6.4.3 第一课时 余弦定理高中数学必修第二册课件)

32＝ 22，
∵C∈(0，π)，∴C＝π4.
∴B＝π－A－C＝π－π6－π4＝172π，∴A＝π6，B＝172π，C＝π4.
已知三角形三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求 出第一个角；再利用余弦定理的推论(或由求得的第一 个角利用正弦定理)求出第二个角；最后利用三角形的 内角和定理求出第三个角．
3．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 (1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形． (2)若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形．
已知两边及一角解三角形
[例1] (1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 3 cm，A
＝π6，则a＝________cm；
(2)在△ABC中，若AB＝
[变式训练]
1．[变条件]已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，求△ABC 中各角的度数． 解：已知a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，令a＝2k，b＝ 6k， c＝( 3＋1)k(k＞0)，由余弦定理的推论，得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝ 26×2＋6×3＋31＋2－122＝ 22， ∵0°<A<180°，∴A＝45°. cos B＝a2＋2ca2c－b2＝22＋2× 23×＋123－＋162＝12， ∵0°<B<180°，∴B＝60°. ∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
6 ．4 .3 余弦定理、正弦定理
新课程标准 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系． 2.掌握余弦定理、正弦定理． 3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题. 新学法解读 1.弄清正弦定理、余弦定理的推导思路，并在此基础
上掌握正、余弦定理的本质． 2.在求解三角形问题时要注意养成作图分析的习惯.
∴B＝30°，∴C＝60°.
故三角形三角之比为1∶2∶3.故选A. 答案：A
3．[变条件，变设问]在△ABC中，已知a2＋c2＝b2＋ac，且 sin A∶sin C＝( 3＋1)∶2，求角C. 解：∵a2＋c2＝b2＋ac，a2＋c2－b2＝2accos B. ∴2accos B＝ac，∴cos B＝12.∵0°＜B＜180°， ∴B＝60°，A＋C＝120°. ∵ssiinn AC＝ 32＋1，∴2sin A＝( 3＋1)sin C. ∴2sin(120°－C)＝( 3＋1)sin C. ∴2sin 120°cos C－2cos 120°sin C＝( 3＋1)sin C. ∴sin C＝cos C.∴tan C＝1.∵0°<C<180°.∴C＝45°.
[答案] (1)60 (2)4或5
已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第 三边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外 一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其它角．
[变式训练]
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝
1．余弦定理与勾股定理的关系 余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是 余弦定理的特例． 2．余弦定理的特点 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个 角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个 量，就可求得第四个量．
5 ，AC＝5，且cosபைடு நூலகம்
C＝
9 10
，则
BC＝________.
[解析] (1)由余弦定理得： a＝ 602＋60 32－2×60×60 3×cosπ6 ＝ 4×602－3×602＝60(cm)． (2)由余弦定理得：( 5)2＝52＋BC2－2×5×BC×190， 所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5.
A. 39
B．8 3
()
C．10 2
D．7 3
解析：由余弦定理得：c＝ 92＋2 32－2×9×2 3×cos 150°
＝ 147＝7 3.故选D.
答案：D
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝
5，c＝2，cos A＝23，则b＝
()
A. 2 C．2
B. 3 D．3
解析：由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×
[例2] 在△ABC中，已知a＝2 6 ，b＝6＋2 3 ，c＝
4 3，求A，B，C. [解] 根据余弦定理，得cos A＝b2＋2cb2c－a2
＝6＋2
32＋4 32－2 26＋2 34 3
62＝ 23.∵A∈(0，π)，∴A＝π6，
cos C＝a2＋2ba2b－c2＝2
62＋6＋2 32－4 2×2 6×6＋2 3
2 3
，解得b＝3
或b＝－13(舍去)．故选D.
答案：D
4．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝________.
解析：∵a2－c2＋b2＝ab，∴c2＝a2＋b2－ab.又∵c2＝a2＋b2－ 2abcos C，∴2cos C＝1.∴cos C＝12. 答案：12
[系统归纳]
2，cos(A＋B)＝13，则c＝
()
A．4
B. 15
C．3
D. 17
解析： cos C＝－cos(A＋B)＝－13.又由余弦定理得c2＝a2＋b2－
2abcos C＝9＋4－2×3×2×－13＝17，所以c＝ 17.故选D.
答案：D
2．在△ABC中，a＝2 3，c＝ 6＋ 2，B＝45°，解这个三角形．
第一课时 余弦定理
[思考发现]
1．在△ABC中，符合余弦定理的是
()
A．c2＝a2＋b2－2abcos C B．c2＝a2－b2－2bccos A
C．b2＝a2－c2－2bccos A
D．cos C＝a2＋2ba2b＋c2
解析：由余弦定理及其推论知只有A正确．故选A.
答案：A
2．在△ABC中，已知a＝9，b＝2 3，C＝150°，则c等于
2．[变条件，变设问]若三角形三边长之比是1∶ 3 ∶2，则其所
对角之比是
()
A．1∶2∶3
B．1∶ 3∶2
C．1∶ 2∶ 3
D. 2∶ 3∶2
解析：设三角形三边长分别为m， 3 m,2m(m＞0)，最大角为
A，则cos A＝m2＋2m3m·32－m 2m2＝0，∴A＝90°.
设最小角为B，则cos B＝2m22＋·2m·3m3m2－m2＝ 23，
解：根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝(2 3 )2＋( 6 ＋ 2)2－2×2 3×( 6＋ 2)×cos 45°＝8， ∴b＝2 2. 又∵cos A＝b2＋2cb2c－a2＝8＋2× 26＋2×226－＋2 232＝12， ∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
已知三边解三角形