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.8.已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0. （1）求l 的斜率；（2）若tan PAQ ∠=PAQ △的面积.9.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，其右顶点为A ，下顶点为B ，定点(0,2)C ，ABC△的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别与x 轴交于M ，N 两点.（1）求椭圆C 的方程.（2）试探究点M，N的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.10.已知半椭圆22221(0,0)y xy a ba b+=>>>和半圆222(0)x y b y+=≤组成曲线C.如图所示，半椭圆内切于矩形ABCD，CD与y轴交于点G，点P是半圆上异于A，B的任意一点.当点P位于点M⎝⎭处时，AGP△的面积最大.（1）求曲线C的方程；（2）连接PC，PD分别交AB于点E，F，求证2||AE+2||BF为定值.。

高三数学第二轮复习解析几何

高三第二轮综合复习解析几何综合题圆锥曲线知识梳理与解题方法 1.定义法（1）椭圆的定义（2）双曲线定义（3）抛物线定义2.直线与圆锥曲线的位置关系首先.设直线方程：讨论斜率是否存在,斜率存在时常用一下直线：（1）斜截式（2）点斜式（3）横截距式联立直线与圆锥曲线，得一元二次方程，要写出:∆及韦达定理21x x +与21x x ⋅ 然后坐标运算（设而不解）3.注意参数方程：（1）直线的参数方程（2）椭圆参数方程（3）双曲线的参数方程（2017年16）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=. P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ⋅的最大值. 记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w ⋅=，则Ω中元素个数为（） A. 2个 B. 4个 C. 8个 D. 无穷个4.求轨迹方程（1）直接法：设动点坐标),(y x （2）定义法（3）代入法：设动点坐标),(y x ，已知曲线上的点),(00y x ，用代入法消去已知点的坐标，得到0=),(y x f （4）参数法：难点是消参数5.向量知识在解析几何中的运用。

坐标法6.综合问题：直线与圆锥曲线的位置关系；弦长与面积问题；距离问题；定点定之问题；参数范围与最值问题；向量与曲线的坐标运算；探究型问题（是否存在）1.（1）抛物线x y C 42=:上的一点P 到点),(243A 与到准线的距离之和最小，则点P 的坐标为（2）抛物线x y C 42=:上一点Q 到点),(14B 与到焦点F 的距离之和最小，则Q 的坐标为2. F 是椭圆13422=+y x 的右焦点，),(11A 为椭圆内的一定点，P 为椭圆上的一动点，则||||PF PA + 的范围是3.已知双曲线1322=-y x ，F 是右焦点，M 是右支上的一个动点，点),(13A ，则||||MF MA +的最小值是4.在ABC ∆中，),(),,(0505C B -且A B C sin sin sin 53=-，求点A 的轨迹方程。

江苏省2019高考数学二轮复习专题三解析几何 3.4 专题提能—“解析几何”专题提能课讲义(含解析)

第四讲专题提能——“解析几何”专题提能课提能点一防止思维定式，实现“移花接木”失误1因忽视方程的标准形式而失误[解析] y ＝2ax 2(a <0)可化为x 2＝12a y ，则焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18a .[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18a[点评] 本题易错如下：由抛物线方程为y ＝2ax 2，知抛物线的对称轴为y 轴，2p ＝－2a ，所以p ＝－a ，p 2＝－a2，所以它的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2.求解此类问题的关键是：首先要准确理解概念，正确识记抛物线的标准方程：y 2＝2px 、y 2＝－2px 、x 2＝2py 、x 2＝－2py ，对于抛物线方程有关的题目要首先将方程变为标准形式，然后在此基础上正确求出抛物线的焦参数p .在求焦参数时要注意p >0，标准方程中一次项系数的绝对值为2p ，求出p 后再研究抛物线的几何性质，结合图形去考虑.失误2因忽视圆方程本身的限制条件而失误范围是________________．[解析] 把圆的方程化为标准方程得，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝16－34k 2，所以16－34k 2>0，解得－833<k <833.又点(1,2)应在已知圆的外部，把点代入圆方程得，1＋4＋k ＋4＋k 2－15>0，即(k －2)(k ＋3)>0，解得k <－3或k >2.综上，k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，－3∪⎝⎛⎭⎪⎫2，833.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，－3∪⎝⎛⎭⎪⎫2，833[点评] 本题易错在于忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑D 2＋E 2－4F >0.本例应把圆的方程化为标准方程后，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0，列出关于k 的不等式，求出不等式的解集，然后由过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关于k 的关系式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的交集即为实数k 的取值范围.失误3因忽视斜率不存在的情况而失分[例3] 已知过点(1,2)的直线l 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，弦长AB ＝23，求直线l 的方程．[解] 当过点(1,2)的直线l 斜率不存在时，满足要求，所以方程x ＝1满足题意；当过点(1,2)的直线l 存在斜率时，记l 的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，由弦长为23可得圆心到直线的距离为1，则d ＝|2－k |1＋k2＝1，解得k ＝34，所以直线l 的方程为y －2＝34(x －1)，即3x －4y ＋5＝0.所以所求直线l 的方程为x ＝1和3x －4y ＋5＝0.[点评] 本题学生易错在于忽略了斜率不存在的情况，在用斜率研究直线方程首先考虑斜率不存在的情况．给定弦长，一般都有两解，除非弦长值就是直径的值，此时只有一解．提能点二灵活运用策略，尝试“借石攻玉”策略1利用对称性解决椭圆中焦点三角形问题[例1] 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆2a 2＋2b2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率为________．[解析] 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b 2，x 2a 2＋y2b 2＝1，可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2， C ⎝⎛⎭⎪⎫32a ，b 2.由F (c,0)，得FB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a －c ，b 2，FC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ，b 2.又∠BFC ＝90°，所以FB ―→·FC ―→＝0，化简可得2a 2＝3c 2，即e 2＝c 2a 2＝23，故e ＝63.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b2，x 2a 2＋y2b 2＝1，可得B ⎝⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，所以BC ＝3a ，由椭圆的焦半径公式得BF ＝a －ex B ＝a ＋e ·32a ，CF ＝a －ex C ＝a －e ·32a ，又∠BFC ＝90°，所以BF 2＋CF 2＝BC 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋e ·32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －e ·32a 2＝(3a )2，式子两边同除以a 2可得e 2＝23，即e ＝63.[答案]63[点评] 本题中B ，C 两点是关于y 轴对称，对称性的运用对线段的求解和坐标求解有很大帮助.策略2利用有界性处理圆锥曲线中的存在性问题[例2] 若双曲线a 2－b2＝1(a >0，b >0)右支上存在一点P 到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，则该双曲线离心率的取值范围为______________．[解析] 记双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，设点P 到右准线的距离为d ，则由题意得点P 到左焦点的距离为PF 1＝6d ，由于PF 1－PF 2＝2a ，所以PF 2＝6d －2a ，所以6d －2a d ＝c a ，所以d ＝2a 26a －c ，又因为d ≥a －a 2c，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a 26a －c≥a －a 2c ，6a －c >0，解之得此双曲线的离心率e 的取值范围是(1,2]∪[3,6)． [答案] (1,2]∪[3,6)[点评] 一般地，根据“存在一点…”这样的条件求解离心率的取值范围问题，主要是先利用几何条件建立关于a ，b ，c 的方程，再根据椭圆、双曲线和抛物线上点的坐标的有界性来求解．提能点三系统数学思想，实现“触类旁通”函数方程思想——解决平面几何中的最值问题[典例] 在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C 1：|x |a ＋|y |b＝1(a >b >0)所围成的封闭图形的面积为42，曲线C 1上的点到原点O 的最短距离为223.以曲线C 1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C 2.(1)求椭圆C 2的标准方程；(2)设AB 是过椭圆C 2中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．若M 是l 与椭圆C 2的交点，求△AMB 的面积的最小值．[解] (1) 由题意得⎩⎨⎧2ab ＝42，ab a 2＋b 2＝223.解得a 2＝8，b 2＝1.所以所求椭圆C 2的标准方程为x 28＋y 2＝1.(2)法一：设M (x ，y )，则A (λy ，－λx )(λ∈R ，λ≠0)．因为点A 在椭圆C 2上，所以λ2(y 2＋8x 2)＝8，即y 2＋8x 2＝8λ2.①又x 2＋8y 2＝8.②①＋②得x 2＋y 2＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1λ2.所以S △AMB ＝OM ·OA ＝|λ|(x 2＋y 2) ＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫|λ|＋1|λ|≥169.当且仅当λ＝±1，即k AB ＝±1时，(S △AMB )min ＝169.法二：假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线的方程为y ＝kx (k ≠0)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 2＝1，y ＝kx ，得x 2A ＝81＋8k 2，y 2A ＝8k 21＋8k2，所以OA 2＝x 2A ＋y 2A ＝81＋8k 2＋8k 21＋8k 2＝81＋k 21＋8k 2，AB 2＝4OA 2＝321＋k 21＋8k2.又由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 2＝1，y ＝－1k x ，解得x 2M ＝8k 2k 2＋8，y 2M ＝8k 2＋8，所以OM 2＝81＋k 2k 2＋8.由于S 2△AMB＝14AB 2·OM 2＝14·321＋k 21＋8k2·81＋k2k 2＋8＝641＋k221＋8k 2k 2＋8≥641＋k 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋8k 2＋k 2＋822＝641＋k228141＋k22＝25681，当且仅当1＋8k 2＝k 2＋8时等号成立，即k ＝±1时等号成立，此时△AMB 面积的最小值是S △AMB ＝169.当k ＝0时，S △AMB ＝12×42×1＝22>169；当k 不存在时，S △AMB ＝12×22×2＝22>169.综上所述，△AMB 面积的最小值为169.[点评] 第(2)问中有关三角形面积的计算一般用以下几种方式：(1)以弦长为底，点到弦所在直线距离为高；(2)正弦定理；(3)如果弦所在直线过定点且顶点也为定点，可以将面积进行分割．一般地，如果建立关于k 的函数，可以用导数的方法或换元处理后用基本不等式方法；如果建立的关于(x ，y )的函数可以直接用基本不等式或消元后转化成二次函数．提能点四强化一题多法，激活“解题思维”1．多角度几何条件求解离心率[例1] 如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，离心率为e ，设A ，B 是椭圆上关于原点对称的两点，AF 的中点为M ，BF 的中点为N ，原点O 在以线段MN 为直径的圆上，设直线AB 的斜率为k ，若0<k ≤33，求椭圆离心率e 的取值范围． [解] 法一：设MN 交x 轴与点C ， ∵AF 的中点为M ，BF 中点为N ， ∴MN ∥AB ，FC ＝CO ＝12，∵A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点， ∴CM ＝CN ，∵原点O 在以线段MN 为直径的圆上， ∴CO ＝CM ＝CN ＝12.∴OA ＝OB ＝c ＝1.∵OA >b ，∴a 2＝b 2＋c 2<2c 2， ∴e ＝c a >22. 设A (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，x 2＋y 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝a 22－a 2，y 2＝1－2a 2＋a 4.∵0<k ≤33，∴0<1－2a 2＋a 4a 22－a 2≤13，解得1<a ≤62， ∴e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1，∴椭圆离心率e 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1. 法二：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＋y 2＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋k 2＝1，x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋k 2b 2＝1⇒1＋k 2＝1a 2＋k 2b2.∵e ＝1a ，∴a ＝1e ，b 2＝a 2－1＝1e2－1，∴1＋k 2＝e 2＋k 2e 21－e 2，∴k 2＝1－e 222e 2－1. ∵0<k 2≤13，∴0<1－e 222e 2－1≤13.解得63≤e <2，又e <1，∴63≤e <1， ∴椭圆离心率e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1. 法三：设∠BAF ＝α，则2c sin α＋2c cos α＝2a ，∴e ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4，∠BOF ＝2α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6，∴α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π12，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，32，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，62，∴e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1. ∴椭圆离心率e 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1. [点评] 动直线可以通过联立方程建立k 与坐标的关系，再得出与e 的关系；也可以构建几何意义，利用几何图形得出关系；也可以转化为角，利用三角函数求解．2．多角度的求解直线过定点[例2] 过椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点A 作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．[解] 法一：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN ：y ＝kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，则Δ>0，且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.由AM ⊥AN ，得y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝－1，即(k 2＋1)x 1x 2＋(km ＋2)(x 1＋x 2)＋m 2＋4＝0， (k 2＋1)4m 2－41＋4k 2＋(km ＋2)－8km 1＋4k2＋m 2＋4＝0，化简得5m 2－16km ＋12k 2＝0，∵k ≠0，∴5⎝ ⎛⎭⎪⎫m k 2－16m k＋12＝0，解得m k ＝65或mk＝2(舍去)，直线MN ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65，过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0. 法二：设直线AM ：y ＝k (x ＋2)(k ≠0)，则直线AN ：y ＝－1k(x ＋2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，x 24＋y 2＝1消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0，则－2x M ＝16k 2－41＋4k 2，∴x M ＝2－8k 21＋4k 2，y M ＝4k1＋4k2.所以点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2，4k 1＋4k 2，同理点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－84＋k 2，－4k 4＋k 2，所以k MN ＝4k 1＋4k 2＋4k4＋k 22－8k 21＋4k 2－2k 2－84＋k2＝5k41－k2，所以直线MN 的方程为y －4k1＋4k 2＝5k41－k2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2－8k 21＋4k 2，令y ＝0，得x ＝2－8k 21＋4k 2－161－k 251＋4k 2＝－61＋4k251＋4k2＝－65，所以直线MN 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0. 法三：(考查极端位置、特殊位置确定出定点，从而转化为一般性证明题) 同法二知，x M ＝2－8k 21＋4k 2，x N ＝2k 2－84＋k 2，令2－8k 21＋4k 2＝2k 2－84＋k 2⇒k 2＝1，此时2－8k 21＋4k 2＝－65， ∴直线MN 过定点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.当k 2≠1，k CM ＝4k1＋4k 22－8k 21＋4k 2＋65＝5k41－k2，k CN ＝－4k 4＋k22k 2－84＋k 2＋65＝5k41－k2. ∴k CM ＝k CN ，∴M ，N ，C 三点共线，即直线MN 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0. [点评] 直线过定点问题，可以设出直线方程y ＝kx ＋m ，得出k 与m 的关系，从而得到过定点；也可以直接用k 表示出新直线的方程，再求过定点；也可以先特殊得出定点，再用三点共线来论证一般情形．[课时达标训练]A 组——易错清零练1．过点P (2，－1)且倾斜角的正弦值为513的直线方程为________________________．解析：设所求直线的倾斜角为α，则由题设知sin α＝513，因为0≤α<π，所以cos α＝±1－sin 2α＝±1213，所以tan α＝sin αcos α＝±512，则所求直线方程为y ＋1＝±512(x －2)，即5x －12y －22＝0或5x ＋12y ＋2＝0.答案：5x －12y －22＝0或5x ＋12y ＋2＝02．若椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是________．解析：因为短轴长为2，即b ＝1，所以a ＝2，则椭圆的中心到其准线的距离是433. 答案：4333．设双曲线的渐近线为y ＝±32x ，则其离心率为________．解析：由题意可得b a ＝32或b a ＝23，从而e ＝ca＝1＋b 2a 2＝132或133.答案：132或1334．若关于x 的方程 1－x 2＝a (x －1)＋1有两个不相等的实数根，那么实数a 的取值范围是________．解析：作出函数y ＝1－x 2的图象，它是单位圆的上半部分，作出直线y ＝a (x －1)＋1，它是过点A (1,1)的直线，由图象可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B 组——方法技巧练1．已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.解析：由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|m 2＋1.由|AB |＝23得⎝⎛⎭⎪⎫3m －3m 2＋12＋(3)2＝12，解得m ＝－33.又直线l 的斜率为－m ＝33，所以直线l 的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π6.在Rt △CDE 中，可得|CD |＝|AB |cos π6＝23×23＝4.答案：42.如图，设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．解析：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1―→＝3F 1B ―→，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3x 0＋3c ，－b 2＝3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得251－b 29＋19b 2＝1，解得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y22＝1.答案：x 2＋32y 2＝13．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c,0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．解析：法一：设椭圆的另一个焦点F 1(－c,0)，如图，连结QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝b cx 交于点M ，又题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ ，O 为线段F 1F 的中点，∴F 1Q ∥OM ，∴F 1Q ⊥QF ，F 1Q ＝2OM . 在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝MF OM ＝bc，OF ＝c . 解得OM ＝c 2a ，MF ＝bc a ，故QF ＝2MF ＝2bc a ，QF 1＝2OM ＝2c2a.由椭圆的定义QF ＋QF 1＝2bc a ＋2c 2a＝2a ，整理得b ＝c ，∴a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝22. 法二：设Q (x 0，y 0)，则FQ 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋c 2，y 02，k FQ ＝y 0x 0－c .依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ y 02＝b c ·x 0＋c2，y 0x 0－c ·bc ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝c 2c 2－a 2a 2，y 0＝2bc2a 2.又因为(x 0，y 0)在椭圆上，所以c 22c 2－a 22a 6＋4c4a 4＝1.令e ＝c a，则4e 6＋e 2＝1，故离心率e ＝22. 答案：224．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上存在一点M ，它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍，则椭圆离心率的最小值为________.解析：由题意，设点M 的横坐标为x ，根据焦半径公式得，a ＋ex ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －x ，x ＝2a2c －ae ＋2，有－a ≤2a2c －a e ＋2≤a ，不等式各边同除以a ，得－1≤2ac －1e ＋2≤1，则2e－1≤e ＋2，即e 2＋3e －2≥0，又0<e <1，所以17－32≤e <1，所以椭圆离心率的最小值为17－32. 答案：17－325．已知点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上，求x 2＋2xy ＋3y 2的最大值和最小值．解：圆x2＋y 2＝1的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ.则x 2＋2xy ＋3y 2＝cos 2θ＋2sin θcos θ＋3sin 2θ＝1＋cos 2θ2＋sin 2θ＋3×1－cos 2θ2＝2＋sin 2θ－cos 2θ＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π4，则当2θ－π4＝2k π＋π2，即θ＝k π＋3π8(k ∈Z )时，x 2＋2xy ＋3y 2取得最大值，为2＋2；当2θ－π4＝2k π－π2，即θ＝k π－π8(k ∈Z )时，x 2＋2xy ＋3y 2取得最小值，为2－ 2.6.设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22，求该椭圆的标准方程．解：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c 2＝a 2－b 2. 由|F 1F 2||DF 1|＝22，得|DF 1|＝|F 1F 2|22＝22c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1|·|F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22.由DF 1⊥F 1F 2，得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322，所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.所以所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.C 组——创新应用练1．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，不难验证PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.答案：52．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________．解析：如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)．设E (0，m )，由PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |，则|MF |＝m a －ca.① 又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m a ＋c2a.② 由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，∴e ＝c a ＝13.答案：133．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．解析：依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt △OMA 中，因为∠OMA ＝45°，故|OA |＝|OM |sin 45°＝22|OM |≤1，所以|OM |≤2，则x 20＋1≤2，解得－1≤x 1≤1. 答案：[－1,1]4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c，则该椭圆离心率的取值范围为________．解析：在△MF 1F 2中，|MF 2|sin ∠MF 1F 2＝|MF 1|sin ∠MF 2F 1，而sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c，∴|MF 2||MF 1|＝sin ∠MF 1F 2sin ∠MF 2F 1＝a c.① 又M 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a .②由①②得，|MF 1|＝2ac a ＋c ，|MF 2|＝2a2a ＋c .显然|MF 2|>|MF 1|，∴a －c <|MF 2|<a ＋c ，即a －c <2a2a ＋c <a ＋c ，整理得c 2＋2ac －a 2>0，∴e 2＋2e －1>0，又0<e <1， ∴2－1<e <1. 答案：(2－1,1)5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0，1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．解：(1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上．因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22.则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得 (4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋m －1x 1＋x 2x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l过定点(2，－1)．6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的中心在原点O ，右焦点F 在x 轴上，椭圆与y 轴交于A ，B 两点，其右准线l 与x 轴交于T 点，直线BF 交椭圆于C 点，P 为椭圆上弧AC 上的一点．(1)求证：A ，C ，T 三点共线；(2)如果BF ―→＝3FC ―→，四边形APCB 的面积最大值为6＋23，求此时椭圆的方程和P 点坐标．解：(1)证明：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，①则A (0，b )，B (0，－b )，T ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0， AT ：x a 2c ＋yb ＝1，②BF ：x c ＋y－b＝1，③联立②③，解得交点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2ca 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，代入①得：⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3a 2＋c 22b 2＝4a 2c 2＋a 2－c 22a 2＋c 22＝1.满足①式，则C 点在椭圆上，A ，C ，T 三点共线． (2)过C 作CE ⊥x 轴，垂足为E (图略)，则△OBF ∽△ECF . ∵BF ―→＝3FC ―→，CE ＝13b ，EF ＝13c ，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4c 3，b 3，代入①得：⎝ ⎛⎭⎪⎫43c 2a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 32b2＝1，∴a 2＝2c 2，b 2＝c 2.设P (x 0，y 0)，则x 0＋2y 20＝2c 2，此时C ⎝⎛⎭⎪⎫4c 3，c 3，AC ＝235c ，S △ABC＝12·2c ·4c 3＝43c 2，直线AC 的方程为x ＋2y －2c ＝0，点P 到直线AC 的距离为d ＝|x 0＋2y 0－2c |5＝x 0＋2y 0－2c5， S △APC ＝12d ·AC ＝12·x 0＋2y 0－2c 5·235c ＝x 0＋2y 0－2c3·c .只需求x 0＋2y 0的最大值．∵(x 0＋2y 0)2＝x 20＋4y 20＋2·2x 0y 0≤x 20＋4y 20＋2(x 20＋y 20)＝3(x 20＋2y 20)＝6c 2， ∴x 0＋2y 0≤6c ，当且仅当x 0＝y 0＝63c 时，(x 0＋2y 0)max ＝6c . ∴四边形的面积最大值为6－23c 2＋43c 2＝6＋23c 2＝6＋23， ∴c 2＝1，a 2＝2，b 2＝1，此时椭圆方程为x 22＋y 2＝1，P 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫63，63.。

2020届二轮复习- 解析几何教师版

数学1．椭圆：定义：02221>>=+caPFPF离心率：221abace-==椭圆焦点在x轴上时有：焦半径：PexaPF+=1，PexaPF-=2焦点三角形：1221212121sin tan22PF F PF PFS PF PF F PF b c y∠=∠==△弦中点：),(yx为椭圆弦中点，则弦所在直线方程斜率22yxabk⋅-=2．双曲线：知识与技巧的梳理专题九解析几何双曲线焦点在x 轴上时有：焦半径：a ex PF P +=1，a ex PF P -=2 焦点三角形：1221212121sin 2tan 2PF F P b S PF PF F PF c y F PF =∠==∠△弦中点：),(00y x 为椭圆弦中点，则弦所在直线方程斜率022y x a b k ⋅=3．抛物线设AB 是过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的弦，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：①4221p x x =，221p y y -=；②弦长α221sin 2pp x x AB =++=(α为直线AB 的倾斜角)； ③pFB FA 211=+； ④以弦AB 为直径的圆与准线相切．1．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（）A ．312+ B ．31-C ．22D ．512- 【答案】B【解析】由1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =，且12PF PF ⊥，又12||||2PF PF a +=，可知1||2PF a c =-，在12PF F Rt △中，222(2)4a c c c -+=，即2222a ac c -= 所以2220,(0,1)e e e +-=∈，解得212312e -+==-． 2．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点分别是1F 、2F ，以线段12F F 为直径的圆交双曲线于A 、B 、C 、D 四点，若A 、B 、C 、D 、1F 、2F 恰为正六边形的六个顶点，则双曲线的离心率等于_____．【答案】31+ 【解析】如图所示：A 、B 、2F 、D 、C 、1F 恰为正六边形的六个顶点，12||2F F c =，可得正六边形的边长为c ，2211||2()32BF c c c c c =+-⋅⋅-=，由双曲线的定义可得12||||2BF BF a -=，限时训练（45分钟）经典常规题即32c c a -=，即有3131c e a ===+-． 3．已知点A 在平行于y 轴的直线l 上，且l 与x 轴的交点为(4,0)-，动点P 满足AP 平行于x 轴，且OA OP ⊥．（1）求出P 点的轨迹方程；（2）设点(1,0)M ，(6,3)N ，求PM PN +的最小值，并写出此时P 点的坐标；（3）过点(4,0)C 的直线与P 点的轨迹交于G 、H 两点，求证G 、H 两点的横坐标乘积为定值．【答案】（1）24y x =；（2）最小值为7，P 点坐标为9(,3)4；（3）证明见解析．【解析】（1）设动点(,)P x y ，则由已知有(4,)A y -，故OA =(4,)y -，(,)OP x y =，因为OA OP ⊥，所以0OA OP ⋅=，所以240x y -+=，即24y x =．（2）由题意，点(1,0)M 为抛物线24y x =的焦点，故PM 即为点P 到准线1x =-的距离，所以P 、M 、N 三点共线时PM PN +的值最小，即为点(6,3)N 到准线1x =-的距离，所以最小值为7，此时点P 的纵坐标为点(6,3)N 的纵坐标3y =，代入24y x =，94x =，所以所求最小值为7，此时点P 的坐标为9(,3)4．（3）由题意可设点11(,)G x y 、22(,)H x y 过点(4,0)C 的直线为4x my =+与24y x =联立得24160y my --=，所以1216y y =-，所以222121212()164416y y y y x x =⋅==，所以G 、H 两点的横坐标乘积为定值16．1．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A ．31+B ．21+C ．51+ D ．212+ 【答案】B高频易错题【解析】过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义可得||||PN PB =，∵||||m PA PB =，∴||||m PA PN =，∴1PNm PA=，设PA 的倾斜角为α，则1sin mα=，当m 取得最大值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切，设直线PA 的方程为1y kx =-，代入24x y =，可得24(1)x kx =-，即2440x kx +=-， ∴216160Δk -==，∴1k =±，∴(2,1)P ，∴双曲线的实轴长为1)PA PB -=1=．2．把半椭圆()221043x y x +=≥与圆弧22(1)4(0)x y x -+=<合成的曲线称作“曲圆”，其中F 为半椭圆的右焦点，A 是圆弧22(1)4(0)x y x -+=<与x 轴的交点，过点F 的直线交“曲圆”于,P Q 两点，则APQ △的周长取值范围为______．【答案】(]6,8 【解析】显然直线PQ 的斜率不能为0，设直线PQ 的倾斜角为θ，()0,θπ∈，由半椭圆方程为()221043x y x +=≥，可得()1,0F ，圆弧方程为22(1)4(0)x y x -+=<的圆心为()1,0，半径为2，且()1,0A -恰为椭圆的左焦点，24PA PF a +==，与y 轴的两个交点为(0,B ，C ，当直线PQ 经过B 时，tan PQ k θ==3πθ=；当直线PQ 经过C 时，tan PQ k θ==23πθ=． ①当πθ(0,)3时，Q P 、分别在圆弧22(1)4(0)x y x -+=<，半椭圆()221043x y x +=≥上，AFQ △为腰为2的等腰三角形，则2sin4sin 22AQ QF θθ==，APQ △的周长()4sin2464sin 6,822L QA QF PF AP θθ=+++=++=+∈； ②当2(,)3πθπ∈时，P Q 、分别在圆弧22(1)4(0)x y x -+=<，半椭圆()221043x y x +=≥上， APF △为腰为2的等腰三角形，且2sin(90)4cos 22AP FP θθ=︒-=，APQ △的周长()4264cos 6,82L QA QF PF AP AP θ=+++=++=+∈；③当2[,]33ππθ∈时，P Q 、在半椭圆()221043x y x +=≥上， APQ △的周长428L QA QF PF AP =+++=⨯=．综上可得，APQ △的周长取值范围为(]6,8．3．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右顶点分别为,A B ，()2,0A -．直线:1l x =和两条渐近线交于点,E F ，点E 在第一象限且EF =，P 是双曲线上的任意一点．（1）求双曲线的标准方程；（2）是否存在点P 使得OEP △为直角三角形？若存在，求出点P 的个数；（3）直线PA ，PB 与直线l 分别交于点,M N ，证明：以MN 为直径的圆必过定点．【答案】（1）221412x y -=；（2）4个；（3）证明见解析．【解析】（1）因为()2,0A -，所以2a =，双曲线的渐近线方程为2by x =±，由题意可知：(1,)2b E ，(1,)2b F -，而EF =，所以b =，因此双曲线的标准方程为221412x y -=．（2）因为直线OE，所以与直线OE垂直的直线的斜率为-设P 点的坐标为00(,)x y ，则有22001412x y -=，当OE OP ⊥时，所以003y x =-且22001412x y -=，解得00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时存在2个P 点；当OE EP ⊥时，所以0013y x =--且22001412x y -=，200290y -+=，解得032x =或032x =，此时存在2个P 点；当PE OP ⊥时，此时P 点是以线段OE 为直径圆上，圆的方程为221()(12x y -+=，与双曲线方程联立，无实数解，综上所述：点P 的个数为4个．（3）设P 点的坐标为(,)m n ，22312m n -=．因为,,P A M 三点共线，所以直线,PA PM 的斜率相等，即3232M M y n n y m m =⇒=++，因为,,P B N 三点共线，所以直线,PB BN 的斜率相等，即212M N y n ny m m=⇒=---，所以MN 的中点坐标为24(1,)4n nmm--，244||4n nm MN m -=-，数学所以以MN 为直径的圆的方程为22222422(1)()()44n nm n nm x y m m---+-=--，即226(4)(1)90m x y y n--++-=，令04y x =⇒=或2x =-，因此该圆恒过(2,0),(4,0)-两点．1．已知双曲线C 的焦点在y 轴上，离心率为7，点P 是抛物线24y x =上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点1(0,)F c 的距离与到直线1x =-的距离之和的最小值为22，则该双曲线的方程为（） A ．22143x y -=B ．22143y x -=C ．22134x y -=D ．22134y x -=【答案】B【解析】设F 为抛物线24y x =的焦点，则(1,0)F ，拋物线24y x =，准线方程为1x =-，因此P 到双曲线C 的上焦点1(0,)F c 的距离与到直线1x =-的距离之和等于1PF PF +，因为11PF PF F F +≥，所以122F F =，即2122c +=，∴7c =，又7c a =，∴24a =，23b =，即双曲线的方程为22143y x -=．2．如图，设抛物线22y px =的焦点为F ，过x 轴上一定点(2,0)D 作斜率为2的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，记BCF △面积为1S ，ACF △面积为2S ，若1214S S =，则抛物线的标准方程为（）A ．22y x =B ．28y x =C ．24y x =D ．2y x =【答案】C精准预测题【解析】因为直线斜率为2，经过定点()2,0D ，所以直线方程为()22y x =-，即240x y --=，作BM y ⊥轴，AN y ⊥轴，因为1214S S =，即14CB CA =，所以14BM AN =．联立方程22402x y y px--=⎧⎨=⎩，化简得()22880x p x -++=，根据一元二次方程的求根公式，得x =，所以1)A y，2)B y ，因为14BM AN =14=，化简得216360p p +-=，即()()1820p p +-=，因为0p >，所以2p =，即24y x =．3．已知抛物线2:2(0)C y mx m =>，焦点为(0,1)F ，定点(0,2)P -．若点,M N 是抛物线C 上的两相异动点，,M N 不关于y 轴对称，且满足0PM PN k k +=，则直线MN 恒过的定点的坐标为_________．【答案】(0,2)【解析】抛物线C 的标准方程为22y x m =，焦点为1(0,)8m，所以118m =，18m =，所以24x y =．设211(),4x M x ，222(,)4x N x ，则22121222440PM PNx x k k x x +++=+=，整理得()()121280x x x x ++=，由于,M N 不关于y 轴对称，所以恒有128x x =-，直线MN 的方程为()221121211124444x x x x x x x x y x x x ++-=-=+-，即121244x x x x y x +=-，即1224x xy x +=+即所以过定点(0,2)． 4．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -、2(,0)F c ，点P 在椭圆上，O 为原点．（1）若PO c =，23F OP π∠=，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的右顶点为A ，短轴长为2，且满足22113eOF OA F A+=（e 为椭圆的离心率）． ①求椭圆的方程；②设直线l ：2y kx =-与椭圆相交于P 、Q 两点，若POQ △的面积为1，求实数k 的值．【答案】（11；（2）①2214x y +=，②k =±【解析】（1）连接1PF ，因为2OP OF c ==，23F OP π∠=，所以2POF △是等边三角形，所以2PF c =，23PF O π∠=．又21OP OF OF ==，所以12PF PF ⊥，所以1PF =．于是，有)1221a PF PF c =+=，所以1c e a ===1．（2）①由22113e OF OA F A +=，得()113cc a a a c +=-，整理，得223c b =．又因为22b =，所以1b =，23c =，2224a b c =+=．故所求椭圆的方程为2214x y +=．②依题意，设点()11,P x y ，()22,Q x y ，联立方程组22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，并整理得()224116120k x kx +-+=．则()()222256484116430Δk k k =-+=->，（*）且1221641k x x k +=+，1221241x x k =+，所以12PQ x =-==．又点O 到直线l的距离为d =所以2211224141POQS PQ d k k =⋅=⨯=++△．因为1POQS=△，所以2141k =+，解得k =经验证k =*）式．。

第二轮专题复习解析几何专题教案示例教案

第二轮专题复习解析几何专题本周目标：能灵活应用圆锥曲线定义解决有关问题；能灵活处理直线和圆、直线和圆锥曲线的位置关系的有关问题；掌握处理取值X 围问题的方法。

本周重点：圆锥曲线定义的应用；位置关系问题；取值X 围及最值问题。

本周内容：一、圆锥曲线定义的应用例1．椭圆192522=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离为2，O 为原点，Q 为PF 1的中点，则|OQ|为________。

解：令F 2是此椭圆的另一焦点，则由P 是椭圆192522=+y x 上一点， ∴ |PF 1|+|PF 2|=2×5=10，又|PF 1|=2，∴|PF 2|=8，如图，在ΔPF 1F 2中，由Q 是PF 1中点，O 是F 1F 2中点知OQ//PF 2且||21||2PF OQ =， ∴ |OQ|=4。

例2．设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，点P 是以F 1、F 2为直径的圆与椭圆的交点，若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，则椭圆离心率为_____。

解：如上图，已知实际为椭圆上一点P 满足PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1。

在ΔPF 1F 2中，有*).........(sin ||sin ||sin ||2121212121PF F F F F PF PF F PF PF ∠=∠=∠∵PF 1⊥PF 2，∴sin ∠F 1PF 2=1, 令此椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x则由椭圆第一定义有 |PF 1|+|PF 2|=2a,|F 1F 2|=2c, ∴由(*)式有**).........(2sin ||sin sin ||||2121211221c PF F F F F PF F PF PF PF =∠=∠+∠+又∵∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，∴∠PF 1F 2=75°，∠PF 2F 1=15°，∴21575cos 21575sin 2sin sin 00002112-⋅+=∠+∠F PF F PF .2630cos 45sin 200=⋅=∴由(**)式有c a 2262=，∴3662a c ==，即36=e 。

2015春高三第二轮复习专题三解析几何A(教师版)

页眉内容2015春高三第二轮复习专题三解析几何A （教）一、选择题1．过双曲线的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于两点，若线段的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．【解析】又．考点：双曲线的标准方程及其几何性质（离心率的求法）．2、设F 1，F 2是椭圆E ：a2\* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(x2＋b2\* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(y2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 为直线x ＝2\* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(3a 上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.2\* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(1B.3\* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(2C.4\* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(3D.5\* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(4解析由题意，知∠F 2F 1P ＝∠F 2PF 1＝30°，∴∠PF 2x ＝60°.∴|PF 2|＝2×a －c \* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(3＝3a －2c .∵|F 1F 2|＝2c ，|F 1F 2|＝|PF 2|，∴3a －2c ＝2c ，∴e ＝a \* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(c＝4\* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(3. 答案 C3．设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点为F ，过点,λμ作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，316λμ⋅=，则双曲线的离心率为( )A ．233B ．355C ．322D ．98【解析】【答案】A试题分析：直线l 的方程为x c =，与双曲线渐近线b y x a =±的交点为(,),(,)bc bcA cB c a a-，与双曲线在第一象限的交点为2(,)b P c a，所以2(,)b OP c a =，(,),(,)bc bcOA c OB c a a ==-，由(,)OP OA OB R λμλμ=+∈得2316c c c bbc bc aa a λμλμλμ⎧=+⎪⎪⎪=⋅-⋅⎨⎪⎪=⎪⎩，解之得2,c b =，所以3a b =，233e =，故选A. 考点：双曲线几何性质、向量运算.4．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在棱AB 上，且13AM =，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是（）C 1D 1B 1A 1CDABPMA ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆【解析】【答案】B试题分析：根据题意，过点P 作11A D 的垂线，垂足为N ,在平面1A D 内，过N 过AD 的垂线，垂足为P ',所以在Rt PNP'中，222PN NP PP ''=+,且1NP '=所以，由题意知221PN PM -=,即22221NP PP PM PP '''+-=+21PM -=,即22PP PM '=，且点P 为底面AC 的动点，M 为AB 上的定点，根据抛物线的定义知：动点P 到定点M 的距离和到定直线AD 的距离相等，所以,动点P 的轨迹为抛物线，答案为B. 考点：1.勾股定理；2.抛物线的定义.5.已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的任意一点，若∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，且cos α=55，sin(α+β)=35，则此椭圆的离心率为（ D ）A43 B 33 C 42 D 576．(2013·高考重庆卷)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17解析：选A.设P(x ,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C ′1C 2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2.而|PM|＝|PC 1|－1，|PN|＝|PC 2|－3，∴|PM|＋|PN|＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.7．(2013·高考江西卷)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A .33B ．－33C ．±33D ．－ 3 解析：选B.由于y ＝1－x 2，即x 2＋y 2＝1(y ≥0)，直线l 与x 2＋y 2＝1(y ≥0)交于A ，B 两点，如图所示，S △AOB ＝12·s in ∠AOB ≤12，且当∠AOB ＝90°时，S △AOB 取得最大值，此时AB ＝2，点O 到直线l 的距离为22，则∠OCB ＝30°，所以直线l 的倾斜角为150°，则斜率为－33.8、已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y23＝1的左焦点为F(－c,0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( ) A.34B.1C.2D.4解析：圆M 的方程可化为(x ＋m)2＋y 2＝3＋m 2，则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m<0)， ∴m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1,0). 由题意知直线l 的方程为x ＝－c ，又∵直线l 与圆M 相切，∴c ＝1，∴a 2－3＝1，∴a ＝2.答案 C9、如图，抛物线C 1：y 2＝2px 和圆C 2：(x －p 2)2＋y 2＝p 24，其中p>0，直线l 经过C 1的焦点，依次交C 1，C 2于A ，B ，C ，D 四点，则AB →·CD →的值为( B ) A.p 2B.p 24C.p 22D.p 23解析：设抛物线的焦点为F ，A(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，则|AB|＝|AF|－|BF|＝x 1＋p 2－p2＝x 1，同理|CD|＝x 2.又AB →·CD →＝|AB||CD|＝x 1·x 2＝p 24.10.（2013·新课标Ⅱ理）（12）已知点A （-1，0）；B （1，0），C （0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（A ）（0，1） (B)（1-，12） ( C)（1-，1]3(D)[13,12）11. 【2014重庆高考理第8题】设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（）34 B.35 C.49D.312、如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，求PF →·PA →的最大值和最小值.( ) 解析：设P 点坐标为(x0，y 0).由题意知a ＝2，∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.又F(－1,0)，A(2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，∴PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 当x 0＝2时，PF →·PA →取得最小值0，当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.二、填空题13．(2013·高考福建卷)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，直线y ＝3(x ＋c)过点F 1，且斜率为3，∴倾斜角∠MF 1F 2＝60°.∵∠MF 2F 1＝12∠MF 1F 2＝30°，∴∠F 1MF 2＝90°，∴|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c.由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，∴离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.14．(2013·高考江西卷)抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析：由于x 2＝2py(p>0)的准线为y ＝－p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p 2，x 2－y 2＝3，解得准线与双曲线x2－y 2＝3的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋14p 2，－p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋14p 2，－p 2，所以AB ＝23＋14p 2.由△ABF 为等边三角形，得32AB ＝p ，解得p ＝6.答案：6 15．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为．【解析】【答案】53. 试题分析：由定义知12||||2PF PF a -=，又已知12||4||PF PF =，解得183PFa =，223PF a =，在12PF F ∆中，由余弦定理，得2222218981732382494964cos e a a c a a PF F -=⋅⋅-+=∠，要求e 的最大值，即求21cos PF F ∠的最小值，当1cos 21-=∠PF F 时，解得53e =．即e 的最大值为53.考点：双曲线的定义，余弦定理，三角函数的最值.16.（2013·广东理）13. 给定区域D : 4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______条不同的直线.17. 【2014辽宁高考理第15题】已知椭圆C：22194x y+=，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则||||AN BN+=.【答案】1218．我们把离心率的双曲线称为黄金双曲线．如图是双曲线的图象，给出以下几个说法：①双曲线是黄金双曲线；②若，则该双曲线是黄金双曲线；③若为左右焦点，为左右顶点，（0，），（0，﹣）且，则该双曲线是黄金双曲线；④若经过右焦点且，，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为 _________ ．【答案】①②③④【解析】对于①，，则，，，所以双曲线是黄金双曲线；对于②，，整理得解得，所以双曲线是黄金双曲线；对于③，由勾股定理得，整理得由②可知所以双曲线是黄金双曲线；对于④由于，把代入双曲线方程得，解得，，由对称关系知为等腰直角三角形，，即，由①可知所以双曲线是黄金双曲线.三、解答题19．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆:,设是椭圆上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点，.（1）若直线，互相垂直，求圆的方程；（2）若直线，的斜率存在，并记为，，求证：；（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【答案】（1）（2）详见解析（3）【解析】（1）由圆的方程知，圆的半径的半径，因为直线，互相垂直，且和圆相切，所以，即，①又点在椭圆上，所以，②联立①②，解得所以所求圆的方程为．（2）因为直线：，：，与圆相切，所以,化简得，同理，所以是方程的两个不相等的实数根，因为点在椭圆C上，所以，即，所以，即．（3）是定值，定值为36，理由如下：法一：（i）当直线不落在坐标轴上时,设,联立解得所以，同理，得，由，所以（ii）当直线落在坐标轴上时,显然有，综上：．法二：（i）当直线不落在坐标轴上时,设,,因为，所以,即，因为在椭圆C上，所以，，所以，整理得，所以，所以．（ii）当直线落在坐标轴上时,显然有，综上：．20．如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点，（1）若，求曲线的方程；（2）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点C、D，求面积的最大值。