6.4.3 第一课时 余弦定理高中数学必修第二册课件)
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6.4.3第1课时余弦定理-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件(1)
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数学 必修第二册 配人版A版
第六章 平面向量及其应用
【解析】(1)由余弦定理得： a＝ 602＋60 32－2×60×60 3×cosπ6＝
4×602－3×602＝60(cm)． (2)由余弦定理得：( 5)2＝52＋BC2－2×5×BC×190，所以 BC2－9BC ＋20＝0，解得 BC＝4 或 BC＝5.
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第六章 平面向量及其应用
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画
“×”)
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任
何三角形．
()
(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形． ( )
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第六章 平面向量及其应用
易错警示 解题漏条件致误
在不等边△ABC中，a为最大边，如果a2<b2＋c2，求A的取 值范围．
错解：∵a2<b2＋c2，∴b2＋c2－a2>0. ∴cos A＝b2＋2cb2c－a2>0.
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第六章 平面向量及其应用
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新教材-高中人教A版数学必修第二册课件-6.4.3.1-余弦定理
所以c=3,所以最大边为b,最大角为B,
所以cos B=a2 c2 b2 1 .
2ac
7
答案:- 1
7
探究点三 由余弦定理判断三角形的形状
【典例3】在△ABC中,如果三边长a,b,c满足a3+b3=c3,那么△ABC的形状为( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上均有可能
【思维导引】利用a3+b3=c3得到 (a )3 ( b )3 =1,且c为最大的边,通过不等式的
【定向训练】
(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中, cos C 5 ， BC=1,AC=5,则AB=( )
25
A.4 2
B. 30
C. 29
D.2 5
【解析】选A.cos C=2cos2C -1=2×( 5 )-21=- ,3在△ABC中,
2
5
5
由余弦定理AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos C,
由余弦定理,可以得到如下推论(变形公式):
b2 c2 a2
cos A=______2_b_c_____;
a2 c2 b2
cos B=______2_a_c______;(第二种形式)
a2 b2 c2
cos C=______2_a_b______.
2.解三角形 一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的_元__素__.已知三 角形的几个_元__素__求其他_元__素__的过程叫做解三角形.
2
又0°<A<180°,所以A=60°.
cos B= a2 c2 b2 ＝(2 3)2 ( 6 2)2 (2 2)2 ＝ 2 ，
2ac
人教A版必修第二册6.4.3.1余弦定理课件
角形(角精确到1 );
(参考数据： 7 2.645 , cos 40.89 0.756 , cos 79.11 0.189 )
简析：
a2 b2 c2 2bc cos A
202 302 2 20 30 cos 30
A
700 a 700 10 7(cm)
a2 c2 b2 cos B
A
b5
c2
cos A 1 sin2 A
1 ( 231 )2 13 .
20
20
由余弦定理得
a2 b2 c2 2bc cos A 52 22 2 5 2 13 16
20
a 4
又 cos C a2 b2 c2 2ab
?
Ca
B
42 52 22
37 0.925
2 4 5 40
综上，A 45 , B 30 , C 105 .
4. 在ABC中 , 已知b 5 , c 2 , 锐角A 满足 sin A 231 ，求C . 20
(精确到1 ).( 参考数据：cos 22.3316 0.925) .
简析：
sin A 231 , 且A 为锐角. 20
(教材P44练习第3 题)
综上，a 41cm , B 106 , C 33.
返回
例2.在ABC中 , a 7, b 8, 锐角C 满足 sin C 3 3 , 14
求B(精确到1 ) .(参考数据：cos 81.7843 0.1429)
解： sin C 3 3 , C 为锐角.
14
A
c3 b8
cosC 1 sin2 C
2bc
2ac
cos C a2 b2 c2 2ab
特例：勾股定理
思考(4): 三角形的三条边，三个角叫三角形的元素 .
数学人教A版(2019)必修第二册6.4.3余弦定理(共21张ppt)
温馨提示：
(1)适用范围：任意三角形. (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”. (3)简单应用：每个等式都涉及三边和一角四个元素，在等式中可以做到“知 三求一”.
例 1 一个三角形的两边长分别为 5 和 3，它们夹角的余弦值为－35，则三角形的
另一边长为 A.52
√B.2 13
C.16
D.4
探究1 在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C 表示c? 提示 如图，设C→B＝a，C→A＝b，A→B＝c， 那么c＝a－b，① 我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|， 联想到数量积的性质c·c＝|c|2， 可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算. 由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b) ＝a·a＋b·b－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cos C. 所以c2＝a2＋b2－2abcos C， 同理可得a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2cacos B.
a2＋c2－b2 cos B＝ _________2_aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱc________ ，
a2＋b2－c2 cos C＝ __________2_a_b________.
例3 若△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，6a＝4b＝3c，则cos B
＝ 15
3
A. 4
B.4
3 15 C. 16
√11 D.16
coAs .C－＝15 1134，则最大角B的.－余61弦值是
√C.－17
D.－81
根据题意，由余弦定理可得 c＝ a2＋b2－2abcos C ＝ 64＋49－2×8×7×1134＝3. 因为a>b>c，所以A>B>C，即A为最大角. 因此 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝429＋ ×79－ ×364＝－17.
6.4.3第1课时余弦定理-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件
2
-2|AB|
2
•|BC|cosB+|BC|
把两个大写字母表示线段换成单个小写字母表示有： ＡＢ＝c，BC=a，CA=b 。 上面式子可以变为：
b2=c2+a2-2பைடு நூலகம்a·cosB
那如果已知的是AC AB 和角A 求BC边了？做法一样吗？
课堂探究
余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两 边与它们夹角的余弦的积的两倍。即
温 故 知 新 回顾上节课所学主要内容：
1、向量在几何中的运用 2、向量在物理中的运用
新课引入
421海里
日 本
1337海里
已知如图，距离怎么求？
？海里
课堂探究
C
已知三角形两边分别为AB和BC,这两 边的夹角为B ，我们能引入向量来表 B 示出第三边吗？
A
AC =AB + BC
他的模又怎么算了？
(D ) A．8
B．2 17
C．6 2
D．2 19
作业练习
3、在△ABC 中，若 AB＝ 5，AC＝5，且 cos C＝190，
则 BC＝
.
解：由余弦定理得
( 5)2＝52＋BC2－2×5×BC× 9 ， 10
所以 BC2－9BC＋20＝0， 所以 BC＝4 或 5.
作业练习
4、在△ABC中，a︰b︰c＝3︰5︰7，求其最大内角.
|AC| =|AB + BC|
课堂探究
C
|AC| =|AB + BC| B
2
|AC| =|AB
+
BC| 2
A
= AB 2+2AB • BC+BC 2
数学人教A版必修第二册6.4.3余弦定理课件
解：(1)cosC 1 sin2 C 13 14
余弦定理 c2 a2 b2 2ab cosC 9
c 3
(2)cosB a2 c2 b2 2ac
49 9 64 1
42
7
B 90 三角形ABC是钝角三角形.
【方法归纳】 利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手， 即用转化的思想解决问题，一般有两个思路：(1)化边为角，再进行三 角恒等变换，求出三个角之间的关系；(2)化角为边，再进行代数恒等 变换，求出三条边之间的关系．一般地，若遇到的式子含角的余弦或 边的二次式，则要考虑用余弦定理．
6.4.3 余弦定理
教学目标
1.了解余弦定理的推导过程； 2.掌握余弦定理的几种变形公式及应用 3.能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题。
预习教材P42－P43的内容， 思考以下问题： 1.余弦定理的内容是什么？
2.如何证明余弦定理？
3.余弦定理有哪些推论？
探究
在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别
2，
2
∴A＝45°.
B
解：由题可知：最大角为B, 最小角为A
余弦定理推论cosC a2 b2 c2 9 25 19 1
2ab
30
2
C 60 , A B 180 60 120
A
解：余弦定理b2 a2 c2 2ac cosB 变形a2 c2 b2 2ac cosB
由题a2 c2 b2 3ac可知2ac cosB 3ac
题型2已知三角形三边或三边的关系解三角形 例2 (1)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a ＝ 2，b＝ 2，c＝2，则角A等于( ) A．90° B．60° C．30° D．45°
6.4.3.1余弦定理课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
课中探究
探究点三 利用余弦定理判断三角形的形状
例3（1） 在△ ABC中，c2 = bccos A + accos B + abcos C，则此三
角形必是(
)
√ A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形
[解析] 由c2 = bccos A + accos B + abcos C，
课中探究
［素养小结］ 已知三角形的两边和一个角解三角形的方法 （1）先利用余弦定理求出第三边，其余的角利用余弦定理的推论求出． （2）用余弦定理的推论求角时，首先求出的是这个角的余弦值，然后 根据余弦函数在(0, π)上单调递减，可得余弦值对应的角是唯一的．
课中探究
探究点二 已知三边解三角形
例2（1） 在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
（1）利用余弦定理,可解决已知三角形三边求角的问题.( √ )
[解析] 结合余弦定理及三角函数知识可知正确.
（2）在△ ABC中,已知a = 2,b = 3,c = 5,则sin A = 35.( × )
[解析]
cos A = b2+c2−a2 = 9+5−4 =
2bc
2×3× 5
35，∵ 0∘ < A < 180∘
a2 = b2 + c2 − 2bccos A， b2 =__c2__+__a_2_−__2_c_a_c_o_s_B__， c2 =_a_2__+__b_2_−__2_a_b_c_o_s__C_
课前预习
余弦 定理
推论
常见 变形
cos A = b2+c2−a2，
2bc
cos B = c2+a2−b2，
第六章6.46.4.3第一课时 余弦定理PPT课件(人教版)
必修第二册·人教数学A版
sin (A－B)＝0. ∵A、B 为△ABC 的内角， ∴A＝B. 又∵C＝π3， ∴△ABC 为等边三角形．
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必修第二册·人教数学A版
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1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思 想解决问题．一般有两条思考路线：(1)化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角 之间的数量关系．(2)化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系． 2．判断三角形的形状时，经常用到以下结论： (1)△ABC 为直角三角形⇔a2＝b2＋c2 或 c2＝a2＋b2 或 b2＝a2＋c2. (2)△ABC 为锐角三角形⇔a2＋b2>c2 且 b2＋c2>a2 且 c2＋a2>b2. (3)△ABC 为钝角三角形⇔a2＋b2<c2 或 b2＋c2<a2 或 c2＋a2<b2. (4)若 sin 2A＝sin 2B，则 A＝B 或 A＋B＝π2.
cos B＝a2＋2ca2c－b2＝42＋×2×3＋ 13＋2－16＝12，
∴B＝60°.
∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
必修第二册·人教数学A版
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已知三边解三角形的步骤 (1)分别用余弦定理的推论求出两个角； (2)用三角形内角和定理求出第三个角．
必修第二册·人教数学A版
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二、余弦定理与基本不等式在解三角形中的综合应用 ►逻辑推理、数学运算 在求周长或面积范围时常用余弦定理转化为边的关系，再利用基本不等式求解． [典例 2] 已知△ABC 的三内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，向量 m＝(sin B,1 －cos B)与向量 n＝(2,0)的夹角 θ 的余弦值为12. (1)求角 B 的大小； (2)若 b＝ 3，求 a＋c 的取值范围．
高一数学人教版必修二6.4.3.1余弦定理课件
求第三边和其他两个角.
a2+b2-c2=0
（3）判断三角形的形状（会推导） a2+b2-c2>0
cos A b2 c2 a2 2bc
c2 a2 b2 cos B
2ca cos C a2 b2 c2
2ab
C钝角 C直角 C锐角
已知三角形的几个元素求其他元素的过程 叫做解三角形(solving.triXXX),
例3.在ABC中，a=2 3,c= 6 2,B 45, 解这个三角形.
[解] 根据余弦定理得，
b2＝a2＋c2－2accos B＝(2 3)2＋( 6＋ 2)2－2×2 3×( 6＋ 2)
×cos 45°＝8，∴b＝2 2.
人教A版 数学（高中）
中物理 第六章 第4节
6.4.3.1余弦定理
1 学习目标
1、通过对三角形边角关系的探索，能证明余弦定理； 2、能够从余弦定理得到它的推论； 3、能够应用余弦定理及其推论解三角形； 4、了解余弦定理与勾股定理之间的联系，知道解三角形的
问题的几种情形及其基本解法。
2 课堂导入
定性的角度：如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据 三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的；
2 7 3 14
又 C为三角形的内角，且A=120
sin C 1 cos2 C 5 3 14
结论：已知三边可求三个角。
变式1：已知△ABC的三边为 7 :2:1 ，求它的最大内角。
解：不妨设三角形的三边分别为a= 7x ,b=2x,c=x
则最大内角为∠A.由余弦定理的推论得：
cos A x2 2x2 ( 7x)2 1
c ab
A
b
2
人教A版高中数学必修第二册课件6.4.3 第1课时 余弦定理
;
(2)已知△ABC是等腰三角形,且a=c=5,B =120°,则b=
.
答案:(1) 7 (2)5 3
解析:(1)由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos
A=12+32-2×1×3cos 60°=7,所以 BC= 7;
(2)由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B=52+52-2×5×5cos 120°=75,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
反思感悟 1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从
“统一”入手,即使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线:(1)先
化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系.(2)先化
角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系.
2.判断三角形的形状时,经常用到以下结论:
二
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误
的画“×”.
①在△ABC中,若a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形.(
)
②在△ABC中,若△ABC是钝角三角形,则必有a2+b2<c2.(
)
③在△ABC中,若△ABC是锐角三角形,则必有a2+b2>c2.(
)
答案:①√ ②× ③√
探究一
第1课时
余弦定理
课标阐释
1.掌握余弦定理及其变形.
2.掌握余弦定理的证明过程.
3.能够利用余弦定理解决有关问
题.
思维脉络
一
二
一、余弦定理
1.思考
在△ABC中,三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设
(2)已知△ABC是等腰三角形,且a=c=5,B =120°,则b=
.
答案:(1) 7 (2)5 3
解析:(1)由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos
A=12+32-2×1×3cos 60°=7,所以 BC= 7;
(2)由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B=52+52-2×5×5cos 120°=75,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
反思感悟 1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从
“统一”入手,即使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线:(1)先
化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系.(2)先化
角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系.
2.判断三角形的形状时,经常用到以下结论:
二
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误
的画“×”.
①在△ABC中,若a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形.(
)
②在△ABC中,若△ABC是钝角三角形,则必有a2+b2<c2.(
)
③在△ABC中,若△ABC是锐角三角形,则必有a2+b2>c2.(
)
答案:①√ ②× ③√
探究一
第1课时
余弦定理
课标阐释
1.掌握余弦定理及其变形.
2.掌握余弦定理的证明过程.
3.能够利用余弦定理解决有关问
题.
思维脉络
一
二
一、余弦定理
1.思考
在△ABC中,三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设
新教材人教版高中数学必修第二册 6-4-3 第1课时 余弦定理 教学课件
第六页，共十五页。
建构数学 注意:余弦定理适用任何三角形.
余弦定理
a2=b2+c2-2bc·cosA
cos A b2 c2 a2 ， 2bc
b2=c2+a2-2ca·cosB c2=a2+b2-2ab·cosC
变形：
cos B
c2
a2
b2
，
2ca
cos C a 2 b2 c2 。 2ab
cos A b 2 c 2 a 2 2bc
b2 a2 c2 2ac cosB
cos B c 2 a 2 b 2 2ac
c2 a2 b2 2ab cosC
cos C a 2 b 2 c 2 2ab
应用：1.已知两边及其夹角求第三边
２.已知三条边求三个角
3.判断三角形的形状
解：a∶b∶c=5∶11∶13， 不妨令 a=5x，b=11x，c=13x，
25 x 2
cosC=
121 x 2 169 x 2 2 5x 11x
=
23 110
．
思考：
在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,判定三角 形ABC的形状
B(90 ,180 )b2a2c2
第十页，共十五页。
a2 b2 c2 2bc cos A
应用二：已知三条边求三个角．
第七页，共十五页。
数学应用
本题已知条件和问题
例1. 开头引例 分别是什么？
量得岛A与岛C距离为1338m，量得岛A与岛B距
离为700m，再利用仪器测出岛A对岛B和岛C（即
线段BC）的张角，最后通过计算求出ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB和岛C的
长度.
千岛湖
应用一：已知两边及其夹角求第三边
建构数学 注意:余弦定理适用任何三角形.
余弦定理
a2=b2+c2-2bc·cosA
cos A b2 c2 a2 ， 2bc
b2=c2+a2-2ca·cosB c2=a2+b2-2ab·cosC
变形：
cos B
c2
a2
b2
，
2ca
cos C a 2 b2 c2 。 2ab
cos A b 2 c 2 a 2 2bc
b2 a2 c2 2ac cosB
cos B c 2 a 2 b 2 2ac
c2 a2 b2 2ab cosC
cos C a 2 b 2 c 2 2ab
应用：1.已知两边及其夹角求第三边
２.已知三条边求三个角
3.判断三角形的形状
解：a∶b∶c=5∶11∶13， 不妨令 a=5x，b=11x，c=13x，
25 x 2
cosC=
121 x 2 169 x 2 2 5x 11x
=
23 110
．
思考：
在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,判定三角 形ABC的形状
B(90 ,180 )b2a2c2
第十页，共十五页。
a2 b2 c2 2bc cos A
应用二：已知三条边求三个角．
第七页，共十五页。
数学应用
本题已知条件和问题
例1. 开头引例 分别是什么？
量得岛A与岛C距离为1338m，量得岛A与岛B距
离为700m，再利用仪器测出岛A对岛B和岛C（即
线段BC）的张角，最后通过计算求出ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB和岛C的
长度.
千岛湖
应用一：已知两边及其夹角求第三边
人教A版(新教材)高中数学第二册(必修2)课件：6.4.3 第一课时 余弦定理
解析 ∵(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝7∶9∶10，不妨设a＋b＝7k，则b＋c＝9k，c＋a ＝10k(k是不为0的正常数)，解得a＝4k，b＝3k，c＝6k. 由余弦定理可得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝－2114<0， ∵0<C<π，故 C 为钝角，△ABC 为钝角三角形. 答案 C
得其他元素？ 提示 (1)已知两边及其夹角；(2)已知三条边.这两种类型的三角形都可用余弦定理 求解.
2.在△ABC中，已知三边长分别为a，b，c，如何判断三角形的形状？ 提示 不妨设a<b<c，则当a2＋b2<c2时，△ABC为钝角三角形；当a2＋b2＝c2时， △ABC为直角三角形；当a2＋b2>c2时，△ABC为锐角三角形.
一、素养落地 1.通过运用向量方法得出余弦定理，培养逻辑推理素养.通过运用余弦定理解决两类基
本的解三角形问题，提升数学运算素养. 2.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以
看作是余弦定理的特例. (1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角. (2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角. (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.
(2)顶点式2 f (x) a(x h) k(a 0) ;
(3)零点式1 2 f (x) a(x x )(x x )(a 0) .
课件制作小图标
3、我们可以失望，但不能盲目。 4、自己选择的路、就要把它走完。 5、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。 6、原以为“得不到”和“已失去”是最珍贵的，可…原 来把握眼前才是最重要的。 7、我不去想是否能够成功，既然选择了远方，便只 顾风雨兼程！ 8、我走得很慢，但我从不后退！ 9、志在山顶的人，不会念山腰的风景. 10、不要轻易用过去来衡量生活的幸与不幸！每个人 的一生都是可以绽放美丽的——只要你珍惜。
6.4.3第1课时余弦定理课件高一数学人教A版必修第二册第六章
b2＋c2－a2 cos A＝ 2bc ，
余弦
a2＋c2－b2
定理 推论 cos B＝ 2ac ，
a2＋b2－c2 cos C＝____2_a_b____
思考 在a2＝b2＋c2－2bccos A中，若A＝90°，公式会变成什么？ 答案 a2＝b2＋c2，即勾股定理.
知识点二 解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形 的 元素 .已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形 .
12345
5.在△ABC中，已知a＝2，b＝2 2 ，C＝15°，则c＝ π 6.
6－ 2，A＝
解析 由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝8－4 3，
所以 c＝ 6－ 2. 由余弦定理，得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝ 23， 又A为△ABC的内角， 所以 A＝π6.
12345
A.90° C.135°
√B.120°
D.150°
解析 由余弦定理得 cos B＝a2＋2ca2c－b2＝252＋×654×－849＝12. 又0°＜B＜180°，所以B＝60°，所以A＋C＝120°.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(a＋b)2－c2
第六章 6.4.3 余弦定理、正弦定理
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
内
知识梳理
容
题型探究
索
随堂演练
引
课时对点练
1
PART ONE
高中数学必修二(人教版)《6.4.3第一课时 余弦定理》课件
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则
此人
()
A．不能作出这样的三角形
B．能作出一个锐角三角形
C．能作出一个直角三角形
D．能作出一个钝角三角形
解析：设三角形的三条高所在的三边长分别为 a，b，c，利用三角形面积相 等，得到113a＝111b＝15c，即 a∶b∶c＝13∶11∶5，故三角形三边长可设为 13m,11m,5m，m>0，因为 13m 是三角形中最长的边，设它的对角为 A，由 余弦定理得 cos A＝5m22＋×151mm×21－1m13m2＝－12130<0，所以角 A 为钝角．故此人能作出 一个钝角三角形． 答案:D
(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元 二次方程求解．
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用 余弦定理和三角形内角和定理求其他角．
【对点练清】
1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝3，b＝2，cos(A
＋B)＝13，则 c＝
62＋6＋2 32－4 2×2 6×6＋2 3
32＝ 22，
∵C∈(0，π)，∴C＝π4.∴B＝π－A－C＝π－π6－π4＝172π，∴A＝π6，B＝172
π，C＝π4.
[方法技巧] 已知三角形的三边求角的基本步骤
【对点练清】 1．已知△ABC 中，a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，求△ABC 中各角的度数．
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三
角形．
(√ )
(2)在△ABC 中，若 a2>b2＋c2，则△ABC 一定为钝角三角形
数学人教A版必修第二册6.4.3余弦定理课件
bsinC 2 abcosC 2
a2 b2 2abcosC
D
AD bsin C bsinC CD bcos C bcosC
BD a bcosC c2 AD2 BD2
bsinC 2 abcosC 2
a2 b2 2abcosC
高中数学
综上，我们得到：在ΔABC中，有
c2 a2 b2 2abcosC
高中数学
余弦定理：
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方和减去这两边与它们夹角 的余弦的积的两倍，即
a2 b2c22bccos A； b2 a2 c22accosB； c2 a2 b22abcosC.
推论：
cos Ab2 c2 a2 2bc
cosB a2 c2 b2 2ac
cosC a2 b2 c2 2ab
高中数学
分析讲授
思考1：在任意三角形中，三角形的边角之间有没有类似的 数量关系呢？
为了研究方便我们先作如下规定：
角 A 的对边是 a ，角B 的对边是b，角 C 的对边是 c ．
高中数学
情况一：当C为直角时，
情况二：当C为锐角时，
情况三：当C为钝角时，
a2 b2 c2
D
AD bsinC CD bcosC，BD a bcosC c2 AD2 BD2
a2 b2c22bccos A； b2 a2 c2 2accosB； c2 a2 b2 2abcosC.
cos Ab2 c2 a2 2bc
cosB a2 c2 b2 2ac
cosC a2 b2 c2 2ab
高中数学
作业布置
练习册:完成P26-27
感谢您的观看
高中数学
知识应用
例1 在ΔABC中，已知 a4，b6 ，C 120 ,则边ｃ＝（ ）
a2 b2 2abcosC
D
AD bsin C bsinC CD bcos C bcosC
BD a bcosC c2 AD2 BD2
bsinC 2 abcosC 2
a2 b2 2abcosC
高中数学
综上，我们得到：在ΔABC中，有
c2 a2 b2 2abcosC
高中数学
余弦定理：
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方和减去这两边与它们夹角 的余弦的积的两倍，即
a2 b2c22bccos A； b2 a2 c22accosB； c2 a2 b22abcosC.
推论：
cos Ab2 c2 a2 2bc
cosB a2 c2 b2 2ac
cosC a2 b2 c2 2ab
高中数学
分析讲授
思考1：在任意三角形中，三角形的边角之间有没有类似的 数量关系呢？
为了研究方便我们先作如下规定：
角 A 的对边是 a ，角B 的对边是b，角 C 的对边是 c ．
高中数学
情况一：当C为直角时，
情况二：当C为锐角时，
情况三：当C为钝角时，
a2 b2 c2
D
AD bsinC CD bcosC，BD a bcosC c2 AD2 BD2
a2 b2c22bccos A； b2 a2 c2 2accosB； c2 a2 b2 2abcosC.
cos Ab2 c2 a2 2bc
cosB a2 c2 b2 2ac
cosC a2 b2 c2 2ab
高中数学
作业布置
练习册:完成P26-27
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高中数学
知识应用
例1 在ΔABC中，已知 a4，b6 ，C 120 ,则边ｃ＝（ ）
6.4.3 第1课时 余弦定理(课件)-(新教材人教版必修第二册)
数学（人教版）
第六章 平面向量及其应用 6.4 平面向量的应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理
第一阶段 课前自学质疑
感知新课 确定重点 素养导学
唐代诗人李白在《早发白帝城》中有名句，“两岸猿声啼不住， 轻舟已过万重山”．全诗洋溢着诗人李白经过艰苦岁月之后迸发的一 种激情，这种精神一直被世人视为珍品，我们如何通过行驶的船只测 量远处的某一物体的距离或者在什么方向，结合前面我们学习的向量 知识，我们推导出解三角形的利器——余弦定理.
余弦定理的每个等式中包含四个不同的量，它们分别是三角形的 三边和一个角，要充分利用方程思想“知三求一”．
①根据余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C，求出边 c； ②根据 cos A＝b2＋2cb2c－a2，求出 A； ③根据 B＝180°－(A＋C)，求出 B.
在△ABC 中，若 AB＝ 5，AC＝5，且 cos C＝190，则 BC＝
D．3
D 解析：由余弦定理得 5＝b2＋4－2×b×2×23，解得 b＝3(负
值舍去)．
2．在△ABC 中，已知 a2＝b2＋bc＋c2，则 A 等于( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°C源自解析：由余弦定理，得cos
A
＝
b2＋c2－a2 2bc
＝
b2＋c2－2bb2c＋bc＋c2＝－12，所以 A＝120°.
(1)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．
( ×)
(2)当 b2＋c2－a2>0 时，三角形 ABC 为锐角三角形．
( ×)
预习验收 衔接课堂
1．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a＝ 5，
第六章 平面向量及其应用 6.4 平面向量的应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理
第一阶段 课前自学质疑
感知新课 确定重点 素养导学
唐代诗人李白在《早发白帝城》中有名句，“两岸猿声啼不住， 轻舟已过万重山”．全诗洋溢着诗人李白经过艰苦岁月之后迸发的一 种激情，这种精神一直被世人视为珍品，我们如何通过行驶的船只测 量远处的某一物体的距离或者在什么方向，结合前面我们学习的向量 知识，我们推导出解三角形的利器——余弦定理.
余弦定理的每个等式中包含四个不同的量，它们分别是三角形的 三边和一个角，要充分利用方程思想“知三求一”．
①根据余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C，求出边 c； ②根据 cos A＝b2＋2cb2c－a2，求出 A； ③根据 B＝180°－(A＋C)，求出 B.
在△ABC 中，若 AB＝ 5，AC＝5，且 cos C＝190，则 BC＝
D．3
D 解析：由余弦定理得 5＝b2＋4－2×b×2×23，解得 b＝3(负
值舍去)．
2．在△ABC 中，已知 a2＝b2＋bc＋c2，则 A 等于( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°C源自解析：由余弦定理，得cos
A
＝
b2＋c2－a2 2bc
＝
b2＋c2－2bb2c＋bc＋c2＝－12，所以 A＝120°.
(1)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．
( ×)
(2)当 b2＋c2－a2>0 时，三角形 ABC 为锐角三角形．
( ×)
预习验收 衔接课堂
1．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a＝ 5，
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6 ．4 .3 余弦定理、正弦定理
新课程标准 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系． 2.掌握余弦定理、正弦定理． 3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题. 新学法解读 1.弄清正弦定理、余弦定理的推导思路，并在此基础
上掌握正、余弦定理的本质． 2.在求解三角形问题时要注意养成作图分析的习惯.
3．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 (1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形． (2)若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形．
已知两边及一角解三角形
[例1] (1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 3 cm，A
＝π6，则a＝________cm；
(2)在△ABC中，若AB＝
2，cos(A＋B)＝13，则c＝
()
A．4
B. 15
C．3
D. 17
解析： cos C＝－cos(A＋B)＝－13.又由余弦定理得c2＝a2＋b2－
2abcos C＝9＋4－2×3×2×－13＝17，所以c＝ 17.故选D.
答案：D
2．在△ABC中，a＝2 3，c＝ 6＋ 2，B＝45°，解这个三角形．
第一课时 余弦定理
[思考发现]
1．在△ABC中，符合余弦定理的是
()
A．c2＝a2＋b2－2abcos C B．c2＝a2－b2－2bccos A
C．b2＝a2－c2－2bccos A
D．cos C＝a2＋2ba2b＋c2
解析：由余弦定理及其推论知只有A正确．故选A.
答案：A
2．在△ABC中，已知a＝9，b＝2 3，C＝150°，则c等于
A. 39
B．8 3
()
C．10 2
D．7 3
解析：由余弦定理得：c＝ 92＋2 32－2×9×2 3×cos 150°
＝ 147＝7 3.故选D.
答案：D
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝
5，c＝2，cos A＝23，则b＝ Nhomakorabea()
A. 2 C．2
B. 3 D．3
解析：由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×
解：根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝(2 3 )2＋( 6 ＋ 2)2－2×2 3×( 6＋ 2)×cos 45°＝8， ∴b＝2 2. 又∵cos A＝b2＋2cb2c－a2＝8＋2× 26＋2×226－＋2 232＝12， ∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
已知三边解三角形
5 ，AC＝5，且cos
C＝
9 10
，则
BC＝________.
[解析] (1)由余弦定理得： a＝ 602＋60 32－2×60×60 3×cosπ6 ＝ 4×602－3×602＝60(cm)． (2)由余弦定理得：( 5)2＝52＋BC2－2×5×BC×190， 所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5.
2．[变条件，变设问]若三角形三边长之比是1∶ 3 ∶2，则其所
对角之比是
()
A．1∶2∶3
B．1∶ 3∶2
C．1∶ 2∶ 3
D. 2∶ 3∶2
解析：设三角形三边长分别为m， 3 m,2m(m＞0)，最大角为
A，则cos A＝m2＋2m3m·32－m 2m2＝0，∴A＝90°.
设最小角为B，则cos B＝2m22＋·2m·3m3m2－m2＝ 23，
[例2] 在△ABC中，已知a＝2 6 ，b＝6＋2 3 ，c＝
4 3，求A，B，C. [解] 根据余弦定理，得cos A＝b2＋2cb2c－a2
＝6＋2
32＋4 32－2 26＋2 34 3
62＝ 23.∵A∈(0，π)，∴A＝π6，
cos C＝a2＋2ba2b－c2＝2
62＋6＋2 32－4 2×2 6×6＋2 3
32＝ 22，
∵C∈(0，π)，∴C＝π4.
∴B＝π－A－C＝π－π6－π4＝172π，∴A＝π6，B＝172π，C＝π4.
已知三角形三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求 出第一个角；再利用余弦定理的推论(或由求得的第一 个角利用正弦定理)求出第二个角；最后利用三角形的 内角和定理求出第三个角．
1．余弦定理与勾股定理的关系 余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是 余弦定理的特例． 2．余弦定理的特点 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个 角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个 量，就可求得第四个量．
[答案] (1)60 (2)4或5
已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第 三边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外 一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其它角．
[变式训练]
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝
[变式训练]
1．[变条件]已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，求△ABC 中各角的度数． 解：已知a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，令a＝2k，b＝ 6k， c＝( 3＋1)k(k＞0)，由余弦定理的推论，得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝ 26×2＋6×3＋31＋2－122＝ 22， ∵0°<A<180°，∴A＝45°. cos B＝a2＋2ca2c－b2＝22＋2× 23×＋123－＋162＝12， ∵0°<B<180°，∴B＝60°. ∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
∴B＝30°，∴C＝60°.
故三角形三角之比为1∶2∶3.故选A. 答案：A
3．[变条件，变设问]在△ABC中，已知a2＋c2＝b2＋ac，且 sin A∶sin C＝( 3＋1)∶2，求角C. 解：∵a2＋c2＝b2＋ac，a2＋c2－b2＝2accos B. ∴2accos B＝ac，∴cos B＝12.∵0°＜B＜180°， ∴B＝60°，A＋C＝120°. ∵ssiinn AC＝ 32＋1，∴2sin A＝( 3＋1)sin C. ∴2sin(120°－C)＝( 3＋1)sin C. ∴2sin 120°cos C－2cos 120°sin C＝( 3＋1)sin C. ∴sin C＝cos C.∴tan C＝1.∵0°<C<180°.∴C＝45°.
2 3
，解得b＝3
或b＝－13(舍去)．故选D.
答案：D
4．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝________.
解析：∵a2－c2＋b2＝ab，∴c2＝a2＋b2－ab.又∵c2＝a2＋b2－ 2abcos C，∴2cos C＝1.∴cos C＝12. 答案：12
[系统归纳]
新课程标准 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系． 2.掌握余弦定理、正弦定理． 3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题. 新学法解读 1.弄清正弦定理、余弦定理的推导思路，并在此基础
上掌握正、余弦定理的本质． 2.在求解三角形问题时要注意养成作图分析的习惯.
3．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 (1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形． (2)若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形．
已知两边及一角解三角形
[例1] (1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 3 cm，A
＝π6，则a＝________cm；
(2)在△ABC中，若AB＝
2，cos(A＋B)＝13，则c＝
()
A．4
B. 15
C．3
D. 17
解析： cos C＝－cos(A＋B)＝－13.又由余弦定理得c2＝a2＋b2－
2abcos C＝9＋4－2×3×2×－13＝17，所以c＝ 17.故选D.
答案：D
2．在△ABC中，a＝2 3，c＝ 6＋ 2，B＝45°，解这个三角形．
第一课时 余弦定理
[思考发现]
1．在△ABC中，符合余弦定理的是
()
A．c2＝a2＋b2－2abcos C B．c2＝a2－b2－2bccos A
C．b2＝a2－c2－2bccos A
D．cos C＝a2＋2ba2b＋c2
解析：由余弦定理及其推论知只有A正确．故选A.
答案：A
2．在△ABC中，已知a＝9，b＝2 3，C＝150°，则c等于
A. 39
B．8 3
()
C．10 2
D．7 3
解析：由余弦定理得：c＝ 92＋2 32－2×9×2 3×cos 150°
＝ 147＝7 3.故选D.
答案：D
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝
5，c＝2，cos A＝23，则b＝ Nhomakorabea()
A. 2 C．2
B. 3 D．3
解析：由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×
解：根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝(2 3 )2＋( 6 ＋ 2)2－2×2 3×( 6＋ 2)×cos 45°＝8， ∴b＝2 2. 又∵cos A＝b2＋2cb2c－a2＝8＋2× 26＋2×226－＋2 232＝12， ∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
已知三边解三角形
5 ，AC＝5，且cos
C＝
9 10
，则
BC＝________.
[解析] (1)由余弦定理得： a＝ 602＋60 32－2×60×60 3×cosπ6 ＝ 4×602－3×602＝60(cm)． (2)由余弦定理得：( 5)2＝52＋BC2－2×5×BC×190， 所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5.
2．[变条件，变设问]若三角形三边长之比是1∶ 3 ∶2，则其所
对角之比是
()
A．1∶2∶3
B．1∶ 3∶2
C．1∶ 2∶ 3
D. 2∶ 3∶2
解析：设三角形三边长分别为m， 3 m,2m(m＞0)，最大角为
A，则cos A＝m2＋2m3m·32－m 2m2＝0，∴A＝90°.
设最小角为B，则cos B＝2m22＋·2m·3m3m2－m2＝ 23，
[例2] 在△ABC中，已知a＝2 6 ，b＝6＋2 3 ，c＝
4 3，求A，B，C. [解] 根据余弦定理，得cos A＝b2＋2cb2c－a2
＝6＋2
32＋4 32－2 26＋2 34 3
62＝ 23.∵A∈(0，π)，∴A＝π6，
cos C＝a2＋2ba2b－c2＝2
62＋6＋2 32－4 2×2 6×6＋2 3
32＝ 22，
∵C∈(0，π)，∴C＝π4.
∴B＝π－A－C＝π－π6－π4＝172π，∴A＝π6，B＝172π，C＝π4.
已知三角形三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求 出第一个角；再利用余弦定理的推论(或由求得的第一 个角利用正弦定理)求出第二个角；最后利用三角形的 内角和定理求出第三个角．
1．余弦定理与勾股定理的关系 余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是 余弦定理的特例． 2．余弦定理的特点 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个 角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个 量，就可求得第四个量．
[答案] (1)60 (2)4或5
已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第 三边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外 一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其它角．
[变式训练]
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝
[变式训练]
1．[变条件]已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，求△ABC 中各角的度数． 解：已知a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，令a＝2k，b＝ 6k， c＝( 3＋1)k(k＞0)，由余弦定理的推论，得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝ 26×2＋6×3＋31＋2－122＝ 22， ∵0°<A<180°，∴A＝45°. cos B＝a2＋2ca2c－b2＝22＋2× 23×＋123－＋162＝12， ∵0°<B<180°，∴B＝60°. ∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
∴B＝30°，∴C＝60°.
故三角形三角之比为1∶2∶3.故选A. 答案：A
3．[变条件，变设问]在△ABC中，已知a2＋c2＝b2＋ac，且 sin A∶sin C＝( 3＋1)∶2，求角C. 解：∵a2＋c2＝b2＋ac，a2＋c2－b2＝2accos B. ∴2accos B＝ac，∴cos B＝12.∵0°＜B＜180°， ∴B＝60°，A＋C＝120°. ∵ssiinn AC＝ 32＋1，∴2sin A＝( 3＋1)sin C. ∴2sin(120°－C)＝( 3＋1)sin C. ∴2sin 120°cos C－2cos 120°sin C＝( 3＋1)sin C. ∴sin C＝cos C.∴tan C＝1.∵0°<C<180°.∴C＝45°.
2 3
，解得b＝3
或b＝－13(舍去)．故选D.
答案：D
4．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝________.
解析：∵a2－c2＋b2＝ab，∴c2＝a2＋b2－ab.又∵c2＝a2＋b2－ 2abcos C，∴2cos C＝1.∴cos C＝12. 答案：12
[系统归纳]