北师大版九年级数学上册课时练：第六章 《反比例函数》 (培优篇)
北师大版九年级数学上册 第六章 反比例函数 教材同步培优、拔高复习(无答案)
北师大版九年级数学上册 第六章 反比例函数 教材同步培优、拔高复习一、反比例函数的概念： 知识要点：1、一般地，形如 y =xk( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。
注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；（2）解析式有三种常见的表达形式： （A ）y =xk（k ≠ 0） ； （B ）xy = k （k ≠ 0）； （C ）y=kx -1（k ≠0） 典型例题精选：有关反比例函数的解析式一、填空题1．一般的，形如____________的函数称为反比例函数，其中x 是______，y 是______．自变量x 的取值范围是______． 2．写出下列各题中所要求的两个相关量之间的函数关系式，并指出函数的类别．(1)商场推出分期付款购电脑活动，每台电脑12000元，首付4000元，以后每月付y 元，x 个月全部付清，则y 与x 的关系式为____________，是______函数．(2)某种灯的使用寿命为1000小时，它的使用天数y 与平均每天使用的小时数x 之间的关系式为__________________，是______函数．(3)设三角形的底边、对应高、面积分别为a 、h 、S ．当a ＝10时，S 与h 的关系式为____________，是____________函数； 当S ＝18时，a 与h 的关系式为____________，是____________函数．(4)某工人承包运输粮食的总数是w 吨，每天运x 吨，共运了y 天，则y 与x 的关系式为______，是______函数．3．下列各函数①x k y =、②x k y 12+=、③x y 53=、④14+=x y 、⑤x y 21-=、⑥31-=x y 、⑦24xy =和⑧y ＝3x －1中，是y 关于x 的反比例函数的有：____________(填序号)． 4．若函数11-=m x y (m 是常数)是反比例函数，则m ＝____________，解析式为____________．5．近视眼镜的度数y (度)与镜片焦距x (m)成反比例，已知400度近视眼镜片的焦距为0.25m ，则y 与x 的函数关系式为____________． 二、选择题 6．已知函数xky =，当x ＝1时，y ＝－3，那么这个函数的解析式是( )． (A)x y 3=(B)xy 3-= (C)xy 31=(D)xy 31-= 7．已知y 与x 成反比例，当x ＝3时，y ＝4，那么y ＝3时，x 的值等于( )． (A)4 (B)－4 (C)3 (D)－3三、解答题8．已知y 与x 成反比例，当x ＝2时，y ＝3． (1)求y 与x 的函数关系式； (2)当y ＝－23时，求x 的值．综合、运用、诊断一、填空题9．若函数522)(--=k xk y (k 为常数)是反比例函数，则k 的值是______，解析式为_________________________．10．已知y 是x 的反比例函数，x 是z 的正比例函数，那么y 是z 的______函数． 二、选择题11．某工厂现有材料100吨，若平均每天用去x 吨，这批原材料能用y 天，则y 与x 之间的函数关系式为( )．(A)y ＝100x(B)xy 100=(C)xy 100100-= (D)y ＝100－x 12．下列数表中分别给出了变量y 与变量x 之间的对应关系，其中是反比例函数关系的是( )．三、解答题13．已知圆柱的体积公式V ＝S ·h ．(1)若圆柱体积V 一定，则圆柱的高h (cm)与底面积S (cm 2)之间是______函数关系； (2)如果S ＝3cm 2时，h ＝16cm ，求： ①h (cm)与S (cm 2)之间的函数关系式； ②S ＝4cm 2时h 的值以及h ＝4cm 时S 的值．拓展、探究、思考14．已知y 与2x －3成反比例，且41=x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式．15．已知函数y ＝y 1－y 2，且y 1为x 的反比例函数，y 2为x 的正比例函数，且23-=x 和x ＝1时，y 的值都是1．求y 关于x 的函数关系式．二、反比例函数的图象和性质： 知识要点：1、形状：图象是双曲线。
【完整版】北师大版九年级上册数学第六章 反比例函数含答案
北师大版九年级上册数学第六章反比例函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知点P（a，b）是反比例函数y=象上异于点（﹣1，﹣1）的一个动点，则+=（）A.2B.1C.D.2、函数y=与y=x﹣1图象的一个交点的横、纵坐标分别为a、b，则﹣的值为（）A.-B.C.3D.1﹣33、如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A（1，6）和点B（3，2）．当ax+b＜时，则x的取值范围是（）A.1＜x＜3B.x＜1或x＞3C.0＜x＜1D.0＜x＜1或x＞34、如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数y= 的图象上．若点B在反比例函数y= 的图象上，则k的值为（）A.﹣4B.4C.﹣2D.25、关于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（）A.函数图象分别位于第二、四象限B.函数图象关于原点成中心对称 C.函数图象经过点（﹣6，﹣2） D.当x＜0时，y随x的增大而增大6、如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A，C两点．AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，当四边形ABCD的面积为6时，则k的值是（）A.6B.3C.2D.7、如图，已知A，B是反比例函数y= （k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于x的函数图象大致为（）A. B. C. D.8、若点（3，4）是反比例函数图象上一点，则此函数图象必经过点（）A.（2，6）B.（2，-6）C.（4，-3）D.（3，-4）9、在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k 的取值范围是A.k＞3B.k＞0C.k＜3D.k＜010、已知直线y=kx（k＞0）与双曲线y=交于点A（x1， y1），B（x2，y 2）两点，则x1y2+x2y1的值为（）A.﹣6B.﹣9C.0D.911、已知点A（x1， y1）、B（x2， y2）是反比例函数y=﹣图象上的两点，若x2＜0＜x1，则有（）A.0＜y1＜y2B.0＜y2＜y1C.y2＜0＜y1D.y1＜0＜y212、在反比例函数的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k 的值可以是（）A.﹣1B.1C.2D.313、如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的对角线OB在y轴正半轴上，点A，C 分别在函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上，分别过点A，C作AD⊥x轴于点D，CE⊥x轴于点E，若|k1|：|k2|＝9：4，则AD：CE的值为（）A.2：3B.3：2C.4：9D.9：414、已知点（﹣2，a），（2，b），（3，c）在函数y＝（k＞0）的图象上，则下列判断正确的是（）A. a＜b＜cB. b＜a＜cC. a＜c＜bD. c＜b＜a15、如果y是z的反比例函数，z是x的反比例函数，那么y是x的（）函数．A.正比例B.反比例C.一次函数D.二次函数二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，一次函数y=x+m的图象与反比例函数y= 的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，1），结合图象写出不等式组0＜x+m≤ 的解集为________．17、在反比例函数的图象的每一条曲线上，y随着x的增大而增大，则k的取值范围是________．18、长方形的面积为60cm2，如果它的长是ycm，宽是xcm，那么y是x的________ 函数关系，y写成x的关系式是________ ．19、反比例函数与一次函数的图象有一个交点是，则它们的另一个交点的坐标是________.20、如图，点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y= 上运动，则k=________．21、如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．线段DC上有一点E，当△ABE的面积等于5时，点E的坐标为________．22、图1所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y与x满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，则下列结论正确的序号是________.①当x=3时，EC<EM；②当y=9时，EC>EM③当x增大时，EC⋅CF的值增大；④当y增大时，BE⋅DF的值不变。
北师大版九年级数学上册第六章反比例函数第2节反比例函数的图像和性质课堂练习
第六章反比例函数第2节反比例函数的图像和性质课堂练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________ 评卷人 得分一、单选题1．反比例函数y ＝1x（x ＜0）的图象位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．对于反比例函数3y x=，下列说法错误的是（ ） A ．图象经过点()1,3B ．图象在第一、三象限C ．0x >时，y 随x 的增大而增大D ．x 0<时，y 随x 增大而减小3．若点A(x 1，y 1），B(x 2，y 2)在反比例函数3y -x=的图象上，且x 1<0<x 2．则（ ）A ．12y 0y <<B ．12y 0y >>C ．12y 0y >>D ．12y 0y <<4．反比例函数y ＝mx的图象如图所示，以下结论：①常数m ＞0；①在每个象限内，y 随x 的增大而增大；①若A （﹣1，h ），B （2，k ）在图象上，则h ＜k ；①若P （x ，y ）在图象上，则P '（﹣x ，﹣y ）也一定在图象上．其中正确的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①①5．如图，P （x ，y ）是反比例函数3y x=的图象在第一象限分支上的一个动点，P A ①x 轴于点A ，PB ①y 轴于点B ，随着自变量x 的逐渐增大，矩形OAPB 的面积（ ）A ．保持不变B ．逐渐增大C ．逐渐减小D ．无法确定6．已知正比例函数1y k x=和反比例函数2kyx=，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合120k k⋅>的是（）A．①①B．①①C．①①D．①①7．若反比例函数()110ay a xx-=><，图象上有两个点()()1122,,x y x y，，设()1212()m x x y y=--，则y mx m=-不经过第()象限．A．一B．二C．三D．四8．如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，分别与反比例函数y3=x （x＞0）和y6=x-（x＞0）的图象交于B、A两点．若点C是y轴上任意一点，则①ABC的面积为（）A．3B．6C．9D．92评卷人得分二、填空题9．已知反比例函数6yx=，当x＞3时，y的取值范围是_____．10．如图，直线y=kx与双曲线y=2x交于A，B两点，BC①y轴于点C，则△ABC的面积为_____．11．如果点（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是反比例函数y＝1x图象上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是_____．12．若点A（-2，a），B（1，b），C（4，c）都在反比例函数8yx=-的图象上，则a、b、c大小关系是________．13．若点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（2，y3）在反比例函数21ayx+=（a为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是_____．（用“＜”连接）14．如图，点A是反比例函数y＝kx图象上的一个动点，过点A作AB①x轴，AC①y 轴，垂足点分别为B、C，矩形ABOC的面积为4，则k＝________．15．如图，点A在双曲线y＝kx的第一象限的那一支上，AB①y轴于点B，点C在x 轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若①ADE的面积为32，则k的值为______．评卷人得分三、解答题16．如图，()A4,3是反比例函数kyx=在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB//x轴，截取AB OA(B=在A右侧)，连接OB，交反比例函数kyx=的图象于点P．（1）求反比例函数kyx=的表达式；（2）求点B的坐标及OB所在直线解析式；（3）求OAP的面积．17．如图，反比例函数kyx=与一次函数y x b=-+的图象交于点A（1，3）和点B．（1）求k的值和点B的坐标．（2）结合图象，直接写出当不等式kx bx<-+成立时x的取值范围．（3）若点C是反比例函数kyx=第三象限图象上的一个动点，当CA CB=时，求点C的坐标．18．如图，Rt AOB ∆的直角边OB 在x 轴的正半轴上，反比例函数(0)k y x x=>的图象经过斜边OA的中点D ,与直角边AB 相交于点C . ①若点(4,6)A ，求点C 的坐标： ①若9S OCD ∆=，求k 的值.19．如图，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数8y x＝－的图象交于A 、B 两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是－2．求：（1）一次函数的解析式； （2）△AOB 的面积．20．已知：如图，∆ABC是等腰直角三角形，①B=90°，点B的坐标为(1,2)．反比例函数kyx的图象经过点C，一次函数y=ax+b的图象经A,C两点．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）直接写出不等式组0<ax+b≤kx的解集．参考答案：1．C 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和x 的取值范围，可以解答本题． 【详解】解：①反比例函数y ＝1x（x ＜0）中，k ＝1＞0，①该函数图象在第三象限， 故选：C ． 【点睛】本题考查反比例函数的图象,关键在于熟记反比例函数图象的性质. 2．C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质得出函数的增减性以及所在象限和经过的点的特点分别分析得出即可． 【详解】解：A ，因为133⨯=，所以图象经过点(1)3，，A 选项正确，故不选A ； B ，因为30k =>，图象在第一、三象限，B 选项正确，故不选B ；C ，因为30k =>，图象在第一、三象限，所以0x >时，y 随x 的增大而减小，C 选项错误，故选C ；D ，因为30k =>，图象在第一、三象限，所以0x <时，y 随x 的增大而减小，D 选项正确，故不选D ． 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，根据解析式确定函数的性质是解题的关键． 3．B 【解析】 【分析】根据题意和反比例函数的性质可以解答本题．①反比例函数3y -x=，①该函数图像在第二、四象限，在每个象限y 随x 的增大而增大， ①A(x 1，y 1），B(x 2，y 2)在反比例函数3y -x=的图象上，且x 1<0<x 2，①12y 0y >>， 故选B. 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 4．D 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行判断即可． 【详解】解：①反比例函数的图象可知，m ＞0，故①正确；当反比例函数的图象位于一、三象限时，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，故①错误； 将A （-1，h ），B （2，k ）代入y ＝mx得到h=-m ，2k=m ， ①m ＞0，①h ＜k ，故①正确； 将P （x ，y ）代入y ＝m x 得到m=xy ，将P′（-x ，-y ）代入y ＝mx得到m=xy ， 若P （x ，y ）在图象上，则P′（-x ，-y ）也在图象上 故①正确， 故选：D ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 5．A【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值，即S=12|k|，所以随着x 的逐渐增大，矩形OAPB 的面积将不变． 【详解】解：依题意有矩形OAPB 的面积=2×12|k|=3，所以随着x 的逐渐增大，矩形OAPB 的面积将不变． 故选：A ． 【点睛】本题考查了反比例函数 y ＝kx中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，解题的关键是掌握图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=12|k|． 6．B 【解析】 【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象逐一判断即可． 【详解】解： 观察图像①可得120,0k k >>，所以120k k >，①符合题意； 观察图像①可得120,0k k <>，所以120k k <，①不符合题意； 观察图像①可得120,0k k ><，所以120k k <，①不符合题意； 观察图像①可得120,0k k <<，所以120k k >，①符合题意； 综上，其中符合120k k ⋅>的是①①， 故答案为：B ． 【点睛】本题考查的是正比例函数和反比例函数的图像，当k ＞0时，正比例函数和反比例函数经过一、三象限，当k ＜0时，正比例函数和反比例函数经过二、四象限． 7．C【分析】利用反比例函数的性质判断出m 的正负，再根据一次函数的性质即可判断． 【详解】 解：①()110a y a x x-=><，， ①a-1＞0， ①()110a y a x x-=><，图象在三象限，且y 随x 的增大而减小， ①图象上有两个点（x 1，y 1），（x 2，y 2），x 1与y 1同负，x 2与y 2同负， ①m=（x 1-x 2）（y 1-y 2）＜0，①y=mx-m 的图象经过一，二、四象限，不经过三象限， 故选：C ． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8．D 【解析】 【分析】设P （a ，0），由直线APB 与y 轴平行，得到A 和B 的横坐标都为a ，将x ＝a 代入反比例函数y 6x-＝和y 3x ＝中，分别表示出A 和B 的纵坐标，进而由AP ＋BP 表示出AB ，三角形ABC 的面积12⨯＝AB ×P 的横坐标，求出即可．【详解】解：设P （a ，0），a ＞0，则A 和B 的横坐标都为a ，将x ＝a 代入反比例函数y 6x =-中得：y 6a=-，故A （a ，6a -）；将x＝a代入反比例函数y3x＝中得：y3a=，故B（a，3a），①AB＝AP＋BP639a a a+＝＝，则S△ABC12=AB•xP19922aa=⨯⨯=，故选D．【点睛】本题主要考查反比例函数图象k的几何意义，解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数k 的几何意义.9．0＜y＜2【解析】【分析】根据反比例函数的性质可以得到反比例函数y＝6x，当x＞3时，即可得到y的取值范围．【详解】①y＝6x，6＞0，①当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＝3时，y＝2，①当x＞3时，y的取值范围是0＜y＜2，故答案为0＜y＜2【点睛】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．10．2【解析】【分析】根据直线y=kx与双曲线y=2x交于A，B两点，可得A、B关于原点对称，从而得到S△BOC=S△AOC，然后根据反比例函数的系数k的几何意义求出的S△BOC面积即可.【详解】①直线y=kx与双曲线y=2x交于A，B两点，①点A与点B关于原点对称，①S△BOC=S△AOC，而S△BOC=12×2=1，①S△ABC=2S△BOC=2．故答案为2．【点睛】反比例函数中比例系数k的几何意义是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.11．y2＞y3＞y1【解析】【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限,再根据各点横坐标的特点进行解答即可.【详解】解：①1＞0,反比例函数y=1x图象在一、三象限,并且在每一象限内y随x的增大而减小,因为-1＜0,①A点在第三象限,①y1＜0,①2＞1＞0,①B、C两点在第一象限,①y2＞y3＞0,①y2＞y3＞y1.故答案是:y2＞y3＞y1.【点睛】本题主要考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数图象性质.12．a＞c＞b【解析】【分析】根据题意，分别求出a 、b 、c 的值，然后进行判断，即可得到答案．【详解】解：①点A 、B 、C 都在反比例函数8y x =-的图象上，则 当2x =-时，则842a =-=-； 当1x =时，则881b =-=-； 当4x =时，则824c =-=-； ①a c b >>；故答案为：a c b >>．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．13．y 1＜y 3＜y 2．【解析】【分析】先计算出自变量为﹣5、1、2对应的函数值，从而得到y 1，y 2，y 3的大小关系． 【详解】当x =﹣5时，y 1=﹣15(a 2+1)； 当x =1时，y 2=a 2+1；当x =2时，y 3=12(a 2+1)， 所以y 1＜y 3＜y 2．故答案为：y 1＜y 3＜y 2．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．14．-4【解析】【详解】试题分析：由于点A是反比例函数y=kx上一点，矩形ABOC的面积S=|k|=4，则k的值为-4．考点：反比例函数15．83【解析】【分析】如下图，连接CD，由AE＝3EC，①ADE的面积为32，得到①CDE的面积为12，则①ADC 的面积为2，设A点坐标为（a，b），则k＝ab，AB＝a，OC＝2AB＝2a，BD＝OD＝b，利用S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC即可得出ab的值进而得出结论．【详解】如下图，连CD①AE＝3EC，①ADE的面积为32，①①CDE的面积为12，①①ADC的面积为2，设A点坐标为（a，b），则AB＝a，OC＝2AB＝2a，①点D为OB的中点，①BD＝OD＝12b，①S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC，①12（a+2a）×b＝12a×12b+2+12×2a×12b，①ab＝83，把A（a，b）代入双曲线y＝kx得，k ＝ab ＝83． 故答案为：83． 【点睛】本题考查利用几何图形的面积求解反比例函数的解析式，解题关键是将几何图形的面积和点的坐标结合起来，然后利用待定系数法求得解析式.16．（1）12y x =（2）（9，3）；13y x = （3）5 【解析】【分析】（1）直接代入A 点坐标课的k 的值，进而可得函数解析式；（2）过点A 作AC①x 轴于点C ，利用勾股定理计算出AO 的长，进而可得AB 长，然后可得B 点坐标．设OB 所在直线解析式为y=mx （m≠0）利用待定系数法可求出BO 的解析式；（3）首先联立两个函数解析式，求出P 点坐标，过点P 作PD①x 轴，延长DP 交AB 于点E ，连接AP ，再确定E 点坐标，最后求面积即可．【详解】解：()1将点()A 4,3代入()k y k 0x=≠， 得：12k =，则反比例函数解析式为：12y x =； () 2如图，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，则OC 4=、AC 3=，22OA 435∴=+=，AB//x 轴，且AB OA 5==，∴点B的坐标为()9,3；设OB所在直线解析式为()y mx m0=≠，将点()B9,3代入得13=m，OB∴所在直线解析式为1y x3=；()3联立解析式：1y x312yx⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：x6,y2=⎧⎨=⎩可得点P坐标为()6,2，过点P作PD x⊥轴，延长DP交AB于点E，连接AP，则点E坐标为()6,3，AE2∴=，PE1=，PD2=，则OAP的面积()11126362215222=⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯=．【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数和正比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能满足解析式．17．（1）3k=，B（3，1）；（2）1x3<<或x0<；（3）C（33--，）【解析】【分析】（1）分别把()1,3A代入一次函数与反比例函数，可得,k b的值，联立两个解析式，解方程组可得B的坐标；（2）由k x＜x b -+，则反比例函数值小于一次函数值，所以反比例函数的图像在一次函数的图像的下方，从而可得答案；（3）由,CA CB = 则C 在AB 的垂直平分线上，利用直线AB 与坐标轴构成的三角形是等腰直角三角形，证明AB 的垂直平分线经过原点，再求解垂直平分线的解析式，联立两个解析式解方程组即可得到答案．【详解】解：（1）把()1,3A 代入y x b =-+，13,b ∴-+=4,b ∴=所以：一次函数为：4,y x =-+把()1,3A 代入k y x=， 133,k ∴=⨯= 3,y x∴= 3,4y x y x ⎧=⎪∴⎨⎪=-+⎩ 34,x x∴=-+ 2430,x x ∴-+=121,3,x x ∴== 把11x =代入4,y x =-+13,y ∴=把23x =代入4,y x =-+21,y ∴=121213,,31x x y y ==⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩ 经检验：方程的解符合题意，()3,1.B ∴（2）由kx＜x b-+，则反比例函数值小于一次函数值，所以反比例函数的图像在一次函数的图像的下方，结合图像可得：1x3<<或0x<．（3）,CA CB=C∴在AB的垂直平分线上，记AB的中点为D，()()1,3,3,1,A B∴()2,2,D∴记AB与,x y轴的交点分别为,F EAB为4,y x=-+()()4,0,0,4,F E∴4,OE OF∴==OD∴为AB的垂直平分线，设OD为,y mx=把()2,2D代入：22,m=1,m∴=AB∴的垂直平分线为：,y x=,3y xyx=⎧⎪∴⎨=⎪⎩解得：121233,,33x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==-⎪⎪⎩⎩ 经检验：方程的解符合题意，C 在第三象限，()3,3.C ∴--【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数中的字母参数，同时考查利用图像判断一次函数值与反比例函数值的大小，还考查线段的垂直平分线的性质，函数的交点坐标问题，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．18．①（4，32）；①k=12 【解析】【分析】①根据点D 是OA 的中点即可求出D 点坐标，再将D 的坐标代入解析式求出解析式，从而得到C 的坐标；①连接OC, 设A(a,b),先用代数式表示出三角形OAB,OBC,OCD 的面积，再根据条件列出方程求k 的值即可．【详解】解：①①D 是OA 的中点，点A 的坐标为（4，6），①D （42，62），即（2，3） ①k=2×3=6①解析式为6y x= ①A 的坐标为（4，6），AB①x 轴①把x=4代入6y x=得y=32 ①C 的坐标为（4，32） ①连接OC,设A(a,b),则D(2a , 2b ) 可得k=4ab ，ab=4k ①解析式为4ab y x= ①B(a,0),C(a, 4b ) ①11222OAB SOB AB ab k === 1122OBC S OB BC k =•= 11()22OCD OAC OAB OBC S S S S ∴==- ①11(2)922k k -= 解得：k=12【点睛】本题考查了一次函数的性质，要正确理解参数k 的几何意义，能用代数式表达三角形OCD 的面积是解题的关键．19．（1）y ＝－x ＋2；（2）6【解析】【分析】（1）把点A 的横坐标代入8y x＝－，可得4y =，即可求出A 点的坐标，把B 点的纵坐标代入8y x＝－，可得4x =，即可求出B 点的坐标，把A B 、两点的坐标代入一次函数的解析式即可求解；（2）首先求出直线AB 与x 轴的交点坐标M ，然后根据AOB AOM BOM S S S ∆∆∆＝＋进行求解即可；【详解】解：（1）把2A x =-代入8y x＝－中，得4A y = ① 点()2,4A -把2B y =-代入8y x＝－中，得4B x = ① 点()4,2B -把AB 、两点的坐标代入y kx b ＝＋中，得 42,24.k b k b ⎧⎨-⎩＝－＋＝＋ 解得1,2.k b ⎧⎨⎩＝－＝ ① 所求一次函数的解析式为2y x ＝－＋（2）当0y ＝时，2x ＝, ①2y x ＝－＋与x 轴的交点为()2,0M ,即2OM =①AOB AOM BOM S S S ∆∆∆＝＋ B A y OM y OM ⋅⋅⋅⋅2121＋＝11242222⨯⨯⨯⨯＝＋＝6【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握一次函数的解析式求法以及图中的面积求法是求解本题的关键.20．（1）反比例函数关系式为y =6x，一次函数函数关系式为y =x-1；（2）1<x ≤3 【解析】【分析】①根据等腰三角形的性质求出A,C 点的坐标，即可求出反比例和一次函数关系式 ①观察图像即可找出x 的解集【详解】解：（1）①∆ABC 是等腰直角三角形且点B 的坐标为(1,2)①AB =BC =2①点C 的坐标为(3,2)，点A 的坐标为(1,0)把点C 的坐标代入y =k x，解得k =6 ①反比例函数关系式为y =6x 把点C(3,2)，点A(1,0)代入一次函数y=ax+b320a b a b +=⎧⎨+=⎩解得11a b =⎧⎨=-⎩①一次函数函数关系式为y =x-1（2）由函数图像及A ，C 两点坐标可得不等式组的解集为：1<x ≤3【点睛】本题解题的关键是根据等腰直角三角形的性质求出A,C 点的坐标，写x 的范围时可以先用笔画出符合要求的线段不易出错。
北师大版数学九年级上册第六章反比例函数-课时练试题及答案
北师大版数学九年级上册第六章反比例函数课时作业6.1反比例函数【基础练习】一、填空题：1.A、B两地相距120千米，一辆汽车从A地去B地，则其速度v（千米/时）与行驶时间t（小时）之间的函数关系可表示为；2.有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的13，设下底长为x，高为y，则y与x的函数关系式是；3.已知y与x成反比例，并且当x=2时，y=-1，则当x=-4时，y=.二、选择题：1.下列各问题中的两个变量成反比例的是（）；A.某人的体重与年龄B.时间不变时，工作量与工作效率C.矩形的长一定时，它的周长与宽D.被除数不变时，除数与商2.已知y与x成反比例，当x=3时，y=4，那么当y=3时，x的值为（）；A.4B.-4C.3D.-33.下列函数中，不是反比例函数的是（）A.xy=2B.y=-k3x (k≠0) C.y=3x-1D.x=5y-1三、解答题：1.一水池内有污水60m3，设放净全池污水所需的时间为t(小时），每小时的放水量为w m3，（1）试写出t与w之间的函数关系式，t是w反比例函数吗？（2）求当w=15时，t的值.2.已知y 是x 的反比例函数，下表给出了x 与y 的一些值：（1）写出这个反比例函数表达式；（2）将表中空缺的x 、y 值补全.【综合练习】举出几个日常生活中反比例函数的实例.【探究练习】已知函数y =y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x =1时，y =4,当x =2时，y =5.求y 关于x 的函数解析式.答案:【基础练习】一、1.v =120t ； 2.y =90x ； 3.12.二、1.D ；2.A ；3.C.三、1.（1）t =60w，（2）t =4. 2.（1）y =3x ；（2）从左至右：x =-4，-1，2，3；y =-35，-32，3，34，35.【综合练习】略.x -5-3-2145y-34-1-3321【探究练习】y =2x +2x. 6.1反比例函数一．判断题1．如果y 是x 的反比例函数，那么当x 增大时，y 就减小（）2．当x 与y 乘积一定时，y 就是x 的反比例函数，x 也是y 的反比例函数（）3．如果一个函数不是正比例函数，就是反比例函数（）4．y 与x 2成反比例时y 与x 并不成反比例（）5．y 与2x 成反比例时，y 与x 也成反比例（）6．已知y 与x 成反比例，又知当2=x 时，3=y ，则y 与x 的函数关系式是6xy =（）二．填空题7．)0(≠=k xky 叫__________函数，x 的取值范围是__________；8．已知三角形的面积是定值S ，则三角形的高h 与底a 的函数关系式是_________=h ，这时h 是a 的__________；9．如果y 与x 成反比例，z 与y 成正比例，则z 与x 成__________；10．如果函数y =222-+k k kx是反比例函数，那么k =________，此函数的解析式是；11．下列函数表达式中，x 均表示自变量，那么哪些是反比例函数，如果是请在括号内填上k 的值，如果不是请填上“不是”①x y 5=；（）②x y 4.0=；（）③2x y =；（）④2=xy ；（）⑤πx y =；（）⑥xy 5-=（）⑦12-=x y （）12．判断下面哪些式子表示y 是x 的反比例函数？①31-=xy ；②x y -=5；③x y 52-=；④)0(2≠=a a xay 为常数且；解：其中是反比例函数，而不是；13．计划修建铁路1200km ，那么铺轨天数y （天）是每日铺轨量x 的反比例函数吗？解：因为，所以y 是x 的反比例函数；14．一块长方形花圃，长为a 米，宽为b 米，面积为8平方米，那么a 与b 成函数关系，列出a 关于b 的函数关系式为；三．选择题：15．若nxm y ++=2)5(是反比例函数，则m 、n 的取值是（）（A ）3,5-=-=n m （B ）3,5-=-≠n m （C ）3,5=-≠n m （D ）4,5-=-≠n m 16．附城二中到联安镇为5公里，某同学骑车到达，那么时间t 与速度（平均速度）v 之间的函数关系式是（）（A ）stv =（B ）st v +=（C ）ts v =（D ）st v =17．已知A （2-，a ）在满足函数xy 2=，则___=a （）（A ）1-（B ）1（C ）2-（D ）218．下列函数中，是反比例函数的是（）（A ）1)1(=-y x （B ）11+=x y （C ）21xy =（D ）x y 31=19．下列关系式中，哪个等式表示y 是x 的反比例函数（）（A ）x k y =（B ）2xB y =（C ）121+=x y （D ）12=-xy 20．函数y m x mm =+--()2229是反比例函数，则m 的值是（）（A ）m =4或m =-2（B ）m =4（C ）m =-2（D ）m =-1四．解答题：21．在某一电路中，保持电压V （伏特）不变，电流I （安培）与电阻R （欧姆）成反比例，当电阻R=5时，电流I=2安培。
新北师大版九年级数学上册：第六章 反比例函数同步练习(含答案)
第六章 反比例函数 1 反比例函数01 基础题知识点1 反比例函数的概念1．下列函数是y 关于x 的反比例函数的是(C)A ．y ＝xB ．y ＝kxC ．y ＝－8xD ．y ＝8x 22．在函数y ＝1x中，自变量x 的取值范围是(A)A ．x ≠0B ．x>0C ．x<0D ．一切实数3．反比例函数y ＝－25x中，k 的值是(C)A ．2B ．－2C ．－25D ．－524．若函数y ＝x 2m ＋1为反比例函数，则m 的值是(D)A ．1B ．0 C.12D ．－1 知识点2 判断反比例函数关系5．如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系中，正确的是(B)A ．两条直角边成正比例B ．两条直角边成反比例C ．一条直角边与斜边成正比例D ．一条直角边与斜边成反比例6．用电器的输出功率P 与通过的电流I 、用电器的电阻R 之间的关系是P ＝I 2R ，下面说法正确的是(B)A ．P 为定值，I 与R 成反比例B ．P 为定值，I 2与R 成反比例C ．P 为定值，I 与R 成正比例D ．P 为定值，I 2与R 成正比例 知识点3 反比例函数的表达式7．已知y 是x 的反比例函数，且当x ＝2时，y ＝3，则该反比例函数的表达式是(C)A ．y ＝6xB ．y ＝16xC ．y ＝6xD ．y ＝6x－18．某工厂现有原材料100吨，每天平均用去x 吨，这批原材料能用y 天，则y 与x 之间的函数关系式为(B)A ．y ＝100xB ．y ＝100xC ．y ＝12x ＋100 D ．y ＝100－x9．已知近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例．若200度近视眼镜的镜片焦距为0.5 m ，则y 与x 之间的函数关系式是y ＝100x.10．(教材P150“做一做”T3变式)已知变量y 与变量x 之间的对应值如下表：则变量y 与x 之间的函数关系式为y ＝6x ，当x ＝－12时，y ＝－12.11．列出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数．(1)某农场的粮食总产量为1 500 t ，则该农场人数y(人)与平均每人占有粮食量x(t)之间的函数关系；(2)在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升6.85元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y(元)与加油量x(L)之间的函数关系．解：(1)y ＝1 500x，是反比例函数． (2)y ＝6.85x ，不是反比例函数．易错点 忽视反比例函数中k ≠0的条件而致错12．若函数y ＝m －1x|m|是反比例函数，则m ＝－1．【变式】 已知函数y ＝(m ＋1)xm 2－2是反比例函数，则m 的值为1． 02 中档题13．下列函数：①y ＝2x ；②y ＝－x ＋1；③xy ＝5；④y ＝x －1；⑤y ＝1x ＋1；⑥y ＝3x ＋7；⑦y ＝2x 2.其中是y 是x 的反比例函数的有(C)A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个14．下列关系中，两个变量之间为反比例函数关系的是(D)A ．长40米的绳子用去x 米，还剩y 米B ．买单价3元的笔记本x 本，花了y 元C ．正方形的面积为S ，边长为aD ．菱形的面积为20，对角线的长分别为x ，y15．函数y ＝m （m ＋1）x是反比例函数，则m 必须满足(D)A ．m ≠0B ．m ≠－1C ．m ≠－1或m ≠0D ．m ≠－1且m ≠016．【关注整体思想】已知y 与2x ＋1成反比例函数关系，且当x ＝1时，y ＝2，那么当x ＝0时，y ＝6． 17．水池中有水若干吨，若单开一个出水口，出水速度v 与全池水放光所用时间t 如表：(1)(2)这是一个反比例函数吗？解：(1)t ＝10v.(2)是一个反比例函数．18．设面积为20 cm 2的平行四边形的一边长为a cm ，这条边上的高为h cm. (1)求h 关于a 的函数表达式及自变量a 的取值范围；(2)h 关于a 的函数是不是反比例函数？如果是，请说出它的比例系数； (3)当a ＝25时，求这条边上的高．解：(1)h ＝20a(a>0)．(2)是反比例函数，它的比例系数是20.(3)当a ＝25时，h ＝2025＝45.∴这条边上的高为45cm.03 综合题19．将x ＝23代入函数y ＝－1x 中，所得函数值记为y 1；又将x ＝y 1＋1代入函数y ＝－1x 中，所得函数值记为y 2；再将x ＝y 2＋1代入函数y ＝－1x 中，所得函数值记为y 3；…；继续下去，则y 1＝－32，y 2＝2，y 3＝－13，y 2 019＝－13．20．已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝4；当x ＝2时，y ＝5. (1)求y 与x 之间的函数关系式； (2)当x ＝4时，求y 的值．解：(1)设y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，则y ＝y 1＋y 2＝k 1x ＋k 2x.∵当x ＝1时，y ＝4；当x ＝2时，y ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝k 1＋k 2，5＝2k 1＋k 22.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝2，k 2＝2. ∴y ＝2x ＋2x.(2)当x ＝4时，y ＝2×4＋24＝812.2 反比例函数的图象与性质 第1课时 反比例函数的图象01 基础题知识点1 反比函数图象的画法1．请在如图所示的平面直角坐标系中画出反比例函数y ＝4x 和y ＝－4x的图象．解：如图所示．知识点2 反比例函数的图象与系数k 的关系2．反比例函数y ＝kx(k>0)的大致图象是(A)3．反比例函数y ＝－1x的图象位于第二、四象限．4．(新疆中考)如图，它是反比例函数y ＝m －5x图象的一支，根据图象可知常数m 的取值范围是m ＞5. 知识点3 反比例函数图象上点的坐标5．下列各点在反比例函数y ＝2x图象上的是(C)A ．(1，0.5)B ．(2，－1)C ．(－1，－2)D ．(－2，1)6．(海南中考)已知反比例函数y ＝kx的图象经过点(－1，2)，则这个函数的图象位于(D)A ．第二、三象限B ．第一、三象限C ．第三、四象限D ．第二、四象限 7．如图，已知OA ＝6，∠AOB ＝30°，则经过点A 的反比例函数的表达式为(B)A ．y ＝－93xB ．y ＝93xC ．y ＝9xD ．y ＝－9x8．(哈尔滨中考改编)已知反比例函数y ＝2k －3x的图象经过点(1，1)，则k 的值为2．9．已知点A(2，4)与点B(－3，m)在同一反比例函数的图象上，则m 的值是－83．知识点4 反比例函数图象的对称性10．对于反比例函数y ＝6x图象的对称性，下列叙述错误的是(D)A ．关于原点中心对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于直线y ＝－x 对称D ．关于x 轴对称11．如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行．若正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积等于1．易错点 分析问题不全面而致错12．已知反比例函数y ＝(m ＋1)xm 2－5的图象在第二、四象限内，则m 的值是－2． 02 中档题13．(教材P161复习题T6变式)(娄底中考)如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y ＝kx与一次函数y ＝kx －1(k 为常数，且k ＞0)的图象可能是(B)14．如图是三个反比例函数y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，y 3＝k 3x在x 轴上方的图象，由此观察得到k 1，k 2，k 3的大小关系为(C)A ．k 1＞k 2＞k 3B ．k 3＞k 1＞k 2C ．k 2＞k 3＞k 1D ．k 3＞k 2＞k 115．(绍兴中考)如图，Rt △ABC 的两个锐角顶点A ，B 在函数y ＝kx(x ＞0)的图象上，AC ∥x 轴，AC ＝2.若点A 的坐标为(2，2)，则点B 的坐标为(4，1)．16．已知反比例函数y ＝kx(k 为常数，k ≠0)的图象经过点A(2，3)．(1)求这个函数的表达式；(2)判断点B(－1，6)，C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由．解：(1)∵反比例函数y ＝kx的图象经过点A(2，3)，把点A 的坐标(2，3)代入表达式，得3＝k2.解得k ＝6.∴这个函数的表达式为y ＝6x.(2)分别把点B ，C 的坐标代入y ＝6x，可知点B 的坐标不满足函数表达式，点C 的坐标满足函数表达式． ∴点B 不在这个函数的图象上，点C 在这个函数的图象上．17．已知反比例函数y 1＝kx的图象与一次函数y 2＝kx ＋m 的图象相交于点A(2，1)，分别求出这两个函数的表达式，并在同一坐标系内画出它们的大致图象．解：∵反比例函数y 1＝kx的图象与一次函数y 2＝kx ＋m 的图象相交于点A(2，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2×1＝k ，2k ＋m ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，m ＝－3.∴y 1＝2x，y 2＝2x －3.它们的图象如图所示．03 综合题18．已知反比例函数y ＝1－2mx(m 为常数)的图象在第一、三象限．(1)求m 的取值范围；(2)如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD 的顶点D ，点A ，B 的坐标分别为(0，3)，(－2，0)． ①求出函数表达式；②【分类讨论思想】设点P 是该反比例函数图象上的一点，若OD ＝OP ，则P 点的坐标为(3，2)或(－2，－3)或(－3，－2)；若以D ，O ，P 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P 的个数为4个．解：(1)由题意知1－2m ＞0，解得m ＜12.(2)∵四边形ABOD 是平行四边形， ∴AD ∥BO 且AD ＝BO.∵A(0，3)，B(－2，0)，O(0，0)， ∴点D 的坐标是(2，3)． ∴1－2m 2＝3，1－2m ＝6.∴函数表达式为y ＝6x.第2课时 反比例函数的性质01 基础题知识点1 反比例函数的性质1．反比例函数y ＝1x(x ＞0)的图象如图所示，随着x 值的增大，y 值(A)A ．减小B ．增大C ．不变D ．先减小，后不变2．(赤峰中考)点A(1，y 1)，B(3，y 2)是反比例函数y ＝9x图象上的两点，则y 1，y 2的大小关系是(A)A ．y 1＞y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＜y 2D ．不能确定3．反比例函数y ＝m ＋1x的图象在每个象限内，函数值y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是(D)A ．m ＜0B ．m ＞0C ．m ＞－1D ．m ＜－14．关于反比例函数y ＝－2x的图象，下列说法正确的是(D)A ．图象经过点(1，1)B ．两个分支分布在第一、三象限C ．两个分支关于x 轴成轴对称D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大5．(本课时T2变式)(抚顺中考)已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是反比例函数y ＝－3x图象上的两点，且x 1＞x 2＞0，则y 1＞y 2(填“＞”或“＜”)．6．已知反比例函数y ＝(2m －1)xm 2－2，当x ＞0时，函数值y 随x 的增大而增大，求m 的值． 解：根据题意，得m 2－2＝－1，解得m ＝±1. ∵当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，∴2m －1＜0.解得m ＜12.∴m ＝－1.知识点2 反比例函数中k 的几何意义7．如图，在平面直角坐标系中，点P 是反比例函数y ＝kx(x ＞0)图象上的一点，分别过点P 作PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y轴于点B.若四边形OAPB 的面积为3，则k 的值为(A)A ．3B ．－3 C.32 D ．－328．(娄底中考)如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点P 是反比例函数y ＝2x(x>0)图象上的一点，PA ⊥x 轴于点A ，则△POA 的面积为1．易错点1 忽视了函数增减性的前提条件9．(教材P157习题T4变式)若点A(a ，m)和点B(b ，n)在反比例函数y ＝7x的图象上，且a ＜b ，则(D)A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．m ，n 的大小无法确定 易错点2 确定自变量的取值范围时漏解10．已知反比例函数y ＝10x，当y ＜5时，x 的取值范围是x ＞2或x ＜0.易错点3 忽视了反比例函数中k 的符号11．如图，A 为反比例函数y ＝kx图象上一点，AB ⊥x 轴于点B.若S △AOB ＝3，则k 的值为－6.02 中档题12．(遂宁中考)若点A(－6，y 1)，B(－2，y 2)，C(3，y 3)在反比例函数y ＝a 2＋1x(a 为常数)的图象上，则y 1，y 2，y 3大小关系为(D)A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 3＞y 1C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 213．已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是反比例函数y ＝kx(k ≠0)图象上的两个点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，那么一次函数y＝－kx ＋k 的图象不经过(C)A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．(本课时T7变式)如图，反比例函数y ＝2x的图象经过矩形OABC 的边AB 的中点D ，则矩形OABC 的面积为4.15．(贵阳中考)如图，过x 轴上任意一点P 作y 轴的平行线，分别与反比例函数y ＝3x (x ＞0)，y ＝－6x(x ＞0)的图象交于A 点和B 点．若C 为y 轴任意一点，连接AC ，BC ，则△ABC 的面积为92．16．已知反比例函数y ＝k －1x(k 为常数，k ≠1)． (1)若在这个函数图象的每一分支上，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围； (2)若k ＝13，试判断点C(2，5)是否在这个函数的图象上，并说明理由． 解：(1)∵在这个函数图象的每一分支上，y 随x 的增大而减小， ∴k －1＞0.解得k ＞1.(2)点C(2，5)不在这个函数的图象上．理由：∵当k ＝13时，k －1＝12， ∴反比例函数的表达式为y ＝12x. 当x ＝2时，y ＝6≠5，∴点C(2，5)不在这个函数的图象上．17．(河南中考)如图，反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象过格点(网格线的交点)P.(1)求反比例函数的表达式；(2)在图中画出两个矩形(不写画法)，要求每个矩形均满足下列两个条件： ①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O ，点P ； ②矩形的面积等于k 的值．解：(1)∵反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象过格点P(2，2)，∴k ＝2×2＝4.∴反比例函数的表达式为y ＝4x.(2)如图所示，矩形OAPB ，矩形OCDP 即为所求作的图形．03 综合题 18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 和C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且AB ∥y 轴，AB ＝3，△ABC 的面积为2 3.(1)求点B 的坐标；(2)将△ABC 以点B 为旋转中心顺时针方向旋转90°得到△DBE ，反比例函数图象恰好过点D 时，求反比例函数的表达式．解：(1)过点C 作CH ⊥AB 于点H ，BD 交y 轴于点G ，∵S △ABC ＝12AB·CH ，∴12×3·CH ＝2 3. ∴CH ＝433.∵AB ∥y 轴，∴点B 的坐标为(433，3)．(2)∵△ABC 以点B 为旋转中心顺时针方向旋转90°得到△DBE ， ∴BD ＝BA ＝3，∠DBA ＝90°. ∴BD ∥x 轴．∵DG ＝BD －BG ＝3－433，设反比例函数表达式为y ＝kx，∴k ＝(433－3)×3＝43－9.∴反比例函数表达式为y ＝43－9x.3 反比例函数的应用01 基础题知识点1 反比例函数的实际应用1．某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为1.2万元，前期付款4 000元，后期每个月分期付相等数额，则每个月的付款额y(元)与付款月数x 之间的函数关系式是(A)A ．y ＝8 000x (x 取正整数)B ．y ＝8xC ．y ＝8 000xD ．y ＝8 000x2．(沈阳铁西区期末)小明乘车从广州到北京，行车的平均速度y(km/h)和行车时间x(h)之间的函数图象是(B)3．把一个长、宽、高分别为3 cm 、2 cm 、1 cm 的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S(cm 2)与高h(cm)之间的函数关系式为S ＝6h．4．如图所示是某一蓄水池的排水速度v(m 3/h)与排完水池中的水所用时间t(h)之间的函数关系图象，则排水速度v(m 3/h)与时间t(h)之间的函数关系式是v ＝48t.若要5 h 排完水池中的水，则排水速度应为9.6__m 3/h.知识点2 反比例函数跨学科的应用5．水平地面上重1 500 N 的物体，与地面的接触面积为x m 2，那么该物体对地面的压强y(单位：N/m 2)与地面的接触面积x(m 2)之间的函数关系可以表示为y ＝1 500x．6．实验表明，当导线的长度一定时，导线的电阻与它的横截面积成反比例．一条长为100 cm 的导线的电阻R(Ω)与它的横截面积S(cm 2)的函数图象如图所示，那么当S ＝2 cm 2时，R ＝14.5Ω.知识点3 反比例函数与一次函数的综合7．(广东中考)如图，在同一平面直角坐标系中，直线y ＝k 1x(k 1≠0)与双曲线y ＝k 2x(k 2≠0)相交于A ，B 两点，已知点A 的坐标为(1，2)，则点B 的坐标为(A)A ．(－1，－2)B ．(－2，－1)C ．(－1，－1)D ．(－2，－2)8．(鸡西中考)如图是反比例函数y 1＝kx(x>0)和一次函数y 2＝mx ＋n 的图象．若y 1＜y 2，则相应的x 的取值范围是1＜x ＜6．9．(贵港中考)如图，一次函数y ＝2x －4的图象与反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为3.(1)求反比例函数的表达式； (2)求点B 的坐标．解：(1)把x ＝3代入y ＝2x －4，得y ＝6－4＝2. 则点A 的坐标是(3，2)．把(3，2)代入y ＝kx，得k ＝6.则反比例函数的表达式是y ＝6x .(2)根据题意，得2x －4＝6x，解得x ＝3或－1.把x ＝－1代入y ＝2x －4，得y ＝－6，则点B 的坐标是(－1，－6)．易错点1 确定自变量的取值范围时漏解10．【数形结合思想】如图，已知一次函数y ＝ax ＋b 和反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象相交于A(－2，y 1)，B(1，y 2)两点，则不等式ax ＋b ＜kx的解集为－2＜x ＜0或x ＞1．易错点2 忽略反比例函数中自变量的取值范围致错11．(宜昌中考)某学校要种植一块面积为100 m 2的长方形草坪，要求两边长均不小于5 m ，则草坪的一边长为y(单位：m)随另一边长x(单位：m)的变化而变化的图象可能是(C)02 中档题12．(牡丹江中考)如图，直线y ＝－12x ＋b 与x 轴交于点A ，与双曲线y ＝－4x(x ＜0)交于点B.若S △AOB ＝2，则b 的值是(D)A ．4B ．3C ．2D ．113．(安徽中考)如图，正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝6x的图象有一个交点A(2，m)，AB ⊥x 轴于点B.平移直线y ＝kx ，使其经过点B 得到直线l ，则直线l 对应的函数表达式是y ＝32x －3．14．(内江中考)已知A(－4，2)，B(n ，－4)两点是一次函数y ＝kx ＋b 和反比例函数y ＝mx图象的两个交点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求△AOB 的面积；(3)观察图象，直接写出不等式kx ＋b －mx＞0的解集．解：(1)把A(－4，2)代入y ＝mx ，得m ＝2×(－4)＝－8.∴反比例函数的表达式为y ＝－8x.把B(n ，－4)代入y ＝－8x ，得－4＝－8n.解得n ＝2.把A(－4，2)和B(2，－4)代入y ＝kx ＋b ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝2，2k ＋b ＝－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－2. ∴一次函数的表达式为y ＝－x －2.(2)y ＝－x －2中，令y ＝0，则x ＝－2， ∴点C 的坐标为(－2，0)． ∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×2×2＋12×2×4 ＝6.(3)由图可得，不等式kx ＋b －mx>0的解集为x<－4或0<x<2.15．【关注数学建模】(丽水中考)丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t 小时，平均速度为v(1)(2)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由； (3)若汽车到达杭州市场的行驶时间t 满足3.5≤t ≤4，求平均速度v 的取值范围．解：(1)根据表格中数据，可知v ＝kt.∵v ＝75时，t ＝4，∴k ＝75×4＝300.∴v ＝300t.(2)∵10－7.5＝2.5，∴当t ＝2.5时，v ＝3002.5＝120＞100.∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午10：00之前到达杭州市场．(3)∵3.5≤t ≤4，∴75≤v ≤6007.答：平均速度v 的取值范围是75≤v ≤6007.求反比例函数与一次函数图象的交点问题【方法指导】 求反比例函数与一次函数图象的交点问题，应联立反比例函数与一次函数表达式，构造关于自变量的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式判断交点情况，具体如下：①当Δ＞0时，反比例函数与一次函数图象有两个交点；②当Δ＝0时，反比例函数与一次函数图象有且只有一个交点；③当Δ＜0时，反比例函数与一次函数图象没有交点．1．已知一次函数y ＝－x ＋4与反比例函数y ＝kx的图象在同一平面直角坐标系中有两个交点，则k 的取值范围是(D)A ．k ＜4B ．k ≤4C ．k ≤4且k ≠0D ．k ＜4且k ≠02．已知反比例函数y ＝－2x 和一次函数y ＝kx ＋1的图象只有一个交点，那么k 的值为18．3．如图，过点C(2，1)作AC ∥x 轴，BC ∥y 轴，点A ，B 都在直线y ＝－x ＋6上．若双曲线y ＝kx(x ＞0)与△ABC总有交点，则k 的取值范围是2≤k ≤9．小专题15 反比例函数与一次函数综合类型1 在平面直角坐标系中判断函数图象1．已知函数y ＝kx(k ≠0)中，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，那么它和函数y ＝kx(k ≠0)在同一直角坐标系内的大致图象是(B)2．(日照中考)反比例函数y ＝kbx的图象如图所示，则一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象大致是(D)3．(广元中考)如图为一次函数y ＝ax －2a 与反比例函数y ＝－ax(a ≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象，其中较准确的是(B)4．(潍坊中考)一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝a －bx，其中ab ＜0，a ，b 为常数，它们在同一平面直角坐标系中的图象可以是(C)类型2 反比例函数与一次函数的交点问题5．如图，反比例函数y ＝k x 的图象与一次函数y ＝－12x 的图象交于点A(－2，m)和点B ，则点B 的坐标是(A)A ．(2，－1)B ．(1，－2)C ．(12，－1)D ．(1，－12)6．(自贡中考)一次函数y 1＝k 1x ＋b 和反比例函数y 2＝k 2x(k 1·k 2≠0)的图象如图所示．若y 1＞y 2，则x 的取值范围是(D)A ．－2＜x ＜0或x ＞1B ．－2＜x ＜1C ．x ＜－2或x ＞1D ．x ＜－2或0＜x ＜17．如图，已知一次函数y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝1x的图象有2个公共点，则b 的取值范围是(C)A ．b ＞2B ．－2＜b ＜2C ．b ＞2或b ＜－2D ．b ＜－28．(烟台中考)如图，直线y ＝x ＋2与反比例函数y ＝kx(k>0)的图象在第一象限交于点P.若OP ＝10，则k 的值为3.9．(连云港中考)设函数y ＝3x 与y ＝－2x －6的图象的交点坐标为(a ，b)，则1a ＋2b的值是－2.10．(仙桃中考)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－12x 与反比例函数y ＝kx(k ≠0)在第二象限内的图象相交于点A(m ，1)．(1)求反比例函数的表达式；(2)将直线y ＝－12x 向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点B ，与y 轴交于点C ，且△ABO 的面积为32，求直线BC 的表达式．解：(1)∵直线y ＝－12x 过点A(m ，1)，∴－12m ＝1，解得m ＝－2. ∴A(－2，1)．∵反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象过点A(－2，1)，∴k ＝(－2)×1＝－2.∴反比例函数的表达式为y ＝－2x .(2)设直线BC 的表达式为y ＝－12x ＋b ，∵△ACO 与△ABO 面积相等，且△ABO 的面积为32，∴S △ACO ＝12OC·2＝32.∴OC ＝32，即b ＝32.∴直线BC 的表达式为y ＝－12x ＋32.11．(菏泽中考)如图，已知点D 在反比例函数y ＝ax(a ≠0)的图象上，过点D 作DB ⊥y 轴，垂足为B(0，3)，直线y＝kx ＋b 经过点A(5，0)，与y 轴交于点C ，且BD ＝OC ，OC ∶OA ＝2∶5.(1)求反比例函数y ＝ax和一次函数y ＝kx ＋b 的表达式；(2)直接写出关于x 的不等式ax＞kx ＋b 的解集．解：(1)∵BD ＝OC ，OC ∶OA ＝2∶5，点A(5，0)，点B(0，3)， ∴OA ＝5，OC ＝BD ＝2，OB ＝3.又∵点C 在y 轴负半轴，点D 在第二象限，∴点C 的坐标为(0，－2)，点D 的坐标为(－2，3)．∵点D(－2，3)在反比例函数y ＝ax的图象上，∴a ＝(－2)×3＝－6.∴反比例函数的表达式为y ＝－6x.将A(5，0)，C(0，－2)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧5k ＋b ＝0，b ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝25，b ＝－2.∴一次函数的表达式为y ＝25x －2.(2)将y ＝25x －2代入y ＝－6x ，得25x －2＝－6x. 整理，得25x 2－2x ＋6＝0.∵Δ＝(－2)2－4×25×6＝－285＜0，∴一次函数图象与反比例函数图象无交点．观察图象，可知：当x ＜0时，反比例函数图象在一次函数图象上方，∴不等式ax＞kx ＋b 的解集为x ＜0.12．(绵阳中考)如图，一次函数y ＝－12x ＋52的图象与反比例函数y ＝kx(k ＞0)的图象交于A ，B 两点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，△AOM 的面积为1. (1)求反比例函数的表达式；(2)在y 轴上求一点P ，使PA ＋PB 的值最小，并求出其最小值和点P 的坐标．解：(1)∵△AOM 面积的为1， ∴12|k|＝1. ∵k ＞0，∴k ＝2.故反比例函数的表达式为y ＝2x.(2)作点A 关于y 轴的对称点A′，连接A′B ，交y 轴于点P ，则PA ＋PB 的值最小．由⎩⎨⎧y ＝－12x ＋52，y ＝2x，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12.∴A(1，2)，B(4，12)．∴A′(－1，2)，最小值A′B ＝（4＋1）2＋（12－2）2＝1092.设直线A′B 的表达式为y ＝mx ＋n ，则⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋n ＝2，4m ＋n ＝12.解得⎩⎨⎧m ＝－310，n ＝1710. ∴直线A′B 的表达式为y ＝－310x ＋1710.∴x ＝0时，y ＝1710.∴点P 的坐标为(0，1710)．小专题16 反比例函数中k 的几何意义类型1 同一象限内运用k 的几何意义S 矩形PAOB ＝|k| S △AOP ＝|k|2 S △ACP ＝|k|21．如图，过反比例函数y ＝2x(x ＞0)图象上任意两点A ，B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，连接OA ，OB ，设AC 与OB 的交点为E ，△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S 1，S 2，比较它们的大小，可得(C)A ．S 1＞S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1＝S 2D ．S 1，S 2的大小关系不能确定2．如图，已知双曲线y ＝kx(k ＜0)的图象经过Rt △OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C.若点A 的坐标为(－8，4)，则△AOC 的面积为12．3．(烟台中考)如图，反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象经过▱ABCD 对角线的交点P ，已知点A ，C ，D 在坐标轴上，BD ⊥DC ，▱ABCD 的面积为6，则k ＝－3．4．如图，过点P(2，3)分别作PC ⊥x 轴于点C ，PD ⊥y 轴于点D ，PC ，PD 分别交反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象于点A ，B ，△OAB 的面积为83，则k 的值是2．类型2 两个象限内运用k 的几何意义S △ABC ＝|k| S △APP 1＝2|k|5．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝kx(k ≠0)与双曲线y ＝3x相交于A ，B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，过点B 作BN ⊥y 轴，则图中阴影部分的面积为3．6．如图，直线y ＝mx 与双曲线y ＝kx(k ≠0)交于A ，B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连接BM.若S △ABM＝4，则k 的值为－4．7．(陕西中考)如图，在平面直角坐标系中，过点M(－3，2)分别作x 轴、y 轴的垂线与反比例函数y ＝4x的图象交于A ，B 两点，则四边形MAOB 的面积为10．类型3 双反比例函数中运用k 的几何意义S 矩形ABCD ＝|k 1|－|k 2| S △ABO ＝|k 1|－|k 2|2 S △ABC ＝S △ABO ＝|k 1|＋|k 2|28．(龙东中考)如图，平面直角坐标系中，点A 是x 轴上任意一点，BC 平行于x 轴，分别交y ＝3x (x ＞0)，y ＝kx(x ＜0)的图象于B ，C 两点．若△ABC 的面积为2，则k 的值为－1．9．如图，点A 在反比例函数y ＝2x (x ＞0)的图象上，点B 在反比例函数y ＝4x(x ＞0)的图象上，且AB ∥x 轴，BC ⊥x轴于点C ，则四边形ABCO 的面积为3．10．反比例函数y 1＝－3x ，y 2＝k x 的图象如图所示，点A 为y 1＝－3x的图象上任意一点，过点A 作x 轴的平行线交y 2＝kx的图象于点C ，交y 轴于点B.点D 在x 轴的正半轴上，CD ∥OA.若四边形AODC 的面积为2，则k 的值为－1．小专题17 反比例函数与几何图形综合类型1 反比例函数与特殊三角形1．(仙桃中考)如图，P(m ，m)是反比例函数y ＝9x在第一象限内的图象上一点，以P 为顶点作等边△PAB ，使AB 落在x 轴上，则△POB 的面积为(D)A.92B ．3 3 C.9＋1234 D.9＋3322．(遵义中考)如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB ＝30°，若点A 在反比例函数y ＝6x(x ＞0)的图象上，则经过点B 的反比例函数表达式为(C)A ．y ＝－6xB ．y ＝－4xC ．y ＝－2xD ．y ＝2x3．如图，点A 为函数y ＝16x (x ＞0)图象上一点，连接OA ，交函数y ＝4x(x ＞0)的图象于点B ，点C 是x 轴上一点，且AO ＝AC ，则△ABC 的面积为(B)A ．6B ．8C ．10D ．12类型2 反比例函数与特殊四边形4．(重庆中考)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A ，B 在反比例函数y ＝kx(k ＞0，x ＞0)的图象上，横坐标分别为1，4，对角线BD ∥x 轴．若菱形ABCD 的面积为452，则k 的值为(D)A.54B.154C ．4D ．55．如图，正方形OABC 和正方形ADEF 的顶点A ，D ，C 在坐标轴上，点F 在AB 上，点B ，E 在函数y ＝1x的图象上，则点E 的坐标是(A)A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋12，5－12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋52，3－52C.⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，5＋12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3－52，3＋526．(荆门中考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝kx(k ＞0，x ＞0)的图象经过菱形OACD 的顶点D 和边AC的中点E.若菱形OACD 的边长为3，则k 的值为7．(广西中考)如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴上，且关于y 轴对称，反比例函数y ＝k 1x(x ＞0)的图象经过点C ，反比例函数y ＝k 2x(x ＜0)的图象分别与AD ，CD 交于点E ，F.若S △BEF ＝7，k 1＋3k 2＝0，则k 1等于9．类型3 反比例函数与图形变换8．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 的坐标为(1，0)，顶点B ，C 在第一象限，顶点D 在y 轴的正半轴上，∠BAD ＝60°，将菱形ABCD 沿AB 翻折得到菱形ABC′D′，点D′恰好落在x 轴上．若函数y ＝kx(x ＞0)的图象经过点C′，则k 的值为(D)A. 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．4 39.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点AC 分别在x 轴的负半轴、y 轴的正半轴上，点B 在第二象限．将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转，使点B 落在y 轴上，得到矩形ODEF ，BC 与OD 相交于点M.若经过点M 的反比例函数y ＝k x (x ＜0)的图象交AB 于点N ，OA ＝4，OC ＝2，则BN 的长为32．回顾与思考(六) 反比例函数01 分点突破知识点1 反比例函数的图象与性质1．(柳州中考)已知反比例函数的表达式为y ＝|a|－2x，则a 的取值范围是(C) A ．a ≠2 B ．a ≠－2 C ．a ≠±2 D ．a ＝±22．(徐州中考)如果点(3，－4)在反比例函数y ＝kx的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是(C)A ．(3，4)B ．(－2，－6)C ．(－2，6)D ．(－3，－4)3．(衡阳中考)对于反比例函数y ＝－2x，下列说法不正确的是(D)A ．图象分布在第二、四象限B ．当x>0时，y 随x 的增大而增大C ．图象经过点(1，－2)D ．若点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)都在图象上，且x 1<x 2，则y 1<y 24．(齐齐哈尔中考)已知反比例函数y ＝2－kx的图象在第一、三象限内，则k 的值可以是1(答案不唯一)．(写出满足条件的一个k 的值即可)知识点2 反比例函数与一次函数综合5．(徐州中考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝kx ＋b(k ≠0)与y ＝mx(m ≠0)的图象相交于点A(2，3)，B(－6，－1)，则不等式kx ＋b ＞mx 的解集为(B)A ．x ＜－6B ．－6＜x ＜0或x ＞2C ．x ＞2D ．x ＜－6或0＜x ＜26．(大庆中考)在同一平面直角坐标系中，函数y ＝kx(k ≠0)和y ＝kx －3的图象大致是(B)知识点3 反比例函数与几何图形综合7．如图，在△AOB 中，AO ＝AB ，点A 在第一象限，点B 在x 轴上，△AOB 的面积为4，反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象经过点A ，则k 的值等于(C)A ．1B ．2C ．4D ．8知识点4 反比例函数的应用8．(台州中考)已知电流I(安培)、电压U(伏特)、电阻R(欧姆)之间的关系为I ＝UR，当电压U 为定值时，I 关于R 的函数图象是(C)9.码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间y(min)与装载速度x(t/min)之间的函数关系如图(双曲线y ＝kx的一支)．如果以5 t/min 的速度卸货，那么卸完货物需要的时间是120min.02 易错题集训10．已知函数y ＝(m －2)xm 2－10是反比例函数，且当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，则m 的值是3．11.如图，点A 是反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B.点C 为y 轴上的一点，连接AC ，BC.若△ABC 的面积为4，则k 的值是－8．12．正比例函数y ＝x 的图象与反比例函数y ＝4x 的图象在第一象限内交于点B ，点C 是反比例函数y ＝4x在第一象限图象上的一个动点．当△OBC 的面积为3时，点C 的横坐标是1或4． 03 中考题型演练13．(威海中考)若点(－2，y 1)，(－1，y 2)，(3，y 3)在双曲线y ＝kx(k ＜0)上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是(D)A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 3＜y 1＜y 214．(郴州中考)如图，A ，B 是反比例函数y ＝4x在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，则△OAB 的面积是(B)A ．4B ．3C ．2D ．115．(陕西中考)已知A ，B 两点分别在反比例函数y ＝3m x (m ≠0)和y ＝2m －5x (m ≠52)的图象上．若点A 与点B 关于x 轴对称，则m 的值为1.16．(淄博中考)如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的直角边AC 在x 轴上，∠ACB ＝90°，AC ＝1，反比例函数y ＝kx(k ＞0)的图象经过BC 边的中点D(3，1)． (1)求这个反比例函数的表达式；(2)若△ABC 与△EFG 成中心对称，且△EFG 的边FG 在y 轴的正半轴上，点E 在这个函数的图象上． ①求OF 的长；②连接AF ，BE ，求证：四边形ABEF 为正方形．解：(1)∵反比例函数y ＝kx(k>0)的图象经过点D(3，1)，∴k ＝3×1＝3.∴反比例函数的表达式为y ＝3x.(2)①∵D 为BC 的中点， ∴BC ＝2.∵△ABC 与△EFG 成中心对称， ∴△ABC ≌△EFG .∴GF ＝BC ＝2，GE ＝AC ＝1. ∵点E 在反比例函数的图象上， ∴E(1，3)，即OG ＝3. ∴OF ＝OG －FG ＝1.②证明：∵AC ＝1，OC ＝3， ∴OA ＝GF ＝2.在△AOF 和△FGE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝FG ，∠AOF ＝∠FGE ，OF ＝GE ，∴△AOF ≌△FGE(SAS)．∴AF ＝EF.∴∠GFE ＝∠FAO ＝∠ABC.∴∠GFE ＋∠AFO ＝∠FAO ＋∠BAC ＝90°. ∴∠EFA ＝∠FAB ＝90°. ∴EF ∥AB. 又∵EF ＝AB ，∴四边形ABEF 为矩形． ∵AF ＝EF ，∴四边形ABEF 为正方形． 04 核心素养专练17．【注重实践探究】(乌鲁木齐中考)小明根据学习函数的经验，对函数y ＝x ＋1x的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)函数y ＝x ＋1x的自变量x 的取值范围是x ≠0；(2)下表列出了y 与x 的几组对应值，请写出m ，n 的值：m ＝103，n ＝103；(3)(4)结合函数图象，请完成：①当y ＝－174时，x ＝－4或－14；②写出该函数的一条性质答案不唯一，如：①图象在第一、三象限且关于原点对称；②当－1≤x<0，0<x ≤1时，y 随x 增大而减小；当x<－1，x>1时，y 随x 的增大而增大；③若方程x ＋1x＝t 有两个不相等的实数根，则t 的取值范围是t>2或t<－2．。
北师大版数学九年级上册第六章反比例函数 课时练试题及答案
北师大版数学九年级上册第六章反比例函数课时作业6.1 反比例函数【基础练习】一、填空题：1.A、B两地相距120千米，一辆汽车从A地去B地，则其速度v（千米/时）与行驶时间t（小时）之间的函数关系可表示为；2.有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的13，设下底长为x，高为y，则y与x的函数关系式是；3.已知y与x成反比例，并且当x = 2时，y = -1，则当x = -4时，y = .二、选择题：1.下列各问题中的两个变量成反比例的是（）；A.某人的体重与年龄B.时间不变时，工作量与工作效率C.矩形的长一定时，它的周长与宽D.被除数不变时，除数与商2.已知y与x成反比例，当x = 3时，y = 4，那么当y = 3时，x的值为（）；A. 4B. -4C. 3D. -33.下列函数中，不是反比例函数的是（）A. xy = 2B. y = - k3x(k≠0) C. y =3x-1 D. x = 5y-1三、解答题：1.一水池内有污水60m3，设放净全池污水所需的时间为t (小时），每小时的放水量为w m3，（1）试写出t与w之间的函数关系式，t是w反比例函数吗？（2）求当w = 15时，t的值.2.已知y 是x 的反比例函数，下表给出了x 与y 的一些值：（1）写出这个反比例函数表达式； （2）将表中空缺的x 、y 值补全.【综合练习】举出几个日常生活中反比例函数的实例.【探究练习】已知函数y = y 1 +y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x = 1时，y = 4,当x = 2时，y = 5. 求y 关于x 的函数解析式.答案:【基础练习】一、1. v = 120t ； 2. y = 90x ； 3. 12. 二、1. D ； 2. A ； 3. C. 三、1. （1）t =60w ，（2）t = 4. 2. （1）y = 3x ；（2）从左至右：x = -4，-1，2，3；y = - 35 ，- 32 ，3，34，35. 【综合练习】略.x -5-3-2 1 4 5 y-34-1-3321]【探究练习】y = 2x + 2x .6.1 反比例函数一．判断题1．如果y 是x 的反比例函数，那么当x 增大时，y 就减小 （ ） 2．当x 与y 乘积一定时，y 就是x 的反比例函数，x 也是y 的反比例函数 （ ） 3．如果一个函数不是正比例函数，就是反比例函数 （ ） 4．y 与x 2成反比例时y 与x 并不成反比例 （ ） 5．y 与2x 成反比例时，y 与x 也成反比例 （ ） 6．已知y 与x 成反比例，又知当2=x 时，3=y ，则y 与x 的函数关系式是6xy =（ ） 二．填空题 7．)0(≠=k xky 叫__________函数，x 的取值范围是__________； 8．已知三角形的面积是定值S ，则三角形的高h 与底a 的函数关系式是_________=h ，这时h 是a 的__________；9．如果y 与x 成反比例，z 与y 成正比例，则z 与x 成__________； 10．如果函数y =222-+k k kx是反比例函数，那么k =________，此函数的解析式是 ；11．下列函数表达式中，x 均表示自变量，那么哪些是反比例函数，如果是请在括号内填上k 的值，如果不是请填上“不是”①x y 5=；（ ） ②x y 4.0=；（ ） ③2xy =； （ ） ④2=xy ；（ ）⑤πx y =；（ ）⑥xy 5-=（ ）⑦12-=x y （ ）12．判断下面哪些式子表示y 是x 的反比例函数？①31-=xy ； ②x y -=5； ③x y 52-=； ④)0(2≠=a a xay 为常数且； 解：其中 是反比例函数，而 不是；13．计划修建铁路1200km ，那么铺轨天数y （天）是每日铺轨量x 的反比例函数吗？ 解：因为 ，所以y 是x 的反比例函数；14．一块长方形花圃，长为a 米，宽为b 米，面积为8平方米，那么a 与b 成 函数关系，列出a 关于b 的函数关系式为 ；三．选择题： 15．若nxm y ++=2)5(是反比例函数，则m 、n 的取值是 （ ）（A ）3,5-=-=n m （B ）3,5-=-≠n m （C ） 3,5=-≠n m （D ）4,5-=-≠n m 16．附城二中到联安镇为5公里，某同学骑车到达，那么时间t 与速度（平均速度）v 之间的函数关系式是（ ）（A ） st v = （B ） s t v += （C ） t s v = （D ） stv = 17．已知A （2-，a ）在满足函数xy 2=，则___=a （ ） （A ） 1- （B ） 1 （C ） 2- （D ） 218．下列函数中，是反比例函数的是 （ ）（A ） 1)1(=-y x （B ） 11+=x y （C ） 21xy = （D ） x y 31= 19．下列关系式中，哪个等式表示y 是x 的反比例函数 （ ）（A ） x ky = （B ） 2xB y = （C ） 121+=x y （D ） 12=-xy20．函数y m xm m =+--()2229是反比例函数，则m 的值是 （ ）（A ）m =4或m =-2（B ） m =4 （C ） m =-2 （D ） m =-1四．解答题：21．在某一电路中，保持电压V （伏特）不变，电流I （安培）与电阻R （欧姆）成反比例，当电阻R=5时，电流I=2安培。
(含答案)九年级数学北师大版上册课时练第6章《6.2反比例函数的图像与性质》(2)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！课时练6.2反比例函数的图象与性质一、选择题1.反比例函数5n y x+=的图象经过点()2,3,则n 的值是()A.-2B.-1C.0D.12.若0ab <，则正比例函数y ax =与反比例函数by x=在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是()A. B.C. D.3.如图，点A 是反比例函数(0)ky x x=<图象上的一点，过点A 作ABCD ，使点B 、C 在x 轴上，点D 在y 轴上.已知ABCD 的面积为8，则k 的值为()A.8B.-8C.4D.-44．点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）都在反比例函数y ＝的图象上，且x 1＜x 2＜0，则y 1，y 2的大小关系是（）A ．y 2＞y 1＞0B ．y 1＞y 2＞0C ．0＞y 2＞y 1D ．0＞y 1＞y 25．反比例函数y ＝（a 为常数）的图象上有三个点（﹣1，y 1），（2，y 2），（3，y 3），则y 1，y 2，y 3的大小关系是（）A ．y 2＜y 3＜y 1B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 1＜y 3＜y 26．在同一直角坐标系中反比例函数y ＝与一次函数y ＝x +a （a ≠0）的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7.如图,在平面直角坐标系中,点P 是反比例函数y=（x＞0）图象上的一点,分别过点P 作PA ⊥x 轴于点A，PB⊥y 轴于点B.若四边形OAPB 的面积为3,则k 的值为（）A.3B.﹣3C. D.﹣8.如图，过点O 作直线与双曲线y=kx -1（k≠0）交于A、B 两点，过点B 作BC⊥x 轴于点C，作BD⊥y 轴于点D．在x 轴，y 轴上分别取点E、F，使点A、E、F 在同一条直线上，且AE=AF．设图中矩形ODBC 的面积为S 1，△EOF 的面积为S 2，则S 1、S 2的数量关系是（）A.S 1=S 2B.2S 1=S 2C.3S 1=S 2D.4S 1=S 2二、填空题9．在函数4y x=-的图象上有三点(﹣3，y 1)、(﹣2，y 2)、(1，y 3)，则函数值y 1、y 2、y 3的大小关系为______．10．在平面直角坐标系内，过反比例函数(0)ky k x=>的图象上的一点分别作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为_________．11．如图，反比例函数ky x=与⊙O 的一个交点为P （2，1），则图中阴影部分的面积是_____．12．已知反比例函数y=2k x-的图象如图，则一元二次方程x 2﹣（2k ﹣1）x+k 2﹣1=0根的情况是__．13.已知点(m－1，y 1)，(m－3，y 2)是反比例函数y=mx (m<0)的图象上的两点，则y 1______y 2(填“>”“=”或“<”)14.如图,四边形OABC是矩形,ADEF是正方形,点A、D在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,点F 在AB上,点B、E在反比例函数y=的图象上,OA=1,OC=6,则正方形ADEF的边长为．三、解答题15．如图，反比例函数y 1＝（x ＞0）的图象与一次函数y 2＝kx +b 的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为（2，6），点B 的坐标为（n ，1）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围；＝5，求点E的坐标．（3）点E为y轴上一个动点，若S△AEB16．如图，一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴交于A点，与y轴交于B点，与反比例函数y＝的图象交于点E（1，5）和点F．（1）求k，b的值以及点F的坐标；（2）求△EOF的面积；（3）请根据函数图象直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的范围．参考答案1.D2.B3B.4.A.5.A6.C7.A8.B9．y3＜y1＜y210．6 yx =11．5 4 p12．无实数根13.>14.2．15．解：（1）把点A（2，6）代入y＝，得m＝12，则y＝，把点B（n，1）代入y＝，得n＝12，则点B的坐标为（12，1），由直线y＝kx+b过点4（2，6），点B（12，1）得，解得，则所求一次函数表达式为y＝﹣x+7；（2）由图象得：当y1＞y2时，0＜x＜2或x＞12，故答案为0＜x＜2或x＞12；（3）如图，设直线AB与y轴的交点为P，点的坐标为（0，a），连接AE，BE，则点P的坐标为（0，7），∴PE＝|a﹣7|．∴S△AEB ＝S△BPE﹣S△APE＝5，∴×|a﹣7|×（12﹣2）＝5，∴|a﹣7|＝1，∴a＝6或8，∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）．16．解：（1）将点E（1，5）代入y＝﹣x+b和y＝，得b＝6，k＝5，由题意，联立方程组得，，解得或，∴点F的坐标为（5，1）；（2）∵一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴交于A点，与y轴交于B点，∴A（6，0），B（0，6），∴S△EOF ＝S△AOB﹣S△AOF﹣S△BOE＝6×6﹣×1﹣6×1＝18﹣6＝12；（3）观察函数图象可知：反比例函数值大于一次函数值时x的范围为：0＜x＜1或x＞5．。
北师大版九年级数学上册第六章反比例函数提高培优讲义：反比例函数和一次函数综合(含答案)
北师大版九年级数学上册第六章反比例函数提高培优讲义：反比例函数和一次函数综合知识梳理：模块一：反比例函数和一次函数图象综合模块二：反比例函数的对称性(第14题)模块三：平行和相等模型AM BN =AM BN =模块四、例题讲解:例1、（1）函数y kx k =+与()ky k x=≠0在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．（2）在同一坐标系内，表示函数y kx b =+与kby x=（k ≠0，b ≠0）的图像只可能是下图中的（ ）D C B AD C BD CDA ．B ．C ．D ．（1）C ；（2）B ．例2、如图，反比例函数ky x=与一次函数y mx b =+的图象交于(,)A 13，(,)B n -1两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）据图象回答：当x 取何值时，反比例函数的值小于一次函数的值．（1）y x3=，y x =+2； （2）x -3<<0或x >1．例3、（1）如图3-1，直线()y kx k =>0与双曲线y x2=交于A 、B 两点，坐标分别为(,)A x y 11，(,)B x y 22，则x y x y 1221+的值为_________．（2）如图3-2，已知直线y x 1=2与双曲线()ky k x=>0交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4．过原点O 的另一条直线l 交双曲线()ky k x=>0于P 、Q 两点（P 点在第一象限），若由点P 、Q 、A 、B 为顶点组成的四边形面积为24，则点P 的坐标为____________．图3-1 图3-2（1）-4；（提示：x x 21=-，y y 21=-）（2）由对称性可得，OP OQ =，OA OB =，则四边形APBQ 是平行四边形，∴△POA APBQ S S 11==⨯24=644，设P 点坐标为,p p x x 8⎛⎫ ⎪⎝⎭，若p x 0<<4，则()p p x x 18⎛⎫2+4-=6 ⎪2⎝⎭，解得p x =2（舍负），∴(,)P 24；若p x >4，则()p p x x 18⎛⎫2+-4=6 ⎪2⎝⎭，解得p x =8（舍负），∴(,)P 81，故P 点坐标为(,)24或(,)81．例4、（1）已知一次函数y x b =-+的图象与反比例函数()ky k x=>0的图象的一个交点坐标是(,)26，则另一个交点的坐标是_________．（2）已知一次函数y x b =+的图象与反比例函数()ky k x=<0的图象的一个交点坐标是(,)-15，则另一个交点的坐标是_________．（1）(,)62；（2）(,)-51．例5、（1）如图5-1，直线y x =-+1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数ky x=在第一象限内的图象交于C 、D 两点，已知C 点的横坐标为14．则△OCD 的面积为______________．（2）如图5-2，已知直线y x m n =-++与双曲线y x1=交于两个不同的点(,)A m n (≥m 2)和(,)B p q ．直线y x m n =-++与y 轴交于点C ，则△OBC 的面积S 和m 的函数关系式为_________________．（3）如图5-3，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB AC ==2，直角顶点A 直线y x =上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴，若双曲线()ky k x=≠0与△ABC 有交点，则k 的取值范围是 ．图5-1 图5-2 图5-3（1）由题意，C 点的坐标为,13⎛⎫ ⎪44⎝⎭，∴D 点的坐标为31⎛⎫⎪44⎝⎭，，∴△OCD S 13111⎛⎫=+⨯⨯= ⎪44224⎝⎭．（2）由题意，点A 与点B 关于直线y x =对称，则B 点坐标为(,)n m ，∴(△)OBC S S m n n mn n 2111==+⋅=+222，又n m 1=，∴S m 211=+22．（3）≤≤k 14．例6、在平面直角坐标系中，函数my x=（x >0，m 是常数）的图象经过点(,)A 14，点(,)B a b ，其中a >1，过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，AC 与BD 相交于点M ，连接AD ，DC ，CB 与AB ． （1）求m 的值； （2）求证：DC//AB ；（3）当AD BC =时，求直线AB 的函数解析式．（1）m =4；（2）略；（3）当四边形ABCD 为平行四边形或为等腰梯形时，对应的直线AB 的解的式为y x =-2+6或y x =-+5．例7、（1）如图7-1，一次函数y ax b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有以下四个结论：①△CEF 与△DEF 的面积相等；②△≌△AOB FOE ；③△≌△DCE CDF ；④AC BD =．其中正确的结论是________（把你认为正确结论的序号都填上）．（2）如图7-2，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x 3=2与双曲线y x6=相交于A ，B 两点，C 是第一象限内双曲线上一点，连接CA 并延长交y 轴于点P ，连接BP ，BC ．若△PBC 的面积是20，则点C 的坐标为___________．（3）如图7-3，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点A 在x 轴正半轴上，OC 是△OAB的中线，点B ，C 在反比例函数()y x x3=>0的图象上，则△OAB 的面积等于________．图7-1 图7-2 图7-3（1）①④（2）,149⎛⎫⎪37⎝⎭；（3）92．模块五、课后作业：1、（1）已知关于x 的函数()y k x =+1和()≠ky k x=-0，它们在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．（2）已知a ≠0，b ≠0，a b +≠0，则函数y ax b =+与a by x+=在同一坐标系中的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．（1）A ；（2）B ．2、（1）若一次函数y x b =3+和反比例函数b y x-3=的图像有两个交点，当b =______时，有一个交点的纵坐标为6．（2）如图是一次函数y kx b 1=+和反比例函数my x2=的图象，观察图象写出y y 12>时，x 的取值范围为____________．（1）由题意可得y =6，代入y x b =3+，b y x-3=可得b =5． （2）观察图象得3x >或20x -<<．3、如图，双曲线my x=在第一象限的一支上有一点(,)C 15，经过点C 的直线()y kx b k =-+>0与x 轴交于点(,)A a 0． （1）求点A 的横坐标a 与k 之间的函数关系式； （2）当这条直线与双曲线的另一交点D 的横坐标为9时，求△COA 的面积．（1）由(,)A a 0、(,)C 15两点在直线y kx b =-+上， 有,.k b ka b -+=5⎧⎨-+=0⎩消去b 得a k 5=1+． （2）容易求得双曲线解析式5y x =，从而交点59,9D ⎛⎫⎪⎝⎭， 可得，解得 由（1）的结论，可得，故． 4、（1）如图4-1，直线()y ax a =>0与双曲线y x3=交于(,)A x y 11，(,)B x y 22两点，则x y x y 12214-3=_______．（2）如图4-2，已知反比例函数y x4=与直线y x b =-+交于P 、Q 两点，其中点Q 为(4, m )，则△OPQ 的面积为________．5599k b k b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，5950.9k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，51a k =+10a =1105252COA S ∆=⨯⨯=图4-1 图4-2（1）-3；（提示：x x 21=-，y y 21=-）； （2）152． 5、一次函数y ax b =+的图象分别于x 轴、y 轴交于点M 、N ，与反比例函数ky x=的图象相交于A 、B ，过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为C 、E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F 、D ；AC 与BD 交于点K ，连结CD ．（1）若点A 、B 在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图5-1，试证明：①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =．（2）若点A 、B 分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图5-2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．图5-1 图5-2（1）①AEOC BDOF S S k ==矩形矩形，AEOC DOCK BDOF DOCK S S S S ∴-=-矩形矩形矩形矩形，即AEDK CFBK S S =四边形四边形．②如图①，连AD 、BC ，得△△ADK BCK S S =， △△ADC BDC S S ∴=，得BC//AB ．AC //y 轴，∴四边形ACDN 是平行四边形，AN CD ∴=，同理BM CD =，故AN BM =；（2）AN 与BM 仍然相等，证法同①．6、平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线()k y k x=>0经过A ，E 两点，若平行四边形AOBC 的面积为18，则k =________．k=6．。
北师大版九年级数学上学期期末压轴题培优第六章：反比例函数(含答案)
九年级上学期期末压轴题培优：反比例函数1．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象和△ABC都在第一象限内，AB＝AC＝，BC∥x轴，且BC＝4，点A的坐标为（3，5）．（1）若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，求此反比例函数的解析式；（2）若将△ABC向下平移m（m＞0）个单位长度，A，C两点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m的值．解：（1）∵AB＝AC＝，BC＝4，点A（3，5）．∴B（1，），C（5，），若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，则＝，解得，k＝，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）∵点A（3，5）．C（5，），将△ABC向下平移m个单位长度，∴A（3，5﹣m），C（5，﹣m），∵A，C两点同时落在反比例函数图象上，∴3（5﹣m）＝5（﹣m），∴m＝．2．一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝的图象相交于A （﹣1，m ），B （n ，1）两点．（1）求出这个一次函数的表达式； （2）求△OAB 的面积．解：（1）把A （﹣1，m ），B （n ，﹣1）分别代入y ＝得﹣m ＝﹣2，﹣n ＝﹣2，解得m＝2，n ＝2，所以A 点坐标为（﹣1，2），B 点坐标为（2，﹣1），把A （﹣1，2），B （2，﹣1）代入y ＝kx +b 得，解得，所以这个一次函数的表达式为y ＝﹣x +1； （2）设直线AB 交y 轴于P 点，如图， 当x ＝0时，y ＝1，所以P 点坐标为（0，1），所以S △OAB ＝S △AOP +S △BOP ＝×1×1+×1×2＝．3．如图所示，已知双曲线y＝（k＞0，x＞0）的图象上有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），且x1＜x2，分别过P1，P2向x轴作垂线，垂足为B，D，过P1，P2向y轴作垂线，垂足分别为A，C．（1）若记四边形AP1BO和四边形CP2DO的面积分别为S1，S2，试比较S1和S2的大小．（2）若记四边形AP1BO和四边形CP2DO的周长分别为C1和C2，试比较C1，C2的大小．（3）若P是双曲线y＝（k＞0，x＞0）上一点，分别过P向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M，N．试问当P在何处时四边形PMON的周长最小，最小值为多少？解：（1）根据反比例函数系数k的几何意义可知S1＝S2＝k；（2）∵C1＝2OB+2AO＝2BO+2CO+2AC，C2＝2CO+2OD＝2CO+2OB+2BD，∴当y1﹣y2＝x2﹣x1，即AC＝BD时，C1＝C2；当y1﹣y2＜x2﹣x1，即AC＜BD时，C1＜C2；当y1﹣y2＞x2﹣x1，即AC＞BD时，C1＞C2．（3）设P（x，y），即（x，），四边形PMON的周长＝2（x+y）＝2（x+），因为面积相等的四边形中正方形的周长最小，所以x＝，即x2＝k，解得x＝，故P点坐标为（，）．∴最小值为4．4．如图，在平面直角坐标系中，过点M （0，2）的直线l 与x 轴平行，且直线l 分别与反比例函数y ＝（x ＞0）和y ＝（x ＜0）的图象分别交于点P ，Q ． （1）求P 点的坐标；（2）若△POQ 的面积为9，求k 的值．解：（1）∵PQ ∥x 轴， ∴点P 的纵坐标为2，把y ＝2代入y ＝得x ＝3， ∴P 点坐标为（3，2）；（2）∵S △POQ ＝S △OMQ +S △OMP ，∴|k |+×|6|＝9， ∴|k |＝12， 而k ＜0， ∴k ＝﹣12．5．如图，四边形OABC是矩形，A、C分别在y轴、x轴上，且OA＝6cm，OC＝8cm，点P 从点A开始以2cm/s的速度向B运动，点Q从点B开始以1cm/s的速度向C运动，设运动时间为t．（1）如图（1），当t为何值时，△BPQ的面积为4cm2？（2）当t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？（3）如图（2），在运动过程中的某一时刻，反比例函数y＝的图象恰好同时经过P、Q 两点，求这个反比例函数的解析式．解：（1）由题意AB＝OC＝8cm，AO＝BC＝6cm，∠B＝90°，∵P A＝2t，BQ＝t，∴PB＝8﹣2t，∵△BPQ的面积为4cm2，∴•（8﹣2t）•t＝4，解得t＝2，∴t＝2s时，△PBQ的面积为4．（2）①当△BPQ∽△BAC时，＝，∴＝，解得t＝．②当△BPQ∽△BCA时，＝，∴＝，解得t＝，∴t为s或s时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．（3）由题意P（2t，6），Q（8，6﹣t），∵反比例函数y＝的图象恰好同时经过P、Q两点，∴12t＝8（6﹣t），解得t＝，∴P（，6），∴m＝，∴反比例函数的解析式为y＝．6．如图1，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（1，m）都在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．（1）直接写出m和k的值；（2）如图2，将线段AB向右平移n个单位长度（n≥0），得到对应线段CD，连接AC，BD．①在平移过程中，若反比例函数图象与线段AB有交点，求n的取值范围；②在平移过程中，连接BC，若△BCD是直角三角形，请直接写出所有满足条件n的值．解：（1）∵点A（0，4）在直线y＝﹣2x+b上，∴﹣2×0+b＝4，∴b＝4，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+4，将点B（1，m）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+4中，得﹣2×1+4＝m，∴b＝2，∴B（1，2），将B（1，2）在反比例函数解析式y＝（x＞0）中，得k＝xy＝1×2＝2；（2）①∵将线段AB向右平移n个单位长度，∴A（n，4），把A（n，4）代入y＝中，得，4＝，∴n＝，∴在平移过程中，若反比例函数图象与线段AB有交点，n的取值范围为0≤n≤；②∵将线段AB向右平移n个单位长度（n≥0），得到对应线段CD，∴AB∥CD，∴∠CDB≠90°，当∠CBD＝90°时，△BCD是直角三角形，∴CB⊥BC，∴C（1，4），∴n＝1；当∠BCD＝90°，△BCD是直角三角形，则C（n，4），D（n+1，2），∵BC2+CD2＝BD2，∴（n﹣1）2+（4﹣2）2+12+（4﹣2）2＝n2，解得：n＝5，综上所述，若△BCD是直角三角形，n的值为1或5．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与图数y＝的限象交于A（﹣2，a），B两点．（1）求a，k的值；（2）已知点P（0，n），过点P作平行于x轴的直线l，交函数y＝的图象于点C（x1，y1），交直线y＝﹣x+1的图象于点D（x2，y2），若|x1|≤|x2|，结合函数图象，请求出m的取值范围．解：（1）∵直线y＝﹣x+1与函数y＝的图象交于A（﹣2，a），把A（﹣2，a）代入y＝﹣x+1解得a＝3，∴A（﹣2，3）．把A（﹣2，3）代入y＝，解得k＝﹣6；（2）画出函数图象如图解得或，∵A （﹣2，3）， ∴B （3，﹣2），根据图象可得：若|x 1|≤|x 2|，则m ≥3或﹣2≤m ＜0．8．如图，在直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的DC 边在x 轴上，D 点坐标为（﹣6，0）边AB 、AD 的长分别为3、8，E 是BC 的中点，反比例函数y ＝的图象经过点E ，与AD 边交于点F ．（1）求k 的值及经过A 、E 两点的一次函数的表达式；（2）若x 轴上有一点P ，使PE +PF 的值最小，试求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，连接EF 、PE 、PF ，在直线AE 上找一点Q ，使得S △QEF ＝S △PEF 直接写出符合条件的Q 点坐标．解：（1）在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝8， ∴CD ＝AB ＝3，BC ＝AD ＝8， ∵D （﹣6，0），∴A （﹣6，8），C （﹣3，0），B （﹣3，8）， ∵E 是BC 的中点， ∴E （﹣3，4），∵点D 在反比例函数y ＝的图象上， ∴k ＝﹣3×4＝﹣12，设经过A 、E 两点的一次函数的表达式为y ＝k 'x +b ，∴，∴，∴经过A 、E 两点的一次函数的表达式为y ＝﹣x ；（2）如图1，由（1）知，k ＝﹣12，∴反比例函数的解析式为y ＝﹣，∵点F 的横坐标为﹣6， ∴点F 的纵坐标为2， ∴F （﹣6，2），作点F 关于x 轴的对称点F '，则F '（﹣6，﹣2）， 连接EF '交x 轴于P ，此时，PE +PF 的值最小， ∵E （﹣3，4），∴直线EF '的解析式为y ＝2x +10， 令y ＝0，则2x +10＝0， ∴x ＝﹣5， ∴P （﹣5，0）；（3）如图2，由（2）知，F '（﹣6，﹣2）， ∵E （﹣3，4），F （﹣6，2），∴S △PEF ＝S △EFF '﹣S △PFF '＝×（2+2）×（﹣3+6）﹣（2+2）×（﹣5+6）＝4， ∵E （﹣3，4），F （﹣6，2），∴直线EF 的解析式为y ＝x +6，由（1）知，经过A 、E 两点的一次函数的表达式为y ＝﹣x ，设点Q （m ，﹣m ），过点Q 作y 轴的平行线交EF 于G ，∴G （m ， m +6），∴QG ＝|﹣m ﹣m ﹣6|＝|2m +6|， ∵S △QEF ＝S △PEF ，∴S △QEF ＝|2m +6|×（﹣3+6）＝4，∴m ＝﹣或m ＝﹣，∴Q （﹣，）或（﹣，）．9．如图，直线y ＝2x +6与反比例数y ＝（x ＞0）的图象交于点A （1，m ），与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ．（1）求m 的值和反比例函数的表达式；（2）在y 轴上有一动点P （0，n ）（n ＜6），过点P 作平行于x 轴的直线，交反比例函数的图象于点M ，交直线AB 于点N ，连接OM ，MN①当n ＝4时，判断四边形BOMN 的形状，并简要写出证明思路； ②若S △BDM ＞S △BOD ，直接写出点P 的纵坐标n 的取值范围．解：（1）当x＝1时，m＝2x+6＝8，∴点A的坐标为（1，8）．∵点A（1，8）在反比例数y＝的图象上，∴k＝1×8＝8，∴反比例函数的解析式为y＝．（2）①四边形BOMN为平行四边形．证明：当y＝0时，2x+6＝0，解得：x＝﹣3，∴点A的坐标为（﹣3，0），OB＝3；当y＝4时，2x+6＝4，＝4，解得：x＝﹣1，x＝2，∴点M的坐标为（2，4），点N的坐标为（﹣1，4），∴MN＝2﹣（﹣1）＝3，∴MN＝OB．∵MN∥x轴，OB在x轴上，∴MN∥OB，∴四边形BOMN为平行四边形．②过点O作直线l∥AB，交反比例数y＝（x＞0）的图象于点M．∵直线AB的解析式为y＝2x+6，∴直线l的解析式为y＝2x．联立直线l 和反比例函数解析式成方程组，得：，解得：，（舍去），∴点M 的坐标为（2，4）；同理，可求出直线y ＝2x +12与反比例函数y ＝的图象交点M 3（﹣3﹣，6﹣2）（舍去），M 4（﹣3+，6+2）（舍去）．∵S △BDM ＞S △BOD ， ∴0＜n ＜4．10．小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温y （℃）与开机时间x （分）满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温y （℃）与开机时间x （分）成反比例关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；（2）求图中t的值；（3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步57分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？解：（1）当0≤x≤10时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y＝kx+b，依据题意，得，解得：，故此函数解析式为：y＝8x+20；（2）在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y＝，依据题意，得：100＝，即m＝1000，故y＝，当y＝20时，20＝，解得：t＝50；（3）∵57﹣50＝7≤10，∴当x＝7时，y＝8×7+20＝76，答：小明散步57分钟回到家时，饮水机内的温度约为76℃．11．如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点B，与x轴，y轴交于点D，E，BC⊥x轴于C，BA⊥y轴于A，＝，△ABE 的面积为24．（1）点E的坐标是（0，﹣2）；（2）求一次函数和反比例函数的表达式；（3）以BC为边作菱形CBMN，顶点M在点B左侧的一次函数y＝kx﹣2的图象上，判断边MN与反比例函数y＝（x＜0）的图象是否有公共点．解：（1）∵一次函数y＝kx﹣2的图象与y轴交于点E，令x＝0，得到y＝﹣2，∴E（0，﹣2），故答案为（0，﹣2）．（2）∵BC⊥x轴于C，BA⊥y轴于A，∴∠BCO＝∠BAO＝∠AOD＝90°，∴四边形ACOB是矩形，∴OC∥AB，OC＝AB，∵＝，∴＝＝＝，∵OE＝2，∴EA＝6，∴OA＝4，＝×AB×6＝24，∵S△ABE∴AB＝8，∴B（﹣8，4），∵点B在y＝上，∴m＝﹣32，把B（﹣8，4）代入y＝kx﹣2得到k＝﹣，∴一次函数的解析式为y ＝﹣x ﹣2，反比例函数的解析式为y ＝﹣．（3）设M （m ，﹣m ﹣2），延长MN 交x 轴于H ．由题意D （﹣，0），∵BC ＝BM ＝4，BD ＝＝，∵BC ∥MH ，∴＝，∴＝，解得m ＝﹣，∴M （﹣，），N （﹣，），对于反比例函数y ＝﹣，当x ＝﹣时，y ＝，∵＜，∴线段MN 与反比例函数的图象有交点．12．如图，已知一次函数y 1＝ax +b 的图象与x 轴、y 轴分别交于点D ，C ，与反比例函数y 2＝的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标是（1，3）、点B 的坐标是（3，m ）． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求C 、D 两点的坐标，并求△AOB 的面积；（3）根据图象直接写出：当x 在什么取值范围时，y 1＞y 2？解：（1）把点A （1，3）代入y 2＝， ∴3＝，即k ＝3，故反比例函数的解析式为：y 2＝．把点B 的坐标是（3，m ）代入y 2＝，得：m ＝＝1， ∴点B 的坐标是（3，1）．把A （1，3），B （3，1）代入y 1＝ax +b ，得，解得，故一次函数的解析式为：y 1＝﹣x +4；（2）令x ＝0，则y 1＝4； 令y 1＝0，则x ＝4， ∴C （0，4），D （4，0），∴S △AOB ＝S △AOD ﹣S △BOD ＝×4×3﹣×4×1＝4；（3）当x 满足1＜x ＜3时，则y 1＞y 2．13．如图，正比例函数y ＝2x 的图象与反比例函数的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直x 轴于点C ，连结BC ．若△ABC 的面积为2． （1）求k 的值；（2）直接写出：①点A 坐标 （1，2） ；点B 坐标 （﹣1，﹣2） ；②当时，x 的取值范围 x ≥1或0＞x ≥﹣1 ；（3）x 轴上是否存在一点D ，使△ABD 为直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA＝OB，∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝2÷2＝1，又∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥x轴于点C，∴△AOC的面积＝|k|，∴|k|＝1，∵k＞0，∴k＝2；（2）①解得，或，∴点A坐标（1，2），点B坐标（﹣1，﹣2），②当时，x的取值范围为x≥1或0＞x≥﹣1；故答案为：（1，2），（﹣1，﹣2），x≥1或0＞x≥﹣1；（3）x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形．∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），①当AD⊥AB时，如图1，设直线AD的关系式为y＝﹣x+b，将A（1，2）代入上式得：b＝，∴直线AD的关系式为y＝﹣x+，令y＝0得：x＝5，∴D（5，0）；②当BD⊥AB时，如图2，设直线BD的关系式为y＝﹣x+b，将B（﹣1，﹣2）代入上式得：b＝﹣，∴直线BD的关系式为y＝﹣x﹣，令y＝0得：x＝﹣5，∴D（﹣5，0）；③当AD⊥BD时，如图3，∵O为线段A的中点，∴OD＝AB＝OA，∵A（1，2），∴OC＝1，AC＝2，由勾股定理得：OA＝＝＝，∴OD＝，∴D（，0）．根据对称性，当D为直角顶点，且D在x轴负半轴时，D（﹣，0）．故x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形，点D的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（，0）或（﹣，0）．14．如图，平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，6），直线y ＝mx﹣2与x轴交于点B（﹣1，0）．（1）求k，m的值．（2）点P是直线y＝﹣2x位于第二象限上的一个动点，过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝mx﹣2于点C，交函数y＝（x＜0）的图象于点D，设P（n，﹣2n）．①当n＝﹣1时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由②当PD≥2PC时，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．解：（1）∵函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，6），∴k＝﹣1×6＝﹣6；将B（﹣1，0）代入y＝mx﹣2，得：0＝﹣m﹣2，解得：m＝﹣2．（2）①PD＝2PC，理由如下：当n＝﹣1时，点P的坐标为（﹣1，2）．当y＝2时，﹣2x﹣2＝2，＝2，解得：x＝﹣2，x＝﹣3，∴点C 的坐标为（﹣2，2），点D 的坐标为（﹣3，2）， ∴PC ＝1，PD ＝2， ∴PD ＝2PC ．②当n ＝﹣3时，点P 的坐标为（﹣3，6）．当y ＝6时，﹣2x ﹣2＝6，＝6，解得：x ＝﹣4，x ＝﹣1，∴点C 的坐标为（﹣4，6），点D 的坐标为（﹣1，6）， ∴PC ＝1，PD ＝2， ∴PD ＝2PC ．∵点P 是直线y ＝﹣2x 位于第二象限上的一个动点， ∴当PD ≥2PC 时，﹣1≤n ＜0或n ≤﹣3．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点C 在y 轴的正半轴上，D 是BC 边上的一点，OC ：CD ＝5：3，DB ＝6．反比例函数y ＝（k ≠0）在第一象限内的图象经过点D ，交AB 于点E ，AE ：BE ＝1：2． （1）求这个反比例函数的表达式；（2）动点P 在矩形OABC 内，且满足S △P AO ＝S 四边形OABC ． ①若点P 在这个反比例函数的图象上，求点P 的坐标；②若点Q 是平面内一点使得以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形求点Q 的坐标．解：（1）设点B 的坐标为（m ，n ），则点E 的坐标为（m ， n ），点D 的坐标为（m ﹣6，n ）．∵点D ，E 在反比例函数y ＝（k ≠0）的图象上， ∴k ＝mn ＝（m ﹣6）n ， ∴m ＝9．∵OC ：CD ＝5：3， ∴n ：（m ﹣6）＝5：3， ∴n ＝5，∴k ＝mn ＝×9×5＝15，∴反比例函数的表达式为y ＝．（2）∵S △P AO ＝S 四边形OABC ，∴OA •y P ＝OA •OC ，∴y P ＝OC ＝4．①当y ＝4时，＝4，解得：x ＝，∴若点P 在这个反比例函数的图象上，点P 的坐标为（，4）．②由（1）可知：点A 的坐标为（9，0），点B 的坐标为（9，5）， ∵y P ＝4，y A +y B ＝5，∴y P ≠，∴AP ≠BP ，∴AB不能为对角线．设点P的坐标为（t，4）．分AP＝AB和BP＝AB两种情况考虑（如图所示）：（i）当AB＝AP时，（9﹣t）2+（4﹣0）2＝52，解得：t1＝6，t2＝12（舍去），∴点P1的坐标为（6，4）．又∵P1Q1＝AB＝5，∴点Q1的坐标为（6，9）；（ii）当BP＝AB时，（9﹣t）2+（5﹣4）2＝52，解得：t3＝9﹣2，t4＝9+2（舍去），∴点P2的坐标为（9﹣2，4）．又∵P2Q2＝AB＝5，∴点Q2的坐标为（9﹣2，﹣1）．综上所述：点Q的坐标为（6，9）或（9﹣2，﹣1）．16．（1）如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，证明AB∥CD；（2）①如图2，点M，N在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，E，请利用（1）的结果，证明：MN∥EF；②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断MN与EF是否平行（不用写理由）．（1）证明：在图1中，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，过点D 作DQ ⊥AB 于点Q ，则∠CP A ＝∠DQB ＝90°， ∴CP ∥DQ ．∵△ABC 与△ABD 的面积相等， ∴CP ＝DQ ，∴四边形CPQD 为平行四边形， ∴AB ∥CD ．（2）①证明：在图2中，连接FM ，EN ．设点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（x 2，y 2）．∵点M ，N 在反比例函数y ＝（k ＞0）的图象上， ∴k ＝x 1y 1＝x 2y 2． ∵ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴，∴OE ＝y 1，OF ＝x 2，ME ＝x 1，NF ＝y 2．∵S △EFM ＝ME •OE ＝x 1y 1＝k ，S △EFN ＝NF •OF ＝x 2y 2＝k ， ∴S △EFM ＝S △EFN ， ∴MN ∥EF ；②解：MN ∥EF ，理由如下： 在图3中，连接MN ，FM ，EN ．设点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（x 2，y 2）．∵点M ，N 在反比例函数y ＝（k ＞0）的图象上， ∴k ＝x 1y 1＝x 2y 2．∵ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴，∴OE ＝y 1，OF ＝x 2，ME ＝x 1，NF ＝y 2．∵S △EFM ＝ME •OE ＝x 1y 1＝k ，S △EFN ＝NF •OF ＝x 2y 2＝k ， ∴S △EFM ＝S △EFN ， ∴MN ∥EF ；17．如图，正比例函数y 1＝kx 与反比例函数y ＝（x ＞0）交于点A （2，3），AB ⊥x 轴于点B ，平移直线y 1＝kx 使其经过点B ，得到直线y 2，y 2与y 轴交于点C ，与y ＝交于点D ．（1）求正比例函数y 1＝kx 及反比例函数y ＝的解析式；（2）求点D 的坐标； （3）求△ACD 的面积．解：（1）将点A （2，3）分别代入y 1＝kx 、得3＝2k 、，解得k ＝，m ＝6，∴正比例函数及反比例函数的解析式分别为y 1＝x 、；（2）∵y 2由y 1平移得到，所以设y 2＝x +b ，∵AB ⊥x 轴，∴B （2，0），将其代入y 2＝x +b 得b ＝﹣3，∴y 2＝x ﹣3，由题意得：解得：，（舍去），∴点D 坐标为（，）；（3）连接OD ，过点D 作DE ⊥y 轴，垂足为E ，则DE ＝1+，把x ＝0代入y 2＝x ﹣3得，y ＝﹣3， ∴C （0，﹣3） ∵直线y 1∥y 2，∴S △ACD ＝S △OCD ＝OC •DE ＝×3×（）＝．答：△ACD 的面积为．18．已知，矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点B的坐标为（10，8），已知直线AC与双曲线y＝（m≠0）在第一象限内有一交点Q（5，n）．（1）求直线AC和双曲线的解析式；（2）若动点P从A点出发，沿折线AO→OC的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C处停止．求△OPQ的面积S与的运动时间t秒的函数关系式，并求当t取何值时S＝10．解：设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），过A（10，0）、C（0，8），，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+8，又∵Q（5，n）在直线AC上，∴n＝﹣×5+8＝4，又∵双曲线y＝过Q（5，4），∴m＝5×4＝20，∴双曲线的解析式为：y＝；②当0≤t≤5时，OP＝10﹣2t，过Q作QD⊥OA，垂足为D，如图1，∵Q（5，4），∴QD＝4，∴S＝（10﹣2t）×4＝20﹣4t，当S＝10时，20﹣4t＝10解得t＝2.5，当5＜t≤9时，OP＝2t﹣10，过Q作QE⊥OC，垂足为E，如图2∵Q（5，4），∴QE＝5，∴S＝（2t﹣10）×5＝5t﹣25，当S＝10时，5t﹣25＝10，解得t＝7，综上，S＝，当t＝5秒时，△OPQ的面积不存在，∴当t＝2.5秒或t＝7秒时，S＝10．19．如图，一次函数y1＝k1x+2与反比例函数y2＝的图象交于点A（4，m）和B（﹣8，﹣2），与y轴交于点C．（1）k1＝，k2＝16；（2）根据函数图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围是﹣8＜x＜0或x＞4；（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC ：S△ODE＝3：1时，求直线OP的解析式．解：（1）把B（﹣8，﹣2）代入y1＝k1x+2得﹣8k1+2＝﹣2，解得k1＝，∴一次函数解析式为y1＝x+2；把B（﹣8，﹣2）代入y2＝得k2＝﹣8×（﹣2）＝16，∴反比例函数解析式为y2＝，故答案为：，16；（2）∵当y1＞y2时即直线在反比例函数图象的上方时对应的x的取值范围，∴﹣8＜x＜0或x＞4；故答案为：﹣8＜x＜0或x＞4；（3）把A（4，m）代入y2＝得4m＝16，解得m＝4，∴点A的坐标是（4，4），而点C的坐标是（0，2），∴CO＝2，AD＝OD＝4．∴S梯形ODAC＝×（2+4）×4＝12，∵S梯形ODAC ：S△ODE＝3：1，∴S△ODE＝×12＝4，∴OD•DE＝4，∴DE＝2，∴点E的坐标为（4，2）．设直线OP的解析式为y＝kx，把E（4，2）代入得4k＝2，解得k＝，∴直线OP的解析式为y＝x．20．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的等边△OAB的边OB在x轴的负半轴上，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过AB边的中点C，且与OA边交于点D．（1）求k的值；（2）连接OC，CD，求△OCD的面积；（3）若直线y＝mx+n与直线CD平行，且与△OAB的边有交点，直接写出n的取值范围．解：（1）∵等边△OAB，∴AB＝BO＝AO＝4，∠ABO＝∠BOA＝∠OAB＝60°，∵点C是AB的中点，∴BC＝AC＝2，过点C作CM⊥OB，垂足为M，在Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣60°＝30°，BC＝2，∴BM＝1，CM＝，∴OM＝4﹣1＝3，∴点C的坐标为（﹣3，），代入y＝得：k＝﹣3答：k的值为﹣3．（2）过点A作AN⊥OB，垂足为N，由题意得：AN＝2CM＝2，ON＝OB＝2，∴A（﹣2，2），设直线OA的关系式为y＝kx，将A的坐标代入得：k＝﹣，∴直线OA的关系式为：y＝﹣x，31由题意得：，解得：舍去，，∴D（﹣，3） 过D 作DE ⊥OB ，垂足为E ，S △OCD ＝S CMED +S △DOE ﹣S △COM ＝S CMED＝（+3）×（3﹣）＝3， 答：△OCD 的面积为3．（3）①当与直线CD 平行的直线y ＝mx +n 过点O 时，此时y ＝mx +n 的n ＝0， ②当与直线CD 平行的直线y ＝mx +n 经过点A 时，设直线CD 的关系式为y ＝ax +b ，把C 、D 坐标代入得：，解得：a ＝1，b ＝3+∴直线CD 的关系式为y ＝x+3+， ∵y ＝mx +n 过与直线y ＝x+3+平行， ∴m ＝1，把A （﹣2，2）代入y ＝x +n 得：n ＝2+2因此：0≤n ≤2+2．答：n 的取值范围为：0≤n ≤2+2．。
九年级数学北师大版上册 6反比例函数的应用 课时练(含答案)
课时练6.3反比例函数的应用一、单选题1．已知一次函数y1=kx-b 与反比例函数y2= k x，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则当kx< kx+b时，x的取值范围是()A．x<-1或0<x<3B．-1<x<0或x>3C．-3<x<0或x> 1D．x>32．若双曲线y=k x与直线y=2x+1的一个交点的横坐标为﹣1，则k的值为()A．﹣1B．1C．﹣2D．2 3．已知点A（2，3）在反比例函数y=k+1x的图象上，则k的值是（）A．﹣7B．7C．﹣5D．5 4．若点A(3，－4)、B(－2，m)在同一个反比例函数的图象上，则m的值为（）A．6B．－6C．12D．－125．如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=k2x的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2，当y1>y2时，x的取值范围是（）A．x＜-2或x＞2B．x＜-2或0＜x＜2 C．-2＜x＜0或0＜x＜2D．-2＜x＜0或x＞2二、填空题6．在平面直角坐标系中，正比例函数y1=12x与反比例函数y2=k x的图象交于点A(a,−2)，则k=.7．一次函数y=kx+1的图象经过（1，2），则反比例函数y=k x的图象经过点（2， ）．8．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A （1，12）和B （6，2）两点．点P 是线段AB 上一动点（不与点A 和B 重合），过P 点分别作x 、y 轴的垂线PC 、PD 交反比例函数图象于点M 、N ，则四边形PMON 面积的最大值是 ．9．近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，已知400度近视镜片的焦距为0.2米，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式是 ．三、解答题10．已知反比例函数 y =m−5x的图象过点P （－1，3），求m 的值和该反比例函数的表达式.11．如图，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x ，y 轴的正半轴上，点D 为对角线OB 的中点，点E(4，n)在边AB 上，反比例函数y ＝k x(k≠0)在第一象限内的图象经过点D ，E ，且tan∠BOA ＝12.(1)求边AB 的长；(2)求反比例函数的解析式和n 的值；(3)若反比例函数的图象与矩形的边BC 交于点F ，将矩形折叠，使点O 与点F 重合，折痕分别与x ，y 轴正半轴交于点H ，G ，求线段OG 的长．12．如图，在平面直角坐标系中，点A 的横坐标为8，AB∠x 轴于点B ，sin∠OAB=45，反比例函数y=k x的图象的一支经过AO 的中点C ，交AB 于点D ． （1）求反比例函数的解析式；（2）四边形OCDB的面积．参考答案1．B2．B3．D4．A5．D6．87．128．2529．y=80x10．解：把点P （-1，3）代入 y =m−5x，得 m−5−1=3 .解得 m =2 . 把m=2代入 y =m−5x ，得 y =2−5x，即 y =−3x . ∴反比例函数的表达式为 y =−3x. 11．解：(1)在Rt∠BOA 中，∵OA ＝4，tan∠BOA ＝12， ∴AB ＝OA×tan∠BOA ＝2.(2)∵点D 为OB 的中点，点B(4，2)，∴点D(2，1)， 又∵点D 在y ＝k 2的图象上，∴1＝k 2， ∴k ＝2，∴y ＝2x. 又∵点E 在y ＝2x图象上， ∴4n ＝2，∴n ＝12. (3)设点F(a ，2)，∴2a ＝2，∴CF ＝a ＝1，连接FG ，设OG ＝t ，则OG ＝FG ＝t ，CG ＝2－t ， 在Rt∠CGF 中，GF 2＝CF 2＋CG 2，∴t 2＝(2－t)2＋12，解得t ＝54，∴OG ＝t ＝54. 12．解：（1）∵A 点的坐标为（8，y ）， ∴OB=8，∵AB∠x 轴于点B ，sin∠OAB=45， ∴OB OA =45， ∴OA=10，由勾股定理得：AB=√OA 2−OB 2=6，∵点C 是OA 的中点，且在第一象限内， ∴C （4，3），∵点C 在反比例函数y=k x的图象上， ∴k=12，∴反比例函数解析式为：y=12x； （2）作CE∠x 轴于点E ．则E 的坐标是（4，0）． OE=BE=4，CE=3．在y=12x 中，令x=8，解得y=32，则BD=32． 则S 四边形OCDB =S ∠OCE +S 梯形CEBD =12OE•CE+12（CE+BD ）•BE=12×3×4+12（3+32）×4=6+9=15．。
北师大版九年级数学上册第六章《反比例函数的图像和性质》课时练习题(含答案)
北师大版九年级数学上册第六章《2.反比例函数的图像和性质》课时练习题（含答案）一、单选题1．反比例函数6y x=-的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．反比例函数()30y x x=-<的图象如图所示，则△ABC 的面积为（ ）A ．12B ．32C ．3D ．63．若点()()()123,2,,1,,4A x B x C x -都在反比例函数8y x=的图像上，则123,,x x x 的大小关系是（ ） A ．123x x x <<B ．231x x x <<C ．132x x x <<D ．213x x x <<4．反比例函数的图像如图所示，则这个反比例函数的表达式可能是（ ）A ．4y x =-B ．3y x=-C ．83y x=D ．52y x=-5．一次函数y ax a =-与反比例函数(0)ay a x=≠在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．若点()()()123,5,,2,,5A x B x C x -都在反比例函数10y x=的图象上，则123,,x x x 的大小关系是（ ） A ．123x x x << B ．231x x x <<C ．132x x x <<D ．312x x x <<7．已知反比例函数y kx=（k ≠0）的图象如图所示，则一次函数y ＝kx +2的图象经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、三、四象限C ．第一、二、四象限D ．第二、三、四象限8．如图，点A ，B 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，点C ，D 在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，AC //BD //y 轴，已知点A ，B 的横坐标分别为1，2，△OAC 与△ABD 的面积之和为32，则k 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．32二、填空题9．若1(1,)M y -、21(,)2N y -两点都在函数ky x=的图像上，且1y <2y ，则k 的取值范围是______．10．已知反比例函数2a y x-=的图象在第二、第四象限，则a 的取值范围是______． 11．在平面直角坐标系中，一次函数2y x =与反比例函数()0ky k x=≠的图象交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则12y y +的值是____________．12．已知函数25(1)ny n x -=+是反比例函数，且图象位于第一、三象限，则n =________．13．如图，点A 是反比例函数1(0)k y x x=<图象上一点，AC x ⊥轴于点C 且与反比例函数2(0)k y x x=<的图象交于点B ，3AB BC = ，连接OA ，OB ，若OAB 的面积为6，则12k k +=_________．14．如图，过x 轴上任意一点P 作y 轴的平行线，分别与反比例函数y =3x （x ＞0），y =﹣6x（x ＞0）的图像交于A 点和B 点，若C 为y 轴任意一点．连接AB 、BC ，则△ABC 的面积为_____．三、解答题15．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像与性质后，进一步研究了函数2y x=的图像与性质，其探究过程如下：(1)绘制函数图像列表：下表是x 与y 的几组对应值，其中m =_________． x…3-2-1-12-121 2 3 …y (23)12 4 4 2 1 m …描点：根据表中各组对应值(),x y ，在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，已经画出了部分图像，请你把图像补充完整； (2)观察函数图像；下列关于该函数图像的性质表述正确的是：__________；（填写代号） ①函数值y 随x 的增大而增大；②函数图像关于y 轴对称；③函数值y 都大于0． (3)运用函数性质：若点()()()1230.5,,1.5,,2.5,-y y y ，则1y 、2y 、3y 大小关系是__________．16．已知反比例函数y ＝4kx-，分别根据下列条件求出字母k 的取值范围． (1)函数图象位于第一、三象限；(2)在每个象限内，y 随着x 的增大而增大．17．已知反比例函数1k y x-=(k 为常数，1k ≠)；(1)若点()1,2A 在这个函数的图象上，求k 的值；(2)若在这个函数图象的每一分支上，y 随x 的增大而增大，求k 的取值范围．18．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点B 在函数y 1＝4x （x ＞0）的图象上，边AB 与函数y 2＝2x（x ＞0）的图象交于点D ．求四边形ODBC 的面积．19．已知反比例函数ky x=（k 为常数，k≠0）的图象经过点A （2，3）． （1）求这个函数的解析式；（2）判断点B （－1，6），C （3，2）是否在这个函数的图象上，并说明理由； （3）当－3＜x ＜－1时，求y 的取值范围．20．已知，在平面直角坐标系中，有反比例函数y =3x的函数图像：(1)如图1，点A是该函数图像第一象限上的点，且横坐标为a（a＞0），延长AO使得AO=A'O，判断点A'是否为该函数图像第三象限上的点，并说明理由；(2)如图2，点B、C均为该函数图像第一象限中的点，连接BC，点D为线段BC的中点，请仅用一把无刻度的直尺作出点D关于点O的对称点D'．（不写作图过程，保留作图痕迹）参考答案1．C2．B3．B4．D5．D6．C7．C8．B9．k<010．2a<11．012．213．20-14．9 215．（1）解：把x=3代入函数2yx =，得：23m y==；如图（2）解：由函数图像可知，当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而增大；当x ＞0时，函数值y 随x 的增大而减小；函数图像关于y 轴对称；函数值y 都大于0， ∴下列关于该函数图像的性质表述正确的是②③； （3）解：分别把x =-0.5、x =1.5、x =2.5代入函数2y x=， 得1y =4，2y =43，3y =45，∴123y y y ＞＞.16．(1)∵双曲线在第一、三象限，∴4－k ＞0，k ＜4； (2)∵在每个象限内，y 随x 的增大而增大，∴4－k ＜0，k ＞4. 17．（1）∵点()1,2A 在这个函数的图象上， ∴121k -=， 解得3k =． 故答案是3k =． （2） 在函数1k y x-=图象的每一分支上，y 随x 的增大而增大， ∴10k -<， ∴1k <． 故答案是：1k <．18．解：∵点D是函数y2＝2x（x＞0）图象上的一点，∴△AOD的面积为1212⨯=，∵点B在函数y1＝4x（x＞0）的图象上，四边形ABCO为矩形，∴矩形ABCO的面积为4，∴阴影部分ODBC的面积＝矩形ABCO的面积-△AOD的面积＝4-1＝3，19．解：（1）∵反比例函数kyx=（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3），∴把点A的坐标代入解析式，得k32=，解得，k=6．∴这个函数的解析式为：6yx=．（2）∵反比例函数解析式6yx =，∴6=xy．分别把点B、C的坐标代入，得（－1）×6=－6≠6，则点B不在该函数图象上；3×2=6，则点C在函数图象上．（3）∵k＞0，∴当x＜0时，y随x的增大而减小．∵当x=－3时，y=－2，当x=－1时，y=－6，∴当－3＜x＜－1时，－6＜y＜－2．20．（1）点A'是该函数图像第三象限上的点，理由如下：过点A作AM⊥x轴于点M，过点A'作A N x'⊥轴于点N，点A 是反比例函数y =3x的图像第一象限上的点，且横坐标为a （a ＞0），3y a∴=，即3(,)A a a ，3,OM a AM a∴==， ,,AOM A ON AMO A NO OA OA '''∠=∠∠=∠=， ()AOM A ON AAS '∴≅，3,OM ON a AM A N a'∴====， 3(,)A a a '∴--，3()3a a-⋅-=，∴点A '是该函数图像第三象限上的点；（2）连接BO 并延长，交反比例函数第三象限的图像于点B '，连接CO 并延长，交反比例函数第三象限的图像于点C '，连接B C ''，连接DO 并延长，交B C ''于点D ， 此时，点D 即为所求．。
北师大版本数学九年级上册第六章反比例函数知识点解析含习题练习
第01讲_反比例函数图象和性质知识图谱反比例函数的概念知识精讲一．反比例函数反比例函数的概念：形如函数kyx=(k为常数，0k≠)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是x的函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．二．成反比例关系两个相关联的变量，一个量随着另一个量的增加而减少或一个量随着另一个量的减少而增加，且它们的乘积相同，那么这两个量就成反比例关系．三点剖析一．反比例函数反比例函数的概念：形如函数kyx=(k为常数，0k≠)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是x的函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．二．成反比例关系两个相关联的变量，一个量随着另一个量的增加而减少或一个量随着另一个量的减少而增加，且它们的乘积相同，那么这两个量就成反比例关系．三．易错点1.注意自变量的取值范围2.注意区分反比例函数与成反比例关系北师大版本数学九年级上册第六章反比例函数反比例函数例题1、下列函数中，能表示y 是x 的反比例函数的是（）A.y=12x B.y=11x - C.y=2xD.【答案】A【解析】根据反比例函数的定义判断即可．y=12x 表示y 是x 的反比例函数，A 正确；y=11x -不能表示y 是x 的反比例函数，C 错误；y=2x 是正比例函数，C 错误；不能表示y 是x 的反比例函数，D 错误，故选：A ．例题2、若2(1)zay a x -=+是反比例函数，则a 的取值为（）A.1B.﹣1C.±lD.任意实数【答案】A【解析】∵此函数是反比例函数，∴21021a a +≠⎧⎨-=-⎩，解得a=1．随练1、已知函数y 与1x +成反比例，且当2x =-时，3y =-．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当12x =时，求y 的值．【答案】（1）31y x =+（2）2【解析】该题考查的是反比例函数．（1）设1k y x =+，把()2,3--代入得，3k =，∴31y x =+．（2）把12x =，代入解析式得：2y =．随练2、下面的函数是反比例函数的是（）A.31y x =+B.22y x x=+ C.2xy = D.2y x=【答案】D 【解析】该题考查的是反比例函数定义．反比例函数形如()0ky k x=≠，本题中，A 为一次函数；B 为二次函数；C 为一次函数；D 为反比例函数，故本题选D ．随练3、若函数11m y x -=(m 是常数)是反比例函数，则m =____________，解析式为_____________．【答案】2；1y x=【解析】由反比例函数的定义可知11m -=，所以2m =，1y x=．随练4、某工人承包运输粮食的总数是w 吨，每天运x 吨，共运了y 天，则y 与x 的关系式为___________，是___________函数．【答案】wy x=；反比例【解析】由题意可得wy x=，是反比例函数．成反比例关系例题1、已知y 与x 成反比例，当3x =时，4y =，那么3y =时，x 的值等于（）A.4B.4- C.3D.3-【答案】A【解析】因为y 与x 成反比例，所以可设k y x =（0k ≠），因为当3x =时，4y =，所以43k =，即12k =，所以12y x =，当3y =时，4x =，故答案为A 选项．例题2、下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是（）A.小明完成100m 赛跑时，时间t （s ）与他跑步的平均速度v （m ／s ）之间的关系B.菱形的面积为48cm 2，它的两条对角线的长为y （cm ）与x （cm ）的关系C.一个玻璃容器的体积为30L 时，所盛液体的质量m 与所盛液体的密度ρ之间的关系D.压力为600N 时，压强P 与受力面积S 之间的关系【答案】C【解析】暂无解析反比例函数的图象和性质知识精讲一．反比例函数的图像和性质反比例函数的图像：反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．反比例函数k y x =与ky x=-(0k ≠)的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称．反比例函数的性质：反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图象是双曲线；当0k >时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．反比例函数的对称性：反比例函数关于坐标原点中心对称，关于y x =±这两条直线轴对称．二．反比例函数k 的几何意义反比例函数k y x =(k 为常数，0k ≠)中比例系数k 的几何意义,即过双曲线ky x=上任意一点引x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为k ．三点剖析一．考点：反比例函数的图像和性质，反比例函数k 的几何意义．二．重难点：反比例函数k 的几何意义．三．易错点：1．k 的几何意义求出面积时注意k 的正负；2．反比例函数图像隐藏的对称性．反比例函数的图象和性质例题1、关于反比例函数y=﹣2x，下列说法正确的是（）A.图象过（1，2）点B.图象在第一、三象限C.当x ＞0时，y 随x 的增大而减小D.当x ＜0时，y 随x 的增大而增大【答案】D【解析】∵k=﹣2＜0，所以函数图象位于二四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大，图象是轴对称图象，故A 、B 、C 错误．例题2、己知k ＞0，则函数y ＝kx ，ky x=-的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】暂无解析例题3、已知（﹣1，y 1）（﹣2，y 2）（12，y 3）都在反比例函数y=﹣2x的图像上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是_________．【答案】y 3＜y 2＜y 1【解析】∵反比例函数y=﹣2x中，k=﹣2＜0，∴函数图像的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大．∵﹣2＜﹣1＜0，12＞0，∴点A （﹣2，y 2），B （﹣1，y 1）在第二象限，点C （12，y 3）在第四象限，∴y 3＜y 2＜y 1．例题4、点（a ﹣1，y 1）、（a+1，y 2）在反比例函数y=kx（k ＞0）的图象上，若y 1＜y 2，则a 的范围是____________．【答案】﹣1＜a ＜1【解析】∵k ＞0，∴在图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，①当点（a ﹣1，y 1）、（a+1，y 2）在图象的同一支上，∵y 1＜y 2，∴a ﹣1＞a+1，解得：无解；②当点（a ﹣1，y 1）、（a+1，y 2）在图象的两支上，∵y 1＜y 2，∴a ﹣1＜0，a+1＞0，解得：﹣1＜a ＜1．随练1、对于反比例函数y=kx（k≠0），下列说法正确的是（）A.当k＞0时，y随x增大而增大B.当k＜0时，y随x增大而减小C.当k＞0时，该函数图象在二、四象限D.若点（1，2）在该函数图象上，则点（2，1）也必在该函数图象上【答案】D【解析】A、当k＞0时，在每个单调区间内，y随x增大而减小，∴A不正确；B、当k＜0时，在每个单调区间内，y随x增大而增大，∴B不正确；C、当k＞0时，该函数图象在第一、三象限，∴C不正确；D、∵1×2=2=2×1，∴若点（1，2）在该函数图象上，则点（2，1）也必在该函数图象上，即D正确．随练2、反比例函数y=1mx-的图象如图所示，以下结论正确的是（）①常数m＜1；②y随x的增大而减小；③若A为x轴上一点，B为反比例函数上一点，则S△ABC=12m-；④若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上．A.①②③B.①③④C.①②③④D.①④【答案】D【解析】由图象可知，反比例函数1myx-=在一、三象限，则1﹣m＞0，得m＜1，故①正确；由图象可知，反比例函数1myx-=在每个象限内y随x的增大而减小，故②错误；求不出三角形的面积，故③错误；因为反比例函数的图象关于原点对称，故若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上，故④正确；由上可得，结论正确的是①④，故选D．反比例函数k的几何意义例题1、如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y=kx（x＞0）图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．若四边形OAPB的面积为3，则k的值为（）A.3B.﹣3C.32D.﹣32【答案】A【解析】∵点P 是反比例函数y=kx（x ＞0）图象上的一点，分别过点P 作PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ．若四边形OAPB 的面积为3，∴矩形OAPB 的面积S=|k|=3，解得k=±3．又∵反比例函数的图象在第一象限，∴k=3．例题2、如图，已知反比例函数ky x=（k 为常数，k≠0）的图象经过点A ，过A 点作AB ⊥x 轴，垂足为B ．若△AOB的面积为1，则k ＝________．【答案】－2【解析】依据比例系数k 的几何意义可得两个三角形的面积都等于1||12k =，解得k ＝－2．例题3、如图，点A 、B 是双曲线y=2x上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若S 阴影=1，则S 1+S 2=（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】∵点A 、B 是双曲线y=2x上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∴S 1+S 2=2+2﹣1×2=2．随练1、如图，在反比例函数y=（x ＞0）的图象上，有点P 1，P 2，P 3，P 4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S 1，S 2，S 3，则S 1+S 2+S 3=．【答案】．【解析】由题意，可知点P 1、P 2、P 3、P 4坐标分别为：（1，2），（2，1），（3，），（4，）．解法一：∵S 1=1×（2﹣1）=1，S 2=1×（1﹣）=，S 3=1×（﹣）=，∴S 1+S 2+S 3=1++=．解法二：∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P 1向x 轴、y 轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，∴1×2﹣×1=．随练2、如图，点A 、B 在反比例函数y=kx（k ＞0，x ＞0）的图象上，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，延长线段AB 交x 轴于点C ，若OM=MN=NC ，△AOC 的面积为6，则k 的值为_________．【答案】4【解析】设OM=a ，∵点A 在反比例函数y=k x，∴AM=k a，∵OM=MN=NC ，∴OC=3a ，∴S △AOC =12•OC •AM=12×3a ×k a =32k=6，解得k=4．随练3、如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=的图象都经过点A（2，﹣2）．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．【答案】（1）4;y x yx=-=-；（2）6【解析】（1）根据题意，将点A（2，﹣2）代入y=kx，得：﹣2=2k，解得：k=﹣1，∴正比例函数的解析式为：y=﹣x，将点A（2，﹣2）代入y=，得：﹣2=，解得：m=﹣4；∴反比例函数的解析式为：y=﹣；（2）直线OA：y=﹣x向上平移3个单位后解析式为：y=﹣x+3，则点B的坐标为（0，3），联立两函数解析式，解得：或，∴第四象限内的交点C的坐标为（4，﹣1），∵OA∥BC，∴S△ABC=S△OBC=×BO×x C=×3×4=6．反比例函数的应用知识精讲一．利用反比例函数解决实际生活问题用反比例函数来解决实际问题的步骤：由实验获得数据用描点法画出图象根据所画图象判断函数类型用待定系数法求出函数解析式用实验数据验证三点剖析一．考点：反比例函数的应用．二．重难点：反比例函数的应用．三．易错点：注意自变量取值范围要符合实际意义．利用反比例函数解决实际生活问题例题1、某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.该村人均耕地面积随总人口的增多而增多B.该村人均耕地面积y与总人口x成正比例C.若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人D.当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷【答案】D【解析】如图所示，人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数关系是反比例函数，它的图象在第一象限，∴y随x的增大而减小，∴A，B错误，设y=kx（k＞0，x＞0），把x=50时，y=1代入得：k=50，∴y=50 x，把y=2代入上式得：x=25，∴C错误，把x=50代入上式得：y=1，∴D正确．例题2、已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是____．【答案】R≥3.6【解析】设反比例函数关系式为：I=k R，把（9，4）代入得：k=4×9=36，∴反比例函数关系式为：I=36 R，当I≤10时，则36R≤10，R≥3.6．例题3、环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y （mg/L ）与时间x （天）的变化规律如图所示，其中线段AB 表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y 与时间x 成反比例关系．（1）求整改过程中硫化物的浓度y 与时间x 的函数表达式；（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L ？为什么？【答案】（1）当0≤x ≤3时，y=﹣2x +10；当x ＞3时，y=12x；（2）能；理由如下：令y=12x=1，则x=12＜15，故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L ．【解析】（1）分情况讨论：①当0≤x ≤3时，设线段AB 对应的函数表达式为y=kx +b ；把A （0，10），B （3，4）代入得b=103k+b=4⎧⎨⎩，解得：k=-2b=10⎧⎨⎩，∴y=﹣2x +10；②当x ＞3时，设y=m x，把（3，4）代入得：m=3×4=12，∴y=12x；综上所述：当0≤x ≤3时，y=﹣2x +10；当x ＞3时，y=12x；（2）能；理由如下：令y=12x=1，则x=12＜15，故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L ．随练1、某工厂现有材料100吨，若平均每天用去x 吨，这批原材料能用y 天，则y 与x 之间的函数关系式为（）A.100y x =B.100y x=C.100100y x=-D.100y x=-【答案】B【解析】由题意可得100y x =，故答案为B 选项．随练2、家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC 发热材料，它的电阻R （k Ω）随温度t （℃）（在一定范围内）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加k Ω．（1）求当10≤t ≤30时，R 和t 之间的关系式；（2）求温度在30℃时电阻R 的值；并求出t ≥30时，R 和t 之间的关系式；（3）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过6k Ω？【答案】（1）10≤t≤30时，R=；（2）当温度为30℃时，R=2；R=t ﹣6；（3）温度在10℃～45℃时，电阻不超过6kΩ【解析】（1）∵温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，∴可设R 和t 之间的关系式为R=，将（10，6）代入上式中得：6=，k=60．故当10≤t ≤30时，R=；（2）将t=30℃代入上式中得：R=，R=2．∴温度在30℃时，电阻R=2（k Ω）．∵在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加k Ω，∴当t ≥30时，R=2+（t ﹣30）=t ﹣6；（3）把R=6（k Ω），代入R=t ﹣6得，t=45（℃），所以，温度在10℃～45℃时，电阻不超过6kΩ．拓展1、下列函数关系式中，一定是反比例函数的是（）A.32+2y x = B.27y x=-+ C.1k y x += D.2y x =-【答案】D【解析】该题考查的是反比例函数的概念．只有形如()0k y k x=≠的才是反比例函数，故答案选D ．2、函数y=k x的图象经过点（2，3），则k=（）A.2B.3C.6D.﹣6【答案】C【解析】∵函数y=k x 的图象经过点（2，3），∴2k =3，解得k=6．3、当m ＝________时，函数y ＝（m －2）x |m|－3是反比例函数．【答案】－2【解析】暂无解析4、若函数25(2)k y k x -=-（k 为常数）是反比例函数，则k 的值是______，解析式为_______________．【答案】2-；14y x -=-【解析】由反比例函数定义可知251k -=-且20k -≠，所以2k =-，14y x -=-．5、某工人承包运输粮食的总数是w 吨，每天运x 吨，共运了y 天，则y 与x 的关系式为___________，是___________函数．【答案】w y x =；反比例【解析】由题意可得w y x=，是反比例函数．6、如图，已知直线y ＝k 1x （k 1≠0）与反比例函数2k y x=（k 2≠0）的图象交于M ，N 两点．若点M 的坐标是（1，2），则点N 的坐标是（） A.（－1，－2）B.（－1，2）C.（1，－2）D.（－2，－1）【答案】A【解析】∵直线y ＝k 1x （k 1≠0）与反比例函数2k y x=（k 2≠0）的图象交于M ，N 两点，∴M ，N 两点关于原点对称，∵点M 的坐标是（1，2），∴点N 的坐标是（－1，－2）．7、函数y=k x 与y=﹣kx 2+k （k ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A.B.C.D.【解析】由解析式y=﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y 轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．8、函数y=ax（a≠0）与y=ax在同一坐标系中的大致图像是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】A、由反比例函数的图象可知a＞0，由正比例函数的图象可知a＜0，二者相矛盾，故本选项错误；B、由反比例函数的图象可知a＜0，由正比例函数的图象可知a＞0，二者相矛盾，故本选项错误；C、由反比例函数的图象可知a＞0，由正比例函数的图象可知a＜0，二者相矛盾，故本选项错误；D、由反比例函数的图象可知a＞0，由正比例函数的图象可知a＞0，二者一致，故本选项正确．9、如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y=6x（x＞0）的图像上．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，取线段OB的中点C，连结PC并延长交x轴于点D．则△APD的面积为______．【解析】∵PB ⊥y 轴，PA ⊥x 轴，∴S 矩形APBO =|k|=6，在△PBC 与△DOC 中，90PBC COD BC OC PCB OCD ⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△PBC ≌△DOC ，∴S △APD =S 矩形APBO =6．10、如图，点A 是反比例函数图象上y=K X一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点C 、D 在x 轴上，且BC ∥AD ，四边形ABCD 的面积为3，则k=__________．【答案】﹣3【解析】设点A 的坐标为（m ，n ），∵AB ⊥y 轴，CD ⊥y 轴，∴AB ∥CD ，又∵BC ∥AD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．S 平行四边形ABCD =AB •OB=﹣m •n=3，∴k=mn=﹣3．11、如图，点A 是反比例函数y 1=1x （x ＞0）图象上一点，过点A 作x 轴的平行线，交反比例函数y 2=k x（x ＞0）的图象于点B ，连接OA 、OB ，若△OAB 的面积为2，则k 的值为___________．【答案】5【解析】延长BA ，与y 轴交于点C ，∵AB ∥x 轴，∴BC ⊥y 轴，∵A 是反比例函数y 1=1x （x ＞0）图象上一点，B 为反比例函数y 2=k x （x ＞0）的图象上的点，∴S △AOC =12，S △BOC =2k ，∵S △AOB =2，即2k ﹣12=2，解得：k=5．12、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k=______．【答案】3【解析】连接OB，如图所示：∵四边形OABC是矩形，∴∠OAD=∠OCE=∠DBE=90°，△OAB的面积=△OBC的面积，∵D、E在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，∴△OAD的面积=△OCE的面积，∴△OBD的面积=△OBE的面积=12四边形ODBE的面积=3，∵BE=2EC，∴△OCE的面积=12△OBE的面积=32，∴k=313、如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数myx的图象交于A（2，3）、B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若P是y轴上一点，且满足△PAB的面积是5，直接写出OP的长．【答案】（1）y=x+1；y=6x；（2）OP=1．【解析】（1）∵反比例函数y=mx的图象经过点A（2，3），∴m=6．∴反比例函数的解析式是y=6 x，∵B点（﹣3，n）在反比例函数y=6x的图象上，∴n=﹣2，∴B（﹣3，﹣2），∵一次函数y=kx+b的图象经过A（2，3）、B（﹣3，﹣2）两点，∴23 32k bk b+=⎧⎨-+=-⎩，解得：11 kb=⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式是y=x+1；（2）对于一次函数y=x+1，令x=0求出y=1，即C（0，1），OC=1，根据题意得：S△ABP=12PC×2+12PC×3=5，解得：PC=2，则OP=OC+CP=1+2=3或OP=CP﹣OC=2﹣1=1．14、甲、乙两地间的公路长为300km，一辆汽车从甲地去乙地，汽车在途中的平均速度为(/)v km h，到达时所用的时间为()t h，那么t是v的______函数，v关于t的函数关系式为_____________．【答案】反比例；300 tv =【解析】由题意得300tv=，是反比例函数．15、如图，点A在反比例函数6yx=图象第一象限的分支上，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点D，若△OAD与△BCD的面积相等，则点A的横坐标是（）B.2 D.【答案】A【解析】连接OC，分别过点A、C作x、y轴的平行线交于E点，CE交x轴于F点，如图：由反比例的性质可知，A 、B 两点关于中心O 对称，即OA ＝OB ，又∵△ACB 为等腰直角三角形，∴CO ⊥AB ，且OC ＝OA ．设直线AB 的解析式为y ＝ax （a ＞0），则OC 的解析式为1y x a=-，设点A （m ，am ），点C （an ，﹣n ），∵OA ＝OC ，即m 2＋（am ）2＝（an ）2＋n 2，解得n ＝±m ，∵A 在第一象限，C 在第三象限，∴n ＝m ＞0，即C （am ，﹣m ）．∵AE ∥x 轴，CE ∥y 轴，∴∠CDF ＝∠CAE ，∠CFD ＝∠CEA ＝90°，∴△CDF ∽△CAE ，∴CF CD CE CA=，又∵△OAD 与△BCD 的面积相等，△OAD 与△BOD 的面积相等，∴S △ABD ＝2S △BCD ，∴2AD CD=，∵AC ＝AD ＋CD ，∴13CF CD CE CA ==，∵点A （m ，am ），点C （am ，﹣m ），∴点E （am ，am ），点F （am ，0），∴0()11()13CF m CE am m a --===--+即a ＝2．∵点A （m ，am ）在反比例函数6y x=的图象上，且a ＝2，∴2m 2＝6，解得m =，∵m ＞0，∴m =，∴点A 所以选A ．16、如图所示，制作一种产品的同时，需要将原材料加热，设该材料温度为y ℃，从加热开始计算的时间为x 分钟，据了解，该材料在加热过程中温度y 与时间x 成一次函数关系，已知该材料在加热前的温度为15℃，加热5分钟使材料温度达到60℃时停止加热．停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y 与时间x 成反比例函数关系．（1）分别求出该材料加热过程中和停止加热后y 与x 之间的函数表达式，并写出x 的取值范围；（2）根据工艺要求，在材料温度不低于30℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时间是多少？【答案】（1）y=9x+15（05x ≤≤），y=（x≥5）；（2）对该材料进行特殊处理所用的时间为分钟．【解析】（1）设加热过程中一次函数表达式为y=kx+b （k ≠0），∵该函数图象经过点（0，15），（5，60），∴，解得，∴一次函数的表达式为y=9x+15（0≤x ≤5），设加热停止后反比例函数表达式为y=（a ≠0），∵该函数图象经过点（5，60），∴=60，解得：a=300，∴反比例函数表达式为y=（x ≥5）；（2）∵y=9x+15，∴当y=30时，9x+15=30，解得x=，∵y=，∴当y=30时，=30，解得x=10，10﹣=，所以对该材料进行特殊处理所用的时间为分钟．第02讲_反比例函数的代几综合知识图谱反比例函数的代数综合知识精讲一．反比例函数与方程和不等式如图，双曲线与直线相交，则方程12k k x b x =+的解为交点的横坐标12x x 、；不等式12k k x b x+>的解为120x x x x ><<或．二．反比例函数与一次函数已知反比例函数与一次函数的一个交点，求函数解析式，只要把交点坐标分别代入到两个解析式即可．当反比例函数与正比例函数相交时，交点关于原点对称，即1212,x x y y =-=-．三点剖析一．考点：反比例函数与代数综合二．重难点：反比例函数与代数综合三．易错点：1．注意反比例函数解析式中0k ≠；2．反比例函数与一次函数结合经常会出现要解分式方程的情况，注意分式方程增根的情况；3．利用图像解反比例函数与不等式的问题．与方程，不等式综合例题1、如图，反比例函数y 1=的图象与正比例函数y 2=k 2x 的图象交于点（2，1），则使y 1＞y 2的x 的取值范围是（）A.0＜x ＜2B.x ＞2C.x ＞2或﹣2＜x ＜0D.x ＜﹣2或0＜x ＜2【答案】D 【解析】∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，∴A 、B 两点关于原点对称，∵A （2，1），∴B （﹣2，﹣1），∵由函数图象可知，当0＜x ＜2或x ＜﹣2时函数y 1的图象在y 2的上方，∴使y 1＞y 2的x 的取值范围是x ＜﹣2或0＜x ＜2．故选D ．例题2、已知直线y=x ﹣3与函数2y x =的图象相交于点（a ，b ），则代数式a 2+b 2的值是（）A.13B.11C.7D.5【答案】A【解析】根据题意得b=a ﹣3，b=2a，所以a ﹣b=3，ab=2，所以a 2+b 2=（a ﹣b ）2+2ab=32+2×2=13．故选A ．例题3、求一元二次方程x 2+3x ﹣1=0的解，除了课本的方法外，我们也可以采用图象的方法：在平面直角坐标系中，画出直线y=x+3和双曲线y=的图象，则两图象交点的横坐标即该方程的解．类似地，我们可以判断方程x 3﹣x ﹣1=0的解的个数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】由x 3﹣x ﹣1=0得：x 3﹣x=1方程两边同时除以x 得：x 2﹣1=，在同一坐标系中作出y=x 2﹣1和y=的图象为：观察图象有一个交点，∴可以判断方程x 3﹣x ﹣1=0的解的个数有1个，随练1、小兰画了一个函数y=1a x -的图像如图，那么关于x 的分式方程1a x -=2的解是（）A.x=1B.x=2C.x=3D.x=4【答案】A【解析】由图可知当x=3时，y=0，即13a -=0，解得a=3，当31x-=2时，解得x=1．随练2、如图所示，已知A （12，y 1），B （2，y 2）为反比例函数y=1x图象上的两点，动点P （x ，0）在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是（）A.（12，0） B.（1，0） C.（32，0） D.（52，0）【答案】D 【解析】∵把A （12，y 1），B （2，y 2）代入反比例函数y=1x 得：y 1=2，y 2=12，∴A （12，2），B （2，12），∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP ﹣BP|＜AB ，∴延长AB 交x 轴于P ′，当P 在P ′点时，PA ﹣PB=AB ，即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大，设直线AB 的解析式是y=kx+b ，把A 、B 的坐标代入得：122122k b k b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：k=﹣1，b=52，∴直线AB 的解析式是y=﹣x+52，当y=0时，x=52，即P （52，0），1、反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t 的取值范围是（）A.t＜B ．t＞C ．t≤D ．t≥【答案】【解析】将y=﹣x+2代入到反比例函数y=中，得：﹣x+2=，整理，得：x 2﹣2x+1﹣6t=0．∵反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，∴，解得：t ＞．与一次函数综合例题1、已知反比例函数k y x=（k≠0）和一次函数y ＝x －6．（1）若一次函数与反比例函数的图象交于点P （2，m ），求m 和k 的值；（2）当k 满足什么条件时，两函数的图象没有交点．【答案】（1）m ＝－4；k ＝－8（2）k ＜－9【解析】（1）把点P （2，m ）代入y ＝x －6，得m ＝－4，所以P （2，－4）．将点P （2，－4）代入反比例函数k y x =，得k ＝－8；（2）根据,6,k y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得6k x x =-，∴260x x k --=，∵两图象没有交点，∴()()26410k --⨯⨯-<，即k ＜－9．例题2、如图，在直角坐标系中，直线y ＝mx 与曲线n y x =相交于A （－1，a ），B 两点，BC ⊥x 轴，垂足为C ，△AOC 的面积是1．（1）求m，n的值；（2）求直线AC的解析式．【答案】（1）m＝－2；n＝－2（2）y＝－x＋1【解析】（1）∵直线y＝mx与曲线nyx=相交于A（－1，a）、B两点，∴B点横坐标为1，即C（1，0），∵△AOC的面积为1，∴A（－1，2），将A（－1，2）代入y＝mx，nyx=可得m＝－2，n＝－2；（2）设直线AC的解析式为y＝kx＋b，∵y＝kx＋b经过点A（－1，2）、C（1，0）∴2k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得k＝－1，b＝1，∴直线AC的解析式为y＝－x＋1．例题3、已知反比例函数5myx-=（m为常数，且m≠5）．（1）若在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，求m的取值范围；（2）若其图象与一次函数y＝－x＋1图象的一个交点的纵坐标是3，求m的值．【答案】（1）m＜5（2）－1【解析】（1）∵在反比例函数5myx-=图象的每个分支上，y随x的增大而增大，∴m－5＜0，解得：m＜5；（2）将y＝3代入y＝－x＋1中，得x＝－2，∴反比例函数5myx-=图象与一次函数y＝－x＋1图象的交点坐标为（－2，3），将（－2，3）代入5myx-=得532m-=-，解得1m=-．随练1、已知点A（﹣2，0），B为直线x=﹣1上一个动点，P为直线AB与双曲线y=1x的交点，且AP=2AB，则满足条件的点P的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【解析】如图，设P（m，1m），B（﹣1，n），直线x=﹣1与x轴交于C，∵A（﹣2，0），∴OA=2，OC=1，∴AC=1，BC∥y轴，∴12 AB ACAP AO==，∴P1，P3在y轴上，这样的点P 不存在，点P 4在AB 之间，不满足AP=2AB ，过P 2作P 2Q ⊥x 轴于Q ，∴P 2Q ∥B 1C ，∴1212AB AC AP AQ ==，∴1122m =--，∴m=﹣4，∴P （﹣4，﹣14），∴满足条件的点P 的个数是1，随练2、图中给出的直线1y k x b =+和反比例函数2k y x=的图像，判断下列结论正确的个数有（）①2k ＞b ＞1k ＞0；②直线1y k x b =+与坐标轴围成的△ABO 的面积是4；③方程组12y k x b k y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩的解为11x 6y 1=-⎧⎨=-⎩，22x 2y 3=⎧⎨=⎩；④当－6＜x ＜2时，有21k k x b x +>A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】暂无解析随练3、如图，双曲线x m y =与直线b kx y +=相交于点M ，N ，且点M 的坐标为(1，3)，点N 的纵坐标为－1．根据图象信息可得关于x 的方程x m ＝b kx +的解为（）A.1=x B.1=x 或3-=x C.3=x D.1-=x 或3=x 【答案】B【解析】暂无解析随练4、如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=m x的图象交于A （﹣2，1），B （1，n ）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．【答案】（1）y=2x-；y=﹣x ﹣1（2）x ＜﹣2或0＜x ＜1【解析】（1）∵A （﹣2，1）在反比例函数y=m x的图象上，∴1=2m -，解得m=﹣2．∴反比例函数解析式为y=2x-，∵B （1，n ）在反比例函数h 上，∴n=﹣2，∴B 的坐标（1，﹣2），把A （﹣2，1），B （1，﹣2）代入y=kx+b ，得212k k b b -==-++⎧⎨⎩，解得：11b k =--=⎧⎨⎩，∴一次函数的解析式为y=﹣x ﹣1；（2）由图象知：当x ＜﹣2或0＜x ＜1时，一次函数的值大于反比例函数．随练5、如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 关于y 轴对称，边AD 在x 轴上，点B 在第四象限，直线BD 与反比例函数y=m x的图象交于点B 、E ．（1）求反比例函数及直线BD 的解析式；（2）求点E 的坐标．【答案】（1）y=﹣2x ；y=﹣x ﹣1（2）E （﹣2，1）【解析】（1）边长为2的正方形ABCD 关于y 轴对称，边在AD 在x 轴上，点B 在第四象限，∴A （1，0），D （﹣1，0），B （1，﹣2）．∵反比例函数y=m x 的图象过点B ，∴1m =﹣2，m=﹣2，∴反比例函数解析式为y=﹣2x，设直线BD 的解析式为y=kx+b ，∵y=kx+b 的图象过B 、D 点，∴-2-k+b=0k b +=⎧⎨⎩，解得=-1b=-1k ⎧⎨⎩．直线BD 的解析式y=﹣x ﹣1；（2）解方程组2y=-x y=-x 1⎧⎪⎨⎪-⎩，解得-2y=1x =⎧⎨⎩或x=1y=-2⎧⎨⎩，∵B （1，﹣2），∴E （﹣2，1）．随练6、定义运算max{a ，b}：当a≥b 时，max{a ，b}=a ；当a ＜b 时，max{a ，b}=b ．如max{﹣3，2}=2．（1）max{，3}=____________；（2）已知y 1=1k x 和y 2=k 2x+b 在同一坐标系中的图象如图所示，若max{1k x ，k 2x+b}=1k x，结合图象，直接写出x 的取值范围；（3）用分类讨论的方法，求max{2x+1，x ﹣2}的值．【答案】（1）3（2）﹣3≤x ＜0或x≥2（3）当2x+1≥x ﹣2时，max{2x+1，x ﹣2}=2x+1，当2x+1＜x ﹣2时，max{2x+1，x ﹣2}=x ﹣2．【解析】（1）3}=3．故答案为：3；（2）∵max{1k x ，k 2x+b}=1k x，∴1k x≥k 2x+b ，∴从图象可知：x 的取值范围为﹣3≤x ＜0或x≥2；（3）当2x+1≥x ﹣2时，max{2x+1，x ﹣2}=2x+1，当2x+1＜x ﹣2时，max{2x+1，x ﹣2}=x ﹣2．反比例函数与几何综合知识精讲一．反比例函数与三角形综合一般为定点与动点构成特殊三角形情况，利用等腰三角形，直角三角形，等边三角形，等腰直角三角形等固有特殊性质，进行求解，并且注意考虑到多种结论的情况．二．反比例函数与四边形综合四边形与反比例函数的综合问题与三角形部分基本上相同，不同的是涉及到平行四边形等特殊四边形的时候经常会出现两个顶点两个动点的情况需要进行分类讨论．三．反比例函数与面积问题反比例函数涉及到的面积问题一般都为三角形面积和矩形面积问题，对于三角形面积我们可以对三角形进行分割再去求解，对于矩形面积问题，我们要注意k 值的几何意义和正负的讨论．三点剖析一．反比例函数与三角形综合一般为定点与动点构成特殊三角形情况，利用等腰三角形，直角三角形，等边三角形，等腰直角三角形等固有特殊性质，进行求解，并且注意考虑到多种结论的情况．二．反比例函数与四边形综合四边形与反比例函数的综合问题与三角形部分基本上相同，不同的是涉及到平行四边形等特殊四边形的时候经常会出现两个顶点两个动点的情况需要进行分类讨论．三．反比例函数与面积问题反比例函数涉及到的面积问题一般都为三角形面积和矩形面积问题，对于三角形面积我们可以对三角形进行分割再去求解，对于矩形面积问题，我们要注意k 值的几何意义和正负的讨论．四．易错点：1.涉及到特殊三角形与动点问题时，一般都为多个解，注意不要漏解2.在求三角形和四边形面积用坐标表示线段长度时，注意正负号的问题．与三角形综合例题1、在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（﹣3，0），（3，0），点P 在反比例函数y=2x 的图象上，若△PAB 为直角三角形，则满足条件的点P 的个数为（）A.2个B.4个C.5个D.6个【答案】D。
北师大版数学九年级上学期期末备考压轴题培优：反比例函数(含答案)
期末备考压轴题培优：反比例函数1．如图，在直角坐标系xOy中，直线y＝mx与双曲线y＝相交于A（﹣1，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1．（1）求m、n的值；（2）求直线AC的解析式．（3）点P在双曲线上，且△POC的面积等于△ABC面积的，求点P的坐标．2．如图，一次函数y＝﹣x+的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，过点A做x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1．（1）求反比例函数的解析式；并直接写出不等式≤﹣+的解集．（2）在x轴上求一点P，使|P A﹣PB|的值最大，并求出其最大值和P点坐标．（3）连接OB，求三角形AOB的面积．3．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A （1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；（3）直接写出不等式﹣x+3＜的解集．4．已知A（a，﹣2a）、B（﹣2，a）两点是反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△ABO的面积；（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．5．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；（1）求反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出﹣x＞的解集；（3）将直线l1：y＝x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y＝在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．6．如图所示，双曲线y＝（x＞0，k＞0）与直线y＝ax+b（a≠0，b为常数）交于A（2，4），B（m，2）两点．（1）求m的值；（2）若C点坐标为（n，0），当AC+BC的值最小时，求出n的值；（3）求△AOB的面积．7．如图，在平面直角坐标系xOy内，点P在直线y＝x上（点P在第一象限），过点P作P A⊥x轴，垂足为点A，且OP＝2．（1）求点P的坐标；（2）如果点Q在直线OP上，且S＝6，求点Q的坐标；△APQ（3）如果点M和点P都在反比例函数y＝（k≠0）图象上，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，如果△MNA和△OAP全等（点M、N、A分别和点O、A、P对应），求点M 的坐标．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过等边三角形BOC 的顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．（1）求反比例函数y＝（k≠0）的表达式；（2）若四边形ACBO的面积是3，求点A的坐标．9．如图，反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝ax+b的图象相交于点A（1，4）和B（﹣2，n）．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）请根据图象直接写出y1＜y2时，x的取值范围．10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），反比例函数（x＞0）的图象经过点A，动直线x＝t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．（1）求k的值；（2）当t＝4时，求△BMA面积；（3）若MA⊥AB，求t的值．12（1）求A、B两点的坐标和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．12．如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．（1）求a和k的值；（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求E点的坐标；②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是等腰三形，求所有满足条件的m的值．12两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出使一次函数值不大于反比例函数值的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．14．如图，一次函数y＝k1x﹣3（k1＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函y＝（k2＞0）的图象交于C，D两点，作CE⊥y轴，垂足为点E，作DF⊥y轴，垂足为点F，已知CE＝1．（1）①直接写出点C的坐标（用k1来表示）②k2﹣k1＝；（2）若B为AC的中点，求反比例函数的表达式；（3）在（2）的条件下，设点M是x轴负半轴上一点，将线段MF绕点M旋转90°，得到线段MN，当点M滑动时，点N能否在反比例函数的图象上？如果能，求出点N的坐标；如果不能，请说明理由．15．对于一个函数给出如下定义：对于函数y，当a≤x≤b，函数值y满足c≤y≤d，且满足k（b﹣a）＝d﹣c，则称此函数为“k属函数”．例如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3，﹣9≤y≤﹣3，则k（3﹣1）＝﹣3﹣（﹣9），求得：k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3属函数”．（1）反比例函数y＝（1≤x≤5）为“k属函数”，求k的值；（2）若一次函数y＝ax﹣1（1≤x≤5）为“2属函数”，求a的值．16．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数的图象于点A（2，﹣4）和点B（n，﹣2），交x轴于点C．（1）求这两个函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）请直接写出使一次函数值大于反比例函数值的x的范围．17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝k1x（x≥0）与双曲线y＝（x＞0）相交于P （2，4），已知点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），连结AB．将Rt△AOB沿OP方向平移，得到△A′PB′，点O与点P是对应点．过点A′作A′C∥y轴交双曲线于点C．（1）求k1、k2的值；（2）求点C的坐标；（3）判断四边形PCA′B′是否为平行四边形，请说明理由．18．探索函数y＝x+（x＞0）的图象和性质．已知正比例函数y＝x与反比例函数y＝在第一象限内的图象如图所示．若P为函数y ＝x+（其中x＞0）图象上任意一点，过P作PC垂直于x轴且与已知函数的图象、x 轴分别交于点A、B、C，则PC＝x+＝AC+BC，从而发现下述结论：“点P可以看作点A沿竖直方向向上平移BC个长度单位（P A＝BC）而得到”．（1）根据该结论，在图中作出函数y＝x+（x＞0）图象上的一些点，并画出该函数的图象；（2）观察图象，写出函数y＝x+（x＞0）两条不同类型的性质．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点A（﹣1，6），直线y ＝mx﹣2与x轴交于点B（﹣1，0）．（1）求k，m的值；（2）过第二象限的点P（n，﹣2n）作平行于x轴的直线，交直线y＝mx﹣2于点C，交函数的图象于点D．①当n＝﹣1时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由；②若PD≥2PC，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．参考答案1．解：（1）∵直线y＝mx与双曲线y＝相交于A（﹣1，a）、B两点，∴B点横坐标为1，即C（1，0），∵△AOC的面积为1，∴A（﹣1，2），将A（﹣1，2）代入y＝mx，y＝可得m＝﹣2，n＝﹣2；（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵y＝kx+b经过点A（﹣1，2）、C（1，0）∴，解得k＝﹣1，b＝1，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+1；（3）∵A（﹣1，2），C（1，0），∴B（1，﹣2），∴S＝×2×2＝2，△ABC∵△POC的面积等于△ABC面积的，＝，∴S△POC∵S＝OC•|y P|，△POC∴＝•|y P|，解得y P＝±1，∴P（﹣2，1）或（2，﹣1）．2．解：（1）∵反比例函数y＝（k＞0）的图象过点A，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1，∴|k|＝1，∵k＞0，∴k＝2，故反比例函数的解析式为：y＝，由，解得或，∴A（1，2），B（4，），∴不等式≤﹣+的解集为1≤x≤4或x≤0；（2）一次函数y＝﹣x+的图象与x轴的交点即为P点，此时|P A﹣PB|的值最大，最大值为AB的长．∵A（1，2），B（4，），∴AB＝＝，∴|P A﹣PB|的最大值为；∵一次函数y＝﹣x+，令y＝0，则﹣x+＝0，解得x＝5，∴P点坐标为（5，0）；（3）∵P （5，0），∴OP ＝5，∴S △AOB ＝S △AOP ﹣S △BOP ＝×5×2﹣＝．3．解：（1）把点A （1，a ）代入y ＝﹣x +3，得a ＝2，∴A （1，2）把A （1，2）代入反比例函数y ＝，∴k ＝1×2＝2；∴反比例函数的表达式为y ＝；（2）∵一次函数y ＝﹣x +3的图象与x 轴交于点C ，∴C （3，0），设P （x ，0），∴PC ＝|3﹣x |，∴S △APC ＝|3﹣x |×2＝5，∴x ＝﹣2或x ＝8，∴P 的坐标为（﹣2，0）或（8，0）；（3）解得或，∴B （2，1），由图象可知：不等式﹣x +3＜的解集是0＜x ＜1或x ＞2．4．解：（1）∵A （a ，﹣2a ）、B （﹣2，a ）两点在反比例函数y ＝的图象上， ∴m ＝﹣2a •a ＝﹣2a ，解得a ＝1，m ＝﹣2，∴A （1，﹣2），B （﹣2，1），反比例函数的解析式为y ＝﹣．将点A （1，﹣2）、点B （﹣2，1）代入到y ＝kx +b 中， 得：，解得：，∴一次函数的解析式为y ＝﹣x ﹣1．（2）在直线y ＝﹣x ﹣1中，令y ＝0，则﹣x ﹣1＝0，解得x ＝﹣1，∴C （﹣1，0），∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝×1×2+×1＝；（3）观察函数图象，发现：当x ＜﹣2或0＜x ＜1时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，∴不等式kx +b ﹣＞0的解集为x ＜﹣2或0＜x ＜1．5．解：（1）∵直线l 1：y ＝﹣x 经过点A ，A 点的纵坐标是2，∴当y ＝2时，x ＝﹣4，∴A （﹣4，2），∵反比例函数y ＝的图象经过点A ，∴k ＝﹣4×2＝﹣8，∴反比例函数的表达式为y ＝﹣；（2）∵直线l 1：y ＝﹣x 与反比例函数y ＝的图象交于A ，B 两点， ∴B （4，﹣2）， ∴不等式﹣x ＞的解集为x ＜﹣4或0＜x ＜4；（3）如图，设平移后的直线l 2与x 轴交于点D ，连接AD ，BD ，∵CD ∥AB ，∴△ABC 的面积与△ABD 的面积相等，∵△ABC 的面积为30，∴S △AOD +S △BOD ＝30，即OD （|y A |+|y B |）＝30， ∴×OD ×4＝30，∴OD ＝15，∴D（15，0），设平移后的直线l2的函数表达式为y＝﹣x+b，把D（15，0）代入，可得0＝﹣×15+b，解得b＝，∴平移后的直线l2的函数表达式为y＝﹣x+．6．解：（1）把A（2，4）代入y＝（x＞0，k＞0），∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y＝，把B（m，2）代入y＝得，2＝，解得m＝4；（2）由（1）可知：A（2，4），B（4，2），∴B点关于x轴的对称点B′（4，﹣2），连接AB′，交x轴与C，此时AC+BC＝AB′，AC+BC的值最小，设直线AB′的解析式为y＝mx+t，把A（2，4），B′（4，﹣2）代入得，解得：，∴直线AB′的解析式为y＝﹣3x+10，把（n，0）代入得y＝﹣3n+10，∴n＝；（3）把A（2，4），B（4，2）代入y＝ax+b得，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6，∴直线AB 与x 轴的交点C （6，0），∴S △AOB ＝S △AOC ﹣S △BOC ＝×6×4﹣×6×2＝6．7．解：（1）设AP ＝h ，则OA ＝2h ，由勾股定理得，OP 2＝AP 2+OA 2，即（2）2＝h 2+（2h ）2， 解得，h ＝2，∴AP ＝h ＝2，则OA ＝2h ＝4，∴点P 的坐标为（4，2）；（2）设点Q 到AP 的距离为a ， 由题意得，×2×a ＝6， 解得，a ＝6，∴点Q 的横坐标为4﹣6或4+6， 当x ＝4﹣6时，y ＝2﹣3， 当x ＝4+6，y ＝2+3，综上所述，点Q 的坐标为（4﹣6，2﹣3）或（4+6，2+3）； （3））∵点P （4，2）在反比例函数y ＝的图象上，∴2＝，解得，k ＝8，∴y ＝，在Rt △P AO 中，∠P AO ＝90°，P A ＝2，AO ＝4，∵∠MNA ＝90°，∴当△MNA 和△APO 全等时，分以下两种情况：①点N 在点A 的左侧时，MN ＝AO ＝4，AN ＝AP ＝2，∴ON ＝OA ﹣AN ＝4﹣2＝2，∴M（2，4），且点M在反比例函数y＝的图象上．②点N在点A的右侧时，AO＝MN＝4，AN＝AP＝2，∴ON＝AN+AO＝4+2＝6．∴M（6，4），但点M不在反比例函数y＝的图象上，综合①②，满足条件的点M的坐标为（2，4）．8．解：（1）作BD⊥OC于D，∵△BOC是等边三角形，∴OB＝OC＝2，OD＝OC＝1，∴BD＝＝，＝OD×BD＝，∴S△OBDS＝|k|，△OBD∴|k|＝，∵反比例函数y＝（k≠0）的图象在一三象限，∴k＝，∴反比例函数的表达式为y＝；＝OC•BD＝＝，（2）∵S△OBC∴S＝3﹣＝2，△AOC＝OC•y A＝2，∵S△AOC∴y A＝2，把y＝2代入y＝，求得x＝，∴点A的坐标为（，2）．9．解：（1）∵反比例函数y1＝的图过点A（1，4），∴4＝，即k＝4，∴反比例函数的解析式为：y1＝，∵反比例函数y1＝的图象过点B（﹣2，n），∴n＝＝﹣2，∴B（﹣2，﹣2），∵一次函数y2＝ax+b的图象过点A（1，4）和点B（﹣2，﹣2），∴，解得：∴一次函数的解析式为：y2＝2x+2；（2）由图象可知：当﹣2＜x＜0或x＞1．10．解：（1）∵反比例函数（x＞0）的图象经过点A，∴1＝，解得k＝8；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把点A（8，1），B（0，﹣3）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝x﹣3，当t＝4时，则M（4，2），N（4，﹣1），∴MN＝2﹣（﹣1）＝3，∴S△BMA＝×3×8＝12；（3）由题意可知M（t，），∵A（8，1），B（0，﹣3），∴MA2＝（t﹣8）2+（﹣1）2，MB2＝t2+（+3）2，AB2＝82+（1+3）2＝80，∵MA⊥AB，∴MB2＝MA2+AB2，即t2+（+3）2＝（t﹣8）2+（﹣1）2+80，整理得：2t+＝17，解得t＝或t＝8（舍去），故若MA⊥AB，t的值为．11．解：（1）分别把A（1，m）、B（4，n）代入y1＝﹣x+5，得m＝﹣1+5＝4，n＝﹣4+5＝1，所以A点坐标为（1，4），B点坐标为（4，1），把A（1，4）代入y2＝，得k＝1×4＝4，所以反比例函数解析式为y2＝；（2）如图，设一次函数图象与x轴交于点C，当y＝0时，﹣x+5＝0，解得x＝5，则C点坐标为（5，0），所以S△AOB ＝S△AOC﹣S△BOC＝×5×4﹣×5×1＝7.5．12．解：（1）∵点A（0，8）在直线y＝﹣2x+b上，∴﹣2×0+b＝8，∴b＝8，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，将点B（2，a）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+8中，得﹣2×2+8＝a，∴a＝4，∴B（2，4），将B（2，4）代入反比例函数解析式y＝（x＞0）中，得k＝xy＝2×4＝8；（2）①由（1）知，B（2，4），k＝8，∴反比例函数解析式为y＝，当m＝3时，将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，∴D（2+3，4），即D（5，4），∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数y＝的图象于点E，∴E（5，）；②如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，∴CD＝AB，AC＝BD＝m，∵A（0，8），B（2，4），∴C（m，8），D（（m+2，4），∵△BCD是以BC为腰的等腰三形，当BC＝CD时，BC＝AB，∴点B在线段AC的垂直平分线上，∴m＝2×2＝4，当BC＝BD时，B（2，4），C（m，8），∴BC＝，∴＝m，∴m＝5，当BD＝AB时，m＝AB＝＝2，综上所述，△BCD是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的m的值为4或5或2．13．解：（1）∵点A（2，4）在反比例函数y2＝的图象上，∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y2＝．（2）∵点B（﹣4，n）在反比例函数y2＝的图象上，∴n＝＝﹣2，∴点B的坐标为（﹣4，﹣2）．观察函数图象，发现：使一次函数值不大于反比例函数值的x的取值范围为x≤﹣4或0＜x≤2．（3）将点A（2，4）、B（﹣4，﹣2）代入到y1＝ax+b中，得：解得：，∴一次函数的解析式为y＝x+2，令y＝0，求得x＝﹣2，∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝×2×2+2×4＝6．14．解：（1）如图1，∵CE ⊥y 轴于点E 且CE ＝1，∴C 的横坐标为1，当x ＝﹣1时，y ＝﹣k 1﹣3∴C （﹣1，﹣k 1﹣3），∵C 在反比例函数的图象上，∴﹣1×（﹣k 1﹣3）＝k 2，∴k 2﹣k 1＝3；故答案为（﹣1，﹣k 1﹣3），3；（2）如图1，∵CE ⊥y 轴，DF ⊥y 轴，∴CE ∥DF ，∵B 为AC 的中点，∴AB ＝BC ，∵∠AOB ＝∠BEC ＝90°，∠ABO ＝∠CBE ，∴△ABO ≌△CBE （AAS ），∴AO ＝CE ＝1，∴A （1，0），当x ＝1时，y ＝k 1+3＝0，∴k 1＝3，由（1）得：k 2﹣k 1＝3，∴k 2＝6；∴反比例函数的解析式：y ＝；（3）当点M 滑动时，点N 能在反比例函数的图象上如图2，MF ＝MN ，∠FMN ＝90°过N 作NH ⊥x 轴于H ，易得：△MNH ≌△FMO ，∴FO ＝MH ，OM ＝NH ，由（2）知：反比例函数的解析式：y＝；设D（m，），∵tan∠ABO＝＝＝，∴＝，解得：m＝2，m＝﹣1（舍去），∴N（2，3），∴OF＝MH＝3，设M（x，0），∴N（x+3，x），当点N落在反比例函数的图象上时，x（x+3）＝6，x2+3x﹣6＝0，解得x＝（舍去），x＝，∴点N的坐标为（，）．15．解：（1）∵反比例函数y＝中，k＝5＞0，∴y随x的增大而减小，当1≤x≤5时，1≤y≤5，∴k（5﹣1）＝5﹣1，∴k＝1；（2）①a＞0时，对于一次函数y＝ax﹣1，y随x增大而增大，当1≤x≤5时，a﹣1≤y≤5a﹣1，∴k（5﹣1）＝4a，∵k＝2，∴a＝2；②当a＜0时，y随x增大而减小，当1≤x≤5时，a﹣1≤y≤5a﹣1，∴k（5﹣1）＝﹣4a，∵k＝2，∴a＝﹣2．16．解：（1）把A（2，﹣4）的坐标代入得：，∴4﹣2m＝﹣8，反比例函数的表达式是；把B（n，﹣2）的坐标代入得，解得：n＝4，∴B点坐标为（4，﹣2），把A（2，﹣4）、B（4，﹣2）的坐标代入y＝kx+b得，解得，∴一次函数表达式为y＝x﹣6；（2）当y＝0时，x＝0+6＝6，∴OC＝6，∴△AOB的面积＝×6×4﹣×6×2＝6；（3）由图象知，一次函数值大于反比例函数值的x的范围为0＜x＜2或x＞4．17．解：（1）∵直线y＝k1x过点P（2，4），∴4＝2k1，∴k1＝2，∵双曲线y＝（x＞0）过点P（2，4），∴k2＝2×4＝8；（2）由平移知，点O（0，2）向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点P（2，4），∴点A（4，0）也向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点A'（6，4），∵A'C∥y轴，∴点C的横坐标为6，由（1）知，k2＝8，双曲线的解析式为y＝，∵点C在双曲线y＝上，∴y＝＝，∴C（6，）；（3）四边形PCA′B′不是平行四边形，理由：∵B（0，3），∴OB＝3，由平移知，PB'＝OB＝3，PB'∥y轴，∵A'C∥y轴，∴PB'∥A'C，由（2）知，A'（6，4），C（6，），∴A'C＝4﹣＝≠PB'，∴四边形PCA′B′不是平行四边形．18．解：（1）如图所示：（2）函数两条不同类型的性质是：①图象是轴对称图形：②当0＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大；③当x＝1时，函数y＝x+（x＞0）的最小值是2；19．解：（1）∵函数的图象经过点A（﹣1，6），∴k＝﹣6．∵直线y＝mx﹣2与x轴交于点B（﹣1，0），∴m＝﹣2．（2）①判断：PD＝2PC．理由如下：当n＝﹣1时，点P的坐标为（﹣1，2），∵y＝﹣2x﹣2交于于点C，且点P（﹣1，2）作平行于x轴的直线，∴点C的坐标为（﹣2，2），∵函数的图象于点D，且点P（﹣1，2）作平行于x轴的直线，点D的坐标为（﹣3，2）．∴PC＝1，PD＝2．∴PD＝2PC．②当PD＝2PC时，有两种情况，分别为：y＝2，或者y＝6．若PD≥2PC，0＜y≤2，或y≥6即0＜﹣2n≤2，或﹣2n≤6解得﹣1≤n＜0．或n≤﹣3。
第六章反比例函数及反比例函数k的几何意义专题训练北师大版2024—2025学年九年级上册
第六章反比例函数及反比例函数k的几何意义专题训练北师大版2024—2025学年九年级上册反比例函数比例系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：例1.如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM的面积等于3，则k的值等于（）A．﹣6B．6C．﹣3D．3变式1.如图，在▱AOBC中，对角线AB、OC交于点E，双曲线经过A、E两点，若▱AOBC的面积为18，则k的值是（）A．5B．6C．7D．8变式2.如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0），y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点．若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（）A．8B．﹣8C．4D．﹣4变式3.如图，点P是反比例函数图象上的一点，PF⊥x轴于F点，且Rt△POF面积为4．则k的值为（）A．8B．﹣8C．﹣4D．4变式4.如图，点M是反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，MN⊥y 轴于点N．若P为x轴上的一个动点，则△MNP的面积为（）A．2B．4C．6D．无法确定变式5.如图，点P是双曲线C：y＝（x＞0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：y＝x﹣2于点Q，连接OP，OQ，当点P在曲线C上运动，且点P在Q上方时，△POQ面积的最大值为（）A．2B．3C．4D．6变式6．如图，已知点A为反比例函数y＝（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，若△OAB的面积为3，则k的值为（）A．3B．﹣3C．6D．﹣6变式7.关于x的反比例函数y＝的图象如图，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．△P AB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB 与AB相交于点B．若△P AB的面积大于12，则关于x的方程（a ﹣1）x2﹣x+＝0的根的情况是（）A．2个不相等的实数根B．2个相等的实数根C．1个实数根D．无实数根变式8.如图，两个反比例函数y1＝和y2＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，P A⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（）A．4B．2C．1D．6变式9.如图，若反比例函数的图象经过点A，AB⊥x轴于点B，C点是y轴上一点，且△ABC的面积4，则k的值为（）A．﹣8B．﹣4C．4D．8变式10.如图，反比例函数的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，若矩形OABC的面积为6，则k的值为（）A．﹣3B．3C．﹣6D．6变式11.如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作AB ⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC 的面积为3，则k的值是（）A．3B．﹣6C．6D．﹣3变式12.下面四个图中反比例函数的表达式均为，则阴影部分的图形的面积为3的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个变式13.如图，将一块含30°角的三角板AOB按如图所示摆放在平面直角坐标系中，∠B＝60°，∠BAO＝90°，△AOB的面积为4，BO与x轴的夹角为30°，若反比例函数的图象经过点A，则k的值为（）A．3B．C．6D．9变式14.如图1，在△OAB中，∠AOB＝45°，点B的坐标为，点A在反比例函数的图象上，设△OAB的面积为S1；如图2，在△ABC中，AB＝AC，BC在x轴上，且OB：BC＝1：2，点A在反比例函数的图象上，设△ABC的面积为S2，则S1+S2的值为（）A．B．5C．D．变式15.如图，已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线过OB的中点E，且与边BC交于点D，若△DOE的面积为7.5，则k的值是（）A．5B．10C．15D．变式16.如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为8．若点P（a，4）也在此函数的图象上，则a的值是（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4变式17.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y、x 轴上，BC⊥x轴，点M、N分别在线段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过M、N两点，P为x轴正半轴上一点，且OP：BP＝1：4，△APN的面积为3，则k的值为（）A．B．C．D．变式18.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD与y轴分别交于E、F两点，对角线BD在x轴上，反比例函数的图象过点A并交AD于点G，连接DF．若BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，且△FCD的面积为，则k的值是（）A．B．3C．D．5变式19.如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的边与函数y＝（x＞0）图象交于E，F两点，且F是BC的中点，则四边形ACFE的面积等于（）A．4B．6C．8D．不能确定例2.如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，它的对角线OB与函数的图象相交于点D，且，若矩形OABC的面积为24，则k的值是．变式1.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点P是▱ABCO对角线OB的中点，反比例函数的图象经过点A，点P．若▱ABCO的面积为30，且y轴将▱ABCO的面积分为1：3，则k的值为．变式2.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，延长AB交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，连接BD并延长，交x轴于点E，连接CE．若AB＝2BC，△BCE的面积是4.5，则k的值为．变式3.如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰Rt△OAB，∠B＝90°，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，反比例函数y＝的图象与AB交于点C，连接OC，若BC＝2AC，△OBC的面积为6，则k的值为．变式4.如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC＝8，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y＝（k ≠0）的图象恰好过MN的中点，则点C'的坐标为．变式5.如图，在平面直角坐标系中，点A、C在y轴上，且，点B（﹣2，0）在x轴上，将△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到△AB'C′，线段AB′与双曲线交于点D，连接B′C、C′C，当点D为AB′中点，且S△B'CC′＝6时，则k的值是．变式6.如图，在△AOB中，OC平分∠AOB，＝，反比例函数y＝（k＜0）图象经过点A、C两点，点B在x轴上，若△AOB的面积为9，则k的值为．变式7.如图，点A，B，C，D是菱形的四个顶点，其中点A，D在反比例函数y＝（m＞0，x＞0）的图象上，点B，C在反比例函数y＝（n＜0）的图象上，且点B，C关于原点成中心对称，点A，C的横坐标相等，则的值为；过点A作AE∥x轴交反比例函数y＝（n＜0）的图象于点E，连结ED并延长交x轴于点F，连结OD．若S△DOF＝7，则m的值为．变式8.如图，A（a，b）、B（﹣a，﹣b）是反比例函数y＝的图象上的两点，分别过点A、B作y轴的平行线，与反比例函数y＝的图象交于点C、D，若四边形ACBD的面积是8，则m、n之间的关系是．变式9.如图，平面直角坐标系xOy中，Rt△ABO的斜边BO在x轴正半轴上，OB＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象过点A，与AB边交于点C，且AC＝3BC，则a的值为，射线OA，射线OC分别交反比例函数y＝（b＞a＞0）的图象于点D，E，连接DE，DC，若△DEC的面积为45，则b的值为．变式10.如图，点A、B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，延长AB交x轴于C点，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则k＝．变式11.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，顶点A，C在双曲线上，顶点B，D在双曲线上，且BD经过点O．若k1+k2＝2，则菱形ABCD面积的最小值是．变式12.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A、C恰好落在双曲线上，且点O在AC上，AD交x轴于点E．①当A点坐标为（1，m）时，D点的坐标为；②当CE平分∠ACD时，正方形ABCD的面积为．例3.如图，O为坐标原点，点A（﹣1，5）和点B（m，﹣1）均在反比例函数图象上（1）求m，k的值；（2）当x满足什么条件时，﹣x+4＞﹣；（3）P为y轴上一点，若△ABP的面积是△ABO面积的2倍，直接写出点P的坐标．变式1.已知点A（a，ma+2）、B（b，mb+2）是反比例函数y＝图象上的两个点，且a＞0，b＜0，m＞0．（1）求证：a+b＝﹣；（2）若OA2+OB2＝2a2+2b2，求m的值；（3）若S△OAB＝3S△OCD，求km的值．变式2.如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA．（1）已知△AOB的面积是3，求k的值；（2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值．。
北师大版九年级数学上册第6章 反比例函数 6.1 反比例函数【习题课件】 (2)
A．y＝ 3x
B．y＝ax
C．y＝x12
D．y＝31x
夯实基础·逐点练
2．函数 y＝－41x的比例系数是( D )
A．4
B．－4
C．14
D．－14
夯实基础·逐点练
3．若 y＝k（kx－3）是反比例函数，则 k 必须满足( D )
A．k≠3
B．k≠0
C．k≠3 或 k≠0 D．k≠3 且 k≠0
夯实基础·逐点练
(1)请写出电流 I(A)与电阻 R(Ω)之间的函数表达式，并判断它是 我们学过的哪种函数； 解：电流 I(A)与电阻 R(Ω)之间的函数表达式为 I＝2R20(R＞ 0)，它是我们学过的反比例函数．
探究培优·拓展练
(2)利用写出的函数表达式完成下表：
R/Ω 20 40 60 80 100
I/A
解：填表如下：
整合方法·提升练
(2)当 x＝－12时，求 y 的值． 解：当 x＝－12时，y＝2×－122＋－112＝－32.
整合方法·提升练
13．已知 y 是关于 x 的函数，下表给出了 x 与 y 的一些值．
x －3 －2 1
34
y
3 2
3
－32
－34
请探索：
(1)y 是 x 的正比例函数还是反比例函数？
夯实基础·逐点练
6．【2018·自贡】从－1，2，3，－6 这四个数中任取两数，分别
记为 m，n，那么点(m，n)在函数 y＝6x的图象上的概率是
( B) A．12
B．13
C．14
D．18
夯实基础·逐点练
7．【2018·重庆 B 卷】如图，菱形 ABCD 的边 AD⊥y 轴，垂足为点 E，顶点 A 在第二象限，顶点 B 在 y 轴的正半轴
北师大版九年级数学上册第六章反比例函数第2节反比例函数的图像和性质课后练习
第六章反比例函数第2节反比例函数的图像和性质课后练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．已知点A（2，y1），B（1，y2）都在反比例函数y＝4x的图象上，则（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．不能确定2．已知点()11,A x y，()22,B x y，()33,C x y都在反比例函数kyx=()0k<的图像上，且123x x x<<<，则1y，2y，3y的大小关系是（）A．213y y y>>B．321y y y>>C．123y y y>>D．312y y y>> 3．如图，已知点A是反比例函数()6y xx=>的图像上一点，AB∥x轴交另一个反比例函数()0ky xx=>的图像于点B，C为x轴上一点，若S△ABC=2，则k的值为（）A．4B．2C．3D．14．若0ab<，则正比例函数y ax=与反比例函数byx=在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．5．如图，反比例函数y＝2x的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC 的面积为（）A ．1B ．2C ．4D ．86．面积为2的直角三角形一直角边长为x ，另一直角边长为y ，则y 与x 的变化规律用图象大致表示为（ ）A ．B ．C ．D ．7．若双曲线y=3k x-在每一个象限内，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＜3B ．k≥3C ．k ＞3D ．k≠38．在反比例函数13my x-=的图象上有两点()11,A x y ，()22,B x y ，当120x x <<时，12y y <，则实数m 取值范围是（ ）A ．0m <B ．13m <C ．0m >D ．13m >9．如图，在平面直角坐标系中，点P （1，4）、Q （m ，n ）在函数（x ＞0）的图象上，当m ＞1时，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为点A ，B ；过点Q 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为点C 、D ．QD 交PA 于点E ，随着m 的增大，四边形ACQE 的面积（ ）A．减小B．增大C．先减小后增大D．先增大后减小10．函数4yx=和1yx=在第一象限内的图象如图所示，点P是4yx=的图象上一动点，作PC∥x轴于点C，交1yx=的图象于点A，作PD∥y轴于点D，交1yx=的图象于点B，给出如下结论：∥∥ODB与∥OCA的面积相等；∥PA与PB始终相等；∥四边形PAOB的面积大小不会发生变化；∥PA=3AC，其中正确的结论序号是()A．∥∥B．∥∥∥C．∥∥∥D．∥∥评卷人得分二、填空题11．已知反比例函数3myx-=，当0x>时，y随x增大而减小，则m的取值范围是_____________．12．如图，正比例函数(0)y mx m=≠与反比例函数(0)ny nx=≠的图象交于,A B两点，若点A的坐标为3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则点B的坐标为_____________________．13．如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的负半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点F 在AB上，点B、E 在反比例函数y＝kx（k 为常数，k ≠0）的图象上，正方形ADEF 的面积为4，且BF ＝2AF ，则k 值为_____．14．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p （kPa ）是气体体积()3m V 的反比例函数，其图像如图所示.则其函数解析式为_________.15．如图，反比例函数y ＝xk（x ＞0）的图象经过矩形OABC 的边AB 的中点D ，若矩形OABC 的面积为8，则k ＝_____．16．双曲线y 1，y 2在第一象限的图象如图，已知y 1＝4x，过y 1上的任意一点A 作x 轴的平行线交y 2于点B ，交y 轴于点C ，若S △AOB ＝12，则y 2的表达式是___________．17．已知（﹣1，y 1），（2，y 2），（3，y 3）在反比例函数y ＝21k x--的图象上，则函数值y 1，y 2，y 3的从大到小的关系是_____．18．如图，A ，B 是反比例函数y=4x在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，则∥OAB 的面积是_____．19．（2013年四川自贡4分）如图，在函数()8y x>0x=的图象上有点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n+1，点P 1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n+1分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S 1、S 2、S 3…、S n ，则S 1= ___，S n =___．（用含n 的代数式表示）评卷人 得分三、解答题 20．如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于点()1,6A -，(),2B a ．求一次函数和反比例函数的解析式．21．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y＝﹣8x的图象在第二象限交于点C，如果点A为的坐标为（2，0），B是AC的中点．（1）求点C的坐标及k、b的值．（2）求出一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点的坐标，并直接写出当8kx bx+>-时，x的取值范围．22．已知反比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过点B(3，2)，点B与点C关于原点O对称，BA∥x轴于点A，CD∥x轴于点D（1）求这个反比函数的表达式；（2）求∥ACD的面积．23．如图在平面直角坐标系xOy中，函数y1＝4x(x＞0)的图象与一次函数y2＝kx－k 的图象的交点为A(m，2)．(1)求一次函数的解析式；(2)设一次函数y＝kx－k的图象与y轴交于点B，若点P是x轴上一点，且满足△PAB 的面积是6，请写出点P的坐标．24．如图，一次函数5y x=-+的图像与反比例函数kyx=()0k≠在第一象限内的图像交于()1,A n和()4,B m两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）在第一象限内，当一次函数5y x=-+的值大于反比例函数kyx=()0k≠的值时，写出自变量x的取值范围；（3）求AOB面积．25．如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=kx（x＞0)的图像在第一象限交于A、B 两点，点B坐标为(4，2)，连接OA、OB，过点B作BD∥y轴，垂足为D，交OA于点C，且OC=CA．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)根据图像直接说出不等式ax+b-kx＜0的解集为______；(3)求∥ABC的面积．参考答案：1．A 【解析】 【分析】利用反比例函数4y x=的图象分布在一、三象限，在每个单独的象限内y 随x 的增大而减小，利用2＞1得出y 1＜y 2即可． 【详解】解：∥反比例函数4y x=的图象分布在一、三象限，在每个单独的象限内y 随x 的增大而减小，而A （2，y 1），B （1，y 2）都在第一象限， ∴在第一象限内，y 随x 的增大而减小， ∥2＞1， ∥y 1＜y 2, 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，当k >0时，图象分布在一、三象限，在每个单独的象限内，y 随x 的增大而减小，当k <0时，图象分布在二、四象限，在每个单独的象限内，y 随x 的增大而增大，由x 的值的变化得出y 的值的变化情况；也可以把x 的值分别代入到关系式中求出y 1和y 2的值，然后再做比较即可． 2．A 【解析】 【分析】首先画出反比例函数ky x=()0k <，利用函数图像的性质得到当1230x x x <<<时，1y ，2y ，3y 的大小关系．【详解】解： 反比例函数ky x=()0k <， ∴ 反比例函数图像在第二、四象限，观察图像：当1230x x x <<<时， 则213y y y >>． 故选A ． 【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 3．B 【解析】 【分析】延长AB 交y 轴于点D ，连接OA 、OB ，如图，则AD∥y 轴，由反比例函数系数k 的几何意义可得：3AODS=，12BODSk =，易得S △AOB = S △ABC =2，于是可得关于k 的方程，解方程即得答案． 【详解】解：延长AB 交y 轴于点D ，连接OA 、OB ，如图，则AD∥y 轴， ∥3AODS=，12BODSk =（k ＞0）， ∥S △ABC =2，AB∥x 轴, ∥S △AOB =2，∥1322k -=，解得：k=2．故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，属于常考题型，熟练掌握系数k的几何意义是解题关键．4．B【解析】【分析】根据ab＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a＞0，b＜0和a＜0，b＞0两方面分类讨论得出答案．【详解】解：∥ab＜0，∥分两种情况：=的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象（1）当a＞0，b＜0时，正比例函数y ax在第二、四象限，无此选项；=的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象（2）当a＜0，b＞0时，正比例函数y ax在第一、三象限，选项B符合．故选：B．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．5．C【解析】【分析】由反比例函数的系数k的几何意义可知：2OA AD=，然后可求得OA AB的值，从而可求得矩形OABC的面积．【详解】解：反比例函数2yx =，2OA AD∴=．D是AB的中点，2AB AD∴=．∴矩形的面积2224OA AB AD OA===⨯=．故选：C．【点睛】本题主要考查的是反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．6．C【解析】【详解】解：∥12xy=2，∥xy=4，∥y=4x（x＞0，y＞0），当x=1时，y=4，当x=4时，y=1，故选：C．【点睛】考点：函数的图象.7．C【解析】【分析】根据反比例函数的性质可解．【详解】解：∥双曲线3kyx-=在每一个象限内，y随x的增大而减小，∥k-3＞0 ∥k＞3故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数ky x=，当k ＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小； 当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大． 8．D 【解析】 【分析】根据当x 1＜x 2＜0时，有y 1＜y 2，可得双曲线在第二象限，k ＜0，列出不等式求解即可． 【详解】根据题意，1-3m ＜0，解得13m >． 故选：D ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，较为简单． 9．B 【解析】 【详解】AC=m ﹣1，CQ=n ，则S 四边形ACQE =AC•CQ=（m ﹣1）n=mn ﹣n ． ∥()1,4P ，Q （m ，n ）在函数（x ＞0）的图象上，∥mn=k=4（常数），∥S 四边形ACQE =AC•CQ=（m ﹣1）n=4﹣n ， ∥当m ＞1时，n 随m 的增大而减小， ∥S 四边形ACQE =4﹣n 随m 的增大而增大． 故选B ．考点：反比例函数系数k 的几何意义． 10．C 【解析】 【分析】设点P 的坐标为(m ，4)(0)m m >，则1(,)A m m ，(,0)C m ，(4m B ，4)m ，4(0,)D m．∥根据反比例函数系数k 的几何意义即可得出ODBOCA S S ∆∆=；∥由点的坐标可找出3PA m=，34m PB =，由此可得出只有2m =时PA PB =；∥利用分割图形法求图形面积结合反比例系数k 的几何意义即可得知该结论成立；∥结合点的坐标即可找出3PA m=，1AC m =，由此可得出该结论成立．问题得解． 【详解】解：设点P 的坐标为(m ，4)(0)m m >，则1(,)A m m ，(,0)C m ，(4m B ，4)m ，4(0,)D m． ∥11122ODB S ∆=⨯=，11122OCA S ∆=⨯=， ODB ∴∆与OCA ∆的面积相等，故∥成立；∥413PA m m m=-=，344m m PB m =-=，令PA PB =，即334mm =， 解得：2m =．∴当2m =时，PA PB =，∥不正确；∥114322ODB OCAOCPD PAOB S S S S ∆∆=--=--=矩形四边形．∴四边形PAOB 的面积大小不会发生变化，故∥正确；∥413PA m m m=-=，110AC m m =-=，313m m=⨯， 3PA AC ∴=，故∥正确．综上可知：正确的结论有∥∥∥． 故选：C 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k 的几何意义以及利用分割图形法求图形面积，根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出各点的坐标是关键． 11．3m > 【解析】 【分析】根据反比例函数kyx=，当x＞0，k＞0时，y随x增大而减小列不等式求解即可．【详解】解：∥反比例函数kyx=，当k＜0时，y随x增大而减小∥m-3＞0，即3m>．故答案为3m>．【点睛】本题主要查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质列出不等式m-3>0是解答本题的关键．12．3,2 2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】先根据正比例函数与反比例函数的图象特征可得点A、B关于原点对称，再根据点坐标关于原点对称的变化规律即可得．【详解】由正比例函数与反比例函数的图象特征得：点A、B关于原点对称点坐标关于原点对称的变化规律：横、纵坐标均变为相反数点A的坐标为3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭∴点B的坐标为3,2 2⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：3,22⎛⎫-⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象特征、点坐标关于原点对称的变化规律，掌握正比例函数与反比例函数的图象特征是解题关键．13．-6．【解析】【分析】先由正方形ADEF的面积为4，得出边长为2，BF＝2AF＝4，AB＝AF+BF＝2+4＝6．再设B点坐标为（t，6），则E点坐标（t﹣2，2），根据点B、E在反比例函数y＝kx的图象上，利用根据反比例函数图象上点的坐标特征得k ＝6t ＝2（t ﹣2），即可求出k ＝﹣6． 【详解】解：∥正方形ADEF 的面积为4， ∥正方形ADEF 的边长为2，∥BF ＝2AF ＝4，AB ＝AF +BF ＝2+4＝6． 设B 点坐标为（t ，6），则E 点坐标（t ﹣2，2）， ∥点B 、E 在反比例函数y ＝kx的图象上， ∥k ＝6t ＝2（t ﹣2）， 解得t ＝﹣1，k ＝﹣6． 故答案为﹣6． 【点睛】本题考查反比例函数中k 的几何意义，注意，此题函数图像在第二象限，则k ＜0． 14．96P V=【解析】 【分析】根据“气压×体积＝常数”可知：先求得常数的值，再表示出气体体积V 和气压p 的函数解析式． 【详解】 设kP V =，那么点（1.6，60）在此函数解析式上，则k ＝1.6×60＝96， ∥96P V=． 故答案为：96P V=． 【点睛】解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 15．4 【解析】 【分析】设D 的坐标是()a b ，，则B 的坐标是()2a b ，，根据D 在反比例函数图象上，即可求得ab的值，从而求得k的值．【详解】设D的坐标是()a b，，则B的坐标是()2a b，，∥OABC8S=矩形∥28ab=，∥D在kyx=上，∥1842k ab==⨯=．故答案是：4．【点睛】本题主要考查的是反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．16．y2＝5x【解析】【分析】先设双曲线y2的解析式为y2=kx，根据S△BOC-S△AOC=S△AOB，列出方程，求出k的值，从而得出双曲线y2的解析式．【详解】解：设双曲线y2的解析式为y2=kx，由题意得：S△BOC-S△AOC=S△AOB，即：2k-42=12，解得；k=5；则双曲线y2的解析式为y2=5x．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，用到的知识点是三角形的面积与反比例函数系数的关系，关键是根据关系列出方程． 17．y 1＞y 3＞y 2 【解析】 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论． 【详解】解：∥﹣k 2﹣1=2(1)k +＜0，∥反比例函数图象分布在第二、四象限，在每一象限y 随x 的增大而增大， ∥（﹣1，y 1）在第二象限， ∥y 1＞0，∥（2，y 2），（3，y 3）都在第四象限，且2＜3， ∥y 2＜y 3＜0， ∥y 2＜y 3＜y 1．故答案为：y 1＞y 3＞y 2． 【点睛】本题考查反比例函数图象所在的象限及其增减性，当k<0时函数图象两个分支分别在第二、四象限内，每一象限内y 随x 的增大而增大；当k>0时函数图象两个分支分别在第一、三象限内，每一象限内y 随x 的增大而减小．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 18．3 【解析】 【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A ，B 两点的横坐标，求出A （2，2），B （4，1）．再过A ，B 两点分别作AC∥x 轴于C ，BD∥x 轴于D ，根据反比例函数系数k 的几何意义得出S △AOC =S △BOD =12×4=2．根据S 四边形AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形ABDC ，得出S △AOB =S 梯形ABDC ，利用梯形面积公式求出S 梯形ABDC =12（BD+AC ）•CD=12（1+2）×2=3，从而得出S △AOB =3． 【详解】解：∥A，B是反比例函数y=4x在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，∥当x=2时，y=2，即A（2，2），当x=4时，y=1，即B（4，1）．如图，过A，B两点分别作AC∥x轴于C，BD∥x轴于D，则S△AOC=S△BOD=12×4=2．∥S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，∥S△AOB=S梯形ABDC，∥S梯形ABDC=12（BD+AC）•CD=12（1+2）×2=3，∥S△AOB=3．故答案是：3．【点睛】主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=12|k|．19．4()81n n+【解析】【详解】当x=2时，P1的纵坐标为4，当x=4时，P2的纵坐标为2当x=6时，P3的纵坐标为43，当x=8时，P4的纵坐标为1，当x=10时，P5的纵坐标为：45，…∥()188S 2424221211⎡⎤=⨯-==-⎢⎥⨯⨯+⎢⎥⎣⎦（）；()24288S 22223322221⎡⎤=⨯-=⨯=-⎢⎥⨯⨯+⎢⎥⎣⎦（）；()24188S 21223323231⎡⎤=⨯-=⨯=-⎢⎥⨯⨯+⎢⎥⎣⎦（）；…()()n 888S 22n 2n 1n n 1⎡⎤=-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦． 20．一次函数的解析式为：28y x =+，反比例函数的解析式为：6y x=-【解析】 【分析】先将()1,6A -代入反比例函数解析式中求出m 的值，进一步求出点B 的坐标，然后将A 和B 点的坐标代入一次函数中求解即可. 【详解】解：∥()1,6A -在反比例函数m y x=上 ∥61=-m，解得6m =-， 又(),2B a 在反比例函数6y x=-上∥62=-a，解得3a =-，即()3,2-B将()1,6A -和()3,2-B 代入一次函数y kx b =+中，得623=-+⎧⎨=-+⎩k b k b ，解之得28=⎧⎨=⎩k b 故一次函数的解析式为：28y x =+. 故答案为：28y x =+，6y x=-.【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式与反比例函数解析式，函数图像经过一点，则将这点的坐标代入函数解析式中求解即可．21．（1）C （﹣2，4）；k 1b 2=-⎧⎨=⎩；（2）另一个交点坐标为（4，﹣2），x 的取值范围为x ＜﹣2或0＜x ＜4．【解析】【分析】（1）由A （2，0）利用平行线等分线段定理，可求出点C 的横坐标，代入反比例函数关系式，可求其纵坐标；用两点法确定一次函数的关系式，即待定系数法确定函数的关系式，求出k 、b 的值；（2）可将两个函数的关系式联立成方程组，解出方程组的解，若有两组解，说明两个函数的图象有两个交点，根据图象可以直观看出一次函数值大于反比例函数值时，自变量的取值范围．【详解】（1）过点C 作CD ∥x 轴，垂足为D ，∥CD ∥OB ，∥AO AB OD BC =， 又∥B 是AC 的中点．∥AB ＝BC ，∥OA ＝OD∥A （2，0），∥OA ＝OD ＝2，当x ＝﹣2时，y ＝﹣82-＝4，∥C （﹣2，4）把A （2，0），C （﹣2，4）代入y ＝kx +b 得：2024k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得：12k b =-⎧⎨=⎩， ∥一次函数的关系式为：y ＝﹣x +2；因此：C （﹣2，4），k ＝﹣1，b ＝2．（2）由题意得：28-y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩解得：121224,42x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩； ∥一个交点C （﹣2.4）∥另一个交点E （4，﹣2）； 当8-kx b x+＞时，即：y 一次函数＞y 反比例函数，由图象可以直观看出自变量x 的取值范围：x ＜﹣2或0＜x ＜4．因此：另一个交点坐标为（4，﹣2），x 的取值范围为x ＜﹣2或0＜x ＜4．【点睛】 反比例函数图象上的点坐标的特征，待定系数法求函数的关系式，解方程组以及数形结合思想的应用是解题关键．22．（1 ）6y x=；（2）6. 【解析】【详解】试题分析：（1）将B 点坐标代入y ＝k x 中，求得k 值，即可得反比例函数的解析式；（2）分别求得点C 、点A 、点D 的坐标，即可求得∥ACD 的面积．试题解析：(1)将B 点坐标代入y ＝中，得＝2，解得k ＝6，∥反比例函数的解析式为y ＝.(2)∥点B 与点C 关于原点O 对称，∥C 点坐标为(－3，－2)．∥BA ∥x 轴，CD ∥x 轴，∥A点坐标为(3，0)，D点坐标为(－3，0)．∥S△ACD＝AD·CD＝×[3－(－3)]×|－2|＝623．（1）y=2x-2 ;（2）P（-2,0）或（4,0）【解析】【分析】（1）将A点坐标代入y=4x（x＞0），求出m的值为2，再将（2，2）代入y=kx-k，求出k的值，即可得到一次函数的解析式；（2）将三角形以x轴为分界线，分为两个三角形计算，再把它们相加．【详解】解：（1）将A（m，2）代入y=4x（x＞0）得，m=2，则A点坐标为A（2，2），将A（2，2）代入y=kx-k得，2k-k=2，解得k=2，则一次函数解析式为y=2x-2；（2）∥一次函数y=2x-2与x轴的交点为C（1，0），与y轴的交点为B（0，-2），S△ABP=S△ACP+S△BPC，∥12×2CP+12×2CP=6，解得CP=3，则P点坐标为（-2,0）或（4,0）．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求出函数解析式并熟悉点的坐标与图形的关系是解题的关键．24．（1）y=4x；（2）1＜x＜4；（3）152．【解析】【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得n的值，再代入反比例函数解析式可求得k，即可得出反比例函数的表达式；（2）根据A，B点的横坐标，结合图象可直接得出满足条件的x的取值范围；（3）设一次函数与x轴交于点C，可求得C点坐标，利用S△AOB=S△AOC-S△BOC可求得∥ABO的面积．【详解】解：（1）∥点A在一次函数图象上，∥n=-1+5=4，∥A（1，4），∥点A在反比例函数图象上，∥k=4×1=4，∥反比例函数的表达式为y=4x；（2）结合图象可知当一次函数值大于反比例函数值时，x的取值范围为1＜x＜4；（3）如图，设一次函数与x轴交于点C，在y=-x+5中，令y=0可求得x=5，∥C（5，0），即OC=5，将B（4，m）代入y=-x+5，得m=1，∥点B的坐标为（4，1）．∥S△AOB=S△AOC-S△BOC=12×5×4-12×5×1=152．故∥AOB的面积为152．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合题，主要考查函数图象的交点问题，掌握两函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键．25．（1）y=-x+6；y=8x；（2）0＜x＜2或x＞4；（3）S△ABC=3．【解析】【分析】（1）此处由题意可先求出反比例函数表达式，再根据CO=CA设出A点坐标求出A点坐标，代入即可求出一次函数表达式．（2）此处根据数形结合找出一次函数与反比例函数关系即可．（3）此题可先求出C点坐标，根据A，B，C三点坐标求面积即可．【详解】（1）如图，过点A作AF∥x轴交BD于E，∥点B（4，2）在反比例函数y=kx的图象上，∥k=4×2=8，∥反比例函数的表达式为y=8x，∥B（4，2），∥EF=2，∥BD∥y轴，OC=CA，∥AE=EF=12AF，∥AF=4，∥点A的纵坐标为4，∥点A在反比例函数y=8x的图象上，∥A（2，4），∥4a+b=2；2a+b=4，∥a=-1b=6，∥一次函数的表达式为y=-x+6；（2）0＜x＜2或x＞4．（3）如图1，过点A作AF∥x轴于F交OB于G，∥A（2，4），∥直线OA的解析式为y=2x，∥C（1，2），∥A（2，4），∥AE=4-2=2，BC=4-1=3，∥S△ABC=12×2×3=3．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图形位置关系，牵涉到面积问题，难度一般，是中考中经常出现的题型．。
九年级数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)含答案
九年级数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)含答案一、反比例函数1．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．【答案】（1）解：当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；（2）把A（﹣4，），B（﹣1，2）代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y= x+ ，把B（﹣1，2）代入y= 得m=﹣1×2=﹣2；（3）解：如下图所示：设P点坐标为（t，t+ ），∵△PCA和△PDB面积相等，∴• •（t+4）= •1•（2﹣t﹣），即得t=﹣，∴P点坐标为（﹣，）．【解析】【分析】（1）观察函数图象得到当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y= 可计算出m的值；（3）设P点坐标为（t， t+ ），利用三角形面积公式可得到• •（t+4）= •1•（2﹣ t﹣），解方程得到t=﹣，从而可确定P点坐标．2．如图，已知点D在反比例函数y= 的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B （0，3）．过点A（5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tan∠OAC= ．（1）求反比例函数y= 和直线y=kx+b的解析式；（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；（3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA与点M，求∠BMC的度数．【答案】（1）解：∵A（5，0），∴OA=5．∵，∴，解得OC=2，∴C（0，﹣2），∴BD=OC=2，∵B（0，3），BD∥x轴，∴D（﹣2，3），∴m=﹣2×3=﹣6，∴，设直线AC关系式为y=kx+b，∵过A（5，0），C（0，﹣2），∴，解得，∴；（2）解：∵B（0，3），C（0，﹣2），∴BC=5=OA，在△OAC和△BCD中∴△OAC≌△BCD（SAS），∴AC=CD，∴∠OAC=∠BCD，∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°，∴AC⊥CD；（3）解：∠BMC=45°．如图，连接AD，∵AE=OC，BD=OC，AE=BD，∴BD∥x轴，∴四边形AEBD为平行四边形，∴AD∥BM，∴∠BMC=∠DAC，∵△OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°．【解析】【分析】（1）由正切定义可求C坐标，进而由BD=OC求出D坐标，求出反比例函数解析式；由A、C求出直线解析式；（2）由条件可判定△OAC≌△BCD，得出AC=CD，∠OAC=∠BCD，进而AC⊥CD；（3）由已知可得AE=OC，BD=OC，得出AE=BD，再加平行得四边形AEBD为平行四边形，推出△OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°.3．平面直角坐标系xOy中，已知函数y1= （x＞0）与y2=﹣（x＜0）的图象如图所示，点A、B是函数y1= （x＞0）图象上的两点，点P是y2=﹣（x＜0）的图象上的一点，且AP∥x轴，点Q是x轴上一点，设点A、B的横坐标分别为m、n（m≠n）．（1）求△APQ的面积；（2）若△APQ是等腰直角三角形，求点Q的坐标；（3）若△OAB是以AB为底的等腰三角形，求mn的值．【答案】（1）解：过点P、A、Q分别作PM x轴交x轴于点M，PN x轴交x轴于点N，QR AP轴交AP轴于点R，则四边形APMN、四边形PMQR、四边形ARQN是矩形，如图所示：∵点A的横坐标为m,且在函数上，AP∥x轴,且点P在函数上，∴点A（m, ）,点P（－m, ）,∴MN=m-(-m)=2m,PM= ,∴S矩形PMNA＝2m╳ =8,∵四边形PMQR、四边形ARQN是矩形,∴S△PQM＝S△PRQ， S△ANQ＝S△ARQ,∴S△APQ＝S△PRQ+ S△ARQ＝ S矩形PMNA=4（2）解：当PQ x轴时，则PQ＝，,AP=2m,∵PQ=AP∴2m= ,∴m=∴ ,当PQ＝AQ时，则（3）解：∵△OAB是以AB为底的等腰三角形，∴OA＝OB，∵A（m, ）,B(n, )，∴∴mn=4.【解析】【分析】（1）过点P、A、Q分别作PM ⊥ x轴交x轴于点M，PN ⊥ x轴交x轴于点N，QR ⊥ AP轴交AP轴于点R，则四边形APMN、四边形PMQR、四边形ARQN是矩形，根据点A的横坐标为m，利用函数解析式表示出点A的坐标和点P的坐标，最后用三角形的面积公式即可得出结论。
6.1 反比例函数 北师版九年级上册数学课外培优习题课件
解得 a ＝0或 a ＝1.
∴当 a ＝0或 a ＝1时， y 为 x 的反比例函数.
数学 九年级上册 BS版
8. 已知 y ＝ y1＋ y2， y1与 x 成正比例， y2与 x 成反比例，并且当 x
＝1与 x ＝2时， y 的值都等于6.求 x ＝－1时， y 的值.
4
(−1）
＝－6.
数学 九年级上册 BS版
9.
6
在反比例函数 y ＝－ 中，当 x ＝ a 时， y ＝－ a －1，则 a
＝
10.
－3或2 .
2
当 x ＝2时，正比例函数 y ＝ k1 x 与反比例函数 y ＝ 的值相等
（ k1·k2≠0），则 k1∶ k2＝ 1∶4 .
数学 九年级上册 BS版
数关系式；
1 200
解：（1）由题意，可得 y ＝
（ x ＞0）.
数学 九年级上册 BS版
（2）若每辆拖拉机一天能运12 m3，则5辆这样的拖拉机要用多
少天才能运完？
解：（2） x ＝12×5＝60，代入函数关系式，得
1 200
y＝
＝20.
60
故5辆这样的拖拉机要用20天才能运完.
数学 九年级上册 BS版
作的矩形长 y （cm）与宽 x （cm）之间的函数关系式是 y ＝
200
（ x ＞0）
.
数学 九年级上册 BS版
6. 已知两个变量 x 与 y 之间的对应值如下表：
x
…
－2
－1
1
2
…
y
…
－6
－12
北师大版九年级数学上册第6章 反比例函数 6.2.1 反比例函数的图象【习题课件】
探究培优·拓展练
(1)求直线和双曲线的表达式； 解：∵B(－1，－4)在双曲线 y2＝ax 上，
∴a＝(－1)×(－4)＝4.
∵A 点在双曲线上，∴2m＝4，∴m＝2，即 A(2，2)．
将点 A(2，2)，点 B(－1，－4)的坐标分别代入 y1＝kx＋b 得
2＝2k＋b， －4＝－k＋b，
AB∥x 轴，BC∥y 轴，反比例函数 y＝2x与 y＝－2x的图象均
与正方形 ABCD 的边相交，则图中阴影部分的面积之和是
( D) A．2
B．4
C．6
D．8
夯实基础·逐点练
9．一次函数 y＝x＋b(k≠0)与反比例函数 y＝kx(k≠0)在同一直
角坐标系内的大致图象如图所示，则 k，b 的取值范围是
夯实基础·逐点练
3．反比例函数 y＝kxb的图象如图所示，则一次函数 y＝kx＋ b(k≠0)的图象可能是( D )
夯实基础·逐点练
4．已知某种品牌电脑的显示器的寿命大约为 2×104 h，这种显 示器工作的天数为 d(天)，平均每天工作的时间为 t(h)，那 么能正确表示 d 与 t 之间的函数关系的图象是( )
() A．k＞0，b＞0
B．k＜0，b＞0
C．k＜0，b＜0
D．k＞0，b＜0
夯实基础·逐点练
【点拨】∵一次函数 y＝kx＋b 的图象经过第二、三、四象 限，∴k＜0，b＜0.又∵反比例函数 y＝kx(k≠0)的图象在第二、 四象限，∴k＜0. 综上所述，k＜0，b＜0. 【答案】 C
整合方法·提升练
夯实基础·逐点练
7．【2018·湖州】如图，已知直线 y＝k1x(k1≠0)与反比例函数 y
＝kx2(k2≠0)的图象交于 M，N 两点，若点 M 的坐标是(1，
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课时练：第六章 《反比例函数》 （培优篇）一．选择题1．下列各点中，在反比例函数y ＝图象上的是（ ） A ．（﹣1，8）B ．（﹣2，4）C ．（1，7）D ．（2，4） 2．如果点A （﹣1，y 1）、B （1，y 2）、C （2，y 3）是反比例函数图象上的三个点，则下列结论正确的是（ ） A ．y 1＞y 3＞y 2 B ．y 3＞y 2＞y 1C ．y 2＞y 1＞y 3D ．y 3＞y 1＞y 23．函数图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，过点A （4，5）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y ＝﹣x +6于B 、C 两点，若函数y ＝（x ＞0）的图象△ABC 的边有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．5≤k ≤20B ．8≤k ≤20C ．5≤k ≤8D ．9≤k ≤205．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （4a ，a ）是反比例函数y ＝（k ＞0）的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于16，则k 的值为（ ）A ．16B ．1C ．4D ．﹣166．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的两边在坐标轴上，OB ＝1，点A 在函数y ＝﹣（x ＜0）的图象上，将此矩形向右平移3个单位长度到A 1B 1O 1C 1的位置，此时点A 1在函数y ＝（x ＞0）的图象上，C 1O 1与此图象交于点P ，则点P 的纵坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数y ＝ax ﹣a 与y ＝（a ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，A 、C 分别是x 轴、y 轴上的点，双曲线y ＝（x ＞0）与矩形OABC 的边BC 、AB 分别交于E 、F ，若AF ：BF ＝1：2，则△OEF 的面积为（ ）A．2 B．C．3 D．9．如图，矩形OABC的顶点A在y轴上，C在x轴上，双曲线y＝与AB交于点D，与BC 交于点E，DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于点G，交DF于点H．若矩形OGHF和矩形HDBE的面积分别是1和2，则k的值为（）A．B．+1 C．D．210．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y＝﹣的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则S平行四边形ABCD 为（）A．2 B．3 C．4 D．511．如图，平面直角坐标系中，点A（1，2），将AO绕点A逆时针旋转90°，点O的对应B点恰好落在双曲线y＝（x＞0）上，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．612．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（1，12）和B（6，2）两点．点P是线段AB上一动点（不与点A和B重合），过P点分别作x、y轴的垂线PC、PD交反比例函数图象于点M、N，则四边形PMON面积的最大值是（）A．B．C．6 D．12二．填空题13．反比例函数的图象在一、三象限，则k应满足．14．如图，点A是双曲线y＝在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为．15．如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作▱ABCD，使点B、C 在x轴上，点D在y轴上，则▱ABCD的面积为．16．如图，两个反比例函数y＝和y＝﹣的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则△PAB的面积为．17．如图，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB ＝AC ＝2，直角顶点A 在直线y ＝x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴，若双曲线y ＝（k ≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是 ．18．如图所示，P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），…P n （x n ，y n ）在函数y ＝（x ＞0）的图象上，△OP 1A 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3…△P n A n ﹣1A n …都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2…A n ﹣1A n ，都在x 轴上，则y 1+y 2+…y n ＝ ．三．解答题19．如图，已知一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数的图象交于A ，B 两点，且点A的横坐标和点B 的纵坐标都是﹣2，求： （1）一次函数的解析式； （2）△AOB 的面积；（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x 的取值范围．20．制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（min）．据了解，当该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图所示）．已知该材料在操作加热前的温度为15℃，加热5min后温度达到60℃．（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数解析式；（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？21．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点．（1）利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式．（2）求△AOB的面积．（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．22．如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，点F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y＝的图象与BC边交于点E．（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？23．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB如图放置，点P是AB边上的一点，过点P的反比例函数y＝与OA边交于点E，连接OP．（1）如图1，若点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（5，0），且△OPB的面积为5，求直线AB和反比例函数y＝的解析式；（2）如图2，若∠AOB＝60°，过P作PC∥OA，与OB交于点C，若OE＝4，并且△OPC 的面积为，求反比例函数y＝的解析式及点P的坐标．参考答案一．选择题1．解：A、∵﹣1×8＝﹣8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错不合题意；B、∵﹣2×4＝﹣8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项不合题意；C、∵1×7＝7≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项不合题意；D、2×4＝8，∴该点在函数图象上，故本选项符合题意．故选：D．2．解：∵反比例函数的比例系数为﹣1，∴图象的两个分支在二、四象限；∵第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，点A在第二象限，点B、C在第四象限，∴y1最大，∵1＜2，y随x的增大而增大，∴y2＜y3，∴y1＞y3＞y2．故选：A．3．解：由函数解析式可得x可取正数，也可取负数，但函数值只能是负数；所以函数图象应在x轴下方，并且x，y均不为0．故选：D．4．解：∵过点A（4，5）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝﹣x+6于B、C两点，∴点B的纵坐标为5，点C的横坐标为4，将y＝5代入y＝﹣x+6，得x＝1；将x＝4代入y＝﹣x+6得，y＝2，∴点B的坐标为（1，5），点C的坐标为（4，2），∵函数y＝（x＞0）的图象与△ABC的边有公共点，点A（4，5），点B（1，5），∴1×5≤k≤4×5即5≤k≤20，故选：A．5．解：∵图中阴影部分的面积等于16，∴正方形OABC 的面积＝16， ∵P 点坐标为（4a ，a ）， ∴4a ×4a ＝16，∴a ＝1（a ＝﹣1舍去）， ∴P 点坐标为（4，1）， 把P （4，1）代入y ＝，得k ＝4×1＝4．故选：C ．6．解：∵OB ＝1，AB ⊥OB ，点A 在函数y ＝﹣（x ＜0）的图象上， ∴当x ＝﹣1时，y ＝2， ∴A （﹣1，2）．∵此矩形向右平移3个单位长度到A 1B 1O 1C 1的位置， ∴B 1（2，0）， ∴A 1（2，2）．∵点A 1在函数y ＝（x ＞0）的图象上， ∴k ＝4，∴反比例函数的解析式为y ＝，O 1（3，0）， ∵C 1O 1⊥x 轴， ∴当x ＝3时，y ＝， ∴P （3，）． 故选：C ．7．解：A 、从反比例函数图象得a ＞0，则对应的一次函数y ＝ax ﹣a 图象经过第一、三、四象限，所以A 选项错误；B 、从反比例函数图象得a ＞0，则对应的一次函数y ＝ax ﹣a 图象经过第一、三、四象限，所以B 选项错误；C 、从反比例函数图象得a ＜0，则对应的一次函数y ＝ax ﹣a 图象经过第一、二、四象限，所以C 选项错误；D 、从反比例函数图象得a ＜0，则对应的一次函数y ＝ax ﹣a 图象经过第一、二、四象限，所以D 选项正确． 故选：D ．8．解：设F 点的坐标为（t ，）， ∵AF ：BF ＝1：2， ∴AB ＝3AF ，∴B 点坐标为（t ，）， 把y ＝代入y ＝得x ＝， ∴E 点坐标为（，），∴△OEF 的面积＝S 矩形ABCO ﹣S △OEC ﹣S △OAF ﹣S △BEF ＝t •﹣×2﹣×2﹣•（﹣）•（t ﹣） ＝． 故选：B ．9．解：设D （t ，），∵矩形OGHF 的面积为1，DF ⊥x 轴于点F ， ∴HF ＝， 而EG ⊥y 轴于点G ， ∴E 点的纵坐标为，当y ＝时，＝，解得x ＝kt ， ∴E （kt ，）， ∵矩形HDBE 的面积为2，∴（kt ﹣t ）•（﹣）＝2， 整理得（k ﹣1）2＝2， 而k ＞0， ∴k ＝+1．故选：B ．10．解：连结OA 、OB ，AB 交y 轴于E ，如图， ∵AB ∥x 轴， ∴AB ⊥y 轴，∴S △OEA ＝×3＝，S △OBE ＝×2＝1， ∴S △OAB ＝1+＝，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴S 平行四边形ABCD ＝2S △OAB ＝5． 故选：D ．11．解：作AC ⊥y 轴于C ，AD ⊥x 轴，BD ⊥y 轴，它们相交于D ，如图， ∵A 点坐标为（1，2）， ∴AC ＝1，OC ＝2，∵AO 绕点A 逆时针旋转90°，点O 的对应B 点， 即把△AOC 绕点A 逆时针旋转90°得到△ABD ， ∴AD ＝AC ＝1，BD ＝OC ＝2，∴B 点坐标为（3，1）， ∴k ＝3×1＝3． 故选：B ．12．解：设反比例函数解析式为y ＝，一次函数解析式为y ＝ax +b ， 将点A （1，12）代入y ＝中，得k ＝12， ∴反比例函数解析式为y ＝，将点A （1，12）、B （6，2）代入y ＝ax +b 中， 得，解得，∴一次函数解析式为y ＝﹣2x +14． 设点P 的坐标为（m ，14﹣2m ），则S 四边形PMON ＝S 矩形OCPD ﹣S △OCM ﹣S △ODN ＝S 矩形OCPD ﹣|k |＝m （14﹣2m ）﹣12＝﹣2m 2+14m ﹣12＝﹣2+，∴四边形PMON 面积的最大值是．故选：A ．二．填空题（共6小题） 13．解：由题意得，反比例函数的图象在二、四象限内，则k +2＞0， 解得k ＞﹣2． 故答案为k ＞﹣2．14．解：连结OC ，作CD ⊥x 轴于D ，AE ⊥x 轴于E ，如图， 设A 点坐标为（a ，），∵A 点、B 点是正比例函数图象与双曲线y ＝的交点，∴点A与点B关于原点对称，∴OA＝OB∵△ABC为等腰直角三角形，∴OC＝OA，OC⊥OA，∴∠DOC+∠AOE＝90°，∵∠DOC+∠DCO＝90°，∴∠DCO＝∠AOE，∵在△COD和△OAE中∴△COD≌△OAE（AAS），∴OD＝AE＝，CD＝OE＝a，∴C点坐标为（﹣，a），∵﹣•a＝﹣4，∴点C在反比例函数y＝﹣图象上．故答案为y＝﹣（x＜0）．15．解：连结OA、CA，如图，则S△OAD＝|k|＝×6＝3，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴S△CAD ＝S△OAD＝3，∴▱ABCD的面积＝2S△CAD＝6．故答案为6．16．解：∵点P在y＝上，∴|x p|×|y p|＝|k|＝1，∴设P的坐标是（a，）（a为正数），∵PA⊥x轴，∴A的横坐标是a，∵A在y＝﹣上，∴A的坐标是（a，﹣），∵PB⊥y轴，∴B的纵坐标是，∵B在y＝﹣上，∴代入得：＝﹣，解得：x＝﹣2a，∴B的坐标是（﹣2a，），∴PA＝|﹣（﹣）|＝，PB＝|a﹣（﹣2a）|＝3a，∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，∴PA⊥PB，∴△PAB的面积是：PA×PB＝××3a＝故答案为：．17．解：如图，设直线y＝x与BC交于E点，分别过A、E两点作x轴的垂线，垂足为D、F，EF交AB于M，∵A点的横坐标为1，A点在直线y＝x上，∴A（1，1），又∵AB ＝AC ＝2，AB ∥x 轴，AC ∥y 轴，∴B （3，1），C （1，3），且△ABC 为等腰直角三角形，BC 的中点坐标为（，），即为（2，2），∵点（2，2）满足直线y ＝x ，∴点（2，2）即为E 点坐标，E 点坐标为（2，2）， ∴k ＝OD ×AD ＝1，或k ＝OF ×EF ＝4， 当双曲线与△ABC 有唯一交点时，1≤k ≤4． 故答案为：1≤k ≤4．18．解：（方法一）如图，过点P 1作P 1M ⊥x 轴， ∵△OP 1A 1是等腰直角三角形， ∴P 1M ＝OM ＝MA 1， 设P 1的坐标是（a ，a ），把（a ，a ）代入解析式y ＝（x ＞0）中，得a ＝3， ∴A 1的坐标是（6，0）， 又∵△P 2A 1A 2是等腰直角三角形，设P 2的纵坐标是b ，则P 2的横坐标是6+b ， 把（6+b ，b ）代入函数解析式得b ＝，解得b ＝3﹣3，∴A 2的横坐标是6+2b ＝6+6﹣6＝6， 同理可以得到A 3的横坐标是6，A n 的横坐标是6，根据等腰三角形的性质得到y 1+y 2+…y n 等于A n 点横坐标的一半， ∴y 1+y 2+…y n ＝． 故答案为：．（方法二）设OA 1＝2a 1，A 1A 2＝2a 2，A 2A 3＝2a 3，…，A n ﹣1A n ＝2a n ，∴A 1（2a 1，0），A 2（2a 1+2a 2，0），…，A n （2a 1+2a 2+…+2a n ，0）． ∵△OP 1A 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…，△P n A n ﹣1A n ，…，都是等腰直角三角形，∴y 1＝a 1，y 2＝a 2，y 3＝a 3，…，y n ＝a n ，x 1＝a 1，x 2＝2a 1+a 2，x 3＝2a 1+2a 2+a 3，…，x n ＝2a 1+2a 2+…+a n ，∴y 1+y 2+…y n ＝OA n ．∵P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），…P n （x n ，y n ）在函数y ＝（x ＞0）的图象上， ∴a 12＝9，（2a 1+a 2）a 2＝9，（2a 1+2a 2+a 3）a 3＝9，…，（2a 1+2a 2+…+a n ）a n ＝9， ∴a 1＝3，a 2＝3﹣3，a 3＝3﹣3，…，a n ＝3﹣3，∴y 1+y 2+…y n ＝a 1+a 2+…+a n ＝3+3﹣3+3﹣3+…+3﹣3＝3．故答案为：．三．解答题（共5小题）19．解：（1）由题意A （﹣2，4），B （4，﹣2）， ∵一次函数过A 、B 两点， ∴， 解得，∴一次函数的解析式为y ＝﹣x +2；（2）设直线AB 与y 轴交于C ，则C （0，2）， ∵S △AOC ＝×OC ×|A x |，S △BOC ＝×OC ×|B x | ∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝•OC •|A x |+•OC •|B x |＝＝6；（3）由图象可知：一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x 的取值范围是x ＜﹣2或0＜x ＜4．20．解：（1）材料加热时，设y＝ax+15（a≠0），由题意得60＝5a+15，解得a＝9．则材料加热时，y与x的函数关系式为y＝9x+15（0≤x≤5）．停止加热时，设y＝（k≠0），由题意得60＝，解得k＝300．则停止加热进行操作时y与x的函数关系式为y＝（x≥5）；（2）把y＝15代入y＝，得x＝20，因此从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．答：从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．21．解：（1）把A（2，1）代入y＝，得：m＝2，∴反比例函数的解析式为y＝，把B（﹣1，n）代入y＝，得：n＝﹣2，即B（﹣1，﹣2），将点A（2，1）、B（﹣1，﹣2）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴一次函数的解析式为y＝x﹣1；（2）在一次函数y＝x﹣1中，令y＝0，得：x﹣1＝0，解得：x＝1，则S＝×1×1+×1×2＝；△AOB（3）由图象可知，当x＞2或﹣1＜x＜0时，一次函数的值大于反比例函数的值．22．解：（1）∵在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，∴B（3，2），∵F为AB的中点，∴F（3，1），∵点F在反比例函数y＝的图象上，∴k＝3，∴该函数的解析式为y＝；（2）由题意知E，F两点坐标分别为E（，2），F（3，），＝AF•BE＝×k（3﹣k），∴S△EFA＝k﹣k2＝﹣（k2﹣6k+9﹣9）＝﹣（k﹣3）2+当k＝3时，S有最大值．S＝．最大值23．解：（1）如图1，过点P作PQ⊥x轴交x轴于点Q，∵点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（5，0），∴设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线AB的解析式为：y＝﹣2x+10．∵点B的坐标为（5，0），且△OPB的面积为5，∴PQ＝2，点P纵坐标为2．∵点P在直线AB上﹣2x+10＝2，解得x＝4，∴点P坐标为（4，2）∴此反比例函数的解析式为y＝；（2）如图2，过点E作EF⊥x轴交x轴于点F，过点P作PS⊥x轴交x轴于点S，∵∠AOB＝60°，∠EFO＝90°，OE＝4，∴OF＝2，EF＝2，∴此反比例函数的解析式为y＝．＝＝OC•PS，∵S△OCP∴OC•PS＝3．∵OS•PS＝4，∴CS•PS＝．∵∠AOB＝60°PC∥OA，∴∠PCS＝60°，∴PS＝CS，∴CS＝1．∴点P坐标为（4，）．。